노크 다항식 예. 다항식의 최대 공약수

03.07.2020

다항식의 나눗셈. 유클리드 알고리즘

§1. 다항식의 나눗셈

나눌 때, 다항식은 정식 형식으로 표시되고 문자의 내림차순으로 배열되며, 이에 따라 피제수 및 제수의 정도가 결정됩니다. 배당의 정도는 제수의 정도보다 크거나 같아야 합니다.

나눗셈의 결과는 다항식의 유일한 쌍입니다 - 몫과 나머지는 평등을 만족해야 합니다:

< делимое > = < делитель > ´ < частное > + < остаток > .

차수가 다항식인 경우 nPn(엑스 )는 나눌 수 있고,

차수 다항식 mRk(x )는 (엔 ³ m ),

다항식 Qn – m (x ) 비공개입니다. 이 다항식의 차수는 피제수의 차수와 제수의 차수와 같습니다.

차수의 다항식 k Rk (x )는 (의 나머지케이< m ).

그 평등

Pn(엑스) = Fm(엑스) × Qn – m(x) + Rk(x) (1.1)

동일하게 유지되어야 합니다. 즉, x의 실제 값에 대해 유효합니다.

다시 말하지만, 나머지 정도는케이 제수의 거듭제곱보다 작아야 합니다.중 . 나머지의 목적은 다항식의 곱을 완성하는 것입니다. Fm (x) 및 Qn - m (x ) 피제수와 같은 다항식으로.

다항식의 곱인 경우 Fm(x) × Qn – m(x ) 피제수와 같은 다항식을 제공하고 나머지는아르 자형 = 0. 이 경우 나머지 없이 나눗셈을 한다고 합니다.

특정 예를 사용하여 다항식을 나누는 알고리즘을 고려할 것입니다.

다항식(5x5 + x3 + 1)을 다항식(x3 + 2)으로 나누는 것이 필요하다고 하자.

1. 피제수 5x5의 최고항을 제수 x3의 최고항으로 나눕니다.

이것이 몫의 첫 번째 항을 찾는 방법임을 아래에서 확인할 수 있습니다.

2. 제수에 몫의 다음(처음에는 첫 번째) 항을 곱하고 이 곱을 피제수에서 뺍니다.

5x5 + x3 + 1 - 5x2(x3 + 2) = x3 - 10x2 + 1.

3. 배당금은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

5x5 + x3 + 1 = 5x2(x3 + 2) + (x3 - 10x2 +

동작 (2)에서 차이의 정도가 제수의 정도보다 크거나 같은 것으로 판명되면(고려 중인 예에서와 같이) 이 차이로 위에 표시된 동작이 반복됩니다. 여기서

1. 차이 x3의 최고 항을 제수 x3의 최고 항으로 나눕니다.

이런 식으로 몫의 두 번째 항을 찾는 것이 아래에 표시됩니다.

2. 제수에 몫의 다음(이제는 두 번째) 항을 곱하고 이 곱을 마지막 차이에서 뺍니다.

X3 - 10x2 + 1 - 1 × (x3 + 2) = - 10x2 - 1.

3. 그러면 마지막 차이는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

X3 - 10x2 + 1 = 1 × (x3 + 2) + (-10x2 +

다음 차이의 정도가 제수의 정도보다 작은 것으로 판명되면(동작 (2)의 반복의 경우와 같이) 마지막 차이와 같은 나머지로 나누기가 완료됩니다.

몫이 합계(5x2 + 1)인지 확인하기 위해 다항식 x3 - 10x2 + 1((1.3) 참조)의 변환 결과를 등식(1.2)으로 대체합니다. 5x5 + x3 + 1 = 5x2(x3 + 2) + 1× (x3 + 2) + (-10x2 - 1). 그런 다음 대괄호에서 공통 인수(x3 + 2)를 취한 후 마침내 다음을 얻습니다.

5x5 + x3 + 1 = (x3 + 2)(5x2 + 1) + (- 10x2 - 1).

평등 (1.1)에 따라 다항식 (5x5 + x3 + 1)을 다항식 (x3 + 2)으로 몫 (5x2 + 1)과 나머지 (- 10x2 - 1).

이러한 작업은 "코너로 나누기"라는 체계의 형태로 작성하는 것이 일반적입니다. 동시에 피제수 및 후속 차액의 기록에서 건너뛰지 않고 인수의 모든 감소 거듭제곱에 대한 합계 항을 생성하는 것이 바람직합니다.

글꼴 크기:14.0pt;선 높이: 150%"> 5x5 + 0x4 + x3 + 0x2 + 0x + 1 x3 + 2

5x5 +10x2 5x2 + 1

x3 -10x2 + 0x + 1

X3 + 2

-10x2 + 0x - 1

위치:상대; z-색인:1">다항식의 분할이 순차적인 작업 반복으로 축소되는 것을 볼 수 있습니다.

1) 알고리즘의 시작 부분에서 배당금의 선임 구성원, 이후 다음 차액의 선임 구성원은 제수의 선임 구성원으로 나뉩니다.

2) 나눗셈의 결과는 나눗셈에 곱해지는 몫의 다음 항을 제공합니다. 결과 제품은 나눌 수 있는 차이 또는 규칙적인 차이로 기록됩니다.

3) 하위 다항식은 상위 다항식에서 빼며 얻은 차이의 정도가 제수의 정도보다 크거나 같으면 작업 1, 2, 3이 반복됩니다.

결과 차이의 정도가 약수의 차수보다 작으면 나눗셈이 완료됩니다. 마지막 차이점은 나머지입니다.

예 #1

position:absolute;z-index: 9;left:0px;margin-left:190px;margin-top:0px;width:2px;height:27px">

4x2 + 0x - 2

4x2 ± 2x ± 2

따라서 6x3 + x2 - 3x - 2 = (2x2 - x - 1) (3x + 2) + 2x입니다.

예 #2

A3b2+b5

A3b2 a2b3

– a2b3 + b5

±a2b3 ±ab4

Ab4 + b5

– ab4 b5

따라서 , a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b4).

예 №3

position:absolute;z-index: 26;left:0px;margin-left:132px;margin-top:24px;width:194px;height:2px"> x5 - y5 x - y

X5 x4y x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4

X3y2 - y5

X3y2 ± x2y3

후 4 - y 5

따라서 x5 - y5 = (x - y)(x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4).

실시예 2 및 3에서 얻어진 결과의 일반화는 2개의 감소된 곱셈 공식이다:

(x + a) (x2 n - x2 n -1 a + x2 n -2 a 2 - ... + a2n) \u003d x 2n + 1 + a2n + 1;

(х – a)(х 2n + х 2n–1 a + х 2n–2 a2 + … + a2n) = х 2n+1 – a2n + 1, 여기서 n н N.

수업 과정

작업 실행

1. (- 2x5 + x4 + 2x3 - 4x2 + 2x + 4): (x3 + 2).

답변: - 2x2 + x +2 - 몫, 0 - 나머지.

2. (x4 - 3x2 + 3x + 2): (x - 1).

답: x3 + x2 - 2x + 1 - 몫, 3 - 나머지.

3. (x2 + x5 + x3 + 1): (1 + x + x2).

답: x3 - x2 + x + 1 - 몫, 2x - 나머지.

4. (x4 + x2y2 + y4): (x2 + xy + y2).

답변: x2 - xy + y2 - 몫, 0 - 나머지.

5. (a 3 + b 3 + c 3 - 3 abc): (a + b + c).

답: a 2 - (b + c) a + (b 2 - bc + c 2 )는 몫, 0은 나머지입니다.

§2. 두 다항식의 최대 공약수 찾기

1. 유클리드 알고리즘

두 다항식 각각이 나머지 없이 세 번째로 나누어지면 이 세 번째 다항식을 첫 두 다항식의 공약수라고 합니다.

두 다항식의 최대 공약수(GCD)는 최대 차수의 공약수입니다.

0이 아닌 숫자는 두 다항식의 공통 약수입니다. 따라서 0이 아닌 숫자를 이러한 다항식의 사소한 공약수라고 합니다.

Euclid의 알고리즘은 주어진 두 다항식의 GCD를 찾거나 1차 이상의 다항식 형태의 약수가 존재하지 않음을 보여주는 일련의 작업을 제안합니다.

Euclid의 알고리즘은 일련의 나눗셈으로 구현됩니다. 1차 나눗셈에서 차수가 큰 다항식은 피제수로, 차수가 작은 것은 약수로 간주합니다. GCD가 발견된 다항식의 차수가 같으면 피제수와 약수가 임의로 선택됩니다.

다음 나눗셈에서 나머지의 다항식의 차수가 1보다 크거나 같으면, 제수는 나눌 수 있게 되고 나머지는 제수가 됩니다.

다항식의 다음 나누기에서 0과 같은 나머지가 얻어지면 이러한 다항식의 gcd가 발견됩니다. 마지막 나눗셈의 제수입니다.

다항식의 다음 나눗셈에서 나머지가 0이 아닌 숫자로 판명되면 이러한 다항식에 대해 사소한 것 외에는 gcd가 없습니다.

예 #1

분수 줄이기 .

해결책

Euclid 알고리즘을 사용하여 이러한 다항식의 gcd를 찾습니다.

1) x3 + 6x2 + 11x + 6 x3 + 7x2 + 14x + 8

X3 + 7x2 + 14x + 8 1

– x2 – 3x – 2

position:absolute;z-index: 37;left:0px;margin-left:182px;margin-top:28px;width:121px;height:2px">2) x3 + 7x2 + 14x + 8 - x2 - 3x - 2

X3 + 3x2 + 2x - 엑스 - 4

3x2 + 9x + 6

따라서,

position:absolute;z-index: 49;left:0px;margin-left:209px;margin-top:6px;width:112px;height:20px"> font-size:14.0pt;line-height:150%">답변: font-size:14.0pt;line-height:150%"> 2. Euclid 알고리즘에서 GCD 계산 단순화 가능성

정리

피제수에 0이 아닌 숫자를 곱하면 몫과 나머지에 같은 숫자가 곱해집니다.

증거

P는 피제수, F는 제수, Q는 몫, R - 나머지. 그 다음에,

P = F × Q + R.

이 아이덴티티에 숫자를 곱하면¹ 0, 우리는 얻는다

a P = F × (a Q) + a R,

여기서 다항식 a P 배당으로 간주될 수 있으며, 다항식 Q와 R - 다항식을 나눈 몫과 나머지 P를 다항식 F로 . 따라서 배당금에 숫자를 곱하면ㄱ¹ 0이면 몫과 나머지도 곱해집니다., h 등

결과

약수에 숫자 곱하기ㄱ¹ 0은 피제수에 숫자를 곱한 것으로 생각할 수 있습니다.

따라서 약수에 숫자를 곱할 때ㄱ¹ 0은 몫이고 나머지는 .

예 #2

몫 Q와 나머지 R 찾기 다항식을 나눌 때

글꼴 크기:14.0pt;선 높이:150%"> 해결책

피제수와 제수를 정수 계수에 전달하려면 피제수에 6을 곱하면 원하는 몫의 6이 곱해집니다. Q와 나머지 R . 그런 다음 제수에 5를 곱하면 몫 6이 곱해집니다. Q 및 나머지 6 R 에 . 결과적으로 다항식을 정수 계수로 나누어 얻은 몫과 나머지는 몫의 원하는 값과 인수만큼 다를 것입니다. Q와 나머지 R 이 다항식을 나누어서 얻습니다.

12y4 - 22x3 + 18x2y2 - 11x3y + 3x4 2y2 - 3xy + 5x2

12y4 ± 18xy3 30x2y2 6y2 - 2xy - 9x2 =

- 4x3 - 12x2y2 - 11x3y + 3x4

± 4x3 6x2y2 ± 10x3y

- 18x2y2 - x3y + 3x4

± 18х2у2 27х3у ± 45х4

– 28x3y + 48x4 = font-size:14.0pt;line-height:150%"> 따라서 ;

답변: , .

이러한 다항식의 최대 공약수를 찾으면 0이 아닌 숫자를 곱하여 이러한 다항식의 최대 약수도 얻을 수 있습니다. 이러한 상황을 통해 Euclid 알고리즘에서 계산을 단순화할 수 있습니다. 즉, 다음 나누기 전에 피제수 또는 제수는 몫의 첫 번째 항의 계수가 정수가 되도록 특별한 방법으로 선택한 숫자로 곱할 수 있습니다. 위에 표시된 것처럼 피제수와 약수를 곱하면 개인 나머지의 해당 변경이 발생하지만 결과적으로 이러한 다항식의 GCD는 0과 같은 일부 숫자로 곱해지며 이는 허용됩니다.

예 #3

분수 줄이기 .

해결책

유클리드 알고리즘을 적용하면

position:absolute;z-index: 59;left:0px;margin-left:220px;margin-top:27px;width:147px;height:2px">1) x4 + 3x3 + 3x2 + 3x + 2 x4 + x3 - 3x2 + 4

X4 x3 ± 3x2 글꼴 크기:14.0pt; 라인 높이:150%"> 4 1

2x3 + 6x2 + 3x - 2

글꼴 크기:14.0pt; line-height:150%">2) 2(x4 + x3 - 3x2 + 4) = 2x4 + 2x3 - 6x2 + 8 2x3 + 6x2 + 3x - 2

2x4 6x3 3x2 ± 2x x - 2

– 4x3 – 9x2 + 2x + 8

± 4x3 ± 12x2 ± 6x 글꼴 크기:14.0pt; 라인 높이:150%">4

3x2 + 8x + 4

3) 3(2x3 + 6x2 + 3x - 2) = 6x3 + 18x2 + 9x - 6 3x2 + 8x + 4

6x3 글꼴 크기:14.0pt">16x2 글꼴 크기:14.0pt">8x 2x +

1. 유클리드 알고리즘

두 다항식 각각이 나머지 없이 세 번째로 나누어지면 이 세 번째 다항식을 첫 두 다항식의 공약수라고 합니다.

두 다항식의 최대 공약수(GCD)는 최대 차수의 공약수입니다.

0이 아닌 숫자는 두 다항식의 공통 약수입니다. 따라서 0이 아닌 숫자를 이러한 다항식의 사소한 공약수라고 합니다.

Euclid의 알고리즘은 주어진 두 다항식의 GCD를 찾거나 1차 이상의 다항식 형태의 약수가 존재하지 않음을 보여주는 일련의 작업을 제안합니다.

Euclid의 알고리즘은 일련의 나눗셈으로 구현됩니다. 1차 나눗셈에서 차수가 큰 다항식은 피제수로, 차수가 작은 다항식은 약수로 간주합니다. GCD가 발견된 다항식의 차수가 같으면 피제수와 약수가 임의로 선택됩니다.

다음 나눗셈에서 나머지의 다항식의 차수가 1보다 크거나 같으면, 제수는 나눌 수 있게 되고 나머지는 제수가 됩니다.

다항식의 다음 나누기에서 0과 같은 나머지가 얻어지면 이러한 다항식의 gcd가 발견됩니다. 마지막 나눗셈의 제수입니다.

다항식의 다음 나누기에서 나머지가 0이 아닌 숫자로 판명되면 이러한 다항식에 대해 사소한 것 외에는 gcd가 없습니다.

예 #1

분수를 줄입니다.

2. Euclid 알고리즘에서 GCD 계산 단순화 가능성

피제수에 0이 아닌 숫자를 곱하면 몫과 나머지에 같은 숫자가 곱해집니다.

증거

P를 피제수, F를 제수, Q를 몫, R을 나머지라고 합니다. 그 다음에,

이 항등식에 숫자 0을 곱하면

여기서 다항식 P는 피제수로, 다항식 Q와 R은 다항식 P를 다항식 F로 나눈 몫과 나머지로 볼 수 있습니다. 따라서 피제수에 숫자 0을 곱하면 몫과 나머지는 h.t. d로 곱해집니다.

결과

제수에 0을 곱하는 것은 피제수에 숫자를 곱하는 것으로 생각할 수 있습니다.

따라서 약수에 숫자를 곱할 때 0은 몫이고 나머지는 곱합니다.

예 #2

다항식을 나눌 때 몫 Q와 나머지 R 찾기

나눗셈 다항식 알고리즘 euclid

정수 계수에 대한 피제수와 제수로 이동하려면 피제수에 6을 곱하면 원하는 몫 Q와 나머지 R에 6이 곱해집니다. 그런 다음 제수에 5를 곱하면 몫 6Q와 나머지 6R이 곱해집니다. 에 의해. 결과적으로 다항식을 정수 계수로 나누어 얻은 몫과 나머지는 이러한 다항식을 나누어 얻은 몫 Q와 나머지 R의 원하는 값과 인수만큼 다를 것입니다.

따라서, ;

이론의 기본 정보

정의 4.1.

P[x]의 다항식 j(x)는 다음과 같습니다. 공약수 f(x) 및 g(x)가 나머지 없이 j(x)로 나누어질 수 있는 경우 P[x]의 다항식 g(x) 및 f(x).

예 4.1. 주어진 두 개의 다항식: (엑스) 지(엑스)= x 4 − 3x 3 − 4x 2 + 2х + 2 О R[엑스]. 이러한 다항식의 공약수: j1(x) = x 3 − 4x 2 + 2 = О R[x], j2(x) =(x 2 - 2x - 2) О R[x], j3(x) =(x − 1) О R[x], 4(x) = 1 О R[x]. (확인하다!)

정의 4.2.

최대 공약수P[x]의 0이 아닌 다항식 f(x) 및 g(x)는 P[x]의 다항식 d(x)이며, 이는 이들 다항식의 다른 공통 약수로 나눌 수 있습니다.

예 4.2. 예제 4.1의 다항식의 경우. 에프엑스= x 4 − 4x 3 + 3x 2 + 2x − 6 О R[x], 지(엑스)= x 4 − 3x 3 − 4x 2 + 2х + 2 н R[x] 최대 공약수는 다항식입니다. d(x) = j1(x) = x 3 − 4x 2 + 2 н R[x], 왜냐하면 이 다항식은 d(x)는 다른 모든 공약수 j 2 (x), j 3 (x)로 나눌 수 있습니다.,4(x).

최대 공약수(GCD)는 다음 기호로 표시됩니다.

d(엑스) = (에프엑스, 지(엑스)).

임의의 두 다항식에 대해 최대 공약수가 존재합니다. 에프(엑스),지(엑스) н P[엑스] (지(엑스)¹ 0). 그 존재가 결정한다 유클리드 알고리즘, 다음과 같습니다.

나누다 에프엑스~에 지(엑스). 나눗셈으로 얻은 나머지와 몫을 나타내자 r1(엑스)그리고 q1(엑스).그렇다면 만약 r1(엑스)¹ 0, 나누기 지(엑스)~에 r1(x),우리는 나머지를 얻는다 r2(엑스)그리고 개인 q 2(엑스)등. 결과 잔류물의 정도 r1(x), r2(x),… 감소할 것입니다. 그러나 음이 아닌 정수의 수열은 아래에서 숫자 0으로 제한됩니다. 따라서 나눗셈 과정은 유한할 것이며 나머지에 도달하게 됩니다. rk(엑스),이전 나머지를 완전히 나눕니다. rk – 1(엑스).전체 나누기 프로세스는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

에프엑스= 지(엑스) × q1(x) + r1(x),도 r1(엑스)< deg g(엑스);

지(엑스)= r1(엑스)× q2(x) + r2(x),도 r2(엑스) < deg r1(x);

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

rk – 2(엑스)= rk – 1(엑스)× 큐케이(엑스) + rk(엑스),도 rk(엑스)< deg rk – 1(엑스);

rk – 1(엑스) = rk(엑스) × q k +1 (엑스).(*)

증명하자 rk(엑스)다항식의 최대 공약수가 됩니다. 에프엑스그리고 지(엑스).

1) 보여드리겠습니다 rk(엑스)~이다 공약수다항식 데이터.

끝에서 두 번째 방정식을 살펴보겠습니다.

rk –-2 (엑스)= rk –-1 (엑스)× 큐케이(엑스) + rk(엑스),또는 rk –-2 (엑스)= rk(엑스) × q k +1 (엑스) × 큐케이(엑스) + rk(엑스).

오른쪽은 다음과 같이 나뉩니다. rk(엑스).따라서 왼쪽도 다음으로 나눌 수 있습니다. rk(엑스),저것들. rk –-2 (엑스)로 나눈 rk(엑스).

rk --- 3(엑스)= rk --- 2(엑스)× qk-1(엑스) + rk - 1(x).

여기 rk -- 1(엑스)그리고 rk --- 2(엑스)로 나누어진다 rk(엑스),평등의 우변에 있는 합은 또한 다음과 같이 나눌 수 있습니다. rk(엑스).따라서 등식의 좌변도 다음으로 나눌 수 있습니다. rk(엑스),저것들. rk --- 3(엑스)로 나눈 rk(엑스).이런 식으로 순차적으로 위로 이동하면 다음과 같은 다항식을 얻을 수 있습니다. 에프엑스그리고 지(엑스)로 나누어진다 rk(엑스).따라서, 우리는 rk(엑스)~이다 공약수다항식 데이터 (정의 4.1.).

2) 보여드리겠습니다 rk(엑스)로 나눈 다른공약수 j(엑스)다항식 에프엑스그리고 지(엑스),즉, 최대 공약수이 다항식 .

첫 번째 방정식을 살펴보겠습니다. 에프엑스=지(엑스) × 정1(엑스) + r1(엑스).

허락하다 d(엑스)어떤 공약수입니다 에프엑스그리고 지(엑스). 그런 다음 가분성의 속성에 따라 차이 에프엑스–지(엑스) × 정1(엑스)로 나뉜다 d(x),즉, 방정식의 왼쪽 에프엑스–지(엑스) × 정1(엑스)= r1(엑스)로 나눈 디(엑스).그리고 r1(엑스)로 나누어집니다 디(엑스).유사한 방식으로 추론을 계속하고 연속적으로 등식 아래로 내려가면 다음을 얻습니다. rk(엑스)로 나눈 디(엑스).그런 다음 정의 4.2.rk(엑스)될거야 최대 공약수다항식 에프엑스그리고 지(엑스): d(엑스) = (에프엑스, 지(엑스)) = rk(엑스).

다항식의 최대 공약수 에프엑스그리고 지(엑스)요인까지 고유합니다 - 0도의 다항식, 또는 다음과 같이 말할 수 있습니다. 협회까지(정의 2.2.).

따라서 우리는 정리를 증명했습니다.

정리 4.1. /유클리드 알고리즘/.

다항식의 경우 f(x),g(x) н P[x] (g(x)¹ 0) 평등과 불평등의 올바른 시스템(*), 마지막 0이 아닌 나머지는 이러한 다항식의 최대 공약수가 됩니다.

예 4.3. 다항식의 최대 공약수 찾기

에프엑스= x 4 + x 3 +2x 2 + x + 1 그리고 지(엑스)\u003d x 3 -2x 2 + x -2.

해결책.

1스텝 2스텝

x 4 + x 3 +2x 2 + x + 1	x 3 -2x 2 + x -2		x 3 -2x 2 + x -2	7x2+7
–(x 4 -2x 3 + x 2 - 2x)	x+3 = q 1 (엑스)	–(x 3 + 엑스)	1/7x.–2/7 = q 2 (x)
3x 3 + x 2 + 3x + 1 – ( 3x 3 -6x 2 + 3x -6)		-2x 2 -2 -( –2x2 –2)
7x 2 + 7 = r 1 (엑스)		0 = r2(엑스)

우리는 나누기 단계를 다음과 같이 평등과 불평등의 시스템으로 작성합니다. (*) :

에프엑스= g(엑스) × q1(x) + r1(x), 도 r1(엑스)< deg g(엑스);

지(엑스)= r1(엑스)× q 2(엑스).

에 따르면 정리 4.1./유클리드 알고리즘/ 마지막 0이 아닌 나머지 r 1 (x) = 7x 2 + 7은 최대 공약수가 됩니다. d(엑스)이 다항식 :

(에프엑스, 지(엑스)) = 7x 2 + 7.

다항식 링의 가분성은 연관까지 정의되기 때문에 ( 속성 2.11.) 그러면 7x 2 + 7 대신 GCD로 사용할 수 있지만 ( 7x2 + 7) = x2 + 1.

정의 4.3.

선행 계수가 1인 최대 공약수는 정규화된 최대 공약수.

예 4.4. 예제 4.2에서. 최대 공약수를 찾았습니다 d(엑스) = (에프엑스, 지(엑스)) = 7x 2 + 7 다항식 에프엑스= x 4 + x 3 +2x 2 + x + 1 그리고 지(엑스)\u003d x 3 -2x 2 + x -2. 관련 다항식으로 바꾸기 d1(엑스)= x 2 + 1, 우리는 이러한 다항식의 정규화된 최대 공약수를 얻습니다( 에프엑스, 지(엑스)) = x2 + 1.

논평.두 다항식의 최대공약수를 구하는 데 유클리드 알고리즘을 적용하면 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다. 다항식의 최대 공약수 에프엑스그리고 지(엑스)고려 여부에 달려 있지 않습니다. 에프엑스그리고 지(엑스)들판 위에 피또는 그 확장 피'.

정의 4.4.

최대 공약수다항식 f 1(x), f 2(x), f 3(x), ... fn(x) Î P[x]는 그러한 다항식 d(x)Î P[x]는 그들의 공약수이고 그 자체로 이러한 다항식의 다른 공약수로 나눌 수 있습니다.

유클리드의 알고리즘은 두 다항식의 최대공약수를 찾는 데에만 적합하므로 n개의 다항식의 최대공약수를 찾기 위해서는 다음 정리를 증명해야 합니다.

0이 아닌 다항식 f(x) 및 φ(x)가 주어집니다. f(x)를 φ(x)로 나눈 나머지가 0이면 다항식 φ(x)를 다항식 f(x)의 약수라고 합니다. 다항식 φ(x)는 다항식 f(x)의 약수가 될 것입니다. f(x)=φ(x)ψ(x)를 만족하는 다항식 ψ(x)가 존재하는 경우에만 . 다항식 φ(x)는 임의의 다항식 f(x)와 g(x)가 각 다항식의 약수인 경우 이들의 공통 약수라고 합니다. 가분성의 성질에 따라 다항식 f(x)와 g(x)의 공약수의 수는 0도 다항식을 모두 포함합니다. 이러한 다항식에 다른 공약수가 없으면 서로소(coprime)라고 하고 (f(x), g(x))=1이라고 씁니다. 일반적인 경우 다항식 f(x) 및 g(x)는 x에 따라 공통 약수를 가질 수 있습니다.

정수의 경우 다항식에 대해 최대 공약수 개념이 도입되었습니다. 0이 아닌 다항식 f(x) 및 g(x)의 최대 공약수는 이들 다항식의 공약수로 나눌 수 있는 공약수 d(x)입니다. 다항식 f(x) 및 g(x)의 최대 공약수는 gcd, d(x), (f(x), g(x))로 표시됩니다. GCD의 이 정의는 정수에도 적용되지만 모든 학생에게 알려진 다른 정의가 더 자주 사용됩니다.

이 정의는 여러 가지 질문을 제기합니다.

1. 임의의 0이 아닌 다항식 f(x) 및 g(x)에 대한 GCD가 있습니까?

2. 다항식 f(x) 및 g(x)의 GCD를 찾는 방법은 무엇입니까?

3. 다항식 f(x)와 g(x)의 최대 공약수는 몇 개입니까? 어떻게 찾을 수 있습니까?

순차 나눗셈 알고리즘 또는 유클리드 알고리즘이라고 하는 정수의 gcd를 찾는 방법이 있습니다. 다항식에도 적용 가능하며 다음과 같이 구성됩니다.

유클리드 알고리즘.차수 f(x) ≥ 차수 g(x)로 다항식 f(x) 및 g(x)를 지정합니다. 에프(엑스)를 지(엑스)로 나누면 나머지 r 1 (엑스)를 얻습니다. 나눕니다 지(엑스) r 1 (x), 나머지를 얻습니다 r 2 (x). r1(x)을 r2(x)로 나눕니다. 그래서 분할이 완료될 때까지 분할을 계속합니다. 나머지 r k (x)는 이전 나머지 r k -1 (x)를 완전히 나누고 다항식 f (x) 및 g (x)의 최대 공약수가 됩니다.

예제를 해결하는 데 유용한 다음 설명을 만들어 보겠습니다. 유클리드 알고리즘을 다항식에 적용하여 gcd를 찾으면 분수 계수를 피하기 위해 피제수를 곱하거나 0이 아닌 숫자로 약수를 줄일 수 있으며 연속 나눗셈을 시작할 뿐만 아니라 이 부서 자체의 프로세스. 이것은 몫의 왜곡으로 이어지지만 우리가 관심을 갖는 나머지는 우리가 알고 있듯이 제수를 찾을 때 허용되는 0도의 특정 요소만 획득할 것입니다.

예 1다항식의 GCD 찾기 f(x)=x 3 –x 2 –5x–3,
지(엑스)=엑스 2 +엑스–12. f(x)를 g(x)로 나누기:

9로 감소한 후 r 1 (x)의 첫 번째 나머지는 x-3이 됩니다. 우리는 g(엑스)를 r 1 (엑스)로 나눕니다.

분할이 완료되었습니다. 따라서 r 1 (x) \u003d x–3은 다항식 x 3 –x 2 –5x–3 및 x 2 +x–12의 GCD입니다.

예 2다항식 f(x)=3x 3 +2x 2 –4x–1의 gcd를 구합니다.
지(엑스)=5x 3 –3x 2 +2x–4. f(x)에 5를 곱하고 5f(x)를 g(x)로 나눕니다.

첫 번째 나머지 r 1 (x)는 19x 2 -26x + 7이 됩니다. g(x)에 19를 곱한 후 첫 번째 나머지로 g(x)를 나눕니다.

19를 곱하고 계속 나누기:

우리는 1955로 줄이고 두 번째 나머지 r 2 (x) = x-1을 얻습니다. r 1(x)을 r 2(x)로 나눕니다.

분할이 완료되었으므로 r 2 (x)=x-1은 다항식 f(x) 및 g(x)의 GCD입니다.

예 3다항식 f(x)=3x 3 –x 2 +2x–4의 gcd를 구합니다.
지(엑스)=엑스 3 -2엑스 2 +1.

. .

답변:(에프(엑스), g(엑스))=х–1.

gcd를 찾는 이 방법은 다항식 f(x) 및 g(x)가 유리수 계수 또는 실수 계수를 모두 갖는 경우 최대 공약수의 계수도 각각 유리수 또는 실수임을 보여줍니다.

다항식 f(x), g(x) 및 d(x)는 다양한 질문에서 자주 사용되며 정리로 설명되는 다음 관계와 관련됩니다.

d(x)가 다항식 f(x) 및 g(x)의 최대 공약수이면 f(x)u(x)+g( 엑스)v(엑스)=디(엑스). 이 경우 다항식 f(x) 및 g(x)의 차수가 0보다 크면 u(x)의 차수가 g(x)의 차수보다 작고 차수가 0보다 크다고 가정할 수 있습니다. v(x)의 정도는 f(x)의 차수보다 작습니다.

주어진 다항식 f(x) 및 g(x)에 대해 다항식 u(x) 및 v(x)를 찾는 방법을 예를 들어 보여드리겠습니다.

예 4다음과 같은 경우 f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x)가 되는 다항식 u(x) 및 v(x)를 찾습니다.

A) 에프(엑스)=엑스4-3엑스3+1, 지(엑스)=엑스3-3엑스2+1;

B) f (x) \u003d x 4 -x 3 + 3x 2 -5x + 2, g (x) \u003d x 3 + x-2.

A. 유클리드 알고리즘을 사용하여 다항식 에프(엑스) 및 지(엑스)의 GCD를 찾습니다. 지금은 나눗셈 과정에서 예제 1, 2에서와 같이 적절한 숫자로 줄이고 곱하는 것이 불가능합니다. 삼.

(1) (2)

따라서 다항식 f(x) 및 g(x)의 공통 약수는 -1입니다.

분할에 따라 평등을 작성합니다.

에프(엑스)=지(엑스)х+(–х+1) (1 *)

g (x) \u003d (-x + 1) (-x 2 + 2x + 2) -1. (2*)

등식(2 *)에서 d(x)= –1=g(x)–(–x+1)(–x 2 +2x+2)를 표현합니다. 등식 (1 *)에서 우리는 –х+1=f(x)–g(x)х를 찾고 그 값을 등식 (2*)으로 대체합니다: d(x)= –1=g(x)–(f( x )–g(x)х)(–x 2 +2x+2).

이제 f(x) 및 g(x)와 관련하여 오른쪽에 있는 항을 그룹화합니다.

d(x)= –1=g(x)–f(x)(–x 2 +2x+2)+g(x)x(–x 2 +2x+2)=f(x)(x 2 – 2x–2)+g(x)(1–x 3 +2x 2 +2x)=f(x)(x 2 –2x–2)+g(x)(–x 3 +2x 2 +2x+1) .

따라서 u(x)=x 2 –2x–2, v(x)= –x 3 +2x 2 +2x+1입니다.

다항식 f(x) 및 g(x)의 최대 공약수는 2x-2 다항식입니다. 등식 (1)과 (2)를 사용하여 표현합니다.

답변:

실험실 작업의 옵션

옵션 1

1. 다항식의 GCD 찾기:

a) х 4 –2х 3 –х 2 –4х–6, 2х 4 –5х 3 +8х 2 –10х+8.

b) (x–1) 3 (x+2) 2 (2x+3), (x–1) 4 (x+2)x.

에프 (엑스) \u003d x 6 -4x 5 + 11x 4 -27x 3 + 37x 2 -35x + 35,

g(x)=x 5 -3x 4 +7x 3 -20x 2 +10x-25.

옵션 2

1. 다항식의 GCD 찾기:

a) x 4 -3x 3 -3x 2 + 11x-6, x 4 -5x 3 + 6x 2 + x-3.

b) (2x+3) 3 (x-2) 2 (x+1) 및 그 도함수.