6장의 카드에 편지가 쓰여있습니다. 예

조합론유한 집합의 요소 수를 계산하는 방법을 연구합니다. 조합 공식은 확률을 직접 계산하는 데 사용됩니다.
동일한 요소로 구성된 집합 다양한 요소순서만 서로 다른 것을 호칭한다. 순열이러한 요소. 가능한 순열의 수 N요소는 으로 표시되며, 이 숫자는 다음과 같습니다. N! ("en-factorial" 읽기):
\(P_n=n\)(1.3.1)
어디
. (1.3.2)

비고 1. 빈 세트의 경우 규칙이 허용됩니다. 빈 세트는 한 가지 방법으로만 주문할 수 있습니다. 정의상 믿는다.

게재위치으로 구성된 세트라고 합니다. N따라 다양한 요소 중요소의 구성이나 순서가 다른 요소입니다. 가능한 모든 게재 위치의 수는 공식에 의해 결정됩니다
. (1.3.3)

조합~에서 N따라 다양한 요소 중다음을 포함하는 세트라고 합니다. 중중에서 요소 N주어지며 적어도 하나의 요소가 다릅니다. 조합 수 N요소별 중다음을 의미합니다: 또는 . 이 숫자는 공식으로 표현됩니다

. (1.3.4)

비고 2. 정의에 따르면 다음과 같이 가정합니다.

조합 수에 대해서는 동등성이 유효합니다.
, , (1.3.5)
. (1.3.6)

마지막 평등은 때때로 다음 정리로 공식화됩니다. 유한 집합:
그것들로 구성된 집합의 모든 부분집합의 수 N요소는 와 같습니다.
순열, 배치 및 조합의 수는 등식과 관련이 있습니다.

비고 3. 위에서는 모든 것이 다음과 같이 가정되었습니다. N요소가 다릅니다. 일부 요소가 반복되는 경우 이 경우 반복 세트는 다른 공식을 사용하여 계산됩니다.

예를 들어, N요소는 한 유형의 요소, 다른 유형의 요소 등인 경우 반복되는 순열의 수는 공식에 의해 결정됩니다.
(1.3.7)
어디 .

게재위치 수: 중반복되는 요소 N요소는 동일하다
, 그건
반복 포함(1.3.8)
반복이 포함된 조합 수 N요소별 중요소는 반복되지 않는 조합의 수와 같습니다 N + 중- 각 요소 1개 중요소, 즉
반복에서 (1.3.9)

조합 문제를 풀 때 다음 규칙이 사용됩니다.

합계 규칙.어떤 객체 A가 m 방식으로 객체 집합에서 선택될 수 있고 다른 객체 B가 n 방식으로 선택될 수 있다면, A 또는 B는 m + n 방식으로 선택될 수 있습니다.

상품규칙. 다양한 객체 중에서 객체 A를 선택할 수 있는 경우 중방법을 선택하고 각 선택 후에 개체 B를 선택할 수 있습니다. N방법으로 지정된 순서대로 한 쌍의 객체(A, B)를 방법으로 선택할 수 있습니다.

확률을 계산하는 고전적인 방식은 다음과 같은 순수 문제를 해결하는 데 적합합니다. 실질적인 문제. 예를 들어 볼륨 N의 특정 요소 세트를 고려해 보겠습니다. 이는 각각 적합하거나 결함이 있는 제품이거나 각각 실행 가능하거나 그렇지 않을 수 있는 씨앗일 수 있습니다. 이런 종류의 상황은 항아리 계획으로 설명됩니다. 항아리 안에는 N개의 공이 있으며, 그 중 M은 파란색이고 (N - M)은 빨간색입니다.

M개의 파란색 공이 들어 있는 N개의 공이 들어 있는 항아리에서 n개의 공을 꺼냅니다. 크기 n의 표본에서 m개의 파란색 공이 감지될 확률을 결정해야 합니다. "크기 n의 표본에 m개의 파란색 공이 있습니다"라는 사건을 A로 표시하겠습니다.
(1.3.10)

예시 1.얼마나 다른 방법들 10명의 후보자 중 3개의 직위에 대해 3명의 후보자를 선출하는 것이 가능합니까?

해결책.공식 (1.3.3)을 사용해 보겠습니다. n = 10, m = 3에 대해 우리는 다음을 얻습니다.
.

예시 2. 5명이 벤치에 앉을 수 있는 방법의 수는 몇 가지입니까?

해결책. n=5인 공식(1.3.1)에 따르면
P 5 =5!=1·2·3·4·5=120.

예시 3. 10명의 후보자 중 3개의 동일한 직책에 3명의 사람을 선출할 수 있는 방법은 몇 가지입니까?

해결책.공식 (1.3.4)에 따라 우리는 다음을 찾습니다.

예시 4.숫자 1을 사용하여 몇 개의 다른 6자리 숫자를 쓸 수 있습니까? 1; 1; 2; 2; 2?

해결책.여기서는 공식 (1.3.7)에 의해 결정되는 반복을 통한 순열 수를 찾아야 합니다. k = 2, n 1 = 3, n 2 = 3, n = 6인 경우 이 공식을 사용하여 다음을 얻습니다.

실시예 5.성, 회전자, 도끼, 종 등 단어에 몇 가지 다른 문자 순열을 만들 수 있습니까?

해결책.성이라는 단어에는 글자가 모두 다르며 총 5개가 있습니다. 공식 (1.3.1)에 따라 P 5 = 5를 얻습니다! = 1·2·3·4·5 = 120. 한마디로 축차, 다섯 글자로 구성, 글자 피그리고 영형두 번 반복됩니다. 다양한 순열을 계산하기 위해 공식 (1.3.7)을 사용합니다. n = 5, n 1 = 2, n 2 = 2인 경우 이 공식을 사용하면 다음을 찾을 수 있습니다.

도끼라는 단어의 글자 영형두 번 반복되므로

일곱 글자로 된 단어 벨 속에는 에게두 번 등장, 문자 영형- 세 번, 편지 엘- 두 배. n = 7, n 1 = 2, n 2 = 3, n з = 2인 공식 (13.7)에 따라 우리는 다음을 얻습니다.

실시예 6. 5개의 동일한 카드에 I, K, M, N, S라는 글자가 적혀 있으며, 카드를 섞어서 무작위로 한 줄로 배치합니다. MINSK라는 단어가 나타날 확률은 얼마입니까?

해결책. 5개의 서로 다른 요소에서 P5 순열을 만들 수 있습니다.
. 이는 총 120가지의 가능한 결과가 있을 것이며 유리한 결과가 있을 것임을 의미합니다. 이번 행사- 딱 하나. 따라서,

실시예 7.단어의 글자에서 축차는 분할알파벳을 사용하여 구성되었으며, 3개의 글자가 무작위로 순차적으로 선택되어 일렬로 배치됩니다. 그 말이 나올 확률은 얼마나 될까요? 큰 쇠시리?

해결책.동일한 문자를 서로 구별하기 위해 숫자를 제공합니다. 피 1 , 피 2 , 0 1 , 0 2 . 총 수기본 결과는 다음과 같습니다. . 단어 축차다음과 같은 경우에 작동합니다( 그런 다음 1r 1, 다음 1r 2, 다음 2r 1, 다음 2r 2). 필요한 확률은 다음과 같습니다.

유리한 경우의 수를 계산할 때 제품 규칙을 사용했습니다. 중편도, 문자를 선택할 수 있습니다 영형- 둘, 편지 아르 자형- 두 가지 방법.

실시예 8.같은 모양과 크기의 카드 6장에 단어의 글자가 적혀 있습니다. 재능- 각 카드에 한 글자씩. 카드가 완전히 혼합되어 있습니다. 그것들은 무작위로 꺼내어 차례로 테이블 위에 놓입니다. 바닥을 다시 얻을 확률은 얼마입니까? 재능?

해결책.카드에 문자로 번호를 매기자:

재능(513246)이라는 단어는 문자가 다음과 같은 경우 변경되지 않습니다. ㅏ재배열하되 카드 배열에 따라 재능(523146)이라는 다른 조합을 얻게 됩니다. 이 두 가지 조합 각각에서 문자 t를 사용하여 동일한 작업을 수행하면 2를 더 얻습니다. 다양한 조합재능이라는 단어가 적힌 카드. 즉, 단어의 출현을 의미합니다. 재능 4가지 기본 결과가 유리합니다. 가능한 기본 결과의 총 수는 6개 요소의 순열 수와 같습니다: n = 6! = 720. 따라서 필요한 확률은

.

비고: 이 확률은 n = 6, n 1 = 1, n 2 = 1, n 3 = 2, n 4 = 2에 대해 다음을 고려하는 공식 (1.3.7)을 사용하여 찾을 수도 있습니다.

. 따라서 P = 1/180입니다.

실시예 9.편지는 5개의 동일한 카드에 기록됩니다: 2개의 카드에 엘, 나머지 3개에는 그리고. 이 카드는 무작위로 배치됩니다.
열. 이것이 다음 단어를 생성할 확률은 얼마입니까? 백합?

해결책.반복을 통해 이 다섯 글자의 순열 수를 찾아봅시다.
n = 5, n 1 = 2, n 2 = 3에 대해 공식 (1.3.7)을 사용하여 다음을 얻습니다.

이것은 실험에서 동일하게 가능한 결과의 총 개수입니다. 이 이벤트 A - "백합이라는 단어의 출현"이 선호됩니다. 공식 (1.2.1)에 따라 우리는 다음을 얻습니다.

실시예 10. 10개 부품 배치에서는 7개가 표준입니다. 확률 찾기
무작위로 추출된 6개 부품 중 4개가 표준이라는 사실입니다.

해결책.가능한 Ix 기본 검정 결과의 총 수는 10개에서 6개 부분을 추출할 수 있는 방법의 수, 즉 각각 6개 요소로 구성된 10개 요소의 조합 수()와 같습니다.

우리는 이벤트 A에 유리한 결과 수를 결정합니다 - "6개 부품 중에서 4개 부품이 표준입니다." 7개의 표준 부품 중 4개의 표준 부품은 다른 방식으로 사용할 수 있으며 나머지 6 - 4 = 2개의 부품은 비표준 부품이어야 합니다. 10 - 7 = 3개의 비표준 부품 중 2개의 비표준 부품을 가져오는 방법이 있습니다. 따라서 유리한 결과의 수는 와 같습니다.

필요한 확률은 모든 기본 결과 수에 대한 이벤트에 유리한 결과 수의 비율과 같습니다.

비고 마지막 공식은 공식(1.3.10)의 특별한 경우입니다: N= 10, M= 7, n = 6, m = 4.

실시예 11.여학생 10명 중 학생 25명 중 티켓 5장이 추첨됩니다. 티켓 소지자 중 여자가 2명일 확률을 구하세요.

해결책. 25명의 학생에게 5장의 티켓을 균등하게 분배하는 경우의 수는 5개의 25개 요소의 조합 수, 즉 동일합니다. 15명 중 남학생 3명으로 구성된 티켓을 받을 수 있는 그룹 수는 입니다. 각각의 세쌍둥이는 10명의 여학생으로 구성된 쌍과 결합될 수 있으며, 그러한 쌍의 수는 와 같습니다. 결과적으로, 25명의 학생 그룹으로 구성된 5명의 학생으로 구성된 그룹의 수는 각각 남학생 3명과 여학생 2명으로 구성됩니다. , 제품과 동일합니다. 이 상품은 그룹의 학생들에게 티켓 5장을 남학생에게 3장, 여학생에게 2장씩 배분한 우대 사례의 수와 같습니다. 공식 (1.2.1)에 따라 필요한 확률을 찾습니다.

비고 마지막 공식은 공식(1.3.10)의 특별한 경우입니다: N= 25, M= 15, n = 5, m = 3.

실시예 12. 상자에는 빨간색 공 15개, 파란색 공 9개, 녹색 공 6개가 들어 있습니다. 6개의 공이 무작위로 추첨됩니다. 녹색 공 1개, 파란색 2개, 빨간색 공 3개가 뽑힐 확률은 얼마입니까(사건 A)?

해결책.상자 안에는 공이 30개밖에 없습니다. 이 실험에서 동일하게 가능한 모든 기본 결과의 수는 입니다. 사건 A에 유리한 기본 결과의 수를 세어 보겠습니다. 15개 중 빨간색 공 3개를 방법으로 선택할 수 있고, 파란색 공 9개 중 2개를 방법으로 선택할 수 있으며, 녹색 공 6개 중 1개를 방법으로 선택할 수 있습니다.
유리한 결과의 수는 제품과 동일합니다.

필요한 확률은 공식 (1.3.10)에 의해 결정됩니다.

실시예 14. 주사위 10번 던졌다. 1, 2, 3, 4, 5, 6면이 각각 2, 3, 1, 1, 1, 2번 나타날 확률은 얼마입니까(사건 A)?

해결책.공식 (1.3.7)을 사용하여 이벤트 A에 유리한 결과 수를 계산합니다.
이 실험의 모든 기본 결과 수는 n = 6 10이므로

작업
1. 5개의 동일한 카드에 B, E, R, S, T라는 글자가 적혀 있으며, 이 카드들은 무작위로 일렬로 배치됩니다. BREST라는 단어가 나타날 확률은 얼마입니까?
2. 상자 안에 파란색 공 4개, 빨간색 공 5개가 있습니다. 상자에서 공 2개를 무작위로 꺼냅니다. 이 공들이 서로 다른 색깔일 확률을 구해보세요.
3. 팀에는 여자 4명, 남자 3명이 있습니다. 극장 티켓 4매를 여단원들에게 추첨하고 있습니다. 티켓 소지자 중 여성 2명과 남성 2명이 있을 확률은 얼마입니까?
4. 한 상자에 10개의 공이 있는데, 그 중 2개는 흰색, 3개는 빨간색, 5개는 파란색이며, 3개는 무작위로 뽑혀집니다. 3개의 공이 모두 다른 색일 확률을 구해 보세요.
5. 5개의 동일한 카드에 l, m, o, o, t라는 글자가 적혀 있는데, 카드를 한 장씩 꺼내면 나타나는 순서대로 hammer라는 단어가 나타날 확률은 얼마입니까?
6. 10개의 제품이 포함된 배치에서 3개에 결함이 있으며 3개의 제품이 무작위로 선택됩니다. 결과 표본 중 하나의 제품에 결함이 있을 확률을 구합니다.
7. 티켓 10장 중 2장이 당첨되었습니다. 무작위로 선택된 5장의 티켓 중 1장이 당첨될 확률은 얼마입니까?

답변
1. 1/120. 2. 5/9. 3. 18/35. 4 . 0,25. 5 . 1/60. 6 . 21/40. 7 . 5/9.

질문
1. 순열이란 무엇입니까?
2. n개의 서로 다른 요소의 순열 수를 계산하는 데 어떤 형식이 사용됩니까?
3. 게재위치를 무엇이라고 합니까?
4. n개의 서로 다른 요소를 m개의 요소로 배치한 수를 계산하는 데 사용되는 공식은 무엇입니까?
5. 조합을 무엇이라고 하나요?
6. m개 요소의 n개 요소의 조합 수를 계산하려면 어떤 공식을 사용합니까?
7. 순열, 배치 및 조합의 수와 관련된 평등은 무엇입니까?
8. 일부 요소가 반복되는 경우 n 요소의 순열 수를 계산하는 데 사용되는 공식은 무엇입니까?
9. n개 요소가 반복되어 m개 요소가 배치되는 횟수를 결정하는 공식은 무엇입니까?
10. m개 요소에 n개 요소가 반복되는 조합의 수를 결정하는 공식은 무엇입니까?

16. 편지는 다섯 장의 동일한 카드에 쓰여 있습니다. I, K, M, N, S. 카드를 섞어 무작위로 한 줄로 배치합니다. 효과가 있을 확률은 얼마나 되나요? 민스크?

답변: 1/120

17. 단어의 글자에서 축차,분할 알파벳을 사용하여 구성되었으며, 3개의 문자가 무작위로 순차적으로 선택되어 일렬로 배치됩니다. 그 말이 나올 확률은 얼마나 될까요? 큰 쇠시리?

답변: 1/15

18 . 같은 모양과 크기의 카드 6장에 단어의 글자가 적혀 있습니다. 재능- 각 카드에 한 글자씩. 카드가 완전히 혼합되어 있습니다. 그것들은 무작위로 꺼내어 차례대로 테이블 위에 놓입니다. 바닥을 다시 얻을 확률은 얼마입니까? 재능?

답변: 1/180

19. 검사관은 400개 제품의 품질을 검사한 결과 그 중 20개가 2등급에 속하고 나머지는 1등급에 속한다는 사실을 발견했습니다. 2등급 제품의 빈도를 찾아보세요.

답변: 0,05

20. 10개 부품 배치에서는 7개가 표준입니다. 무작위로 추출한 6개 부품 중 4개가 표준 부품일 확률을 구합니다.

답변: 0,5

21. 여학생 10명 중 학생 25명 중 티켓 5장이 추첨됩니다. 티켓 소지자 중 여자가 2명일 확률을 구하세요.

답변: 0,385

22. 상자에는 빨간색 공 15개, 파란색 공 9개, 녹색 공 6개가 들어 있습니다. 6개의 공이 무작위로 추첨됩니다. 녹색 공 1개, 파란색 2개, 빨간색 공 3개가 나올 확률은 얼마입니까?

답변: 0,17

23. 한 상자에 15개의 공이 있는데, 그 중 5개는 파란색이고 10개는 빨간색입니다. 6개의 공이 무작위로 선택됩니다. 뽑은 공 중에 파란색 공이 2개 있을 확률을 구하세요.

답변: 0,4196

24. 주사위는 10번 던져졌습니다. 이 경우 모서리 1,2,3,4,5,6이 각각 2,3,1,1,1,2번 나타날 확률은 얼마입니까?

답변: 0,002

25. 5장의 동일한 카드에 편지가 쓰여 있습니다. B, E, R, S, T.이 카드는 무작위로 한 줄로 배치됩니다. 그 말이 나올 확률은 얼마나 될까요? 브레스트?

답변: 1/120

26. 상자 안에 파란색 공 4개, 빨간색 공 5개가 있습니다. 상자에서 공 2개를 무작위로 꺼냅니다. 이 공들이 서로 다른 색깔일 확률을 구해보세요.

답변: 5/9

27. 여단에는 여자 4명, 남자 3명이 있다. 극장 티켓 4매를 여단원들에게 추첨하고 있습니다. 티켓 소지자 중 여성 2명과 남성 2명이 있을 확률은 얼마입니까?

답변: 18/35

28. 한 상자에 10개의 공이 있는데 그 중 2개는 흰색, 3개는 빨간색, 5개는 파란색입니다. 3개의 공이 무작위로 추첨됩니다. 3개의 공이 모두 다른 색일 확률을 구해 보세요.

답변: 0,25

29. 다섯 장의 동일한 카드에 편지가 쓰여 있습니다. 엘, 엠, 오, 오, 티.카드를 한 번에 하나씩 제거하면 나타난 순서대로 단어가 나올 확률은 얼마입니까? 망치?

답변: 1/60

30. 10개의 제품이 포함된 배치에서 3개에 결함이 있으며 3개의 제품이 무작위로 선택됩니다. 결과 표본 중 하나의 제품에 결함이 있을 확률을 구합니다.

답변: 21/40

31. 10장의 티켓 중 2장이 당첨되었습니다. 무작위로 뽑힌 5장의 티켓 중 1장이 당첨될 확률은 얼마입니까?

답변: 5/9

32. 무작위로 채취한 부품 500개 중 8개에 결함이 있었습니다. 결함이 있는 부품의 빈도를 찾아보세요.

답변: 0,016

33. 주사위는 60번 던져지고, 육 10번 등장. 발생 빈도는 얼마나 됩니까? 여섯?

답변: 1/6

34. 새로 태어난 1000명 중 남자아이는 515명이었습니다. 남아의 출생률은 얼마나 됩니까?

답변: 0,515

35. 목표물에 20발을 쏜 결과 15안타를 기록했다. 적중률은 얼마나 되나요?

답변: 0,75

36 . 목표물에 사격할 때 적중 빈도는 W=0.75입니다. 40발의 사격 횟수를 구해 보세요.

답변: 30

37. 정상적인 종자 발아 빈도 W=0.97. 뿌려진 씨앗에서

970개 발아했는데 몇개나 뿌렸나요?

답변: 1000

38. 1부터 20까지의 자연급수 부분에서 소수의 빈도를 찾아보세요.

작업 1.컷팅된 알파벳 카드 5장에 p, p, s, o, t라는 글자가 적혀 있으며, 섞인 카드를 한 장씩 무작위로 꺼내어 한 줄로 배열합니다. "스포츠"라는 단어를 읽을 확률은 얼마입니까?

해결책.필요한 사건 확률 ㅏ(“스포츠”라는 단어를 읽을 수 있음) 공식에 따라 결정됩니다. 여기서 가능한 결과의 총 수는 5개 요소의 순열 수입니다. 유리한 결과는 "스포츠"라는 단어에 해당합니다. 따라서, .

작업 2. 9장의 카드 중 번호가 매겨져 있음 다른 숫자, 무작위로 선택됩니다. 3. 해당 숫자를 순차적으로 기록하면 증가할 확률을 구합니다.

해결책. 세 자리 숫자– 9자리 요소의 순서가 지정된 세 쌍 – 9부터 3까지의 배치가 있습니다. . 유리한 결과의 수. 따라서 원하는 확률은 입니다.

작업 3.남학생 9명, 17명 중 7장의 복권이 추첨되며, 각 학생은 1장의 복권만 선택할 수 있습니다. 티켓 소지자 중에 여자가 4명일 확률은 얼마입니까?

해결책.이벤트를 표시하자 ㅏ– 티켓 소지자 7명 중 여자는 4명입니다. 17명 중에서 7명을 선택하는 균등한 방법의 수는 다음과 같습니다. .

유리한 결과의 수, 즉 여자 4명과 남자 3명이 결합된 7개의 표본 수는 제품 규칙에 따라 결정됩니다. 그러면 원하는 확률 .

작업 4.매장 섹션에는 자전거 10대가 접수되었으며 그 중 4대가 결함이 있었습니다. 무작위로 채취함 3. 채취한 것 중에서 다음이 있을 확률을 구하십시오. a) 모두 결함이 없습니다. b) 품질은 모두 동일합니다.

해결책.가) 이벤트 ㅏ– 결함이 없는 자전거 10대 중 무작위로 3대를 가져왔습니다. 가능한 결과의 수. 6가지 방법 중 결함이 없는 자전거 3대를 선택할 수 있습니다. 필수 확률 .

나) 이벤트 안에– 자전거 3대 모두 품질이 동일합니다. 3개는 사용할 수 있고 3개는 결함이 있습니다. 6개 중 좋은 3개를 다양한 방법으로 선택할 수 있고, 결함이 있는 3개를 4가지 방법 중 선택할 수 있습니다. 합법칙을 이용하여 동일한 품질의 자전거 3개를 선택하는 방법의 총 수는 입니다. 따라서, .

작업 5.가는 바늘(점)을 세그먼트에 던집니다. . 그녀가 해당 세그먼트에 도달할 확률은 얼마입니까?

해결책.조건에 따라 바늘은 지정된 세그먼트의 어느 지점에든 떨어질 수 있습니다. 이 경우 세그먼트의 모든 지점을 나열하는 것은 불가능합니다. 기하학적 정의를 사용하고 세그먼트의 길이를 측정값으로 선택해 보겠습니다. 우리가 관심을 갖는 이벤트는 바늘이 세그먼트의 어느 지점에 떨어지는 상황에서 선호됩니다. 그 다음에 .

선생님께 보고할 과제

1.1. k, a, p, e, t, a라는 글자가 6장의 카드에 적혀 있습니다. 완전히 섞인 후 무작위로 카드 1장을 가져와 순차적으로 나란히 놓습니다. "로켓"이라는 단어가 나올 확률은 얼마입니까?

1.2."통계"라는 단어는 분할 알파벳으로 구성됩니다. 그런 다음 이 단어의 모든 문자를 섞은 다음 다시 무작위 순서로 배치합니다. "통계"라는 단어가 다시 나타날 확률은 얼마입니까?

1.3."삼각형"이라는 단어는 분할 알파벳으로 만들어졌습니다. 글을 읽지 못하는 아이가 이 편지들을 흩어놓은 뒤 그 중 4개를 골라 무작위로 모아봤습니다. 그가 다음 단어를 가질 확률을 찾으십시오. a) "방향타"; b) "각도".

1.4.전화번호는 7자리로 구성됩니다. a) 모든 숫자가 다릅니다. b) 모든 숫자는 홀수입니다. c) 모든 숫자는 다르며 짝수입니까?

1.5.통신회선을 통해 알파벳 30자가 무작위 순서로 전송됩니다. "모드"라는 단어를 구성하는 일련의 문자가 테이프에 나타날 확률을 구하십시오.

1.6.가입자는 전화번호를 누르는 동안 마지막 두 자리를 잊어버렸고, 그 숫자가 다르다는 것만 기억하고 무작위로 이 번호를 눌렀습니다. 그럴 확률은 얼마인가? 원하는 번호?

1.7. 7층짜리 건물 1층 엘리베이터에 세 사람이 들어섰다. 그들 각각은 2층부터 어느 층으로든 나갈 가능성이 동일합니다. 다음 사건의 확률을 구하십시오. a) 모든 승객이 4층에서 내릴 것입니다. b) 모든 승객은 동시에(같은 층에서) 하차합니다. c) 모든 승객은 서로 다른 층에서 내립니다.

1.8.상자에는 동일한 번호의 큐브 4개가 들어 있습니다. 상자에서 모든 큐브를 무작위로 하나씩 꺼냅니다. 뽑은 큐브의 숫자가 오름차순으로 나타날 확률을 구하세요.

1.9.다섯 자리 숫자가 무작위로 선택됩니다. 다음 사건의 확률은 얼마입니까? a) 숫자는 왼쪽에서 오른쪽으로, 오른쪽에서 왼쪽으로 동일하게 읽혀집니다(예: 12321). b) 숫자가 5의 배수입니다. c) 숫자가 홀수로 구성되어 있습니다.

1.10.월요일에는 학원에서 3개의 강의가 예정되어 있습니다. 다양한 과목이 과정에서 공부한 10개 중 3개 과목의 일정이 동일하게 가능하다면 시간표를 숙지할 시간이 없는 학생이 추측할 확률은 얼마나 됩니까?

1.11.전체 도미노 세트(28개)에서 7개의 타일이 무작위로 선택됩니다. 그 중에 다음이 있을 확률은 얼마입니까? a) 적어도 하나의 주사위가 5점입니다. b) 적어도 하나의 주사위는 5점 또는 6점입니까?

1.12.러시아 알파벳의 처음 10글자 중에서 5글자로 구성된 새로운 알파벳이 무작위로 편집됩니다. 다음 사건의 확률을 결정하십시오. a) 새 알파벳에 문자 "a"가 포함됩니다. b) 새로운 알파벳에는 자음만 포함됩니다.

1.13.교직원 학생회 후보자 중에는 1학년 3명, 2학년 5명, 3학년 7명이 있다. 이 구성에서 무작위로 5명이 컨퍼런스에 선정됩니다. 다음 사건의 확률을 구하십시오. a) 3학년 학생만 선택됩니다. b) 모든 1학년 학생들이 컨퍼런스에 참석합니다. c) 2학년은 단 한 명도 선발되지 않습니다.

1.14. 52장의 카드 덱에서 4장의 카드가 무작위로 뽑힙니다. 다음 사건의 확률을 구하십시오. a) 클럽 슈트의 모든 카드가 선택되었습니다. b) 적어도 한 명의 왕이 선택됩니다.

1.15.두 척의 배가 같은 부두에 접근해야 합니다. 두 선박의 도착 시간은 독립적이며 특정 날짜 동안 동일하게 가능합니다. 첫 번째 선박의 체류 시간이 1시간이고 두 번째 선박의 체류 시간이 3시간인 경우 선박 중 하나가 정박이 가능해질 때까지 기다려야 할 확률을 구하십시오.

1.16. 12가지 옵션이 별도의 카드에 기록되어 있습니다. 테스트 작업, 같은 줄에 앉은 10명의 학생에게 무작위로 배포됩니다. 다음 사건의 확률을 구하십시오. a) 4번과 5번 옵션은 사용되지 않은 상태로 유지됩니다. b) 옵션 5와 10은 옆에 앉은 학생들에게 주어집니다. c) 일련의 옵션이 배포됩니다.

1.17.교과서를 사러 도서관에 무작위로 줄을 선 학생 10명 중에 친구가 2명 있습니다. 친구 사이에 대기열에 4명이 있을 확률은 얼마입니까?

1.18.에서 총 수도미노 중 타일 1개가 무작위로 제거되었습니다. 이것은 이중이 아닌 것으로 밝혀졌습니다. 두 번째로 뽑은 도미노 타일이 첫 번째 도미노에 놓일 확률은 얼마입니까?

1.19.집 입구에는 비밀번호가 있는 자물쇠가 있습니다. 사용 가능한 10자리 중 2자리를 연속으로 누르면 문이 자동으로 잠금 해제됩니다. 누군가 입구에 들어와서 비밀번호를 모르고 다양한 조합을 시도하기 시작했으며 시도할 때마다 10초가 소요됩니다. 들어가는 사람이 문을 열 수 있는 확률은 얼마입니까? a) 10분 안에; b) 15분 후; c) 1시간 안에?

1.20. 7자리 전화번호는 전화번호부에서 무작위로 선택됩니다. 다음과 같은 확률을 구하세요. a) 4 마지막 숫자 전화 번호동일합니다. b) 마지막 네 자리 숫자가 모두 다릅니다.

1.21.상자에는 15개의 부품이 들어 있으며 그 중 9개는 도색되어 있습니다. 어셈블러는 무작위로 3개의 부품을 선택합니다. 추출된 부분이 색칠될 확률을 구합니다.

1.22.남학생 8명과 여학생 8명으로 구성된 그룹을 무작위로 2개의 동일한 부분으로 나눕니다. 각 부분에 남학생과 여학생의 수가 동일할 확률을 구합니다.

1.23.던진 두 개 주사위. 추첨된 포인트의 합이 8이 되고 그 차이가 4가 될 확률을 구하세요.

1.24. 5장의 카드에는 숫자 1, 2, 3, 4, 5가 적혀 있으며, 그 중 2장이 차례로 그려집니다. 두 번째 카드의 숫자가 첫 번째 카드의 숫자보다 클 확률을 구하세요.

1.25.시험 프로그램에는 20 다양한 문제, 그 중 학생은 10개만 알고 있습니다. 성공적인 완료시험의 경우 제안된 질문 3개 중 2개에 답하면 충분합니다. 시험에 합격할 확률은 얼마나 됩니까?

1.26.학생은 프로그램의 25개 질문 중 20개를 알고 있습니다. 학생이 티켓에 있는 질문 4개 중 최소 3개에 답하면 시험에 합격한 것으로 간주됩니다. 티켓의 첫 번째 질문을 보고 학생은 자신이 그것을 알고 있음을 발견했습니다. 학생이 a) 시험에 합격할 확률은 얼마입니까? b) 시험을 통과하지 못할 것인가?

1.27.복권에는 100장의 티켓이 있습니다. 그 중 25명이 우승을 차지했습니다. 구매한 티켓 2장이 당첨될 확률을 구하세요.

1.28.계산기 레지스터에는 8자리 숫자가 포함되어 있습니다. 레지스터에 나타나는 숫자가 무작위라고 가정하고 다음 사건이 발생할 확률을 결정하십시오. a) 모든 숫자에는 0이 포함됩니다. b) 모든 숫자는 동일한 숫자를 포함합니다. c) 레지스터에 동일한 숫자가 2개만 포함되어 있습니다. d) 레지스터에는 2쌍만 포함됩니다. 동일한 숫자; e) 레지스터에 동일한 숫자 3개가 포함되어 있습니다.

1.29.사과 7개, 오렌지 3개, 레몬 5개 중에서 무작위로 과일 5개가 한 봉지에 들어있습니다. 다음 사건의 확률을 구하십시오. a) 가방에 오렌지가 1개만 있습니다. b) 패키지에 오렌지가 포함되어 있지 않습니다. c) 패키지에 레몬이 포함되어 있지 않습니다. d) 패키지에 사과가 포함되어 있지 않습니다.

그리고 1.30. 6개의 구독 출판물은 12명의 참가자 중에서 추첨으로 추첨되며, 각 참가자는 1개 이상의 구독을 받을 수 없습니다. 목록에서 다음 사람들이 구독을 받을 확률을 구하십시오. a) 처음 6명; b) 처음 3명; c) 1인칭; d) 1인칭과 3인칭.

1.31. 3개의 주사위가 무작위로 던져집니다. 다음 사건의 확률을 계산하십시오. a) 3개의 주사위는 서로 다른 면을 갖습니다. b) 적어도 하나의 주사위가 6을 굴립니다.

1.32.상자에는 빨간색 연필 12개, 녹색 연필 8개, 파란색 연필 10개가 들어 있습니다. 연필 2개가 반환되지 않고 무작위로 제거됩니다. 다음이 꺼내지지 않을 확률을 구하십시오. a) 파란색 연필; b) 녹색 연필; c) 빨간색 연필.

1.33.학생은 20개의 질문 중 14개의 질문을 알고 있습니다. 티켓에는 3개의 질문이 있습니다. 학생이 그 중 적어도 하나에 답할 확률을 구하십시오.

1.34.원 안에 정사각형이 새겨져 있습니다. 원 안에 무작위로 던진 점이 정사각형 안에 들어갈 확률을 구하십시오.

1.35.~에 체스판흑백 루크는 무작위로 배치됩니다. 서로 부딪힐 수 없는 확률은 얼마입니까?

1.36.전화번호를 누를 때 가입자는 마지막 두 자리를 잊어버리고 이 숫자가 홀수이고 다르다는 것만 기억하고 무작위로 전화를 걸었습니다. 해당 번호가 올바르게 눌러졌을 확률을 구해 보세요.

1.37.편지는 카드에 별도로 기록됩니다. ㅏ– 3시까지;
이자형– 1일; 그리고– 1일; 에게– 1일; 중- 2에; 티– 카드 2장.
아이는 카드를 무작위로 가져와서 나란히 놓습니다. 결과가 "라는 단어가 될 확률을 구하십시오. 수학».

1.38.키가 서로 다른 10명의 신병이 무작위로 편대에 배정됩니다. 키순으로 순위가 매겨질 확률은 얼마입니까?

1.39.수리를 위해 받은 시계 중 40%는 메커니즘의 일반적인 청소가 필요합니다. 무작위로 가져온 시계 5개 중 모두 청소가 필요할 확률은 얼마입니까?

1.40. 20개의 저축은행 중 10개가 시 외곽에 위치해 있다. 감사를 위해 5개의 저축은행이 무작위로 선정되었습니다. 그들 중 적어도 2명이 도시 내에 있을 확률은 얼마입니까?

1.1에서.메커니즘에는 세 개의 동일한 부품이 포함되어 있습니다. 조립 중에 그림에 표시된 것보다 큰 크기의 세 부분이 모두 공급되면 메커니즘의 작동이 중단됩니다. 어셈블러는 나머지 12개 부품 중 5개 부품으로 구성됩니다. 더 큰 크기. 확률을 찾으십시오. a) 정상; b) 조립자가 부품을 무작위로 가져간 경우 이러한 부품으로 조립된 첫 번째 메커니즘의 비정상 작동.

1.2에서.메커니즘에는 세 개의 동일한 부품이 포함되어 있습니다. 조립하는 동안 세 개의 부품, 큰 부품 또는 그림에 표시된 크기보다 작은 세 개의 부품이 모두 공급되면 메커니즘의 작동이 중단됩니다. 어셈블러에는 15개의 부품이 남아 있는데 그 중 10개는 크기가 더 크고 나머지는 필요한 것보다 작습니다. 조립자가 부품을 무작위로 가져갈 경우 이러한 부품으로 조립된 첫 번째 메커니즘이 비정상적으로 작동할 확률을 구하십시오.

1.3에서.제품 배치가 접수되면 제품의 절반이 확인됩니다. 합격 조건은 샘플에 결함이 2% 이하로 존재하는 것입니다. 5%의 결함을 포함하는 100개의 제품 배치가 합격될 확률을 계산하십시오.

1.4에서.단어 " 완전한"는 분할 알파벳의 문자로 구성됩니다. 카드 4장을 무작위로 뽑아서 나오는 순서대로 차례대로 배치합니다. 이것이 "라는 단어로 이어질 확률은 얼마입니까? 게임»?

1.5에서.ㅏ», « G», « 그리고», « 엘», « 중», « 에 대한», « 아르 자형», « 티", "라는 단어 연산»?

1.6에서."라는 문자가 있는 큐브를 무작위로 배열할 때 확률은 얼마입니까? 에 대한», « 에 대한», « 에 대한», « 엘», « 중», « 티», « 에게", "라는 단어 망치»?

1.7에서. 5종의 엽서 중 무작위로 3장이 선택됩니다. 세 장의 카드가 모두 다를 확률은 얼마입니까?

1.8에서. 5개의 동일한 공에 숫자가 적혀 있습니다. 1 , 2 , 3 , 4 , 5 - 한 명당 하나씩. 공을 항아리에 넣고 섞습니다. 공 3개를 무작위로 뽑았을 때(돌아오지 않고) 홀수 공 3개를 모두 얻을 확률은 얼마입니까?

1.9에서.이 그룹에는 12명의 학생이 있으며 그 중 남학생은 10명, 여학생은 2명입니다. 청소 대상자는 5명입니다. 두 소녀가 모두 청소 행사에 참여할 확률은 얼마입니까?

예시 1. 6개의 동일한 카드에는 "talent"라는 단어가 적혀 있습니다. 카드는 무작위로 차례로 꺼집니다. "talent"라는 단어가 다시 나올 확률은 얼마입니까?

해결책.문자로 카드에 정신적으로 번호를 매기자. 문자 "T"를 재배열해도 "talent"라는 단어는 변경되지 않습니다(두 가지 조합이 나타납니다). 이 두 가지 조합 각각에서 문자 "a"를 사용하여 동일한 작업을 수행하면 결과는 4가지 다른 조합이 됩니다. 따라서 “재능”이라는 단어의 출현은 4가지 기본 결과에 의해 선호됩니다.

동일하게 가능한 기본 결과의 총 수는 6개 요소의 순열 수와 같습니다. 그런 다음 이벤트 A의 확률에 대한 고전적인 결정 공식에 따라(이 경우 "재능"이라는 단어를 수신하는 것으로 구성됨)

, 어디
- 이 이벤트에 유리한 결과의 수, - 완전한 그룹을 형성하는 동등하게 호환되지 않는 모든 기본 결과의 수,

.

참고 1.반복이 포함된 순열 수에 대한 공식을 사용하여 원하는 확률을 찾을 수 있습니다.

어디 - 첫 번째 유형의 요소, - 두 번째 유형의 요소, ..., - 요소 -번째 유형, 즉 .

그 다음에
=>
.

노트 2.확률 곱셈 정리를 사용하여 동일한 확률을 찾을 수 있습니다.

.

예시 2.(De Mere 문제).

적어도 한 번 2개의 6이 나올 확률이 1/2보다 크려면 두 개의 주사위를 몇 번 굴려야 합니까?

해결책.이벤트를 하자 - 6이 2개 나타날 때 나 - 던지기. 이 사건의 확률

,

반대 사건의 확률은 어디에서 오는가?

.

주사위를 던지는 것은 독립적인 테스트이므로 적어도 한 번 2개의 6이 나올 확률은 다음 공식에 의해 결정됩니다.

,

이 경우에는 다음과 같은 형식을 취합니다.

또는
.

로그를 취하면 다음을 얻습니다.

,

.

따라서 두 개의 6이 나올 확률이 더 커지려면 주사위를 최소한 25번 굴려야 합니다.

예시 3. 10개 부품 배치에서는 7개가 표준입니다. 무작위로 추출한 6개 부품 중 4개가 표준 부품일 확률을 구합니다.

해결책.가능한 기본 테스트 결과의 총 수는 10개에서 6개 부분을 추출할 수 있는 방법의 수와 같습니다. 각각 6개 요소로 구성된 10개 요소의 조합 수
.

이벤트에 유리한 결과 수 결정 - “촬영된 6개 부품 중 4개 부품이 표준입니다.” 7개의 표준 부품 중 4개의 표준 부품을 선택할 수 있습니다. 나머지 6-4=2 부분은 비표준이어야 합니다. 10-7에서 비표준 부품 2개 = 비표준 부품 3개를 선택할 수 있습니다. 방법. 따라서 유리한 결과의 수는 다음과 같습니다.
.

필요한 확률은 모든 기본 결과 수에 대한 이벤트에 유리한 결과 수의 비율과 같습니다.

.

예시 4. 30개의 동일한 토큰에는 1부터 30까지의 정수 30개가 들어 있습니다. 토큰을 가방에 넣고 완전히 섞습니다. 2와 3의 배수인 숫자가 포함된 토큰을 뽑을 확률은 얼마입니까?

해결책.이벤트를 표시해 보겠습니다. - "짝수의 토큰이 제거되었습니다", - "3으로 나눌 수 있는 숫자의 토큰이 제거되었습니다"
- “3으로 나누어지는 짝수의 토큰이 뽑혔습니다.” 사건의 확률을 구해보자
. 왜냐하면 그리고 - 공동 행사, 그 다음

(이벤트 15가지 기본 결과, 이벤트 선호 - 10개의 결과, 이벤트
- 5개 결과).

실시예 5.포인트 간 전기 회로
그리고
그림에 표시된 다이어그램이 있습니다.

회로의 다양한 요소는 서로 독립적으로 작동합니다. 시간이 지남에 따라 요소가 무장애로 작동할 확률 표에 나와 있습니다.

시간이 지남에 따라 시스템이 고장 없이 작동할 확률을 결정합니다. .

해결책.구성
전기 회로에 전류가 흐르다(이벤트 ) 다음 세 가지 사건이 복합적으로 발생한 경우 - 요소 1이 작동합니다. - 요소 4 작품 및 - 두 요소 2와 3 중 적어도 하나가 작동합니다.
.

이벤트 이후 ,그리고 독립한 다음

찾다
사건의 확률을 계산하다 - 요소 2와 3이 고장났다는 사실로 구성됩니다. 왜냐하면
그리고 이벤트 그리고 독립한 다음

따라서, .

실시예 6.창고에는 두 개의 공장에서 제조된 부품이 보관되어 있습니다. 제1공장 생산량은 제2공장 생산량의 4배에 달하는 것으로 알려졌다. 첫 번째 공장의 결함 확률
, 두 번째 공장에서 -
. 무작위로 채취한 부품이 불량으로 판명되었습니다. 이 부품이 첫 번째 공장에서 제조되었을 확률은 얼마입니까?

해결책.다음으로 나타내자 가져온 부품이 첫 번째 공장에서 제조된 경우,
- 두 번째 공장에서

,
.

허락하다 - 운 좋게도 부품에 결함이 있는 것으로 판명된 사건.

조건별
,
.

베이즈의 공식에 따르면

,

어디
- 총 확률 공식 ,
,…,
- 쌍별로 호환되지 않는 사건(가설),

.

작업

1. 분할 알파벳을 사용하여 구성된 "rotor"라는 단어의 글자 중 세 글자를 무작위로 순차적으로 추출하여 일렬로 배치합니다. "tor"라는 단어가 나타날 확률을 구하세요.

2. "연구소"라는 단어는 분할 알파벳 문자로 만들어졌습니다. 그런 다음 문자 카드를 섞은 다음 무작위 순서로 다시 조립합니다. "institute"라는 단어가 다시 나타날 확률을 구하십시오.

3 . 카드 덱(36개)에서 세 장의 카드를 무작위로 뽑습니다. 그들 중에 다음이 있을 확률을 찾으십시오. a) 하나의 에이스; c) 적어도 하나의 에이스.

4. 카드 덱에서 두 장의 카드를 순차적으로 뽑습니다.

a) 두 번째 카드가 에이스가 될 무조건적인 확률; c) 첫 번째 카드도 에이스라면 두 번째 카드도 에이스가 될 조건부 확률.

5. 안에 기술 시스템신뢰도가 가장 낮은 노드가 복제됩니다.

각 노드의 신뢰성(무고장 작동 확률)이 다이어그램에 나와 있습니다.

정의하다

신뢰할 수 있음

6. 첫 번째 선수의 목표물 명중 확률은 0.85이고 두 번째 선수의 경우 0.8입니다. 선수들은 각자 독립적으로 한 발씩 사격했다. 적어도 한 명의 운동선수가 목표물을 맞출 확률을 구하십시오.

7. 이 회사는 3개의 생산 라인에서 제품을 생산합니다. 첫 번째 라인은 제품의 30%를 생산하고, 두 번째 라인은 25%, 세 번째 라인은 나머지 제품을 생산합니다. 각 라인은 97%, 98%, 96%의 적합성 비율을 특징으로 합니다. 무작위로 가져온 제품이 불량으로 확인되었습니다. 이 제품이 첫 번째 라인에서 제조되었을 확률을 구하십시오.