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교육 기술: 설명 및 그림 교육 기술, 컴퓨터 기술, 인간 중심 학습 접근 방식, 건강 보호 기술.

수업 유형: 새로운 지식 습득 수업.

기간: 1회 수업.

학년: 8학년.

수업 목표:

교육적인:

• 사건의 확률을 찾기 위해 공식을 사용하는 기술을 반복하고 주사위 문제에서 공식을 사용하는 방법을 가르칩니다.
• 문제 해결 시 실증적 추론을 수행하고, 추론의 논리적 정확성을 평가하고, 논리적으로 잘못된 추론을 인식합니다.

교육적인:

• 정보 검색, 처리 및 제시 기술을 개발합니다.
• 비교, 분석 및 결론 도출 능력을 개발합니다.
• 관찰력과 의사소통 능력을 개발합니다.

교육적인:

• 세심함과 인내력을 키우십시오.
• 우리 주변의 세계를 이해하는 방법으로서 수학의 중요성에 대한 이해를 형성합니다.

수업 장비: 컴퓨터, 멀티미디어, 마커, mimio 복사 장치(또는 대화형 화이트보드), 봉투(실습 과제, 숙제, 노란색, 녹색, 빨간색 카드 3개 포함), 주사위 모델.

강의 계획

정리 시간.

이전 강의에서 우리는 고전적인 확률 공식에 대해 배웠습니다.

무작위 사건 A가 발생할 확률 P는 m 대 n의 비율입니다. 여기서 n은 실험에서 가능한 모든 결과의 수이고 m은 모든 유리한 결과의 수입니다..

이 공식은 확률 이론을 사용하여 승리 가능성을 결정하는 도박 분야에서 나온 Laplace에 따른 확률의 소위 고전적인 정의입니다. 이 공식은 유한한 수의 동일하게 가능한 결과를 실험하는 데 사용됩니다.

사건의 확률 = 유리한 결과의 수 / 동등하게 가능한 모든 결과의 수

따라서 확률은 0과 1 사이의 숫자입니다.

사건이 불가능할 경우 확률은 0이다.

사건이 확실한 경우 확률은 1입니다.

문제를 구두로 해결해 봅시다. 책장에는 20권의 책이 있고 그 중 3권은 참고서입니다. 책장에서 가져온 책이 참고도서가 아닐 확률은 얼마나 됩니까?

해결책:

동일하게 가능한 결과의 총 수는 20입니다.

유리한 결과의 수 – 20 – 3 = 17

답: 0.85.

2. 새로운 지식을 얻습니다.

이제 우리 수업의 주제인 "사건의 확률"로 돌아가서 노트에 서명해 보겠습니다.

수업 목적: 주사위나 2개의 주사위를 던질 때 확률을 찾는 문제를 해결하는 방법을 배웁니다.

오늘 우리의 주제는 주사위와 관련이 있거나 주사위라고도 불립니다. 주사위는 고대부터 알려져 왔습니다. 주사위 게임은 가장 오래되고 최초의 프로토타입 중 하나입니다. 주사위이집트에서 발견되었으며 기원전 20세기로 거슬러 올라갑니다. 이자형. 간단한 것(가장 많은 점수를 던지는 사람이 승리)부터 다양한 게임 전략을 사용할 수 있는 복잡한 것까지 다양한 종류가 있습니다.

가장 오래된 뼈의 연대는 기원전 20세기로 거슬러 올라갑니다. 즉, 테베에서 발견되었습니다. 처음에는 뼈가 점을 치는 도구로 사용되었습니다. 고고학 발굴에 따르면 주사위는 지구 곳곳에서 사용되었습니다. 이름은 원래 재료인 동물 뼈에서 유래되었습니다.

고대 그리스인들은 리디아인들이 적어도 무언가로 마음을 사로잡기 위해 배고픔에서 벗어나 뼈를 발명했다고 믿었습니다.

주사위 게임은 고대 이집트, 그리스-로마, 베다 신화에 반영되었습니다. 성경에는 "일리아드", "오디세이아", "마하바라타", 베다 찬송가 "리그베다" 모음집이 언급되어 있습니다. 신들의 만신전에서는 적어도 한 명의 신이 필수 속성으로 주사위의 소유자였습니다. http://ru.wikipedia.org/wiki/%CA%EE%F1%F2%E8_%28%E8%E3%F0%E0%29 - cite_note-2 .

로마 제국이 멸망한 후 이 게임은 유럽 전역으로 퍼졌고, 특히 중세 시대에 인기를 끌었습니다. 주사위는 노는 것뿐만 아니라 점을 치는 데에도 사용되었기 때문에 교회에서는 계속해서 게임을 금지하려고 했고, 이를 위해 가장 정교한 형벌을 고안했지만 모든 시도는 실패로 끝났습니다.

고고학 자료에 따르면 이교도 Rus에서도 주사위가 사용되었습니다. 세례 후 정교회는 이 게임을 근절하려고 노력했지만, 최고 귀족과 심지어 성직자까지 주사위 게임을 저지른 유럽과 달리 일반 사람들 사이에서 인기를 유지했습니다.

당국이 전쟁을 선포했습니다. 다른 나라주사위 게임은 다양한 부정행위 수법을 탄생시켰습니다.

계몽주의 시대에 이르러 주사위 취미는 점차 쇠퇴하기 시작했고, 사람들은 새로운 취미를 갖게 되었으며, 문학, 음악, 회화에 대한 관심이 더욱 커졌습니다. 요즘에는 주사위 놀이가 그렇게 널리 보급되지 않았습니다.

올바른 주사위는 측면에 착륙할 동일한 기회를 제공합니다. 이렇게 하려면 모든 모서리가 동일해야 합니다. 매끄럽고, 평평하고, 면적이 동일하고, 둥근 부분(있는 경우)이 있고, 구멍을 동일한 깊이로 뚫어야 합니다. 반대편의 점의 합은 7입니다.

확률론에서 사용되는 수학적 주사위는 일반 주사위의 수학적 이미지입니다. 매우 정확한뼈에는 크기, 색깔, 무게 등이 없습니다.

던질 때 놀이 뼈(입방체) 여섯 개의 면 중 하나라도 빠질 수 있습니다. 중 이벤트- 1~6점(포인트) 손실. 하지만 아무도 둘더 많은 얼굴이 동시에 나타날 수는 없습니다. 그런 이벤트호환되지 않는다고 합니다.

주사위 1개가 던져지는 경우를 생각해 보세요. 테이블 형태로 2번을 만들어 봅시다.

이제 주사위 2개를 굴리는 경우를 생각해 보겠습니다.

첫 번째 주사위가 1점을 굴리면 두 번째 주사위는 1, 2, 3, 4, 5, 6을 굴릴 수 있습니다. 우리는 (1;1), (1;2), (1;3), (1) 쌍을 얻습니다. ;4) , (1;5), (1;6) 등이 각 면에 적용됩니다. 모든 사례는 6행 6열의 표 형식으로 표시될 수 있습니다.

초등부 행사표

책상 위에 봉투가 있습니다.

봉투에서 작업이 담긴 시트를 가져옵니다.

이제 기본 이벤트 표를 사용하여 실제 작업을 완료합니다.

이벤트에 유리한 이벤트를 음영 처리하여 표시합니다.

작업 1. “삭제됨 같은 숫자포인트들";

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

작업 2. "점수 합은 7입니다."

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

작업 3. "점수 합이 7 이상입니다."

"적어도"은(는) 무슨 뜻인가요? (답은 '크거나 같다' 입니다.)

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

이제 다음과 같은 사건의 확률을 찾아보겠습니다. 실무유리한 이벤트가 음영 처리되었습니다.

3번 노트에 적어보자

연습 1.

총 결과 수 - 36

답: 1/6.

작업 2.

총 결과 수 - 36

유리한 결과 수 - 6

답: 1/6.

작업 3.

총 결과 수 - 36

유리한 결과 수 - 21

P = 21/36=7/12.

답변: 7/12.

№4. 사샤와 블라드는 주사위 놀이를 하고 있습니다. 모두가 주사위를 두 번 굴립니다. 가장 높은 점수를 얻은 사람이 승리합니다. 점수가 같을 경우 게임은 무승부로 종료됩니다. 사샤가 가장 먼저 주사위를 던져 5점, 3점을 얻었습니다. 이제 Vlad가 주사위를 던집니다.

a) 기본 이벤트 표에서 "블라드가 승리할 것입니다." 이벤트에 유리한 기본 이벤트를 (음영으로) 표시합니다.

b) "Vlad가 승리할 것이다"라는 사건의 확률을 구하십시오.

3. 체육시간.

믿을 수 있는 행사라면 모두 함께 박수를 쳐주세요.

행사가 불가능하면 다같이 쿵쾅쿵쾅 뛰고,

이벤트가 무작위인 경우 고개를/좌우로 흔드세요.

“바구니에 사과 3개(빨간색 2개, 녹색 1개)가 있습니다.

빨간색 3개를 바구니에서 꺼냈습니다. - (불가능)

바구니에서 빨간 사과가 꺼졌습니다 - (랜덤)

바구니에서 녹색 사과가 꺼졌습니다 - (랜덤)

빨간색 2개와 녹색 1개를 바구니에서 꺼냈습니다. - (신뢰할 수 있음)

다음 숫자를 풀어봅시다.

공정한 주사위는 두 번 굴립니다. 어떤 사건이 발생할 가능성이 더 높습니까?

A: “두 번 모두 점수가 5였습니다.”;

Q: “처음에는 2포인트를 받았고, 두 번째에는 5포인트를 받았습니다.”

S: “한 번은 2점, 한 번은 5점이었어요”?

이벤트 A를 살펴보겠습니다. 총 수결과 - 36, 유리한 결과 수 - 1(5;5)

이벤트 B를 분석해 보겠습니다. 총 결과 수는 36개, 유리한 결과 수는 1(2;5)입니다.

이벤트 C를 분석해 보겠습니다. 총 결과 수는 36개, 유리한 결과 수는 2개(2;5 및 5;2)입니다.

답: 이벤트 C.

4. 숙제 설정.

1. 현상을 잘라내고 큐브를 붙입니다. 다음 수업 때 가져가세요.

2. 25번 던지기. 결과를 표에 적습니다. (다음 강의에서는 빈도의 개념을 소개할 수 있습니다.)

3. 문제를 해결하세요. 주사위 두 개를 던집니다. 확률을 계산합니다.

a) “점수 합계는 6입니다.”

b) "5점 이상의 점수 합";

c) “첫 번째 주사위는 두 번째 주사위보다 더 많은 점수를 가지고 있습니다.”

그런 다음 그는 세 개의 주사위로 동일한 실험을 수행했습니다. 종이에 3부터 18까지의 숫자를 한 열에 적어두었는데, 이는 주사위 3개를 던졌을 때 나올 수 있는 양입니다. 400개를 던졌어요. 결과를 계산해서 표에 입력했습니다. (부록 3 및 4) 합 10과 11이 더 자주 나타납니다.

저는 주사위 4개로 또 다른 실험을 했습니다. 열에는 4부터 24까지의 숫자가 포함되어 있습니다. 이는 주사위 4개를 던질 때 나타날 수 있는 숫자입니다. 또 400타를 쳤어요. 결과를 계산해서 표에 입력했습니다. (부록 5 및 6) 합계 14가 더 자주 굴립니다.

그런 다음 나는 수학을 하기로 결정했습니다. 주사위 2개에 대한 표를 만들어서 채워봤습니다. (부록 7) 7의 합이 더 자주 나오는 결과를 얻었습니다. (부록 8). 36건 중 6건입니다. 나는 먼저 세 개의 주사위에 대해 동일한 수학적 계산을 수행했습니다. (부록 9) 가장 자주 나오는 합은 10과 11입니다. 이는 216개 중 27개입니다. 그리고 가능성이 가장 낮은 숫자는 3과 18로 216개 중 1개뿐입니다. (부록 10) 그리고 나서 주사위 4개. (부록 11) 총 1296건이 있는데, 가장 흔한 합은 14로 1296건 중 146건이고, 가장 적게 발생하는 합은 4와 24로 1296건 중 1건에 불과합니다.(부록 12)

주사위 트릭에 대한 설명을 찾았습니다. 나는 일부 트릭의 단순성과 독창성에 놀랐습니다. 주사위 측면에 표시하는 일반적인 순서는 많은 주사위 트릭의 기초입니다. 그리고 나는 몇 가지 트릭을 시도했습니다. 나는 관리했다. 하지만 이를 성공적으로 수행하려면 빠르고 정확하게 계산해야 합니다.

트릭은 능숙하고 빠른 기술의 도움으로 눈을 속이는 숙련 된 트릭입니다. 트릭은 항상 청중에게 반쯤 숨겨져 있습니다. 그들은 비밀이 있다는 것을 알고 있지만 그것을 비현실적이고 이해할 수 없는 것으로 상상합니다. 수학적 트릭은 일종의 수학 법칙을 시연하는 것입니다.

각 트릭의 성공 여부는 좋은 준비와 훈련, 각 숫자를 쉽게 수행할 수 있는 능력, 정확한 계산, 트릭을 수행하는 데 필요한 기술을 능숙하게 사용하는 것에 달려 있습니다. 이러한 트릭은 청중에게 큰 인상을 주고 사로잡는다.

Focus 1. “금액 추측하기”

시연하는 사람이 청중에게 등을 돌리고 이때 청중 중 한 명이 테이블 위에 주사위 3개를 던집니다. 그런 다음 관중은 추첨된 3개의 숫자를 합산하고 주사위를 가져와 방금 얻은 총합에 아래쪽에 있는 숫자를 더하라는 요청을 받습니다. 그런 다음 동일한 주사위를 다시 굴려 나오는 숫자를 다시 합계에 더합니다. 시연자는 세 개의 주사위 중 어느 것이 두 번 던져졌는지 결코 알 수 없다는 사실에 청중의 관심을 끌고, 주사위를 모아 손에 흔들고 즉시 최종 금액의 이름을 정확하게 지정합니다.

설명. 주사위를 모으기 전에 표시된 사람이 숫자를 위로 향하게 합산합니다. 결과 합계에 7을 더하여 최종 합계를 찾습니다.

이 트릭은 반대면의 숫자 합 속성에 의존합니다. 즉, 항상 7과 같습니다.

2장. 주사위의 비밀

2.1. 결과 계산

2개, 3개, 4개 등의 주사위를 던질 때 어떤 양이 더 자주 나오는지 알아보기 위해 여러 가지 실험을 해보았습니다.

작업을 시작하기 전에 데이터를 입력하기 위해 테이블을 작성했습니다. 열에는 2부터 12까지의 숫자가 포함됩니다. 이는 두 개의 주사위를 던질 때 나타날 수 있는 금액입니다. 그는 외부의 간섭이 없도록 매끄러운 테이블 위에 주사위를 던지기 시작했다. 각 시도는 삭제된 금액의 반대편에 수직선으로 표시되었습니다.

실험 1:

1) 저는 주사위 두 개와 잔 하나를 가져갑니다.

실험을 400번 반복합니다.

이 실험은 두 개의 주사위를 던질 때 어떤 합이 더 자주 나오는지 알아내는 데 도움이 되었습니다. (부록 1, 2)

이제 어떤 양이 더 자주 나올지 알아보기 위해 주사위 3개로 실험2를 진행했습니다.

실험 2:

1) 저는 주사위 세 개와 잔 하나를 가져갑니다.

2) 주사위로 잔을 흔든다.

3) 나는 주사위를 테이블 위에 던진다.

4) 금액을 계산해서 표에 표시합니다.

실험을 400번 반복합니다.

이 실험은 주사위 세 개를 던질 때 어떤 합이 더 자주 나오는지 알아내는 데 도움이 되었습니다. (부록 3, 4)

실험은 주사위 3개를 던졌을 때와 주사위 2개를 던졌을 때 나오는 양이 다르다는 것을 확인하는 데 도움이 되었습니다.

나는 변화의 역학을 보기 위해 4개의 주사위를 사용하여 실험 3을 수행했습니다.

작업을 시작하기 전에 데이터를 입력하기 위해 다시 테이블을 작성했습니다.

실험 3:

1) 주사위 4개와 ​​유리잔 1개를 가져갑니다.

2) 주사위로 잔을 흔든다.

3) 나는 주사위를 테이블 위에 던진다.

4) 금액을 계산해서 표에 표시합니다.

실험을 400번 반복합니다.

이 실험은 주사위 4개를 던졌을 때 나오는 양이 다시 다르다는 것을 확인하는 데 도움이 되었습니다. (부록 5, 6)

실험 결과를 검토한 결과 표 중앙에 가까운 양이 더 자주 나타나는 이유가 분명해졌습니다. 결국, 반대편의 숫자의 합은 항상 7과 같습니다. 따라서 주사위를 던지면 이 중간에 가까운 양이 나올 확률이 높다.

2.2. 결과 비교

주사위 실험 결과(부록 1~6)와 수학적 계산 결과(부록 7~12)를 비교해 본 결과, 중간에 가까운 양이 더 자주 나타나는 것을 확인했습니다. 그래서 평균을 알아냈어요 산술합주사위 옆면의 숫자. (1+2+3+4+5+6) : 6 = 3.5. 결과는 3.5였습니다. 그런 다음 이 숫자에 주사위 수를 곱했습니다. 주사위 두 개를 던졌을 때 곱은 3.5 · 2 = 7입니다. 숫자 7은 주사위 두 개를 던질 때 더 자주 나오는 숫자입니다. 주사위 3개를 굴리면 3.5 · 3 = 10.5가 됩니다. 그리고 숫자는 정수여야 하므로 인접한 두 숫자를 취합니다. 이 숫자는 10과 11이며, 주사위 3개를 던질 때 더 자주 나타납니다. 주사위의 개수에 관계없이 다음 공식을 사용하여 가장 자주 나타나는 숫자를 계산할 수 있습니다. 3.5 N , (어디 N- 주사위 수). 게다가 만약에 N 홀수, 인접한 두 숫자를 사용하여 주사위를 던질 때 더 자주 나타나는 숫자를 결정합니다.

나는 성경의 그림을 조사한 결과 불일치를 발견했습니다. 두 개의 주사위에 잘못된 표시가 있습니다. 왜냐하면 반대편의 숫자의 합은 7이 되어야 하기 때문입니다. 그리고 주사위 중 하나에는 위쪽에 3개, 측면에 4개가 있습니다. 단, 4개는 아래쪽에 있어야 합니다. 다른 주사위에는 윗면에 5개가 있고 옆면에 2개가 있습니다. 아니면 아마도 그 영역에서 주사위에 다른 표시가 채택되었기 때문일 수도 있습니다.

결론

나는 일하면서 주사위의 비밀을 배웠다. 이 비밀은 주사위 표면에 있습니다. 그 비밀은 표시의 배치에 있습니다. 반대편의 숫자의 합은 항상 7입니다. 실험과 수학적 계산을 통해 주사위를 던질 때 더 자주 나오는 양과 주사위의 개수에 따라 달라지는 양을 알아냈습니다. 이 금액은 공식으로 쓸 수 있습니다 3,5 · N, 어디 N주사위 수. 이 주제를 연구하면서 나는 주사위가 기원전 3000년경에 유래했다는 것을 알게 되었습니다. 고고학자들이 가장 오래된 게임 아이템을 발견한 곳은 이집트, 이란, 이라크, 인도입니다. 주사위의 다양한 모양과 종류에 대해 알아봤습니다. 또한 주사위가 사용되는 위치와 주사위의 속성도 설명합니다. 나는 문제 해결이라는 주제를 전혀 고려하지 않았습니다. 단지 확률론이 나에게는 아직 어렵다는 뿐입니다. 그러나 나는 다시 그 자리로 돌아가기를 희망한다.

훌륭한 수학자들이 많다 다른 시간주사위 문제를 해결했습니다. 하지만 찾기 공식의 작성자를 찾을 수 없습니다. 가장 큰 금액주사위를 던질 때. 아마도 내가 충분히 오랫동안 검색하지 않았을 것입니다. 하지만 계속 검색하겠습니다. 이 공식을 처음 생각해낸 사람이 누구인지 알고 싶습니다.

서지

1. 아자리에프 백과사전[전자자료] http://www. 슬로바루스. ru/?di=72219

2. 게임에서의 확률에 대한 Suvorov. 8-11학년 학생들을 위한 확률 이론 소개. – 야로슬라블: 개발 아카데미, 2006. –192 p.

3. 프리버스 문제. – M .: 교육, 1994. – 128 p.

4. 위키피디아 무료백과사전 [전자자료] https://ru. 위키피디아. 조직/위키/주사위

5. 도박사업. 당. 영어로부터 그리고 fr. /NEC "비블리오마켓"; Ed.-comp. . - M. 1994. - 208p.

6. 뼈, 자리, 큐브 [전자 자료] http://www. /ru/articles/igralnye_kosti-34

7. 확률 이론에 관한 Lyutikas. – M .: 교육, 1983. – 127 p.

8. Nikiforovsky 수학자 Bernoulli. – M .: Nauka, 1984. – 180p.

9. 대수학 교과서의 페이지 뒤에. 책 7-9학년 학생들을 위한 것입니다. 일반 교육 기관. – M .: 교육, 1999. – 237 p.

10. 100명의 위대한 과학자. – M .: Veche, 2000. – 592 p.

11. 사전 외국어[전자자료] http:///search

12. Ushakov의 설명 사전 [전자 자료] http://www. /3/193/772800.html

13. Shen A. 확률: 예와 문제. -M .: 출판사 MTsNMO, 2008. – 64 p.

14. 확률 이론 요소 연구에서 주사위 관련 Yakovlev 문제 [전자 자료] http://festival.1september. 루/기사/517883/

15. Yakovleva와 주사위를 사용한 재미있는 트릭 [전자 자료] http://festival.1september. 루/기사/624782/

부록 1. 주사위 2개를 던진 결과

부록 2. 주사위 2개를 던진 결과

확률 이론의 또 다른 인기 있는 문제(동전 던지기 문제와 함께)는 다음과 같습니다. 주사위 던지기 문제.

일반적으로 작업은 다음과 같이 들립니다. 하나 이상의 주사위를 던집니다(보통 2개, 덜 자주 3개). 포인트 수가 4일 확률, 포인트의 합이 10일 확률, 포인트 수의 곱이 2로 나누어질 확률, 포인트 수가 3만큼 다를 확률 등을 찾아야 합니다.

이러한 문제를 해결하는 주요 방법은 고전적인 확률 공식을 사용하는 것이며, 아래 예를 사용하여 분석해 보겠습니다.

해결 방법을 숙지한 후 주사위 2개를 던지는 데 매우 유용한 솔루션(표와 예제 포함)을 다운로드할 수 있습니다.

주사위 1개

하나의 주사위로 상황은 외설적으로 간단합니다. 확률은 $P=m/n$ 공식으로 구한다는 점을 상기시켜 드리겠습니다. 여기서 $n$은 큐브나 주사위를 던지는 실험에서 동일하게 가능한 모든 기본 결과의 수이고 $m$은 숫자입니다. 이벤트에 유리한 결과.

예시 1. 주사위는 한 번 던져집니다. 짝수 점이 나올 확률은 얼마입니까?

주사위는 큐브이기 때문에 (그들은 또한 다음과 같이 말합니다. 공정한 주사위즉, 큐브는 균형이 잡혀 있으므로 모든 면이 동일한 확률로 떨어집니다.) 큐브에는 6개의 면이 있으며(1부터 6까지의 포인트 수, 일반적으로 포인트로 지정됨), 문제는 $n=6$입니다. 이벤트에 유리한 유일한 결과는 2, 4 또는 6점(짝수만)을 가진 측면이 나타나는 결과입니다. 이러한 측면은 $m=3$입니다. 그러면 원하는 확률은 $P=3/6=1/2=0.5$와 같습니다.

예시 2. 버려진 주사위. 최소 5점을 굴릴 확률을 구하세요.

이전 예와 동일한 방식으로 추론합니다. 주사위를 던질 때 균등하게 나올 수 있는 결과의 총 개수는 $n=6$이고, "최소 5점을 굴렸다"라는 조건, 즉 "5점 또는 6점을 굴렸다"는 조건은 $m의 2개 결과로 충족됩니다. =2$. 필요한 확률은 $P=2/6=1/3=0.333$입니다.

더 많은 예를 들어도 소용이 없습니다. 모든 것이 더 흥미롭고 복잡해지는 두 개의 주사위로 넘어가겠습니다.

두 개의 주사위

언제 우리 얘기 중이야주사위 2개를 던지는 문제에 대해 사용하기 매우 편리합니다. 포인트 테이블. 수평으로는 첫 번째 주사위에 떨어진 포인트 수를 표시하고, 수직으로는 두 번째 주사위에 떨어진 포인트 수를 표시합니다. 다음과 같은 것을 얻습니다. (저는 보통 Excel에서 작업합니다. 파일을 다운로드할 수 있습니다.)

테이블 셀에는 무엇이 들어있나요? 그리고 이것은 우리가 어떤 문제를 해결할 것인지에 달려 있습니다. 점수의 합에 관한 작업이 있을 것입니다. 거기에 합계를 쓰고, 차이에 대해 쓰고, 차이 등을 쓸 것입니다. 시작하자?

예시 3. 2개의 주사위가 동시에 던져집니다. 총합이 5점 미만이 될 확률을 구합니다.

먼저, 실험의 총 결과 수를 살펴보겠습니다. 우리가 하나의 주사위를 던졌을 때 모든 것이 명백했습니다. 6면 - 6가지 결과. 여기에는 이미 두 개의 주사위가 있으므로 결과는 $(x,y)$ 형식의 순서가 지정된 숫자 쌍으로 표시될 수 있습니다. 여기서 $x$는 첫 번째 주사위(1에서 6까지)에 떨어진 포인트 수입니다. y$는 두 번째 주사위(1에서 6까지)에서 떨어진 점수입니다. 분명히, 그러한 숫자 쌍의 총 개수는 $n=6\cdot 6=36$이 될 것입니다(결과 테이블의 정확히 36개 셀에 해당합니다).

이제 테이블을 채울 차례입니다. 각 셀에 첫 번째 주사위와 두 번째 주사위에 굴린 포인트 수의 합을 입력하면 다음 그림이 표시됩니다.

이제 이 표는 이벤트에 유리한 결과 수를 찾는 데 도움이 될 것입니다. "총 5점 미만이 나타날 것입니다." 이를 위해 합계 값이 5보다 작은(즉, 2, 3 또는 4) 셀 수를 계산합니다. 명확성을 위해 이 셀에 색상을 지정해 보겠습니다. $m=6$이 됩니다.

그러면 확률은 $P=6/36=1/6$과 같습니다.

예시 4. 두 개의 주사위가 던져집니다. 포인트 수의 곱이 3으로 나누어질 확률을 구합니다.

첫 번째 주사위와 두 번째 주사위에 굴린 포인트의 곱에 대한 테이블을 만듭니다. 3의 배수인 숫자를 즉시 ​​강조 표시합니다.

남은 것은 총 결과 수는 $n=36$(이전 예 참조, 추론은 동일함)이고 유리한 결과 수(위 표에서 음영 처리된 셀 수)는 다음과 같다고 적는 것입니다. $m=20$. 그러면 사건의 확률은 $P=20/36=5/9$와 같습니다.

보시다시피 이러한 유형의 문제는 적절한 준비(몇 가지 문제를 더 살펴보겠습니다)를 통해 빠르고 간단하게 해결할 수 있습니다. 다양성을 위해 다른 테이블로 작업을 하나 더 수행해 보겠습니다. 모든 테이블은 페이지 하단에서 다운로드할 수 있습니다.

실시예 5. 주사위는 두 번 던져집니다. 첫 번째 주사위와 두 번째 주사위의 점수 차이가 2에서 5가 될 확률을 구하세요.

점 차이 표를 작성하고 차이 값이 2에서 5 사이인 셀을 강조 표시해 보겠습니다.

따라서 동일하게 가능한 기본 결과의 총 개수는 $n=36$이고 유리한 결과의 개수(위 표에서 음영 처리된 셀의 개수)는 $m=10$입니다. 그러면 사건의 확률은 $P=10/36=5/18$과 같습니다.

따라서 주사위 2개를 던지고 간단한 이벤트에 대해 이야기하는 경우 테이블을 만들고 그 안에서 필요한 셀을 선택한 다음 해당 숫자를 36으로 나누어야 합니다. 이것이 확률이 됩니다. 점 수의 합, 곱, 차이에 관한 문제 외에도 차이의 계수, 즉 그려진 점의 최소 및 최대 수에 관한 문제도 있습니다( 적합한 테이블당신은)에서 찾을 수 있습니다.

주사위와 큐브에 관한 다른 문제

물론 문제는 위에서 논의한 주사위 던지기에 관한 두 가지 유형의 문제에만 국한되지 않고(단순히 문제집과 교육 매뉴얼에서 가장 자주 접하는 문제임) 다른 유형도 있습니다. 근사해법의 다양성과 이해를 위해 세 가지를 더 분석하겠습니다. 전형적인 예: 3개의 주사위 던지기, 조건부 확률 및 베르누이 공식.

실시예 6. 주사위 3개를 던졌습니다. 총합이 15점이 될 확률을 구하세요.

3개의 주사위의 경우 테이블이 덜 자주 작성됩니다. 최대 6개의 조각(위와 같이 하나가 아님)이 필요하기 때문에 필요한 조합을 검색하기만 하면 됩니다.

실험 결과의 총 개수를 구해 보겠습니다. 결과는 $(x,y,z)$ 형식의 순서가 지정된 세 개의 숫자로 표시될 수 있습니다. 여기서 $x$는 첫 번째 주사위(1에서 6까지)에서 떨어진 포인트 수, $y$는 떨어진 포인트 수입니다. 두 번째 주사위(1부터 6까지), $z$ - 세 번째 주사위(1부터 6까지)에서 굴린 포인트 수. 분명히, 그러한 세 개의 숫자의 총 개수는 $n=6\cdot 6\cdot 6=216$ 입니다.

이제 총 15점을 주는 결과를 선택해 보겠습니다.

$$ (3,6,6), (6,3,6), (6,6,3),\\ (4,5,6), (4,6,5), (5,4,6), (6,5,4), (5,6,4), (6,4,5),\\ (5,5,5). $$

우리는 $m=3+6+1=10$ 결과를 얻었습니다. 필요한 확률은 $P=10/216=0.046$입니다.

실시예 7. 주사위 2개가 던져집니다. 총 점수가 짝수인 경우 첫 번째 주사위에서 4점 이하가 나올 확률을 구하십시오.

이 문제를 해결하는 가장 쉬운 방법은 이전과 같이 테이블을 다시 사용하는 것입니다(모든 것이 명확해집니다). 포인트 합계 테이블을 작성하고 값이 짝수인 셀만 선택합니다.

실험 조건에 따르면 36개가 아니라 $n=18$ 결과(점의 합이 짝수인 경우)가 있다는 것을 알 수 있습니다.

지금 이 세포에서"첫 번째 주사위에서 4개 이하의 포인트가 굴림" 이벤트에 해당하는 항목만 선택해 보겠습니다. 즉, 실제로 테이블의 처음 4개 행에 있는 셀(주황색으로 강조 표시됨)에는 $m=이 있습니다. 12$.

필요한 확률 $P=12/18=2/3.$

동일한 작업이 가능합니다. 다르게 결정하다조건부 확률 공식을 사용합니다. 이벤트를 입력해 보겠습니다.
A = 포인트 개수의 합이 짝수입니다.
B = 첫 번째 주사위에서 4점 이하가 굴림
AB = 포인트 수의 합이 짝수이고 첫 번째 주사위에서 4포인트 이하가 굴렸습니다.
그런 다음 원하는 확률에 대한 공식은 $$ P(B|A)=\frac(P(AB))(P(A)) 형식을 갖습니다. $$ 확률 찾기. 총 결과 수는 $n=36$이고, 이벤트 A의 경우 유리한 결과 수(위 표 참조)는 $m(A)=18$이고, 이벤트 AB의 경우 - $m(AB)=12$입니다. 우리는 다음을 얻습니다: $$ P(A)=\frac(m(A))(n)=\frac(18)(36)=\frac(1)(2); \쿼드 P(AB)=\frac(m(AB))(n)=\frac(12)(36)=\frac(1)(3);\\ P(B|A)=\frac(P (AB))(P(A))=\frac(1/3)(1/2)=\frac(2)(3). $$ 대답은 같았습니다.

실시예 8. 주사위는 4번 던져집니다. 짝수 개의 점이 정확히 3번 나타날 확률을 구합니다.

주사위의 경우 여러번 던진다, 그리고 해당 이벤트는 금액, 상품 등에 관한 것이 아닙니다. 필수적인 특성이지만 방울 수 특정 유형, 확률을 계산하는 데 사용할 수 있습니다.

내 블로그에는 Marvel Trading과 같은 프로젝트에 참여했던 게임 디자이너 Jan Schreiber의 "게임 밸런스의 원리" 과정의 다음 강의를 번역했습니다. 카드 게임그리고 플레이보이: 맨션.

지금까지 우리가 이야기한 거의 모든 내용은 결정론적이었습니다. 지난 주에는 추이 역학에 대해 자세히 살펴보고 제가 설명할 수 있는 한 자세히 설명했습니다. 그러나 지금까지 우리는 많은 게임의 또 다른 측면, 즉 비결정적 측면, 즉 무작위성에 주의를 기울이지 않았습니다.

무작위성의 본질을 이해하는 것은 게임 디자이너에게 매우 중요합니다. 우리는 특정 게임에서 사용자 경험에 영향을 미치는 시스템을 만들기 때문에 이러한 시스템이 어떻게 작동하는지 알아야 합니다. 시스템에 무작위성이 있다면 우리는 이 무작위성의 본질을 이해하고 필요한 결과를 얻기 위해 이를 변경하는 방법을 알아야 합니다.

주사위

간단한 것부터 시작해 보겠습니다. 주사위를 굴리는 것입니다. 대부분의 사람들은 주사위라고 하면 d6라고 알려진 6면체 주사위를 떠올립니다. 그러나 대부분의 게이머는 사면체(d4), 팔각형(d8), 12면체(d12), 20면체(d20) 등 다른 많은 주사위를 보았습니다. 당신이 진짜 괴짜라면 어딘가에 30면체 또는 100면체 주사위가 있을 수 있습니다.

용어에 익숙하지 않은 경우 d는 주사위를 의미하고 그 뒤의 숫자는 면의 수를 나타냅니다. d 앞에 숫자가 나타나면 굴릴 주사위의 수를 나타냅니다. 예를 들어, Monopoly 게임에서는 2d6을 굴립니다.

따라서 이 경우 "주사위"라는 문구는 다음과 같습니다. 상징. 플라스틱 인형처럼 보이지는 않지만 동일한 기능(1에서 n까지의 난수 생성)을 수행하는 수많은 난수 생성기가 있습니다. 일반 동전은 2면체 주사위 d2로 표현될 수도 있습니다.

나는 7면 주사위의 두 가지 디자인을 보았습니다. 그 중 하나는 주사위처럼 보였고 다른 하나는 7면 나무 연필처럼 보였습니다. 티토툼(titotum)이라고도 알려진 사면체 드레이델은 사면체 뼈와 유사합니다. 점수 범위가 1에서 6까지인 Chutes & Ladders의 회전하는 화살표 보드는 6면체 주사위에 해당합니다.

컴퓨터에 19면 주사위가 없더라도 컴퓨터의 난수 생성기는 설계자가 그러한 명령을 지정하면 1에서 19까지의 숫자를 생성할 수 있습니다(일반적으로 컴퓨터에 숫자가 나타날 확률에 대해 자세히 설명하겠습니다). 컴퓨터 다음 주). 이러한 항목은 모두 다르게 보이지만 실제로는 동일합니다. 즉, 여러 가지 가능한 결과가 각각 동일한 확률로 발생합니다.

주사위에는 우리가 알아야 할 몇 가지 흥미로운 속성이 있습니다. 첫째, 주사위가 나올 확률은 동일합니다(당신이 올바른 주사위를 굴렸다고 가정합니다). 기하학적 모양). 롤의 평균 값을 알고 싶다면(확률 이론에 관심이 있는 사람들에게는 다음과 같이 알려져 있습니다.) 기대값), 모든 면의 값을 합산하고 이 숫자를 면 수로 나눕니다.

표준 6면 주사위의 모든 면 값의 합은 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21입니다. 21을 면 수로 나누고 롤의 평균 값을 얻습니다. 21 / 6 = 3.5. 이것 특별한 경우, 모든 결과가 동일할 가능성이 있다고 가정하기 때문입니다.

특별한 주사위가 있다면 어떨까요? 예를 들어, 측면에 1, 1, 1, 2, 2, 3이라는 특수 스티커가 있는 6면체 주사위 게임을 보았는데, 이는 1보다 1이 나올 확률이 더 높은 이상한 3면체 주사위처럼 작동합니다. 2. 그리고 3보다 2가 나올 확률이 더 높습니다. 이 주사위의 평균 굴림 수는 얼마입니까? 따라서 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10을 6으로 나누면 5/3, 즉 약 1.66이 됩니다. 따라서 특별한 주사위가 있고 플레이어가 주사위 3개를 굴린 다음 결과를 합산하면 주사위를 더하면 약 5가 되며 해당 가정에 따라 게임의 균형을 맞출 수 있습니다.

주사위와 독립

이미 말했듯이, 우리는 양쪽이 탈락할 가능성이 동일하다는 가정에서 진행합니다. 주사위를 몇 개 굴리는지는 중요하지 않습니다. 각 주사위 굴림은 독립적입니다. 즉, 이전 굴림이 후속 굴림의 결과에 영향을 미치지 않습니다. 충분한 시도가 주어지면 숫자의 패턴(예를 들어 대부분 더 높거나 낮은 값을 굴리는 것) 또는 기타 기능을 발견할 수 있지만 이것이 주사위가 "핫"하거나 "콜드"라는 의미는 아닙니다. 이에 대해서는 나중에 이야기하겠습니다.

표준 6면체 주사위를 굴렸는데 숫자 6이 연속으로 두 번 나오면 다음 던질 때 6이 나올 확률은 정확히 1/6입니다. 주사위가 "뜨거워지기" 때문에 확률은 증가하지 않습니다. . 동시에 확률은 감소하지 않습니다. 숫자 6이 이미 두 번 연속으로 나왔다고 추론하는 것은 올바르지 않습니다. 이는 이제 다른 쪽이 나타나야 함을 의미합니다.

물론, 주사위를 20번 굴리고 매번 6이 나온다면, 21번째에 6이 나올 확률은 상당히 높습니다. 아마도 주사위를 잘못 했을 수도 있습니다. 그러나 주사위가 공정하다면, 다른 굴림의 결과에 관계없이 양쪽이 동일한 착륙 확률을 갖습니다. 또한 매번 주사위를 교체한다고 상상할 수도 있습니다. 숫자 6이 연속으로 두 번 굴리면 게임에서 "뜨거운" 주사위를 제거하고 새 주사위로 교체합니다. 이미 이에 대해 알고 계신 분이 계시다면 사과드립니다. 하지만 다음 단계로 넘어가기 전에 이 문제를 정리해야 했습니다.

주사위 굴림을 다소 무작위로 만드는 방법

주사위마다 다른 결과를 얻는 방법에 대해 이야기해 봅시다. 주사위를 한 번만 굴리든 여러 번 굴리든, 주사위에 면이 많을수록 게임이 더 무작위로 느껴질 것입니다. 주사위를 더 자주 굴릴수록, 더 많은 주사위를 굴릴수록 결과는 평균에 가까워집니다.

예를 들어, 1d6 + 4의 경우(즉, 표준 6면체 주사위를 한 번 굴리고 결과에 4를 추가하는 경우) 평균은 5에서 10 사이의 숫자가 됩니다. 5d2를 굴리면 평균은 또한 5에서 10 사이의 숫자일 수도 있습니다. 5d2를 굴린 결과는 주로 숫자 7과 8이 되며 다른 값은 덜 자주 나타납니다. 동일한 계열, 심지어 동일한 평균값(두 경우 모두 7.5)이지만 임의성의 특성이 다릅니다.

잠깐 기다려요. 내가 방금 주사위는 "가열"하거나 "냉각"하지 않는다고 말하지 않았나요? 이제 나는 주사위를 많이 던지면 굴림의 결과가 평균에 가까워질 것이라고 말합니다. 왜?

설명하겠습니다. 주사위를 하나씩 굴리면 각 면이 착륙할 확률은 동일합니다. 즉, 시간이 지남에 따라 많은 주사위를 굴리면 각 면이 거의 같은 횟수만큼 나올 것입니다. 더 많은 주사위를 굴릴수록 총 결과가 평균에 가까워집니다.

이는 추첨된 숫자가 아직 추첨되지 않은 다른 숫자를 추첨하도록 "강요"하기 때문이 아닙니다. 그러나 결국 숫자 6(또는 20 또는 다른 숫자)을 굴리는 작은 일련의 작업은 주사위를 1만 번 더 굴려도 결과에 큰 영향을 미치지 않으며 대부분 평균 숫자가 나올 것입니다. 이제 당신은 여러 가지를 얻을 것이다 큰 숫자, 그리고 나중에 여러 개의 작은 것 - 시간이 지남에 따라 평균값에 접근하게 됩니다.

이것은 이전 굴림이 주사위에 영향을 미치기 때문이 아닙니다(진지하게 주사위는 플라스틱으로 만들어졌기 때문에 "아, 2를 굴린 지 꽤 됐구나"라고 생각할 두뇌가 없습니다). 주사위를 많이 굴렸을 때 발생

따라서 적어도 주사위의 평균값을 계산하기 위해 주사위를 무작위로 굴린 것에 대한 계산을 수행하는 것은 매우 쉽습니다. 또한 무언가가 "얼마나 무작위인지"를 계산하고 1d6+4를 굴린 결과가 5d2보다 "더 무작위"라고 말할 수 있는 방법도 있습니다. 5d2의 경우 롤이 더 균등하게 분산됩니다. 이렇게 하려면 표준 편차를 계산해야 합니다. 값이 클수록 결과는 더 무작위적입니다. 오늘은 너무 많은 계산을 하고 싶지 않으며 이 주제는 나중에 설명하겠습니다.

제가 여러분에게 기억해 달라고 부탁할 유일한 것은 일반적으로 주사위를 적게 굴릴수록 무작위성이 커진다는 것입니다. 그리고 주사위의 면이 많을수록 무작위성은 더 커집니다. 가능한 옵션의미.

계산을 사용하여 확률을 계산하는 방법

특정 결과를 얻을 정확한 확률을 어떻게 계산할 수 있는지 궁금할 것입니다. 실제로 이것은 많은 게임에서 매우 중요합니다. 처음에 주사위를 굴리면 일종의 최적의 결과가 나올 가능성이 높습니다. 내 대답은 다음과 같습니다. 두 가지 값을 계산해야 합니다. 첫 번째는 주사위를 던질 때 나오는 총 결과 수이고, 두 번째는 유리한 결과의 수입니다. 두 번째 값을 첫 번째 값으로 나누면 원하는 확률이 나옵니다. 얻으려면 백분율, 결과에 100을 곱합니다.

예

다음은 매우 간단한 예입니다. 4 이상의 숫자가 6면체 주사위를 한 번 굴리기를 원합니다. 최대 결과 수는 6개(1, 2, 3, 4, 5, 6)입니다. 이 중 3가지 결과(4, 5, 6)가 유리합니다. 이는 확률을 계산하기 위해 3을 6으로 나누고 0.5 또는 50%를 얻는다는 것을 의미합니다.

다음은 좀 더 복잡한 예입니다. 2d6을 굴릴 때 짝수를 원합니다. 최대 결과 수는 36개입니다(각 주사위에 대해 6개의 옵션이 있으며, 하나의 주사위는 다른 주사위에 영향을 주지 않으므로 6에 6을 곱하면 36이 됩니다). 이 유형의 질문의 어려움은 두 번 계산하기 쉽다는 것입니다. 예를 들어, 2d6을 굴릴 때 3의 가능한 결과는 1+2와 2+1의 두 가지입니다. 똑같아 보이지만 첫 번째 주사위에 어떤 숫자가 표시되고 두 번째 주사위에 어떤 숫자가 표시되는지가 다릅니다.

주사위가 다른 색상: 예를 들어 이 경우 주사위 하나는 빨간색이고 다른 하나는 파란색입니다. 그런 다음 짝수를 굴릴 수 있는 옵션의 수를 계산합니다.

• 2 (1+1);
• 4 (1+3);
• 4 (2+2);
• 4 (3+1);
• 6 (1+5);
• 6 (2+4);
• 6 (3+3);
• 6 (4+2);
• 6 (5+1);
• 8 (2+6);
• 8 (3+5);
• 8 (4+4);
• 8 (5+3);
• 8 (6+2);
• 10 (4+6);
• 10 (5+5);
• 10 (6+4);
• 12 (6+6).

36개 중에서 유리한 결과를 얻을 수 있는 옵션이 18개 있는 것으로 나타났습니다. 이전 사례에서와 마찬가지로 확률은 0.5 또는 50%입니다. 아마도 예상치 못한 일이지만 매우 정확합니다.

몬테카를로 시뮬레이션

이 계산에 주사위가 너무 많으면 어떻게 되나요? 예를 들어, 8d6을 굴릴 때 총 15 이상이 나올 확률이 얼마인지 알고 싶습니다. 8개의 주사위에는 매우 다양한 종류가 있습니다. 다른 결과, 수동으로 계산하는 데 시간이 오래 걸립니다. 일부를 찾더라도 좋은 결정다양한 일련의 주사위 굴림을 그룹화합니다.

이 경우 가장 쉬운 방법은 수동으로 계산하는 것이 아니라 컴퓨터를 사용하는 것입니다. 컴퓨터에서 확률을 계산하는 방법에는 두 가지가 있습니다. 첫 번째 방법은 정확한 답변을 제공할 수 있지만 약간의 프로그래밍이나 스크립팅이 필요합니다. 컴퓨터는 각 기회를 살펴보고 평가하고 계산합니다. 총원하는 결과와 일치하는 반복 및 반복 횟수를 확인한 다음 답변을 제공합니다. 코드는 다음과 같습니다.

프로그래밍을 이해하지 못하고 정확한 답이 아닌 대략적인 답이 필요한 경우 Excel에서 이 상황을 시뮬레이션할 수 있습니다. 여기서 8d6을 수천 번 굴려 답을 얻을 수 있습니다. Excel에서 1d6을 굴리려면 다음 공식을 사용하세요. =바닥(랜드()*6)+1.

답을 모르고 계속해서 시도하는 상황을 몬테카를로 시뮬레이션이라고 합니다. 확률을 계산하는 것이 너무 어려울 때 사용하면 좋은 솔루션입니다. 좋은 점은 이 경우 수학이 어떻게 작동하는지 이해할 필요가 없으며 이미 알고 있듯이 더 많은 롤을 굴릴수록 결과가 "아주 좋다"는 것을 알고 있다는 것입니다. 평균.

독립적인 시도를 결합하는 방법

여러 번 반복되지만 독립적인 시도에 대해 묻는 경우 한 롤의 결과는 다른 롤의 결과에 영향을 미치지 않습니다. 이 상황에 대한 또 다른 간단한 설명이 있습니다.

종속적인 것과 독립적인 것을 구별하는 방법은 무엇입니까? 기본적으로 주사위의 각 던지기(또는 일련의 던지기)를 별도의 이벤트로 분리할 수 있다면 이는 독립적입니다. 예를 들어, 8d6을 굴리고 총 15가 필요하다고 가정해 보겠습니다. 이번 행사여러 개의 독립적인 주사위 굴림으로 나눌 수 없습니다. 결과를 얻으려면 모든 값의 합을 계산해야 합니다. 따라서 한 주사위에 나오는 결과는 다른 주사위에 나오는 결과에 영향을 미칩니다.

다음은 독립 굴림의 예입니다. 주사위 게임을 하고 있으며 6면체 주사위를 여러 번 굴립니다. 게임을 계속하려면 첫 번째 굴림이 2 이상이어야 합니다. 두 번째 던지기의 경우 - 3 이상. 세 번째는 4 이상이 필요하고, 네 번째는 5 이상이 필요하며, 다섯 번째는 6이 필요합니다. 5개의 굴림이 모두 성공하면 승리합니다. 이 경우 모든 던지기는 독립적입니다. 예, 하나의 던지기에 실패하면 전체 게임의 결과에 영향을 미치지만, 한 번의 던지기가 다른 던지기에는 영향을 미치지 않습니다. 예를 들어, 두 번째 주사위 굴림이 매우 성공했다고 해서 다음 굴림도 그만큼 좋을 것이라는 의미는 아닙니다. 그러므로 우리는 주사위를 굴릴 때마다 확률을 개별적으로 고려할 수 있습니다.

독립 확률이 있고 모든 사건이 발생할 확률이 무엇인지 알고 싶다면 각 개별 확률을 결정하고 이를 곱하면 됩니다. 또 다른 방법: 여러 조건을 설명하기 위해 "and"라는 접속사를 사용하는 경우(예를 들어 어떤 조건이 발생할 확률은 얼마입니까?) 무작위 이벤트그리고 다른 독립적인 무작위 사건?) - 개별 확률을 계산하고 곱합니다.

당신이 어떻게 생각하든, 독립 확률을 합산하지 마십시오. 이것은 일반적인 실수입니다. 이것이 왜 잘못된지 이해하려면, 동전을 던지고 연속해서 두 번 앞면이 나올 확률이 얼마나 되는지 알고 싶은 상황을 상상해 보십시오. 양쪽이 탈락할 확률은 50%입니다. 이 두 확률을 더하면 앞면이 나올 확률은 100%이지만, 두 번 연속 뒷면이 나올 수도 있기 때문에 이는 사실이 아니라는 것을 알고 있습니다. 대신 두 확률을 곱하면 50% * 50% = 25%가 됩니다. 이는 연속해서 두 번 앞면이 나올 확률을 계산하는 정답입니다.

예

먼저 2보다 큰 숫자를 굴린 다음 3보다 큰 숫자를 굴려 6이 될 때까지 굴려야 하는 6면 주사위 게임으로 돌아가 보겠습니다. 일련의 5번 굴림에서 모든 결과가 유리할 가능성은 얼마나 됩니까? ?

위에서 언급한 것처럼 이는 독립적인 시행이므로 각 개별 굴림에 대한 확률을 계산한 다음 이를 곱합니다. 첫 번째 굴림의 결과가 좋을 확률은 5/6입니다. 두 번째 - 4/6. 세 번째 - 3/6. 네 번째 - 2/6, 다섯 번째 - 1/6. 모든 결과를 서로 곱하면 약 1.5%를 얻습니다. 이 게임에서 승리하는 경우는 매우 드물기 때문에 이 요소를 게임에 추가하면 상당히 큰 잭팟이 필요합니다.

부정

여기 또 하나 있어요 유용한 힌트: 때로는 사건이 발생할 확률을 계산하는 것이 어렵지만 사건이 발생하지 않을 확률을 결정하는 것이 더 쉽습니다. 예를 들어, 다른 게임이 있다고 가정해 보겠습니다: 6d6을 굴리고 적어도 한 번 이상 6이 나오면 승리합니다. 이길 확률은 얼마입니까?

이 경우 고려해야 할 옵션이 많이 있습니다. 하나의 숫자 6이 굴릴 수 있습니다. 즉, 주사위 중 하나에 숫자 6이 표시되고 다른 주사위에는 1에서 5까지의 숫자가 표시되며, 주사위 중 하나에 6이 표시되는 6가지 옵션이 있습니다. 두 개의 주사위, 세 개 또는 그 이상의 주사위에서 숫자 6을 얻을 수 있으며 매번 별도의 계산을 수행해야 하므로 여기서 혼동되기 쉽습니다.

하지만 다른 측면에서 문제를 살펴 보겠습니다. 주사위 중 어느 것도 6이 나오지 않으면 패배하게 됩니다. 이 경우에는 6개의 독립적인 시행이 있습니다. 각 주사위에서 6이 아닌 숫자가 나올 확률은 5/6입니다. 이를 곱하면 약 33%가 됩니다. 따라서 패할 확률은 3분의 1이다. 따라서 당첨 확률은 67%(또는 2~3)입니다.

이 예에서 알 수 있듯이 사건이 발생하지 않을 확률을 계산하려면 100%에서 그 결과를 빼야 합니다. 승리할 확률이 67%라면 패배할 확률은 100%에서 67%를 뺀 33%이고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 하나의 확률은 계산하기 어렵지만 그 반대의 계산은 쉽다면 반대의 확률을 계산한 후 그 숫자를 100%에서 뺍니다.

하나의 독립적인 테스트를 위한 조건을 결합합니다.

나는 위에서 독립 시행 전체에 확률을 추가해서는 안 된다고 말했습니다. 확률을 합산할 수 있는 경우가 있나요? 예, 한 가지 특별한 상황에서는 그렇습니다.

단일 시행에서 관련되지 않은 여러 유리한 결과의 확률을 계산하려면 각 유리한 결과의 확률을 합산하십시오. 예를 들어, 1d6에서 숫자 4, 5, 6이 나올 확률은 숫자 4가 나올 확률, 숫자 5가 나올 확률, 숫자 6이 나올 확률의 합과 같습니다. 이 상황은 다음과 같이 표현될 수 있습니다. 다음: 확률에 대한 질문에 "또는" 접속사를 사용하는 경우(예: 무작위 사건의 하나 또는 다른 결과의 확률은 얼마입니까?) - 개별 확률을 계산하고 합산합니다.

참고: 게임의 가능한 모든 결과를 계산할 때 해당 결과가 발생할 확률의 합은 100%와 같아야 합니다. 그렇지 않으면 계산이 잘못되었습니다. 이것 좋은 방법계산을 다시 확인하세요. 예를 들어 포커에서 모든 조합의 확률을 분석했습니다. 모든 결과를 더하면 정확히 100%가 나와야 합니다(또는 최소한 100%에 상당히 가까운 값: 계산기를 사용하면 약간의 반올림 오류가 있을 수 있지만 합산하면). 정확한 숫자수동으로 모든 것이 하나로 합쳐져야 합니다). 합계가 수렴하지 않으면 일부 조합을 고려하지 않았거나 일부 조합의 확률을 잘못 계산했을 가능성이 높으므로 계산을 다시 확인해야 함을 의미합니다.

불평등한 확률

지금까지 우리는 주사위의 각 면이 동일한 빈도로 굴린다고 가정했습니다. 왜냐하면 그것이 주사위가 작동하는 방식이기 때문입니다. 그러나 때로는 다른 결과가 가능하고 결과가 나타날 가능성도 다른 상황에 직면할 수 있습니다.

예를 들어, 추가 기능 중 하나에서 카드 게임핵전쟁에는 로켓 발사의 결과가 좌우되는 화살표가 있는 경기장이 있습니다. 대부분은 강하든 약하든 일반적인 피해를 주지만 때로는 피해가 두 배, 세 배로 늘어나거나, 발사대에서 로켓이 폭발해 피해를 입거나, 다른 이벤트가 발생하는 경우도 있습니다. 같지 않은 축구 따위의 경기장 Chutes & Ladders 또는 A Game of Life에서 화살표를 사용하면 핵전쟁의 게임 보드 결과가 고르지 않습니다. 경기장의 일부 구역은 더 크고 화살표가 훨씬 더 자주 멈추는 반면, 다른 구역은 매우 작아서 화살표가 거의 멈추지 않습니다.

따라서 언뜻 보기에 주사위는 다음과 같이 보입니다: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - 우리는 이미 그것에 대해 이야기했는데, 이것은 가중치가 적용된 1d3과 같습니다. 따라서 우리는 이 모든 섹션을 동일한 부분으로 나누고, 모든 것이 배수인 제수인 가장 작은 측정 단위를 찾은 다음 d522(또는 다른 것)의 형태로 상황을 표현해야 합니다. 얼굴은 같은 상황을 나타낼 것입니다. 코 큰 금액결과. 이는 문제를 해결하는 한 가지 방법이며 기술적으로 가능하지만 더 간단한 옵션이 있습니다.

표준 6면체 주사위로 돌아가 보겠습니다. 우리는 일반 주사위의 평균 굴림을 계산하려면 모든 면의 값을 더하고 면 수로 나누어야 한다고 말했습니다. 그런데 계산이 정확히 어떻게 작동합니까? 이것을 표현하는 또 다른 방법이 있습니다. 6면 주사위의 경우 각 면이 굴릴 확률은 정확히 1/6입니다. 이제 각 모서리의 결과에 해당 결과의 확률(이 경우 각 모서리의 1/6)을 곱한 다음 결과 값을 더합니다. 따라서 합산하면 (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6 ), 위 계산과 동일한 결과(3.5)를 얻습니다. 실제로 우리는 매번 이런 식으로 계산합니다. 즉, 각 결과에 해당 결과의 확률을 곱합니다.

핵전쟁의 경기장에 있는 화살에 대해서도 동일한 계산을 할 수 있습니까? 물론 가능합니다. 그리고 찾은 모든 결과를 합산하면 평균값을 얻습니다. 우리가 해야 할 일은 게임 보드의 화살표에 대한 각 결과의 확률을 계산하고 결과 값을 곱하는 것입니다.

다른 예시

평균을 계산하는 이 방법은 결과가 동일할 가능성이 있지만 장점이 다른 경우에도 적합합니다. 예를 들어 주사위를 굴려 일부 측면에서 다른 측면보다 더 많은 승리를 거둔 경우입니다. 예를 들어, 카지노 게임을 생각해 보겠습니다. 베팅을 하고 2d6을 굴립니다. 세 개의 숫자가 굴려지면 가장 낮은 값(2, 3, 4) 또는 4개의 숫자 높은 가치(9, 10, 11, 12) - 베팅 금액과 동일한 금액을 받게 됩니다. 가장 낮은 값과 가장 높은 값을 가진 숫자는 특별합니다. 2 또는 12가 나오면 베팅 금액의 두 배를 얻습니다. 다른 숫자(5, 6, 7, 8)가 나오면 베팅을 잃게 됩니다. 예쁘다 간단한 게임. 그런데 당첨 확률은 얼마나 되나요?

몇 번이나 이길 수 있는지부터 세어 봅시다. 2d6을 굴릴 때 최대 결과 수는 36개입니다. 유리한 결과 수는 몇 개입니까?

• 2가 나오는 옵션이 1개 있고, 12가 나오는 옵션이 1개 있습니다.
• 3이 굴리는 옵션 2개와 11이 굴리는 옵션 2개가 있습니다.
• 4가 나올 3가지 옵션과 10이 나올 3가지 옵션이 있습니다.
• 9를 굴리는 데는 4가지 옵션이 있습니다.

모든 옵션을 요약하면 36개 중 16개의 유리한 결과를 얻습니다. 따라서 정상적인 조건 36번 중 16번 승리하게 됩니다. 승리할 확률은 50%보다 약간 낮습니다.

하지만 이 16개 중 두 가지 경우에는 두 배의 승리를 거두게 됩니다. 이는 두 번 승리하는 것과 같습니다. 이 게임을 36번 플레이하고 매번 $1를 베팅하고 가능한 모든 결과가 각각 한 번씩 나오면 총 $18를 얻게 됩니다(실제로는 16번 승리하지만 그 중 2번은 2번 승리로 계산됩니다). 36번 플레이하여 $18를 따면 확률이 동일하다는 뜻이 아닌가요?

천천히하세요. 잃을 수 있는 횟수를 세어 보면 18번이 아니라 20번이 됩니다. 36번 플레이하고 매번 1달러를 베팅하면 유리한 픽을 모두 맞추면 총 18달러를 얻게 됩니다. 그러나 불리한 결과 20개를 모두 얻으면 총 20달러를 잃게 됩니다. 결과적으로 약간 뒤쳐지게 됩니다. 36게임마다 평균 2달러의 순 손실을 입게 됩니다(하루 평균 1/18달러의 손실을 본다고 말할 수도 있습니다). 이제 이 경우 실수를 저지르고 확률을 잘못 계산하는 것이 얼마나 쉬운지 알 수 있습니다.

재배치

지금까지 우리는 주사위를 던질 때 숫자의 순서는 중요하지 않다고 가정했습니다. 2 + 4 굴림은 4 + 2 굴림과 동일합니다. 대부분의 경우 유리한 결과의 수를 수동으로 계산하지만 때로는 이 방법이 비실용적이므로 수학 공식을 사용하는 것이 더 좋습니다.

이 상황의 예는 Farkle 주사위 게임입니다. 새로운 라운드마다 6d6을 굴립니다. 운이 좋아서 1-2-3-4-5-6(스트레이트)의 가능한 결과를 모두 얻으면 큰 보너스를 받게 됩니다. 이런 일이 일어날 가능성은 얼마나 됩니까? 이 경우 이 조합을 얻는 데는 여러 가지 옵션이 있습니다.

해결책은 다음과 같습니다. 주사위 중 하나(그리고 오직 하나만)에 숫자 1이 있어야 합니다. 하나의 주사위에 숫자 1이 나타날 수 있는 방법은 몇 가지입니까? 주사위는 6개이므로 선택지는 6개가 있고 그 중 어느 것이든 숫자 1이 나올 수 있습니다. 따라서 주사위 하나를 가져와 따로 보관해 두세요. 이제 남은 주사위 중 하나가 숫자 2를 굴려야 합니다. 이에 대한 5가지 옵션이 있습니다. 다른 주사위를 가져와 따로 보관해 두세요. 그런 다음 남은 주사위 중 4개는 3이 나올 수 있고, 나머지 주사위 중 3개는 4가 나올 수 있으며, 나머지 주사위 중 2개는 5가 나올 수 있습니다. 이렇게 하면 6이 나오는 주사위 하나가 남게 됩니다. 후자의 경우주사위는 하나뿐이고 선택의 여지가 없습니다.)

스트레이트를 치는 데 유리한 결과의 수를 계산하기 위해 다양한 독립 옵션을 모두 곱합니다. 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1=720 - 상당히 많은 것 같습니다. 많은 수의이 조합을 얻기 위한 옵션입니다.

스트레이트가 나올 확률을 계산하려면 720을 6d6을 굴릴 때 가능한 모든 결과의 수로 나누어야 합니다. 가능한 모든 결과의 수는 몇 개입니까? 각 주사위는 6개의 면을 가질 수 있으므로 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656(이전 것보다 훨씬 큰 숫자)을 곱합니다. 720을 46656으로 나누면 약 1.5%의 확률을 얻습니다. 이 게임을 디자인하는 경우 이에 따라 점수 시스템을 만들 수 있도록 이 내용을 아는 것이 유용할 것입니다. 이제 우리는 Farkle에서 스트레이트를 얻으면 왜 그렇게 큰 보너스를 받는지 이해합니다. 이는 상당히 드문 상황입니다.

결과가 흥미로운 이유는 또 있다. 예는 얼마나 드물게 보여줍니다 짧은 기간확률에 해당하는 결과가 나타납니다. 물론, 수천 개의 주사위를 던지면 주사위의 다른 면이 꽤 자주 나올 것입니다. 하지만 주사위 6개만 던지면 모든 면이 나오는 경우는 거의 없습니다. "우리는 오랫동안 6이라는 숫자를 굴리지 않았기 때문에"아직 발생하지 않은 라인이 이제 나타날 것이라고 기대하는 것은 어리석은 일이라는 것이 분명해졌습니다. 들어보세요. 난수 생성기가 고장났습니다.

이는 모든 결과가 짧은 기간 동안 동일한 빈도로 발생한다는 일반적인 오해로 이어집니다. 주사위를 여러 번 던지면 각 면이 떨어지는 빈도는 동일하지 않습니다.

이전에 일종의 난수 생성기를 사용하여 온라인 게임을 작업한 적이 있다면 플레이어가 서비스에 글을 쓰는 상황에 직면했을 가능성이 높습니다. 기술적 지원난수 생성기에 난수가 표시되지 않는다는 불만 사항이 있습니다. 그는 4마리의 몬스터를 연속으로 죽이고 4개의 똑같은 보상을 받았기 때문에 이런 결론에 도달했습니다. 그리고 이러한 보상은 시간의 10%만 나타나야 하므로 이런 일은 분명히 거의 일어나지 않아야 합니다.

당신은 수학적 계산을 하고 있습니다. 확률은 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10입니다. 즉, 10,000개 중 하나의 결과가 상당히 드문 경우. 이것이 플레이어가 당신에게 말하려는 것입니다. 이 경우 문제가 있나요?

그것은 모두 상황에 달려 있습니다. 현재 서버에 몇 명의 플레이어가 있습니까? 당신이 충분하다고 가정하자 인기 게임, 매일 10만명의 사람들이 플레이하고 있습니다. 4마리의 몬스터를 연속으로 죽일 수 있는 플레이어는 몇 명입니까? 아마도 하루에 몇 번씩 전부일지도 모르지만, 그중 절반은 단순히 경매에서 다양한 아이템을 교환하거나, RP 서버에서 채팅을 하거나, 기타 게임 내 활동을 하고 있다고 가정해 보겠습니다. 따라서 절반만이 몬스터를 사냥하는 것입니다. 누군가가 동일한 보상을 받을 확률은 얼마입니까? 이 상황에서는 하루에 적어도 여러 번 이런 일이 발생할 것으로 예상할 수 있습니다.

그건 그렇고, 이것이 당신이나 당신이 아는 사람이 아니더라도 몇 주에 한 번씩 누군가가 복권에 당첨되는 것처럼 보이는 이유입니다. 충분한 인원이 정기적으로 플레이한다면 어딘가에 운이 좋은 플레이어가 적어도 한 명은 있을 가능성이 있습니다. 하지만 복권을 직접 플레이하면 당첨되지 않을 가능성이 높지만 오히려 Infinity Ward에서 일하도록 초대됩니다.

카드와 중독

주사위 던지기와 같은 독립적인 사건에 대해 논의했고 이제 많은 것을 알게 되었습니다. 강력한 도구많은 게임의 무작위성 분석. 덱에서 카드를 뽑을 때 확률을 계산하는 것은 좀 더 복잡합니다. 왜냐하면 우리가 뽑는 각 카드가 덱에 남아 있는 카드에 영향을 미치기 때문입니다.

표준 52장 카드 덱이 있는 경우 하트 10개를 제거하고 다음 카드가 같은 모양일 확률을 알고 싶습니다. 이미 해당 모양의 카드 한 장을 제거했기 때문에 확률이 원본에서 변경되었습니다. 갑판에서 마음의 집합입니다. 제거하는 각 카드는 덱에 다음 카드가 나타날 확률을 변경합니다. 이 경우 이전 사건이 다음 사건에 영향을 미치므로 이를 확률 종속적이라고 부릅니다.

내가 "카드"라고 말할 때 개체 세트가 있고 개체 중 하나를 교체하지 않고 제거하는 게임 메커니즘을 말하는 것입니다. 이 경우 "카드 덱"은 칩 한 개를 가져오는 칩 봉지 또는 색깔 있는 공을 가져오는 항아리와 유사합니다. (나는 색깔 있는 공을 가져오는 항아리가 있는 게임을 본 적이 없지만 선생님들은 이 예가 선호되는 이유에 따른 확률 이론의 설명)

종속성 속성

카드에 관해서는 카드를 뽑고 보고 덱에서 제거한다고 가정한다는 점을 명확히 하고 싶습니다. 이러한 각 작업은 중요한 속성입니다. 예를 들어 1부터 6까지의 숫자가 포함된 카드 6장으로 구성된 덱이 있다면 카드를 섞고 카드 한 장을 뽑은 다음 카드 6장을 모두 다시 섞습니다. 이는 6면체 주사위를 던지는 것과 비슷합니다. 다음 것에는 영향이 없습니다. 그리고 카드를 꺼내서 교체하지 않으면 카드 1을 꺼내서 다음에 숫자 6이 포함된 카드를 뽑을 확률이 높아집니다. 결국 해당 카드를 제거하거나 덱을 섞으세요.

우리가 카드를 보고 있다는 사실도 중요합니다. 덱에서 카드를 꺼내서 보지 않으면 추가 정보실제로 확률은 변하지 않습니다. 이는 직관에 반하는 것처럼 들릴 수도 있습니다. 간단한 카드 뒤집기는 어떻게 할 수 있나요? 마술적으로확률을 바꿔볼까? 하지만 알고 있는 것만으로도 알려지지 않은 항목이 나올 확률을 계산할 수 있기 때문에 가능합니다.

예를 들어, 표준 카드 덱을 섞고 51장의 카드를 공개했는데 그 중 어느 것도 클럽 퀸이 아닌 경우 나머지 카드가 클럽 퀸이라고 100% 확신할 수 있습니다. 표준 카드 덱을 섞은 후 카드 51장을 보지 않고 꺼낸다면 남은 카드가 클럽 퀸일 확률은 여전히 ​​1/52입니다. 각 카드를 열 때마다 더 많은 정보를 얻을 수 있습니다.

종속 사건의 확률 계산은 카드를 공개할 때 확률이 변하기 때문에 조금 더 복잡하다는 점을 제외하면 독립 사건과 동일한 원칙을 따릅니다. 그러니까 많이 늘려야지 다른 의미, 동일한 값을 곱하는 대신. 이것이 실제로 의미하는 바는 우리가 수행한 모든 계산을 하나의 조합으로 결합해야 한다는 것입니다.

예

표준 52장 카드 덱을 섞고 카드 두 장을 뽑습니다. 당신이 한 쌍을 그릴 확률은 얼마입니까? 이 확률을 계산하는 방법은 여러 가지가 있지만 아마도 가장 간단한 방법은 다음과 같습니다. 카드 한 장을 뽑았을 때 한 쌍을 뽑지 못할 확률은 얼마입니까? 이 확률은 0이므로 두 번째 카드와 일치한다면 첫 번째 카드를 뽑는 것은 중요하지 않습니다. 어떤 카드를 먼저 뽑는지는 중요하지 않습니다. 여전히 한 쌍을 뽑을 기회가 있습니다. 따라서 첫 번째 카드를 뽑은 후 페어를 뽑을 확률은 100%입니다.

두 번째 카드가 첫 번째 카드와 일치할 확률은 얼마입니까? 덱에는 51장의 카드가 남아 있고 그 중 3장이 첫 번째 카드와 일치합니다(실제로는 52장 중 4장이 있지만 첫 번째 카드를 뽑을 때 이미 일치하는 카드 중 하나를 제거했습니다). 따라서 확률은 1/ 17. 그래서 다음번에 텍사스 ​​홀덤을 할 때 테이블 건너편에 있는 사람이 이렇게 말합니다. “좋아요, 다른 페어요? 오늘은 운이 좋은 것 같아”라고 말하면 허세를 부리고 있을 확률이 높다는 것을 알 수 있을 것이다.

조커 두 개를 추가하여 덱에 54장의 카드가 있고 한 쌍을 뽑을 확률이 얼마나 되는지 알고 싶다면 어떻게 해야 할까요? 첫 번째 카드는 조커일 수 있으며, 그 다음에는 일치하는 카드가 덱에 세 개가 아닌 한 개만 있을 것입니다. 이 경우 확률을 찾는 방법은 무엇입니까? 우리는 확률을 나누고 각각의 가능성을 곱할 것입니다.

첫 번째 카드는 조커나 다른 카드일 수 있습니다. 조커를 뽑을 확률은 2/54이고, 다른 카드를 뽑을 확률은 52/54입니다. 첫 번째 카드가 조커(2/54)인 경우 두 번째 카드가 첫 번째 카드와 일치할 확률은 1/53입니다. 우리는 값을 곱합니다(그 값들은 별도의 이벤트이고 두 이벤트가 모두 발생하기를 원하기 때문에 값을 곱할 수 있습니다). 1/1431(1/10% 미만)을 얻습니다.

다른 카드를 먼저 뽑는 경우(52/54) 두 번째 카드가 일치할 확률은 3/53입니다. 값을 곱하면 78/1431(5.5%보다 약간 높음)을 얻습니다. 이 두 가지 결과로 무엇을 할까요? 그것들은 교차하지 않으며 각각의 확률을 알고 싶기 때문에 값을 추가합니다. 최종 결과는 79/1431(여전히 약 5.5%)입니다.

대답의 정확성을 확인하고 싶다면 조커를 뽑고 두 번째 카드가 일치하지 않거나 다른 카드를 뽑고 두 번째 카드가 일치하지 않는 등 다른 모든 가능한 결과의 확률을 계산할 수 있습니다. 이 확률과 당첨 확률을 합산하면 정확히 100%가 됩니다. 여기서는 수학적인 계산을 제공하지 않겠지만 수학을 통해 다시 확인해 볼 수 있습니다.

몬티 홀 역설

이것은 종종 많은 사람들을 혼란스럽게 하는 다소 유명한 역설, 즉 몬티 홀 역설로 이어집니다. 역설은 TV 쇼 Let's Make a Deal의 진행자 이름을 따서 명명되었습니다. 이 TV 쇼를 본 적이 없는 분들을 위해 설명하자면 The Price Is Right의 반대였습니다.

The Price Is Right에서는 진행자(Bob Barker가 진행자였으나 지금은 Drew Carey가 누구입니까? 신경 쓰지 마세요)가 여러분의 친구입니다. 그는 당신이 돈이나 멋진 상품을 받기를 원합니다. 후원자가 구매한 품목의 실제 가치가 얼마나 되는지 추측할 수 있는 한 모든 승리 기회를 제공하려고 합니다.

몬티 홀은 다르게 행동했습니다. 그는 Bob Barker의 사악한 쌍둥이 같았습니다. 그의 목표는 당신을 국영 TV에서 바보처럼 보이게 만드는 것이었습니다. 당신이 쇼에 출연했다면, 그는 당신의 상대였고, 당신은 그와 대결했고, 확률은 그에게 유리했습니다. 제가 너무 가혹한 것일 수도 있지만, 우스꽝스러운 의상을 입으면 방송에 나올 가능성이 높다는 걸 보면 딱 그런 생각이 들더라고요.

쇼의 가장 유명한 밈 중 하나는 이것이었습니다. 여러분 앞에 1번 문, 2번 문, 3번 문 등 3개의 문이 있습니다. 문 하나를 무료로 선택할 수 있습니다. 그 중 하나 뒤에는 새 자동차와 같은 엄청난 상이 있습니다. 다른 두 문 뒤에는 상품이 없으며 둘 다 가치가 없습니다. 그들은 당신을 모욕해야하므로 그 뒤에는 아무것도 아닌 것이 아니라 염소 또는 거대한 치약 튜브와 같은 어리석은 것-새 차가 아닌 것입니다.

문 중 하나를 선택하면 몬티가 문을 열어서 승리 여부를 알려 주려고 합니다. 하지만 기다려 보세요. 알아보기 전에 선택하지 않은 문 중 하나를 살펴보겠습니다. 몬티는 어느 문 뒤에 상품이 있는지 알고 있으며, 뒤에 상품이 없는 문은 언제든지 열 수 있습니다. “3번 문을 선택하시겠습니까? 그럼 1번 문을 열어 그 뒤에 상금이 없다는 걸 보여주자." 그리고 이제 그는 당신에게 선택한 3번 문을 2번 문 뒤에 있는 문과 교환할 수 있는 기회를 제공합니다.

이 시점에서 확률에 대한 질문이 제기됩니다. 이 기회가 승리 확률을 높이는가, 감소시키는가, 아니면 변하지 않는가? 당신은 어떻게 생각하십니까?

정답: 다른 문을 선택할 수 있으면 당첨 확률이 1/3에서 2/3으로 높아집니다. 이것은 비논리적입니다. 이전에 이 역설을 접한 적이 없다면 아마도 다음과 같이 생각하고 있을 것입니다. 잠깐, 문 하나를 열면 마술처럼 확률이 바뀌는 것은 무엇일까요? 우리가 지도에서 이미 본 것처럼, 이는 우리가 더 많은 정보를 얻을 때 일어나는 일입니다. 당연하게도 처음 선택했을 때 당첨확률은 1/3입니다. 하나의 문이 열리더라도 첫 번째 선택의 승리 확률은 전혀 변하지 않습니다. 확률은 여전히 ​​1/3입니다. 하지만 다른 문이 맞을 확률은 이제 2/3입니다.

이 예를 다른 관점에서 살펴보겠습니다. 당신은 문을 선택합니다. 당첨확률은 1/3입니다. Monty Hall이 하는 것처럼 다른 두 개의 문을 바꾸는 것이 좋습니다. 물론, 그는 문 중 하나를 열어 그 뒤에 상금이 없다는 것을 밝혔습니다. 하지만 그는 항상 그렇게 할 수 있으므로 실제로는 아무 것도 바뀌지 않습니다. 물론 다른 문을 선택하고 싶을 것입니다.

질문을 잘 이해하지 못하고 더 설득력 있는 설명이 필요한 경우 이 링크를 클릭하면 이 역설을 더 자세히 탐색할 수 있는 훌륭한 작은 Flash 응용 프로그램으로 이동됩니다. 약 10개의 문으로 시작하여 점차적으로 세 개의 문이 있는 게임까지 플레이할 수 있습니다. 또한, 3개에서 50개까지 원하는 수의 문을 가지고 플레이할 수 있고, 수천 번의 시뮬레이션을 실행하여 플레이하면 몇 번이나 승리할 수 있는지 확인할 수 있는 시뮬레이터도 있습니다.

세 개의 문 중 하나를 선택하세요. 당첨 확률은 1/3입니다. 이제 두 가지 전략이 있습니다. 잘못된 문을 연 후 선택을 변경하는 것입니다. 선택을 변경하지 않으면 선택은 첫 번째 단계에서만 발생하고 즉시 추측해야하므로 확률은 1/3로 유지됩니다. 변경하는 경우 먼저 잘못된 문을 선택하면 승리할 수 있습니다(그러면 다른 잘못된 문이 열리고 올바른 문은 남습니다. 결정을 변경하면 가져갑니다). 처음에 잘못된 문을 선택할 확률은 2/3입니다. 따라서 결정을 바꾸면 승리할 확률이 두 배로 높아집니다.

고등 수학 교사이자 수학 전문가의 발언 게임 밸런스 Maxim Soldatov - 물론 Schreiber에는 그녀가 없었지만 그녀가 없으면 이것을 이해할 수 있습니다 마법의 변신충분히 열심히

그리고 다시 몬티홀 역설에 대해

쇼 자체에 관해서는: Monty Hall의 상대가 수학을 잘하지 못하더라도 그는 수학을 잘했습니다. 그가 게임을 조금 바꾸기 위해 한 일은 다음과 같습니다. 만약 당신이 그 뒤에 상품이 있고 일어날 확률이 1/3인 문을 선택했다면, 그것은 항상 당신에게 다른 문을 선택할 수 있는 옵션을 줄 것입니다. 차를 선택한 다음 염소로 바꾸면 꽤 멍청해 보일 것입니다. Hall은 일종의 사악한 사람이기 때문에 정확히 당신이 원하는 것입니다.

하지만 뒤에 상품이 없는 문을 선택하면 그는 절반만 다른 문을 선택하라고 요청할 것입니다. 아니면 새 염소를 보여주고 무대를 떠나게 될 것입니다. 이것을 분석해보자 새로운 게임, Monty Hall은 귀하에게 다른 문을 선택할 기회를 제공할지 여부를 결정할 수 있습니다.

그가 다음 알고리즘을 따른다고 가정해 보겠습니다. 당신이 상품이 있는 문을 선택하면 그는 항상 당신에게 다른 문을 선택할 기회를 제공하고, 그렇지 않으면 그는 당신에게 다른 문을 선택하거나 염소를 줄 가능성이 동일합니다. 당신의 승리 확률은 얼마나 됩니까?

중 하나에서 세 가지 옵션당신은 즉시 상품이 있는 문을 선택하고 발표자는 다른 문을 선택하도록 초대합니다.

세 가지 옵션 중 나머지 두 가지 옵션(처음에는 상품 없이 문을 선택함) 중에서 절반의 경우 발표자가 결정 변경을 제안하고 나머지 절반의 경우에는 그렇지 않습니다.

2/3의 절반은 1/3입니다. 즉, 3개 중 1개는 염소를 받게 되고, 3개 중 1개는 잘못된 문을 선택하게 되며 호스트는 다른 문을 선택하라고 요청할 것입니다. 세 개 중에서 당신은 올바른 문을 선택할 것이지만 그는 또 다른 문을 제안할 것입니다.

발표자가 다른 문을 선택하겠다고 제안하면 그가 우리에게 염소를주고 떠날 때 세 가지 중 한 가지 사례가 발생하지 않았다는 것을 이미 알고 있습니다. 이것 유용한 정보: 우리의 승리 확률이 바뀌었다는 뜻입니다. 우리가 선택할 기회가 있는 세 가지 중 두 가지 경우: 한 경우는 우리가 올바르게 추측했다는 뜻이고 다른 경우는 우리가 잘못 추측했음을 의미합니다. 따라서 선택할 기회가 전혀 제공된다면 승리할 확률은 다음과 같습니다. 는 1/2이고 수학적 관점에서 볼 때 선택한 문을 그대로 유지하든지 다른 문을 선택하든 상관없습니다.

포커와 마찬가지로 수학적인 게임이 아닌 심리적인 게임입니다. 몬티는 왜 당신에게 선택권을 주었나요? 그는 당신이 다른 문을 선택하는 것이 "올바른" 결정이라는 것을 모르고 고집스럽게 자신의 선택을 고수할 바보라고 생각합니다(결국 심리적으로 상황은 더 복잡해, 자동차를 선택했다가 잃어버렸을 때)?

아니면 당신이 똑똑해서 다른 문을 선택할 것이라고 판단한 그 사람은 당신이 처음에 정확하게 추측했고 푹 빠질 것이라는 것을 알고 있기 때문에 당신에게 이 기회를 제공합니까? 아니면 평소와 다르게 친절하고, 한동안 차를 나눠주지 않았는데 제작진이 시청자들이 지루해하니 빨리 큰 상을 주는 게 낫다고 해서 자신에게 이익이 되는 일을 하라고 강요하고 있는 것일 수도 있다. 시청률이 떨어졌나요?

이러한 방식으로 Monty는 때때로 선택권을 제공하면서도 전체 승리 확률을 1/3로 유지합니다. 당신이 완전히 잃을 확률은 1/3이라는 것을 기억하십시오. 바로 맞힐 확률은 1/3이고, 그 횟수의 50%가 승리합니다(1/3 x 1/2 = 1/6).

처음에는 틀렸지만 나중에 다른 문을 선택할 기회가 있을 확률은 1/3이고, 그 횟수의 절반(역시 1/6)이 승리합니다. 두 개의 독립적인 승리 가능성을 더하면 1/3의 확률을 얻게 됩니다. 따라서 선택한 문을 고수하든지 다른 문을 선택하든 상관없습니다. 게임 전체에서 승리할 확률은 1/3입니다.

당신이 문을 추측하고 발표자가 다른 문을 선택할 것을 제안하지 않고 단순히 그 뒤에 무엇이 있는지 보여줬을 때보다 확률은 더 커지지 않습니다. 제안의 핵심은 확률을 바꾸는 것이 아니라 의사 결정 과정을 TV에서 시청하는 것을 더 재미있게 만드는 것입니다.

그건 그렇고, 이것이 포커가 그토록 흥미로울 수 있는 이유 중 하나입니다. 대부분의 형식에서 베팅이 이루어지는 라운드 사이(예: 텍사스 홀덤의 플랍, 턴, 리버)에 카드가 점차적으로 공개됩니다. 게임이 시작될 때 승리할 기회가 단 한 번 있다면 각 베팅 라운드가 끝난 후 베팅 라운드가 열려 있을 때 더 많은 카드, 이 확률은 변경됩니다.

소년과 소녀의 역설

이것은 일반적으로 모든 사람을 당황하게 만드는 또 다른 잘 알려진 역설, 즉 소년과 소녀의 역설을 가져옵니다. 오늘 제가 쓰고 있는 유일한 내용은 게임과 직접적인 관련이 없습니다. 게임 메커니즘). 이것은 퍼즐에 가깝지만 흥미로운 문제이고, 이를 해결하려면 위에서 이야기한 조건부 확률을 이해해야 합니다.

문제: 두 명의 자녀를 둔 친구가 있는데 그 중 적어도 한 명은 여자아이입니다. 둘째 아이도 딸일 확률은 얼마나 됩니까? 어떤 가정에서든 딸과 아들을 가질 확률이 50/50이라고 가정해 봅시다. 이는 모든 어린이에게 해당됩니다.

실제로 일부 남성의 정자에는 X 염색체나 Y 염색체가 있는 정자가 더 많기 때문에 확률은 약간 다릅니다. 한 아이가 여자아이라는 사실을 안다면, 두 번째 여자아이를 낳을 가능성은 약간 더 높으며, 자웅동체증과 같은 다른 질환도 있습니다. 하지만 이 문제를 해결하기 위해 우리는 이를 고려하지 않고 아이의 탄생이 독립적인 사건이고 남자아이와 여자아이의 탄생이 똑같이 일어날 가능성이 있다고 가정합니다.

우리가 1/2의 확률에 대해 이야기하고 있기 때문에 직관적으로 우리는 대답이 1/2 또는 1/4이거나 분모에서 2의 배수인 다른 숫자일 것이라고 예상합니다. 하지만 답은 1/3이다. 왜?

여기서 어려운 점은 우리가 갖고 있는 정보가 가능성의 수를 줄인다는 것입니다. 부모가 세서미 스트리트의 팬이고 자녀의 성별에 관계없이 A와 B라는 이름을 붙였다고 가정해 보겠습니다. 정상적인 조건에서는 가능성이 동일한 네 가지 가능성이 있습니다. A와 B는 두 명의 남자, A와 B는 두 명의 여자, A 는 남자이고 B는 여자이고 A는 여자이고 B는 남자입니다. 우리는 적어도 한 명의 아이가 여자라는 것을 알고 있기 때문에 A와 B가 두 남자일 가능성을 배제할 수 있습니다. 이로 인해 우리에게는 세 가지 가능성이 남게 됩니다. 여전히 가능성은 동일합니다. 모든 가능성이 동일하고 그 중 3개가 있다면 각각의 확률은 1/3입니다. 이 세 가지 옵션 중 하나에만 자녀가 둘 다 있으므로 답은 1/3입니다.

그리고 다시 한 번 소년과 소녀의 역설에 대해

문제에 대한 해결책은 더욱 비논리적이 됩니다. 내 친구에게 두 명의 자녀가 있는데 그 중 한 명이 화요일에 태어난 여자아이라고 상상해 보세요. 정상적인 조건에서 한 아이가 일주일 중 매일 동일한 확률로 태어날 수 있다고 가정해 보겠습니다. 둘째 아이도 딸일 확률은 얼마나 됩니까?

대답은 여전히 ​​1/3이라고 생각할 수도 있습니다. 화요일이 무슨 상관인가요? 하지만 이 경우에도 우리의 직관은 실패합니다. 대답은 13/27입니다. 이는 직관적이지 않을 뿐만 아니라 매우 이상합니다. 이 경우 무슨 문제가 있나요?

사실 화요일에 어떤 아이가 태어났는지 모르거나 둘 다 화요일에 태어났을 수도 있기 때문에 화요일은 확률을 변경합니다. 이 경우에도 동일한 논리를 사용합니다. 즉, 적어도 한 명의 자녀가 화요일에 태어난 여자아이인 경우 가능한 모든 조합을 계산합니다. 이전 예에서와 같이 자식 이름이 A와 B라고 가정해 보겠습니다. 조합은 다음과 같습니다.

• A는 화요일에 태어난 여자아이이고, B는 남자아이입니다(이 상황에서는 남자아이가 태어날 수 있는 요일마다 하나씩, 7가지 가능성이 있습니다).
• B는 화요일에 태어난 여자아이이고, A는 남자아이입니다(또한 7가지 가능성).
• A - 화요일에 태어난 소녀, B - 다른 요일에 태어난 소녀(6가지 가능성).
• B는 화요일에 태어난 소녀이고, A는 화요일에 태어나지 않은 소녀입니다(또한 6개의 확률).
• A와 B는 화요일에 태어난 두 소녀입니다(1개의 가능성, 두 번 계산되지 않도록 주의해야 함).

우리는 화요일에 여자아이가 태어날 가능성이 최소한 한 가지 이상인 아이의 출생과 요일의 서로 다른 동등하게 가능한 조합 27개를 합산하여 얻습니다. 이 중 두 명의 딸이 태어날 경우의 가능성은 13가지입니다. 이것도 완전히 비논리적인 것 같습니다. 이 작업원인이 될 수 있도록 발명되었습니다 두통. 여전히 의아해하신다면 게임 이론가 Jesper Juhl의 웹사이트에 이 문제에 대한 좋은 설명이 있습니다.

현재 게임 작업을 하고 있다면

당신이 디자인하고 있는 게임에 무작위성이 있다면, 지금은 그것을 분석하기에 좋은 시간입니다. 분석하려는 일부 요소를 선택하십시오. 먼저 주어진 요소에 대한 확률이 무엇인지, 게임의 맥락에서 어떤 요소가 되어야 하는지 스스로에게 물어보세요.

예를 들어, RPG를 만들고 있는데 플레이어가 전투에서 괴물을 물리칠 확률이 얼마나 되는지 궁금하다면, 자신에게 적합하다고 생각되는 승률이 얼마인지 자문해 보세요. 일반적으로 콘솔 RPG의 경우 플레이어는 패배할 때 매우 화가 나므로 패배 빈도가 10% 이하인 것이 가장 좋습니다. RPG 디자이너라면 아마 저보다 더 잘 알겠지만, 확률이 얼마나 되어야 하는지에 대한 기본적인 아이디어가 있어야 합니다.

그런 다음 확률이 종속적인지(카드와 같이) 독립적인지(주사위와 같이) 스스로에게 물어보세요. 가능한 모든 결과와 확률을 분석합니다. 모든 확률의 합이 100%인지 확인하세요. 물론 얻은 결과를 기대치와 비교하십시오. 의도한 대로 주사위를 굴리거나 카드를 뽑을 수 있습니까? 아니면 값을 조정해야 한다는 것이 분명합니까? 물론, 단점이 발견되면 동일한 계산을 사용하여 값을 얼마나 변경할지 결정할 수 있습니다.

숙제

당신 것 숙제” 이번주는 확률 기술을 연마하는 데 도움이 될 것입니다. 여기에는 확률을 사용하여 분석할 두 가지 주사위 게임과 카드 게임, 그리고 제가 한때 개발한 몬테 카를로 방법을 테스트할 이상한 게임 메커니즘이 있습니다.

게임 #1 - 드래곤 본즈

이것은 제 동료와 제가 한때 생각해낸 주사위 게임입니다(Jeb Heavens와 Jesse King 덕분에). 특히 확률로 사람들의 마음을 사로잡습니다. 드래곤 다이스(Dragon Dice)라는 간단한 카지노 게임으로, 플레이어와 하우스 간의 도박 주사위 경쟁입니다.

당신은 정상적인 1d6 주사위를 받았습니다. 게임의 목표는 집의 숫자보다 더 높은 숫자를 굴리는 것입니다. Tom은 귀하와 동일한 비표준 1d6을 받았지만 유닛 대신 면 중 하나에 용의 이미지가 있습니다(따라서 카지노에는 용 큐브가 있습니다 - 2-3-4-5-6). ). 집에 드래곤이 있으면 자동으로 승리하고 당신은 패배합니다. 둘 다 같은 숫자를 얻으면 무승부가 되며 주사위를 다시 굴립니다. 가장 높은 숫자를 굴린 사람이 승리합니다.

물론 모든 것이 전적으로 플레이어에게 유리하게 진행되는 것은 아닙니다. 왜냐하면 카지노는 드래곤 엣지라는 형태의 이점을 갖고 있기 때문입니다. 하지만 이것이 정말 사실일까요? 이것이 당신이 계산해야 할 것입니다. 하지만 먼저 직감을 확인해보세요.

확률이 2 대 1이라고 가정해 보겠습니다. 따라서 이기면 베팅을 유지하고 베팅 금액을 두 배로 얻습니다. 예를 들어, 1달러를 베팅하고 이기면 해당 달러를 유지하고 2달러를 더 얻게 되어 총 3달러가 됩니다. 잃으면 내기만 잃습니다. 놀아줄래? 확률이 2:1보다 크다고 직관적으로 느끼시나요, 아니면 여전히 낮다고 생각하시나요? 즉, 평균 3경기 이상에서 1회 이상 승리할 것으로 예상하시나요, 아니면 그 이하인가요, 아니면 1회 승리를 예상하시나요?

직관을 파악한 후에는 수학을 사용하십시오. 두 주사위 모두 가능한 위치는 36개뿐이므로 문제 없이 모두 셀 수 있습니다. 2대1 제안에 대해 확신이 없다면 다음을 고려하십시오. 게임을 36번 플레이했다고 가정해 보겠습니다(매번 $1 베팅). 승리할 때마다 2달러를 받고, 패배할 때마다 1달러를 잃으며, 무승부는 아무것도 바꾸지 않습니다. 예상되는 모든 승리와 손실을 계산하고 돈을 잃거나 얻을지 결정하십시오. 그런 다음 직관이 얼마나 옳았는지 스스로에게 물어보십시오. 그리고 내가 얼마나 악당인지 깨닫습니다.

그리고 그렇습니다. 이미 이 질문에 대해 생각해 보셨다면 주사위 게임의 실제 메커니즘을 잘못 표현하여 의도적으로 혼란을 드리고 있지만 조금만 생각하시면 이 장애물을 극복하실 수 있다고 확신합니다. 이 문제를 직접 해결해 보세요.

게임 No. 2 - 행운을 위해 던지기

이것 도박"행운 던지기"(때때로 주사위를 굴리지 않고 빙고의 새장을 연상시키는 큰 와이어 케이지에 넣기 때문에 "새장"이라고도 함)라는 주사위에서. 게임은 간단하며 기본적으로 다음과 같이 요약됩니다. 예를 들어 1부터 6까지의 숫자에 1달러를 베팅한 다음 3d6을 굴립니다. 귀하의 번호가 나오는 각 주사위에 대해 귀하는 $1를 얻습니다(원래 베팅은 그대로 유지됩니다). 주사위에 귀하의 숫자가 나오지 않으면 카지노는 귀하의 달러를 얻고 귀하는 아무것도 얻지 못합니다. 따라서 1에 베팅하고 세 번 사이드에 1이 나오면 $3를 얻게 됩니다.

직관적으로 이 게임은 동등한 확률을 가지고 있는 것 같습니다. 각 주사위는 개별적으로 승리할 확률이 6분의 1입니다. 따라서 3번의 굴림을 합산하면 승리할 확률은 6분의 3입니다. 그러나 물론 세 개의 개별 주사위를 추가하는 것이며 다음 중 하나만 허용된다는 점을 기억하십시오. 동일한 주사위의 별도 승리 조합에 대해 이야기하는 경우 추가하십시오. 당신이 곱해야 할 것이 있습니다.

가능한 모든 결과를 계산하고 나면(216개의 결과가 있으므로 손으로 하는 것보다 Excel에서 수행하는 것이 더 쉬울 것입니다), 게임은 언뜻 보기에도 여전히 이상해 보입니다. 사실, 카지노는 여전히 승리할 확률이 더 높습니다. 얼마나 더 많은가요? 구체적으로, 매 라운드마다 평균적으로 얼마나 많은 돈을 잃을 것으로 예상하시나요?

여러분이 해야 할 일은 모든 216개 결과의 승패를 더한 다음 216으로 나누는 것뿐입니다. 이는 매우 간단합니다. 하지만 보시다시피 여기에는 몇 가지 함정이 있습니다. 이것이 바로 제가 이렇게 말하는 이유입니다. 이 게임이 승리할 확률이 균등하다고 생각한다면 모든 것이 잘못된 것입니다.

게임 #3 - 5 카드 스터드 포커

이미 이전 게임을 워밍업했다면, 우리가 알고 있는 내용을 확인해 보겠습니다. 조건부 확률, 이 카드 게임을 예로 사용합니다. 52장의 카드 덱으로 포커 게임을 상상해 봅시다. 또한 각 플레이어가 5장의 카드만 받는 5장의 카드 스터드를 상상해 봅시다. 카드를 버릴 수 없고, 새 카드를 뽑을 수 없으며, 공유된 덱이 없습니다. 카드는 5장만 얻을 수 있습니다.

로얄 플러쉬는 한 손에 10-J-Q-K-A 이므로 총 4개이므로 4개가 됩니다. 가능한 방법로얄 플러시를 얻으십시오. 그러한 조합 중 하나를 얻을 확률을 계산하십시오.

한 가지 경고해야 할 점은 이 다섯 장의 카드를 어떤 순서로든 뽑을 수 있다는 점을 기억하세요. 즉, 먼저 에이스를 그릴 수도 있고 10을 그릴 수도 있습니다. 그것은 중요하지 않습니다. 따라서 계산을 할 때 카드가 순서대로 처리되었다고 가정할 때 실제로 로얄 플러시를 얻는 방법에는 4가지 이상이 있다는 점을 명심하십시오.

게임 번호 4 - IMF 복권

네 번째 문제는 오늘 이야기한 방법으로는 쉽게 해결할 수 없지만, 프로그래밍이나 엑셀을 이용하면 쉽게 상황을 시뮬레이션할 수 있습니다. 이 문제의 예를 통해 몬테카를로 방법을 해결할 수 있습니다.

앞서 제가 한 번 작업했던 Chron X라는 게임에 대해 말씀드렸는데, 아주 좋은 게임이 하나 있었습니다. 흥미로운 지도- IMF 복권. 작동 방식은 다음과 같습니다. 게임에서 사용했습니다. 라운드가 끝난 후 카드는 재분배되었으며, 카드가 플레이에서 사라지고 무작위 플레이어가 해당 카드에 토큰이 있는 자원 유형별로 5단위를 받을 확률이 10%였습니다. 카드는 칩 하나 없이 플레이에 들어갔지만 다음 라운드가 시작될 때 플레이에 남아 있을 때마다 칩 1개를 받았습니다.

따라서 카드를 플레이에 넣으면 라운드가 종료되고 카드가 게임에서 나가고 아무도 아무것도 얻지 못할 확률이 10%였습니다. 이것이 발생하지 않으면(90% 확률) 다음 라운드에서 그녀가 게임을 떠나고 누군가가 5단위의 자원을 받을 확률은 10%(90%의 10%이므로 실제로는 9%)입니다. 한 라운드 후에 카드가 게임에서 사라지면(사용 가능한 81%의 10%, 즉 확률은 8.1%) 누군가는 10유닛을 받고, 다음 라운드는 15유닛, 또 다른 라운드는 20유닛을 받게 됩니다. 질문: 이 카드가 게임에서 사라질 때 이 카드에서 얻을 수 있는 자원 수의 일반적인 예상 가치는 얼마입니까?

일반적으로 우리는 각 결과의 가능성을 계산하고 모든 결과의 수를 곱하여 이 문제를 해결하려고 합니다. 0(0.1 * 0 = 0)이 나올 확률은 10%입니다. 9%로 5단위의 자원을 받게 됩니다(9% * 5 = 0.45 자원). 얻을 수 있는 것의 8.1%는 10입니다(8.1%*10=0.81 리소스 - 전체 예상 값). 등등. 그리고 나서 우리는 그것을 모두 요약할 것입니다.

이제 문제는 분명해졌습니다. 카드가 게임을 떠나지 않고 영원히 게임에 남아 있을 가능성이 항상 있습니다. 무한한 수라운드이므로 모든 확률을 계산할 방법이 없습니다. 오늘 배운 방법으로는 무한 재귀 계산이 불가능하므로 인위적으로 만들어야 합니다.

프로그래밍에 능숙하다면 이 지도를 시뮬레이션하는 프로그램을 작성하세요. 변수를 시작 위치 0으로 가져오고 난수를 표시하며 변수가 루프를 종료할 확률이 10%인 시간 루프가 있어야 합니다. 안에 반대의 경우변수에 5를 추가하고 루프가 반복됩니다. 최종적으로 루프가 종료되면 총 시험 실행 횟수를 1만큼 늘리고 총 리소스 수를 늘립니다(얼마만큼은 변수가 끝나는 위치에 따라 다름). 그런 다음 변수를 재설정하고 다시 시작하십시오.

프로그램을 수천 번 실행합니다. 결국 총 리소스 수를 총 실행 수로 나눕니다. 이것이 예상되는 몬테카를로 값이 됩니다. 프로그램을 여러 번 실행하여 얻은 숫자가 거의 같은지 확인하십시오. 분산이 여전히 큰 경우 일치 항목을 찾을 때까지 외부 루프의 반복 횟수를 늘립니다. 당신이 얻은 숫자는 대략적으로 정확할 것이라고 확신할 수 있습니다.

프로그래밍이 처음이라면(비록 프로그래밍이 처음이더라도) Excel 기술을 테스트할 수 있는 간단한 연습이 있습니다. 당신이 게임 디자이너라면 이러한 기술은 결코 불필요한 것이 아닙니다.

이제 if 및 rand 함수가 매우 유용할 것입니다. Rand는 값을 요구하지 않으며 단지 0과 1 사이의 임의의 십진수를 내보냅니다. 우리는 일반적으로 이를 바닥, 플러스 및 마이너스와 결합하여 앞서 언급한 주사위 굴리기를 시뮬레이션합니다. 하지만 이 경우에는 카드가 게임을 떠날 확률을 10%로 남겨두므로 랜드 값이 0.1보다 작은지 확인하고 더 이상 걱정하지 않아도 됩니다.

If에는 세 가지 의미가 있습니다. 순서는 true 또는 false인 조건, 조건이 true인 경우 반환되는 값, 조건이 false인 경우 반환되는 값입니다. 그래서 다음 기능시간의 5%를 반환하고 나머지 90%의 시간은 0을 반환합니다. =IF(랜드()<0.1,5,0) .

이 명령을 설정하는 방법은 여러 가지가 있지만 첫 번째 라운드를 나타내는 셀(예: A1 셀)에 대해 다음 공식을 사용하겠습니다. =IF(랜드()<0.1,0,-1) .

여기서는 "이 카드는 게임을 떠나지 않았으며 아직 어떤 자원도 포기하지 않았습니다."를 의미하기 위해 음수 변수를 사용하고 있습니다. 따라서 첫 번째 라운드가 끝나고 카드가 플레이에서 나가면 A1은 0입니다. 그렇지 않으면 -1입니다.

두 번째 라운드를 나타내는 다음 셀의 경우: =IF(A1>-1, A1, IF(RAND()<0.1,5,-1)) . 따라서 첫 번째 라운드가 종료되고 카드가 게임에서 즉시 사라진 경우 A1은 0(리소스 수)이고 이 셀은 해당 값을 복사합니다. 그렇지 않은 경우 A1은 -1(카드가 아직 게임을 떠나지 않음)이고 이 셀은 계속 무작위로 이동합니다. 10%의 시간 동안 5단위의 자원을 반환하고 나머지 시간 동안 해당 값은 여전히 ​​다음과 같습니다. -1. 이 공식을 추가 셀에 적용하면 추가 라운드가 생기고, 어떤 셀이 최종 결과를 얻게 되는지가 결정됩니다(또는 모든 라운드를 플레이한 후에도 카드가 게임에서 한 번도 떠나지 않은 경우 -1).

해당 카드가 포함된 유일한 라운드를 나타내는 셀 행을 선택하고 수백(또는 수천) 행을 복사하여 붙여넣습니다. Excel에 대해 무한한 테스트를 수행할 수는 없지만(테이블의 셀 수가 제한되어 있음) 적어도 대부분의 경우는 다룰 수 있습니다. 그런 다음 모든 라운드 결과의 평균을 배치할 셀 하나를 선택합니다. Excel에서는 이를 위한 평균() 함수를 유용하게 제공합니다.

Windows에서는 최소한 F9를 눌러 모든 난수를 다시 계산할 수 있습니다. 이전과 마찬가지로 이 작업을 여러 번 수행하여 동일한 값을 얻는지 확인하세요. 스프레드가 너무 크면 실행 횟수를 두 배로 늘리고 다시 시도하세요.

해결되지 않은 문제

만약 당신이 확률 이론 학위를 갖고 있고 위의 문제가 너무 쉬워 보인다면, 여기 제가 몇 년 동안 머리를 긁적이었던 두 가지 문제가 있습니다. 그러나 불행하게도 저는 그 문제를 풀 만큼 수학에 능숙하지 않습니다.

해결되지 않은 문제 #1: IMF 복권

첫 번째 미해결 문제는 이전 숙제입니다. 몬테카를로 방법(C++ 또는 Excel 사용)을 쉽게 적용할 수 있고 "플레이어가 얼마나 많은 리소스를 받게 될까요?"라는 질문에 대한 대답에 확신을 가질 수 있지만, 수학적으로 증명 가능한 정확한 답을 어떻게 제공해야 할지 정확히 모르겠습니다. 무한 시리즈) .

해결되지 않은 문제 #2: 숫자의 순서

이 문제(이 문제는 이 블로그에서 해결한 작업의 범위를 훨씬 뛰어넘는 문제임)는 10년 전 한 게이머 친구가 나에게 제시한 문제입니다. 라스베가스에서 블랙잭을 하는 동안 그는 한 가지 흥미로운 점을 발견했습니다. 8데크 신발에서 카드를 제거했을 때 10개의 숫자가 연속으로 보였습니다(그림이나 페이스 카드는 10, 조커, 킹 또는 퀸이므로 16개가 있습니다). 표준 52데크 카드의 총합 또는 416 카드 슈의 경우 128개).

이 신발에 10개 이상의 숫자로 구성된 시퀀스가 ​​하나 이상 포함될 확률은 얼마입니까? 그것들이 무작위 순서로 공평하게 섞였다고 가정해 봅시다. 또는 원하는 경우 10개 이상의 숫자 시퀀스가 ​​어디에도 나타나지 않을 확률은 얼마나 됩니까?

우리는 작업을 단순화할 수 있습니다. 다음은 416개의 부품으로 구성된 시퀀스입니다. 각 부분은 0 또는 1입니다. 시퀀스 전체에 걸쳐 128개의 1과 288개의 0이 무작위로 흩어져 있습니다. 128개의 1과 288개의 0을 무작위로 산재시키는 방법은 몇 가지가 있으며, 이러한 방식으로 적어도 10개 이상의 1 그룹이 발생하는 경우는 몇 번입니까?

이 문제를 해결하려고 할 때마다 그것은 쉽고 분명해 보였지만, 세부 사항을 파헤치자마자 갑자기 무너지고 불가능해 보였습니다.

그러므로 성급하게 대답을 내뱉지 마십시오. 앉아서, 신중하게 생각하고, 조건을 연구하고, 실수를 연결해 보십시오. 왜냐하면 제가 이 문제에 대해 이야기한 모든 사람들(이 분야에서 일하는 몇몇 대학원생 포함)이 다음과 같이 반응했기 때문입니다. 동일: "완전히 뻔해요... 아, 아니, 잠깐만요. 전혀 뻔하지 않아요." 모든 옵션을 계산할 수 있는 방법이 없는 경우입니다. 물론 컴퓨터 알고리즘을 통해 문제를 무차별 대입할 수도 있지만 수학적 해법을 아는 것이 훨씬 더 흥미로울 것입니다.

문제 1.4 - 1.6

문제 상황 1.4

문제의 "해결책"에 오류가 있음을 표시하십시오. 두 개의 주사위가 던져집니다. 추첨된 포인트의 합이 3일 확률을 구합니다(사건 A). "해결책". 테스트에는 두 가지 가능한 결과가 있습니다. 추첨된 포인트의 합은 3이고, 추첨된 포인트의 합은 3이 아닙니다. 이벤트 A에는 하나의 결과가 선호되고 총 결과 수는 2개입니다. 따라서 원하는 확률은 P(A) = 1/2과 같습니다.

문제 1.4에 대한 해결책

이 "해결책"의 오류는 문제의 결과가 동등하게 가능하지 않다는 것입니다. 올바른 해결책: 균등하게 가능한 결과의 총 개수는 동일합니다(한 주사위에서 굴린 각 포인트 수는 다른 주사위에서 굴린 모든 포인트 수와 결합될 수 있습니다). 이러한 결과 중에서 (1; 2)와 (2; 1)의 두 가지 결과만이 이벤트를 선호합니다. 즉, 필요한 확률은

답변:

문제 상황 1.5

두 개의 주사위가 던져집니다. 다음 사건의 확률을 구하십시오. a) 추첨된 점수의 합은 7입니다. b) 추첨된 포인트의 합은 8점이고 차이는 4점입니다. c) 그 차이가 4인 것으로 알려진 경우 추첨된 포인트의 합은 8입니다. d) 굴린 포인트의 합은 5이고, 제품은 4입니다.

문제 1.5에 대한 해결책

a) 첫 번째 주사위에는 6개의 옵션이 있고, 두 번째에는 6개의 옵션이 있습니다. 총 옵션: (상품 규정에 따름) 합계가 7인 옵션: (1.6), (6.1), (2.5), (5.2), (3.4), (4.3) - 총 6개의 옵션. 수단,

b) 적합한 옵션은 (6,2)와 (2,6) 두 가지뿐입니다. 수단,

c) 적합한 옵션은 (2,6), (6,2) 두 가지뿐입니다. 그러나 (2,6), (6,2), (1,5), (5,1)의 4가지 옵션이 있습니다. 수단, .

d) 합계가 5인 경우 다음 옵션이 적합합니다: (1.4), (4.1), (2.3), (3.2). 제품은 2가지 옵션만 4개 입니다. 그 다음에

답: a) 1/6; b) 1/18; 다) 1/2; 라) 1/18

문제 상황 1.6

모든 모서리가 색칠된 큐브를 같은 크기의 수천 개의 큐브로 절단한 다음 완전히 혼합합니다. 행운에 의해 그려진 큐브가 색깔 있는 면을 가질 확률을 찾으십시오: a) 1; b) 두 개; 세 시에.

문제 1.6에 대한 해결책

총 1000개의 큐브가 형성되었습니다. 세 가지 색상의 면을 가진 큐브: 8(모서리 큐브) 2개의 색칠된 면: 96(각 모서리에 8개의 큐브가 있는 큐브의 모서리가 12개이므로). 색상이 있는 가장자리의 주사위: 384(면이 6개이고 각 면에 큐브가 64개 있으므로). 남은 것은 찾은 각 수량을 1000으로 나누는 것입니다.

답: a) 0.384; 나) 0.096 다) 0.008