로그 표현. 예! 로그의 기본 속성

18.10.2019

주요 속성.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x:y).

동일한 근거

로그6 4 + 로그6 9.

이제 작업을 조금 복잡하게 만들어 보겠습니다.

로그 해결의 예

로그의 밑수 또는 인수가 거듭제곱이면 어떻게 되나요? 그런 다음 이 정도의 지수는 다음 규칙에 따라 로그 부호에서 제거될 수 있습니다.

물론 로그의 ODZ가 관찰되면 이러한 모든 규칙이 의미가 있습니다. a > 0, a ≠ 1, x >

일. 표현의 의미를 찾으십시오.

새로운 기반으로의 전환

로그 logax를 주어 보겠습니다. 그런 다음 c > 0이고 c ≠ 1인 임의의 숫자 c에 대해 동등성은 참입니다.

일. 표현의 의미를 찾으십시오.

또한보십시오:

로그의 기본 속성

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지수는 2.718281828… 지수를 기억하려면 규칙을 공부할 수 있습니다. 지수는 2.7과 같고 Leo Nikolaevich Tolstoy 탄생 연도의 두 배입니다.

로그의 기본 속성

이 규칙을 알면 지수의 정확한 값과 레오 톨스토이의 생년월일을 모두 알 수 있습니다.

로그의 예

로그 표현식

예시 1.
ㅏ). x=10ac^2(a>0,c>0).

속성 3.5를 사용하여 계산합니다.

4. 어디 .

예 2. 다음 경우 x 찾기

예 3. 로그 값을 제공합니다.

다음과 같은 경우 log(x)를 계산합니다.

로그의 기본 속성

다른 숫자와 마찬가지로 로그도 모든 방법으로 더하고, 빼고, 변환할 수 있습니다. 그러나 로그는 정확히 평범한 숫자가 아니기 때문에 여기에는 다음과 같은 규칙이 있습니다. 주요 속성.

이러한 규칙을 확실히 알아야 합니다. 규칙이 없으면 심각한 로그 문제 하나도 해결할 수 없습니다. 또한 그 중 거의 없습니다. 하루 만에 모든 것을 배울 수 있습니다. 그럼 시작해 보겠습니다.

로그 더하기 및 빼기

밑이 동일한 두 개의 로그(logax와 logay)를 생각해 보세요. 그런 다음 더하고 뺄 수 있으며 다음과 같습니다.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x:y).

따라서 로그의 합은 곱의 로그와 같고 그 차이는 몫의 로그와 같습니다. 참고하세요: 여기서 핵심은 다음과 같습니다. 동일한 근거. 이유가 다르면 이 규칙은 적용되지 않습니다!

이 공식은 개별 부분을 고려하지 않는 경우에도 로그 표현식을 계산하는 데 도움이 됩니다("로그란 무엇인가" 단원 참조). 예제를 살펴보고 다음을 확인하세요.

로그는 밑이 동일하므로 합계 공식을 사용합니다.
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

일. 다음 표현식의 값을 찾습니다: log2 48 − log2 3.

기본은 동일하므로 차이 공식을 사용합니다.
로그2 48 - 로그2 3 = 로그2(48:3) = 로그2 16 = 4.

일. 다음 표현식의 값을 찾습니다: log3 135 − log3 5.

이번에도 기본은 동일하므로 다음과 같습니다.
로그3 135 - 로그3 5 = 로그3(135:5) = 로그3 27 = 3.

보시다시피 원래 표현식은 별도로 계산되지 않는 "나쁜" 로그로 구성됩니다. 그러나 변환 후에는 완전히 정상적인 숫자가 얻어집니다. 많은 테스트가 이 사실을 기반으로 합니다. 예, 통합 국가 시험에서는 시험과 같은 표현이 진지하게(때로는 거의 변경 없이) 제공됩니다.

로그에서 지수 추출하기

마지막 규칙이 처음 두 규칙을 따르는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 그러나 어쨌든 기억하는 것이 좋습니다. 어떤 경우에는 계산량이 크게 줄어들 것입니다.

물론 로그의 ODZ가 관찰되면(a > 0, a ≠ 1, x > 0) 이러한 모든 규칙이 의미가 있습니다. 그리고 한 가지 더: 모든 수식을 왼쪽에서 오른쪽으로 적용하는 방법뿐만 아니라 그 반대로도 적용하는 방법을 배우십시오. , 즉. 로그 자체에 로그 기호 앞에 숫자를 입력할 수 있습니다. 이것이 가장 자주 요구되는 것입니다.

일. 다음 표현식의 값을 찾으세요: log7 496.

첫 번째 공식을 사용하여 인수의 정도를 제거해 보겠습니다.
로그7 496 = 6 로그7 49 = 6 2 = 12

일. 표현의 의미를 찾으십시오.

분모에는 로그가 포함되어 있으며 밑과 인수는 정확한 거듭제곱입니다. 16 = 24; 49 = 72. 우리는 다음을 가집니다:

마지막 예에는 약간의 설명이 필요하다고 생각합니다. 로그는 어디로 갔나요? 마지막 순간까지 우리는 분모만을 가지고 작업합니다.

로그 수식. 로그 예제 솔루션.

우리는 거기에 있는 로그의 밑수와 인수를 거듭제곱의 형태로 제시하고 지수를 제거했습니다. 우리는 "3층" 분수를 얻었습니다.

이제 주요 분수를 살펴 보겠습니다. 분자와 분모에는 동일한 숫자인 log2 7이 포함됩니다. log2 7 ≠ 0이므로 분수를 줄일 수 있습니다. 2/4는 분모에 남아 있습니다. 산술 규칙에 따라 4개는 분자로 옮겨질 수 있으며, 이것이 이루어졌습니다. 그 결과는 2번이었습니다.

새로운 기반으로의 전환

로그의 덧셈과 뺄셈 규칙에 대해 말하면서 나는 로그가 동일한 밑수에서만 작동한다는 점을 특히 강조했습니다. 이유가 다르다면? 만약 같은 수의 정확한 거듭제곱이 아니라면 어떻게 될까요?

새로운 기반으로의 전환을 위한 공식이 구출되었습니다. 정리의 형태로 공식화합시다.

로그 logax를 주어 보겠습니다. 그런 다음 c > 0이고 c ≠ 1인 임의의 숫자 c에 대해 동등성은 참입니다.

특히 c = x로 설정하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

두 번째 공식에서는 로그의 밑과 인수를 바꿀 수 있지만 이 경우 전체 표현식이 "뒤집어집니다". 로그는 분모에 나타납니다.

이러한 공식은 일반적인 수치 표현에서는 거의 발견되지 않습니다. 로그 방정식과 부등식을 풀 때만 얼마나 편리한지 평가할 수 있습니다.

그러나 새로운 기반으로 이전하지 않으면 전혀 해결할 수 없는 문제가 있다. 다음 중 몇 가지를 살펴보겠습니다.

일. log5 16 log2 25 표현식의 값을 찾습니다.

두 로그의 인수에는 정확한 거듭제곱이 포함되어 있습니다. 표시기를 꺼내 보겠습니다. log5 16 = log5 24 = 4log5 2; 로그2 25 = 로그2 52 = 2로그2 5;

이제 두 번째 로그를 "역전"시켜 보겠습니다.

요소를 재배열해도 곱이 변하지 않기 때문에 차분하게 4와 2를 곱한 뒤 로그를 다루었습니다.

일. log9 100 lg 3 표현식의 값을 찾으세요.

첫 번째 로그의 밑수와 인수는 정확한 거듭제곱입니다. 이것을 기록하고 지표를 제거합시다.

이제 새로운 밑수로 이동하여 십진 로그를 제거해 보겠습니다.

기본 로그 항등식

풀이 과정에서 숫자를 주어진 밑수에 대한 로그로 표현해야 하는 경우가 종종 있습니다. 이 경우 다음 공식이 도움이 될 것입니다.

첫 번째 경우에는 숫자 n이 인수의 지수가 됩니다. 숫자 n은 단지 로그 값이기 때문에 무엇이든 될 수 있습니다.

두 번째 공식은 실제로 다른 말로 표현된 정의입니다. 그것이 바로 이름입니다: .

실제로 숫자 b를 이 거듭제곱하여 숫자 a를 제공하면 어떻게 될까요? 맞습니다. 결과는 같은 숫자 a입니다. 이 단락을 다시 주의 깊게 읽으십시오. 많은 사람들이 이 단락에서 막히게 됩니다.

새로운 진수로 이동하기 위한 공식과 마찬가지로, 기본 로그 항등식은 때때로 유일한 해법입니다.

일. 표현의 의미를 찾으십시오.

log25 64 = log5 8 - 단순히 로그의 밑과 인수에서 제곱을 취했다는 점에 유의하세요. 동일한 밑수로 거듭제곱을 곱하는 규칙을 고려하면 다음을 얻습니다.

모르는 사람이 있다면 이것은 통합 상태 시험의 실제 작업이었습니다 :)

로그 단위 및 로그 0

결론적으로 나는 속성이라고 부르기 어려운 두 가지 항등식을 제시할 것입니다. 오히려 그것은 로그 정의의 결과입니다. 그들은 끊임없이 문제에 나타나며 놀랍게도 "고급" 학생들에게도 문제를 일으킵니다.

logaa = 1 입니다. 한 번만 기억하세요. 밑수 자체의 밑수 a에 대한 로그는 1과 같습니다.
로그 1 = 0입니다. 밑수 a는 무엇이든 될 수 있지만 인수에 하나가 포함되어 있으면 로그는 0과 같습니다! a0 = 1은 정의의 직접적인 결과이기 때문입니다.

그것이 모든 속성입니다. 반드시 실천에 옮기는 연습을 하세요! 수업 시작 시 치트 시트를 다운로드하여 인쇄한 후 문제를 해결하세요.

또한보십시오:

밑수 a에 대한 b의 로그는 표현식을 나타냅니다. 로그를 계산한다는 것은 동등성이 충족되는 거듭제곱 x()를 찾는 것을 의미합니다.

로그의 기본 속성

로그와 관련된 거의 모든 문제와 예제가 이를 기반으로 해결되므로 위의 속성을 알아야 합니다. 나머지 이국적인 특성은 다음 공식을 사용한 수학적 조작을 통해 파생될 수 있습니다.

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로그의 합과 차이(3.4)에 대한 공식을 계산할 때 꽤 자주 접하게 됩니다. 나머지는 다소 복잡하지만 여러 작업에서 복잡한 표현식을 단순화하고 값을 계산하는 데 없어서는 안 될 요소입니다.

로그의 일반적인 경우

상용 로그 중 일부는 밑이 10, 지수 또는 2인 로그입니다.
밑이 10인 로그는 일반적으로 십진 로그라고 불리며 간단히 lg(x)로 표시됩니다.

녹음에 기본적인 내용이 적혀 있지 않다는 것은 녹음을 통해 분명합니다. 예를 들어

자연 로그는 밑이 지수(ln(x)로 표시됨)인 로그입니다.

지수는 2.718281828… 지수를 기억하려면 규칙을 공부할 수 있습니다. 지수는 2.7과 같고 Leo Nikolaevich Tolstoy 탄생 연도의 두 배입니다. 이 규칙을 알면 지수의 정확한 값과 레오 톨스토이의 생년월일을 모두 알 수 있습니다.

그리고 밑이 2인 또 다른 중요한 로그는 다음과 같이 표시됩니다.

함수 로그의 미분은 1을 변수로 나눈 값과 같습니다.

적분 또는 역도함수 로그는 다음 관계에 의해 결정됩니다.

주어진 자료는 로그 및 로그와 관련된 광범위한 문제를 해결하는 데 충분합니다. 자료의 이해를 돕기 위해 학교 커리큘럼과 대학의 몇 가지 일반적인 예만 제시하겠습니다.

로그의 예

로그 표현식

예시 1.
ㅏ). x=10ac^2(a>0,c>0).

속성 3.5를 사용하여 계산합니다.

2.
로그의 차이의 성질에 의해 우리는

3.
속성 3.5를 사용하여 우리는 다음을 찾습니다.

4. 어디 .

겉보기에 복잡해 보이는 표현식은 여러 규칙을 사용하여 단순화되어 형성됩니다.

로그 값 찾기

예 2. 다음 경우 x 찾기

해결책. 계산을 위해 마지막 항 5 및 13 속성에 적용됩니다.

기록에 남기고 애도한다

밑수가 동일하므로 표현식을 동일시합니다.

로그. 첫 번째 수준.

로그의 값을 주어보자

다음과 같은 경우 log(x)를 계산합니다.

해결책: 변수의 로그를 취하여 항의 합을 통해 로그를 작성해 봅시다.

이것은 로그와 그 속성에 대한 우리의 지식의 시작일뿐입니다. 계산을 연습하고 실용적인 기술을 강화하세요. 곧 로그 방정식을 풀기 위해 얻는 지식이 필요할 것입니다. 이러한 방정식을 풀기 위한 기본 방법을 연구한 후 우리는 똑같이 중요한 또 다른 주제인 로그 부등식에 대한 지식을 확장할 것입니다...

로그의 기본 속성

로그 더하기 및 빼기

밑이 동일한 두 개의 로그(logax와 logay)를 생각해 보세요. 그런 다음 더하고 뺄 수 있으며 다음과 같습니다.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x:y).

일. log6 4 + log6 9 표현식의 값을 찾습니다.

로그는 밑이 동일하므로 합계 공식을 사용합니다.
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

일. 다음 표현식의 값을 찾습니다: log2 48 − log2 3.

기본은 동일하므로 차이 공식을 사용합니다.
로그2 48 - 로그2 3 = 로그2(48:3) = 로그2 16 = 4.

일. 다음 표현식의 값을 찾습니다: log3 135 − log3 5.

이번에도 기본은 동일하므로 다음과 같습니다.
로그3 135 - 로그3 5 = 로그3(135:5) = 로그3 27 = 3.

로그에서 지수 추출하기

이제 작업을 조금 복잡하게 만들어 보겠습니다. 로그의 밑수 또는 인수가 거듭제곱이면 어떻게 되나요? 그런 다음 이 정도의 지수는 다음 규칙에 따라 로그 부호에서 제거될 수 있습니다.

물론 로그의 ODZ가 관찰되면(a > 0, a ≠ 1, x > 0) 이러한 모든 규칙이 의미가 있습니다. 그리고 한 가지 더: 모든 수식을 왼쪽에서 오른쪽으로 적용하는 방법뿐만 아니라 그 반대로도 적용하는 방법을 배우십시오. , 즉. 로그 자체에 로그 기호 앞에 숫자를 입력할 수 있습니다.

로그를 푸는 방법

이것이 가장 자주 요구되는 것입니다.

일. 다음 표현식의 값을 찾으세요: log7 496.

첫 번째 공식을 사용하여 인수의 정도를 제거해 보겠습니다.
로그7 496 = 6 로그7 49 = 6 2 = 12

일. 표현의 의미를 찾으십시오.

분모에는 로그가 포함되어 있으며 밑과 인수는 정확한 거듭제곱입니다. 16 = 24; 49 = 72. 우리는 다음을 가집니다:

마지막 예에는 약간의 설명이 필요하다고 생각합니다. 로그는 어디로 갔나요? 마지막 순간까지 우리는 분모만을 가지고 작업합니다. 우리는 거기에 있는 로그의 밑수와 인수를 거듭제곱의 형태로 제시하고 지수를 제거했습니다. 우리는 "3층" 분수를 얻었습니다.

새로운 기반으로의 전환

새로운 기반으로의 전환을 위한 공식이 구출되었습니다. 정리의 형태로 공식화합시다.

로그 logax를 주어 보겠습니다. 그런 다음 c > 0이고 c ≠ 1인 임의의 숫자 c에 대해 동등성은 참입니다.

특히 c = x로 설정하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

두 번째 공식에서는 로그의 밑과 인수를 바꿀 수 있지만 이 경우 전체 표현식이 "뒤집어집니다". 로그는 분모에 나타납니다.

이러한 공식은 일반적인 수치 표현에서는 거의 발견되지 않습니다. 로그 방정식과 부등식을 풀 때만 얼마나 편리한지 평가할 수 있습니다.

그러나 새로운 기반으로 이전하지 않으면 전혀 해결할 수 없는 문제가 있다. 다음 중 몇 가지를 살펴보겠습니다.

일. log5 16 log2 25 표현식의 값을 찾습니다.

두 로그의 인수에는 정확한 거듭제곱이 포함되어 있습니다. 표시기를 꺼내 보겠습니다. log5 16 = log5 24 = 4log5 2; 로그2 25 = 로그2 52 = 2로그2 5;

이제 두 번째 로그를 "역전"시켜 보겠습니다.

요소를 재배열해도 곱이 변하지 않기 때문에 차분하게 4와 2를 곱한 뒤 로그를 다루었습니다.

일. log9 100 lg 3 표현식의 값을 찾으세요.

첫 번째 로그의 밑수와 인수는 정확한 거듭제곱입니다. 이것을 기록하고 지표를 제거합시다.

이제 새로운 밑수로 이동하여 십진 로그를 제거해 보겠습니다.

기본 로그 항등식

풀이 과정에서 숫자를 주어진 밑수에 대한 로그로 표현해야 하는 경우가 종종 있습니다. 이 경우 다음 공식이 도움이 될 것입니다.

첫 번째 경우에는 숫자 n이 인수의 지수가 됩니다. 숫자 n은 단지 로그 값이기 때문에 무엇이든 될 수 있습니다.

두 번째 공식은 실제로 다른 말로 표현된 정의입니다. 그것이 바로 이름입니다: .

새로운 진수로 이동하기 위한 공식과 마찬가지로, 기본 로그 항등식은 때때로 유일한 해법입니다.

일. 표현의 의미를 찾으십시오.

log25 64 = log5 8 - 단순히 로그의 밑과 인수에서 제곱을 취했다는 점에 유의하세요. 동일한 밑수로 거듭제곱을 곱하는 규칙을 고려하면 다음을 얻습니다.

모르는 사람이 있다면 이것은 통합 상태 시험의 실제 작업이었습니다 :)

로그 단위 및 로그 0

logaa = 1 입니다. 한 번만 기억하세요. 밑수 자체의 밑수 a에 대한 로그는 1과 같습니다.
로그 1 = 0입니다. 밑수 a는 무엇이든 될 수 있지만 인수에 하나가 포함되어 있으면 로그는 0과 같습니다! a0 = 1은 정의의 직접적인 결과이기 때문입니다.

그것이 모든 속성입니다. 반드시 실천에 옮기는 연습을 하세요! 수업 시작 시 치트 시트를 다운로드하여 인쇄한 후 문제를 해결하세요.

사회가 발전하고 생산이 더욱 복잡해지면서 수학도 발전했습니다. 단순한 것에서 복잡한 것으로의 움직임. 덧셈과 뺄셈의 방법을 사용하는 일반적인 회계에서 반복되는 반복을 통해 우리는 곱셈과 나눗셈의 개념에 도달했습니다. 곱셈의 반복 연산을 줄이는 것이 지수의 개념이 되었습니다. 밑수에 대한 숫자 의존성과 지수화 수에 대한 첫 번째 표는 인도 수학자 Varasena에 의해 8세기에 편집되었습니다. 그들로부터 로그 발생 시간을 계산할 수 있습니다.

역사적 스케치

16세기 유럽의 부흥 역시 기계의 발전을 자극했다. 티 많은 양의 계산이 필요함여러 자리 수의 곱셈과 나눗셈에 관한 것입니다. 고대 테이블은 훌륭한 서비스를 제공했습니다. 복잡한 연산을 더 간단한 연산, 즉 덧셈과 뺄셈으로 대체하는 것이 가능해졌습니다. 큰 진전은 1544년에 출판된 수학자 Michael Stiefel의 작업으로, 그는 많은 수학자들의 아이디어를 실현했습니다. 이로 인해 소수 형태의 거듭제곱뿐만 아니라 임의의 유리수에 대한 테이블도 사용할 수 있게 되었습니다.

1614년에 스코틀랜드인 존 네이피어(John Napier)는 이러한 아이디어를 발전시키면서 처음으로 "수의 로그(logarithm of a number)"라는 새로운 용어를 도입했습니다. 사인과 코사인의 로그와 탄젠트를 계산하기 위해 새로운 복잡한 테이블이 작성되었습니다. 이로 인해 천문학자들의 작업이 크게 줄어들었습니다.

3세기 동안 과학자들이 성공적으로 사용했던 새로운 테이블이 나타나기 시작했습니다. 새로운 대수학 연산이 완성된 형태를 갖추기까지는 많은 시간이 걸렸습니다. 로그의 정의가 주어지고 그 특성이 연구되었습니다.

20세기가 되어서야 계산기와 컴퓨터가 등장하면서 인류는 13세기 내내 성공적으로 작동했던 고대 탁자를 버렸습니다.

오늘날 우리는 a를 밑으로 하는 b의 로그를 b를 만드는 a의 거듭제곱인 x라고 부릅니다. 이는 다음 공식으로 작성됩니다: x = log a(b).

예를 들어 log 3(9)는 2와 같습니다. 정의를 따르면 이는 분명합니다. 3을 2제곱하면 9가 됩니다.

따라서 공식화된 정의에서는 단 하나의 제한 사항만 설정합니다. 즉, 숫자 a와 b는 실수여야 합니다.

로그의 유형

고전적인 정의는 실수 로그(real logarithm)라고 불리며 실제로 방정식 a x = b의 해입니다. 옵션 a = 1은 경계선에 있으며 관심이 없습니다. 주의: 1의 거듭제곱은 1과 같습니다.

로그의 실수값밑과 인수가 0보다 크고 밑이 1이 아니어야 하는 경우에만 정의됩니다.

수학 분야의 특별한 장소밑의 크기에 따라 이름이 지정되는 로그를 재생합니다.

규칙 및 제한 사항

로그의 기본 속성은 규칙입니다. 곱의 로그는 로그 합계와 같습니다. 로그 abp = 로그 a(b) + 로그 a(p).

이 명령문의 변형으로 다음과 같은 것이 있습니다: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), 몫 함수는 함수의 차이와 같습니다.

이전 두 규칙에서 다음을 쉽게 알 수 있습니다. log a(b p) = p * log a(b).

기타 속성은 다음과 같습니다.

논평. 일반적인 실수를 할 필요가 없습니다. 합계의 로그는 로그의 합계와 같지 않습니다.

수세기 동안 로그를 찾는 작업은 시간이 많이 걸리는 작업이었습니다. 수학자들은 다항식 확장의 로그 이론의 잘 알려진 공식을 사용했습니다.

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), 여기서 n은 1보다 큰 자연수이며, 이는 계산의 정확성을 결정합니다.

다른 염기와의 로그는 한 염기에서 다른 염기로의 전이에 대한 정리와 생성물의 로그 특성을 사용하여 계산되었습니다.

이 방법은 매우 노동집약적이며, 현실적인 문제를 풀 때구현하기 어려웠기 때문에 사전 컴파일된 로그 테이블을 사용하여 모든 작업 속도를 크게 높였습니다.

어떤 경우에는 특별히 편집된 로그 그래프가 사용되어 정확도가 떨어지지만 원하는 값 검색 속도가 크게 향상되었습니다. 여러 점에 걸쳐 구성된 함수 y = log a(x)의 곡선을 사용하면 일반 눈금자를 사용하여 다른 점에서 함수 값을 찾을 수 있습니다. 엔지니어 장기이를 위해 소위 그래프 용지가 사용되었습니다.

17세기에 최초의 보조 아날로그 컴퓨팅 조건이 등장했고, 19세기에 완전한 형태를 갖추게 되었습니다. 가장 성공적인 장치는 슬라이드 자라고 불렸습니다. 장치의 단순성에도 불구하고 그 외관으로 인해 모든 엔지니어링 계산 프로세스가 크게 가속화되었으며 이는 과대평가하기 어렵습니다. 현재 이 장치에 대해 잘 아는 사람은 거의 없습니다.

계산기와 컴퓨터의 출현으로 인해 다른 장치를 사용할 수 없게 되었습니다.

방정식과 부등식

로그를 사용하여 다양한 방정식과 부등식을 풀기 위해 다음 공식이 사용됩니다.

한 밑수에서 다른 밑수로의 전이: log a(b) = log c(b) / log c(a);
이전 옵션의 결과: log a(b) = 1 / log b(a).

불평등을 해결하려면 다음 사항을 아는 것이 유용합니다.

로그 값은 밑수와 인수가 모두 1보다 크거나 작은 경우에만 양수입니다. 하나 이상의 조건이 위반되면 로그 값은 음수가 됩니다.
로그 함수가 부등식의 오른쪽과 왼쪽에 적용되고 로그의 밑이 1보다 크면 부등식의 부호가 유지됩니다. 그렇지 않으면 변경됩니다.

샘플 문제

로그와 그 속성을 사용하기 위한 몇 가지 옵션을 고려해 보겠습니다. 방정식 풀이의 예:

로그를 거듭제곱하는 옵션을 고려해보세요.

문제 3. 25^log 5(3)을 계산하라. 해결 방법: 문제가 발생한 상황에서 항목은 다음 (5^2)^log5(3) 또는 5^(2 * log 5(3))과 유사합니다. 다르게 적어봅시다: 5^log 5(3*2), 또는 함수 인수로서의 숫자의 제곱은 함수 자체의 제곱(5^log 5(3))^2으로 쓸 수 있습니다. 로그의 속성을 사용하면 이 표현식은 3^2와 같습니다. 답: 계산 결과 9를 얻습니다.

실제 사용

순전히 수학적 도구이기 때문에 로그가 갑자기 현실 세계의 물체를 설명하는 데 큰 중요성을 갖게 된 것은 실제 생활과는 거리가 먼 것 같습니다. 그것이 사용되지 않는 과학을 찾는 것은 어렵습니다. 이는 자연 지식뿐만 아니라 인도주의 지식 분야에도 완전히 적용됩니다.

대수 종속성

다음은 수치 종속성의 몇 가지 예입니다.

역학 및 물리학

역사적으로 역학과 물리학은 항상 수학적 연구 방법을 사용하여 발전해 왔으며 동시에 로그를 포함한 수학 발전의 인센티브 역할을 해왔습니다. 대부분의 물리 법칙 이론은 수학 언어로 작성되었습니다. 로그를 사용하여 물리 법칙을 설명하는 두 가지 예만 들어 보겠습니다.

로켓의 속도와 같은 복잡한 양을 계산하는 문제는 우주 탐사 이론의 기초가 된 Tsiolkovsky 공식을 사용하여 해결할 수 있습니다.

V = I * ln(M1/M2), 여기서

V는 항공기의 최종 속도입니다.
I – 엔진의 특정 충동.
M 1 – 로켓의 초기 질량.
M 2 – 최종 질량.

또 다른 중요한 예- 이것은 열역학의 평형 상태를 평가하는 데 사용되는 또 다른 위대한 과학자 Max Planck의 공식에 사용됩니다.

S = k * ln(Ω), 여기서

S – 열역학적 특성.
k – 볼츠만 상수.
Ω은 다양한 상태의 통계적 가중치입니다.

화학

덜 분명한 것은 로그의 비율을 포함하는 화학 공식의 사용입니다. 두 가지 예만 들어보겠습니다.

Nernst 방정식은 물질의 활성 및 평형 상수와 관련된 매체의 산화환원 전위 조건입니다.
자기 분해 지수 및 용액의 산도와 같은 상수 계산도 우리 기능 없이는 수행할 수 없습니다.

심리학과 생물학

그리고 심리학이 그것과 어떤 관련이 있는지는 전혀 명확하지 않습니다. 감각의 강도는 이 함수에 의해 자극 강도 값과 낮은 강도 값의 역비로 잘 설명되는 것으로 나타났습니다.

위의 예를 보면 로그라는 주제가 생물학에서 널리 사용된다는 것은 더 이상 놀라운 일이 아닙니다. 로그 나선에 해당하는 생물학적 형태에 대해 전체 책을 쓸 수 있습니다.

다른 지역들

이 기능과 연결되지 않으면 세상의 존재는 불가능한 것처럼 보이며 모든 법칙을 지배합니다. 특히 자연법칙이 기하학적 진행과 연관되어 있는 경우에는 더욱 그렇습니다. MatProfi 웹사이트를 방문할 가치가 있으며 다음과 같은 활동 영역에 그러한 예가 많이 있습니다.

목록은 끝이 없을 수 있습니다. 이 기능의 기본 원리를 익히면 무한한 지혜의 세계로 뛰어들 수 있습니다.

밑수 a(a>0, a는 1과 같지 않음)에 대한 양수 b의 로그는 a c = b를 충족하는 숫자 c입니다. log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

양수가 아닌 숫자의 로그는 정의되지 않습니다. 또한, 로그의 밑은 1이 아닌 양수여야 합니다. 예를 들어, -2를 제곱하면 숫자 4를 얻지만 이것이 4의 밑 -2에 대한 로그가 된다는 의미는 아닙니다. 2와 같습니다.

기본 로그 항등식

a 로그 a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

이 공식의 오른쪽과 왼쪽의 정의 범위가 다른 것이 중요합니다. 왼쪽은 b>0, a>0 및 a ≠ 1에 대해서만 정의됩니다. 오른쪽은 임의의 b에 대해 정의되며 a에 전혀 의존하지 않습니다. 따라서 방정식과 부등식을 풀 때 기본 로그 "동일성"을 적용하면 OD가 변경될 수 있습니다.

로그 정의의 두 가지 명백한 결과

로그 a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
로그 a 1 = 0(a > 0, a ≠ 1) (4)

실제로 숫자 a를 1승하면 같은 숫자를 얻고, 0승하면 1을 얻습니다.

곱의 로그와 몫의 로그

로그 a (b c) = 로그 a b + 로그 a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

로그 a b c = 로그 a b − 로그 a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

로그 방정식과 부등식을 풀 때 이러한 공식을 무분별하게 사용하지 않도록 학생들에게 경고하고 싶습니다. "왼쪽에서 오른쪽으로" 사용하면 ODZ가 좁아지고, 로그의 합이나 차이에서 곱이나 몫의 로그로 이동하면 ODZ가 확장됩니다.

실제로, 표현식 log a (f (x) g (x))는 두 가지 경우, 즉 두 함수가 모두 양수인 경우 또는 f(x)와 g(x)가 모두 0보다 작은 경우로 정의됩니다.

이 표현식을 합 log a f (x) + log a g (x)로 변환하면 f(x)>0 및 g(x)>0인 경우에만 제한되어야 합니다. 허용되는 값의 범위가 좁아지고 이는 솔루션 손실로 이어질 수 있으므로 절대적으로 허용되지 않습니다. 공식 (6)에도 비슷한 문제가 존재합니다.

정도는 로그의 부호에서 빼낼 수 있습니다.

로그 a b p = p 로그 a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

그리고 다시 한 번 정확성을 요구하고 싶습니다. 다음 예를 고려하십시오.

로그 a(f(x) 2 = 2 로그 a f(x)

등식의 왼쪽은 0을 제외한 f(x)의 모든 값에 대해 분명히 정의됩니다. 오른쪽은 f(x)>0에만 해당됩니다! 로그에서 차수를 빼면 ODZ가 다시 좁아집니다. 반대 절차를 수행하면 허용되는 값의 범위가 확장됩니다. 이 모든 설명은 거듭제곱 2뿐만 아니라 모든 짝수 거듭제곱에도 적용됩니다.

새로운 기반으로 이동하는 공식

로그 a b = 로그 c b 로그 c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

변환 중에 ODZ가 변경되지 않는 드문 경우입니다. 염기 c를 현명하게 선택했다면(양수이고 1이 아님) 새 염기로 이동하는 공식은 완전히 안전합니다.

숫자 b를 새로운 밑수 c로 선택하면 공식 (8)의 중요한 특수 사례를 얻습니다.

로그 a b = 1 로그 b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

로그를 사용한 몇 가지 간단한 예

예 1. 계산: log2 + log50.
해결책. log2 + log50 = log100 = 2. 로그의 합 공식(5)과 십진 로그의 정의를 사용했습니다.

예 2. 계산: lg125/lg5.
해결책. log125/log5 = log 5 125 = 3. 새로운 밑수(8)로 이동하는 공식을 사용했습니다.

로그 관련 공식 표

a 로그 a b = b (a > 0, a ≠ 1)

로그 a a = 1(a > 0, a ≠ 1)

로그 a 1 = 0(a > 0, a ≠ 1)

로그 a (b c) = 로그 a b + 로그 a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

로그 a b c = 로그 a b − 로그 a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

로그 a b p = p 로그 a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

로그 a b = 로그 c b 로그 c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

로그 a b = 1 로그 b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

로그 표현, 예제 해결. 이 기사에서는 로그 해결과 관련된 문제를 살펴보겠습니다. 과제는 표현의 의미를 찾는 질문을 던집니다. 로그의 개념은 많은 작업에 사용되며 그 의미를 이해하는 것이 매우 중요하다는 점에 유의해야 합니다. 통합 상태 시험의 경우 로그는 방정식을 풀 때, 응용 문제 및 함수 연구와 관련된 작업에 사용됩니다.

로그의 의미를 이해하기 위해 예를 들어 보겠습니다.

기본 로그 항등식:

항상 기억해야 할 로그의 속성:

*곱의 로그는 요인의 로그의 합과 같습니다.

* * *

*몫(분수)의 로그는 요소의 로그 간의 차이와 같습니다.

* * *

*지수의 로그는 지수와 그 밑의 로그를 곱한 것과 같습니다.

* * *

*새로운 재단으로의 전환

* * *

추가 속성:

* * *

로그 계산은 지수 속성의 사용과 밀접한 관련이 있습니다.

그 중 일부를 나열해 보겠습니다.

이 속성의 본질은 분자가 분모로 이동하거나 그 반대로 이동하면 지수의 부호가 반대 방향으로 변경된다는 것입니다. 예를 들어:

이 속성의 결과는 다음과 같습니다.

* * *

거듭제곱을 거듭제곱할 때 밑수는 동일하게 유지되지만 지수는 곱해집니다.

* * *

보시다시피 로그의 개념 자체는 간단합니다. 가장 중요한 것은 특정 기술을 제공하는 좋은 연습이 필요하다는 것입니다. 물론 공식에 대한 지식도 필요합니다. 기본 로그를 변환하는 기술이 개발되지 않은 경우 간단한 작업을 해결할 때 쉽게 실수할 수 있습니다.

연습하고, 먼저 수학 과정의 가장 간단한 예를 푼 다음, 더 복잡한 예를 진행하세요. 앞으로는 "못생긴" 로그가 어떻게 해결되는지 확실히 보여줄 것입니다. 이는 통합 시험에는 나타나지 않지만 흥미롭습니다. 놓치지 마세요!

그게 다야! 행운을 빕니다!

감사합니다, Alexander Krutitskikh

추신: 소셜 네트워크 사이트에 대해 알려주시면 감사하겠습니다.

아시다시피, 표현식에 거듭제곱을 곱할 때 지수는 항상 합산됩니다(a b *a c = a b+c). 이 수학 법칙은 아르키메데스에 의해 도출되었으며, 이후 8세기에 수학자 비라센(Virasen)이 정수 지수 표를 만들었습니다. 로그의 추가 발견을 위해 봉사 한 것은 바로 그들이었습니다. 이 함수를 사용하는 예는 간단한 덧셈을 통해 번거로운 곱셈을 단순화해야 하는 거의 모든 곳에서 찾을 수 있습니다. 이 글을 10분만 투자하시면 로그가 무엇인지, 그리고 로그를 사용하는 방법을 설명해 드리겠습니다. 간단하고 접근하기 쉬운 언어로.

수학에서의 정의

로그는 다음 형식의 표현입니다. log a b=c, 즉 음수가 아닌 숫자(즉, 양수) "b"의 밑수 "a"의 로그는 "c"의 거듭제곱으로 간주됩니다. ” 궁극적으로 "b" 값을 얻으려면 밑수 "a"를 올려야 합니다. 예를 사용하여 로그를 분석해 보겠습니다. log 2 8이라는 표현식이 있다고 가정해 보겠습니다. 답을 찾는 방법은 무엇입니까? 매우 간단합니다. 2에서 필요한 전력까지 8이 되도록 거듭제곱을 찾아야 합니다. 머릿속으로 몇 가지 계산을 하면 숫자 3이 나옵니다! 그리고 그것은 사실입니다. 왜냐하면 2의 3승은 8이 되기 때문입니다.

로그의 유형

많은 학생과 학생에게 이 주제는 복잡하고 이해하기 어려운 것처럼 보이지만 실제로 로그는 그렇게 무섭지 않습니다. 가장 중요한 것은 일반적인 의미를 이해하고 해당 속성과 일부 규칙을 기억하는 것입니다. 로그 표현식에는 세 가지 유형이 있습니다.

밑이 오일러 수(e = 2.7)인 자연 로그 ln a.
밑이 10인 십진수 a.
밑수 a>1에 대한 임의의 숫자 b의 로그입니다.

각 문제는 로그 정리를 사용하여 단순화, 축소 및 단일 로그로의 후속 축소를 포함하는 표준 방식으로 해결됩니다. 올바른 로그 값을 얻으려면 로그를 풀 때 해당 속성과 동작 순서를 기억해야 합니다.

규칙 및 일부 제한 사항

수학에는 공리로 인정되는 몇 가지 규칙 제약 조건이 있습니다. 즉, 논의 대상이 아니며 진실입니다. 예를 들어, 숫자를 0으로 나누는 것은 불가능하며, 음수의 짝수 근을 추출하는 것도 불가능합니다. 로그에는 또한 자체 규칙이 있으며, 이에 따라 길고 방대한 로그 표현을 사용해도 작업하는 방법을 쉽게 배울 수 있습니다.

밑수 "a"는 항상 0보다 커야 하고 1이 아니어야 합니다. 그렇지 않으면 "1"과 "0"이 어느 정도든 항상 해당 값과 동일하기 때문에 표현의 의미가 상실됩니다.
a > 0이면 a b >0이면 "c"도 0보다 커야 합니다.

로그를 푸는 방법?

예를 들어, 방정식 10 x = 100에 대한 답을 찾는 작업이 제공됩니다. 이것은 매우 쉽습니다. 100이 되는 숫자 10을 올려 거듭제곱을 선택해야 합니다. 물론 이것은 10 2 =입니다. 100.

이제 이 표현을 로그 형식으로 표현해 보겠습니다. 우리는 로그 10 100 = 2를 얻습니다. 로그를 풀 때 모든 동작은 실제로 주어진 숫자를 얻기 위해 로그의 밑을 입력하는 데 필요한 거듭제곱을 찾기 위해 수렴됩니다.

알 수 없는 학위의 값을 정확하게 결정하려면 학위 표를 사용하여 작업하는 방법을 배워야 합니다. 다음과 같습니다.

보시다시피 일부 지수는 구구단에 대한 기술적 사고와 지식이 있으면 직관적으로 추측할 수 있습니다. 그러나 더 큰 값의 경우 전력 테이블이 필요합니다. 복잡한 수학 주제에 대해 전혀 모르는 사람도 사용할 수 있습니다. 왼쪽 열에는 숫자(기본 a)가 포함되고, 숫자의 맨 위 행은 숫자 a에 제곱되는 c의 거듭제곱 값입니다. 교차점의 셀에는 답(a c =b)인 숫자 값이 포함됩니다. 예를 들어 숫자 10이 있는 첫 번째 셀을 제곱하면 두 셀의 교차점에 표시되는 값 100을 얻습니다. 모든 것이 너무 간단하고 쉽기 때문에 가장 진정한 인본주의자라도 이해할 수 있습니다!

방정식과 부등식

특정 조건에서 지수는 로그임이 밝혀졌습니다. 따라서 모든 수학적 수치 표현은 대수 방정식으로 작성될 수 있습니다. 예를 들어, 3 4 =81은 81의 밑이 3인 로그가 4와 같다(log 3 81 = 4)라고 쓸 수 있습니다. 음수 거듭제곱의 경우 규칙은 동일합니다. 2 -5 = 1/32 이를 로그로 쓰면 로그 2(1/32) = -5를 얻습니다. 수학에서 가장 흥미로운 부분 중 하나는 "로그"라는 주제입니다. 속성을 연구한 후 즉시 아래 방정식의 예와 해를 살펴보겠습니다. 이제 불평등이 어떻게 나타나는지, 방정식과 어떻게 구별하는지 살펴보겠습니다.

다음과 같은 표현식이 제공됩니다: log 2 (x-1) > 3 - 알 수 없는 값 "x"가 로그 기호 아래에 있으므로 이는 로그 부등식입니다. 또한 표현식에서는 두 가지 양이 비교됩니다. 밑수 2에 대한 원하는 숫자의 로그가 숫자 3보다 큽니다.

로그 방정식과 부등식의 가장 중요한 차이점은 로그가 있는 방정식(예: 로그 2 x = √9)은 답에 하나 이상의 특정 수치 값을 의미하는 반면, 불평등을 풀 때는 두 가지 모두 허용 가능한 범위 이 기능을 깨고 값과 포인트가 결정됩니다. 결과적으로 답은 방정식에 대한 답처럼 단순한 개별 숫자 집합이 아니라 연속적인 일련의 숫자 또는 숫자 집합입니다.

로그에 관한 기본 정리

로그 값을 찾는 기본 작업을 해결할 때 해당 속성을 알 수 없을 수도 있습니다. 그러나 로그 방정식이나 부등식에 관해서는 우선 로그의 모든 기본 속성을 명확하게 이해하고 실제로 적용하는 것이 필요합니다. 나중에 방정식의 예를 살펴보겠습니다. 먼저 각 속성을 더 자세히 살펴보겠습니다.

주요 신원은 다음과 같습니다: a logaB =B. a가 0보다 크고 1이 아니고 B가 0보다 큰 경우에만 적용됩니다.
곱의 로그는 다음 공식으로 나타낼 수 있습니다: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. 이 경우 필수 조건은 d, s 1 및 s 2 > 0입니다. a≠1. 예제와 해법을 통해 이 로그 공식에 대한 증명을 제공할 수 있습니다. log a s 1 = f 1 및 log a s 2 = f 2라고 하면 a f1 = s 1, a f2 = s 2입니다. 우리는 s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2(속성)을 얻습니다. 도 ), 그리고 정의에 따라: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log as s 2, 이는 증명이 필요한 것입니다.
몫의 로그는 다음과 같습니다: log a (s 1/ s 2) = log as 1 - log a s 2.
공식 형태의 정리는 다음과 같은 형식을 취합니다: log a q b n = n/q log a b.

이 공식을 "로그 정도의 특성"이라고 합니다. 이는 일반적인 학위의 속성과 유사하며 모든 수학은 자연적인 가정을 기반으로 하기 때문에 놀라운 일이 아닙니다. 증거를 살펴보겠습니다.

log a b = t라고 하면 a t =b가 됩니다. 두 부분을 모두 m의 거듭제곱으로 올리면: a tn = bn ;

그러나 a tn = (a q) nt/q = bn이므로 log a q b n = (n*t)/t가 되고 log a q b n = n/q log a b가 됩니다. 정리가 입증되었습니다.

문제와 불평등의 예

로그에 관한 가장 일반적인 유형의 문제는 방정식과 부등식의 예입니다. 거의 모든 문제집에 나와 있으며, 수학 시험에서도 필수 부분입니다. 대학에 입학하거나 수학 입학 시험에 합격하려면 이러한 문제를 올바르게 해결하는 방법을 알아야합니다.

불행하게도 로그의 알려지지 않은 값을 해결하고 결정하기 위한 단일한 계획이나 방식은 없지만 각 수학적 부등식 또는 로그 방정식에 특정 규칙이 적용될 수 있습니다. 우선, 표현을 단순화할 수 있는지 아니면 일반적인 형태로 축소할 수 있는지를 알아보아야 합니다. 해당 속성을 올바르게 사용하면 긴 로그 표현식을 단순화할 수 있습니다. 빨리 알아봅시다.

로그 방정식을 풀 때 우리는 어떤 유형의 로그를 가지고 있는지 결정해야 합니다. 예제 표현식에는 자연 로그 또는 십진수 1이 포함될 수 있습니다.

다음은 ln100, ln1026의 예입니다. 그들의 해결책은 기본 10이 각각 100과 1026이 되는 거듭제곱을 결정해야 한다는 사실로 귀결됩니다. 자연로그를 풀려면 로그 항등식이나 해당 속성을 적용해야 합니다. 다양한 유형의 로그 문제를 해결하는 예를 살펴보겠습니다.

로그 공식을 사용하는 방법: 예제 및 솔루션 포함

그럼 로그에 관한 기본 정리를 활용한 예를 살펴보겠습니다.

곱의 로그 속성은 숫자 b의 큰 값을 더 간단한 요소로 분해해야 하는 작업에 사용될 수 있습니다. 예를 들어 로그 2 4 + 로그 2 128 = 로그 2 (4*128) = 로그 2 512입니다. 답은 9입니다.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - 보시다시피 로그 거듭제곱의 네 번째 속성을 사용하여 겉보기에는 복잡하고 풀 수 없는 표현식을 풀 수 있었습니다. 밑수를 인수분해한 다음 로그 부호에서 지수 값을 빼면 됩니다.

통합 상태 시험의 과제

로그는 입학 시험에서 자주 발견되며, 특히 통합 상태 시험(모든 학교 졸업생을 대상으로 하는 상태 시험)에서 로그 문제가 많이 발견됩니다. 일반적으로 이러한 작업은 파트 A(시험의 가장 쉬운 테스트 부분)뿐만 아니라 파트 C(가장 복잡하고 방대한 작업)에도 존재합니다. 시험에는 "자연 로그"라는 주제에 대한 정확하고 완벽한 지식이 필요합니다.

문제에 대한 예와 해결책은 통합 상태 시험의 공식 버전에서 가져왔습니다. 이러한 작업이 어떻게 해결되는지 살펴 보겠습니다.

주어진 로그 2(2x-1) = 4. 해결 방법:
표현식을 다시 작성하여 약간 log 2 (2x-1) = 2 2로 단순화하겠습니다. 로그의 정의에 따라 2x-1 = 2 4이므로 2x = 17이 됩니다. x = 8.5.

솔루션이 번거롭고 혼란스럽지 않도록 모든 로그를 동일한 밑으로 줄이는 것이 가장 좋습니다.
로그 기호 아래의 모든 표현식은 양수로 표시되므로 로그 기호 아래에 있는 표현식의 지수를 승수로 취하면 로그 아래에 남아 있는 표현식은 양수여야 합니다.