최대값 함수와 최소값 함수는 예시입니다. 간격에서 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾는 방법

실제로 함수의 최대값과 최소값을 계산하기 위해 도함수를 사용하는 것이 일반적입니다. 비용을 최소화하고, 이익을 늘리고, 생산에 대한 최적 부하를 계산하는 방법, 즉 매개변수의 최적 값을 결정해야 하는 경우에 이 작업을 수행합니다. 이러한 문제를 올바르게 해결하려면 함수의 최대값과 최소값이 무엇인지 잘 이해해야 합니다.

Yandex.RTB R-A-339285-1

일반적으로 우리는 특정 간격 x 내에서 이러한 값을 정의하며, 이는 함수의 전체 영역 또는 그 일부에 해당할 수 있습니다. 세그먼트 [a; b ] 및 개방 구간(a ; b), (a ; b ], [ a ; b), 무한 구간(a ; b), (a ; b ], [ a ; b) 또는 무한 구간 - ; a , (- ; a ] , [ a ; + ) , (- 0 ; + 0) .

이 자료에서는 하나의 변수 y=f(x) y = f (x) 를 사용하여 명시적으로 정의된 함수의 최대값과 최소값을 계산하는 방법을 설명합니다.

기본 정의

언제나처럼 기본 정의의 공식화부터 시작하겠습니다.

정의 1

특정 간격 x에서 함수 y = f (x)의 가장 큰 값은 값 m a x y = f (x 0) x ∈ X이며, 이는 임의의 값 x x ∈ X, x ≠ x 0에 대해 부등식 f (x)를 만듭니다. ≤ f(x) 유효 0) .

정의 2

특정 간격 x에서 함수 y = f (x)의 가장 작은 값은 값 m i n x ∈ X y = f (x 0)이며, 이는 모든 값 x ∈ X, x ≠ x 0에 대해 부등식 f(X f (x) ≥ f (x 0) .

이러한 정의는 매우 분명합니다. 더 간단하게 말하면 다음과 같이 말할 수 있습니다. 함수의 가장 큰 값은 가로축 x 0에서 알려진 간격의 가장 큰 값이고, 가장 작은 값은 x 0에서 동일한 간격에서 허용되는 가장 작은 값입니다.

정의 3

고정점은 도함수가 0이 되는 함수의 인수 값입니다.

고정점이 무엇인지 알아야 하는 이유는 무엇입니까? 이 질문에 답하려면 페르마의 정리를 기억해야 합니다. 고정점은 미분 가능한 함수의 극값(즉, 국소 최소값 또는 최대값)이 위치하는 지점입니다. 결과적으로, 함수는 정지 지점 중 하나에서 정확하게 특정 간격으로 가장 작거나 가장 큰 값을 취합니다.

함수는 함수 자체가 정의되고 1차 도함수가 존재하지 않는 지점에서 가장 큰 값이나 가장 작은 값을 가질 수도 있습니다.

이 주제를 연구할 때 발생하는 첫 번째 질문은 모든 경우에 주어진 간격에서 함수의 가장 큰 값 또는 가장 작은 값을 결정할 수 있습니까? 아니요, 주어진 간격의 경계가 정의 영역의 경계와 일치하거나 무한 간격을 다루는 경우에는 이 작업을 수행할 수 없습니다. 또한 주어진 세그먼트 또는 무한대의 함수가 무한히 작거나 무한히 큰 값을 취하는 경우도 있습니다. 이러한 경우에는 최대값 및/또는 최소값을 결정하는 것이 불가능합니다.

이러한 점은 그래프에 표시된 후에 더욱 명확해집니다.

첫 번째 그림은 세그먼트 [ - 6 ; 6].

두 번째 그래프에 표시된 사례를 자세히 살펴보겠습니다. 세그먼트의 값을 [ 1 ; 6 ] 그리고 함수의 최대값은 간격의 오른쪽 경계에 가로좌표가 있는 지점에서 달성되고 최소값은 고정 지점에서 달성된다는 것을 알 수 있습니다.

세 번째 그림에서 점의 가로 좌표는 세그먼트의 경계점을 나타냅니다. [ - 3 ; 2]. 이는 주어진 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값에 해당합니다.

이제 네 번째 사진을 살펴보겠습니다. 이 함수에서는 열린 구간(-6, 6)의 고정 지점에서 m a x y(가장 큰 값)와 m i n y(가장 작은 값)를 사용합니다.

간격을 취하면 [ 1 ; 6) 그러면 함수의 가장 작은 값이 정지 지점에서 달성될 것이라고 말할 수 있습니다. 가장 큰 가치는 우리에게 알려지지 않을 것입니다. x = 6이 구간에 속하는 경우 함수는 x에서 6과 같은 최대값을 취할 수 있습니다. 이것이 바로 그래프 5에 표시된 경우입니다.

그래프 6에서 이 함수는 구간(-3; 2 ]의 오른쪽 경계에서 가장 작은 값을 획득하며 가장 큰 값에 대해 명확한 결론을 내릴 수 없습니다.

그림 7에서 우리는 함수가 가로좌표가 1인 고정점에서 m a x y를 갖는다는 것을 알 수 있습니다. 함수는 오른쪽 간격의 경계에서 최소값에 도달합니다. 마이너스 무한대에서 함수 값은 점근적으로 y = 3에 가까워집니다.

x ∈ 2 간격을 취하면; + , 그러면 주어진 함수가 가장 작은 값도 가장 큰 값도 취하지 않는다는 것을 알 수 있습니다. x가 2인 경향이 있으면 직선 x = 2가 수직 점근선이므로 함수 값은 마이너스 무한대인 경향이 있습니다. 가로좌표가 플러스 무한대 경향이 있으면 함수 값은 점근적으로 y = 3에 접근합니다. 이것이 바로 그림 8에 표시된 경우입니다.

이 단락에서는 특정 세그먼트에서 함수의 최대값 또는 최소값을 찾기 위해 수행해야 하는 일련의 작업을 제시합니다.

1. 먼저 함수 정의 영역을 찾아보겠습니다. 조건에 지정한 세그먼트가 포함되어 있는지 확인해 보겠습니다.
2. 이제 이 세그먼트에 포함된 1차 도함수가 존재하지 않는 점을 계산해 보겠습니다. 대부분의 경우 인수가 모듈러스 기호 아래에 작성된 함수 또는 지수가 분수 유리수인 거듭제곱 함수에서 찾을 수 있습니다.
3. 다음으로, 주어진 세그먼트에 어떤 고정점이 포함될지 알아 보겠습니다. 이렇게 하려면 함수의 도함수를 계산한 다음 이를 0과 동일시하고 결과 방정식을 푼 다음 적절한 근을 선택해야 합니다. 단일 고정 지점을 얻지 못하거나 주어진 세그먼트에 속하지 않으면 다음 단계로 넘어갑니다.
4. 주어진 고정점(있는 경우) 또는 1차 도함수가 존재하지 않는 지점(있는 경우)에서 함수가 어떤 값을 취하는지 결정하거나 x = a에 대한 값을 계산합니다. x = 비.
5. 5. 우리는 이제 가장 큰 것과 가장 작은 것을 선택해야 하는 다수의 함수 값을 가지고 있습니다. 이것은 우리가 찾아야 할 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값이 될 것입니다.

문제를 해결할 때 이 알고리즘을 올바르게 적용하는 방법을 살펴보겠습니다.

실시예 1

상태:함수 y = x 3 + 4 x 2가 제공됩니다. 세그먼트에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 결정합니다. [ 1 ; 4 ] 및 [ - 4 ; - 1 ] .

해결책:

주어진 함수의 정의 영역을 찾는 것부터 시작해 보겠습니다. 이 경우 0을 제외한 모든 실수의 집합이 됩니다. 즉, D(y) : x ∈ (- ; 0) ∪ 0 ; + . 조건에 지정된 두 세그먼트는 모두 정의 영역 내에 있습니다.

이제 분수 미분 규칙에 따라 함수의 미분을 계산합니다.

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

우리는 함수의 미분이 세그먼트 [1; 4 ] 및 [ - 4 ; - 1 ] .

이제 함수의 고정점을 결정해야 합니다. 방정식 x 3 - 8 x 3 = 0을 사용하여 이를 수행해 보겠습니다. 이는 단 하나의 실제 근(2)을 갖습니다. 이는 함수의 고정점이 되며 첫 번째 세그먼트 [1; 4 ] .

첫 번째 세그먼트의 끝과 이 시점에서 함수 값을 계산해 보겠습니다. x = 1, x = 2 및 x = 4인 경우:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

우리는 함수 m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3은 x = 1에서 달성되며 가장 작은 m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – x = 2에서.

두 번째 세그먼트에는 단일 고정점이 포함되지 않으므로 주어진 세그먼트의 끝에서만 함수 값을 계산해야 합니다.

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

이는 m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

답변:세그먼트의 경우 [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , 세그먼트 [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

사진 참조:

이 방법을 공부하기 전에 단측 극한과 무한대 극한을 올바르게 계산하는 방법을 검토하고 이를 찾는 기본 방법을 배우는 것이 좋습니다. 개방 구간 또는 무한 구간에서 함수의 최대 및/또는 최소 값을 찾으려면 다음 단계를 순차적으로 수행하십시오.

1. 먼저, 주어진 간격이 주어진 함수 도메인의 하위 집합인지 확인해야 합니다.
2. 필요한 구간에 포함되고 1차 도함수가 존재하지 않는 모든 점을 결정해 보겠습니다. 이는 일반적으로 인수가 모듈러스 기호로 묶인 함수와 분수 유리수 지수가 있는 거듭제곱 함수에 대해 발생합니다. 이러한 사항이 누락된 경우 다음 단계로 진행할 수 있습니다.
3. 이제 주어진 간격 내에 어떤 고정점이 포함될지 결정해 보겠습니다. 먼저 도함수를 0과 동일시하고 방정식을 풀고 적절한 근을 선택합니다. 단일 고정점이 없거나 지정된 간격 내에 속하지 않으면 즉시 추가 작업을 진행합니다. 간격 유형에 따라 결정됩니다.

• 간격이 [ a ; b) 그런 다음 점 x = a 및 단측 극한 lim x → b - 0 f (x)에서 함수 값을 계산해야 합니다.
• 구간의 형식이 (a; b ]인 경우 x = b 점과 단측 극한 lim x → a + 0 f (x)에서 함수 값을 계산해야 합니다.
• 구간의 형식이 (a; b)인 경우 단측 한계 lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x)를 계산해야 합니다.
• 간격이 [ a ; + ), 그런 다음 x = a 지점의 값과 플러스 무한대 lim x → + f (x)의 극한을 계산해야 합니다.
• 간격이 (- ; b ] 처럼 보이면 x = b 지점의 값과 음의 무한대 lim x → - f (x) 의 극한을 계산합니다.
• 만약 - ; b, 그런 다음 단측 극한 lim x → b - 0 f (x)와 음의 무한대에서의 극한 lim x → - f (x)를 고려합니다.
• 만약 - ; + , 마이너스 및 플러스 무한대의 극한을 고려합니다. lim x → + f (x) , lim x → - f (x).

1. 마지막에는 얻은 함수값과 한계를 바탕으로 결론을 도출해야 합니다. 여기에는 다양한 옵션이 있습니다. 따라서 단측 극한이 마이너스 무한대 또는 플러스 무한대와 같으면 함수의 가장 작은 값과 가장 큰 값에 대해 아무 것도 말할 수 없다는 것이 즉시 분명해집니다. 아래에서는 대표적인 예를 하나 살펴보겠습니다. 자세한 설명은 무엇이 무엇인지 이해하는 데 도움이 됩니다. 필요한 경우 자료의 첫 번째 부분에 있는 그림 4 - 8로 돌아갈 수 있습니다.

실시예 2

조건: 주어진 함수 y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . 간격 - 에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 계산합니다. - 4, - 무한; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + , [ 4 ; + ) .

해결책

먼저, 함수 정의 영역을 찾습니다. 분수의 분모에는 0이 되어서는 안 되는 이차 삼항식이 포함되어 있습니다.

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ ( 2 ; + )

조건에 명시된 모든 구간이 속하는 함수의 정의 영역을 얻었습니다.

이제 함수를 차별화하여 다음을 얻습니다.

y" = 3e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​​​x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

결과적으로, 함수의 도함수는 전체 정의 영역에 걸쳐 존재합니다.

고정 지점을 찾는 것으로 넘어 갑시다. 함수의 도함수는 x = - 1 2 에서 0이 됩니다. 이는 (- 3 ; 1 ] 및 (- 3 ; 2) 구간에 있는 고정점입니다.

간격 (- ; - 4 ]에 대해 x = - 4에서의 함수 값과 음의 무한대의 한계를 계산해 보겠습니다.

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≒ - 0 . 456 lim x → - 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

3 e 1 6 - 4 > - 1이기 때문에 이는 m a x y x ∈ (- ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4임을 의미합니다. 이는 우리가 다음의 가장 작은 값을 고유하게 결정하는 것을 허용하지 않습니다. 함수가 음의 무한대에서 점근적으로 접근하는 값이 바로 이 값이기 때문에 우리는 -1 아래에 제약 조건이 있다는 결론만 내릴 수 있습니다.

두 번째 간격의 특징은 고정점이 하나도 없고 엄격한 경계도 하나도 없다는 것입니다. 결과적으로 함수의 가장 큰 값이나 가장 작은 값을 계산할 수 없습니다. 마이너스 무한대에서 극한을 정의하고 인수가 왼쪽에서 -3이 되는 경향이 있으므로 값의 간격만 얻습니다.

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + - 4 = + lim x → - 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3e 0 - 4 = - 1

이는 함수 값이 간격 - 1에 위치함을 의미합니다. + Infini

세 번째 간격에서 함수의 가장 큰 값을 찾기 위해 x = 1인 경우 고정점 x = - 1 2 에서 해당 값을 결정합니다. 또한 인수가 오른쪽에 - 3이 되는 경우의 단측 극한도 알아야 합니다.

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≒ - 1 . 444 y (1) = 3e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≒ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - - 4 = 3 0 - 4 = - 4

이 함수는 고정점 m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4에서 가장 큰 값을 취하는 것으로 나타났습니다. 가장 작은 값은 결정할 수 없습니다. 우리가 아는 모든 것 , -4까지의 하한이 존재합니다.

구간(- 3 ; 2)에 대해 이전 계산 결과를 가져와 왼쪽에서 2로 기울일 때 단측 극한이 무엇인지 다시 한 번 계산합니다.

y - 1 2 = 3e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3e - 4 25 - 4 ≒ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

이는 m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4이며 가장 작은 값을 결정할 수 없으며 함수 값은 아래에서 숫자 - 4로 제한됩니다. .

이전 두 계산에서 얻은 결과를 바탕으로 간격 [ 1 ; 2) 함수는 x = 1에서 가장 큰 값을 취하지만 가장 작은 값을 찾는 것은 불가능합니다.

간격 (2 ; + )에서 함수는 가장 큰 값이나 가장 작은 값에 도달하지 않습니다. 즉, 간격 - 1 에서 값을 가져옵니다. + .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3e 1 (+ 0) - 4 = 3e + - 4 = + limit lim x → + 3e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3e 0 - 4 = - 1

x = 4에서 함수의 값이 어떻게 되는지를 계산한 후 m a x y x ∈ [ 4 ; + ) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 이고, 플러스 무한대에서 주어진 함수는 직선 y = - 1 에 점근적으로 접근합니다.

각 계산에서 얻은 결과를 주어진 함수의 그래프와 비교해 보겠습니다. 그림에서 점근선은 점선으로 표시됩니다.

이것이 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾는 것에 대해 우리가 말하고 싶은 전부입니다. 우리가 제공한 일련의 작업은 필요한 계산을 가능한 한 빠르고 간단하게 수행하는 데 도움이 됩니다. 그러나 먼저 함수가 감소하는 간격과 증가하는 간격을 알아낸 후 추가 결론을 도출하는 것이 유용한 경우가 많습니다. 이렇게 하면 함수의 최대값과 최소값을 보다 정확하게 결정하고 얻은 결과를 정당화할 수 있습니다.

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그래프를 사용하여 함수를 검사하는 방법을 살펴보겠습니다. 그래프를 보면 다음과 같이 관심 있는 모든 것을 찾을 수 있습니다.

• 함수의 영역
• 기능 범위
• 함수 0
• 증가와 감소의 간격
• 최대 및 최소 포인트
• 세그먼트에 있는 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값입니다.

용어를 명확히합시다.

횡좌표점의 수평 좌표입니다.
세로좌표- 수직 좌표.
가로축- 가로 축, 가장 흔히 축이라고 합니다.
Y축- 수직 축 또는 축.

논쟁- 함수 값이 의존하는 독립 변수. 가장 자주 표시됩니다.
즉, 우리는 를 선택하고 공식에 함수를 대체하여 을 얻습니다.

도메인함수 - 함수가 존재하는 인수 값의 집합입니다.
다음으로 표시: 또는 .

우리 그림에서 함수 정의 영역은 세그먼트입니다. 이 세그먼트에 함수 그래프가 그려집니다. 이 기능이 존재하는 유일한 곳입니다.

기능 범위변수가 취하는 값의 집합입니다. 우리 그림에서 이것은 가장 낮은 값에서 가장 높은 값까지의 세그먼트입니다.

기능 0- 함수의 값이 0인 지점, 즉. 우리 그림에서 이들은 점과 입니다.

함수 값은 양수입니다.어디 . 우리 그림에서 이것은 간격과 입니다.
함수 값이 음수입니다.어디 . 우리에게 이것은 에서 까지의 간격(또는 간격)입니다.

가장 중요한 개념 - 증가 및 감소 기능어떤 세트에서. 세트로 세그먼트, 구간, 구간의 합집합 또는 전체 수직선을 사용할 수 있습니다.

기능 증가하다

즉, 많을수록, 즉 그래프가 오른쪽 위로 올라가게 됩니다.

기능 감소하다집합에서 집합에 속하고 집합에 속하는 경우 불평등은 불평등을 의미합니다.

감소 함수의 경우 값이 클수록 값이 작아집니다. 그래프가 오른쪽과 아래로 이동합니다.

그림에서 함수는 구간에 따라 증가하고 구간 및 에 따라 감소합니다.

그것이 무엇인지 정의해보자 함수의 최대 및 최소 포인트.

최대 포인트- 이것은 정의 영역의 내부 지점으로, 그 안의 함수 값은 그에 충분히 가까운 모든 지점보다 큽니다.
즉, 최대점은 함수의 값이 다음과 같은 점입니다. 더이웃보다. 이것은 차트의 지역 "언덕"입니다.

우리 그림에는 최대 점이 있습니다.

최소 포인트- 함수의 값이 그것에 충분히 가까운 모든 지점보다 작은 정의 영역의 내부 지점.
즉, 최소점은 해당 함수의 값이 이웃 함수의 값보다 작도록 하는 것입니다. 이는 그래프의 로컬 "구멍"입니다.

우리 그림에는 최소점이 있습니다.

요점은 경계입니다. 이는 정의 영역의 내부 지점이 아니므로 최대 지점의 정의에 맞지 않습니다. 결국 그녀의 왼쪽에는 이웃이 없습니다. 마찬가지로 우리 차트에는 최소 지점이 있을 수 없습니다.

최대점과 최소점을 합쳐서 호출합니다. 함수의 극점. 우리의 경우 이는 및 입니다.

예를 들어, 다음을 찾아야 하는 경우 어떻게 해야 합니까? 최소 기능세그먼트에? 이 경우 대답은 다음과 같습니다. 왜냐하면 최소 기능최소점에서의 값입니다.

마찬가지로 우리 함수의 최대값은 입니다. 지점에 도달했습니다.

함수의 극값은 및 와 같다고 말할 수 있습니다.

때로는 문제를 찾아야 할 때도 있습니다. 함수의 최대값과 최소값특정 세그먼트에서. 그것들은 반드시 극단과 일치하지는 않습니다.

우리의 경우 가장 작은 함수 값세그먼트의 는 함수의 최소값과 동일하고 일치합니다. 하지만 이 세그먼트의 가장 큰 값은 . 세그먼트의 왼쪽 끝에 도달합니다.

어쨌든 세그먼트에 대한 연속 함수의 최대값과 최소값은 극한점이나 세그먼트 끝에서 달성됩니다.

함수의 가장 큰(최소) 값은 고려된 구간에서 허용되는 세로 좌표의 가장 큰(최소) 값입니다.

함수의 가장 큰 값이나 가장 작은 값을 찾으려면 다음을 수행해야 합니다.

1. 특정 세그먼트에 어떤 고정점이 포함되어 있는지 확인하세요.
2. 세그먼트 끝과 3단계의 정지 지점에서 함수 값을 계산합니다.
3. 얻은 결과에서 가장 큰 값 또는 가장 작은 값을 선택합니다.

최대 또는 최소 포인트를 찾으려면 다음을 수행해야 합니다.

1. 함수 $f"(x)$의 도함수를 구합니다.
2. $f"(x)=0$ 방정식을 풀어 고정점을 찾습니다.
3. 함수의 도함수를 인수분해합니다.
4. 좌표선을 그리고 그 위에 고정점을 배치한 다음 3단계의 표기법을 사용하여 결과 구간에서 도함수의 부호를 결정합니다.
5. 규칙에 따라 최대 또는 최소 점을 찾습니다. 한 점에서 미분 기호가 플러스에서 마이너스로 변경되면 이것이 최대 점이 됩니다(마이너스에서 플러스로이면 이것이 최소 점이 됩니다). 실제로는 간격에 따라 화살표 이미지를 사용하는 것이 편리합니다. 도함수가 양수인 간격에서는 화살표가 위쪽으로 그려지고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다.

일부 기본 함수의 파생물 표:

기능	유도체
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(죄^2x)$
$cos^2x$	$-sin2x$
$죄^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

차별화의 기본 규칙

1. 합과 차의 도함수는 각 항의 도함수와 같습니다.

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

$f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$ 함수의 도함수를 구합니다.

합과 차의 도함수는 각 항의 도함수와 같습니다.

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. 제품의 파생물.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

도함수 구하기 $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. 몫의 미분

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

도함수 구하기 $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. 복소 함수의 미분은 외부 함수의 미분과 내부 함수의 미분의 곱과 같습니다.

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - 죄(5x)∙5= -5sin(5x)$

함수 $y=2x-ln⁡(x+11)+4$의 최소점을 찾습니다.

1. 함수의 ODZ를 찾습니다: $x+11>0; x>-11$

2. $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$ 함수의 도함수를 구합니다.

3. 도함수를 0으로 동일시하여 고정점을 찾습니다.

$(2x+21)/(x+11)=0$

분자가 0이고 분모가 0이 아닌 경우 분수는 0과 같습니다.

$2x+21=0; x≠-11$

4. 좌표선을 그리고 그 위에 고정점을 배치하고 결과 간격에서 도함수의 부호를 결정해 보겠습니다. 이렇게 하려면 가장 오른쪽 영역의 숫자를 도함수(예: 0)로 대체합니다.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. 최소점에서 미분의 부호는 마이너스에서 플러스로 바뀌므로 $-10.5$ 점이 최소점입니다.

답변: $-10.5$

$[-5;1]$ 세그먼트에서 $y=6x^5-90x^3-5$ 함수의 가장 큰 값을 찾습니다.

1. $y′=30x^4-270x^2$ 함수의 도함수를 구합니다.

2. 도함수를 0과 동일시하고 고정점을 찾습니다.

$30x^4-270x^2=0$

괄호에서 총 인수 $30x^2$를 빼봅시다.

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

각 요소를 0으로 동일시합시다

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. 주어진 세그먼트 $[-5;1]$에 속하는 정지점을 선택합니다.

고정점 $x=0$ 및 $x=-3$가 적합합니다.

4. 세그먼트 끝과 3단계의 정지 지점에서 함수 값을 계산합니다.

함수 $z=f(x,y)$가 일부 제한된 닫힌 도메인 $D$에서 정의되고 연속되도록 합니다. 이 영역의 주어진 함수가 1차의 유한 부분 도함수를 갖는다고 가정합니다(아마도 유한 개수의 점을 제외하고). 주어진 닫힌 영역에서 두 변수의 함수의 최대값과 최소값을 찾으려면 세 단계의 간단한 알고리즘이 필요합니다.

닫힌 도메인 $D$에서 $z=f(x,y)$ 함수의 최대값과 최소값을 찾는 알고리즘입니다.

1. 정의역 $D$에 속하는 함수 $z=f(x,y)$의 임계점을 찾습니다. 중요한 지점에서 함수 값을 계산합니다.
2. $D$ 영역의 경계에서 $z=f(x,y)$ 함수의 동작을 조사하여 가능한 최대값과 최소값의 지점을 찾습니다. 획득한 지점에서 함수값을 계산합니다.
3. 이전 두 단락에서 얻은 함수 값 중에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 선택합니다.

중요한 점은 무엇입니까? 표시\숨기기

아래에 임계점 1차 부분 도함수가 모두 0인 점을 의미합니다(예: $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ 및 $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) 또는 적어도 하나의 부분 파생물이 존재하지 않습니다.

종종 1차 부분 도함수가 0과 같은 점을 다음과 같이 부릅니다. 고정점. 따라서 고정점은 임계점의 하위 집합입니다.

예 1

$x=3$, $y=0$ 및 $y=x 선으로 둘러싸인 닫힌 영역에서 $z=x^2+2xy-y^2-4x$ 함수의 최대값과 최소값을 찾습니다. +1$.

위의 내용을 따르지만 먼저 문자 $D$로 표시할 특정 영역의 그림을 다루겠습니다. 이 영역을 제한하는 세 개의 직선 방정식이 제공됩니다. $x=3$ 직선은 세로축(Oy축)에 평행한 점 $(3;0)$을 통과합니다. 직선 $y=0$은 가로축(Ox축)의 방정식입니다. $y=x+1$ 선을 구성하기 위해 우리는 이 선을 그릴 두 점을 찾을 것입니다. 물론 $x$ 대신 임의의 값 몇 개를 대체할 수도 있습니다. 예를 들어, $x=10$을 대체하면 $y=x+1=10+1=11$이 됩니다. 우리는 $y=x+1$ 선에 $(10;11)$ 점을 발견했습니다. 그러나 $y=x+1$ 직선이 $x=3$ 및 $y=0$ 선과 교차하는 지점을 찾는 것이 좋습니다. 왜 이것이 더 낫습니까? 왜냐하면 우리는 일석이조로 두 마리의 새를 죽일 것이기 때문입니다. 직선 $y=x+1$을 구성하기 위한 두 점을 얻는 동시에 이 직선이 주어진 면적을 제한하는 다른 선과 교차하는 점을 알아낼 것입니다. $y=x+1$ 선은 $(3;4)$ 점에서 $x=3$ 선과 교차하고, $y=0$ 선은 $(-1;0)$ 점에서 교차합니다. 보조 설명으로 해결 과정을 혼란스럽게 하지 않기 위해 이 두 가지 사항을 얻는 문제를 메모에 넣겠습니다.

$(3;4)$ 및 $(-1;0)$ 포인트는 어떻게 얻었나요? 표시\숨기기

$y=x+1$과 $x=3$ 선의 교차점부터 시작하겠습니다. 원하는 점의 좌표는 첫 번째 직선과 두 번째 직선 모두에 속하므로 알 수 없는 좌표를 찾으려면 방정식 시스템을 풀어야 합니다.

$$ \left \( \begin(정렬) & y=x+1;\\ & x=3. \end(정렬) \right. $$

이러한 시스템에 대한 해결책은 간단합니다. $x=3$을 첫 번째 방정식에 대입하면 $y=3+1=4$가 됩니다. $(3;4)$ 점은 $y=x+1$ 및 $x=3$ 선의 원하는 교차점입니다.

이제 $y=x+1$과 $y=0$ 선의 교차점을 찾아보겠습니다. 다시 방정식 시스템을 구성하고 풀어 보겠습니다.

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$

첫 번째 방정식에 $y=0$을 대입하면 $0=x+1$, $x=-1$이 됩니다. $(-1;0)$ 점은 $y=x+1$ 선과 $y=0$ 선(x축)의 원하는 교차점입니다.

다음과 같은 도면을 작성할 준비가 모두 완료되었습니다.

메모에 대한 질문은 그림에 모든 것이 표시되기 때문에 분명해 보입니다. 그러나 그림은 증거가 될 수 없다는 점을 기억할 가치가 있습니다. 그림은 설명 목적으로만 사용됩니다.

우리의 영역은 그것을 묶는 직선 방정식을 사용하여 정의되었습니다. 분명히 이 선들은 삼각형을 정의합니다. 그렇죠? 아니면 완전히 명확하지 않습니까? 아니면 같은 선으로 둘러싸인 다른 영역이 주어질 수도 있습니다.

물론 해당 지역이 폐쇄된 상태라고 되어 있어 표시된 사진은 정확하지 않습니다. 그러나 그러한 모호함을 피하려면 불평등을 기준으로 지역을 정의하는 것이 좋습니다. $y=x+1$ 직선 아래에 위치한 평면 부분에 관심이 있습니까? 좋습니다. $y ≤ x+1$입니다. 우리 지역이 $y=0$ 선 위에 위치해야 합니까? 좋습니다. 이는 $y ≥ 0$를 의미합니다. 그건 그렇고, 마지막 두 불평등은 쉽게 하나로 결합될 수 있습니다: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$

이러한 부등식은 $D$ 영역을 정의하며 어떠한 모호함도 허용하지 않고 이를 명확하게 정의합니다. 그러나 이것이 노트의 시작 부분에 언급된 질문에 어떻게 도움이 됩니까? 그것은 또한 도움이 될 것입니다 :) $M_1(1;1)$ 점이 $D$ 지역에 속하는지 확인해야 합니다. 이 영역을 정의하는 불평등 시스템에 $x=1$ 및 $y=1$을 대체해 보겠습니다. 두 부등식이 모두 충족되면 점이 영역 내부에 놓이게 됩니다. 부등식 중 적어도 하나가 충족되지 않으면 해당 점이 해당 지역에 속하지 않습니다. 그래서:

$$ \left \( \begin(정렬) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(정렬) \right. \;\; \left \( \begin(정렬) & 0  1  2;\\ & 1  3. \end(aligned) \right.$$

두 부등식이 모두 유효합니다. $M_1(1;1)$ 지점은 $D$ 지역에 속합니다.

이제 영역 경계에서 함수의 동작을 연구할 차례입니다. 으로 가자. 직선 $y=0$부터 시작하겠습니다.

직선 $y=0$(가로축)은 $-1 ≤ x ≤ 3$ 조건에서 $D$ 영역을 제한합니다. 주어진 함수 $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$에 $y=0$을 대입해 보겠습니다. 치환의 결과로 얻은 하나의 변수 $x$의 함수를 $f_1(x)$로 나타냅니다.

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

이제 $f_1(x)$ 함수의 경우 $-1 ≤ x ≤ 3$ 구간에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾아야 합니다. 이 함수의 미분을 찾아 0과 동일시해 보겠습니다.

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

$x=2$ 값은 $-1 ≤ x ≤ 3$ 세그먼트에 속하므로 포인트 목록에 $M_2(2;0)$도 추가합니다. 또한 $-1 ≤ x ≤ 3$ 세그먼트의 끝 부분에서 $z$ 함수의 값을 계산해 보겠습니다. $M_3(-1;0)$ 및 $M_4(3;0)$ 지점에서. 그런데 $M_2$ 포인트가 고려 중인 세그먼트에 속하지 않았다면 물론 그 안에 있는 $z$ 함수의 값을 계산할 필요가 없습니다.

그럼 $M_2$, $M_3$, $M_4$ 지점에서 $z$ 함수의 값을 계산해 보겠습니다. 물론 이러한 점의 좌표를 원래 표현식 $z=x^2+2xy-y^2-4x$로 대체할 수 있습니다. 예를 들어 $M_2$ 지점에 대해 다음을 얻습니다.

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

그러나 계산을 조금 단순화할 수 있습니다. 이를 수행하려면 $M_3M_4$ 세그먼트에 $z(x,y)=f_1(x)$가 있다는 점을 기억하는 것이 좋습니다. 이에 대해 자세히 적어보겠습니다.

\begin(정렬) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(정렬됨)

물론 일반적으로 이렇게 상세한 기록은 필요하지 않으며 앞으로는 모든 계산을 간략하게 기록해 보겠습니다.

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

이제 $x=3$ 직선으로 돌아가 보겠습니다. 이 직선은 $0 ≤ y ≤ 4$ 조건에서 $D$ 영역을 제한합니다. 주어진 함수 $z$에 $x=3$을 대입해 보겠습니다. 이 대체의 결과로 $f_2(y)$ 함수를 얻습니다.

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

$f_2(y)$ 함수의 경우 $0 ≤ y ≤ 4$ 구간에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾아야 합니다. 이 함수의 미분을 찾아 0과 동일시해 보겠습니다.

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

$y=3$ 값은 $0 ≤ y ≤ 4$ 세그먼트에 속하므로 이전에 찾은 포인트에 $M_5(3;3)$도 추가합니다. 또한 세그먼트 $0 ≤ y ≤ 4$의 끝 지점에서 $z$ 함수의 값을 계산해야 합니다. 즉, $M_4(3;0)$ 및 $M_6(3;4)$ 지점에서. $M_4(3;0)$ 지점에서 우리는 이미 $z$의 값을 계산했습니다. $M_5$ 및 $M_6$ 지점에서 $z$ 함수의 값을 계산해 보겠습니다. $M_4M_6$ 세그먼트에는 $z(x,y)=f_2(y)$가 있으므로 다음과 같습니다.

\begin(정렬) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(정렬됨)

마지막으로 $D$ 영역의 마지막 경계를 고려합니다. 직선 $y=x+1$. 이 직선은 $-1 ≤ x ≤ 3$ 조건 하에서 $D$ 영역을 제한합니다. $y=x+1$을 $z$ 함수에 대입하면 다음과 같습니다.

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

다시 한 번 변수 $x$의 함수가 있습니다. 그리고 다시 $-1 ≤ x ≤ 3$ 구간에서 이 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾아야 합니다. $f_(3)(x)$ 함수의 미분을 찾아 0과 동일시해 보겠습니다.

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

$x=1$ 값은 $-1 ≤ x ≤ 3$ 구간에 속합니다. $x=1$이면 $y=x+1=2$입니다. 포인트 목록에 $M_7(1;2)$을 추가하고 이 시점에서 $z$ 함수의 값이 무엇인지 알아봅시다. 세그먼트 끝의 점 $-1 ≤ x ≤ 3$, 즉 $M_3(-1;0)$ 및 $M_6(3;4)$ 포인트는 이전에 고려되었으므로 이미 해당 함수의 값을 찾았습니다.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

솔루션의 두 번째 단계가 완료되었습니다. 우리는 7가지 값을 받았습니다:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

살펴 보겠습니다. 세 번째 단락에서 얻은 숫자에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 선택하면 다음과 같습니다.

$$z_(분)=-4; \; z_(최대)=6.$$

문제는 해결되었으니 답을 적는 일만 남았습니다.

답변: $z_(분)=-4; \; z_(최대)=6$.

예 2

$x^2+y^2 ≤ 25$ 영역에서 $z=x^2+y^2-12x+16y$ 함수의 최대값과 최소값을 찾습니다.

먼저 도면을 작성해 보겠습니다. $x^2+y^2=25$ 방정식(주어진 영역의 경계선)은 원점(즉, $(0;0)$ 지점)에 중심이 있고 반경은 다음과 같은 원을 정의합니다. 5. 부등식 $x^2 +y^2 ≤ $25는 언급된 원 내부와 위의 모든 점을 만족합니다.

우리는 따라 행동할 것입니다. 편도함수를 구하고 중요한 점을 알아봅시다.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

발견된 편도함수가 존재하지 않는 지점은 없습니다. 두 부분 도함수가 동시에 0과 같은 지점, 즉 정지점을 찾아보자.

$$ \left \( \begin(정렬) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(정렬) \right. \;\; \left \( \begin(정렬) & x =6;\\ & y=-8.\end(정렬)\right.$$

우리는 고정점 $(6;-8)$을 얻었습니다. 그러나 발견된 지점은 $D$ 영역에 속하지 않습니다. 그림을 그리지 않고도 쉽게 보여줄 수 있습니다. 우리 지역 $D$를 정의하는 부등식 $x^2+y^2 ≤ 25$가 유지되는지 확인해 보겠습니다. $x=6$, $y=-8$이면 $x^2+y^2=36+64=100$, 즉 부등식 $x^2+y^2 ≤ 25$는 유지되지 않습니다. 결론: 포인트 $(6;-8)$은 $D$ 영역에 속하지 않습니다.

따라서 $D$ 영역에는 임계점이 없습니다. 다음으로 넘어가자... 우리는 주어진 영역의 경계에서 함수의 동작을 연구해야 합니다. $x^2+y^2=25$ 원에서. 물론 $y$를 $x$로 표현한 다음 결과 표현식을 $z$ 함수로 대체할 수 있습니다. 원의 방정식으로부터 $y=\sqrt(25-x^2)$ 또는 $y=-\sqrt(25-x^2)$를 얻습니다. 예를 들어 $y=\sqrt(25-x^2)$를 주어진 함수에 대입하면 다음과 같습니다.

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

추가 솔루션은 이전 예제 1의 영역 경계에서 함수의 동작을 연구하는 것과 완전히 동일합니다. 그러나 이 상황에서는 라그랑주 방법을 적용하는 것이 더 합리적이라고 생각됩니다. 우리는 이 방법의 첫 번째 부분에만 관심을 가질 것입니다. 라그랑주 방법의 첫 번째 부분을 적용한 후 $z$ 함수의 최소값과 최대값을 검사할 지점을 얻습니다.

우리는 라그랑주 함수를 구성합니다:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot(x^2+y^2 -25). $$

라그랑주 함수의 편도함수를 찾고 해당 방정식 시스템을 구성합니다.

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (정렬됨) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(정렬됨) \ 오른쪽. \;\; \왼쪽 \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( 정렬됨)\오른쪽.$$

이 연립방정식을 풀기 위해 즉시 $\lambda\neq -1$을 지적해 봅시다. 왜 $\lambda\neq -1$인가요? $\lambda=-1$을 첫 번째 방정식에 대입해 보겠습니다.

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

결과적으로 모순 $0=6$은 $\lambda=-1$ 값이 허용되지 않음을 나타냅니다. 출력: $\lambda\neq -1$. $x$ 및 $y$를 $\lambda$로 표현해 보겠습니다.

\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(정렬됨)

나는 여기서 우리가 $\lambda\neq -1$ 조건을 구체적으로 규정한 이유가 분명해진다고 믿습니다. 이는 $1+\lambda$ 표현식을 간섭 없이 분모에 맞추기 위해 수행되었습니다. 즉, 분모 $1+\lambda\neq 0$가 되도록 해야 합니다.

$x$ 및 $y$에 대한 결과 표현식을 시스템의 세 번째 방정식으로 대체해 보겠습니다. 즉, $x^2+y^2=25$에서:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

결과 동등성에서 $1+\lambda=2$ 또는 $1+\lambda=-2$가 됩니다. 따라서 $\lambda$ 매개변수의 두 가지 값, 즉 $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$이 있습니다. 따라서 우리는 $x$와 $y$의 두 쌍의 값을 얻습니다.

\begin(정렬) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(정렬됨)

따라서 우리는 가능한 조건부 극값의 두 지점을 얻었습니다. $M_1(3;-4)$ 및 $M_2(-3;4)$. $M_1$ 및 $M_2$ 지점에서 $z$ 함수의 값을 찾아보겠습니다.

\begin(정렬) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(정렬됨)

첫 번째와 두 번째 단계에서 얻은 값 중에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 선택해야 합니다. 하지만 이 경우 선택의 여지가 적습니다. :) 우리는 다음을 수행합니다.

$$ z_(분)=-75; \; z_(최대)=125. $$

답변: $z_(분)=-75; \; z_(최대)=$125.

이 기사에서 나는 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾는 알고리즘기능, 최소 및 최대 포인트.

이론상으로는 확실히 우리에게 유용할 것입니다. 파생 테이블그리고 차별화 규칙. 이 접시에 모든 것이 있습니다:

가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾는 알고리즘입니다.

구체적인 예를 들어 설명하는 것이 더 편리합니다. 고려하다:

예:세그먼트 [–4;0]에서 함수 y=x^5+20x^3–65x의 가장 큰 값을 찾습니다.

1 단계.우리는 파생물을 취합니다.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

2 단계.극한점 찾기.

극점함수가 최대값 또는 최소값에 도달하는 지점을 호출합니다.

극점을 찾으려면 함수의 도함수를 0(y" = 0)과 동일시해야 합니다.

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

이제 우리는 이 이차 방정식을 풀고 발견된 근이 극점입니다.

나는 t = x^2, 5t^2 + 60t - 65 = 0을 대체하여 이러한 방정식을 푼다.

방정식을 5만큼 줄이면 다음과 같은 결과를 얻습니다: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

x^2 = t를 역으로 변경합니다.

X_(1 및 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 및 4) = ±sqrt(-13) (물론 복소수에 대해 이야기하지 않는 한 루트 아래에 음수가 있을 수 없습니다.)

합계: x_(1) = 1 및 x_(2) = -1 - 이것이 극점입니다.

3단계.가장 큰 값과 가장 작은 값을 결정합니다.

대체 방법.

조건에서는 세그먼트 [b][–4;0]이 주어졌습니다. x=1 점은 이 세그먼트에 포함되지 않습니다. 그래서 우리는 그것을 고려하고 있지 않습니다. 그러나 점 x=-1 외에도 세그먼트의 왼쪽 및 오른쪽 경계, 즉 점 -4와 0도 고려해야 합니다. 이를 위해 이 세 점을 모두 원래 함수로 대체합니다. 원래의 것은 조건(y=x^5+20x^3–65x)에 주어진 것입니다. 어떤 사람들은 그것을 도함수로 대체하기 시작합니다...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

이는 함수의 가장 큰 값이 [b]44이고 세그먼트 [-4에서 함수의 최대 지점이라고 불리는 지점 [b]-1에서 달성됨을 의미합니다. 0].

우리는 답변을 결정하고 받았습니다. 훌륭합니다. 안심하셔도 됩니다. 하지만 그만해! y(-4)를 계산하는 것이 어쩐지 너무 어렵다고 생각하지 않나요? 시간이 제한된 상황에서는 다른 방법을 사용하는 것이 더 좋습니다. 저는 이를 다음과 같이 부릅니다.

부호 불변성의 간격을 통해.

이 간격은 함수의 미분, 즉 이차 방정식에 대해 발견됩니다.

나는 이렇게한다. 방향이 있는 부분을 그립니다. 나는 점을 -4, -1, 0, 1로 배치합니다. 주어진 세그먼트에 1이 포함되지 않는다는 사실에도 불구하고 부호의 불변성 간격을 올바르게 결정하려면 이를 기록해야 합니다. 1보다 몇 배 더 큰 숫자, 예를 들어 100을 선택하고 이를 2차 방정식 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65로 정신적으로 대체해 보겠습니다. 아무것도 계산하지 않더라도 지점 100에서 함수에는 더하기 기호가 있습니다. 이는 1부터 100까지의 간격에 더하기 기호가 있음을 의미합니다. 1을 통과할 때(오른쪽에서 왼쪽으로 이동) 함수는 부호를 마이너스로 변경합니다. 지점 0을 통과할 때 함수는 해당 부호를 유지합니다. 이는 방정식의 근이 아니라 세그먼트의 경계일 뿐이기 때문입니다. -1을 통과하면 함수는 부호를 다시 플러스로 변경합니다.

이론을 통해 우리는 함수의 도함수가 어디에 있는지 알고 있습니다. (그리고 우리는 이를 위해 이것을 정확하게 그렸습니다.) 부호를 플러스에서 마이너스로 변경 (우리의 경우 포인트 -1)기능 도달 지역 최대값 (y(-1)=44, 앞에서 계산한 대로)이 세그먼트에서 (이것은 논리적으로 매우 이해하기 쉽습니다. 함수가 최대 값에 도달하고 감소하기 시작했기 때문에 증가가 중지되었습니다).

따라서, 함수의 도함수는 부호를 마이너스에서 플러스로 변경, 성취됐다 함수의 국소 최소값. 예, 예, 우리는 또한 지역 최소점이 1이고 y(1)이 세그먼트에 있는 함수의 최소값(예: -1에서 +)이라는 것을 발견했습니다. 이는 LOCAL MINIMUM, 즉 특정 세그먼트의 최소값일 뿐입니다. 함수의 실제(전역) 최소값은 -무한대 어딘가에 도달하기 때문입니다.

제 생각에는 첫 번째 방법이 이론적으로 더 간단하고 두 번째 방법이 산술 연산의 관점에서는 더 간단하지만 이론의 관점에서는 훨씬 더 복잡합니다. 결국 함수가 방정식의 근을 통과할 때 부호가 변경되지 않는 경우가 있으며 일반적으로 이러한 로컬, 전역 최대값 및 최소값과 혼동될 수 있습니다. 기술 대학에 입학할 계획입니다(그리고 왜 프로필 통합 상태 시험에 응시하고 이 문제를 해결해야 하는지). 그러나 연습과 연습만이 그러한 문제를 완전히 해결하는 방법을 가르쳐 줄 것입니다. 그리고 저희 웹사이트에서 훈련하실 수 있습니다. 여기 .

궁금한 점이 있거나 불분명한 부분이 있으면 꼭 물어보세요. 기꺼이 답변해 드리며 기사를 변경하고 추가하겠습니다. 우리가 이 사이트를 함께 만들고 있다는 것을 기억하세요!