수학 올림피아드와 올림피아드 문제.

29.07.2019

VI 레너드 오일러의 이름을 딴 수학 올림피아드

지역 단계 과제에 대한 솔루션

1. 일주일 만에 학생은 13개의 성적(2, 3, 4, 5 세트)을 받았으며 그 산술 평균은 정수입니다. 그가 어떤 성적을 두 번 이상 받지 않았음을 증명하십시오.(N.Agakhanov).

해결책. 반대로 가정해보자. 그러면 각각의 추정치는 2, 3, 4, 5 학생은 그 이상을 받았습니다 세 번. 각 유형에 대해 세 가지 추정치를 살펴보겠습니다. 12점의 합은 42점이고, 13점의 합은 남은 점수에 따라 44, 45, 46, 47점입니다. 그러나 44, 45, 46, 47은 13으로 나누어질 수 없습니다.

2. 전문가는 똑같이 생긴 동전 12개를 제시받았는데, 그 중 일부는 위조되었을 수도 있습니다. 모든 진짜 동전의 무게는 동일하고, 모든 위조 동전의 무게도 동일하며, 위조 동전은 진짜 동전보다 가볍습니다. 전문가는 팬 저울과 기준 동전(진짜 5개, 위조 5개)을 가지고 있습니다. 과연 그는 4번의 무게 측정을 통해 가방 안에 있는 위조 동전의 개수를 알아낼 수 있을까요?(에 대한.네차에바)

답변.수있을 것입니다. 해결책. 분명히 두 번의 계량을 통해 6개의 데이터 중 위조 동전의 수를 판별하는 것이 가능하다는 것을 보여주는 것만으로도 충분합니다. 이 6개의 동전을 부르자 알려지지 않은. 우리는 진짜 동전 3개와 위조 동전 3개를 가져와서 알려지지 않은 동전과 무게를 달아봅니다. 저울의 균형이 맞으면 알려지지 않은 동전 중에 정확히 세 개의 위조 동전이 있는 것입니다. 기준화폐의 무게를 더 크게 해보세요. 그러면 알려지지 않은 동전 중에는 4, 5, 6개의 위조 동전이 있습니다. 표준 가짜 5개와 표준 진짜 1개를 가져와서 알 수 없는 동전으로 무게를 달아 봅시다. 평등이 있으면 알려지지 않은 동전 중에 표준 동전이 가짜 6개, 알려지지 않은 동전이 가짜 4개보다 크면 정확히 5개의 가짜 동전이 있다는 것을 알 수 있습니다. 1차 계량시 정체불명의 동전이 계량된 경우도 유사하게 생각되나, 2차 계량은 표준진짜동전 5개와 표준위조동전 1개로 실시한다.

3. 우리는 4개의 자연수를 사용했습니다. 이 숫자의 각 쌍에 대해 가장 큰 숫자를 적으세요. 공약수. 우리는 6개의 숫자를 얻었습니다: 1, 2, 3, 4, 5, N, 어디N> 5. 어느 가장 작은 값번호를 받을 수 있어요 N? (O. 드미트리에프)

답변. 14.해결책. 숫자 N예를 들어 4개의 숫자 4, 15, 70, 84로 표시된 것처럼 은 14와 같을 수 있습니다. N ³ 14.

기본정리. 쌍별 gcd 중 네 개의 숫자어떤 자연수로 나누어지는 숫자는 정확히 두 개가 있을 수 없습니다. 케이. 증거. 원래 4개의 숫자 중 으로 나눌 수 있는 숫자가 최대 2개이면 케이, 그런 다음 쌍별 gcd 중 케이하나만 공유됩니다. 원래 숫자 중 세 개가 다음으로 나누어지는 경우 케이, 그러면 쌍별 gcd 세 개 모두 다음으로 나눌 수 있습니다. 케이.

보조정리 적용하기 케이= 2, 우리는 숫자를 찾습니다 N심지어. 적용 대상 케이= 3, 케이= 4 및 케이= 5, 우리는 그것을 얻습니다 N은 3, 4, 5로 나누어지지 않습니다. 이는 N 6, 8, 10, 12와 같을 수 없습니다.

4. 삼각형 ABC의 변 AC에서 BD = AC가 되도록 점 D를 선택합니다. 이 삼각형의 중앙값 AM은 점 K에서 세그먼트 BD와 교차합니다. DK = DC임이 밝혀졌습니다. AM+KM = AB임을 증명하세요.(S. 베를로프)

해결책. 다음으로 나타내자 엘점대칭 케이비교적 중. 그 다음에

기원 후 = A.C. – CD = BD – DK = B.K. = C.L. .

왜냐하면 각도가 BDA그리고 ACL상응하는 것과 동일하며, BD = AC조건에 따라 삼각형 BDA그리고 ACL양쪽이 같고 그 사이의 각도가 같습니다. 여기에서 AB = 알 = 오전.+M.L. = 오전.+K.M..

5. 2013개의 포인트가 원에 표시되었으며 각 포인트는 두 개의 인접한 포인트와 연결되었습니다. 또한 원의 중심을 표시하고 이를 다른 모든 표시된 지점에 연결했습니다. 표시된 점 1007개를 빨간색으로, 나머지 1007개를 빨간색으로 색칠할 수 있나요? 파란색빨간 점 하나하나가 연결되도록 아니다 우수파란색이고 각 파란색에는 짝수 개의 파란색이 있습니까?(I. 루바노프)

답변.그것은 금지되어 있습니다. 해결책. 원의 중심이 빨간색이라고 가정해 보겠습니다. 그러면 원에는 1006개의 빨간색 점과 1007개의 파란색 점이 있으므로 서로 옆에 두 개의 파란색 점이 있게 됩니다. 그러나 시계 방향으로 따라오는 지점도 파란색이어야 합니다. 그렇지 않으면 파란색 지점 하나가 파란색 지점 하나에 연결됩니다. 계속해서 추론해 보면 원에 표시된 모든 점이 파란색이어야 한다는 사실을 알게 됩니다. 이는 모순입니다. 원의 중심이 파란색이라고 가정해 보겠습니다. 그러면 원 위에 두 개의 빨간색 점이 서로 나란히 서 있을 것입니다. 그러나 시계 방향으로 따라오는 지점도 빨간색이어야 합니다. 그렇지 않으면 두 개의 파란색 지점에 빨간색 지점이 연결됩니다. 계속해서 추론해 보면 원에 표시된 모든 점이 빨간색이어야 한다는 사실을 알게 됩니다. 이는 다시 모순입니다.

6. 볼록한 오각형 ABCDE가 주어지면 선 BE는 선 CD와 평행하고 선분은 BE 세그먼트보다 짧음CD. 오각형 내부에서는 ABCF와 AGDE가 평행사변형이 되도록 점 F와 G가 선택됩니다. 그 CD를 증명해 보세요 = BE + F.G.(K. Knop, S. Berlov)

해결책. 세그먼트에 표시해 보겠습니다.CD그런 점 시간, 무엇 CH = BE. 그 다음에 BEHC - 평행사변형. 그래서 세그먼트뭐라고.세그먼트와 평행하고 동일함기원전, 그리고 그에 따라 세그먼트A.F.. 따라서, AFHE- 평행사변형. 이제 우리는 세그먼트가FH세그먼트와 평행하고 동일함A.E., 그리고 그에 따라 세그먼트G.D.. 그리고 이것은 다음을 의미합니다FGDH - 평행사변형. 따라서,D.H. = FG, 어디 CD = CH+ D.H.= BE + FG.

7. 바둑판 크기 2014 ´ 2014 크기 3의 각 사각형에 여러 개의 (적어도 하나) 셀이 그려져 있습니다. ´ 3개의 셀 중 짝수 개의 셀이 음영처리되어 있습니다. 가장 작은 것은 무엇입니까? 가능한 수색깔 있는 세포? (M. 안티포프)

답변. 1342.해결책. 예. 보드의 첫 번째 수직에 두 번째, 세 번째, 다섯 번째, 여섯 번째, ..., 2012번째 및 2013번째 셀을 칠해 봅시다. 그러면 모든 사각형에는 3개가 있습니다.´ 3, 보드의 왼쪽 가장자리에 인접한 사각형에는 정확히 두 개의 사각형이 채워져 있지만 다른 모든 사각형에는 음영 처리된 사각형이 없습니다. 이 경우 총 2개가 음영 처리됩니다.× 2013/3 = 1342셀.

등급. 보드에 칠해진 정사각형의 수는 1342개 미만입니다. 보드의 가로선 3개를 연속해서 부르자. 약한, 채워진 셀을 포함하지 않는 수평선이 두 개 이상 포함된 경우. 그걸 보여주자 약한 3개가 있어요. 실제로 첫 번째 줄을 제외한 보드의 모든 가로줄을 3줄로 나누어 보겠습니다. 우리는 671개의 3을 얻습니다. 그 중에 약한 셀이 없으면 각각에는 최소한 두 개의 음영 셀이 포함되어 있으며 총 671개 이상이 음영 처리됩니다.× 2 = 1342개 셀 - 모순입니다.

그것을주의해라 채워진 셀이 있는 약한 트리플이 있습니다.. 실제로, 임의의 약한 트리플을 취해보자. 음영 처리된 셀이 없으면 음영 처리된 셀 중 하나로 이동하면 조만간 음영 처리된 셀이 있는 선을 만나게 되고 원하는 트리플을 얻게 됩니다. 이를 수정하고 2014 직사각형에서 제거해 보겠습니다.´ 3, 수평선, 가장 오른쪽 세 개의 셀, 나머지 직사각형으로 구성됨 2013´ 3을 671제곱 3으로 나누자´ 3. 각 사각형에는 두 개의 채워진 셀이 있거나 전혀 없습니다. 각각 두 개가 있으면 총 1342개 이상의 셀이 칠해집니다. 이는 모순입니다. 이는 채워진 셀이 없는 사각형이 있음을 의미합니다. 가장 가까운 색상 셀을 향해 수평으로 이동하겠습니다. 색칠된 셀이 처음으로 그 안에 들어가면 정확히 하나의 셀이 색칠된 사각형을 얻게 됩니다. 이는 모순입니다.

8. 2014년 쌍별 구별을 고려하면 자연수따라서 그 중 임의의 두 숫자의 곱은 이 두 숫자의 합으로 나누어질 수 있습니다. 주어진 숫자 중 어느 것도 서로 쌍을 이룬 서로 다른 소수 6개의 곱과 같을 수 없음을 증명하십시오.(S. Berlov, V. Senderov, I. Rubanov)

해결책. 반대를 가정해 봅시다: 데이터 중에 숫자가 있습니다ㅏ, 제품과 동일 6개의 쌍별로 다른 소수. 평등에서ab/(ㅏ+ 비) = 비 – 비 2 /(ㅏ+ 비) 그에 따른다 ab로 나눈 ㅏ+ 비그때 그리고 그때만비 2는 다음과 같이 나눌 수 있습니다. ㅏ+ 비. 따라서 숫자의 경우ㅏ보드 위에 있으면 그 사각형은 다음 형식의 모든 숫자로 나누어져야 합니다.ㅏ+ 비, 어디 비- 다른 주어진 숫자. 하지만 2013년에는 그런 숫자가 있고 그 숫자는ㅏ 2 단지 36 = 729 제수(이는 다음과 같습니다) 유명한 공식우리의 경우 결과는 (2+1)6이지만 이 특별한 경우에는 직접 얻는 것이 어렵지 않습니다.

논평.2014라는 숫자는 선택된 15개에도 포함되지 않았습니다. 이를 확인하려면 2014+ 형식의 모든 제수를 참고하면 충분합니다. ㅏ은 2014보다 크고 숫자 20142에는 정확히 (27–1)/2 그러한 약수가 있습니다. = 13 < 14: 2014년을 제외한 20142의 모든 약수는 20142까지의 보수 쌍으로 나누어지고, 각 쌍에는 정확히 2014보다 큰 약수가 하나 있습니다.

평균 일반 교육

라인 UMK G. K. Muravin. 대수학과 시작 수학적 분석(10-11) (깊은)

UMK Merzlyak 라인. 대수학과 분석의 시작 (10-11) (U)

수학

수학 통합 국가 시험 준비 ( 프로필 수준): 작업, 솔루션 및 설명

선생님과 함께 과제를 분석하고 사례를 해결합니다.

프로필 레벨 시험은 3시간 55분(235분) 동안 진행됩니다.

최소 임계값- 27점.

시험지는 내용, 복잡성 및 과제 수가 다른 두 부분으로 구성됩니다.

작업의 각 부분을 정의하는 특징은 작업 형식입니다.

파트 1에는 8개의 과제(과제 1-8)가 포함되어 있으며 정수 또는 마지막 소수점 형식의 짧은 답이 있습니다.
2부에는 정수 또는 소수점 이하 소수 형태의 짧은 답이 포함된 4개의 작업(작업 9-12)과 자세한 답변이 포함된 7개의 작업(작업 13-19)이 포함되어 있습니다. 취해진 조치).

파노바 스베틀라나 아나톨레브나, 최고 수준의 학교 수학 교사, 근무 경력 20년:

“학교 수료증을 받으려면 졸업생은 통합 국가 시험 형태의 두 가지 필수 시험에 합격해야 하며 그 중 하나는 수학입니다. 수학교육 발전의 이념에 따라 러시아 연방수학 통합 국가 시험은 기본과 전문의 두 가지 수준으로 나뉩니다. 오늘은 프로필 수준 옵션을 살펴보겠습니다.”

작업 번호 1- 통합 상태 시험 참가자가 초등학교 수학 5~9학년 과정에서 습득한 기술을 실제 활동에 적용할 수 있는 능력을 테스트합니다. 참가자는 컴퓨팅 기술을 갖추고 있어야 하며, 함께 작업할 수 있어야 합니다. 유리수, 둥글게 할 수 있다 소수, 한 측정 단위를 다른 측정 단위로 변환할 수 있습니다.

예시 1.피터가 사는 아파트에 유량계가 설치되었습니다. 차가운 물(카운터). 5월 1일 미터기는 172m3의 소비량을 보여주었습니다. m의 물, 6 월 1 일 - 177 입방 미터. m. 가격이 1입방미터라면 Peter는 5월에 냉수에 대해 얼마를 지불해야 합니까? m의 찬물은 34 루블 17 코펙입니까? 답은 루블로 해주세요.

해결책:

1) 한 달에 소비하는 물의 양을 구하십시오.

177 - 172 = 5(세제곱미터)

2) 낭비되는 물에 대해 얼마나 많은 돈을 지불할지 찾아봅시다:

34.17 5 = 170.85 (문지름)

답변: 170,85.

작업 번호 2- 가장 간단한 시험 과제 중 하나입니다. 대다수의 졸업생이 이에 성공적으로 대처하고 있으며 이는 기능 개념 정의에 대한 지식을 나타냅니다. 요구 사항 목록에 따른 작업 유형 2는 실제 활동에서 습득한 지식과 기술을 사용하는 작업이며 일상 생활. 작업 번호 2는 함수를 설명하고 사용하며 수량 간의 다양한 실제 관계를 설명하고 그래프를 해석하는 것으로 구성됩니다. 작업 2번은 표, 다이어그램, 그래프에 표시된 정보를 추출하는 능력을 테스트합니다. 졸업생은 다음과 같은 경우 인수의 값으로 함수의 값을 결정할 수 있어야 합니다. 다양한 방법으로함수를 지정하고 그래프를 기반으로 함수의 동작과 속성을 설명합니다. 또한 함수 그래프에서 가장 큰 값이나 가장 작은 값을 찾고 연구된 함수의 그래프를 작성할 수 있어야 합니다. 문제의 조건을 읽고 다이어그램을 읽을 때 발생하는 오류는 무작위입니다.

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예시 2.그림은 2017년 4월 상반기 광산회사 한주의 교환가치 변화를 보여줍니다. 4월 7일, 그 사업가는 이 회사의 주식 1,000주를 매입했습니다. 4월 10일에 그는 자신이 매입한 주식의 4분의 3을 매도했고, 4월 13일에는 남은 주식을 모두 매도했습니다. 이러한 작업의 결과로 사업가는 얼마를 잃었습니까?

해결책:

2) 1000 · 3/4 = 750(주) - 구매한 전체 주식의 3/4에 해당합니다.

6) 247500 + 77500 = 325000(문지름) - 사업가는 판매 후 1000주를 받았습니다.

7) 340,000 - 325,000 = 15,000(문지름) - 사업가는 모든 작업의 결과로 손실을 입었습니다.

답변: 15000.

작업 번호 3- 첫 번째 부분의 기본 수준에 있는 작업으로 작업을 수행하는 능력을 테스트합니다. 기하학적 모양"Planimetry"과정의 내용에 대해 설명합니다. 작업 3에서는 그림의 면적을 계산하는 능력을 테스트합니다. 체크무늬 종이, 각도의 각도 측정, 둘레 계산 등을 계산하는 기능

예시 3.셀 크기가 1cm x 1cm인 체크무늬 종이에 그려진 직사각형의 면적을 구합니다(그림 참조). 답을 제곱센티미터 단위로 입력하세요.

해결책:주어진 그림의 면적을 계산하려면 Peak 공식을 사용할 수 있습니다.

주어진 직사각형의 면적을 계산하기 위해 Peak의 공식을 사용합니다.

에스= 비 +	G
	2

여기서 B = 10, G = 6이므로

에스 = 18 +	6
	2

답변: 20.

읽어보기: 물리학 통합 상태 시험: 진동 문제 해결

작업 번호 4- "확률 이론 및 통계" 과정의 목표. 가장 간단한 상황에서 사건의 확률을 계산하는 능력이 테스트됩니다.

예시 4.원 위에 빨간색 점 5개와 파란색 점 1개가 표시되어 있습니다. 모든 정점이 빨간색인 다각형과 정점 중 하나가 파란색인 다각형 중 어느 다각형이 더 큰지 결정합니다. 답에 어떤 것이 다른 것보다 더 많은지 표시하십시오.

해결책: 1) 조합의 수를 구하는 공식을 이용해보자 N요소별 케이:

그 정점은 모두 빨간색입니다.

3) 모든 꼭짓점이 빨간색인 오각형 1개.

4) 10 + 5 + 1 = 모든 정점이 빨간색인 다각형 16개.

빨간색 상단이 있거나 파란색 상단이 하나 있습니다.

8) 빨간색 꼭지점과 파란색 꼭지점 1개가 있는 육각형 1개.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 모두 빨간색 꼭지점 또는 하나의 파란색 꼭지점을 포함하는 다각형 42개.

10) 42 – 16 = 파란색 점을 사용하는 다각형 26개.

11) 26 – 16 = 10개의 다각형 - 꼭지점 중 하나가 파란색 점인 다각형이 모든 꼭지점만 빨간색인 다각형보다 얼마나 더 많은가요?

답변: 10.

작업 번호 5- 첫 번째 부분의 기본 수준에서는 간단한 방정식(무리수, 지수, 삼각, 대수)을 푸는 능력을 테스트합니다.

실시예 5.방정식 2 3 + 엑스= 0.4 5 3 + 엑스 .

해결책.이 방정식의 양변을 5 3 + 엑스≠ 0, 우리는 얻는다

2 3 + 엑스	= 0.4 또는		2		3 + 엑스	=	2	,
5 3 + 엑스			5				5

3 + 엑스 = 1, 엑스 = –2.

답변: –2.

작업 번호 6면적계에서 기하학적 양(길이, 각도, 면적)을 찾고 기하학 언어로 실제 상황을 모델링합니다. 기하학적 개념과 정리를 사용하여 구성된 모델을 연구합니다. 어려움의 원인은 일반적으로 필요한 면적 측정 정리를 무시하거나 잘못 적용하는 것입니다.

삼각형의 면적 알파벳 129와 같습니다. 드- 중간선, 측면에 평행 AB. 사다리꼴의 면적 찾기 침대.

해결책.삼각형 CDE삼각형과 비슷하다 택시두 각도에서, 정점에서의 각도 이후 씨일반, 각도 СDE 각도와 같음 택시해당 각도로 드 || AB시컨트 A.C.. 왜냐하면 드조건에 따라 삼각형의 중간선이 되고, 그 다음에는 중간선의 속성에 따라 | 드 = (1/2)AB. 이는 유사성 계수가 0.5라는 것을 의미합니다. 유사한 도형의 면적은 유사성 계수의 제곱으로 관련되므로

따라서, S ABED = 에스 Δ 알파벳 – 에스 Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

작업 번호 7- 함수 연구에 도함수를 적용하는지 확인합니다. 성공적인 구현을 위해서는 파생상품 개념에 대한 의미 있고 비공식적인 지식이 필요합니다.

실시예 7.함수 그래프로 와이 = 에프(엑스) 가로좌표 지점에서 엑스 0 이 그래프의 점 (4; 3)과 (3; –1)을 통과하는 선에 수직인 접선이 그려집니다. 찾다 에프′( 엑스 0).

해결책. 1) 두 직선을 지나는 직선의 방정식을 이용해보자 주어진 포인트그리고 점 (4; 3)과 (3; –1)을 통과하는 직선의 방정식을 구합니다.

(와이 – 와이 1)(엑스 2 – 엑스 1) = (엑스 – 엑스 1)(와이 2 – 와이 1)

(와이 – 3)(3 – 4) = (엑스 – 4)(–1 – 3)

(와이 – 3)(–1) = (엑스 – 4)(–4)

–와이 + 3 = –4엑스+ 16| · (-1)

와이 – 3 = 4엑스 – 16

와이 = 4엑스– 13, 여기서 케이 1 = 4.

2) 접선의 기울기를 구합니다 케이 2, 직선에 수직인 것 와이 = 4엑스– 13, 여기서 케이 1 = 4, 공식에 따르면:

3) 경사 계수접선 - 접선 지점에서 함수의 파생물입니다. 수단, 에프′( 엑스 0) = 케이 2 = –0,25.

답변: –0,25.

작업 번호 8- 시험 참가자의 기본 입체 측정 지식, 표면적 및 도형의 부피를 찾는 공식을 적용하는 능력을 테스트합니다. 2면체 각도, 유사한 도형의 부피를 비교하고, 기하학적 도형, 좌표 및 벡터 등을 사용하여 작업을 수행할 수 있습니다.

구에 외접하는 입방체의 부피는 216입니다. 구의 반지름을 구하세요.

해결책. 1) V큐브 = ㅏ 3 (여기서 ㅏ– 큐브 가장자리의 길이), 따라서

ㅏ 3 = 216

ㅏ = 3 √216

2) 구가 정육면체에 내접되어 있으므로 구의 지름의 길이가 정육면체의 모서리의 길이와 같다는 뜻이므로 디 = ㅏ, 디 = 6, 디 = 2아르 자형, 아르 자형 = 6: 2 = 3.

작업 번호 9- 대수적 표현을 변형하고 단순화하는 기술을 졸업생에게 요구합니다. 짧은 답변으로 난이도가 높아진 작업 번호 9입니다. 통합 상태 시험의 "계산 및 변환" 섹션에 있는 작업은 여러 유형으로 나뉩니다.

수치적 유리식의 변환;

대수식과 분수 변환;

숫자/문자 무리수식 변환;

정도에 따른 행동;

변환 로그 표현;

숫자/문자 삼각법 표현식을 변환합니다.

실시예 9. cos2α = 0.6이라고 알려진 경우 tanα를 계산하고

3π	< α < π.
4

해결책. 1) 이중 인수 공식을 사용합시다: cos2α = 2 cos 2 α – 1 그리고

황갈색 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos2α		0,8		8		4		4		4

이는 tan 2 α = ± 0.5를 의미합니다.

3) 조건별

3π	< α < π,
4

이는 α가 2쿼터의 각도이고 tgα임을 의미합니다.< 0, поэтому tgα = –0,5.

답변: –0,5.

#광고_삽입# 작업 번호 10- 학생들이 습득한 초기 지식과 기술을 실제 활동과 일상 생활에서 사용하는 능력을 테스트합니다. 이것은 수학이 아니라 물리학의 문제라고 말할 수 있지만 필요한 모든 공식과 수량이 조건에 제공됩니다. 문제는 선형 또는 해결로 축소됩니다. 이차 방정식, 또는 선형 또는 2차 부등식입니다. 그러므로 이러한 방정식과 부등식을 풀고 답을 결정할 수 있는 능력이 필요하다. 답은 정수 또는 유한소수로 제시되어야 합니다.

두 개의 질량체 중= 각각 2kg, 같은 속도로 이동 V= 서로 2α의 각도에서 10m/s. 절대 비탄성 충돌 중에 방출되는 에너지(줄 단위)는 다음 식으로 결정됩니다. 큐 = mv 2 죄 2 α. 충돌의 결과로 최소 50줄이 방출되도록 물체가 움직여야 하는 가장 작은 각도 2α(도)는 무엇입니까?
해결책.문제를 해결하려면 구간 2α ∈(0°; 180°)에서 부등식 Q ≥ 50을 풀어야 합니다.

mv 2 사인 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 죄 2 α ≥ 50

α ∈ (0°; 90°)이므로 우리는 단지

불평등에 대한 해결책을 그래픽으로 표현해 보겠습니다.

조건 α ∈ (0°; 90°)이므로 30° ≤ α를 의미합니다.< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

과제 번호 11-전형적이지만 학생들에게는 어려운 것으로 나타났습니다. 어려움의 주요 원인은 수학적 모델을 구축하는 것(방정식 작성)입니다. 작업 번호 11은 단어 문제를 해결하는 능력을 테스트합니다.

실시예 11.봄 방학 동안 11학년 Vasya는 통합 국가 시험을 준비하기 위해 560개의 연습 문제를 풀어야 했습니다. 3월 18일, 학교 마지막 날, Vasya는 5가지 문제를 풀었습니다. 그리고 매일 그는 전날보다 같은 수의 문제를 더 많이 풀었습니다. 연휴 마지막 날인 4월 2일에 Vasya가 해결한 문제 수를 확인합니다.

해결책:나타내자 ㅏ 1 = 5 - Vasya가 3월 18일에 해결한 문제의 수, 디– Vasya가 해결한 일일 작업 수, N= 16 – 3월 18일부터 4월 2일까지의 일수, 에스 16 = 560 – 총작업, ㅏ 16 – Vasya가 4월 2일에 해결한 문제의 수. 매일 Vasya가 전날에 비해 같은 수의 문제를 더 많이 풀었다는 것을 알면 공식을 사용하여 합계를 구할 수 있습니다. 산술 진행:

560 = (5 + ㅏ 16) 8,

5 + ㅏ 16 = 560: 8,

5 + ㅏ 16 = 70,

ㅏ 16 = 70 – 5

ㅏ 16 = 65.

답변: 65.

작업 번호 12- 학생들이 함수를 사용하여 연산을 수행하고 도함수를 함수 연구에 적용할 수 있는 능력을 테스트합니다.

함수의 최대점 찾기 와이= 10ln( 엑스 + 9) – 10엑스 + 1.

해결책: 1) 함수 정의 영역을 찾습니다. 엑스 + 9 > 0, 엑스> –9, 즉 x ∈ (–9; ).

2) 함수의 미분을 구합니다.

4) 발견된 점은 간격(-9; )에 속합니다. 함수 미분의 부호를 결정하고 그림에서 함수의 동작을 묘사해 보겠습니다.

원하는 최대점 엑스 = –8.

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과제 번호 13-자세한 답변으로 복잡성 수준 증가, 방정식 풀이 능력 테스트, 복잡성 수준이 증가한 세부 답변으로 작업 중에서 가장 성공적으로 해결됨.

a) 방정식 2log 3 2 (2cos 엑스) – 5log 3 (2cos 엑스) + 2 = 0

b) 세그먼트에 속하는 이 방정식의 모든 근을 찾으십시오.

해결책: a) 로그 3(2cos 엑스) = 티, 그다음 2 티 2 – 5티 + 2 = 0,

로그 3(2cos 엑스) =	2	⇔	2cos 엑스 = 9	⇔	코사인 엑스 =	4,5	⇔ 왜냐면 \|cos 엑스\| ≤ 1,

로그 3(2cos 엑스) =	1		2cos 엑스 = √3		코사인 엑스 =	√3
	2					2

그럼 왜냐면 엑스 =	√3
	2

엑스 =	π	+ 2π 케이
	6

엑스 = –	π	+ 2π 케이, 케이 ∈ 지
	6

b) 세그먼트에 있는 뿌리를 찾으십시오.

그림은 주어진 세그먼트의 루트가 다음에 속함을 보여줍니다.

11π	그리고	13π	.
6		6

답변:ㅏ)	π	+ 2π 케이; –	π	+ 2π 케이, 케이 ∈ 지; 비)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

과제 번호 14-고급 레벨은 자세한 답변이 포함된 두 번째 부분의 작업을 나타냅니다. 이 작업은 기하학적 모양으로 작업을 수행하는 능력을 테스트합니다. 작업에는 두 가지 점이 포함되어 있습니다. 첫 번째 지점에서는 작업이 입증되어야 하고 두 번째 지점에서는 계산되어야 합니다.

원통 밑면의 원 지름은 20이고 원통 모선은 28입니다. 평면은 길이 12와 16의 현을 따라 밑면과 교차합니다. 현 사이의 거리는 2√197입니다.

a) 원통 밑면의 중심이 이 평면의 한쪽에 있음을 증명하십시오.

b) 이 평면과 원통 밑면 사이의 각도를 구하십시오.

해결책: a) 길이 12의 현은 기본 원의 중심으로부터 거리 = 8에 있고, 마찬가지로 길이 16의 현은 거리 6에 있습니다. 따라서, 평행한 평면 위의 투영 사이의 거리는 원통의 밑면은 8 + 6 = 14 또는 8 − 6 = 2입니다.

그러면 코드 사이의 거리는 다음 중 하나입니다.

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

조건에 따라 코드의 돌출부가 원통 축의 한쪽에 위치하는 두 번째 경우가 구현되었습니다. 이는 축이 원통 내에서 이 평면과 교차하지 않는다는 것을 의미합니다. 즉, 베이스가 축의 한쪽에 위치합니다. 증명해야 할 것.

b) 염기의 중심을 O 1과 O 2로 표시하겠습니다. 길이가 12인 현을 사용하여 밑면의 중심에서 이 현(이미 언급한 대로 길이가 8임)에 대한 수직 이등분선을 그리고 다른 밑면의 중심에서 다른 현까지 그려 보겠습니다. 그것들은 이 화음에 수직인 동일한 평면 β에 놓여 있습니다. 더 작은 현의 중간점을 B, 더 큰 현 A, 두 번째 베이스에 대한 A의 투영을 H(H ∈ β)라고 합시다. 그러면 AB,AH ∈ β이므로 AB,AH는 현, 즉 밑면과 주어진 평면이 교차하는 직선에 수직입니다.

이는 필요한 각도가 다음과 같다는 것을 의미합니다.

∠ABH = 아크탄	A.H.	= 아크탄	28	= arctg14.
	B.H.		8 – 6

과제 번호 15- 상세한 답변으로 복잡성 증가, 불평등 해결 능력을 테스트합니다. 이는 복잡성이 증가한 세부 답변으로 작업 중에서 가장 성공적으로 해결됩니다.

실시예 15.불평등 해결 | 엑스 2 – 3엑스| 로그 2 ( 엑스 + 1) ≤ 3엑스 – 엑스 2 .

해결책:이 부등식의 정의 영역은 간격(–1; +무한대)입니다. 세 가지 경우를 별도로 고려하십시오.

1) 하자 엑스 2 – 3엑스= 0, 즉 엑스= 0 또는 엑스= 3. 이 경우 부등식이 성립하므로 이러한 값이 해에 포함됩니다.

2) 지금하자 엑스 2 – 3엑스> 0, 즉 엑스∈ (–1; 0) ∪ (3; +무한대). 더욱이, 이 부등식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다( 엑스 2 – 3엑스) 로그 2 ( 엑스 + 1) ≤ 3엑스 – 엑스 2 긍정적인 표현으로 나누기 엑스 2 – 3엑스. 우리는 로그 2( 엑스 + 1) ≤ –1, 엑스 + 1 ≤ 2 –1 , 엑스≤ 0.5 –1 또는 엑스≤ -0.5. 정의 영역을 고려하면, 엑스 ∈ (–1; –0,5].

3) 마지막으로 고려해보자 엑스 2 – 3엑스 < 0, при этом 엑스∈ (0; 3). 이 경우 원래 부등식은 다음 형식으로 다시 작성됩니다(3 엑스 – 엑스 2) 로그 2( 엑스 + 1) ≤ 3엑스 – 엑스 2. 양의 3으로 나눈 후 엑스 – 엑스 2, 로그 2( 엑스 + 1) ≤ 1, 엑스 + 1 ≤ 2, 엑스≤ 1. 지역을 고려하면 엑스 ∈ (0; 1].

얻은 솔루션을 결합하면 엑스 ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

답변: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

작업 번호 16- 고급 수준은 자세한 답변이 포함된 두 번째 부분의 작업을 나타냅니다. 이 작업은 기하학적 모양, 좌표 및 벡터를 사용하여 작업을 수행하는 능력을 테스트합니다. 작업에는 두 가지 점이 포함되어 있습니다. 첫 번째 지점에서는 작업이 입증되어야 하고 두 번째 지점에서는 계산되어야 합니다.

안에 이등변 삼각형꼭지점 A에서 120°의 각도를 갖는 ABC, 이등분선 BD가 그려집니다. 안에 삼각형 ABC직사각형 DEFH는 변 FH가 선분 BC에 있고 꼭지점 E가 선분 AB에 놓이도록 내접되어 있습니다. a) FH = 2DH임을 증명하세요. b) AB = 4일 때 직사각형 DEFH의 면적을 구합니다.

해결책:ㅏ)

1) ΔBEF – 직사각형, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°): 2 = 30°, 30° 각도 반대편에 놓인 다리의 특성에 따라 EF = BE.

2) EF = DH = 엑스이면 BE = 2 엑스, BF = 엑스피타고라스의 정리에 따르면 √3입니다.

3) ΔABC는 이등변이므로 ∠B = ∠C = 30˚를 의미한다.

BD는 ∠B의 이등분선입니다. 이는 ∠ABD = ∠DBC = 15˚를 의미합니다.

4) ΔDBH – 직사각형을 고려하십시오. 왜냐하면 DH⊥BC.

2엑스	=	4 – 2엑스
2엑스(√3 + 1)	=	4

1	=	2 – 엑스
√3 + 1	=	2

√3 – 1 = 2 – 엑스

엑스 = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) 에스 DEFH = ED EF = (3 – √3 ) 2(3 – √3 )

에스 DEFH = 24 – 12√3.

답변: 24 – 12√3.

과제 번호 17- 상세한 답변이 있는 과제로, 이 과제는 실제 활동과 일상 생활에서의 지식과 기술의 적용, 구축 및 연구 능력을 테스트합니다. 수학적 모델. 이번 과제는 경제 내용을 담은 텍스트 문제입니다.

실시예 17. 4년 동안 2천만 루블의 보증금이 개설될 예정입니다. 매년 말 은행은 연초 대비 예금 규모를 10%씩 늘린다. 또한, 3년차와 4년차 초에 투자자는 매년 예금을 보충합니다. 엑스백만 루블, 엑스 - 전체숫자. 찾다 가장 높은 가치 엑스, 은행은 4년 동안 예금으로 1,700만 루블 미만을 적립하게 됩니다.

해결책:첫 번째 해 말에 기여금은 20 + 20 · 0.1 = 2,200만 루블이고 두 번째 해 말에는 22 + 22 · 0.1 = 2,420만 루블입니다. 3년차 초에 기여금(백만 루블 단위)은 (24.2 + 엑스), 그리고 마지막에 - (24.2 + 엑스) + (24,2 + 엑스)· 0.1 = (26.62 + 1.1 엑스). 4년차 초에 기여금은 (26.62 + 2.1)이 됩니다. 엑스), 그리고 마지막에 - (26.62 + 2.1 엑스) + (26,62 + 2,1엑스) · 0.1 = (29.282 + 2.31 엑스). 조건에 따라 불평등이 유지되는 가장 큰 정수 x를 찾아야 합니다.

(29,282 + 2,31엑스) – 20 – 2엑스 < 17

29,282 + 2,31엑스 – 20 – 2엑스 < 17

0,31엑스 < 17 + 20 – 29,282

0,31엑스 < 7,718

엑스 <	7718
	310

엑스 <	3859
	155

엑스 < 24	139
	155

이 부등식에 대한 가장 큰 정수 해는 숫자 24입니다.

답변: 24.

과제 번호 18- 자세한 답변으로 인해 복잡성 수준이 높아진 작업입니다. 이 작업은 지원자의 수학적 준비에 대한 요구 사항이 높아진 대학에 경쟁적으로 선발하기 위한 것입니다. 운동 높은 레벨복잡성 - 이 작업은 하나의 솔루션 방법을 사용하는 것이 아니라 다양한 방법을 조합하는 것입니다. 작업 18을 성공적으로 완료하려면 내구성 외에도 수학적 지식, 또한 높은 수준의 수학적 문화.

무엇에 ㅏ불평등의 시스템

	엑스 2 + 와이 2 ≤ 2아아 – ㅏ 2 + 1

	와이 + ㅏ ≤ \|엑스\| – ㅏ

정확히 두 가지 솔루션이 있습니까?

해결책:이 시스템은 다음 형식으로 다시 작성할 수 있습니다.

	엑스 2 + (와이– ㅏ) 2 ≤ 1

	와이 ≤ \|엑스\| – ㅏ

첫 번째 부등식에 대한 해 집합을 평면에 그리면 점 (0, ㅏ). 두 번째 부등식의 해 집합은 함수 그래프 아래에 있는 평면의 일부입니다. 와이 = | 엑스| – ㅏ, 후자는 함수의 그래프입니다
와이 = | 엑스| , 아래로 이동 ㅏ. 이 시스템의 해법은 각 불평등에 대한 해법 집합의 교차점입니다.

따라서 두 가지 해결책 이 시스템그림에 표시된 경우에만 해당됩니다. 1.

원과 선의 접촉점은 시스템의 두 가지 솔루션이 됩니다. 각 직선은 축에 대해 45° 각도로 기울어져 있습니다. 그럼 삼각형이네 PQR– 직사각형 이등변형. 점 큐좌표가 있습니다 (0, ㅏ) 그리고 요점은 아르 자형– 좌표(0, – ㅏ). 또한, 세그먼트 홍보그리고 PQ원의 반지름은 1과 같습니다. 이는 의미합니다.

Qr= 2ㅏ = √2, ㅏ =	√2	.
	2

답변: ㅏ =	√2	.
	2

과제 번호 19- 자세한 답변으로 인해 복잡성 수준이 높아진 작업입니다. 이 작업은 지원자의 수학적 준비에 대한 요구 사항이 높아진 대학에 경쟁적으로 선발하기 위한 것입니다. 복잡성이 높은 작업은 하나의 해결 방법을 사용하는 것이 아니라 다양한 방법을 조합하여 수행하는 작업입니다. 작업 19를 성공적으로 완료하려면 다음을 선택하여 솔루션을 검색할 수 있어야 합니다. 다양한 접근법알려진 방법 중에서 연구 방법을 수정합니다.

허락하다 Sn합집합 피산술진행의 조건( 피). 다음과 같이 알려져 있습니다. Sn + 1 = 2N 2 – 21N – 23.

a) 공식을 제공하십시오 피이 진행의 번째 용어입니다.

b) 가장 작은 절대합을 찾는다 Sn.

c) 가장 작은 것을 찾아라 피, 어느 곳에서 Sn정수의 제곱이 됩니다.

해결책: a) 다음은 분명하다. 앤 = Sn – Sn- 1 . 이 공식을 사용하면 다음을 얻습니다.

Sn = 에스 (N – 1) + 1 = 2(N – 1) 2 – 21(N – 1) – 23 = 2N 2 – 25N,

Sn – 1 = 에스 (N – 2) + 1 = 2(N – 1) 2 – 21(N – 2) – 23 = 2N 2 – 25N+ 27

수단, 앤 = 2N 2 – 25N – (2N 2 – 29N + 27) = 4N – 27.

나) 이후 Sn = 2N 2 – 25N, 그런 다음 기능을 고려하십시오 에스(엑스) = | 2엑스 2 – 25엑스|. 그 그래프는 그림에서 볼 수 있습니다.

분명히 가장 작은 값은 함수의 0에 가장 가까운 정수점에서 달성됩니다. 분명 이게 포인트인데 엑스= 1, 엑스= 12 및 엑스= 13. 이후, 에스(1) = |에스 1 | = |2 – 25| = 23, 에스(12) = |에스 12 | = |2 · 144 – 25 · 12| = 12, 에스(13) = |에스 13 | = |2 · 169 – 25 · 13| = 13이면 가장 작은 값은 12입니다.

c) 이전 단락에서 다음과 같습니다. Sn긍정적인 것부터 시작해서 N= 13. 이후 Sn = 2N 2 – 25N = N(2N– 25) 그렇다면 분명한 경우는 다음과 같습니다. 이 표현완전제곱수는 다음과 같이 실현됩니다. N = 2N– 25, 즉, 피= 25.

13에서 25까지의 값을 확인하는 것이 남아 있습니다.

에스 13 = 13 1, 에스 14 = 14 3, 에스 15 = 15 5, 에스 16 = 16 7, 에스 17 = 17 9, 에스 18 = 18 11, 에스 19 = 19 13, 에스 20 = 20 13, 에스 21 = 21 17, 에스 22 = 22 19, 에스 23 = 23 21, 에스 24 = 24 23.

더 작은 값의 경우 피 완전 제곱달성되지 않습니다.

답변:ㅏ) 앤 = 4N– 27; b) 12; 다) 25.

________________

*2017년 5월부터 통합 출판 그룹 "DROFA-VENTANA"가 러시아 교과서 회사의 일부가 되었습니다. 이 회사에는 Astrel 출판사와 LECTA 디지털 교육 플랫폼도 포함되어 있습니다. 일반 이사러시아 정부 산하 금융 아카데미 졸업생 알렉산더 브리치킨(Alexander Brychkin), 경제 과학 후보, 디지털 교육 분야(전자 형태의 교과서, 러시아 전자 학교, 디지털 교육) 분야 DROFA 출판사의 혁신 프로젝트 책임자로 임명 플랫폼 LECTA). DROFA 출판사에 합류하기 전에는 EKSMO-AST 출판사에서 전략 개발 및 투자 담당 부사장을 역임했습니다. 현재 출판사인 "러시아 교과서"는 연방 목록에 포함된 가장 큰 교과서 포트폴리오(485개 타이틀(특수학교 교과서 제외 약 40%))를 보유하고 있습니다. 회사의 출판사는 러시아 학교에서 물리학, 그림, 생물학, 화학, 기술, 지리, 천문학(국가의 생산 잠재력 개발에 필요한 지식 분야) 분야에서 가장 인기 있는 교과서 세트를 보유하고 있습니다. 회사의 포트폴리오에는 교과서와 교육 보조을 위한 초등학교, 교육분야 대통령상을 수상하였습니다. 이는 러시아의 과학, 기술 및 생산 잠재력 개발에 필요한 주제 분야의 교과서 및 매뉴얼입니다.

남학생이 83% 미만이면 여학생은 17%(100-87)를 초과합니다. 이 수량을 찾아봅시다:

x = 147 * 17 /100 = 24.99

즉, 24.99명 이상의 소녀가 있고 정수로 반올림하면(사람 수는 자연수이므로) 25명이 됩니다.

작업 2. 통합 상태 시험 번호 195 Larina의 교육 버전 답: 15000.

4월 10일 주식 가격은 330루블/개입니다. 이는 사업가가 매각에서 3/4을 받았다는 의미입니다(0.75 * 1000 = 750주): 330 * 750 = 247,500(문지름)

4월 13일 주식 가격은 310루블/개입니다. 이는 그가 받은 나머지 250주에 대해 310 * 250 = 77,500(문지름)을 의미합니다.

결과적으로 손실은 340,000 - 247,500 - 77,500 = 15,000 (문지름)이었습니다.

작업 3. 통합 상태 시험 번호 195 Larina의 교육 버전 답: 5.

점 G가 꼭지점에서 등거리에 있으면 삼각형 ABC의 경우 이 점은 외접원의 중심입니다. 우리의 삼각형은 직사각형(직각 C)입니다. 그리고 외접원의 중심은 정삼각형빗변의 중간에 있습니다. AC = 8cm(8셀)이고 BC = 6cm(6셀)인 경우 피타고라스 정리를 사용하여 AB를 구해 보겠습니다. $$\sqrt(8^(2)+6^(2))=\sqrt(100)= 10$ $

이는 빗변의 절반과 외접원의 반지름이 10/2 = 5라는 것을 의미합니다.

작업 4. 통합 상태 시험 번호 195 Larina의 교육 버전

원 위에 빨간색 점 6개와 파란색 점 1개가 표시되어 있습니다. 모든 정점이 빨간색인 다각형과 정점 중 하나가 파란색인 다각형 중 어느 다각형이 더 큰지 결정합니다. 답에 어떤 것이 다른 것보다 더 많은지 표시하십시오.

답: 15.

이러한 문제를 해결하려면 조합론의 조합이 무엇인지 기억해야 합니다. 세 개의 숫자가 있다고 가정하고, 이 숫자의 배치 순서가 중요하지 않은 경우 이러한 숫자의 조합은 하나만 가능합니다. 즉, 123, 132 또는 231은 동일한 세트입니다. 따라서 이러한 조합의 수를 결정하려면 다음 공식을 사용하십시오.

$$C_(m)^(n)=\frac(m{n!(m-n)!}$$!}

빨간 점만으로 만들 수 있는 삼각형의 수를 구해 봅시다. 삼각형에는 3개의 꼭지점이 있는데, 이는 우리가 3개의 점을 취한다는 것을 의미하며, 빨간색 점은 6개뿐입니다. 따라서 우리는 다음을 얻습니다:

$$C_(6)^(3)=\frac(6{3!(6-3)!}=\frac{1*2*3*4*5*6}{1*2*3*3!}=20$$!}

마찬가지로, 우리는 사각형과 오각형을 찾습니다:

$$C_(6)^(4)=\frac(6{4!(6-4)!}=\frac{1*2*3*4*5*6}{1*2*3*4*2!}=15$$!}

$$C_(6)^(5)=\frac(6{5!(6-5)!}=\frac{1*2*3*4*5*6}{1*2*3*4*5*1!}=6$$!}

게다가 육각형이 1개 더 있습니다. 결과적으로 우리는 총 20+15+6+1=42의 빨간색 숫자만 얻습니다.

이제 하나의 빨간색 점이 있는 그림의 변형을 살펴보겠습니다. 삼각형을 봅시다. 파란색 점이 1개 있으면 빨간색 점을 사용할 수 있는 정점이 2개(즉, n=2) 남게 됩니다. 그리고 6개의 빨간색 점 자체가 있습니다(m=6). 이는 전체적으로 파란색을 포함하는 삼각형을 의미합니다.

$$C_(6)^(2)=\frac(6{2!(6-2)!}=\frac{1*2*3*4*5*6}{1*2*4!}=\frac{1*2*3*4*5*6}{1*2*1*2*3*4}=15$$!}

마찬가지로, 사각형의 경우:

$$C_(6)^(3)=\frac(6{3!(6-3)!}=\frac{1*2*3*4*5*6}{1*2*3*3!}=\frac{1*2*3*4*5*6}{1*2*3*1*2*3*}=20$$!}

오각형:

$$C_(6)^(4)=\frac(6{4!(6-4)!}=\frac{1*2*3*4*5*6}{1*2*3*4*2!}=\frac{1*2*3*4*5*6}{1*2*3*4*1*2}=15$$!}

육각형:

$$C_(6)^(5)=\frac(6{5!(6-5)!}=\frac{1*2*3*4*5*6}{1*2*3*4*5*1!}=\frac{1*2*3*4*5*6}{1*2*3*4*5*1}=6$$!}

게다가 칠각형이 1개 더 있습니다. 해당 수치의 합계: 15+20+15+6+1=57

결과적으로 차이는 57 - 42 = 15입니다.

작업 6. 통합 상태 시험 번호 195 Larina의 교육 버전 답: 115.

∠ ABC는 중심입니다. 즉, ABC가 놓여 있는 호 AC는 크기, 즉 130°와 같습니다. 따라서 호 CA(반대)는 360° - 130° = 230°와 같습니다. ∠ ADC는 이 호에 위치하며 새겨져 있습니다. 즉, ADC가 위치한 호 값의 절반, 즉 230°/2 = 115°와 동일함을 의미합니다.

작업 7. 통합 상태 시험 번호 195 Larina의 교육 버전

이 그래프의 점 (4; 3)과 (3; -1)을 통과하는 직선에 수직인 가로축 x 0 점에서 함수 y = f (x)의 그래프에 접선이 그려집니다. f/(x0)를 구합니다.

답: -0.25.

점 (4; 3)과 (3; -1)을 통과하는 직선을 공식 y = k 1 x+b로 지정합니다. 사용 가능한 좌표를 직선 방정식에 대입하여 k 1 을 찾아보겠습니다.

$$\left\(\begin(matrix)3=4*k_(1)+b\\ -1=3*k_(1)+b\end(matrix)\right.$$ $$k_( 1 )$$ 시스템을 풀면 $$k_(1)=4$$ 다음으로 속성을 사용합니다. k 1과 k 2가 2의 각도 계수인 경우 선형 함수, k 1 k 2 =-1인 경우 그래프는 수직이 됩니다. 우리는 k 2 =-1/k 1 =-1/4=-0.25를 얻습니다. 그리고 한 점에서의 도함수 값은 기울기 값입니다.

작업 8. 통합 상태 시험 번호 195 Larina의 교육 버전 답: 5.

작업 9. 통합 상태 시험 번호 195 Larina의 교육 버전

$$\cos 2\alpha =0.6$$ 및 $$\frac(3\pi )(4)가 알려진 경우 $$tg \alpha $$를 계산합니다.< \alpha < \pi $$

답: -0.5.

이중 각도 코사인 공식을 사용해 보겠습니다: $$\cos 2\alpha =2\cos^(2)\alpha-1=0.6$$

$$\alpha$$가 2분기 각도라는 점을 고려하면 코사인은 음수이고 사인은 양수입니다.

이는 다음을 의미합니다: $$cos \alpha = -\sqrt(\frac(\cos 2\alpha+1)(2))=-\sqrt(\frac(0.6+1)(2))=-\sqrt(0.8 ) $$

기본 삼각법 항등식을 사용해 보겠습니다. $$sin \alpha = \sqrt(1-\cos^(2)\alpha)=\sqrt(0.2)$$

이는 탄젠트가 다음과 같음을 의미합니다: $$tan \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)= \frac(\sqrt(0.2))(-\sqrt(0.8))=-\ frac(1) (2)=-0.5$$

작업 10. 통합 상태 시험 번호 195 Larina의 교육 버전

질량이 m(kg)이고 속도가 v(m/s)인 물체의 운동 에너지는 다음과 같습니다.

옵션 1.

1. 자동차가 1시간 30분 안에 일정 거리를 이동하는데, 같은 속도로 4.5배 더 먼 거리를 이동하려면 얼마나 걸릴까요?

2. 일정 금액을 지불하면 얇은 노트 12권을 구입할 수 있습니다. 얇은 노트보다 3배 비싼 두꺼운 노트를 같은 돈으로 몇 개나 살 수 있나요?

3. 반지름이 6.5인치인 원의 길이를 계산합니다.

4. 반지름이 4cm인 원의 넓이를 구합니다.

5. 삼각형의 둘레는 108cm이고, 변의 길이는 6:8:13입니다. 삼각형의 변을 구하세요.

가로 3cm, 5cm, 7cm.

7. 상자에는 빨간색 공 6개와 흰색 공 8개가 들어 있습니다. 무작위로 선택한 공이 다음과 같을 확률은 얼마입니까?

1) 빨간색; 2) 노란색?

~에 엑스 .

엑스

0,2

0,6

~에

1,8

3,6

~에 엑스 .

엑스

~에

10. 세 항의 합으로 숫자 159를 상상해 보세요.엑스 , 와이 그리고 지 그렇게 엑스 : 와이 = 5:6, ㄱ 와이 : 지 = 9: 10.

M-6 시험주제 6번

“직접 및 반비례 관계. 원과 원. 무작위 사건의 확률."

옵션 2.

1. 일정량의 생버섯으로부터 건조버섯 2.2kg을 얻었다. 생버섯을 3.2배 더 섭취하면 말린 버섯은 몇 개나 얻을 수 있나요?

2. 일정 금액을 지불하면 펜 15개를 구입할 수 있습니다. 같은 돈으로 펜보다 5배 저렴한 연필을 몇 개나 살 수 있나요?

3. 반지름이 7.5cm인 원의 둘레를 계산합니다.

4. 반지름이 8dm인 원의 면적을 구합니다.

5. 삼각형의 둘레는 132cm이고, 변의 길이는 5:7:10입니다. 삼각형의 변을 구하세요.

6. 컴퍼스와 자를 이용하여 삼각형을 만들어 보세요.

가로 2cm, 5cm, 6cm.

7. 상자에는 흰색 공 6개와 파란색 공 9개가 들어 있습니다. 무작위로 선택한 공이 다음과 같을 확률은 얼마입니까?

1) 흰색; 2) 흰색인가 파란색인가?

8. 값이 있으면 표를 작성하십시오.~에 값에 정비례엑스 .

엑스

0,8

0,9

~에

9. 값이 있으면 표를 작성하십시오.~에 값에 반비례엑스 .

엑스

~에

10. 세 항의 합으로 숫자 175를 상상해 보세요.엑스 , 와이 그리고 지 그렇게 엑스 : 와이 = 3:4, ㄱ 와이 : 지 = 6: 7.

주제에 대한 M-6 테스트 번호 6

“직접 및 반비례 관계. 원과 원. 무작위 사건의 확률."

옵션 3.

1. 비행기가 1.2시간 만에 일정 거리를 비행했는데, 같은 속도로 2.5배 더 먼 거리를 비행하려면 얼마나 걸릴까요?

2. 일정 금액을 지불하면 작은 초콜릿 28개를 살 수 있습니다. 작은 초콜릿보다 4배 비싼 큰 초콜릿을 같은 금액으로 몇 개나 살 수 있나요?

3. 반지름이 8.5인치인 원의 길이를 계산합니다.

4. 반지름이 9cm인 원의 넓이를 구합니다.

5. 삼각형의 둘레는 125cm이고, 변의 길이는 4:9:12입니다. 삼각형의 변을 구하세요.

6. 컴퍼스와 자를 이용하여 삼각형을 만들어 보세요.

가로 3cm, 4cm, 4cm.

7. 상자에는 파란색 공 5개와 녹색 공 15개가 들어 있습니다. 무작위로 선택한 공이 다음과 같을 확률은 얼마입니까?

1) 녹색; 2) 빨간색?

8. 값이 있으면 표를 작성하십시오.~에 값에 정비례엑스 .

엑스

0,6

0,8

~에

3,6

6,6

9. 값이 있으면 표를 작성하십시오.~에 값에 반비례엑스 .

엑스

~에

10. 세 항의 합으로 숫자 86을 상상해 보세요.엑스 , 와이 그리고 지 그렇게 엑스 : 와이 = 2:9, ㄱ 와이 : 지 = 6: 7.

주제에 대한 M-6 테스트 번호 6

“직접 및 반비례 관계. 원과 원. 무작위 사건의 확률."

옵션 4.

1. 특정 수의 사과에서 8.4리터의 주스를 얻었습니다. 사과를 5.5배 더 섭취하면 얼마나 많은 주스를 얻을 수 있나요?

2. 일정 금액을 지불하면 케이크 30개를 살 수 있습니다. 같은 돈으로 파이보다 6배 더 저렴한 파이를 몇 개나 살 수 있나요?

3. 반지름이 9.5인치인 원의 길이를 계산합니다.

4. 반지름이 7cm인 원의 넓이를 구합니다.

5. 삼각형의 둘레는 130cm이고, 변의 길이는 7:9:10입니다. 삼각형의 변을 구하세요.

6. 컴퍼스와 자를 이용하여 삼각형을 만들어 보세요.

가로 5cm, 3cm, 3cm.

7. 상자에 흰색 공 8개와 검은색 공 12개가 들어 있습니다. 무작위로 선택한 공이 다음과 같을 확률은 얼마입니까?

1) 검정색; 2) 흰색인가 검은색인가?

8. 값이 있으면 표를 작성하십시오.~에 값에 정비례엑스 .

엑스

0,9

~에

6,3

4,2

9. 값이 있으면 표를 작성하십시오.~에 값에 반비례엑스 .

엑스

~에

10. 세 항의 합으로 숫자 172를 상상해 보세요.엑스 , 와이 그리고 지 그렇게 엑스 : 와이 = 3:8, ㄱ 와이 : 지 = 12: 5.

중등일반교육

라인 UMK G. K. Muravin. 대수학 및 수학적 분석의 원리(10-11)(심층)

UMK Merzlyak 라인. 대수학과 분석의 시작 (10-11) (U)

수학

수학 통합 상태 시험 준비(프로필 수준): 과제, 솔루션 및 설명

선생님과 함께 과제를 분석하고 사례를 해결합니다.

프로필 레벨 시험은 3시간 55분(235분) 동안 진행됩니다.

최소 임계값- 27점.

시험지는 내용, 복잡성 및 과제 수가 다른 두 부분으로 구성됩니다.

작업의 각 부분을 정의하는 특징은 작업 형식입니다.

파트 1에는 8개의 과제(과제 1-8)가 포함되어 있으며 정수 또는 마지막 소수점 형식의 짧은 답이 있습니다.
2부에는 정수 또는 소수점 이하 소수 형태의 짧은 답이 포함된 4개의 작업(작업 9-12)과 자세한 답변이 포함된 7개의 작업(작업 13-19)이 포함되어 있습니다. 취해진 조치).

파노바 스베틀라나 아나톨레브나, 최고 수준의 학교 수학 교사, 근무 경력 20년:

“학교 수료증을 받으려면 졸업생은 통합 국가 시험 형태의 두 가지 필수 시험에 합격해야 하며 그 중 하나는 수학입니다. 러시아 연방의 수학 교육 개발 개념에 따라 수학 통합 국가 시험은 기본 수준과 전문 수준의 두 가지 수준으로 구분됩니다. 오늘은 프로필 수준 옵션을 살펴보겠습니다.”

작업 번호 1- 통합 상태 시험 참가자가 초등학교 수학 5~9학년 과정에서 습득한 기술을 실제 활동에 적용할 수 있는 능력을 테스트합니다. 참가자는 계산 능력이 있어야 하고, 유리수를 다룰 수 있어야 하며, 소수점 이하 자릿수를 반올림할 수 있어야 하며, 한 측정 단위를 다른 측정 단위로 변환할 수 있어야 합니다.

예시 1.피터가 사는 아파트에는 냉수 유량계(미터)가 설치되어 있었습니다. 5월 1일 미터기는 172m3의 소비량을 보여주었습니다. m의 물, 6 월 1 일 - 177 입방 미터. m. 가격이 1입방미터라면 Peter는 5월에 냉수에 대해 얼마를 지불해야 합니까? m의 찬물은 34 루블 17 코펙입니까? 답은 루블로 해주세요.

해결책:

1) 한 달에 소비하는 물의 양을 구하십시오.

177 - 172 = 5(세제곱미터)

2) 낭비되는 물에 대해 얼마나 많은 돈을 지불할지 찾아봅시다:

34.17 5 = 170.85 (문지름)

답변: 170,85.

작업 번호 2- 가장 간단한 시험 과제 중 하나입니다. 대다수의 졸업생이 이에 성공적으로 대처하고 있으며 이는 기능 개념 정의에 대한 지식을 나타냅니다. 요구 사항 코드화에 따른 작업 유형 2는 습득한 지식과 기술을 실제 활동과 일상 생활에서 사용하는 작업입니다. 작업 번호 2는 함수를 설명하고 사용하며 수량 간의 다양한 실제 관계를 설명하고 그래프를 해석하는 것으로 구성됩니다. 작업 2번은 표, 다이어그램, 그래프에 표시된 정보를 추출하는 능력을 테스트합니다. 졸업생은 함수를 지정하는 다양한 방법으로 인수 값에서 함수의 값을 결정하고 그래프를 기반으로 함수의 동작과 속성을 설명할 수 있어야 합니다. 또한 함수 그래프에서 가장 큰 값이나 가장 작은 값을 찾고 연구된 함수의 그래프를 작성할 수 있어야 합니다. 문제의 조건을 읽고 다이어그램을 읽을 때 발생하는 오류는 무작위입니다.

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해결책:

2) 1000 · 3/4 = 750(주) - 구매한 전체 주식의 3/4에 해당합니다.

6) 247500 + 77500 = 325000(문지름) - 사업가는 판매 후 1000주를 받았습니다.

7) 340,000 - 325,000 = 15,000(문지름) - 사업가는 모든 작업의 결과로 손실을 입었습니다.

답변: 15000.

작업 번호 3- 첫 번째 부분의 기본 수준 작업으로, 면적 측정 과정의 내용에 따라 기하학적 도형을 사용하여 동작을 수행하는 능력을 테스트합니다. 작업 3에서는 체크무늬 종이에 있는 도형의 면적을 계산하는 능력, 각도의 각도 측정, 둘레 계산 등을 테스트합니다.

예시 3.셀 크기가 1cm x 1cm인 체크무늬 종이에 그려진 직사각형의 면적을 구합니다(그림 참조). 답을 제곱센티미터 단위로 입력하세요.

해결책:주어진 그림의 면적을 계산하려면 Peak 공식을 사용할 수 있습니다.

주어진 직사각형의 면적을 계산하기 위해 Peak의 공식을 사용합니다.

에스= 비 +	G
	2

여기서 B = 10, G = 6이므로

에스 = 18 +	6
	2

답변: 20.

해결책: 1) 조합의 수를 구하는 공식을 이용해보자 N요소별 케이:

그 정점은 모두 빨간색입니다.

3) 모든 꼭짓점이 빨간색인 오각형 1개.

4) 10 + 5 + 1 = 모든 정점이 빨간색인 다각형 16개.

빨간색 상단이 있거나 파란색 상단이 하나 있습니다.

8) 빨간색 꼭지점과 파란색 꼭지점 1개가 있는 육각형 1개.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 모두 빨간색 꼭지점 또는 하나의 파란색 꼭지점을 포함하는 다각형 42개.

10) 42 – 16 = 파란색 점을 사용하는 다각형 26개.

11) 26 – 16 = 10개의 다각형 - 꼭지점 중 하나가 파란색 점인 다각형이 모든 꼭지점만 빨간색인 다각형보다 얼마나 더 많은가요?

답변: 10.

작업 번호 5- 첫 번째 부분의 기본 수준에서는 간단한 방정식(무리수, 지수, 삼각, 대수)을 푸는 능력을 테스트합니다.

실시예 5.방정식 2 3 + 엑스= 0.4 5 3 + 엑스 .

해결책.이 방정식의 양변을 5 3 + 엑스≠ 0, 우리는 얻는다

2 3 + 엑스	= 0.4 또는		2		3 + 엑스	=	2	,
5 3 + 엑스			5				5

3 + 엑스 = 1, 엑스 = –2.

답변: –2.

삼각형의 면적 알파벳 129와 같습니다. 드– 측면과 평행한 정중선 AB. 사다리꼴의 면적 찾기 침대.

해결책.삼각형 CDE삼각형과 비슷하다 택시두 각도에서, 정점에서의 각도 이후 씨일반, 각도 СDE각도와 같음 택시해당 각도로 드 || AB시컨트 A.C.. 왜냐하면 드조건에 따라 삼각형의 중간선이 되고, 그 다음에는 중간선의 속성에 따라 | 드 = (1/2)AB. 이는 유사성 계수가 0.5라는 것을 의미합니다. 유사한 도형의 면적은 유사성 계수의 제곱으로 관련되므로

따라서, S ABED = 에스 Δ 알파벳 – 에스 Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

해결책. 1) 주어진 두 점을 지나는 직선의 방정식을 이용하여 점 (4; 3)과 (3; -1)을 지나는 직선의 방정식을 구해보자.

(와이 – 와이 1)(엑스 2 – 엑스 1) = (엑스 – 엑스 1)(와이 2 – 와이 1)

(와이 – 3)(3 – 4) = (엑스 – 4)(–1 – 3)

(와이 – 3)(–1) = (엑스 – 4)(–4)

–와이 + 3 = –4엑스+ 16| · (-1)

와이 – 3 = 4엑스 – 16

와이 = 4엑스– 13, 여기서 케이 1 = 4.

2) 접선의 기울기를 구합니다 케이 2, 직선에 수직인 것 와이 = 4엑스– 13, 여기서 케이 1 = 4, 공식에 따르면:

3) 접선 각도는 접선 지점에서의 함수의 미분입니다. 수단, 에프′( 엑스 0) = 케이 2 = –0,25.

답변: –0,25.

작업 번호 8- 시험 참가자의 기본 입체 측정 지식, 도형의 표면적과 부피, 2면각을 찾는 공식을 적용하는 능력, 유사한 도형의 부피 비교, 기하학적 도형, 좌표 및 벡터를 사용하여 작업을 수행할 수 있는 능력 등을 테스트합니다.

구에 외접하는 입방체의 부피는 216입니다. 구의 반지름을 구하세요.

해결책. 1) V큐브 = ㅏ 3 (여기서 ㅏ– 큐브 가장자리의 길이), 따라서

ㅏ 3 = 216

ㅏ = 3 √216

수치적 유리식의 변환;

대수식과 분수 변환;

숫자/문자 무리수식 변환;

정도에 따른 행동;

로그 표현식을 변환하고;

숫자/문자 삼각법 표현식을 변환합니다.

실시예 9. cos2α = 0.6이라고 알려진 경우 tanα를 계산하고

3π	< α < π.
4

해결책. 1) 이중 인수 공식을 사용합시다: cos2α = 2 cos 2 α – 1 그리고

황갈색 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos2α		0,8		8		4		4		4

이는 tan 2 α = ± 0.5를 의미합니다.

3) 조건별

3π	< α < π,
4

이는 α가 2쿼터의 각도이고 tgα임을 의미합니다.< 0, поэтому tgα = –0,5.

답변: –0,5.

#광고_삽입# 작업 번호 10- 학생들이 습득한 초기 지식과 기술을 실제 활동과 일상 생활에서 사용하는 능력을 테스트합니다. 이것은 수학이 아니라 물리학의 문제라고 말할 수 있지만 필요한 모든 공식과 수량이 조건에 제공됩니다. 문제는 결국 1차 또는 2차 방정식, 또는 1차 또는 2차 부등식을 푸는 것으로 귀결됩니다. 그러므로 이러한 방정식과 부등식을 풀고 답을 결정할 수 있는 능력이 필요하다. 답은 정수 또는 유한소수로 제시되어야 합니다.

mv 2 사인 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 죄 2 α ≥ 50

α ∈ (0°; 90°)이므로 우리는 단지

불평등에 대한 해결책을 그래픽으로 표현해 보겠습니다.

해결책:나타내자 ㅏ 1 = 5 - Vasya가 3월 18일에 해결한 문제의 수, 디– Vasya가 해결한 일일 작업 수, N= 16 – 3월 18일부터 4월 2일까지의 일수, 에스 16 = 560 – 총 작업 수, ㅏ 16 – Vasya가 4월 2일에 해결한 문제의 수. 매일 Vasya가 전날에 비해 같은 수의 문제를 더 많이 풀었다는 것을 알면 산술 수열의 합을 구하는 공식을 사용할 수 있습니다.

560 = (5 + ㅏ 16) 8,

5 + ㅏ 16 = 560: 8,

5 + ㅏ 16 = 70,

ㅏ 16 = 70 – 5

ㅏ 16 = 65.

답변: 65.

작업 번호 12- 학생들이 함수를 사용하여 연산을 수행하고 도함수를 함수 연구에 적용할 수 있는 능력을 테스트합니다.

함수의 최대점 찾기 와이= 10ln( 엑스 + 9) – 10엑스 + 1.

해결책: 1) 함수 정의 영역을 찾습니다. 엑스 + 9 > 0, 엑스> –9, 즉 x ∈ (–9; ).

2) 함수의 미분을 구합니다.

4) 발견된 점은 간격(-9; )에 속합니다. 함수 미분의 부호를 결정하고 그림에서 함수의 동작을 묘사해 보겠습니다.

원하는 최대점 엑스 = –8.

a) 방정식 2log 3 2 (2cos 엑스) – 5log 3 (2cos 엑스) + 2 = 0

b) 세그먼트에 속하는 이 방정식의 모든 근을 찾으십시오.

해결책: a) 로그 3(2cos 엑스) = 티, 그다음 2 티 2 – 5티 + 2 = 0,

로그 3(2cos 엑스) =	2	⇔	2cos 엑스 = 9	⇔	코사인 엑스 =	4,5	⇔ 왜냐면 \|cos 엑스\| ≤ 1,

로그 3(2cos 엑스) =	1		2cos 엑스 = √3		코사인 엑스 =	√3
	2					2

그럼 왜냐면 엑스 =	√3
	2

엑스 =	π	+ 2π 케이
	6

엑스 = –	π	+ 2π 케이, 케이 ∈ 지
	6

b) 세그먼트에 있는 뿌리를 찾으십시오.

그림은 주어진 세그먼트의 루트가 다음에 속함을 보여줍니다.

11π	그리고	13π	.
6		6

답변:ㅏ)	π	+ 2π 케이; –	π	+ 2π 케이, 케이 ∈ 지; 비)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

원통 밑면의 원 지름은 20이고 원통 모선은 28입니다. 평면은 길이 12와 16의 현을 따라 밑면과 교차합니다. 현 사이의 거리는 2√197입니다.

a) 원통 밑면의 중심이 이 평면의 한쪽에 있음을 증명하십시오.

b) 이 평면과 원통 밑면 사이의 각도를 구하십시오.

그러면 코드 사이의 거리는 다음 중 하나입니다.

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

이는 필요한 각도가 다음과 같다는 것을 의미합니다.

∠ABH = 아크탄	A.H.	= 아크탄	28	= arctg14.
	B.H.		8 – 6

실시예 15.불평등 해결 | 엑스 2 – 3엑스| 로그 2 ( 엑스 + 1) ≤ 3엑스 – 엑스 2 .

해결책:이 부등식의 정의 영역은 간격(–1; +무한대)입니다. 세 가지 경우를 별도로 고려하십시오.

1) 하자 엑스 2 – 3엑스= 0, 즉 엑스= 0 또는 엑스= 3. 이 경우 부등식이 성립하므로 이러한 값이 해에 포함됩니다.

얻은 솔루션을 결합하면 엑스 ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

답변: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

각도가 120°인 이등변삼각형 ABC에서 이등분선 BD는 꼭지점 A에 그려집니다. 직사각형 DEFH는 삼각형 ABC에 내접되어 변 FH가 선분 BC에 있고 꼭지점 E가 선분 AB에 놓입니다. a) FH = 2DH임을 증명하세요. b) AB = 4일 때 직사각형 DEFH의 면적을 구합니다.

해결책:ㅏ)

1) ΔBEF – 직사각형, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°): 2 = 30°, 30° 각도 반대편에 놓인 다리의 특성에 따라 EF = BE.

2) EF = DH = 엑스이면 BE = 2 엑스, BF = 엑스피타고라스의 정리에 따르면 √3입니다.

3) ΔABC는 이등변이므로 ∠B = ∠C = 30˚를 의미한다.

BD는 ∠B의 이등분선입니다. 이는 ∠ABD = ∠DBC = 15˚를 의미합니다.

4) ΔDBH – 직사각형을 고려하십시오. 왜냐하면 DH⊥BC.

2엑스	=	4 – 2엑스
2엑스(√3 + 1)	=	4

1	=	2 – 엑스
√3 + 1	=	2

√3 – 1 = 2 – 엑스

엑스 = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) 에스 DEFH = ED EF = (3 – √3 ) 2(3 – √3 )

에스 DEFH = 24 – 12√3.

답변: 24 – 12√3.

과제 번호 17- 상세한 답이 있는 과제인 이 과제는 실제 활동과 일상 생활에서 지식과 기술의 적용, 수학적 모델을 구축하고 탐색하는 능력을 테스트합니다. 이번 과제는 경제 내용을 담은 텍스트 문제입니다.

실시예 17. 4년 동안 2천만 루블의 보증금이 개설될 예정입니다. 매년 말 은행은 연초 대비 예금 규모를 10%씩 늘린다. 또한, 3년차와 4년차 초에 투자자는 매년 예금을 보충합니다. 엑스백만 루블, 엑스 - 전체숫자. 최고의 가치를 찾아보세요 엑스, 은행은 4년 동안 예금으로 1,700만 루블 미만을 적립하게 됩니다.

(29,282 + 2,31엑스) – 20 – 2엑스 < 17

29,282 + 2,31엑스 – 20 – 2엑스 < 17

0,31엑스 < 17 + 20 – 29,282

0,31엑스 < 7,718

엑스 <	7718
	310

엑스 <	3859
	155

엑스 < 24	139
	155

이 부등식에 대한 가장 큰 정수 해는 숫자 24입니다.

답변: 24.

과제 번호 18- 자세한 답변으로 인해 복잡성 수준이 높아진 작업입니다. 이 작업은 지원자의 수학적 준비에 대한 요구 사항이 높아진 대학에 경쟁적으로 선발하기 위한 것입니다. 복잡성이 높은 작업은 하나의 해결 방법을 사용하는 것이 아니라 다양한 방법을 조합하여 수행하는 작업입니다. 과제 18을 성공적으로 완료하려면 탄탄한 수학적 지식 외에도 높은 수준의 수학적 문화가 필요합니다.

무엇에 ㅏ불평등의 시스템

	엑스 2 + 와이 2 ≤ 2아아 – ㅏ 2 + 1

	와이 + ㅏ ≤ \|엑스\| – ㅏ

정확히 두 가지 솔루션이 있습니까?

해결책:이 시스템은 다음 형식으로 다시 작성할 수 있습니다.

	엑스 2 + (와이– ㅏ) 2 ≤ 1

	와이 ≤ \|엑스\| – ㅏ

결과적으로 이 시스템은 그림 1에 표시된 경우에만 두 가지 솔루션을 갖게 됩니다. 1.

Qr= 2ㅏ = √2, ㅏ =	√2	.
	2

답변: ㅏ =	√2	.
	2

과제 번호 19- 자세한 답변으로 인해 복잡성 수준이 높아진 작업입니다. 이 작업은 지원자의 수학적 준비에 대한 요구 사항이 높아진 대학에 경쟁적으로 선발하기 위한 것입니다. 복잡성이 높은 작업은 하나의 해결 방법을 사용하는 것이 아니라 다양한 방법을 조합하여 수행하는 작업입니다. 작업 19를 성공적으로 완료하려면 솔루션을 검색하고, 알려진 접근 방식 중에서 다른 접근 방식을 선택하고, 연구한 방법을 수정할 수 있어야 합니다.

허락하다 Sn합집합 피산술진행의 조건( 피). 다음과 같이 알려져 있습니다. Sn + 1 = 2N 2 – 21N – 23.

a) 공식을 제공하십시오 피이 진행의 번째 용어입니다.

b) 가장 작은 절대합을 찾는다 Sn.

c) 가장 작은 것을 찾아라 피, 어느 곳에서 Sn정수의 제곱이 됩니다.

해결책: a) 다음은 분명하다. 앤 = Sn – Sn- 1 . 이 공식을 사용하면 다음을 얻습니다.

Sn = 에스 (N – 1) + 1 = 2(N – 1) 2 – 21(N – 1) – 23 = 2N 2 – 25N,

Sn – 1 = 에스 (N – 2) + 1 = 2(N – 1) 2 – 21(N – 2) – 23 = 2N 2 – 25N+ 27

수단, 앤 = 2N 2 – 25N – (2N 2 – 29N + 27) = 4N – 27.

나) 이후 Sn = 2N 2 – 25N, 그런 다음 기능을 고려하십시오 에스(엑스) = | 2엑스 2 – 25엑스|. 그 그래프는 그림에서 볼 수 있습니다.

c) 이전 단락에서 다음과 같습니다. Sn긍정적인 것부터 시작해서 N= 13. 이후 Sn = 2N 2 – 25N = N(2N– 25) 그렇다면 이 표현이 완전제곱수인 명백한 경우는 다음과 같이 실현됩니다. N = 2N– 25, 즉, 피= 25.

13에서 25까지의 값을 확인하는 것이 남아 있습니다.

더 작은 값의 경우 피완전한 정사각형이 달성되지 않습니다.

답변:ㅏ) 앤 = 4N– 27; b) 12; 다) 25.

________________

*2017년 5월부터 통합 출판 그룹 "DROFA-VENTANA"가 러시아 교과서 회사의 일부가 되었습니다. 이 회사에는 Astrel 출판사와 LECTA 디지털 교육 플랫폼도 포함되어 있습니다. Alexander Brychkin, 러시아 정부 산하 금융 아카데미 졸업생, 경제 과학 후보자, 디지털 교육 분야의 DROFA 출판사 혁신 프로젝트 책임자(전자 형태의 교과서, 러시아 전자 학교, 디지털 교육 플랫폼) LECTA)가 총괄이사로 임명되었습니다. DROFA 출판사에 합류하기 전에는 EKSMO-AST 출판사에서 전략 개발 및 투자 담당 부사장을 역임했습니다. 현재 출판사인 "러시아 교과서"는 연방 목록에 포함된 가장 큰 교과서 포트폴리오(485개 타이틀(특수학교 교과서 제외 약 40%))를 보유하고 있습니다. 회사의 출판사는 러시아 학교에서 물리학, 그림, 생물학, 화학, 기술, 지리, 천문학(국가의 생산 잠재력 개발에 필요한 지식 분야) 분야에서 가장 인기 있는 교과서 세트를 보유하고 있습니다. 회사의 포트폴리오에는 교육 분야에서 대통령상을 수상한 초등학교용 교과서와 교구가 포함되어 있습니다. 이는 러시아의 과학, 기술 및 생산 잠재력 개발에 필요한 주제 분야의 교과서 및 매뉴얼입니다.