지침

산술급수는 a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d 형식의 수열입니다. d단계 진행.연산의 임의의 n번째 항의 일반은 다음과 같습니다. 진행 An = A1+(n-1)d 형식을 갖습니다. 그러다가 멤버 중 한 명을 알게 됐어요 진행, 회원 진행그리고 단계 진행, 즉 진행 멤버의 수를 알 수 있습니다. 분명히, 이는 공식 n = (An-A1+d)/d에 의해 결정될 것입니다.

이제 m번째 용어를 알려드리겠습니다. 진행그리고 다른 멤버 진행- n번째, 그러나 n은 이전의 경우와 동일하지만, n과 m은 일치하지 않는 것으로 알려져 있다. 진행 d = (An-Am)/(n-m) 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다. 그러면 n = (An-Am+md)/d입니다.

산술 방정식의 여러 요소의 합을 알고 있는 경우 진행, 첫 번째와 마지막 요소뿐만 아니라 이러한 요소의 수도 결정할 수 있습니다. 진행 S = ((A1+An)/2)n과 같습니다. 그러면 n = 2S/(A1+An) - chdenov 진행. An = A1+(n-1)d라는 사실을 이용하여 이 공식은 n = 2S/(2A1+(n-1)d)로 다시 작성할 수 있습니다. 이것으로부터 우리는 2차 방정식을 풀어 n을 표현할 수 있습니다.

산술 수열은 순서가 지정된 숫자 집합으로, 첫 번째 항목을 제외한 각 항목은 이전 항목과 동일한 양만큼 다릅니다. 이 상수 값을 수열 또는 단계의 차이라고 하며 알려진 산술 수열 용어로부터 계산할 수 있습니다.

지침

문제의 조건에서 첫 번째와 두 번째 또는 인접한 항의 다른 쌍의 값이 알려진 경우 차이(d)를 계산하려면 단순히 후속 항에서 이전 값을 빼면 됩니다. 결과 값은 양수 또는 음수일 수 있습니다. 이는 진행률이 증가하는지 여부에 따라 다릅니다. 일반적인 형태로, 수열의 이웃 항의 임의 쌍(aᵢ 및 aᵢ₊₁)에 대한 해를 다음과 같이 작성합니다: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

이러한 수열의 한 쌍의 항 중 하나는 첫 번째(a₁)이고 다른 하나는 임의로 선택된 다른 항인 경우 차이(d)를 찾기 위한 공식을 만드는 것도 가능합니다. 그러나 이 경우에는 서열에서 임의로 선택된 구성원의 일련번호(i)를 알고 있어야 합니다. 차이를 계산하려면 두 숫자를 모두 더하고 결과 결과를 1을 뺀 임의 항의 서수로 나눕니다. 일반적으로 이 공식은 다음과 같이 작성됩니다: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

서수가 i인 산술 수열의 임의 멤버 외에 서수 u를 가진 다른 멤버가 알려진 경우 이에 따라 이전 단계의 수식을 변경합니다. 이 경우, 수열의 차이(d)는 이 두 항의 합을 서수의 차이로 나눈 값입니다: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

문제 조건이 첫 번째 항의 값(a₁)과 산술 수열의 첫 번째 항의 주어진 숫자(i)의 합(Sᵢ)을 제공하는 경우 차이(d)를 계산하는 공식은 다소 더 복잡해집니다. 원하는 값을 얻으려면 합계를 구성하는 항의 수로 나누고 수열의 첫 번째 숫자 값을 뺀 다음 결과를 두 배로 늘립니다. 결과 값을 1만큼 줄어든 합계를 구성하는 항의 수로 나눕니다. 일반적으로 판별식을 계산하는 공식은 다음과 같습니다: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

공식의 주요 본질은 무엇입니까?

이 공식을 사용하면 다음을 찾을 수 있습니다. 어느 그의 번호로 " N" .

물론 첫 번째 용어도 알아야합니다. 1그리고 진행 차이 디, 음, 이러한 매개변수가 없으면 특정 진행 상황을 기록할 수 없습니다.

이 공식을 암기하는 것(또는 암기하는 것)만으로는 충분하지 않습니다. 그 본질을 이해하고 다양한 문제에 공식을 적용해야 합니다. 그리고 적절한 순간에 잊지 말아야 할 것도 있습니다. 예...) 어떻게 잊지 마세요- 모르겠습니다. 그리고 여기 기억하는 방법필요한 경우 반드시 조언해 드리겠습니다. 레슨을 끝까지 완수하신 분들을 위해.)

그럼, 산술수열의 n번째 항에 대한 공식을 살펴보겠습니다.

일반적으로 공식이란 무엇입니까? 그건 그렇고, 아직 읽지 않았다면 살펴보십시오. 모든 것이 간단합니다. 그것이 무엇인지 알아내는 것이 남아 있습니다. n번째 학기.

일반적으로 진행 상황은 일련의 숫자로 표시될 수 있습니다.

1, 2, 3, 4, 5, .....

1- 산술 수열의 첫 번째 항을 나타냅니다. 3- 세 번째 멤버 4- 네 번째 등등. 5번째 학기에 관심이 있다면, 5, 백이십일 경우 - s 120.

일반적인 용어로 어떻게 정의할 수 있나요? 어느산술 진행의 용어, 어느숫자? 매우 간단합니다! 이와 같이:

앤

그게 바로 그거야 산술수열의 n번째 항.문자 n은 모든 회원 번호(1, 2, 3, 4 등)를 한 번에 숨깁니다.

그리고 그러한 기록은 우리에게 무엇을 제공하는가? 숫자 대신에 편지를 썼다고 생각해보세요...

이 표기법은 산술 진행 작업을 위한 강력한 도구를 제공합니다. 표기법 사용 앤, 우리는 빨리 찾을 수 있습니다 어느회원 어느산술 진행. 그리고 다른 진행 문제도 해결하세요. 당신은 더 자세히 알게 될 것입니다.

산술수열의 n번째 항에 대한 공식에서:

n = a 1 + (n-1)d

1- 산술 수열의 첫 번째 항;

N- 회원번호.

공식은 모든 진행의 주요 매개변수를 연결합니다. 앤 ; 1 ; 디그리고 N. 모든 진행 문제는 이러한 매개변수를 중심으로 이루어집니다.

n 번째 용어 공식은 특정 진행을 작성하는 데에도 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 문제는 진행이 다음 조건에 의해 지정된다고 말할 수 있습니다.

n = 5 + (n-1) 2.

그런 문제는 막다른 골목이 될 수도 있다... 계열도 없고 차이도 없다... 그런데 조건을 공식과 비교해보면 이 수열에서 이해하기 쉽다. a1 =5, d=2.

그리고 상황은 더욱 악화될 수 있습니다!) 동일한 조건을 적용하면 다음과 같습니다. n = 5 + (n-1) 2,네, 괄호를 열고 비슷한 괄호를 가져오시겠어요? 우리는 새로운 공식을 얻습니다.

n = 3 + 2n.

이것 일반적인 것이 아니라 특정 진행을 위한 것입니다. 여기에 함정이 숨어있습니다. 어떤 사람들은 첫 번째 용어가 3이라고 생각합니다. 실제로 첫 번째 항은 5개이지만... 조금 더 낮은 수준에서 우리는 이러한 수정된 공식을 사용하여 작업할 것입니다.

진행 문제에는 또 다른 표기법이 있습니다. n+1. 이것은 추측한 대로 진행의 "n 더하기 첫 번째" 항입니다. 그 의미는 간단하고 무해합니다.) 이것은 숫자 n보다 1만큼 큰 수열의 구성원입니다. 예를 들어, 어떤 문제에 직면하면 앤그럼 5학기 n+1여섯번째 멤버가 됩니다. 등.

지정하는 경우가 가장 많습니다. n+1반복 수식에서 찾을 수 있습니다. 무서운 단어이니 겁먹지 마세요!) 이것은 단지 수열의 멤버를 표현하는 방법일 뿐입니다. 이전 것을 통해.반복 공식을 사용하여 다음 형식의 산술 수열이 제공된다고 가정해 보겠습니다.

n+1 = n +3

2 = 1 + 3 = 5+3 = 8

3 = 2 + 3 = 8+3 = 11

네 번째 - 세 번째, 다섯 번째 - 네 번째 등. 예를 들어 20번째 용어를 어떻게 즉시 계산할 수 있습니까? 20? 하지만 방법은 없습니다!) 19번째 용어를 찾을 때까지는 20번째 용어를 셀 수 없습니다. 이것이 반복 공식과 n 번째 항 공식의 근본적인 차이점입니다. 반복 작업을 통해서만 이전의항이고, n번째 항의 공식은 다음과 같습니다. 첫 번째그리고 허용 곧바로번호로 회원을 찾으세요. 전체 숫자 계열을 순서대로 계산하지 않고.

산술 수열에서는 반복 수식을 일반 수식으로 바꾸는 것이 쉽습니다. 연속된 용어 쌍을 세어 차이를 계산합니다. 디,필요한 경우 첫 번째 항을 찾으십시오. 1, 일반적인 형식으로 공식을 작성하고 작업해 보세요. 이러한 작업은 State Academy of Sciences에서 자주 발생합니다.

산술수열의 n번째 항에 대한 공식을 적용합니다.

먼저, 공식의 직접적인 적용을 살펴보겠습니다. 이전 강의 끝에 문제가 있었습니다.

산술급수(an)이 제공됩니다. a 1 =3이고 d=1/6이면 121을 구합니다.

이 문제는 어떤 공식도 없이 단순히 산술수열의 의미를 토대로 풀 수 있습니다. 추가하고 추가하세요... 한두 시간 정도.)

공식에 따르면 솔루션은 1분도 채 걸리지 않습니다. 시간을 정할 수 있습니다.) 결정합시다.

조건은 공식을 사용하기 위한 모든 데이터를 제공합니다. a 1 =3, d=1/6.무엇이 평등한지 알아내는 것이 남아 있습니다 N.괜찮아요! 우리는 찾아야 해요 121. 그래서 우리는 다음과 같이 씁니다:

주의해주세요! 인덱스 대신 N특정 숫자가 나타납니다: 121. 이는 매우 논리적입니다.) 우리는 산술 진행의 구성원에 관심이 있습니다 번호 백이십일.이것은 우리 것이 될 것이다 N.이것이 의미이다 N= 121 우리는 괄호 안에 공식을 추가로 대체하겠습니다. 모든 숫자를 공식에 대체하고 계산합니다.

121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

그게 다야. 마찬가지로 빨리 오백십번째 용어와 천삼번째 용어를 찾을 수 있습니다. 우리는 대신 넣어 N문자 색인에서 원하는 숫자 " ㅏ"괄호 안에는 숫자가 포함됩니다.

요점을 상기시켜 드리겠습니다. 이 공식을 사용하면 다음을 찾을 수 있습니다. 어느산술진행항 그의 번호로 " N" .

좀 더 교활한 방법으로 문제를 해결해 봅시다. 다음 문제를 살펴보겠습니다.

a 17 =-2인 경우 등차수열의 첫 번째 항(an)을 찾습니다. d=-0.5.

어려움이 있으시면 첫 번째 단계를 알려 드리겠습니다. 산술수열의 n번째 항의 공식을 적어보세요!예 예. 노트에 바로 손으로 적어보세요.

n = a 1 + (n-1)d

이제 공식의 글자를 보면 우리가 가지고 있는 데이터와 누락된 데이터가 무엇인지 이해하게 됩니까? 사용 가능 d=-0.5,열일곱 번째 멤버가 있는데... 그게 다야? 그렇게 생각하면 문제가 해결되지 않을 거에요, 그렇죠…

아직 전화번호가 있어요 N! 상태 17 =-2숨겨진 두 개의 매개변수.이는 17번째 항(-2)의 값이자 해당 숫자(17)입니다. 저것들. n=17.이 "사소한 일"은 종종 머리를 지나쳐 지나가고, 그것 없이는(머리가 아닌 "사소한 일" 없이!) 문제를 해결할 수 없습니다. 하지만...그리고 머리도 없습니다.)

이제 우리는 데이터를 공식에 어리석게 대체할 수 있습니다.

17 = 1 + (17-1)·(-0.5)

바로 이거 야, 17우리는 그것이 -2라는 것을 압니다. 좋습니다. 다음과 같이 바꾸겠습니다.

-2 = 1 + (17-1)·(-0.5)

기본적으로 그게 전부입니다. 공식에서 산술 진행의 첫 번째 항을 표현하고 계산하는 것이 남아 있습니다. 대답은 다음과 같습니다: 1 = 6.

공식을 작성하고 알려진 데이터를 간단히 대체하는 이 기술은 간단한 작업에 큰 도움이 됩니다. 물론, 수식으로 변수를 표현할 수 있어야 하는데 어떡하지!? 이 기술이 없으면 수학은 전혀 공부할 수 없습니다...

또 다른 인기 퍼즐:

a 1 =2인 경우 산술급수(an)의 차이를 구합니다. 15 = 12.

우리는 무엇을하고 있습니까? 당신은 놀랄 것입니다. 우리는 공식을 작성하고 있습니다!)

n = a 1 + (n-1)d

우리가 알고 있는 것을 생각해 봅시다: a1=2; 15=12; 그리고 (특히 강조하겠습니다!) n=15. 이것을 공식으로 대체해 보세요:

12=2 + (15-1)d

우리는 계산을 합니다.)

12=2 + 14일

디=10/14 = 5/7

이것이 정답입니다.

그래서 에 대한 과제는 앤, 에이 1그리고 디결정했다. 남은 것은 숫자를 찾는 방법을 배우는 것입니다.

숫자 99는 산술급수(an)의 구성원입니다. 여기서 a 1은 12입니다. d=3. 이 회원의 번호를 찾아보세요.

우리에게 알려진 양을 n번째 항의 공식으로 대체합니다.

n = 12 + (n-1) 3

언뜻 보면 여기에는 알 수 없는 두 가지 수량이 있습니다. n과 n.하지만 앤- 이것은 숫자가 있는 진행의 일부 멤버입니다. N...그리고 우리는 이 발전 멤버를 알고 있습니다! 99입니다. 우리는 그 숫자를 모릅니다. N,그래서 이 숫자를 찾아야 합니다. 우리는 진행 99의 용어를 공식으로 대체합니다.

99 = 12 + (n-1) 3

우리는 공식으로 표현합니다. N, 우리는 생각한다. 우리는 답을 얻습니다: n=30.

이제 동일한 주제에 대한 문제가 발생했지만 더 창의적인 문제가 발생했습니다.

숫자 117이 등차수열(an)의 구성원인지 확인합니다.

-3,6; -2,4; -1,2 ...

수식을 다시 작성해 보겠습니다. 매개변수가 없나요? 흠... 눈은 왜 주나요?) 진행의 첫 번째 항이 보이나요? 우리는보다. 이것은 -3.6입니다. 다음과 같이 안전하게 작성할 수 있습니다. a1 = -3.6.차이점 디시리즈를 통해 알 수 있나요? 산술 진행의 차이점이 무엇인지 알면 쉽습니다.

d = -2.4 - (-3.6) = 1.2

그래서 우리는 가장 간단한 일을 했습니다. 알 수 없는 번호를 처리하는 것이 남아 있습니다. N그리고 이해할 수 없는 숫자 117. 이전 문제에서는 적어도 주어진 수열의 용어인 것으로 알려졌습니다. 그런데 여기서 우리는 아무것도 모릅니다... 어떡하지!? 글쎄, 어떻게 될지, 어떻게 될지... 창의력을 발휘해보세요!)

우리 가정하다결국 117은 우리 발전의 구성원입니다. 알 수 없는 번호로 N. 그리고 이전 문제와 마찬가지로 이 숫자를 찾아보도록 하겠습니다. 저것들. 공식을 작성하고(예, 예!) 숫자를 대체합니다.

117 = -3.6 + (n-1) 1.2

다시 우리는 공식으로 표현합니다N, 우리는 계산하고 얻습니다:

이런! 숫자가 나왔다 분수! 115. 그리고 진행의 분수 수 없습니다.우리는 어떤 결론을 내릴 수 있습니까? 예! 117호 아니다우리 진행의 멤버입니다. 그것은 백일차와 백두번째 용어 사이 어딘가에 있습니다. 숫자가 자연스러워진 경우, 즉 양의 정수이면 그 숫자는 발견된 숫자와 함께 진행의 구성원이 됩니다. 그리고 우리의 경우 문제에 대한 답은 다음과 같습니다. 아니요.

GIA의 실제 버전을 기반으로 한 작업:

산술적 진행은 다음 조건에 따라 제공됩니다.

n = -4 + 6.8n

수열의 첫 번째 항과 열 번째 항을 찾습니다.

여기서 진행은 특이한 방식으로 설정됩니다. 일종의 공식... 그런 일이 발생합니다.) 그러나 이 공식은 (위에 쓴 대로) - 또한 산술수열의 n번째 항에 대한 공식도요!그녀는 또한 허용 해당 번호로 진행의 구성원을 찾습니다.

첫 번째 멤버를 찾고 있습니다. 생각하는 사람. 첫 번째 항이 마이너스 4라는 것은 치명적인 착각입니다!) 문제의 공식이 수정되었기 때문입니다. 그것의 산술 진행의 첫 번째 항 숨겨진.괜찮습니다. 지금 찾아보겠습니다.)

이전 문제와 마찬가지로 대체합니다. n=1이 공식에:

1 = -4 + 6.8 1 = 2.8

여기! 첫 번째 항은 -4가 아니라 2.8입니다!

같은 방식으로 열 번째 용어를 찾습니다.

10 = -4 + 6.8 10 = 64

그게 다야.

그리고 이제 이 글을 읽으신 분들에게는 약속된 보너스가 주어졌습니다.)

국가 시험이나 통합 국가 시험의 어려운 전투 상황에서 산술 수열의 n번째 항에 대한 유용한 공식을 잊어버렸다고 가정해 보십시오. 뭔가 기억나는데 뭔가 불확실한데... 아니면 N거기 아니면 n+1 또는 n-1...어때요!?

침착한! 이 공식은 도출하기 쉽습니다. 아주 엄격하지는 않지만 자신감과 올바른 결정을 내리기 위해서는 확실히 충분합니다!) 결론을 내리려면 산술 수열의 기본 의미를 기억하고 몇 분의 시간을 갖는 것으로 충분합니다. 그림만 그리시면 됩니다. 명확성을 위해.

수직선을 그리고 그 위에 첫 번째 선을 표시하세요. 두 번째, 세 번째 등등 회원. 그리고 우리는 차이점을 주목합니다 디회원간. 이와 같이:

우리는 그림을 보고 다음과 같이 생각합니다. 두 번째 용어는 무엇입니까? 두번째 하나 디:

ㅏ 2 =a 1 + 1 디

세 번째 용어는 무엇입니까? 제삼항은 첫 번째 항에 더하기 둘 디.

ㅏ 3 =a 1 + 2 디

알아 들었 니? 일부 단어를 굵게 강조한 것은 아무것도 아닙니다. 좋아, 한 단계 더).

네 번째 용어는 무엇입니까? 네번째항은 첫 번째 항에 더하기 삼 디.

ㅏ 4 =a 1 + 3 디

이제 간격의 수, 즉 디, 언제나 찾고 있는 회원 수보다 한 명 적습니다. N. 즉, 숫자에 n, 공백 수~ 할 것이다 n-1.따라서 공식은 다음과 같습니다(변형 없음!).

n = a 1 + (n-1)d

일반적으로 시각적 그림은 수학의 많은 문제를 해결하는 데 매우 도움이 됩니다. 사진을 무시하지 마십시오. 하지만 그림을 그리는 것이 어렵다면... 공식만 있으면 됩니다!) 또한 n번째 항의 공식을 사용하면 수학의 강력한 무기고 전체를 방정식, 부등식, 시스템 등의 솔루션에 연결할 수 있습니다. 방정식에 그림을 삽입할 수 없습니다...

독립적인 솔루션을 위한 작업입니다.

따뜻하게:

1. 산술수열(an)에서 a 2 =3; a5=5.1. 3 을 찾으세요.

힌트: 그림에 따르면 문제는 20초 안에 풀 수 있습니다... 공식에 따르면 문제는 더 어려워집니다. 하지만 공식을 익히려면 더 유용합니다.) 555절에서는 그림과 공식을 모두 사용하여 이 문제를 해결합니다. 차이를 느껴봐!)

그리고 이것은 더 이상 워밍업이 아닙니다.)

2. 산술수열(an)에서 a 85 =19.1; a 236 =49, 3. 3 을 구하세요.

뭐, 그림 그리기 싫은 거야?) 물론이죠! 공식에 따르면 더 낫습니다. 그렇습니다.

3. 산술적 진행은 다음 조건에 따라 제공됩니다.a1 = -5.5; n+1 = n +0.5. 이 수열의 125번째 항을 구하십시오.

이 작업에서는 진행이 반복적인 방식으로 지정됩니다. 하지만 125 번째 학기까지 세면... 모든 사람이 그런 위업을 할 수 있는 것은 아닙니다.) 그러나 n 번째 학기의 공식은 모든 사람의 힘 안에 있습니다!

4. 산술수열(an)이 주어지면:

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

진행의 가장 작은 양수 항의 수를 찾습니다.

5. 과제 4의 조건에 따라 진행의 최소 양수 항과 최대 음수 항의 합을 구합니다.

6. 증가하는 산술 수열의 다섯 번째 항과 열두 번째 항의 곱은 -2.5이고 세 번째 항과 열한 번째 항의 합은 0입니다. 14 를 찾으세요.

가장 쉬운 작업은 아닙니다. 그렇습니다...) 여기서는 "손가락 끝" 방법이 작동하지 않습니다. 공식을 작성하고 방정식을 풀어야 합니다.

답변(혼란):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

일어난? 좋네요!)

모든 것이 잘 되지는 않나요? 일어난다. 그런데 마지막 작업에는 미묘한 점이 하나 있습니다. 문제를 읽을 때 주의가 필요합니다. 그리고 논리.

이러한 모든 문제에 대한 해결책은 섹션 555에서 자세히 논의됩니다. 그리고 네 번째에 대한 환상의 요소, 여섯 번째에 대한 미묘한 요점, n 번째 항의 공식과 관련된 문제를 해결하기 위한 일반적인 접근 방식-모든 것이 설명됩니다. 추천합니다.

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온라인 계산기.
산술 진행을 해결합니다.
주어진 값: a n , d, n
찾기: 1

이 수학 프로그램은 사용자가 지정한 숫자 \(a_n, d\) 및 \(n\)을 기반으로 산술 수열의 \(a_1\)을 찾습니다.
숫자 \(a_n\) 및 \(d\)는 정수뿐만 아니라 분수로도 지정할 수 있습니다. 또한 분수는 소수(\(2.5\)) 형식과 일반 분수(\(-5\frac(2)(7)\)) 형식으로 입력할 수 있습니다.

프로그램은 문제에 대한 답을 제공할 뿐만 아니라, 해결책을 찾는 과정도 표시합니다.

이 온라인 계산기는 시험 및 시험을 준비할 때, 통합 상태 시험 전에 지식을 테스트할 때, 그리고 부모가 수학과 대수학의 많은 문제에 대한 해결책을 통제할 때 중등 학교의 고등학생에게 유용할 수 있습니다. 아니면 튜터를 고용하거나 새 교과서를 구입하는 데 비용이 너무 많이 들 수도 있나요? 아니면 수학이나 대수학 숙제를 가능한 한 빨리 끝내고 싶나요? 이 경우 자세한 솔루션과 함께 당사 프로그램을 사용할 수도 있습니다.

이러한 방식으로 문제 해결 분야의 교육 수준이 높아지는 동시에 남동생을 스스로 훈련 및/또는 훈련할 수 있습니다.

숫자 입력 규칙에 익숙하지 않은 경우에는 해당 규칙을 숙지하는 것이 좋습니다.

숫자 입력 규칙

숫자 \(a_n\) 및 \(d\)는 정수뿐만 아니라 분수로도 지정할 수 있습니다.
숫자 \(n\)은 양의 정수만 가능합니다.

소수점 이하 자릿수 입력 규칙.
소수 부분의 정수 부분과 분수 부분은 마침표나 쉼표로 구분할 수 있습니다.
예를 들어 2.5나 2.5와 같은 소수를 입력할 수 있습니다.

일반 분수 입력 규칙.
정수만이 분수의 분자, 분모 및 정수 부분으로 작용할 수 있습니다.

분모는 음수가 될 수 없습니다.

숫자 분수를 입력할 때 분자는 나누기 기호로 분모와 구분됩니다. /
입력:
결과: \(-\frac(2)(3)\)

전체 부분은 앰퍼샌드 기호로 분수와 구분됩니다. &
입력:
결과: \(-1\frac(2)(3)\)

숫자 a n , d, n 입력

1을 찾으세요

이 문제를 해결하는 데 필요한 일부 스크립트가 로드되지 않아 프로그램이 작동하지 않을 수 있는 것으로 나타났습니다.
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우리의 게임, 퍼즐, 에뮬레이터:

약간의 이론.

번호 순서

일상 생활에서 다양한 물건에 번호를 매기는 것은 물건이 배열된 순서를 나타내는 데 자주 사용됩니다. 예를 들어, 각 거리의 집에는 번호가 매겨져 있습니다. 도서관에서는 독자의 구독에 번호가 매겨진 다음 특수 카드 파일에 할당된 번호 순서대로 정렬됩니다.

저축은행에서는 예금자의 개인계좌번호를 이용하여 해당 계좌를 쉽게 찾아 입금 내용을 확인할 수 있습니다. 계좌 번호 1에는 a1 루블의 예금이 포함되고, 계좌 번호 2에는 a2 루블의 예금이 포함됩니다. 번호 순서
1, 2, 3, ..., N
여기서 N은 모든 계정의 수입니다. 여기서, 1부터 N까지의 각 자연수 n은 숫자 a n과 연관됩니다.

또한 수학을 공부했습니다. 무한한 숫자 시퀀스:
1 , 2 , 3 , ..., n , ... .
숫자 1이 호출됩니다. 수열의 첫 번째 항, 숫자 a 2 - 수열의 두 번째 항, 숫자 a 3 - 수열의 세 번째 항등.
숫자 a n을 호출합니다. 시퀀스의 n번째(n번째) 멤버이고 자연수 n은 숫자.

예를 들어, 자연수 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... 및 1 = 1의 제곱 수열에서 수열의 첫 번째 항입니다. n = n 2 는 수열의 n번째 항입니다. n+1 = (n + 1) 2는 수열의 (n + 1)번째 (n + 첫 번째) 항입니다. 종종 수열은 n번째 항의 공식으로 지정될 수 있습니다. 예를 들어, 공식 \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \)은 수열 \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

산술 진행

일년의 길이는 대략 365일이다. 더 정확한 값은 \(365\frac(1)(4)\)일이므로 4년마다 하루의 오류가 누적됩니다.

이 오류를 해결하기 위해 매 4년마다 하루를 더하고, 연장된 해를 윤년이라고 합니다.

예를 들어, 세 번째 천년기의 윤년은 2004, 2008, 2012, 2016년입니다.

이 시퀀스에서 두 번째부터 시작하는 각 멤버는 이전 멤버와 동일하며 동일한 숫자 4에 추가됩니다. 이러한 시퀀스를 호출합니다. 산술 진행.

정의.
숫자 시퀀스 a 1, a 2, a 3, ..., an, ...이라고 합니다. 산술 진행, 만약 모든 자연적 n이 동등하다면
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
여기서 d는 숫자입니다.

이 공식에 따르면 a n+1 - a n = d가 됩니다. 숫자 d를 차이라고 합니다. 산술 진행.

산술 진행의 정의에 따르면 다음과 같습니다.
\(a_(n+1)=a_n+d, \쿼드 a_(n-1)=a_n-d, \)
어디
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), 여기서 \(n>1 \)

따라서 두 번째부터 시작하는 산술 수열의 각 항은 인접한 두 항의 산술 평균과 같습니다. 이것은 "산술" 진행이라는 이름을 설명합니다.

a 1과 d가 주어지면 산술 수열의 나머지 항은 반복 공식 a n+1 = a n + d를 사용하여 계산될 수 있습니다. 이러한 방식으로 수열의 처음 몇 항을 계산하는 것은 어렵지 않습니다. 그러나 예를 들어 100은 이미 많은 계산을 필요로 합니다. 일반적으로 이를 위해 n번째 항 공식이 사용됩니다. 산술 진행의 정의에 따라
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
등.
조금도,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
왜냐하면 수열의 n번째 항은 첫 번째 항에 d에 (n-1)을 곱하여 더함으로써 얻어지기 때문입니다.
이 공식은 등차수열의 n번째 항에 대한 공식.

산술 수열의 처음 n 항의 합

1부터 100까지의 모든 자연수의 합을 구합니다.
이 금액을 두 가지 방법으로 적어 보겠습니다.
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
용어별로 이러한 평등을 추가해 보겠습니다.
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
이 합계에는 100개의 용어가 있습니다.
따라서 2S = 101 * 100이므로 S = 101 * 50 = 5050입니다.

이제 임의의 산술 진행을 고려해 보겠습니다.
1, 2, 3, ..., n, ...
S n을 이 수열의 처음 n 항의 합으로 설정합니다:
Sn = a 1 , a 2 , a 3 , ..., an n
그 다음에 산술 수열의 처음 n 항의 합은 다음과 같습니다.
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

\(a_n=a_1+(n-1)d\)이므로 이 공식에서 n을 대체하면 다음을 찾는 또 다른 공식을 얻을 수 있습니다. 산술 수열의 처음 n 항의 합:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

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예를 들어 \(2\); \(5\); \(8\); \(열하나\); \(14\)...는 각 후속 요소가 이전 요소와 3씩 다르기 때문에 산술 수열입니다(이전 요소에서 3을 더하여 얻을 수 있음).

이 수열에서 차이 \(d\)는 양수(\(3\)와 동일)이므로 다음 각 항은 이전 항보다 큽니다. 그러한 진행을 소위 증가.

그러나 \(d\)는 음수일 수도 있습니다. 예를 들어, 산술진행 \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... 진행 차이 \(d\)는 -6과 같습니다.

이 경우 다음 각 요소는 이전 요소보다 작아집니다. 이러한 진행을 호출합니다. 감소하는.

산술 진행 표기법

진행 상황은 작은 라틴 문자로 표시됩니다.

진행을 형성하는 숫자를 호출합니다. 회원(또는 요소).

산술 수열과 동일한 문자로 표시되지만 숫자 인덱스는 순서대로 요소 수와 동일합니다.

예를 들어, 산술 수열 \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)은 요소 \(a_1=2\)로 구성됩니다. \(a_2=5\); \(a_3=8\) 등등.

즉, 수열의 경우 \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

산술 진행 문제 해결

원칙적으로 위에 제시된 정보는 거의 모든 산술 수열 문제(OGE에서 제공되는 문제 포함)를 해결하는 데 이미 충분합니다.

예(OGE). 산술 수열은 \(b_1=7; d=4\) 조건에 의해 지정됩니다. \(b_5\)를 찾으세요.
해결책:

답변: \(b_5=23\)

예(OGE). 산술 수열의 처음 세 항은 다음과 같습니다: \(62; 49; 36…\) 이 수열의 첫 번째 음수 항의 값을 구하십시오.
해결책:

	우리는 수열의 첫 번째 요소가 주어지고 그것이 산술수열이라는 것을 알고 있습니다. 즉, 각 요소는 이웃 요소와 동일한 숫자만큼 다릅니다. 다음 요소에서 이전 요소를 빼서 어느 요소인지 알아봅시다: \(d=49-62=-13\).
	이제 필요한 (첫 번째 부정적인) 요소로 진행 상황을 복원할 수 있습니다.
	준비가 된. 답변을 작성하시면 됩니다.

답변: \(-3\)

예(OGE). 산술 수열의 여러 연속 요소가 주어지면: \(…5; x; 10; 12.5...\) 문자 \(x\)로 지정된 요소의 값을 찾습니다.
해결책:

	\(x\)를 찾으려면 다음 요소가 이전 요소와 얼마나 다른지, 즉 진행 차이를 알아야 합니다. 두 개의 알려진 이웃 요소 \(d=12.5-10=2.5\)에서 이를 찾아보겠습니다.
	이제 우리가 찾고 있는 것을 쉽게 찾을 수 있습니다: \(x=5+2.5=7.5\).
	준비가 된. 답변을 작성하시면 됩니다.

답변: \(7,5\).

예(OGE). 산술적 진행은 다음 조건으로 정의됩니다: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) 이 수열의 처음 6개 항의 합을 구하세요.
해결책:

	우리는 수열의 처음 6개 항의 합을 구해야 합니다. 그러나 우리는 그 의미를 알지 못하며 첫 번째 요소만 제공됩니다. 따라서 먼저 우리에게 주어진 것을 사용하여 값을 하나씩 계산합니다. \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) 그리고 필요한 6가지 요소를 계산한 후 그 합을 구합니다.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	필요한 금액이 검색되었습니다.

답변: \(S_6=9\).

예(OGE). 산술수열 \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). 이 진행의 차이점을 찾아보세요.
해결책:

답변: \(d=7\).

산술 진행을 위한 중요한 공식

보시다시피, 산술 수열에 대한 많은 문제는 산술 수열이 숫자의 체인이고 이 체인의 각 후속 요소는 이전 숫자에 동일한 숫자를 추가하여 얻어지는 주요 사항을 이해함으로써 간단히 해결할 수 있습니다. 진행의 차이)

그러나 때로는 '정면'을 결정하는 것이 매우 불편한 상황이 있습니다. 예를 들어, 첫 번째 예에서 다섯 번째 요소 \(b_5\)가 아니라 386번째 요소 \(b_(386)\)를 찾아야 한다고 가정해 보겠습니다. \(385\) 번을 4번 더해야 할까요? 또는 두 번째 예에서 처음 73개 요소의 합을 구해야 한다고 상상해 보세요. 계산하기 지치실 거에요...

따라서 이러한 경우에는 "정면"으로 문제를 해결하지 않고 산술 수열을 위해 파생된 특수 공식을 사용합니다. 그리고 주요한 것은 수열의 n번째 항에 대한 공식과 \(n\) 첫 번째 항의 합에 대한 공식입니다.

\(n\)번째 항의 공식: \(a_n=a_1+(n-1)d\), 여기서 \(a_1\)은 수열의 첫 번째 항입니다.
\(n\) – 필수 요소의 수;
\(a_n\) – 숫자 \(n\)의 진행 조건입니다.

이 공식을 사용하면 수열의 첫 번째 요소와 차이점만 알면 300번째 또는 백만 번째 요소도 빠르게 찾을 수 있습니다.

예. 산술 수열은 다음 조건에 의해 지정됩니다: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). \(b_(246)\)를 찾으세요.
해결책:

답변: \(b_(246)=1850\).

처음 n 항의 합에 대한 공식: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), 여기서

\(a_n\) – 마지막으로 합산된 용어입니다.

예(OGE). 산술 수열은 \(a_n=3.4n-0.6\) 조건에 의해 지정됩니다. 이 수열의 첫 \(25\)항의 합을 구하세요.
해결책:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		처음 25개 항의 합을 계산하려면 첫 번째 항과 25번째 항의 값을 알아야 합니다. 우리의 진행은 숫자에 따라 n번째 항의 공식으로 제공됩니다(자세한 내용은 참조). \(n\)에 하나를 대입하여 첫 번째 요소를 계산해 보겠습니다.
\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\)		이제 \(n\) 대신 25를 대입하여 25번째 항을 구해 보겠습니다.
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\)		자, 이제 필요한 금액을 쉽게 계산할 수 있습니다.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		답변이 준비되었습니다.

답변: \(S_(25)=1090\).

첫 번째 항의 합 \(n\)에 대해 다른 공식을 얻을 수 있습니다. \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \만 하면 됩니다. \(a_n\) 대신 (\cdot 25\ ) 공식을 \(a_n=a_1+(n-1)d\)로 대체하세요. 우리는 다음을 얻습니다:

처음 n 항의 합에 대한 공식: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), 여기서

\(S_n\) – \(n\) 첫 번째 요소의 필수 합계입니다.
\(a_1\) – 첫 번째 합산 용어;
\(d\) – 진행 차이;
\(n\) – 총 요소 수입니다.

예. 산술수열의 첫 번째 \(33\)-ex 항의 합을 구합니다. \(17\); \(15.5\); \(14\)…
해결책:

답변: \(S_(33)=-231\).

더 복잡한 산술 진행 문제

이제 거의 모든 산술 수열 문제를 해결하는 데 필요한 모든 정보를 갖게 되었습니다. 공식을 적용해야 할 뿐만 아니라 약간의 생각도 해야 하는 문제를 고려하여 주제를 마무리하겠습니다(수학에서는 이것이 유용할 수 있습니다 ☺).

예(OGE). 수열의 모든 음수항의 합을 구합니다: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
해결책:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		작업은 이전 작업과 매우 유사합니다. 우리는 같은 문제를 해결하기 시작합니다. 먼저 \(d\)를 찾습니다.
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		이제 \(d\)를 합계 공식에 대체하고 싶습니다. 여기서 작은 뉘앙스가 나타납니다. 우리는 \(n\)을 모릅니다. 즉, 얼마나 많은 용어를 추가해야 하는지 알 수 없습니다. 알아내는 방법? 생각 해봐. 첫 번째 긍정적인 요소에 도달하면 요소 추가를 중지합니다. 즉, 이 요소의 번호를 알아내야 합니다. 어떻게? 우리의 경우 산술 수열의 요소를 계산하는 공식을 적어 보겠습니다: \(a_n=a_1+(n-1)d\).
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\)		0보다 커지려면 \(a_n\)이 필요합니다. 어떤 \(n\) 일이 일어날지 알아봅시다.
\(-19.3+(n-1)·0.3>0\)
\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\)		부등식의 양변을 \(0.3\)으로 나눕니다.
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		표지판을 변경하는 것을 잊지 않고 마이너스 1을 전송합니다.
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		계산해보자...
\(n>65,333…\)		...첫 번째 양수 요소의 숫자는 \(66\)입니다. 따라서 마지막 음수는 \(n=65\)입니다. 혹시라도 이것을 확인해 봅시다.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1)·0.3=0.2\)		따라서 첫 번째 \(65\) 요소를 추가해야 합니다.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		답변이 준비되었습니다.

답변: \(S_(65)=-630.5\).

예(OGE). 산술적 진행은 다음 조건에 의해 지정됩니다: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)번째부터 \(42\)번째 요소까지의 합을 구합니다.
해결책:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	이 문제에서는 요소의 합도 구해야 합니다. 단, 첫 번째가 아닌 \(26\)번째부터 시작해야 합니다. 그러한 경우에는 공식이 없습니다. 어떻게 결정하나요? 쉽습니다. \(26\)번째부터 \(42\)번째까지의 합을 구하려면 먼저 \(1\)번째부터 \(42\)번째까지의 합을 구한 다음 빼야 합니다. 그것으로부터 처음부터 \(25\)번째까지의 합을 계산합니다(그림 참조).
	진행률 \(a_1=-33\)과 차이 \(d=4\)의 경우(결국 다음 요소를 찾기 위해 이전 요소에 4개를 추가합니다). 이를 알면 첫 번째 \(42\)-y 요소의 합을 구합니다.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	이제 첫 번째 \(25\) 요소의 합입니다.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	그리고 마지막으로 답을 계산합니다.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

답변: \(S=1683\).

산술 진행의 경우 실용성이 낮기 때문에 이 기사에서 고려하지 않은 몇 가지 공식이 더 있습니다. 그러나 쉽게 찾을 수 있습니다.

숫자 시퀀스의 개념은 각 자연수가 일부 실수 값에 해당함을 의미합니다. 이러한 일련의 숫자는 임의적이거나 특정 속성(진행)을 가질 수 있습니다. 후자의 경우 시퀀스의 각 후속 요소(멤버)는 이전 요소를 사용하여 계산될 수 있습니다.

산술 수열은 인접한 멤버가 동일한 숫자만큼 서로 다른 일련의 숫자 값입니다(두 번째부터 시작하는 시리즈의 모든 요소는 비슷한 속성을 갖습니다). 이 숫자(이전 용어와 후속 용어의 차이)는 일정하며 진행 차이라고 합니다.

진행 차이: 정의

j 값 A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j)로 구성된 시퀀스를 고려하면 j는 자연수 집합 N에 속합니다. 진행은 정의에 따르면 수열입니다. 여기서 a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. d 값은 이 수열에서 원하는 차이입니다.

d = a(j) – a(j-1).

가장 밝은 부분:

• 증가하는 진행. 이 경우 d > 0. 예: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• 진행을 감소시킨 다음 d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

차이 진행 및 임의 요소

수열의 2개의 임의 항이 알려진 경우(i번째, k번째), 주어진 수열의 차이는 다음 관계에 따라 결정될 수 있습니다.

a(i) = a(k) + (i – k)*d, 이는 d = (a(i) – a(k))/(i-k)를 의미합니다.

진행의 차이와 첫 번째 용어

이 표현식은 시퀀스 요소의 번호가 알려진 경우에만 알 수 없는 값을 결정하는 데 도움이 됩니다.

진행차이와 그 합

진행의 합은 해당 기간의 합입니다. 첫 번째 j개 요소의 총 값을 계산하려면 적절한 공식을 사용하세요.

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, 그러나 이후 a(j) = a(1) + d(j – 1), 그러면 S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.