평행사변형의 평행한 변은 동일합니다. 평행사변형과 그 속성

24.09.2019

Sign-ki pa-ral-le-lo-gram-ma

1. 평행사변형의 정의 및 기본 특성

para-ral-le-lo-gram의 정의를 상기하는 것부터 시작하겠습니다.

정의. 평행사변형- what-you-rekh-gon-nick은 두 개의 pro-ti-false 측면이 모두 평행한 것입니다(그림 1 참조).

쌀. 1. 팔랄르로그램

기억하자 파랄레로그람마의 기본 특성:

이러한 모든 속성을 사용하려면 fi-gu-ra, 즉 우리가 말하는 사람 -roy에 대한 par-ral-le-lo-gram이 있는지 확인해야 합니다. 이렇게하려면 par-ral-le-lo-gram-ma의 징후와 같은 사실을 알아야합니다. 우리는 지금 그 중 처음 두 개를 보고 있습니다.

2. 평행사변형의 첫 번째 부호

정리. par-ral-le-lo-gram-ma의 첫 징후. 4개의 석탄에서 반대쪽 두 변이 동일하고 평행하다면 이 4개의 석탄 별명은 - 평행사변형. .

쌀. 2. par-ral-le-lo-gram-ma의 첫 징후

증거. 4-reh-coal-ni-ka(그림 2 참조)에 대각선을 넣고 두 개의 tri-coal-ni-ka로 나눕니다. 이 삼각형에 대해 우리가 알고 있는 것을 적어 봅시다:

삼각형의 평등의 첫 번째 기호에 따라.

표시된 삼각형의 동등성으로 인해 ch-nii의 s-ku-shchi를 교차할 때 직선의 평행도 기호가 표시됩니다. 우리는 그것을 가지고 있습니다 :

도카자하지만.

3. 평행사변형의 두 번째 기호

정리. 두 번째 표시는 par-ral-le-lo-gram-ma입니다.네 모서리에서 거짓을 지지하는 두 변이 모두 동일하다면 이 네 모서리는 다음과 같습니다. 평행사변형. .

쌀. 3. par-ral-le-lo-gram-ma의 두 번째 표시

증거. 우리는 대각선을 네 모서리에 놓고(그림 3 참조) 이를 두 개의 삼각형으로 나눕니다. 이론의 형식을 바탕으로 이 삼각형에 대해 우리가 알고 있는 내용을 적어 보겠습니다.

삼각형의 평등의 세 번째 기호에 따라.

삼각형의 평등으로부터 평행선의 부호에 따라 교차할 때 s-ku-shchey가 됩니다. 먹자:

정의상 par-ral-le-lo-gram. Q.E.D.

도카자하지만.

4. 첫 번째 평행사변형 특징 활용 예

par-ral-le-lo-gram 기호 사용의 예를 살펴 보겠습니다.

예 1. 돌출부에는 석탄이 없습니다. 찾기: a) 석탄의 모서리; b) 백로웰.

해결책. 그림 그림 4.

pa-ral-le-lo-gram-ma의 첫 번째 기호에 따른 pa-ral-le-lo-gram.

ㅏ. 한쪽으로 누워 있을 때, 찬성 각도에 대한 파랄르로그램의 속성, 각도의 합에 대한 패랄르로그램의 속성에 의해.

비. 찬성 측의 평등의 성격에 따라.

다시 서명하기 pa-ral-le-lo-gram-ma

5. 검토: 평행사변형의 정의와 속성

그것을 기억하자 평행사변형- 이것은 4각형 모퉁이로, 쌍으로 된 쪽이 거짓인 쪽입니다. 즉, 만약 - par-ral-le-lo-gram이라면, (그림 1 참조).

평행-르-로-그램에는 여러 가지 속성이 있습니다. 반대 각도는 같습니다(), 반대 각도 -우리는 같습니다( ). 또한, re-se-che-niya 지점의 dia-go-na-li pa-ral-le-lo-gram은 각도의 합에 따라 나누어지며, 어느 쪽이든 누를 수 있습니다. -ral-le-lo-gram-ma, 동등 등

그러나 이러한 모든 속성을 활용하려면 ri-va-e-my th-you-rekh-coal-nick-pa-ral-le-lo-gram이 절대적으로 확인되어야합니다. 이를 위해 par-ral-le-lo-gram의 징후가 있습니다. 즉, 단일 가치 결론을 도출할 수 있는 사실, what-you-rekh-coal-nick은 par-ral- 르-로-그램-엄마. 이전 강의에서 우리는 이미 두 가지 신호를 살펴보았습니다. 이제 우리는 세 번째를 보고 있습니다.

6. 평행사변형의 세 번째 기호와 그 증명

4개의 석탄에 re-se-che-niya가 do-by-lams 시점에 dia-go-on이 있다면, 주어진 4개의 노-석탄-닉은 par-ral-le입니다. -로그램-엄마.

주어진:

당신은 석탄 닉이군요; ; .

입증하다:

평행사변형.

증거:

이 사실을 증명하기 위해서는 파레로그램에 대한 당사자들의 평행성을 보여줄 필요가 있다. 그리고 직선의 평행성은 이러한 직각에서 내부 교차 각도의 동일성을 통해 가장 자주 달성됩니다. 따라서 par-ral -le-lo-gram-ma의 세 번째 부호를 얻는 다음 방법은 다음과 같습니다. 삼각형의 동일성을 통해 .

이 삼각형이 어떻게 같은지 봅시다. 실제로 조건에 따르면 다음과 같습니다. 또한 각도가 수직이므로 동일합니다. 그건:

(평등의 첫 번째 신호삼중 석탄 니코브(tri-coal-ni-cov)- 양면과 그 사이의 모서리를 따라).

삼각형의 동등성에서: (이러한 직선과 구분 기호의 내부 십자형 각도가 동일하기 때문입니다). 또한, 삼각형의 평등으로부터 다음과 같은 결과가 나옵니다. 이것은 우리가 4개의 석탄에서 200개가 동일하고 평행하다는 것을 이해한다는 것을 의미합니다. 첫 번째 표시에 따르면 pa-ral-le-lo-gram-ma:-pa-ral-le-lo-gram.

도카자하지만.

7. 평행사변형의 세 번째 부호 문제와 일반화의 예

par-ral-le-lo-gram의 세 번째 기호를 사용하는 예를 살펴보겠습니다.

실시예 1

주어진:

- 평행사변형; . - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na (그림 2 참조).

입증하다:- 파랄레로그램.

증거:

이것은 re-se-che-niya 시점에서 4-coal-no-dia-go-on-on-on-by-lam을 의미합니다. par-ral-le-lo-gram의 세 번째 기호에 따라 pa-ral-le-lo-gram이 이어집니다.

도카자하지만.

par-ral-le-lo-gram의 세 번째 기호를 분석하면 이 기호가 with-vet-가 par-ral-le-lo-gram의 속성을 가지고 있음을 알 수 있습니다. 즉, 디아고나리 데라시아가 단지 팔르로그램의 속성이 아니라, 그 특유의 카락테리스티체라는 사실이 이는 what-you-rekh-coal-ni-cov 세트와 구별될 수 있는 속성입니다.

원천

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma

http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg

http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg

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평행사변형은 반대쪽 변이 쌍으로 평행한 사각형입니다. 다음 그림은 평행사변형 ABCD를 보여줍니다. CD면과 평행한 AB면과 AD면과 평행한 BC면이 있습니다.

짐작하셨겠지만, 평행사변형은 볼록한 사변형입니다. 평행사변형의 기본 속성을 고려해 봅시다.

평행사변형의 속성

1. 평행사변형에서는 반대각과 대변이 같습니다. 이 속성을 증명해 보겠습니다. 다음 그림에 표시된 평행사변형을 고려해 보세요.

대각선 BD는 이를 ABD와 CBD라는 두 개의 동일한 삼각형으로 나눕니다. 두 각도는 각각 평행선 BC, AD, AB, CD의 할선 BD에서 십자형으로 놓여 있기 때문에 측면 BD와 그에 인접한 두 각도를 따라 동일합니다. 따라서 AB = CD이고
기원전 = AD. 그리고 각도 1, 2, 3, 4의 동일성으로부터 각도 A = 각도 1 + 각도 3 = 각도 2 + 각도 4 = 각도 C가 됩니다.

2. 평행사변형의 대각선은 교차점을 기준으로 반으로 나뉩니다. 점 O를 평행사변형 ABCD의 대각선 AC와 BD의 교차점으로 놓습니다.

그런 다음 삼각형 AOB와 삼각형 COD는 측면과 인접한 두 각도를 따라 서로 동일합니다. (AB = CD. 왜냐하면 평행사변형의 반대쪽이기 때문입니다. 그리고 angle1 = angle2 및 angle3 = angle4는 선 AB와 CD가 각각 시컨트 AC 및 BD와 교차할 때 십자형 각도와 같습니다.) 이로부터 AO = OC가 됩니다. OB = OD이며 증명이 필요합니다.

모든 주요 속성은 다음 세 그림에 설명되어 있습니다.

평균 수준

평행사변형, 직사각형, 마름모, 정사각형 (2019)

1. 평행사변형

복합어 "평행사변형"? 그리고 그 뒤에는 매우 간단한 그림이 있습니다.

즉, 우리는 두 개의 평행선을 취했습니다.

두 개가 더 교차되었습니다.

그리고 그 안에는 평행사변형이 있어요!

평행사변형에는 어떤 속성이 있나요?

평행사변형의 속성.

즉, 문제에 평행사변형이 주어지면 무엇을 사용할 수 있습니까?

다음 정리는 이 질문에 답합니다.

모든 것을 자세히 그려 봅시다.

무슨 뜻이에요 정리의 첫 번째 요점? 그리고 사실은 평행사변형이 있다면 확실히

두 번째 요점은 만약 평행사변형이 있다면, 다시 말하지만, 확실히 다음과 같습니다:

마지막으로 세 번째 요점은 평행사변형이 있는 경우 다음을 확인해야 한다는 의미입니다.

선택의 폭이 얼마나 넓은지 아시나요? 문제에 무엇을 사용할 것인가? 작업 문제에 집중하거나 모든 것을 하나씩 시도해 보세요. 일부 "핵심"이 작동합니다.

이제 스스로에게 또 다른 질문을 던져 봅시다: 평행사변형을 어떻게 "눈으로" 알아볼 수 있습니까? 우리가 평행사변형의 "제목"을 부여할 권리를 가지려면 사변형에 어떤 일이 일어나야 합니까?

평행사변형의 여러 표시가 이 질문에 답합니다.

평행사변형의 징후.

주목! 시작하다.

평행사변형.

참고: 문제에서 최소한 하나의 기호를 찾았다면 평행사변형이 분명하고 평행사변형의 모든 속성을 사용할 수 있습니다.

2. 직사각형

내 생각에 그것은 당신에게 전혀 새로운 소식이 아닐 것입니다

첫 번째 질문: 직사각형은 평행사변형인가요?

당연하지! 결국 그는 - 우리의 사인 3을 기억하시나요?

그리고 물론 여기에서 평행 사변형과 마찬가지로 직사각형에서는 대각선이 교차점으로 반으로 나뉩니다.

하지만 직사각형에도 한 가지 독특한 속성이 있습니다.

직사각형 속성

이 속성이 독특한 이유는 무엇입니까? 다른 평행사변형에는 대각선이 동일하지 않기 때문입니다. 좀 더 명확하게 공식화해 보겠습니다.

참고: 직사각형이 되려면 사각형이 먼저 평행사변형이 된 다음 대각선이 동일함을 보여야 합니다.

3. 다이아몬드

그리고 다시 질문: 마름모는 평행사변형인가 아닌가?

완전 오른쪽 - 평행사변형입니다. 왜냐하면 그것은 및 (우리의 기능 2를 기억하세요)이기 때문입니다.

그리고 마름모는 평행사변형이므로 평행사변형의 모든 속성을 가져야 합니다. 이는 마름모에서 반대 각도가 동일하고 반대 변이 평행하며 교차점에서 대각선이 이등분된다는 것을 의미합니다.

마름모의 속성

사진을 봐:

직사각형의 경우와 마찬가지로 이러한 속성은 독특합니다. 즉, 이러한 각 속성에 대해 이것이 단순한 평행사변형이 아니라 마름모라는 결론을 내릴 수 있습니다.

다이아몬드의 징후

그리고 다시 한 번 주의하세요. 대각선이 수직인 사변형뿐만 아니라 평행사변형도 있어야 합니다. 확실하게 하다:

아니요, 물론 대각선은 수직이고 대각선은 각도의 이등분선입니다. 하지만... 대각선은 교차점에 의해 반으로 나뉘지 않습니다. 따라서 평행사변형이 아니므로 마름모도 아닙니다.

즉, 정사각형은 직사각형인 동시에 마름모입니다. 무슨 일이 일어나는지 봅시다.

이유가 분명합니까? - 마름모는 각도 A의 이등분선입니다. 이것은 그것이 두 개의 각도로 나누어진다는 것을 의미합니다.

글쎄요, 아주 명확합니다. 직사각형의 대각선은 동일합니다. 마름모의 대각선은 수직이며, 일반적으로 대각선의 평행사변형은 교점을 기준으로 반으로 나뉩니다.

평균 수준

사각형의 속성. 평행사변형

평행사변형의 속성

주목! 단어 " 평행사변형의 속성"그 말은 당신의 임무에 있다면 있다평행사변형이면 다음을 모두 사용할 수 있습니다.

평행사변형의 성질에 관한 정리.

평행사변형에서:

즉, 이것이 모두 사실인 이유를 이해해 봅시다. 우리는 증명할 것입니다정리.

그렇다면 왜 1)이 사실일까요?

평행사변형인 경우:

십자형으로 누워있는
십자가처럼 누워 있습니다.

이는 (기준 II에 따라: 및 - 일반)을 의미합니다.

글쎄, 그게 다야, 그게 다야! - 증명됐어요.

그런데 그런데! 2)도 증명했습니다!

왜? 하지만 (사진을보세요) 바로 그 이유입니다.

3개만 남았습니다.)

이렇게 하려면 두 번째 대각선을 그려야 합니다.

이제 우리는 II 특성(각도와 "사이"의 측면)에 따라 그것을 볼 수 있습니다.

입증된 속성! 표지판으로 넘어 갑시다.

평행사변형의 징후

평행사변형 기호는 그림이 평행사변형이라는 "어떻게 알 수 있나요?"라는 질문에 답한다는 점을 기억하세요.

아이콘에서는 다음과 같습니다.

왜? 이유를 이해하는 것이 좋을 것입니다. 그것으로 충분합니다. 하지만 보세요:

글쎄, 우리는 왜 부호 1이 참인지 알아냈습니다.

글쎄, 훨씬 더 쉽습니다! 대각선을 다시 그려 봅시다.

이는 다음을 의미합니다.

그리고그것은 또한 쉽습니다. 하지만... 달라요!

수단, . 우와! 그러나 또한 - 시컨트로 내부 일방적입니다!

그러므로 그 사실은 그것을 의미합니다.

그리고 반대편에서 보면 내부 단면이 시컨트가 있습니다! 따라서.

얼마나 대단한지 보이시나요?!

그리고 다시 간단합니다:

똑같습니다.

주의하세요:당신이 찾았다면 적어도문제에 평행사변형의 신호가 하나 있다면, 정확히평행 사변형을 사용할 수 있습니다 모든 사람평행사변형의 속성.

완전한 명확성을 위해 다이어그램을 살펴보십시오.

사각형의 속성. 직사각형.

직사각형 속성:

포인트 1)은 매우 분명합니다. 결국 기호 3()은 단순히 충족됩니다.

그리고 포인트 2) - 매우 중요. 그럼, 증명해보자

이는 양면(및 - 일반)을 의미합니다.

음, 삼각형이 동일하므로 빗변도 동일합니다.

그것을 증명했습니다!

그리고 대각선의 평등은 모든 평행사변형 중에서 직사각형의 독특한 속성이라고 상상해 보세요. 즉, 이 진술은 사실입니다^

왜 그런지 이해해 볼까요?

이것은 (평행사변형의 각도를 의미)을 의미합니다. 그러나 이것이 평행사변형이라는 것을 다시 한 번 기억합시다.

수단, . 물론, 그들 각각은 다음과 같습니다! 결국 그들은 총액을 주어야합니다!

그래서 그들은 만약에 평행사변형갑자기 (!) 대각선이 같아지면 이것은 정확히는 직사각형.

하지만! 주의하세요!이것은 대략 평행사변형! 아무나 하는 게 아니고대각선의 길이가 같은 사각형은 직사각형이고, 오직평행사변형!

사각형의 속성. 마름모

그리고 다시 질문: 마름모는 평행사변형인가 아닌가?

완전 오른쪽 - 평행사변형입니다(기능 2를 기억하세요).

그리고 마름모는 평행사변형이므로 평행사변형의 모든 특성을 가져야 합니다. 이는 마름모에서 반대 각도가 동일하고 반대 변이 평행하며 교차점에서 대각선이 이등분된다는 것을 의미합니다.

그러나 특별한 속성도 있습니다. 그것을 공식화합시다.

마름모의 속성

왜? 음, 마름모는 평행사변형이므로 대각선이 반으로 나뉩니다.

왜? 예, 그렇기 때문입니다!

즉, 대각선은 마름모 모서리의 이등분선으로 나타났습니다.

직사각형의 경우와 마찬가지로 이러한 속성은 다음과 같습니다. 독특한, 그들 각각은 또한 마름모의 표시입니다.

다이아몬드의 징후.

왜 이런거야? 그리고 봐,

그 의미는 둘 다이 삼각형은 이등변이다.

마름모가 되려면 사변형이 먼저 평행사변형이 되어야 하고 그런 다음 특징 1이나 특징 2를 나타내야 합니다.

사각형의 속성. 정사각형

즉, 정사각형은 직사각형인 동시에 마름모입니다. 무슨 일이 일어나는지 봅시다.

이유가 분명합니까? 정사각형(마름모)은 같은 각도의 이등분선입니다. 이것은 그것이 두 개의 각도로 나누어진다는 것을 의미합니다.

왜? 그럼 피타고라스의 정리를 적용해 볼까요?

요약 및 기본 공식

평행사변형의 속성:

반대쪽은 동일합니다: , .
반대 각도는 동일합니다: , .
한쪽 각도의 합은 다음과 같습니다. , .
대각선은 교차점을 기준으로 반으로 나뉩니다.

직사각형 속성:

직사각형의 대각선은 동일합니다: .
직사각형은 평행사변형입니다(사각형의 경우 평행사변형의 모든 속성이 충족됩니다).

마름모의 속성:

마름모의 대각선은 수직입니다: .
마름모의 대각선은 각의 이등분선입니다: ; ; ; .
마름모는 평행사변형입니다(마름모의 경우 평행사변형의 모든 속성이 충족됩니다).

정사각형의 속성:

정사각형은 마름모이자 직사각형이므로 정사각형의 경우 직사각형과 마름모의 모든 속성이 충족됩니다. 그리고.

이것은 마주보는 변이 쌍으로 평행한 사각형입니다.

속성 1. 평행사변형의 대각선은 평행사변형을 두 개의 동일한 삼각형으로 나눕니다.

증거 . II 특성(십자형 각도 및 공통 측면)에 따라.

정리가 입증되었습니다..

속성 2. 평행사변형에서는 대변의 길이가 같고 반대각의 크기가 같습니다.

증거 .
비슷하게,

정리가 입증되었습니다..

속성 3. 평행사변형에서 대각선은 교차점에 의해 이등분됩니다.

증거 .

정리가 입증되었습니다..

속성 4. 평행사변형의 각의 이등분선은 반대편을 가로질러 이등변삼각형과 사다리꼴로 나눕니다. (Ch. 단어 - 꼭지점 - 두 개의 이등변? -ka).

증거 .

정리가 입증되었습니다..

재산 5. 평행사변형에서 대각선의 교차점을 통과하는 반대쪽 끝이 있는 선분은 이 점으로 이등분됩니다.

증거 .

정리가 입증되었습니다..

재산 6. 평행사변형의 둔각 꼭지점에서 떨어진 고도 사이의 각도는 평행사변형의 예각과 같습니다.

증거 .

정리가 입증되었습니다..

속성 7. 한 변에 인접한 평행사변형의 내각의 합은 180°입니다.

증거 .

정리가 입증되었습니다..

각도의 이등분선 만들기. 삼각형의 각의 이등분선의 속성.

1) 임의의 광선 DE를 구성합니다.

2) 주어진 광선에서 꼭지점에 중심을 두고 동일한 임의의 원을 구성합니다.
구성된 광선의 시작 부분에 중심이 있습니다.

3) F와 G - 주어진 각도의 측면과 원의 교차점, H - 구성된 광선과 원의 교차점

점 H를 중심으로 하고 반지름이 FG인 원을 만듭니다.

5) I는 구성된 보의 원이 교차하는 지점입니다.

6) 꼭지점과 I를 통과하는 직선을 그립니다.

IDH는 필요한 각도입니다.
)

속성 1. 삼각형 각도의 이등분선은 인접한 변에 비례하여 반대쪽을 나눕니다.

증거 . x, y를 변 c의 세그먼트로 둡니다. BC 빔을 계속합시다. 광선 BC에서 우리는 C로부터 AC와 동일한 세그먼트 CK를 플롯합니다.