연속 확률 변수의 수학적 기대입니다. 기대값

수학적 기대는 정의입니다

체크메이트 대기는값의 분포를 특성화하는 수학적 통계 및 확률 이론에서 가장 중요한 개념 중 하나입니다. 확률무작위 변수. 일반적으로 확률 변수의 가능한 모든 매개변수의 가중 평균으로 표현됩니다. 기술 분석, 숫자 계열 연구, 지속적이고 시간 소모적인 프로세스 연구에 널리 사용됩니다. 금융 시장에서 거래할 때 위험을 평가하고 가격 지표를 예측하는 데 중요하며 게임 전술의 전략 및 방법을 개발하는 데 사용됩니다. 도박 이론.

체크메이트 대기 중- 이것확률변수의 평균값, 분포 확률확률 이론에서는 확률 변수가 고려됩니다.

체크메이트 대기는확률 이론에서 무작위 변수의 평균값을 측정하는 것입니다. 무작위 변수의 기대치를 체크메이트하세요 엑스로 표시 엠(엑스).

수학적 기대값(인구 평균)은 다음과 같습니다.

체크메이트 대기는

체크메이트 대기는확률 이론에서 임의 변수가 취할 수 있는 모든 가능한 값의 가중 평균입니다.

체크메이트 대기는임의 변수의 가능한 모든 값과 이러한 값의 확률의 곱의 합입니다.

수학적 기대값(인구 평균)은 다음과 같습니다.

체크메이트 대기는특정 결정으로 인한 평균 이익. 단, 그러한 결정은 다수 및 장거리 이론의 틀 내에서 고려될 수 있습니다.

체크메이트 대기는도박 이론에서 투기꾼이 각 베팅에서 평균적으로 얻거나 잃을 수 있는 상금 금액입니다. 도박의 언어로 투기꾼이것은 때때로 "이점"이라고 불린다 투기꾼"(투기자에게 긍정적인 경우) 또는 "하우스 에지"(투기자에게 부정적인 경우).

수학적 기대값(인구 평균)은 다음과 같습니다.


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기대값과 분산은 확률변수의 가장 일반적으로 사용되는 수치적 특성입니다. 이는 분포의 가장 중요한 특징, 즉 위치와 산란 정도를 특징으로 합니다. 많은 실제 문제에서 확률 변수의 완전하고 철저한 특성인 분포 법칙은 전혀 얻을 수 없거나 전혀 필요하지 않습니다. 이러한 경우에는 수치적 특성을 이용한 확률변수의 대략적인 설명으로 제한됩니다.

기대값은 흔히 단순히 확률변수의 평균값이라고 합니다. 확률 변수의 분산은 수학적 기대치를 중심으로 확률 변수가 확산되는 분산의 특성입니다.

이산확률변수의 기대

먼저 이산 확률 변수 분포의 기계적 해석을 기반으로 수학적 기대의 개념에 접근해 보겠습니다. x축의 두 점 사이에 단위질량을 분포시키자. 엑스1 , 엑스 2 , ..., 엑스 N, 각 재료 점은 해당 질량을 갖습니다. 피1 , 피 2 , ..., 피 N. 질량을 고려하여 전체 재료 점 시스템의 위치를 ​​특성화하는 가로축에서 한 점을 선택해야 합니다. 물질점계의 질량중심을 그러한 점으로 취하는 것은 당연하다. 이는 확률변수의 가중평균입니다. 엑스, 각 점의 가로좌표 엑스나해당 확률과 동일한 “가중치”를 가지고 들어갑니다. 이렇게 해서 얻은 확률변수의 평균값 엑스수학적 기대라고 합니다.

이산 확률 변수의 수학적 기대치는 가능한 모든 값과 이러한 값의 확률의 곱의 합입니다.

예시 1.상생 추첨이 진행되었습니다. 1000개의 상금이 있으며 그 중 400개는 10루블입니다. 각각 300-20 루블. 각각 200-100 루블. 그리고 각각 100-200 루블. 티켓 한 장을 사는 사람의 평균 상금은 얼마입니까?

해결책. 총 상금 금액(10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50,000 루블)을 1000(총 상금 금액)으로 나누면 평균 상금을 찾을 수 있습니다. 그런 다음 50000/1000 = 50 루블을 얻습니다. 그러나 평균 상금을 계산하는 표현식은 다음과 같은 형식으로 표현될 수 있습니다.

반면에 이러한 조건에서 승리 크기는 10, 20, 100 및 200 루블의 값을 취할 수 있는 무작위 변수입니다. 확률은 각각 0.4입니다. 0.3; 0.2; 0.1. 따라서 예상 평균 승리는 승리 규모와 승리 확률을 곱한 값의 합과 같습니다.

예시 2.출판사는 새 책을 출판하기로 결정했습니다. 그는 책을 280 루블에 판매 할 계획이며 그 중 200, 50-서점, 30-저자를 받게됩니다. 이 표는 책 출판 비용과 책의 특정 수량을 판매할 확률에 대한 정보를 제공합니다.

출판사의 기대 이익을 구합니다.

해결책. 무작위 변수 "이익"은 판매 수입과 비용 비용의 차이와 같습니다. 예를 들어 책 500권이 판매되면 판매 수입은 200 * 500 = 100,000이고 출판 비용은 225,000루블입니다. 따라서 출판사는 125,000 루블의 손실에 직면합니다. 다음 표에는 확률변수의 기대값인 이익이 요약되어 있습니다.

숫자이익 엑스나 개연성 피나 엑스나 피나
500 -125000 0,20 -25000
1000 -50000 0,40 -20000
2000 100000 0,25 25000
3000 250000 0,10 25000
4000 400000 0,05 20000
총: 1,00 25000

따라서 우리는 출판사의 이익에 대한 수학적 기대치를 얻습니다.

.

예시 3.한 발에 맞을 확률 피= 0.2. 적중 횟수가 5라는 수학적 기대치를 제공하는 발사체 소비를 결정합니다.

해결책. 지금까지 사용한 것과 동일한 수학적 기대 공식을 사용하여 다음과 같이 표현합니다. 엑스- 쉘 소모량:

.

예시 4.확률 변수의 수학적 기대값 결정 엑스 3발의 안타 수(각 발의 안타 확률) 피 = 0,4 .

힌트: 랜덤 변수 값의 확률을 구해 보세요. 베르누이의 공식 .

수학적 기대의 속성

수학적 기대의 속성을 고려해 봅시다.

속성 1.상수 값의 수학적 기대값은 다음 상수와 같습니다.

속성 2.상수 인자는 수학적 기대 기호에서 꺼낼 수 있습니다.

속성 3.확률 변수의 합(차이)에 대한 수학적 기대값은 해당 수학적 기대값의 합(차이)과 같습니다.

속성 4.확률 변수의 곱에 대한 수학적 기대값은 수학적 기대값의 곱과 같습니다.

재산 5.확률변수의 모든 값이 엑스같은 숫자만큼 감소(증가)하다 와 함께이면 수학적 기대값은 같은 숫자만큼 감소(증가)합니다.

자신을 수학적 기대에만 국한시킬 수 없을 때

대부분의 경우 수학적 기대만으로는 확률 변수를 충분히 특성화할 수 없습니다.

무작위 변수를 보자 엑스그리고 와이다음 분배법칙에 의해 제공됩니다.

의미 엑스 개연성
-0,1 0,1
-0,01 0,2
0 0,4
0,01 0,2
0,1 0,1
의미 와이 개연성
-20 0,3
-10 0,1
0 0,2
10 0,1
20 0,3

이러한 수량의 수학적 기대치는 동일합니다(0과 동일).

그러나 유통 패턴은 다릅니다. 임의의 값 엑스수학적 기대값과 거의 다르지 않은 값만 취할 수 있으며, 확률변수는 와이수학적 기대치에서 크게 벗어나는 값을 취할 수 있습니다. 유사한 예: 평균 임금으로는 고임금 근로자와 저임금 근로자의 비율을 판단할 수 없습니다. 즉, 수학적 기대로부터 적어도 평균적으로 어떤 편차가 가능한지 판단할 수 없습니다. 이를 위해서는 확률변수의 분산을 찾아야 합니다.

이산확률변수의 분산

변화이산확률변수 엑스수학적 기대값으로부터의 편차의 제곱에 대한 수학적 기대값이라고 합니다.

확률변수의 표준편차 엑스분산의 제곱근의 산술 값을 다음과 같이 부릅니다.

.

실시예 5.확률변수의 분산과 표준편차 계산 엑스그리고 와이, 분포 법칙은 위의 표에 나와 있습니다.

해결책. 확률변수의 수학적 기대 엑스그리고 와이는 위에서 발견한 바와 같이 0과 같습니다. 분산 공식에 따르면 이자형(엑스)=이자형(와이)=0 우리는 다음을 얻습니다:

그런 다음 확률 변수의 표준 편차 엑스그리고 와이조립

.

따라서 동일한 수학적 기대 하에서 확률 변수의 분산은 엑스아주 작지만 무작위 변수 와이- 중요한. 이는 분포의 차이로 인한 결과입니다.

실시예 6.투자자는 4개의 대체 투자 프로젝트를 가지고 있습니다. 표에는 해당 프로젝트의 예상 이익이 해당 확률과 함께 요약되어 있습니다.

프로젝트 1프로젝트 2프로젝트 3프로젝트 4
500, 피=1 1000, 피=0,5 500, 피=0,5 500, 피=0,5
0, 피=0,5 1000, 피=0,25 10500, 피=0,25
0, 피=0,25 9500, 피=0,25

각 대안에 대한 수학적 기대값, 분산 및 표준 편차를 찾아보세요.

해결책. 세 번째 대안에 대해 이러한 값이 어떻게 계산되는지 보여드리겠습니다.

표에는 모든 대안에 대해 발견된 값이 요약되어 있습니다.

모든 대안은 동일한 수학적 기대치를 갖습니다. 이는 장기적으로 모든 사람이 동일한 소득을 갖는다는 것을 의미합니다. 표준편차는 위험의 척도로 해석될 수 있습니다. 표준편차가 높을수록 투자 위험도 커집니다. 큰 위험을 원하지 않는 투자자는 표준편차(0)가 가장 작은 프로젝트 1을 선택하게 됩니다. 투자자가 단기간에 위험과 높은 수익을 선호하는 경우 표준 편차가 가장 큰 프로젝트인 프로젝트 4를 선택합니다.

분산 특성

분산의 특성을 소개하겠습니다.

속성 1.상수 값의 분산은 0입니다.

속성 2.상수 인자는 분산 부호를 제곱하여 제거할 수 있습니다.

.

속성 3.확률 변수의 분산은 이 값의 제곱에 대한 수학적 기대값과 동일하며, 여기에서 값 자체의 수학적 기대값의 제곱을 뺍니다.

,

어디 .

속성 4.확률 변수의 합(차이)의 분산은 해당 분산의 합(차이)과 같습니다.

실시예 7.이산확률변수인 것으로 알려져 있다. 엑스−3과 7의 두 가지 값만 사용합니다. 또한 수학적 기대값도 알려져 있습니다. 이자형(엑스) = 4 . 이산확률변수의 분산을 구합니다.

해결책. 다음으로 나타내자 피확률 변수가 값을 취할 확률 엑스1 = −3 . 그러면 값의 확률은 엑스2 = 7 1 − 피. 수학적 기대값에 대한 방정식을 도출해 보겠습니다.

이자형(엑스) = 엑스 1 피 + 엑스 2 (1 − 피) = −3피 + 7(1 − 피) = 4 ,

우리가 확률을 얻는 곳은 다음과 같습니다. 피= 0.3 및 1 - 피 = 0,7 .

확률 변수의 분포 법칙:

엑스 −3 7
피 0,3 0,7

분산 속성 3의 공식을 사용하여 이 확률 변수의 분산을 계산합니다.

디(엑스) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

확률변수의 수학적 기대값을 직접 구한 다음 해를 살펴보세요.

실시예 8.이산확률변수 엑스두 개의 값만 사용합니다. 확률이 0.4인 값 3 중 더 큰 값을 허용합니다. 또한, 확률변수의 분산이 알려져 있습니다. 디(엑스) = 6 . 확률변수의 수학적 기대값을 구합니다.

실시예 9.항아리 안에 흰색 공 6개, 검은색 공 4개가 있습니다. 항아리에서 공 3개를 꺼냅니다. 추첨된 공 중 흰색 공의 개수는 이산확률변수입니다. 엑스. 이 확률변수의 수학적 기대값과 분산을 구합니다.

해결책. 임의의 값 엑스 0, 1, 2, 3의 값을 취할 수 있습니다. 해당 확률은 다음에서 계산할 수 있습니다. 확률 곱셈 규칙. 확률 변수의 분포 법칙:

엑스 0 1 2 3
피 1/30 3/10 1/2 1/6

따라서 이 확률 변수의 수학적 기대는 다음과 같습니다.

중(엑스) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

주어진 확률 변수의 분산은 다음과 같습니다.

디(엑스) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

연속확률변수의 기대값과 분산

연속 확률 변수의 경우 수학적 기대값의 기계적 해석은 동일한 의미를 유지합니다. 즉, 밀도와 함께 x축에 연속적으로 분포된 단위 질량에 대한 질량 중심입니다. 에프(엑스). 함수 인수가 있는 이산 확률 변수와는 달리 엑스나갑자기 변경됩니다. 연속 확률 변수의 경우 인수가 계속 변경됩니다. 그러나 연속 확률 변수의 수학적 기대값은 평균값과도 관련이 있습니다.

연속 확률 변수의 수학적 기대값과 분산을 찾으려면 정적분을 찾아야 합니다. . 연속 확률 변수의 밀도 함수가 주어지면 피적분 함수에 직접 입력됩니다. 확률분포함수가 주어지면 이를 미분하여 밀도함수를 구해야 합니다.

연속 확률 변수의 가능한 모든 값의 산술 평균을 수학적 기대, 또는로 표시됩니다.

기대값은 확률 변수의 확률 분포입니다.

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수학적 기대는 정의입니다

수학적 통계 및 확률 이론에서 가장 중요한 개념 중 하나로, 확률 변수의 값 또는 확률 분포를 특성화합니다. 일반적으로 확률 변수의 가능한 모든 매개변수의 가중 평균으로 표현됩니다. 기술 분석, 숫자 계열 연구, 지속적이고 시간 소모적인 프로세스 연구에 널리 사용됩니다. 위험을 평가하고 금융 시장에서 거래할 때 가격 지표를 예측하는 데 중요하며 도박 이론에서 게임 전술의 전략 및 방법을 개발하는 데 사용됩니다.

수학적 기대는확률변수의 평균값, 확률변수의 확률분포는 확률이론에서 고려된다.

수학적 기대는확률 이론에서 무작위 변수의 평균값을 측정하는 것입니다. 확률변수의 기대 엑스로 표시 엠(엑스).

수학적 기대는

수학적 기대는확률 이론에서 임의 변수가 취할 수 있는 모든 가능한 값의 가중 평균입니다.

수학적 기대는임의 변수의 가능한 모든 값과 이러한 값의 확률의 곱의 합입니다.

수학적 기대는특정 결정으로 인한 평균 이익. 단, 그러한 결정은 다수 및 장거리 이론의 틀 내에서 고려될 수 있습니다.


수학적 기대는도박 이론에서 플레이어가 각 베팅에 대해 평균적으로 얻거나 잃을 수 있는 상금 금액입니다. 도박 용어에서는 이를 "플레이어의 가장자리"(플레이어에게 긍정적인 경우) 또는 "하우스 에지"(플레이어에게 부정적인 경우)라고도 합니다.

수학적 기대는승리당 이익의 비율에 평균 이익을 곱하고 손실 확률에 평균 손실을 곱한 값을 뺀 값입니다.


수학 이론에서 확률 변수의 수학적 기대

확률변수의 중요한 수치적 특성 중 하나는 수학적 기대입니다. 확률 변수 시스템의 개념을 소개하겠습니다. 동일한 무작위 실험의 결과인 일련의 무작위 변수를 고려해 보겠습니다. 가 시스템의 가능한 값 중 하나인 경우 이벤트는 Kolmogorov의 공리를 충족하는 특정 확률에 해당합니다. 임의 변수의 가능한 값에 대해 정의된 함수를 결합 분포 법칙이라고 합니다. 이 기능을 사용하면 이벤트의 확률을 계산할 수 있습니다. 특히 집합에서 값을 취하는 확률 변수 and의 결합 분포 법칙은 확률로 제공됩니다.


'수학적 기대'라는 용어는 피에르 시몬 마르퀴스 드 라플라스(1795)에 의해 도입되었으며, 17세기 블레즈 파스칼과 크리스티안의 저작에 나오는 도박 이론에서 처음 등장한 '승리의 기대 가치'라는 개념에서 유래되었습니다. 호이겐스. 그러나 이 개념에 대한 최초의 완전한 이론적 이해와 평가는 Pafnuty Lvovich Chebyshev(19세기 중반)에 의해 제공되었습니다.


무작위 수치 변수의 분포 법칙(분포 함수 및 분포 계열 또는 확률 밀도)은 무작위 변수의 동작을 완벽하게 설명합니다. 그러나 많은 문제에서는 제기된 질문에 답하기 위해 연구 중인 수량의 일부 수치적 특성(예: 평균값 및 가능한 편차)을 아는 것으로 충분합니다. 확률변수의 주요 수치적 특성은 수학적 기대값, 분산, 모드 및 중앙값입니다.

이산 확률 변수의 수학적 기대치는 가능한 값과 해당 확률의 곱의 합입니다. 때때로 수학적 기대값을 가중 평균이라고 부르는데, 그 이유는 그것이 다수의 실험에 걸쳐 관찰된 무작위 변수 값의 산술 평균과 거의 동일하기 때문입니다. 수학적 기대의 정의에 따르면 그 값은 무작위 변수의 가능한 가장 작은 값 이상이며 가장 큰 값보다 크지 않습니다. 확률 변수의 수학적 기대는 무작위가 아닌(상수) 변수입니다.


수학적 기대값은 단순한 물리적 의미를 갖습니다. 단위 질량을 직선 위에 배치하거나 특정 질량을 일부 지점에 배치하거나(이산 분포의 경우) 특정 밀도로 "번짐"하는 경우(절대 연속 분포의 경우) , 그러면 수학적 기대에 해당하는 지점은 "무게 중심" 좌표가 직선이 됩니다.


무작위 변수의 평균값은 "대표"인 특정 숫자이며 대략적인 계산에서 이를 대체합니다. "평균 램프 작동 시간은 100시간입니다" 또는 "평균 충격 지점이 대상을 기준으로 오른쪽으로 2m 이동했습니다"라고 말하면 해당 위치를 설명하는 무작위 변수의 특정한 수치적 특성을 나타냅니다. 수치 축에서, 즉 "위치 특성".

확률이론에서 위치의 특징 중 가장 중요한 역할은 확률변수의 수학적 기대치인데, 이는 단순히 확률변수의 평균값이라고도 합니다.


확률변수를 고려해보세요 엑스, 가능한 값을 가짐 x1, x2, …, xn확률로 p1, p2, …, pn. 이러한 값이 서로 다른 확률을 갖는다는 사실을 고려하여 x축에서 임의 변수 값의 위치를 ​​특정 숫자로 특성화해야 합니다. 이를 위해서는 소위 "가중 평균" 값을 사용하는 것이 당연합니다. xi, 평균화 중 각 값 xi는 이 값의 확률에 비례하는 "가중치"를 고려해야 합니다. 따라서 우리는 확률변수의 평균을 계산할 것이다. 엑스, 우리는 M |X|:


이 가중 평균을 확률 변수의 수학적 기대값이라고 합니다. 따라서 우리는 확률 이론의 가장 중요한 개념 중 하나인 수학적 기대 개념을 고려했습니다. 확률변수의 수학적 기대값은 확률변수의 가능한 모든 값과 이러한 값의 확률을 곱한 값의 합입니다.

엑스이는 다수의 실험에 걸쳐 관찰된 랜덤 변수의 값의 산술 평균과의 독특한 의존성에 의해 연결됩니다. 이 의존성은 빈도와 확률 사이의 의존성과 동일한 유형입니다. 즉, 많은 수의 실험을 통해 관찰된 무작위 변수 값의 산술 평균이 수학적 기대치에 접근합니다(확률적으로 수렴). 빈도와 확률 사이의 연결 존재로부터 결과적으로 산술 평균과 수학적 기대값 사이에 유사한 연결이 존재한다는 것을 추론할 수 있습니다. 실제로 확률 변수를 고려하십시오. 엑스, 분포 계열이 특징입니다.


생산되게 해주세요 N독립적인 실험에서 각각의 값은 다음과 같습니다. 엑스특정 값을 취합니다. 값이 다음과 같다고 가정해 보겠습니다. x1등장 m1시간, 가치 x2등장 m2시간, 일반적인 의미 xi몇 번이나 나타났습니다. 수학적 기대와는 달리 관측된 값 X의 산술 평균을 계산해 보겠습니다. M|X|우리는 나타냅니다 M*|X|:

실험 횟수가 늘어나면서 N주파수 파이해당 확률에 접근(확률적으로 수렴)합니다. 결과적으로, 확률변수의 관측값의 산술평균은 M|X|실험 횟수가 증가하면 수학적 기대치에 접근(확률적으로 수렴)됩니다. 위에서 공식화된 산술 평균과 수학적 기대 사이의 연결은 대수의 법칙 형식 중 하나의 내용을 구성합니다.

우리는 모든 형태의 대수의 법칙에서 일부 평균이 수많은 실험에 걸쳐 안정적이라는 사실을 명시하고 있다는 것을 이미 알고 있습니다. 여기서 우리는 동일한 양의 일련의 관찰로부터 산술 평균의 안정성에 대해 이야기하고 있습니다. 소수의 실험을 통해 결과의 산술 평균은 무작위입니다. 실험 횟수가 충분히 증가하면 "거의 비무작위"가 되고 안정화되면 일정한 값, 즉 수학적 기대값에 접근합니다.


다수의 실험에 대한 평균의 안정성은 실험적으로 쉽게 확인할 수 있습니다. 예를 들어, 실험실에서 정확한 저울로 신체의 무게를 측정할 때 무게를 잰 결과 매번 새로운 값을 얻습니다. 관찰 오류를 줄이기 위해 신체의 무게를 여러 번 측정하고 얻은 값의 산술 평균을 사용합니다. 실험 횟수(계량)가 추가로 증가하면 산술 평균이 이 증가에 점점 덜 반응하고 충분히 많은 수의 실험을 수행하면 실제로 변화가 멈춘다는 것을 쉽게 알 수 있습니다.

확률 변수 위치의 가장 중요한 특성인 수학적 기대값이 모든 확률 변수에 대해 존재하는 것은 아니라는 점에 유의해야 합니다. 상응하는 합이나 적분이 발산하기 때문에 수학적 기대가 존재하지 않는 그러한 확률 변수의 예를 구성하는 것이 가능합니다. 그러나 그러한 경우는 실무상 큰 관심을 끌지 않습니다. 일반적으로 우리가 다루는 확률 변수는 가능한 값의 범위가 제한되어 있으며 물론 수학적 기대치를 갖습니다.


확률 변수의 위치에 대한 가장 중요한 특성(수학적 기대값) 외에도 실제로 위치의 다른 특성, 특히 확률 변수의 최빈값과 중앙값이 사용되는 경우가 있습니다.


확률 변수의 최빈값은 가장 가능성 있는 값입니다. 엄밀히 말하면 "가장 가능한 값"이라는 용어는 불연속적인 수량에만 적용됩니다. 연속 수량의 경우 모드는 확률 밀도가 최대가 되는 값입니다. 그림은 각각 불연속 및 연속 확률 변수의 모드를 보여줍니다.


분포 다각형(분포 곡선)에 최대값이 두 개 이상 있는 경우 해당 분포를 "다중 모드"라고 합니다.



때로는 최대값이 아닌 중간에 최소값이 있는 분포가 있습니다. 이러한 분포를 "안티모달(anti-modal)"이라고 합니다.


일반적인 경우, 확률변수의 모드와 수학적 기대값은 일치하지 않습니다. 특별한 경우, 분포가 대칭이고 모드(즉 모드가 있음)이고 수학적 기대가 있는 경우 분포의 모드 및 대칭 중심과 일치합니다.

또 다른 위치 특성, 즉 소위 무작위 변수의 중앙값이 자주 사용됩니다. 이 특성은 불연속 변수에 대해 공식적으로 정의될 수 있지만 일반적으로 연속 확률 변수에만 사용됩니다. 기하학적으로 중앙값은 분포 곡선으로 둘러싸인 영역을 반으로 나누는 지점의 가로좌표입니다.


대칭 모드 분포의 경우 중앙값은 수학적 기대값 및 모드와 일치합니다.

수학적 기대값은 무작위 변수의 평균값, 즉 무작위 변수의 확률 분포의 수치적 특성입니다. 가장 일반적인 방법으로, 확률 변수의 수학적 기대는 엑스(w)확률 측도와 관련하여 르베그 적분으로 정의됩니다. 아르 자형원래 확률 공간에서:


수학적 기대값은 다음의 르베그 적분으로 계산될 수도 있습니다. 엑스확률 분포에 따른 px수량 엑스:


무한한 수학적 기대값을 갖는 확률변수의 개념은 자연스럽게 정의될 수 있습니다. 일반적인 예는 일부 무작위 걷기의 반환 시간입니다.

수학적 기대값을 사용하여 분포의 많은 수치적 및 기능적 특성이 결정됩니다(랜덤 변수의 해당 함수에 대한 수학적 기대값). 예를 들어 생성 함수, 특성 함수, 모든 차수의 모멘트, 특히 분산, 공분산 .

수학적 기대는 무작위 변수 값(분포의 평균값) 위치의 특성입니다. 이 능력에서 수학적 기대값은 일부 "전형적인" 분포 매개변수 역할을 하며 그 역할은 역학에서 정적 모멘트(질량 분포의 무게 중심 좌표)의 역할과 유사합니다. 분포가 일반적인 용어(중앙값, 모드)로 설명되는 위치의 다른 특성과 수학적 기대값은 확률 이론의 한계 정리에서 분포와 해당 산란 특성(분산)이 갖는 더 큰 값에서 다릅니다. 수학적 기대값의 의미는 대수의 법칙(체비쇼프 부등식)과 강화된 대수의 법칙에 의해 가장 완벽하게 드러납니다.

이산확률변수의 기대

여러 숫자 값 중 하나를 취할 수 있는 임의 변수가 있다고 가정합니다(예를 들어 주사위를 던질 때의 점수는 1, 2, 3, 4, 5 또는 6일 수 있음). 실제로 이러한 값에 대해 종종 다음과 같은 질문이 발생합니다. 많은 수의 테스트에서 "평균적으로" 어떤 값이 필요합니까? 각각의 위험한 거래에서 발생하는 평균 수입(또는 손실)은 얼마입니까?


어떤 종류의 복권이 있다고 가정 해 봅시다. 우리는 이에 참여하는 것(또는 반복적으로, 정기적으로 참여하는 것)이 수익성이 있는지 여부를 이해하고 싶습니다. 네 번째 티켓이 모두 승자이고 상금은 300루블, 티켓 가격은 100루블이라고 가정해 보겠습니다. 무한히 많은 수의 참여로 이런 일이 발생합니다. 4분의 3의 경우 손실을 입게 되며, 3번의 손실마다 300루블의 비용이 듭니다. 네 번째 경우마다 우리는 200 루블을 얻습니다. (상금에서 비용을 뺀 값), 즉 4번의 참여에 대해 평균 100루블, 1번의 경우 평균 25루블을 잃습니다. 전체적으로 우리 파멸의 평균 비율은 티켓 당 25 루블입니다.

우리는 주사위를 던집니다. 부정행위가 아닌 경우(무게 중심을 이동하지 않는 등) 한 번에 평균 몇 점을 얻을 수 있습니까? 각 옵션의 확률은 동일하므로 단순히 산술 평균을 취하여 3.5를 얻습니다. 이것은 평균이므로 특정 롤이 3.5점을 주지 않는다고 분개할 필요가 없습니다. 음, 이 큐브에는 그런 숫자의 면이 없습니다!

이제 예제를 요약해 보겠습니다.


방금 주어진 그림을 살펴 보겠습니다. 왼쪽에는 확률변수의 분포를 보여주는 표가 있습니다. X 값은 n개의 가능한 값 중 하나를 취할 수 있습니다(맨 윗줄에 표시됨). 다른 의미는 있을 수 없습니다. 가능한 각 값 아래에 해당 확률이 아래에 기록되어 있습니다. 오른쪽에는 M(X)가 수학적 기대값이라고 불리는 공식이 있습니다. 이 값의 의미는 많은 수의 테스트(큰 샘플 포함)의 경우 평균값이 이와 동일한 수학적 기대치를 나타내는 경향이 있다는 것입니다.

동일한 플레이 큐브로 다시 돌아갑시다. 던질 때 점수에 대한 수학적 기대치는 3.5입니다(믿을 수 없다면 공식을 사용하여 직접 계산해 보세요). 당신이 그것을 몇 번 던졌다고 가정 해 봅시다. 결과는 4와 6이었습니다. 평균은 5로 3.5와는 거리가 멀었습니다. 그들은 그것을 한 번 더 던졌고 3을 얻었습니다. 즉 평균적으로 (4 + 6 + 3)/3 = 4.3333... 어쩐지 수학적 기대와는 거리가 멀습니다. 이제 미친 실험을 해 보세요. 큐브를 1000번 굴려보세요! 그리고 평균이 정확히 3.5는 아니더라도 그에 가까울 것이다.

위에서 설명한 복권에 대한 수학적 기대치를 계산해 보겠습니다. 접시는 다음과 같이 보일 것입니다 :


그러면 수학적 기대값은 위에서 설정한 대로 다음과 같습니다.


또 다른 점은 더 많은 옵션이 있다면 공식 없이는 "손가락으로" 수행하기가 어렵다는 것입니다. 글쎄요, 75%는 티켓을 잃었고, 20%는 티켓을 얻었고, 5%는 특별히 당첨된 티켓이 있다고 가정해 보겠습니다.

이제 수학적 기대의 일부 속성을 살펴보겠습니다.

증명하는 것은 쉽습니다:


상수 인자는 수학적 기대값의 표시로 취해질 수 있습니다. 즉:


이는 수학적 기대의 선형성 속성의 특별한 경우입니다.

수학적 기대의 선형성의 또 다른 결과는 다음과 같습니다.

즉, 확률 변수의 합에 대한 수학적 기대값은 확률 변수에 대한 수학적 기대값의 합과 같습니다.

X, Y를 독립 확률 변수로 설정, 그 다음에:

이것도 증명하기 쉽습니다) 일 XY그 자체는 확률변수이고, 초기값이 다음과 같이 될 수 있다면 N그리고 중그에 따라 값을 매긴 다음 XY nm 값을 취할 수 있습니다. 각 값의 확률은 독립적인 사건의 확률이 곱해진다는 사실을 기반으로 계산됩니다. 결과적으로 우리는 다음을 얻습니다.


연속확률변수의 기대

연속확률변수는 분포밀도(확률밀도)와 같은 특성을 가지고 있습니다. 이는 본질적으로 무작위 변수가 실수 집합에서 일부 값을 더 자주 가져오고 일부는 덜 자주 가져오는 상황을 특징으로 합니다. 예를 들어 다음 그래프를 살펴보세요.


여기 엑스- 실제 확률 변수, 에프엑스(f(x))- 분포 밀도. 이 그래프로 판단하면 실험 중 값은 엑스종종 0에 가까운 숫자가 됩니다. 기회가 초과되었습니다 3 아니면 더 작을지 -3 오히려 순전히 이론적이다.


예를 들어 균일한 분포가 있다고 가정해 보겠습니다.



이는 직관적인 이해와 매우 일치합니다. 예를 들어, 균일한 분포를 갖는 많은 난수 실수를 받으면 각 세그먼트는 |0; 1| 이면 산술 평균은 약 0.5가 되어야 합니다.

이산확률변수에 적용할 수 있는 수학적 기대값(선형성 등)의 속성도 여기에 적용할 수 있습니다.

수학적 기대치와 기타 통계 지표 간의 관계

통계 분석에는 수학적 기대와 함께 현상의 동질성과 프로세스의 안정성을 반영하는 상호 의존적 지표 시스템이 있습니다. 변동 지표는 독립적인 의미가 없는 경우가 많으며 추가 데이터 분석에 사용됩니다. 예외는 데이터의 동질성을 나타내는 변동 계수이며, 이는 귀중한 통계 특성입니다.


통계학에서 프로세스의 변동성 또는 안정성 정도는 여러 지표를 사용하여 측정할 수 있습니다.

확률변수의 변동성을 특징짓는 가장 중요한 지표는 다음과 같습니다. 분산, 이는 수학적 기대와 가장 밀접하고 직접적으로 관련되어 있습니다. 이 매개변수는 다른 유형의 통계 분석(가설 검정, 인과관계 분석 등)에 적극적으로 사용됩니다. 평균 선형 편차와 마찬가지로 분산도 평균값 주변의 데이터 확산 정도를 반영합니다.


기호의 언어를 단어의 언어로 번역하는 것이 유용합니다. 분산은 편차의 평균 제곱인 것으로 나타났습니다. 즉, 먼저 평균값을 계산한 후, 각 원본값과 평균값의 차이를 취하여 제곱하고 더한 다음 모집단에 있는 값의 개수로 나누는 것입니다. 개별 값과 평균 간의 차이는 편차 측정을 반영합니다. 모든 편차가 양수로만 이루어지고 합산 시 양수 편차와 음수 편차가 서로 파괴되는 것을 방지하기 위해 제곱됩니다. 그런 다음, 제곱된 편차가 주어지면 간단히 산술 평균을 계산합니다. 평균 - 제곱 - 편차. 편차를 제곱하고 평균을 계산합니다. 마법의 단어 "분산"에 대한 답은 단 세 단어에 있습니다.

그러나 산술 평균이나 지수와 같은 순수한 형태에서는 분산이 사용되지 않습니다. 오히려 다른 유형의 통계 분석에 사용되는 보조 및 중간 지표입니다. 일반적인 측정 단위도 없습니다. 공식으로 판단하면 이는 원본 데이터 측정 단위의 제곱입니다.

확률변수를 측정해보자 N예를 들어 풍속을 10번 측정하고 평균값을 구하려고 합니다. 평균값은 분포함수와 어떤 관련이 있나요?

아니면 주사위를 여러 번 굴릴 것입니다. 던질 때마다 주사위에 나타나는 포인트의 수는 무작위 변수이며 1에서 6까지의 자연값을 취할 수 있습니다. 모든 주사위를 던질 때 계산된 떨어지는 포인트의 산술 평균도 무작위 변수이지만 큰 경우 N매우 구체적인 숫자로 나타나는 경향이 있습니다 - 수학적 기대 MX. 이 경우 Mx = 3.5입니다.

이 값을 어떻게 얻었습니까? 들여보내다 N테스트 n1 1포인트를 얻으면 n2한 번 - 2점 등등. 그런 다음 한 점이 떨어지는 결과 수는 다음과 같습니다.


2, 3, 4, 5, 6점을 굴릴 때의 결과도 마찬가지입니다.


이제 우리가 확률 변수 x의 분포 법칙을 알고 있다고 가정해 보겠습니다. 즉, 확률 변수 x가 확률 p1, p2, ..., x1, x2, ..., xk 값을 취할 수 있다는 것을 알고 있습니다. pk.

확률 변수 x의 수학적 기대값 Mx는 다음과 같습니다.


수학적 기대치가 항상 일부 확률 변수의 합리적인 추정치는 아닙니다. 따라서 평균 급여를 추정하기 위해서는 중위수 개념, 즉 중위수보다 낮은 급여를 받는 사람과 큰 급여를 받는 사람의 수가 일치하는 값을 사용하는 것이 더 합리적입니다.

확률 변수 x가 x1/2보다 작을 확률 p1과 확률 변수 x가 x1/2보다 클 확률 p2는 동일하며 1/2과 같습니다. 중앙값은 모든 분포에 대해 고유하게 결정되지 않습니다.


표준 또는 표준편차통계에서는 관측 데이터 또는 세트가 AVERAGE 값에서 벗어난 정도를 호출합니다. 문자 s 또는 s로 표시됩니다. 표준 편차가 작다는 것은 데이터가 평균 주위에 모여 있다는 것을 나타내고, 표준 편차가 크다는 것은 초기 데이터가 평균에서 멀리 떨어져 있다는 것을 의미합니다. 표준편차는 분산이라고 불리는 양의 제곱근과 같습니다. 평균값에서 벗어난 초기 데이터의 차이의 제곱을 합한 평균입니다. 확률변수의 표준편차는 분산의 제곱근입니다.


예. 대상에 사격할 때의 테스트 조건에서 무작위 변수의 분산과 표준편차를 계산합니다.


변화- 인구 단위 간 특성 값의 변동, 변경 가능성. 연구 대상 모집단에서 발견된 특성의 개별 수치를 값의 변형이라고 합니다. 모집단을 완전히 특성화하기에는 평균값이 부족하기 때문에 연구 중인 특성의 가변성(변동)을 측정하여 이러한 평균의 대표성을 평가할 수 있는 지표로 평균값을 보완해야 합니다. 변동 계수는 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.


변화의 범위(R)은 연구 대상 모집단에서 해당 속성의 최대값과 최소값 간의 차이를 나타냅니다. 이 지표는 옵션의 최대값 간의 차이만 보여주기 때문에 연구 중인 특성의 가변성에 대한 가장 일반적인 아이디어를 제공합니다. 특성의 극단값에 대한 의존성은 변동 범위에 불안정하고 무작위적인 특성을 부여합니다.


평균 선형 편차분석된 모집단의 모든 값과 평균 값의 절대(모듈로) 편차의 산술 평균을 나타냅니다.


도박 이론의 수학적 기대

수학적 기대는도박꾼이 특정 베팅에서 따거나 잃을 수 있는 평균 금액입니다. 이는 대부분의 게임 상황을 평가하는 데 기본이 되기 때문에 플레이어에게 매우 중요한 개념입니다. 수학적 기대치는 기본 카드 레이아웃과 게임 상황을 분석하기 위한 최적의 도구이기도 합니다.

당신이 친구와 동전 게임을 하고 무슨 일이 일어나든 매번 똑같이 1달러를 걸고 있다고 가정해 보겠습니다. 뒷면은 승리를 의미하고 앞면은 패배를 의미합니다. 앞면이 나올 확률은 일대일이므로 $1 대 $1에 베팅합니다. 따라서 수학적 기대값은 0입니다. 수학적 관점에서는 2번 던진 후 또는 200번 던진 후에 선두를 질지, 질지 알 수 없습니다.


시간당 이득은 0입니다. 시간당 상금은 한 시간 동안 당첨될 것으로 예상되는 금액입니다. 한 시간에 동전을 500번 던질 수 있지만, 이기거나 지거나 할 수는 없습니다. 당신의 기회는 긍정적이지도 부정적이지도 않습니다. 진지한 플레이어의 관점에서 보면 이 베팅 시스템은 나쁘지 않습니다. 그러나 이것은 단순히 시간낭비일 뿐입니다.

하지만 누군가가 같은 게임에서 당신의 1달러에 대해 2달러를 걸고 싶어한다고 가정해 보겠습니다. 그러면 즉시 각 베팅에서 50센트의 긍정적인 기대를 갖게 됩니다. 왜 50센트인가요? 평균적으로 한 번의 내기에서 이기고 두 번째 내기에서 잃습니다. 첫 번째 1달러를 걸면 1달러를 잃고, 두 번째를 걸면 2달러를 얻습니다. 당신은 1달러를 두 번 걸었고 1달러 앞서고 있습니다. 그래서 당신이 1달러를 걸었을 때마다 50센트를 얻었습니다.


동전이 한 시간에 500번 나타나면 시간당 상금은 이미 $250입니다. 왜냐하면... 평균적으로 1달러를 250번 잃었고 2달러를 250번 얻었습니다. $500에서 $250를 빼면 $250가 되며, 이는 총 상금입니다. 베팅당 승리하는 평균 금액인 기대값은 50센트라는 점에 유의하세요. 1달러를 500번 베팅하여 250달러를 얻었습니다. 이는 베팅당 50센트에 해당합니다.

수학적 기대는 단기 결과와 아무런 관련이 없습니다. 당신을 상대로 2달러를 걸기로 결정한 상대는 연속해서 처음 10번의 굴림에서 당신을 이길 수 있지만, 당신은 2대 1의 베팅 이점을 갖고 있고 다른 모든 조건이 동일할 경우 모든 베팅에서 1달러마다 50센트를 벌게 됩니다. 상황. 비용을 편안하게 감당할 수 있을 만큼 충분한 현금이 있는 한 한 번의 베팅에서 이기거나 여러 번의 베팅에서 이기거나 지는 것은 아무런 차이가 없습니다. 동일한 방식으로 계속해서 베팅한다면 오랜 시간이 지나면서 귀하의 상금은 개별 던지기의 기대치 합계에 가까워질 것입니다.


최선의 베팅(장기적으로 이익이 될 수 있는 베팅)을 할 때마다 승률이 자신에게 유리할 때, 패배 여부에 관계없이 무언가를 얻게 될 것입니다. 주어진 손. 반대로, 불리한 상황에서 약자 베팅(장기적으로 수익성이 없는 베팅)을 하면 핸드에서 이기든 잃든 관계없이 무언가를 잃게 됩니다.

당신의 기대가 긍정적이면 최고의 결과로 베팅하고, 확률이 당신 편이라면 긍정적입니다. 최악의 결과에 베팅하면 부정적인 기대를 가지게 되는데, 이는 확률이 불리할 때 발생합니다. 진지한 플레이어는 최선의 결과에만 돈을 걸고, 최악의 상황이 발생하면 포기합니다. 당신에게 유리한 확률은 무엇을 의미합니까? 실제 확률보다 더 많은 승리를 거둘 수도 있습니다. 랜딩 헤드의 실제 확률은 1:1이지만 확률비로 인해 2:1이 됩니다. 이 경우 확률은 귀하에게 유리합니다. 베팅당 50센트라는 긍정적인 기대로 최고의 결과를 얻을 수 있습니다.


다음은 수학적 기대값의 더 복잡한 예입니다. 친구가 1부터 5까지의 숫자를 적고 당신이 그 숫자를 추측하지 못할 것이라는 기대에 당신의 1달러에 5달러를 걸었습니다. 그런 내기에 동의해야 할까요? 여기에 대한 기대는 무엇입니까?

평균적으로 네 번 틀릴 것입니다. 이를 바탕으로 당신이 숫자를 추측할 확률은 4대 1입니다. 한 번의 시도에서 1달러를 잃을 확률은 4대 1입니다. 그러나 5대 1로 승리하고 4대 1로 패할 가능성도 있습니다. 따라서 확률은 귀하에게 유리하므로 베팅을 하고 최상의 결과를 기대할 수 있습니다. 이 베팅을 5번 하면 평균적으로 4번은 1달러를 잃고 5번은 5달러를 얻습니다. 이를 바탕으로 5번의 시도 모두에 대해 베팅당 20센트의 긍정적인 수학적 기대치를 통해 1달러를 얻게 됩니다.


위의 예에서처럼 자신이 베팅한 것보다 더 많은 승리를 거두려는 플레이어는 위험을 감수하고 있는 것입니다. 반대로, 그는 자신이 베팅한 것보다 더 적은 승리를 기대할 때 자신의 기회를 망쳐버립니다. 베터는 긍정적이거나 부정적인 기대를 가질 수 있으며, 이는 그가 승률을 이기느냐 망치느냐에 따라 달라집니다.

4:1의 승리 확률로 $10를 얻기 위해 $50를 베팅했다면 $2라는 부정적인 기대치를 얻게 됩니다. 평균적으로 4번 10달러를 얻고 50달러를 한 번 잃습니다. 이는 베팅당 손실이 10달러라는 것을 보여줍니다. 그러나 $10를 얻기 위해 $30를 베팅하고 동일한 확률로 4:1로 승리한다면 이 경우 $2에 대한 긍정적인 기대를 갖게 됩니다. 다시 10달러를 4번 얻고 30달러를 한 번 잃으면 10달러의 이익을 얻습니다. 이 예는 첫 번째 내기가 나쁘고 두 번째 내기가 좋다는 것을 보여줍니다.


수학적 기대는 모든 게임 상황의 중심입니다. 북메이커가 축구 팬에게 11달러를 베팅하여 10달러를 얻도록 권장할 때 그는 10달러마다 50센트를 긍정적으로 기대합니다. 카지노가 패스 라인에서 균등한 돈을 크랩스로 지불한다면 카지노의 긍정적인 기대는 매 $100당 약 $1.40가 될 것입니다. 이 게임은 이 라인에 베팅한 사람이 평균 50.7%의 손실을 보고 전체 시간의 49.3%를 승리하도록 구성되어 있습니다. 의심할 여지 없이, 전 세계 카지노 소유자에게 막대한 이익을 가져다 주는 것은 겉보기에 최소한의 긍정적인 기대입니다. Vegas World 카지노 소유주인 Bob Stupak은 "충분한 거리에서 1000분의 1%의 음수 확률이 세계에서 가장 부유한 사람을 망칠 것"이라고 말했습니다.


포커를 할 때의 기대

포커 게임은 수학적 기대의 이론과 속성을 사용하는 관점에서 가장 예시적이고 예시적인 예입니다.


포커의 기대 가치는 특정 결정으로 인한 평균 이익입니다. 단, 그러한 결정은 대수 및 장거리 이론의 틀 내에서 고려될 수 있습니다. 성공적인 포커 게임은 항상 긍정적인 기대 가치를 지닌 수를 받아들이는 것입니다.

포커를 할 때 수학적 기대값의 수학적 의미는 결정을 내릴 때 종종 무작위 변수를 만난다는 것입니다(상대가 손에 어떤 카드를 가지고 있는지, 다음 베팅 라운드에서 어떤 카드가 나올지 알 수 없습니다). 우리는 충분히 큰 표본의 경우 확률 변수의 평균값이 수학적 기대치를 따르는 경향이 있다는 대수 이론의 관점에서 각 솔루션을 고려해야 합니다.


수학적 기대값을 계산하는 특정 공식 중에서 포커에 가장 적합한 공식은 다음과 같습니다.

포커를 할 때 베팅과 콜 모두에 대해 기대값을 계산할 수 있습니다. 첫 번째 경우에는 폴드 에퀴티를 고려해야 하고, 두 번째 경우에는 은행 자체 배당률을 고려해야 합니다. 특정 움직임에 대한 수학적 기대치를 평가할 때 폴드에는 항상 기대치가 0이라는 점을 기억해야 합니다. 따라서 카드를 버리는 것은 부정적인 움직임보다 항상 더 수익성 있는 결정이 될 것입니다.

기대는 위험을 감수하는 모든 달러에 대해 기대할 수 있는 것(이익 또는 손실)을 알려줍니다. 카지노는 그 안에서 플레이되는 모든 게임의 수학적 기대가 카지노에 유리하기 때문에 돈을 버는 것입니다. 충분히 긴 일련의 게임을 사용하면 "확률"이 카지노에 유리하기 때문에 클라이언트가 돈을 잃을 것이라고 예상할 수 있습니다. 그러나 전문 카지노 플레이어는 게임을 짧은 시간으로 제한하여 자신에게 유리한 확률을 쌓습니다. 투자도 마찬가지다. 당신의 기대가 긍정적이라면 짧은 시간에 많은 거래를 하여 더 많은 돈을 벌 수 있습니다. 기대치는 승리당 이익 비율에 평균 이익을 곱한 값에서 손실 확률과 평균 손실을 곱한 값입니다.


포커는 수학적 기대의 관점에서도 고려될 수 있습니다. 특정 조치가 수익성이 있다고 가정할 수 있지만 어떤 경우에는 다른 조치가 더 수익성이 높기 때문에 최선이 아닐 수도 있습니다. 당신이 5장의 카드 드로우 포커에서 풀하우스를 쳤다고 가정해 보겠습니다. 상대방이 내기를 합니다. 당신이 내기를 걸면 그가 응답할 것이라는 것을 당신은 알고 있습니다. 그러므로 키우는 것이 최선의 전술인 것 같습니다. 하지만 베팅을 올리면 나머지 두 플레이어는 확실히 폴드할 것입니다. 하지만 당신이 콜을 한다면 당신 뒤에 있는 다른 두 선수도 똑같이 할 것이라는 완전한 확신을 갖고 있습니다. 베팅을 올리면 한 유닛을 얻게 되고, 콜만 하면 두 유닛을 얻게 됩니다. 따라서 콜링은 더 높은 양의 기대값을 제공하며 최선의 전술이 될 것입니다.

수학적 기대는 어떤 포커 전술이 수익성이 낮고 수익성이 더 높은지에 대한 아이디어를 제공할 수도 있습니다. 예를 들어, 특정 핸드를 플레이하고 손실이 앤티를 포함해 평균 75센트일 것이라고 생각한다면 그 핸드를 플레이해야 합니다. 이는 앤티가 $1일 때 폴드하는 것보다 낫습니다.


기대 가치의 개념을 이해해야 하는 또 다른 중요한 이유는 베팅에서 이겼는지 여부에 관계없이 마음의 평안을 준다는 것입니다. 적절한 시기에 베팅을 잘했거나 폴드했다면 수익을 얻었는지, 아니면 폴드했는지 알 수 있습니다. 약한 플레이어가 저축할 수 없는 일정 금액의 돈을 저축했습니다. 상대가 더 강한 핸드를 드로우했기 때문에 화가 나면 폴드하기가 훨씬 더 어렵습니다. 이 모든 것을 통해 베팅하는 대신 게임을 하지 않음으로써 절약한 돈이 그날 밤 또는 한 달 동안의 상금에 추가됩니다.

만약 당신이 손을 바꾸었다면 상대방이 당신에게 전화를 했을 것이라는 점을 기억하세요. 포커의 기본 정리 기사에서 볼 수 있듯이 이것은 당신의 장점 중 하나일 뿐입니다. 이런 일이 생기면 기뻐해야 합니다. 당신은 당신의 위치에 있는 다른 플레이어들이 훨씬 더 많은 것을 잃었을 것이라는 것을 알기 때문에 패를 즐기는 법을 배울 수도 있습니다.


앞부분의 코인 게임 예시에서 언급했듯이, 시간당 수익율은 수학적 기대치와 상호 연관되어 있으며, 이 개념은 프로 선수들에게 특히 중요합니다. 포커를 하러 갈 때는 한 시간 동안 얼마나 돈을 벌 수 있는지 머릿속으로 추정해야 합니다. 대부분의 경우 직관과 경험에 의존해야 하지만 일부 수학을 사용할 수도 있습니다. 예를 들어, 드로우 로우볼 게임을 하고 있는데 세 명의 플레이어가 10달러를 베팅한 다음 두 장의 카드를 교환하는 것은 매우 나쁜 전술입니다. 그들이 10달러를 베팅할 때마다 약 2달러를 잃는다는 것을 알 수 있습니다. 그들 각각은 시간당 8번씩 이 작업을 수행하는데, 이는 세 사람 모두 시간당 약 48달러를 잃는다는 의미입니다. 귀하는 거의 동일한 나머지 4명의 플레이어 중 한 명이므로 이 4명의 플레이어(및 그들 중 귀하)는 $48를 나누어야 하며, 각각은 시간당 $12의 이익을 얻습니다. 이 경우 시간당 확률은 한 시간 동안 세 명의 나쁜 플레이어가 잃은 금액 중 귀하의 몫과 같습니다.

오랜 기간에 걸쳐 플레이어의 총 상금은 개인의 수학적 기대치의 합입니다. 긍정적인 기대를 갖고 플레이하는 핸드가 많을수록 더 많은 승리를 거둘 수 있고, 반대로 부정적인 기대를 갖고 플레이하는 핸드가 많을수록 패배도 더 커집니다. 결과적으로, 시간당 승리를 극대화할 수 있도록 긍정적인 기대를 최대화하거나 부정적인 기대를 무효화할 수 있는 게임을 선택해야 합니다.


게임 전략의 긍정적인 수학적 기대

카드 계산 방법을 알면 카지노가 눈치 채지 못하고 쫓겨나지 않는 한 카지노보다 유리할 수 있습니다. 카지노는 술에 취한 플레이어를 좋아하며 카드 계산 플레이어를 용납하지 않습니다. 이점을 사용하면 시간이 지남에 따라 잃는 것보다 더 많은 승리를 거둘 수 있습니다. 기대 가치 계산을 사용한 올바른 자금 관리는 우위에서 더 많은 이익을 얻고 손실을 줄이는 데 도움이 될 수 있습니다. 이점이 없으면 자선 단체에 돈을 기부하는 것이 좋습니다. 증권 거래소 게임에서는 손실, 가격 차이 및 수수료보다 더 큰 이익을 창출하는 게임 시스템이 이점을 제공합니다. 아무리 돈을 관리해도 나쁜 게임 시스템을 구할 수는 없습니다.

긍정적인 기대는 0보다 큰 값으로 정의됩니다. 이 숫자가 클수록 통계적 기대가 더 강해집니다. 값이 0보다 작으면 수학적 기대값도 음수가 됩니다. 음수 값의 모듈이 클수록 상황은 더욱 악화됩니다. 결과가 0이면 대기는 손익 분기점입니다. 긍정적인 수학적 기대와 합리적인 플레이 시스템이 있어야만 승리할 수 있습니다. 직관에 의한 플레이는 재앙을 초래합니다.


수학적 기대와 주식 거래

수학적 기대는 금융 시장에서 거래소 거래를 수행할 때 상당히 널리 사용되고 널리 사용되는 통계 지표입니다. 우선, 이 매개변수는 거래의 성공 여부를 분석하는 데 사용됩니다. 이 값이 높을수록 연구 중인 거래가 성공했다고 간주할 이유가 더 많아진다고 추측하는 것은 어렵지 않습니다. 물론, 이 매개변수만으로는 트레이더의 작업 분석을 수행할 수 없습니다. 그러나 계산된 값은 작업 품질을 평가하는 다른 방법과 결합하여 분석의 정확도를 크게 높일 수 있습니다.


수학적 기대치는 종종 거래 계좌 모니터링 서비스에서 계산되므로 예금에 대해 수행된 작업을 신속하게 평가할 수 있습니다. 예외에는 수익성 없는 거래를 "앉아 있는" 전략을 사용하는 전략이 포함됩니다. 상인은 한동안 운이 좋을 수 있으므로 그의 작업에서 전혀 손실이 없을 수 있습니다. 이 경우 작업에 사용되는 위험은 고려되지 않으므로 수학적 기대치에만 의존하는 것은 불가능합니다.

시장 거래에서 수학적 기대치는 거래 전략의 수익성을 예측하거나 이전 거래의 통계 데이터를 기반으로 거래자의 수입을 예측할 때 가장 자주 사용됩니다.

자금 관리와 관련하여 부정적인 기대를 갖고 거래할 때 확실히 높은 수익을 가져올 수 있는 자금 관리 계획은 없다는 점을 이해하는 것이 매우 중요합니다. 이러한 조건에서 주식 시장에서 계속 플레이하면 돈을 어떻게 관리하든 상관없이 처음에 아무리 큰 계정이라도 전체 계정을 잃게 됩니다.

이 공리는 부정적인 기대를 갖는 게임이나 거래뿐만 아니라 기회가 동일한 게임에도 적용됩니다. 따라서 장기적으로 이익을 얻을 수 있는 유일한 기회는 긍정적인 기대 가치로 거래하는 경우입니다.


부정적 기대와 긍정적 기대의 차이는 삶과 죽음의 차이이다. 기대가 얼마나 긍정적인지, 얼마나 부정적인지는 중요하지 않습니다. 중요한 것은 그것이 긍정적인지 부정적인지입니다. 따라서 돈관리를 고려하기 전에 긍정적인 기대를 갖고 있는 게임을 찾아야 한다.

그 게임이 없다면 세상의 모든 돈 관리가 당신을 구해주지 못할 것입니다. 반면에 긍정적인 기대가 있다면 적절한 자금 관리를 통해 이를 기하급수적인 성장 기능으로 바꿀 수 있습니다. 긍정적인 기대가 얼마나 작은지는 중요하지 않습니다! 즉, 단일 계약을 기반으로 하는 거래 시스템이 얼마나 수익성이 있는지는 중요하지 않습니다. 거래당 계약당 10달러(커미션 및 슬리피지 공제 후)를 얻는 시스템이 있는 경우 자금 관리 기술을 사용하여 거래당 평균 1,000달러(커미션 및 슬리피지 공제 후)를 얻는 시스템보다 더 많은 수익을 낼 수 있습니다.


중요한 것은 시스템이 얼마나 수익성이 있었는지가 아니라 시스템이 미래에 최소한의 이익을 보여줄 수 있다고 얼마나 확신할 수 있는지입니다. 따라서 트레이더가 할 수 있는 가장 중요한 준비는 시스템이 미래에 긍정적인 기대 가치를 표시하도록 하는 것입니다.

미래에 긍정적인 기대값을 가지려면 시스템의 자유도를 제한하지 않는 것이 매우 중요합니다. 이는 최적화할 매개변수 수를 제거하거나 줄이는 것뿐만 아니라 가능한 한 많은 시스템 규칙을 줄여 달성됩니다. 추가하는 모든 매개변수, 만드는 모든 규칙, 시스템에 대한 모든 작은 변경은 자유도를 감소시킵니다. 이상적으로는 거의 모든 시장에서 지속적으로 작은 수익을 창출할 수 있는 상당히 원시적이고 간단한 시스템을 구축해야 합니다. 다시 말하지만, 시스템이 수익성이 있는 한 시스템이 얼마나 수익성이 있는지는 중요하지 않다는 점을 이해하는 것이 중요합니다. 트레이딩으로 버는 돈은 효과적인 자금 관리를 통해 만들어집니다.

거래 시스템은 단순히 자금 관리를 사용할 수 있도록 긍정적인 기대 가치를 제공하는 도구입니다. 하나 또는 소수의 시장에서만 작동하거나(적어도 최소한의 이익을 보여줌), 서로 다른 시장에 대해 서로 다른 규칙이나 매개변수를 사용하는 시스템은 충분히 오랫동안 실시간으로 작동하지 않을 가능성이 높습니다. 대부분의 기술 중심 거래자의 문제는 거래 시스템의 다양한 규칙과 매개변수 값을 최적화하는 데 너무 많은 시간과 노력을 소비한다는 것입니다. 이는 완전히 반대되는 결과를 가져옵니다. 거래 시스템의 이익을 높이는 데 에너지와 컴퓨터 시간을 낭비하는 대신 최소한의 이익을 얻는 신뢰성 수준을 높이는 데 에너지를 사용하십시오.

자금 관리가 긍정적인 기대를 필요로 하는 숫자 게임일 뿐이라는 것을 알면 거래자는 주식 거래의 "성배"를 찾는 것을 중단할 수 있습니다. 대신 그는 자신의 거래 방법을 테스트하기 시작하고 이 방법이 얼마나 논리적인지, 그리고 그것이 긍정적인 기대를 주는지 여부를 알아볼 수 있습니다. 매우 평범한 거래 방법에도 적용되는 적절한 자금 관리 방법은 나머지 작업을 스스로 수행합니다.


트레이더가 업무에서 성공하려면 가장 중요한 세 가지 작업을 해결해야 합니다. 성공적인 거래의 수가 피할 수 없는 실수와 계산 착오를 초과하는지 확인합니다. 가능한 한 자주 돈을 벌 수 있도록 거래 시스템을 설정하십시오. 귀하의 운영에서 안정적이고 긍정적인 결과를 얻으십시오.

그리고 여기서 일하는 트레이더들에게 수학적 기대는 큰 도움이 될 수 있습니다. 이 용어는 확률 이론의 핵심 용어 중 하나입니다. 이를 통해 임의의 값에 대한 평균 추정치를 제공할 수 있습니다. 가능한 모든 확률을 질량이 다른 점으로 상상한다면 확률 변수의 수학적 기대는 무게 중심과 유사합니다.


거래 전략과 관련하여 이익(또는 손실)에 대한 수학적 기대치는 그 효율성을 평가하는 데 가장 자주 사용됩니다. 이 매개변수는 주어진 손익 수준과 그 발생 확률의 곱의 합으로 정의됩니다. 예를 들어, 개발된 거래 전략은 모든 거래의 37%가 수익을 창출하고 나머지 부분(63%)은 수익성이 없다고 가정합니다. 동시에 성공적인 거래로 인한 평균 수입은 7달러이고 평균 손실은 1.4달러입니다. 이 시스템을 사용하여 거래에 대한 수학적 기대치를 계산해 보겠습니다.

이 숫자는 무엇을 의미하나요? 이 시스템의 규칙에 따라 평균적으로 우리는 마감된 각 거래에서 $1,708를 받게 됩니다. 결과적인 효율성 등급은 0보다 크므로 이러한 시스템은 실제 작업에 사용될 수 있습니다. 계산 결과 수학적 기대치가 음수로 판명되면 이는 이미 평균 손실을 나타내며 그러한 거래는 파멸로 이어질 것입니다.

거래당 이익 금액은 % 형식의 상대값으로 표현될 수도 있습니다. 예를 들어:

– 1건의 거래당 소득 비율 - 5%;

– 성공적인 거래 운영 비율 - 62%;

– 1건의 거래당 손실 비율 - 3%

– 실패한 거래 비율 - 38%

즉, 평균 거래는 1.96%를 가져올 것입니다.

수익성 없는 거래가 우세함에도 불구하고 MO>0이기 때문에 긍정적인 결과를 낳는 시스템을 개발하는 것이 가능합니다.

그러나 기다리는 것만으로는 충분하지 않습니다. 시스템이 거래 신호를 거의 제공하지 않으면 돈을 벌기가 어렵습니다. 이 경우 수익성은 은행이자와 비슷합니다. 각 작업의 평균 수익은 0.5달러에 불과하지만 시스템에 연간 1000개의 작업이 포함된다면 어떻게 될까요? 이는 비교적 짧은 시간에 매우 상당한 금액이 될 것입니다. 논리적으로 보면 좋은 거래 시스템의 또 다른 특징은 짧은 기간의 포지션 보유로 간주될 수 있습니다.


출처 및 링크

dic.academic.ru - 학술 온라인 사전

math.ru – 수학 교육 웹사이트

nsu.ru – 노보시비르스크 주립대학교의 교육 웹사이트

webmath.ru는 학생, 지원자 및 학생을 위한 교육 포털입니다.

exponta.ru 교육 수학 웹사이트

ru.tradimo.com – 무료 온라인 트레이딩 스쿨

crypto.hut2.ru – 종합 정보 리소스

poker-wiki.ru – 무료 포커 백과사전

sernam.ru – 엄선된 자연과학 출판물의 과학 도서관

reshim.su – 웹사이트 WE WILL SOLVE 시험 교과 과정 문제

unfx.ru – UNFX의 외환: 교육, 거래 신호, 신뢰 관리

slovopedia.com – 대형 백과사전 Slovopedia

pokermansion.3dn.ru – 포커 세계의 가이드

statanaliz.info – 정보 블로그 “통계 데이터 분석”

forex-trader.rf – 외환 트레이더 포털

megafx.ru – 현재 외환 분석

fx-by.com – 트레이더를 위한 모든 것

이산형 및 연속형 확률 변수의 기본 수치 특성: 수학적 기대, 분산 및 표준 편차. 해당 속성과 예.

분포 법칙(분포 함수 및 분포 계열 또는 확률 밀도)은 확률 변수의 동작을 완벽하게 설명합니다. 그러나 많은 문제에서는 제기된 질문에 답하기 위해 연구 중인 값의 일부 수치적 특성(예: 평균값 및 가능한 편차)을 아는 것으로 충분합니다. 이산확률변수의 주요 수치적 특성을 고려해 봅시다.

정의 7.1.수학적 기대이산 확률 변수는 가능한 값과 해당 확률의 곱의 합입니다.

중(엑스) = 엑스 1 아르 자형 1 + 엑스 2 아르 자형 2 + … + x p p p.(7.1)

확률 변수의 가능한 값의 수가 무한하다면 결과 계열이 절대적으로 수렴하는 것입니다.

참고 1.수학적 기대값은 때때로 다음과 같이 불립니다. 가중 평균, 이는 다수의 실험에 걸쳐 관찰된 확률변수의 값의 산술 평균과 대략 동일하기 때문입니다.

노트 2.수학적 기대의 정의에 따르면 그 값은 무작위 변수의 가능한 가장 작은 값 이상이며 가장 큰 값보다 크지 않습니다.

노트 3.이산확률변수의 수학적 기대값은 다음과 같습니다. 무작위가 아닌(끊임없는. 나중에 연속확률변수에 대해서도 마찬가지라는 것을 알게 될 것입니다.

예 1. 확률 변수의 수학적 기대값 찾기 엑스- 불량 부품 2개를 포함하여 10개 부품 배치에서 선택한 3개 부품 중 표준 부품 수입니다. 다음에 대한 배포 시리즈를 만들어 보겠습니다. 엑스. 문제 조건에서 다음과 같습니다. 엑스 1, 2, 3의 값을 취할 수 있습니다. 그런 다음

예 2. 확률 변수의 수학적 기대값 결정 엑스- 문장이 처음 등장하기 전 동전 던지기 횟수. 이 수량은 무한한 수의 값을 가질 수 있습니다(가능한 값의 집합은 자연수 집합입니다). 배포 시리즈의 형식은 다음과 같습니다.

엑스 … 피 …
아르 자형 0,5 (0,5) 2 … (0,5)피 …

+ (계산할 때 무한히 감소하는 기하학적 진행의 합에 대한 공식이 두 번 사용되었습니다. , 어디서 ).

수학적 기대의 속성.

1) 상수의 수학적 기대값은 상수 자체와 같습니다.

중(와 함께) = 와 함께.(7.2)

증거. 우리가 고려한다면 와 함께하나의 값만 취하는 이산 확률 변수 와 함께확률적으로 아르 자형= 1, 그러면 중(와 함께) = 와 함께?1 = 와 함께.

2) 상수 인자는 수학적 기대값의 부호에서 제거될 수 있습니다.

중(CX) = 센티미터(엑스). (7.3)

증거. 확률변수인 경우 엑스분포 계열에 따라 제공됨


그 다음에 중(CX) = CX 1 아르 자형 1 + CX 2 아르 자형 2 + … + CX P P P = 와 함께(엑스 1 아르 자형 1 + 엑스 2 아르 자형 2 + … + x p r p) = 센티미터(엑스).

정의 7.2.두 개의 확률변수가 호출됩니다. 독립적인, 둘 중 하나의 분배 법칙이 다른 하나가 취한 가치에 의존하지 않는 경우. 그렇지 않으면 무작위 변수 매달린.

정의 7.3.전화하자 독립확률변수의 곱 엑스그리고 와이 무작위 변수 XY, 가능한 값은 가능한 모든 값의 곱과 같습니다 엑스가능한 모든 값에 대해 와이, 해당 확률은 요인 확률의 곱과 같습니다.

3) 두 개의 독립 확률 변수의 곱에 대한 수학적 기대값은 수학적 기대값의 곱과 같습니다.

중(XY) = 중(엑스)중(와이). (7.4)

증거. 계산을 단순화하기 위해 다음과 같은 경우로 제한합니다. 엑스그리고 와이두 가지 가능한 값만 취하십시오:

따라서, 중(XY) = 엑스 1 와이 1 ?피 1 g 1 + 엑스 2 와이 1 ?피 2 g 1 + 엑스 1 와이 2 ?피 1 g 2 + 엑스 2 와이 2 ?피 2 g 2 = 와이 1 g 1 (엑스 1 피 1 + 엑스 2 피 2) + + 와이 2 g 2 (엑스 1 피 1 + 엑스 2 피 2) = (와이 1 g 1 + 와이 2 g 2) (엑스 1 피 1 + 엑스 2 피 2) = 중(엑스)?중(와이).

참고 1.더 많은 수의 가능한 요소 값에 대해 이 속성을 유사하게 증명할 수 있습니다.

노트 2.속성 3은 수학적 귀납법에 의해 입증된 독립 확률 변수의 수에 관계없이 적용됩니다.

정의 7.4.정의해보자 확률변수의 합 엑스그리고 와이 무작위 변수로 X+Y, 가능한 값은 가능한 각 값의 합과 같습니다. 엑스가능한 모든 값으로 와이; 그러한 합계의 확률은 항의 확률의 곱과 같습니다(종속 확률 변수의 경우 - 한 항의 확률과 두 번째 조건부 확률의 곱).

4) 두 확률 변수(종속 또는 독립)의 합에 대한 수학적 기대치는 다음 항의 수학적 기대값의 합과 같습니다.

중 (X+Y) = 중 (엑스) + 중 (와이). (7.5)

증거.

속성 3 증명에 제공된 분포 계열에 의해 정의된 확률 변수를 다시 고려해 보겠습니다. 그런 다음 가능한 값 X+Y~이다 엑스 1 + ~에 1 , 엑스 1 + ~에 2 , 엑스 2 + ~에 1 , 엑스 2 + ~에 2. 각각의 확률을 다음과 같이 표시하겠습니다. 아르 자형 11 , 아르 자형 12 , 아르 자형 21 및 아르 자형 22. 우리는 찾을 것이다 중(엑스+와이) = (엑스 1 + 와이 1)피 11 + (엑스 1 + 와이 2)피 12 + (엑스 2 + 와이 1)피 21 + (엑스 2 + 와이 2)피 22 =

= 엑스 1 (피 11 + 피 12) + 엑스 2 (피 21 + 피 22) + 와이 1 (피 11 + 피 21) + 와이 2 (피 12 + 피 22).

그것을 증명해보자 아르 자형 11 + 아르 자형 22 = 아르 자형 1 . 실제로 그 사건은 X+Y가치를 가질 것이다 엑스 1 + ~에 1 또는 엑스 1 + ~에 2이고 확률은 다음과 같습니다. 아르 자형 11 + 아르 자형 22는 그 사건과 일치한다. 엑스 = 엑스 1(그 확률은 아르 자형 1). 비슷한 방식으로 증명된다. 피 21 + 피 22 = 아르 자형 2 , 피 11 + 피 21 = g 1 , 피 12 + 피 22 = g 2. 수단,

중(X+Y) = 엑스 1 피 1 + 엑스 2 피 2 + 와이 1 g 1 + 와이 2 g 2 = 중 (엑스) + 중 (와이).

논평. 속성 4에서 임의의 수의 임의 변수의 합은 항의 수학적 기대치의 합과 같습니다.

예. 주사위 5개를 던져 얻은 점수의 합에 대한 수학적 기대치를 구합니다.

주사위 하나를 던질 때 굴리는 점수의 수학적 기대치를 구해 보겠습니다.

중(엑스 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) 동일한 숫자는 주사위에 굴린 포인트 수에 대한 수학적 기대치와 같습니다. 따라서 속성 4에 따라 중(엑스)=

분산.

확률 변수의 동작에 대한 아이디어를 얻으려면 수학적 기대값만 아는 것만으로는 충분하지 않습니다. 두 가지 확률 변수를 고려하십시오. 엑스그리고 와이, 다음 형식의 분포 계열로 지정됩니다.

엑스
아르 자형 0,1 0,8 0,1
와이
피 0,5 0,5

우리는 찾을 것이다 중(엑스) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, 중(와이) = 0?0.5 + 100?0.5 = 50. 보시다시피 두 수량의 수학적 기대치는 동일하지만 흠(엑스) 확률이 가장 높은 값인 무작위 변수의 동작을 잘 설명합니다 (나머지 값은 50과 크게 다르지 않습니다). 와이에서 크게 제거됨 중(와이). 따라서 수학적 기대값과 함께 확률변수의 값이 이를 얼마나 벗어나는지 아는 것이 바람직하다. 이 지표를 특성화하기 위해 분산이 사용됩니다.

정의 7.5.분산(산란)확률 변수의 수학적 기대치로부터의 편차의 제곱에 대한 수학적 기대치는 다음과 같습니다.

디(엑스) = 중 (엑스엠(엑스))². (7.6)

확률변수의 분산을 구해보자 엑스(선정된 부품 중 표준 부품의 개수)는 본 강의의 예시 1에 나와 있습니다. 수학적 기대치에서 가능한 각 값의 제곱 편차를 계산해 보겠습니다.

(1 - 2.4) 2 = 1.96; (2 - 2.4) 2 = 0.16; (3 - 2.4) 2 = 0.36. 따라서,

참고 1.분산을 결정할 때 평가되는 것은 평균 자체와의 편차가 아니라 평균의 제곱입니다. 이는 서로 다른 기호의 편차가 서로 상쇄되지 않도록 수행됩니다.

노트 2.분산의 정의에 따르면 이 양은 음수가 아닌 값만 취합니다.

노트 3.계산에 보다 편리한 분산 계산 공식이 있으며, 그 타당성은 다음 정리로 입증됩니다.

정리 7.1.디(엑스) = 중(엑스²) - 중²( 엑스). (7.7)

증거.

무엇을 사용하여 중(엑스)는 상수 값이고 수학적 기대의 속성을 사용하여 공식 (7.6)을 다음 형식으로 변환합니다.

디(엑스) = 중(엑스엠(엑스))² = 중(엑스² - 2 X?M(엑스) + 중²( 엑스)) = 중(엑스²) - 2 중(엑스)?중(엑스) + 중²( 엑스) =

= 중(엑스²) - 2 중²( 엑스) + 중²( 엑스) = 중(엑스²) - 중²( 엑스), 이는 입증이 필요한 것이었습니다.

예. 확률변수의 분산을 계산해보자 엑스그리고 와이이 섹션의 시작 부분에서 논의되었습니다. 중(엑스) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

중(와이) = (0 2 ?0.5 + 100²?0.5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. 따라서 두 번째 확률 변수의 분산은 첫 번째 확률 변수의 분산보다 수천 배 더 큽니다. 따라서 이러한 양의 분포 법칙을 모르더라도 알려진 분산 값을 기반으로 다음과 같이 말할 수 있습니다. 엑스수학적 기대에서 거의 벗어나지 않는 반면 와이이 편차는 상당히 중요합니다.

분산의 특성.

1) 상수값의 변화 와 함께 0과 같음:

디 (씨) = 0. (7.8)

증거. 디(씨) = 중((센티미터(씨))²) = 중((CC)²) = 중(0) = 0.

2) 상수 인자는 분산 부호를 제곱하여 제거할 수 있습니다.

디(CX) = 씨² 디(엑스). (7.9)

증거. 디(CX) = 중((CX-M(CX))²) = 중((CX-CM(엑스))²) = 중(씨²( 엑스엠(엑스))²) =

= 씨² 디(엑스).

3) 두 개의 독립 확률 변수 합의 분산은 분산의 합과 같습니다.

디(X+Y) = 디(엑스) + 디(와이). (7.10)

증거. 디(X+Y) = 중(엑스² + 2 XY + 와이²) - ( 중(엑스) + 중(와이))² = 중(엑스²) + 2 중(엑스)중(와이) +

+ 중(와이²) - 중²( 엑스) - 2중(엑스)중(와이) - 중²( 와이) = (중(엑스²) - 중²( 엑스)) + (중(와이²) - 중²( 와이)) = 디(엑스) + 디(와이).

결과 1.서로 독립적인 여러 확률 변수의 합의 분산은 분산의 합과 같습니다.

결과 2.상수와 확률변수의 합의 분산은 확률변수의 분산과 같습니다.

4) 두 독립 확률 변수 간의 차이의 분산은 분산의 합과 같습니다.

디(X-Y) = 디(엑스) + 디(와이). (7.11)

증거. 디(X-Y) = 디(엑스) + 디(-와이) = 디(엑스) + (-1)² 디(와이) = 디(엑스) + 디(엑스).

분산은 평균에서 무작위 변수의 제곱 편차의 평균값을 제공합니다. 편차 자체를 평가하기 위해 표준 편차라는 값이 사용됩니다.

정의 7.6.표준 편차σ 확률변수 엑스분산의 제곱근이라고 합니다:

예. 이전 예에서 표준편차는 엑스그리고 와이각각 동등하다

수학적 기대의 개념은 주사위를 던지는 예를 통해 생각해 볼 수 있습니다. 던질 때마다 떨어진 점수가 기록됩니다. 이를 표현하기 위해 1~6 범위의 자연값이 사용됩니다.

특정 횟수를 던진 후 간단한 계산을 사용하여 굴린 점수의 산술 평균을 찾을 수 있습니다.

범위 내 값의 발생과 마찬가지로 이 값은 무작위입니다.

던지기 횟수를 여러 번 늘리면 어떻게 되나요? 던진 횟수가 많으면 포인트의 산술 평균이 특정 숫자에 가까워지며, 확률 이론에서는 이를 수학적 기대라고 합니다.

따라서 수학적 기대란 무작위 변수의 평균값을 의미합니다. 이 지표는 확률 값의 가중 합계로 표시될 수도 있습니다.

이 개념에는 다음과 같은 몇 가지 동의어가 있습니다.

  • 평균값;
  • 평균값;
  • 중심 경향의 지표;
  • 첫 순간.

즉, 확률변수의 값이 분포되어 있는 숫자에 지나지 않습니다.

인간 활동의 다양한 영역에서 수학적 기대를 이해하는 접근 방식은 다소 다를 수 있습니다.

이는 다음과 같이 간주될 수 있습니다.

  • 그러한 결정이 대수 이론의 관점에서 고려될 때, 결정을 내려서 얻은 평균 이익;
  • 각 베팅의 평균으로 계산된 승패 가능성(도박 이론)입니다. 속어에서는 "플레이어의 이점"(플레이어에게 긍정적인 것) 또는 "카지노 이점"(플레이어에게 부정적인 것)처럼 들립니다.
  • 상금으로 얻은 이익의 비율.

절대적으로 모든 확률 변수에 대해 기대치가 필수는 아닙니다. 해당 합이나 적분에 차이가 있는 분은 결석합니다.

수학적 기대의 속성

다른 통계 매개변수와 마찬가지로 수학적 기대값에는 다음과 같은 속성이 있습니다.


수학적 기대값의 기본 공식

수학적 기대값 계산은 연속성(공식 A)과 이산성(공식 B)을 모두 특징으로 하는 확률 변수에 대해 모두 수행할 수 있습니다.

  1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, 여기서 xi는 확률 변수의 값이고, pi는 확률입니다.
  2. M(X)=∫+무한대f(x)⋅xdx, 여기서 f(x)는 주어진 확률 밀도입니다.

수학적 기대값 계산의 예

예 A.

백설공주 동화에 나오는 난쟁이들의 평균 키를 알아내는 것이 가능할까요? 7명의 난쟁이 각각의 키는 1.25로 알려져 있습니다. 0.98; 1.05; 0.71; 0.56; 0.95m와 0.81m.

계산 알고리즘은 매우 간단합니다.

  • 성장 지표(무작위 변수)의 모든 값의 합을 찾습니다.
    1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
  • 결과 금액을 노움 수로 나눕니다.
    6,31:7=0,90.

따라서 동화 속 노움의 평균 키는 90cm, 즉 노움의 성장에 대한 수학적 기대치이다.

작동 공식 - M(x)=4 0.2+6 0.3+10 0.5=6

수학적 기대의 실제 구현

수학적 기대의 통계 지표 계산은 실제 활동의 다양한 영역에서 사용됩니다. 우선, 우리는 상업 영역에 대해 이야기하고 있습니다. 결국 Huygens가 이 지표를 도입한 것은 어떤 사건에 대해 유리할 수도 있고 반대로 불리할 수도 있는 기회를 결정하는 것과 관련이 있습니다.

이 매개변수는 특히 금융 투자와 관련하여 위험을 평가하는 데 널리 사용됩니다.
따라서 비즈니스에서 수학적 기대값 계산은 가격을 계산할 때 위험을 평가하는 방법으로 사용됩니다.

이 지표는 노동 보호와 같은 특정 조치의 효과를 계산하는 데에도 사용될 수 있습니다. 덕분에 이벤트가 발생할 확률을 계산할 수 있습니다.

이 매개변수의 또 다른 적용 영역은 관리입니다. 제품 품질 관리 중에도 계산할 수 있습니다. 예를 들어 매트를 사용합니다. 기대에 따라 생산된 결함 부품의 가능한 개수를 계산할 수 있습니다.

또한 과학 연구 중에 얻은 결과를 통계적으로 처리할 때 수학적 기대가 필수적인 것으로 나타났습니다. 이를 통해 목표 달성 수준에 따라 실험이나 연구에서 원하거나 바람직하지 않은 결과가 나올 확률을 계산할 수 있습니다. 결국 그 성취는 이득과 이익과 연관될 수 있고, 실패는 손실과 손실과 연관될 수 있다.

Forex에서 수학적 기대값 사용

외환시장에서 거래를 수행할 때 이 통계 매개변수의 실제 적용이 가능합니다. 이를 통해 무역 거래의 성공 여부를 분석할 수 있습니다. 또한 기대값이 증가하면 성공률이 높아진다는 의미입니다.

수학적 기대치가 거래자의 성과를 분석하는 데 사용되는 유일한 통계 매개변수로 간주되어서는 안 된다는 점을 기억하는 것도 중요합니다. 평균값과 함께 여러 통계 매개변수를 사용하면 분석의 정확도가 크게 향상됩니다.

이 매개변수는 거래 계좌 관찰을 모니터링하는 데 있어 그 자체로 잘 입증되었습니다. 덕분에 예금 계좌에서 수행된 작업에 대한 빠른 평가가 수행됩니다. 거래자의 활동이 성공적으로 이루어지고 손실을 피할 수 있는 경우 수학적 기대값 계산만을 사용하는 것은 권장되지 않습니다. 이러한 경우 위험이 고려되지 않아 분석의 효율성이 떨어집니다.

트레이더의 전술에 대해 수행된 연구에 따르면 다음과 같습니다.

  • 가장 효과적인 전술은 무작위 진입을 기반으로 하는 전술입니다.
  • 구조화된 입력을 기반으로 하는 전술은 가장 효과적이지 않습니다.

긍정적인 결과를 얻으려면 다음이 중요합니다.

  • 자금 관리 전술;
  • 출구 전략.

수학적 기대치와 같은 지표를 사용하면 1달러를 투자할 때 손익이 어떻게 될지 예측할 수 있습니다. 카지노에서 진행되는 모든 게임에 대해 계산된 이 지표는 설립에 유리한 것으로 알려져 있습니다. 이것이 바로 돈을 벌 수 있게 해주는 것입니다. 긴 시리즈의 게임의 경우 고객이 돈을 잃을 가능성이 크게 높아집니다.

프로 선수들이 플레이하는 게임은 짧은 시간으로 제한되어 있어 승리할 확률은 높이고 패배할 위험은 줄어듭니다. 투자 운영을 수행할 때도 동일한 패턴이 관찰됩니다.

투자자는 긍정적인 기대를 갖고 단기간에 많은 거래를 함으로써 상당한 수익을 얻을 수 있습니다.

기대치는 이익률(PW)에 평균 이익(AW)을 곱한 값과 손실 확률(PL)에 평균 손실(AL)을 곱한 값의 차이로 생각할 수 있습니다.

예를 들어 포지션 – 12.5천 달러, 포트폴리오 – 10만 달러, 예금 위험 – 1%를 고려할 수 있습니다. 거래 수익성은 40%이며 평균 이익은 20%입니다. 손실이 발생하는 경우 평균 손실률은 5%입니다. 거래에 대한 수학적 기대치를 계산하면 $625의 가치가 나옵니다.



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