소수점은 몇 자릿수인가요? 소수와 정수를 정수와 소수로 나누기
이미 초등학교에서 학생들은 분수에 노출되어 있습니다. 그리고 모든 주제에 등장합니다. 이 숫자를 사용한 작업은 잊을 수 없습니다. 따라서 일반 분수와 소수에 대한 모든 정보를 알아야 합니다. 이러한 개념은 복잡하지 않으며 가장 중요한 것은 모든 것을 순서대로 이해하는 것입니다.
왜 분수가 필요한가요?
우리 주변의 세계는 전체 개체로 구성됩니다. 그러므로 주식은 필요하지 않습니다. 그러나 일상 생활은 사람들이 사물과 사물의 일부를 다루도록 끊임없이 강요합니다.
예를 들어 초콜릿은 여러 조각으로 구성됩니다. 그의 타일이 12개의 직사각형으로 형성된 상황을 생각해 보십시오. 2개로 나누면 6개가 됩니다. 쉽게 3가지로 나눌 수 있습니다. 하지만 5명에게 초콜릿 조각 전체를 주는 것은 불가능합니다.
그건 그렇고, 이 조각은 이미 분수입니다. 그리고 더 많은 분할로 인해 더 복잡한 숫자가 나타납니다.
"분수"란 무엇입니까?
이것은 단위의 부분으로 구성된 숫자입니다. 겉으로는 가로 또는 슬래시로 구분된 두 개의 숫자처럼 보입니다. 이 기능을 분수라고 합니다. 상단(왼쪽)에 적힌 숫자를 분자라고 합니다. 맨 아래(오른쪽)에 있는 것이 분모입니다.
본질적으로 슬래시는 나눗셈 기호로 밝혀졌습니다. 즉, 분자를 피제수, 분모를 제수라고 할 수 있습니다.
어떤 분수가 있나요?
수학에는 일반 분수와 소수 분수라는 두 가지 유형만 있습니다. 학생들은 초등학교의 첫 번째 분수를 단순히 "분수"라고 부르면서 알게 됩니다. 후자는 5학년 때 배우게 됩니다. 그때 이런 이름이 나타납니다.
공통 분수는 한 줄로 구분된 두 개의 숫자로 작성된 모든 분수입니다. 예를 들어 4/7입니다. 소수는 소수 부분에 위치 표기법이 있고 전체 숫자와 쉼표로 구분된 숫자입니다. 예를 들어 4.7. 학생들은 주어진 두 예가 완전히 다른 숫자라는 것을 분명히 이해해야 합니다.
모든 단순 분수는 소수로 쓸 수 있습니다. 이 진술은 거꾸로 보면 거의 항상 참입니다. 소수를 공분수로 쓸 수 있는 규칙이 있습니다.
이러한 유형의 분수에는 어떤 하위 유형이 있습니까?
공부할 때 연대순으로 시작하는 것이 좋습니다. 공통 분수가 먼저 옵니다. 그 중 5개의 아종이 구별될 수 있다.
옳은. 분자는 항상 분모보다 작습니다.
잘못된. 분자는 분모보다 크거나 같습니다.
축소 가능/환원 불가능. 그것은 맞을 수도 있고 틀릴 수도 있습니다. 또 중요한 것은 분자와 분모가 공통인수를 가지고 있는지 여부입니다. 만약 있다면, 분수의 두 부분을 나누어야 합니다. 즉, 줄여야 합니다.
혼합. 정수는 일반적인 정규(불규칙) 분수 부분에 할당됩니다. 게다가 항상 왼쪽에 있습니다.
합성물. 그것은 서로 나누어진 두 개의 분수로 구성됩니다. 즉, 한 번에 세 개의 분수 선이 포함됩니다.
소수에는 두 가지 하위 유형만 있습니다.
유한, 즉 분수 부분이 제한되어 있는 것(끝이 있음);
무한 - 소수점 이하의 숫자가 끝나지 않는 숫자(무한히 쓸 수 있음).
소수를 공통 분수로 변환하는 방법은 무엇입니까?
이것이 유한한 숫자라면 규칙에 따라 연관이 적용됩니다. 제가 듣기로는 그래서 글을 씁니다. 즉, 올바르게 읽고 적어야 하지만 쉼표는 없지만 분수 막대를 사용해야 합니다.
필수 분모에 대한 힌트로, 분모는 항상 하나와 여러 개의 0이라는 점을 기억해야 합니다. 문제의 숫자의 소수 부분에 있는 숫자만큼 후자를 써야 합니다.
정수 부분이 누락된 경우, 즉 0과 같은 경우 소수 분수를 일반 분수로 변환하는 방법은 무엇입니까? 예를 들어 0.9 또는 0.05입니다. 지정된 규칙을 적용한 후에는 0개의 정수를 써야 한다는 것이 밝혀졌습니다. 그러나 표시되어 있지 않습니다. 남은 것은 분수 부분을 적는 것뿐입니다. 첫 번째 숫자의 분모는 10이고 두 번째 숫자의 분모는 100입니다. 즉, 주어진 예에는 9/10, 5/100이라는 숫자가 답으로 표시됩니다. 게다가 후자는 5만큼 줄어들 수 있는 것으로 밝혀졌다. 따라서 이에 대한 결과는 1/20으로 써야 한다.
정수 부분이 0과 다른 경우 소수 분수를 어떻게 일반 분수로 변환할 수 있습니까? 예를 들어 5.23 또는 13.00108입니다. 두 예 모두 전체 부분을 읽고 해당 값을 기록합니다. 첫 번째 경우에는 5이고 두 번째 경우에는 13입니다. 그런 다음 분수 부분으로 이동해야 합니다. 그들에게도 동일한 작업이 수행되어야합니다. 첫 번째 숫자는 23/100, 두 번째 숫자는 108/100000으로 나타납니다. 두 번째 값을 다시 줄여야 합니다. 답은 다음과 같은 대분수를 제공합니다: 5 23/100 및 13 27/25000.
무한 소수를 일반 분수로 변환하는 방법은 무엇입니까?
비주기적이라면 그러한 작업은 불가능합니다. 이 사실은 각 소수 분수가 항상 유한 분수 또는 주기 분수로 변환된다는 사실에 기인합니다.
그러한 분수로 할 수 있는 유일한 일은 그것을 반올림하는 것입니다. 그러나 그러면 소수는 대략 그 무한과 같을 것입니다. 이미 평범한 것으로 바뀔 수 있습니다. 그러나 반대 과정: 십진수로 변환하면 초기 값이 제공되지 않습니다. 즉, 무한한 비주기 분수는 일반 분수로 변환되지 않습니다. 이것을 기억해야합니다.
무한 주기 분수를 일반 분수로 쓰는 방법은 무엇입니까?
이러한 숫자에는 소수점 이하에 반복되는 숫자가 항상 하나 이상 있습니다. 이를 기간이라고 합니다. 예를 들어 0.3(3)입니다. 여기서 "3"은 마침표 안에 있습니다. 일반 분수로 변환할 수 있기 때문에 유리수로 분류됩니다.
주기분수를 접한 사람들은 그것이 순수하거나 혼합될 수 있다는 것을 알고 있습니다. 첫 번째 경우 마침표는 쉼표부터 즉시 시작됩니다. 두 번째에서는 분수 부분이 일부 숫자로 시작한 다음 반복이 시작됩니다.
무한소수를 공통 분수로 써야 하는 규칙은 표시된 두 가지 유형의 숫자에 따라 다릅니다. 순수주기분수를 일반분수로 쓰는 것은 아주 쉽습니다. 유한한 것과 마찬가지로 변환이 필요합니다. 분자에 마침표를 적으면 분모는 숫자 9가 되며 마침표에 포함된 자릿수만큼 반복됩니다.
예를 들어 0,(5)입니다. 숫자에는 정수 부분이 없으므로 즉시 분수 부분부터 시작해야 합니다. 분자에 5, 분모에 9를 쓰면, 답은 분수 5/9가 됩니다.
혼합된 일반 십진주기 분수를 쓰는 방법에 대한 규칙입니다.
기간을 살펴보세요. 이것이 분모에 9가 몇 개나 들어있는지입니다.
분모를 적어보세요. 처음에는 9, 그다음에는 0입니다.
분자를 결정하려면 두 숫자의 차이를 적어야 합니다. 소수점 이하의 모든 숫자는 마침표와 함께 축소됩니다. Deductible - 기간이 없습니다.
예를 들어, 0.5(8) - 주기 소수를 공통 분수로 씁니다. 마침표 앞의 소수 부분에는 한 자리 숫자가 포함됩니다. 따라서 0이 하나 있을 것입니다. 또한 해당 기간에는 8이라는 숫자가 하나만 있습니다. 즉, 9가 하나만 있습니다. 즉, 분모에 90을 써야 합니다.
분자를 결정하려면 58에서 5를 빼야 합니다. 결과는 53입니다. 예를 들어 답을 53/90으로 써야 합니다.
분수는 어떻게 소수로 변환되나요?
가장 간단한 옵션은 분모가 숫자 10, 100 등인 숫자입니다. 그런 다음 분모는 간단히 삭제되고 분수 부분과 정수 부분 사이에 쉼표가 배치됩니다.
분모가 쉽게 10, 100 등으로 변하는 상황이 있습니다. 예를 들어 숫자 5, 20, 25. 각각 2, 5, 4를 곱하면 충분합니다. 분모뿐만 아니라 분자에도 같은 숫자를 곱하면됩니다.
다른 모든 경우에는 분자를 분모로 나누는 간단한 규칙이 유용합니다. 이 경우 유한 소수 또는 주기 소수라는 두 가지 가능한 답을 얻을 수 있습니다.
일반 분수를 사용한 연산
덧셈과 뺄셈
학생들은 다른 사람들보다 먼저 그들을 알게됩니다. 더욱이, 처음에는 분수의 분모가 동일하다가 나중에는 서로 다른 분모를 갖습니다. 이 계획으로 일반 규칙을 축소할 수 있습니다.
분모의 최소공배수를 구합니다.
모든 일반 분수에 대한 추가 인수를 작성합니다.
분자와 분모에 지정된 인수를 곱합니다.
분수의 분자를 더하고(빼고) 공통분모는 그대로 둡니다.
피감수의 분자가 감수보다 작으면 대분수인지 진분수인지 알아내야 합니다.
첫 번째 경우에는 전체 부분에서 하나를 빌려야 합니다. 분수의 분자에 분모를 더합니다. 그리고 뺄셈을 하세요.
두 번째에서는 작은 수에서 큰 수를 빼는 규칙을 적용해야 합니다. 즉, 빼기 모듈에서 빼기 모듈을 빼고 이에 대한 응답으로 "-"기호를 입력합니다.
덧셈(뺄셈)의 결과를 주의 깊게 살펴보세요. 가분수를 얻으면 전체 부분을 선택해야 합니다. 즉, 분자를 분모로 나누는 것입니다.
곱셈과 나눗셈
이를 수행하기 위해 분수를 공통 분모로 줄일 필요는 없습니다. 이렇게 하면 작업을 더 쉽게 수행할 수 있습니다. 하지만 여전히 규칙을 따르도록 요구합니다.
분수를 곱할 때는 분자와 분모에 있는 숫자를 살펴봐야 합니다. 분자와 분모에 공통 인수가 있으면 축소할 수 있습니다.
분자를 곱합니다.
분모를 곱하세요.
결과가 기약분수이면 다시 단순화해야 합니다.
나눌 때 먼저 나눗셈을 곱셈으로 바꾸고, 제수(두 번째 분수)를 역분수(분자와 분모 바꾸기)로 바꿔야 합니다.
그런 다음 곱셈을 진행합니다(포인트 1부터 시작).
정수로 곱(나누)해야 하는 작업에서는 후자를 가분수로 써야 합니다. 즉, 분모가 1인 경우입니다. 그런 다음 위에서 설명한 대로 작동합니다.
소수를 사용한 연산
덧셈과 뺄셈
물론, 언제든지 소수를 분수로 변환할 수 있습니다. 그리고 이미 설명한 계획에 따라 행동하십시오. 그러나 때로는 이러한 번역 없이 행동하는 것이 더 편리할 때도 있습니다. 그러면 덧셈과 뺄셈의 규칙은 완전히 동일해집니다.
숫자의 소수 부분, 즉 소수점 이하의 자릿수를 동일하게 만듭니다. 누락된 0의 수를 추가합니다.
쉼표가 쉼표 아래에 오도록 분수를 쓰세요.
자연수처럼 더하기(빼기).
쉼표를 제거하세요.
곱셈과 나눗셈
여기에 0을 추가할 필요가 없다는 것이 중요합니다. 분수는 예제에 주어진 대로 남겨두어야 합니다. 그런 다음 계획대로 진행하십시오.
곱하려면 쉼표를 무시하고 분수를 하나씩 적어야 합니다.
자연수처럼 곱하세요.
답의 오른쪽 끝부터 두 요소의 분수 부분에 있는 자릿수만큼 계산하여 답에 쉼표를 넣으세요.
나누려면 먼저 제수를 자연수로 변환해야 합니다. 즉, 제수의 분수 부분에 있는 자릿수에 따라 10, 100 등을 곱합니다.
배당금에 같은 숫자를 곱합니다.
소수를 자연수로 나눕니다.
전체 부분의 분할이 끝나는 순간 답에 쉼표를 넣으세요.
하나의 예에 두 가지 유형의 분수가 모두 포함되어 있으면 어떻게 될까요?
예, 수학에는 일반 분수와 소수 분수에 대한 연산을 수행해야 하는 예가 종종 있습니다. 이러한 작업에는 두 가지 가능한 솔루션이 있습니다. 객관적으로 수치를 따져보고 최적의 수치를 선택해야 합니다.
첫 번째 방법: 일반 소수 표현
나누기나 변환으로 인해 유한 분수가 발생하는 경우에 적합합니다. 적어도 하나의 숫자가 주기적인 부분을 제공하는 경우 이 기술은 금지됩니다. 따라서 일반적인 분수를 사용하는 것을 좋아하지 않더라도 분수를 세어야 합니다.
두 번째 방법: 소수 분수를 일반 분수로 씁니다.
이 기술은 소수점 이하의 숫자가 1~2자리인 경우 편리한 것으로 나타났습니다. 그 수가 더 많으면 매우 큰 공통 분수로 끝날 수 있으며 소수 표기법을 사용하면 작업을 더 빠르고 쉽게 계산할 수 있습니다. 따라서 항상 작업을 냉정하게 평가하고 가장 간단한 해결 방법을 선택해야 합니다.
이 기사에서는 소수가 무엇인지, 어떤 기능과 속성이 있는지 이해합니다. 가다! 🙂
소수는 일반 분수(분모가 10의 배수인 경우)의 특별한 경우입니다.
정의
소수는 분모가 1과 그 뒤에 오는 여러 개의 0으로 구성된 숫자인 분수입니다. 즉, 분모가 10, 100, 1000 등인 분수입니다. 그렇지 않으면 소수 분수는 분모가 10이거나 10의 거듭제곱 중 하나인 분수로 특성화될 수 있습니다.
분수의 예:
, ,
소수 분수는 일반 분수와 다르게 표기됩니다. 이러한 분수를 사용한 작업은 일반 분수를 사용한 작업과도 다릅니다. 이들에 대한 연산 규칙은 정수 연산에 대한 규칙과 거의 유사합니다. 특히 이는 실질적인 문제 해결에 대한 요구를 설명합니다.
소수 표기법으로 분수 표현
소수는 분모가 없고 분자의 수를 표시합니다. 일반적으로 소수는 다음 구성표에 따라 작성됩니다.
여기서 X는 분수의 정수 부분, Y는 분수 부분, ","는 소수점입니다.
분수를 소수로 올바르게 나타내려면 분수가 일반 분수여야 합니다. 즉, 정수 부분이 강조 표시되고(가능한 경우) 분자가 분모보다 작아야 합니다. 그러면 소수 표기법에서는 정수 부분을 소수점(X) 앞에 쓰고, 공통 분수의 분자를 소수점(Y) 뒤에 씁니다.
분자에 분모의 0보다 적은 자릿수가 포함된 경우 Y 부분에서 소수 표기법에서 누락된 자릿수는 분자 자릿수 앞에 0으로 채워집니다.
예: 
공통 분수가 1보다 작은 경우, 즉 정수 부분이 없으면 십진수 형식의 X에 0을 씁니다.
분수 부분(Y)에서 마지막 유효(0이 아닌) 숫자 뒤에는 임의 개수의 0을 입력할 수 있습니다. 이는 분수 값에 영향을 주지 않습니다. 반대로, 소수점 이하 부분의 끝에 있는 모든 0은 생략될 수 있습니다.
소수 읽기
X 부분은 일반적으로 "X 정수"로 읽습니다.
Y 부분은 분모의 숫자에 따라 읽습니다. 분모 10에 대해서는 "Y 10분의 1", 분모 100에 대해서는 "Y 100분의 1", 분모 1000에 대해서는 "Y 1000분의 1" 등으로 읽어야 합니다... 😉
분수 부분의 자릿수를 계산하는 또 다른 읽기 접근 방식이 더 정확한 것으로 간주됩니다. 이렇게하려면 분수의 전체 부분의 숫자에 대해 분수가 거울 이미지에 위치한다는 것을 이해해야합니다.
올바른 읽기에 대한 이름은 표에 나와 있습니다.
이를 바탕으로 소수부의 마지막 자릿수 명칭을 준수하여 읽어야 한다.
- 3.5는 "3.5"라고 읽습니다.
- 0.016은 "영점 16,000분의 1"이라고 읽습니다.
임의의 분수를 소수로 변환하기
공통 분수의 분모가 10 또는 10의 거듭제곱인 경우 분수 변환은 위에서 설명한 대로 수행됩니다. 다른 상황에서는 추가 변환이 필요합니다.
번역 방법은 2가지가 있습니다.
첫 번째 전송 방법
분자와 분모는 분모가 숫자 10 또는 10의 거듭제곱 중 하나를 생성하는 정수로 곱해져야 합니다. 그리고 분수는 십진수 표기법으로 표현됩니다.
이 방법은 분모가 2와 5로만 확장될 수 있는 분수에 적용할 수 있습니다. 따라서 이전 예에서는 
. 확장에 다른 소인수(예: )가 포함된 경우 두 번째 방법을 사용해야 합니다.
두 번째 번역 방법
두 번째 방법은 열이나 계산기에서 분자를 분모로 나누는 것입니다. 전체 부분이 있는 경우 변환에 참여하지 않습니다.
소수가 되는 긴 나눗셈의 규칙은 아래에 설명되어 있습니다(소수 나눗셈 참조).
소수를 공통 분수로 변환하기
이렇게하려면 분수 부분 (소수점 오른쪽)을 분자로 쓰고 분수 부분을 읽은 결과를 분모에 해당 숫자로 적어야합니다. 다음으로 가능하다면 결과 부분을 줄여야 합니다.
유한 및 무한 소수
소수를 최종 분수라고 하며, 분수 부분은 유한한 자릿수로 구성됩니다.
위의 모든 예에는 마지막 소수 부분이 포함되어 있습니다. 그러나 모든 일반 분수가 마지막 소수로 표시될 수 있는 것은 아닙니다. 주어진 분수에 대해 첫 번째 변환 방법을 적용할 수 없고 두 번째 방법으로 나눗셈을 완료할 수 없는 경우 무한 소수점 이하 자릿수만 얻을 수 있습니다.
무한 분수를 완전한 형태로 쓰는 것은 불가능합니다. 불완전한 형태로 이러한 분수를 표현할 수 있습니다.
- 원하는 소수 자릿수로 축소한 결과;
- 주기적인 분수로.
소수점 이하에서 끝없이 반복되는 일련의 숫자를 구별할 수 있는 경우 분수를 주기 분수라고 합니다.
나머지 분수를 비주기적이라고 합니다. 비주기적인 분수의 경우 첫 번째 표현 방법(반올림)만 허용됩니다.
주기 분수의 예: 0.8888888... 여기에 반복되는 숫자 8이 있는데, 달리 가정할 이유가 없기 때문에 분명히 무한히 반복될 것입니다. 이 수치는 분수의 기간.
주기분수는 순수분수이거나 혼합분수일 수 있습니다. 순수 소수는 소수점 바로 다음에 마침표가 시작되는 분수입니다. 대분수는 소수점 앞에 1개 이상의 자릿수가 있습니다.
54.33333… – 주기적인 순수 소수
2.5621212121… – 주기 혼합 분수
무한한 소수 쓰기의 예:
두 번째 예에서는 주기 분수를 작성할 때 마침표 형식을 올바르게 지정하는 방법을 보여줍니다.
주기적인 소수를 일반 분수로 변환하기
순수주기분수를 일반주기로 변환하려면 이를 분자에 쓰고, 분모에는 마침표의 자릿수와 동일한 양의 9로 구성된 숫자를 씁니다.
혼합 주기 소수는 다음과 같이 변환됩니다.
- 마침표 앞의 소수점 이하 숫자와 첫 번째 마침표로 구성된 숫자를 형성해야 합니다.
- 결과 숫자에서 마침표 앞의 소수점 이하 숫자를 뺍니다. 결과는 공통 분수의 분자가 됩니다.
- 분모에는 마침표의 자릿수와 같은 9의 숫자와 그 뒤에 0이 오는 숫자를 입력해야 하며, 그 수는 첫 번째 앞의 소수점 이하 숫자의 자릿수와 같습니다. 기간.
소수의 비교
소수는 처음에 전체 부분을 기준으로 비교됩니다. 전체 부분이 더 큰 분수가 더 큽니다.
정수 부분이 동일하면 첫 번째(10번째부터)부터 시작하여 분수 부분의 해당 자릿수를 비교합니다. 동일한 원칙이 여기에도 적용됩니다. 더 큰 분수는 10분의 1보다 많은 분수입니다. 10번째 숫자가 같으면 100번째 숫자가 비교되는 식입니다.
왜냐하면
, 전체 부분이 동일하고 분수 부분의 10분의 1이 동일하므로 두 번째 분수의 100분의 1 숫자가 더 큽니다.
소수 더하기와 빼기
소수는 정수와 같은 방식으로 해당 숫자를 아래에 써서 더하고 뺍니다. 이렇게 하려면 서로 아래에 소수점이 있어야 합니다. 그러면 정수 부분의 단위(10 등)와 분수 부분의 10분의 1(100분의 1 등)이 일치하게 됩니다. 분수 부분의 누락된 숫자는 0으로 채워집니다. 곧장 덧셈과 뺄셈의 과정은 정수의 경우와 같은 방식으로 수행됩니다.
소수의 곱셈
소수를 곱하려면 소수점 위치에 주의를 기울이지 않고 마지막 숫자에 맞춰 하나씩 적어야 합니다. 그런 다음 정수를 곱할 때와 같은 방식으로 숫자를 곱해야 합니다. 결과를 받은 후 두 분수의 소수점 이하 자릿수를 다시 계산하고 결과 숫자의 총 분수 자릿수를 쉼표로 구분해야 합니다. 자릿수가 충분하지 않으면 0으로 대체됩니다.
소수에 10n을 곱하고 나누기
이러한 작업은 간단하며 소수점 이동으로 요약됩니다. 피 곱할 때 소수점은 10n의 0 개수와 동일한 자릿수만큼 오른쪽으로 이동합니다(분수가 증가함). 여기서 n은 임의의 정수 거듭제곱입니다. 즉, 소수부에서 정수부로 특정 자릿수가 전달됩니다. 따라서 나누면 쉼표가 왼쪽으로 이동하고(숫자가 감소함) 일부 숫자가 정수 부분에서 소수 부분으로 이동됩니다. 전송할 숫자가 충분하지 않으면 누락된 비트가 0으로 채워집니다.
소수와 정수를 정수와 소수로 나누기
소수를 정수로 나누는 것은 두 정수를 나누는 것과 비슷합니다. 또한 소수점 위치만 고려하면 됩니다. 쉼표 뒤에 오는 자리의 숫자를 제거하는 경우 생성된 답변의 현재 숫자 뒤에 쉼표를 삽입해야 합니다. 다음으로 0이 될 때까지 계속 나누어야 합니다. 완전한 나눗셈을 위한 배당금의 부호가 충분하지 않은 경우에는 0을 사용해야 합니다.
마찬가지로, 피제수의 모든 숫자가 제거되고 완전한 나누기가 아직 완료되지 않은 경우 2개의 정수가 하나의 열로 나누어집니다. 이 경우 피제수의 마지막 숫자를 제거한 후 결과 답에 소수점을 넣고 제거된 숫자로 0을 사용합니다. 저것들. 여기서 배당금은 본질적으로 분수 부분이 0인 소수로 표시됩니다.
소수 부분(또는 정수)을 소수로 나누려면 피제수와 제수에 숫자 10n을 곱해야 합니다. 여기서 0의 개수는 제수의 소수점 이하 자릿수와 같습니다. 이런 식으로 나누고 싶은 분수에서 소수점을 제거합니다. 또한, 분할 과정은 위에서 설명한 것과 일치합니다.
소수 분수의 그래픽 표현
소수는 좌표선을 사용하여 그래픽으로 표시됩니다. 이를 위해 눈금자에 센티미터와 밀리미터가 동시에 표시되는 것처럼 개별 세그먼트를 10개의 동일한 부분으로 더 나눕니다. 이렇게 하면 소수가 정확하게 표시되고 객관적으로 비교할 수 있습니다.
개별 세그먼트의 분할이 동일해지려면 단일 세그먼트 자체의 길이를 신중하게 고려해야 합니다. 추가분할의 편의성이 확보될 수 있도록 하여야 한다.
우리는 이 자료를 소수와 같은 중요한 주제에 전념할 것입니다. 먼저 기본 정의를 정의하고, 예를 제시하고, 소수 표기법 규칙과 소수 분수의 자릿수가 무엇인지 살펴보겠습니다. 다음으로 유한 및 무한, 주기 및 비주기 분수와 같은 주요 유형을 강조합니다. 마지막 부분에서는 분수에 해당하는 점이 좌표축에 어떻게 위치하는지 보여줍니다.
Yandex.RTB R-A-339285-1
분수의 십진수 표기법이란 무엇입니까?
소위 분수의 십진 표기법은 자연수와 분수 모두에 사용될 수 있습니다. 사이에 쉼표가 있는 두 개 이상의 숫자 집합처럼 보입니다.
전체 부분과 분수 부분을 구분하려면 소수점이 필요합니다. 원칙적으로 소수점의 마지막 자리는 첫 번째 0 바로 뒤에 소수점이 나타나지 않는 한 0이 아닙니다.
십진수 표기법에서 분수의 예는 무엇입니까? 34, 21, 0, 35035044, 0, 0001, 11,231,552, 9 등이 될 수 있습니다.
일부 교과서에서는 쉼표 대신 마침표를 사용하는 것을 볼 수 있습니다(5. 67, 6789. 1011 등). 이 옵션은 동등한 것으로 간주되지만 영어 소스의 경우 더 일반적입니다.
소수의 정의
위의 소수 표기법 개념을 바탕으로 다음과 같은 소수 분수의 정의를 공식화할 수 있습니다.
정의 1
소수는 소수 표기법으로 분수를 나타냅니다.
왜 이런 형태로 분수를 써야 할까요? 예를 들어, 특히 분모에 1000, 100, 10 등이 포함되거나 혼합 숫자가 포함된 경우 더욱 간결한 표기법과 같은 일반적인 표기법에 비해 몇 가지 이점을 제공합니다. 예를 들어, 6 10 대신 512 3 100 - 512.03 대신 25 10000 - 0.0023 대신 0.6을 지정할 수 있습니다.
분모가 수십, 수백, 수천인 일반 분수를 소수 형식으로 올바르게 표현하는 방법은 별도의 자료에서 논의됩니다.
소수를 올바르게 읽는 방법
소수 표기법을 읽는 데에는 몇 가지 규칙이 있습니다. 따라서 일반적인 일반 등가물에 해당하는 소수는 거의 같은 방식으로 읽히지만 처음에 "0/10"이라는 단어가 추가됩니다. 따라서 14,100에 해당하는 항목 0, 14는 "영점 1400분의 1"로 읽혀집니다.
소수가 대분수와 연결될 수 있으면 이 숫자와 같은 방식으로 읽혀집니다. 따라서 56 2 1000에 해당하는 분수 56,002가 있으면 이 항목을 "오십육포인트이천분의 1"로 읽습니다.
소수점 이하 자릿수의 의미는 그 위치에 따라 달라집니다(자연수의 경우와 동일). 따라서 소수점 이하 0.7에서 7은 10분의 1이고, 0.0007에서는 10,000분의 1이고, 분수 70,000.345에서는 7만 단위를 의미합니다. 따라서 소수점 이하 자릿수에는 자릿값이라는 개념도 있습니다.
소수점 앞에 있는 숫자의 이름은 자연수에 존재하는 숫자의 이름과 유사합니다. 뒤에 위치한 이름은 표에 명확하게 표시되어 있습니다.
예를 살펴보겠습니다.
실시예 1
소수점 이하 자릿수는 43,098입니다. 십의 자리는 4, 일의 자리는 3, 십의 자리는 0, 백의 자리는 9, 천의 자리는 8입니다.
소수점 이하 자릿수의 순위를 우선순위로 구별하는 것이 관례입니다. 숫자를 왼쪽에서 오른쪽으로 이동하면 가장 중요한 것부터 가장 중요한 것 순으로 이동합니다. 100은 10보다 오래된 것이고, 백만 분의 1은 100분의 1보다 어린 것으로 밝혀졌습니다. 위에서 예로 인용한 최종 소수점 이하 자리를 취하면 그 안의 가장 높은 자리 또는 가장 높은 자리는 백 자리가 되고, 가장 낮은 자리 또는 가장 낮은 자리는 1만 자리가 됩니다.
모든 소수는 개별 자릿수로 확장될 수 있습니다. 즉, 합계로 표시됩니다. 이 작업은 자연수와 동일한 방식으로 수행됩니다.
실시예 2
분수 56, 0455를 숫자로 확장해 보겠습니다.
우리는 얻을 것이다:
56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005
덧셈의 속성을 기억한다면 이 분수를 다른 형태(예: 합 56 + 0, 0455 또는 56, 0055 + 0, 4 등)로 표현할 수 있습니다.
후행 소수는 무엇입니까?
위에서 이야기한 모든 분수는 유한소수입니다. 이는 소수점 이하 자릿수가 유한하다는 것을 의미합니다. 정의를 도출해 보겠습니다.
정의 1
후행 소수는 소수점 이하 소수 자릿수가 유한한 소수 분수의 한 유형입니다.
이러한 분수의 예는 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231 032, 49 등이 될 수 있습니다.
이러한 분수는 대분수(소수 부분의 값이 0과 다른 경우) 또는 일반 분수(정수 부분이 0인 경우)로 변환될 수 있습니다. 우리는 이것이 어떻게 수행되는지에 대해 별도의 기사를 작성했습니다. 여기에서는 몇 가지 예를 지적하겠습니다. 예를 들어 최종 소수점 이하 5, 63을 5 63 100 형식으로 줄일 수 있고 0, 2는 2 10(또는 이와 동일한 다른 분수)에 해당합니다. 예: 4 20 또는 1 5.)
그러나 반대 과정, 즉 소수 형식으로 공통 분수를 쓰는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다. 따라서 5 13은 분모가 100, 10 등인 등분수로 대체할 수 없습니다. 즉, 최종 소수점 이하 자릿수를 얻을 수 없습니다.
무한 소수 분수의 주요 유형: 주기 분수와 비주기 분수
우리는 위에서 소수점 이하 자릿수가 유한하기 때문에 유한 분수라고 불리는 것을 지적했습니다. 그러나 그것은 무한할 수도 있으며, 이 경우 분수 자체도 무한하다고 불립니다.
정의 2
무한소수는 소수점 이하 자릿수가 무한한 분수입니다.
분명히 그러한 숫자는 전체를 기록할 수 없으므로 그 중 일부만 표시한 다음 줄임표를 추가합니다. 이 기호는 소수점 이하 자릿수가 무한히 연속됨을 나타냅니다. 무한 소수점 분수의 예로는 0, 143346732…, 3, 1415989032…, 153, 0245005…, 2, 66666666666…, 69, 748768152… 등.
이러한 분수의 "꼬리"에는 겉보기에 임의의 숫자 시퀀스뿐만 아니라 동일한 문자 또는 문자 그룹의 지속적인 반복도 포함될 수 있습니다. 소수점 뒤에 교대로 숫자가 있는 분수를 주기적이라고 합니다.
정의 3
주기소수는 소수점 뒤에 한 자리 또는 여러 자리의 그룹이 반복되는 무한소수 분수입니다. 반복되는 부분을 분수의 주기라고 합니다.
예를 들어 분수 3의 경우 444444… 기간은 숫자 4가 되고 76의 경우 134134134134... - 그룹 134가 됩니다.
주기 분수 표기에 남길 수 있는 최소 문자 수는 얼마입니까? 주기 분수의 경우 전체 주기를 괄호 안에 한 번만 쓰면 충분합니다. 그래서 분수 3, 444444… 3, (4), 76, 134134134134... – 76, (134)로 쓰는 것이 맞습니다.
일반적으로 괄호 안에 마침표가 여러 개 있는 항목은 완전히 동일한 의미를 갖습니다. 예를 들어 주기율 분수 0.677777은 0.6(7) 및 0.6(77)과 같습니다. 0, 67777(7), 0, 67(7777) 등의 형식의 레코드도 허용됩니다.
실수를 피하기 위해 표기법의 통일성을 도입합니다. 소수점에 가장 가까운 하나의 마침표(가능한 가장 짧은 숫자 순서)만 기록하고 괄호로 묶는 데 동의합시다.
즉, 위의 분수에 대해서는 주항목을 0, 6(7)로 간주하고, 예를 들어 분수 8의 경우에는 9134343434를 8, 91(34)로 적어보겠습니다.
일반 분수의 분모에 5와 2가 아닌 소인수가 포함되어 있는 경우 소수 표기법으로 변환하면 무한 분수가 됩니다.
원칙적으로 우리는 어떤 유한 분수라도 주기적인 분수로 쓸 수 있습니다. 이렇게 하려면 오른쪽에 무한한 수의 0을 추가하면 됩니다. 녹음에서는 어떤 모습인가요? 마지막 분수 45, 32가 있다고 가정해 보겠습니다. 주기적인 형태에서는 45, 32(0)처럼 보입니다. 소수점 오른쪽에 0을 추가하면 그와 같은 분수가 되기 때문에 이 작업이 가능합니다.
주기가 9인 주기 분수(예: 4, 89(9), 31, 6(9))에 특별한 주의를 기울여야 합니다. 이는 마침표가 0인 유사한 분수에 대한 대체 표기법이므로 마침표가 0인 분수로 쓸 때 종종 대체됩니다. 이 경우 다음 숫자의 값에 1이 더해지고 괄호 안에 (0)이 표시됩니다. 결과 숫자의 동일성은 일반 분수로 표시하여 쉽게 확인할 수 있습니다.
예를 들어 분수 8, 31(9)은 해당 분수 8, 32(0)로 대체될 수 있습니다. 또는 4, (9) = 5, (0) = 5입니다.
무한 소수 주기 분수는 유리수로 분류됩니다. 즉, 모든 주기 분수는 일반 분수로 표시될 수 있으며 그 반대의 경우도 마찬가지입니다.
소수점 이하 끝없이 반복되지 않는 분수도 있습니다. 이 경우 비주기 분수라고 합니다.
정의 4
비주기 소수 분수에는 소수점 이하 마침표를 포함하지 않는 무한 소수 분수가 포함됩니다. 숫자 그룹을 반복합니다.
때때로 비주기적인 분수는주기적인 분수와 매우 유사해 보입니다. 예를 들어 9, 03003000300003...은 얼핏 보면 마침표가 있는 것처럼 보이지만, 소수점 이하 자릿수를 자세히 분석해 보면 이것이 여전히 비주기적인 분수임을 확인할 수 있습니다. 이런 숫자는 매우 조심해야 합니다.
비주기적인 분수는 무리수로 분류됩니다. 일반 분수로 변환되지 않습니다.
소수를 사용한 기본 연산
소수를 사용하여 비교, 뺄셈, 덧셈, 나눗셈, 곱셈 등의 연산을 수행할 수 있습니다. 각각을 개별적으로 살펴보겠습니다.
소수 비교는 원래 소수에 해당하는 분수 비교로 축소될 수 있습니다. 그러나 무한한 비주기 분수는 이 형식으로 축소될 수 없으며 소수를 일반 분수로 변환하는 것은 종종 노동 집약적인 작업입니다. 문제를 해결하면서 비교 작업이 필요한 경우 어떻게 신속하게 비교 작업을 수행할 수 있습니까? 자연수를 비교하는 것과 마찬가지로 소수점 이하의 분수도 숫자별로 비교하는 것이 편리합니다. 이 방법에 대해서는 별도의 기사를 다루겠습니다.
일부 소수를 다른 소수와 더하려면 자연수와 마찬가지로 열 추가 방법을 사용하는 것이 편리합니다. 주기적인 소수를 추가하려면 먼저 일반 소수로 바꾸고 표준 구성표에 따라 계산해야 합니다. 문제의 조건에 따라 무한한 비주기 분수를 추가해야 하는 경우 먼저 특정 숫자로 반올림한 다음 추가해야 합니다. 반올림하는 숫자가 작을수록 계산의 정확도가 높아집니다. 무한 분수의 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 위해서는 사전 반올림도 필요합니다.
소수 분수의 차이를 찾는 것은 덧셈의 역입니다. 본질적으로, 뺄셈을 사용하면 우리가 빼는 분수와의 합이 최소화하는 분수가 되는 숫자를 찾을 수 있습니다. 이에 대해서는 별도의 기사에서 더 자세히 설명하겠습니다.
소수의 곱셈은 자연수와 같은 방식으로 수행됩니다. 여기에는 열 계산 방법도 적합합니다. 우리는 이미 연구된 규칙에 따라 주기 분수를 사용하여 이 동작을 일반 분수의 곱셈으로 다시 줄입니다. 우리가 기억하는 것처럼 무한 분수는 계산 전에 반올림되어야 합니다.
소수를 나누는 과정은 곱셈의 역순입니다. 문제를 해결할 때 우리는 열 계산도 사용합니다.
마지막 소수 부분과 좌표축의 한 점 사이에 정확한 대응 관계를 설정할 수 있습니다. 필요한 소수점 이하 부분에 정확히 해당하는 점을 축에 표시하는 방법을 알아 보겠습니다.
우리는 이미 일반 분수에 해당하는 점을 구성하는 방법을 연구했지만 소수 분수는 이 형식으로 축소될 수 있습니다. 예를 들어, 공분수 14 10은 1, 4와 동일하므로 해당 점은 원점에서 양의 방향으로 정확히 같은 거리만큼 제거됩니다.
소수를 일반 분수로 바꾸지 않고도 할 수 있지만 자릿수 확장 방법을 기본으로 사용하십시오. 따라서 좌표가 15,4008과 같은 점을 표시해야 하는 경우 먼저 이 숫자를 합계 15 + 0, 4 +, 0008로 표시합니다. 우선, 카운트다운 시작부터 양의 방향으로 15개의 전체 단위 세그먼트를 할당한 다음 한 세그먼트의 4/10, 다음으로 한 세그먼트의 8만/10000을 할당해 보겠습니다. 결과적으로 우리는 분수 15, 4008에 해당하는 좌표점을 얻습니다.
무한 소수점 이하의 경우 이 방법을 사용하는 것이 더 좋습니다. 원하는 지점에 최대한 가까워질 수 있기 때문입니다. 어떤 경우에는 좌표축에서 무한 분수에 대한 정확한 대응을 구성하는 것이 가능합니다(예: 2 = 1, 41421). . . , 그리고 이 분수는 0에서 정사각형의 대각선 길이만큼 떨어진 좌표 광선의 점과 연관될 수 있으며, 그 측면은 하나의 단위 세그먼트와 같습니다.
축에서 지점이 아니라 이에 해당하는 소수 부분을 찾으면 이 동작을 세그먼트의 소수 측정이라고 합니다. 이를 올바르게 수행하는 방법을 살펴 보겠습니다.
0에서 좌표축의 특정 지점까지 이동해야 한다고 가정해 보겠습니다(또는 무한 분수의 경우 최대한 가까워져야 합니다). 이를 위해 원하는 지점에 도달할 때까지 원점에서 단위 세그먼트를 점차적으로 연기합니다. 전체 세그먼트 후에 필요한 경우 일치가 최대한 정확하도록 10분의 1, 100분의 1 및 더 작은 분수를 측정합니다. 결과적으로 우리는 좌표축의 특정 지점에 해당하는 소수점을 받았습니다.
위에서 우리는 점 M이 있는 그림을 보여주었습니다. 다시 살펴보세요. 이 지점에 도달하려면 단위 세그먼트 하나와 0에서 4/10을 측정해야 합니다. 이 지점은 소수 1, 4에 해당하기 때문입니다.
소수점 측정 과정에서 특정 지점에 도달할 수 없다면 이는 무한한 소수점 이하 자릿수에 해당한다는 의미입니다.
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유리수 m/n을 소수로 나타내려면 분자를 분모로 나누어야 합니다. 이 경우 몫은 유한 또는 무한 소수로 작성됩니다.
이 숫자를 소수로 나타내세요.
해결책. 각 분수의 분자를 분모에 따라 열로 나눕니다. ㅏ) 6을 25로 나눕니다. 비) 2를 3으로 나누십시오. V) 1을 2로 나눈 다음 결과 분수를 이 대분수의 정수 부분인 1에 더합니다.
분모에 다음 이외의 소인수를 포함하지 않는 기약분수 2 그리고 5 , 마지막 소수점 이하 자릿수로 표시됩니다.
안에 예시 1언제 ㅏ)분모 25=5·5; 언제 V)분모는 2이므로 최종 소수는 0.24와 1.5가 됩니다. 언제 비)분모는 3이므로 결과는 유한소수로 쓸 수 없습니다.
긴 나눗셈 없이 분모에 2와 5 이외의 다른 약수가 없는 일반 분수를 소수로 변환하는 것이 가능합니까? 그것을 알아 봅시다! 소수라고 부르며 분수 막대 없이 쓰여지는 분수는 무엇입니까? 답: 분모가 10인 분수; 100; 1000 등 그리고 이 숫자 각각은 제품입니다. 동일한 2와 5의 수. 실제로: 10=2 ·5 ; 100=2 ·5 ·2 ·5 ; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 등
결과적으로, 기약분수의 분모는 "2"와 "5"의 곱으로 표시되어야 하며, "2"와 "5"가 동일해지도록 2와(또는) 5를 곱해야 합니다. 그러면 분수의 분모는 10, 100, 1000 등이 됩니다. 분수의 값이 변하지 않도록 하기 위해 분모에 곱한 것과 동일한 숫자를 분수의 분자에 곱합니다.
다음의 일반적인 분수를 소수로 표현하세요:
해결책. 이 분수 각각은 환원 불가능합니다. 각 분수의 분모를 소인수로 분해해 봅시다.
20=2·2·5. 결론: "A" 하나가 누락되었습니다.
8=2·2·2. 결론: 세 개의 "A"가 누락되었습니다.
25=5·5. 결론: 두 개의 "2"가 누락되었습니다.
논평.실제로 그들은 종종 분모의 인수분해를 사용하지 않고 간단히 질문합니다: 결과가 0이 되는 1(10, 100, 1000 등)이 되도록 분모에 얼마를 곱해야 하는지 질문합니다. 그런 다음 분자에 같은 숫자를 곱합니다.
그러니 혹시라도 ㅏ)(예2) 숫자 20에 5를 곱하면 100이 나오므로 분자와 분모에 5를 곱해야 합니다.
언제 비)(예 2) 숫자 8에서 숫자 100은 얻지 못하지만 숫자 1000은 125를 곱하여 얻습니다. 분수의 분자(3)와 분모(8)에 모두 125를 곱합니다.
언제 V)(예2) 25에서 4를 곱하면 100이 됩니다. 즉, 분자 8에 4를 곱해야 한다는 뜻입니다.
하나 이상의 숫자가 항상 동일한 순서로 반복되는 무한 소수를 분수라고 합니다. 주기적십진수로. 반복되는 숫자 집합을 이 분수의 주기라고 합니다. 간결하게 하기 위해 분수의 마침표는 한 번만 쓰고 괄호 안에 넣습니다.
언제 비)(예 1) 반복되는 숫자는 하나만 있고 6과 같습니다. 따라서 결과 0.66... 다음과 같이 작성됩니다: 0,(6) . 그들은 읽습니다: 0점, 6주기.
소수점과 첫 번째 마침표 사이에 하나 이상의 반복되지 않는 숫자가 있는 경우 이러한 주기 분수를 혼합 주기 분수라고 합니다.
분모가 다음과 같은 기약 공통 분수입니다. 다른 사람들과 함께승수에는 승수가 포함됩니다. 2 또는 5 , 된다 혼합된주기적인 분수.
