첫 번째 수준

숫자의 비교. 종합 가이드 (2019)

방정식과 부등식, 모듈 문제를 풀 때 찾은 근을 수직선에 배치해야 합니다. 아시다시피 발견된 뿌리는 다를 수 있습니다. , 또는 다음과 같을 수 있습니다: , .

따라서 숫자가 합리적이지 않고 비합리적이거나(그 숫자가 무엇인지 잊어버린 경우 주제를 살펴보세요) 복잡한 수학적 표현인 경우 수직선에 숫자를 배치하는 것은 매우 문제가 됩니다. 또한 시험 중에는 계산기를 사용할 수 없으며 대략적인 계산은 한 숫자가 다른 숫자보다 작다는 것을 100% 보장하지 않습니다(비교되는 숫자에 차이가 있으면 어떻게 됩니까?).

물론 양수는 항상 음수보다 크다는 것과 숫자 축을 상상하면 비교할 때 가장 큰 숫자가장 작은 것보다 오른쪽에 위치합니다: ; ; 등.

하지만 항상 모든 것이 그렇게 쉽나요? 우리가 표시한 수직선의 위치는 입니다.

예를 들어 숫자와 어떻게 비교할 수 있습니까? 이게 문제야...)

먼저 이야기를 나눠보자 일반 개요어떻게, 무엇을 비교할 것인가.

중요: 부등호가 변하지 않도록 변환하는 것이 좋습니다!즉, 변환 중에 음수를 곱하는 것은 바람직하지 않습니다. 그것은 금지되어 있다부분 중 하나가 음수이면 정사각형입니다.

분수의 비교

따라서 두 분수를 비교해야 합니다.

이를 수행하는 방법에는 여러 가지 옵션이 있습니다.

옵션 1. 분수를 공통 분모로 줄입니다.

형태로 적어보자 공통 분수:

- (보시다시피 분자와 분모도 줄였습니다.)

이제 분수를 비교해야 합니다.

이제 우리는 두 가지 방법으로 계속해서 비교할 수 있습니다. 우리는 다음을 수행할 수 있습니다.

1. 모든 것을 공통 분모로 가져오고 두 분수를 모두 부적절한 것으로 표시합니다(분자는 분모보다 큽니다).

   어느 숫자가 더 큰가요? 맞습니다, 분자가 더 큰 것, 즉 첫 번째 것입니다.

2. "버리자"(각 분수에서 1을 뺐고 그에 따라 분수 간의 비율이 변경되지 않았다고 생각함) 분수를 비교합니다.

   우리는 또한 그것들을 공통분모로 삼습니다:

   이전 사례와 정확히 동일한 결과를 얻었습니다. 첫 번째 숫자가 두 번째 숫자보다 큽니다.

   1을 올바르게 뺐는지 확인해 볼까요? 첫 번째 계산과 두 번째 계산에서 분자의 차이를 계산해 보겠습니다.
   1)
   2)

그래서 우리는 분수를 비교하여 공통 분모로 가져오는 방법을 살펴보았습니다. 분수를 비교하여 공통 분자로 가져오는 또 다른 방법으로 넘어가겠습니다.

옵션 2. 공통 분자로 줄여 분수를 비교합니다.

예 예. 이것은 오타가 아닙니다. 이 방법은 학교에서 누구에게도 가르치는 경우가 거의 없지만 매우 편리한 경우가 많습니다. 그 본질을 빨리 이해할 수 있도록 "어떤 경우에 분수의 가치가 가장 크나요?"라는 질문 하나만 묻겠습니다. 물론 “분자는 최대한 크고 분모는 최대한 작을 때”라고 말할 것이다.

예를 들어, 그것이 사실이라고 확실히 말할 수 있나요? 다음 분수를 비교해야 한다면 어떻게 될까요? 첫 번째 경우에는 부분으로 나뉘어져 있고 두 번째에서는 전체로 나뉘어져 있기 때문에 기호를 즉시 올바르게 넣을 것이라고 생각합니다. 즉, 두 번째 경우에는 조각이 매우 작아서 그에 따라 다음과 같습니다. 보시다시피 여기의 분모는 다르지만 분자는 동일합니다. 그러나 이 두 분수를 비교하기 위해 공통분모를 찾을 필요는 없습니다. 하지만... 찾아서 비교 기호가 여전히 잘못된지 확인해 보세요.

그러나 표시는 동일합니다.

원래 작업으로 돌아가서 비교하고... 우리는 비교하고... 이 분수를 공통 분모가 아닌 공통 분자로 줄여 보겠습니다. 이 작업을 간단히 수행하려면 분자와 분모첫 번째 분수에 곱하기. 우리는 다음을 얻습니다:

그리고. 어느 분수가 더 큰가요? 맞습니다, 첫 번째입니다.

옵션 3: 빼기를 사용하여 분수를 비교합니다.

뺄셈을 사용하여 분수를 비교하는 방법은 무엇입니까? 예, 매우 간단합니다. 우리는 한 분수에서 다른 분수를 뺍니다. 결과가 양수이면 첫 번째 분수(감수) 두 번째보다 더(감수), 음수이면 그 반대도 마찬가지입니다.

우리의 경우에는 두 번째 분수에서 첫 번째 분수를 빼도록 하겠습니다.

이미 이해하셨듯이 일반 분수로 변환해도 동일한 결과를 얻습니다. 우리의 표현은 다음과 같은 형식을 취합니다.

다음으로, 우리는 여전히 공통분모로의 환원에 의존해야 할 것입니다. 문제는 첫 번째 방법으로 분수를 부적절한 분수로 변환하는 것입니까, 아니면 두 번째 방법으로 단위를 "제거"하는 것처럼 하는 것입니다. 그건 그렇고, 이 행동은 완전히 수학적 정당성을 가지고 있습니다. 바라보다:

저는 두 번째 옵션을 더 좋아합니다. 공통 분모로 줄이면 분자에 곱하는 것이 훨씬 쉬워지기 때문입니다.

공통 분모로 가져와 보겠습니다.

여기서 가장 중요한 것은 어떤 숫자를 어디에서 뺐는지 혼동하지 않는 것입니다. 솔루션의 진행 상황을 주의 깊게 살펴보고 실수로 표시를 혼동하지 마십시오. 두 번째 숫자에서 첫 번째 숫자를 빼서 부정적인 답이 나왔으니.. 그렇죠, 첫 번째 숫자가 두 번째 숫자보다 큽니다.

알았어요? 분수를 비교해 보세요:

그만해, 그만해. 서둘러 공통분모를 찾거나 빼지 마세요. 보세요: 쉽게 소수점 이하 자릿수로 변환할 수 있습니다. 얼마나 걸릴까요? 오른쪽. 결국 무엇이 더 있습니까?

이것은 또 다른 옵션입니다. 분수를 다음과 같이 줄여서 비교하는 것입니다. 소수.

옵션 4: 나눗셈을 사용하여 분수를 비교합니다.

예 예. 그리고 이것도 가능합니다. 논리는 간단합니다. 더 큰 숫자를 더 작은 숫자로 나누면 우리가 얻는 답은 1보다 큰 숫자이고, 더 작은 숫자를 더 큰 숫자로 나누면 답은 ~ 사이의 구간에 속합니다.

이 규칙을 기억하려면 두 가지를 비교하십시오. 소수, 예를 들어, 그리고. 더 많은 것이 무엇인지 아십니까? 이제 나누어 보겠습니다. 우리의 대답은 입니다. 따라서 이론은 정확합니다. 나누면 우리가 얻는 것은 1보다 작으며, 이는 실제로 더 작다는 것을 확인시켜 줍니다.

이 규칙을 일반 분수에 적용해 보겠습니다. 비교해 봅시다:

첫 번째 분수를 두 번째 분수로 나눕니다.

차근차근 줄여보겠습니다.

얻은 결과가 작습니다. 즉, 배당금이 제수보다 작다는 의미입니다. 즉, 다음과 같습니다.

우리는 모든 것을 정리했습니다 가능한 옵션분수를 비교합니다. 어떻게 보시나요? 5:

• 공통 분모로의 축소;
• 공통 분자로의 축소;
• 소수 형태로의 축소;
• 빼기;
• 분할.

훈련할 준비가 되셨나요? 최적의 방법으로 분수를 비교하세요.

답변을 비교해 보겠습니다.

1. (- 십진수로 변환)
2. (한 분수를 다른 분수로 나누고 분자와 분모로 줄여보세요)
3. (전체 부분을 선택하고 원리에 따라 분수를 비교하십시오. 같은 분자)
4. (한 분수를 다른 분수로 나누고 분자와 분모로 줄입니다).

2. 학위 비교

이제 숫자뿐만 아니라 학위()가 있는 표현식도 비교해야 한다고 상상해 보세요.

물론, 쉽게 표지판을 세울 수 있습니다:

결국, 차수를 곱셈으로 대체하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

이 작고 원시적인 예에서 규칙은 다음과 같습니다.

이제 다음을 비교해 보십시오: . 다음과 같이 쉽게 표지판을 넣을 수도 있습니다.

왜냐하면 지수를 곱셈으로 대체하면...

일반적으로 모든 것을 이해하며 전혀 어렵지 않습니다.

비교할 때 학위의 기반과 지표가 다를 때만 어려움이 발생합니다. 이런 경우에는 공통점을 찾으려는 노력이 필요하다. 예를 들어:

물론, 이에 따라 표현은 다음과 같은 형식을 취한다는 것을 알고 있습니다.

괄호를 열고 우리가 얻은 것을 비교해 봅시다:

일부 특별한 경우, 차수()의 밑이 1보다 작은 경우.

그렇다면 2도 이상이면 지수가 더 작은 것이 됩니다.

이 규칙을 증명해 봅시다. 하자.

몇 가지를 소개해보자 자연수, 와 사이의 차이처럼요.

논리적이지 않나요?

이제 다시 한 번 조건에 주목해 보겠습니다.

각각 : . 따라서, .

예를 들어:

아시다시피 우리는 권력 기반이 동일한 경우를 고려했습니다. 이제 밑이 에서 까지의 간격에 있지만 지수는 동일한 경우를 살펴보겠습니다. 여기에서는 모든 것이 매우 간단합니다.

예를 사용하여 이를 비교하는 방법을 기억해 봅시다.

물론 계산을 빠르게 수행했습니다.

따라서 비교를 위해 유사한 문제를 발견하면 빠르게 계산할 수 있는 몇 가지 간단하고 유사한 예를 염두에 두고 이 예를 기반으로 보다 복잡한 기호를 적어보세요.

변환을 수행할 때 곱하기, 더하기, 빼기 또는 나누기를 수행하는 경우 모든 작업은 왼쪽과 오른쪽 모두에서 이루어져야 한다는 점을 기억하세요. 오른쪽(곱하는 경우 둘 다 곱해야 합니다).

또한 단순히 조작을 하는 것이 수익성이 없는 경우도 있습니다. 예를 들어 비교해야합니다. 이 경우 다음을 기반으로 권력을 잡고 표지판을 배열하는 것이 그리 어렵지 않습니다.

연습하자. 학위 비교:

답변을 비교할 준비가 되셨나요? 내가 얻은 것은 다음과 같습니다.

1. - 같은
2. - 같은
3. - 같은
4. - 같은

3. 숫자와 근 비교

먼저 뿌리가 무엇인지 기억해 봅시다. 이 녹음을 기억하시나요?

실수의 거듭제곱의 근은 등식이 성립하는 숫자입니다.

뿌리음수와 양수에 대해 홀수차가 존재하며, 심지어 뿌리- 긍정적인 것에 대해서만.

근값은 무한소수인 경우가 많아 정확한 계산이 어려운 경우가 많기 때문에 근을 비교할 수 있는 것이 중요합니다.

그것이 무엇인지, 무엇과 함께 먹는지 잊어버린 경우 - . 다 기억했다면 차근차근 뿌리를 비교하는 방법을 배워보자.

다음을 비교해야 한다고 가정해 보겠습니다.

이 두 근을 비교하려면 어떤 계산도 할 ​​필요가 없으며 "근" 자체의 개념만 분석하면 됩니다. 내가 무슨 말을 하는지 이해하셨나요? 예, 이것에 대해: 그렇지 않으면 근호 표현과 같은 어떤 숫자의 세 번째 거듭제곱으로 쓸 수 있습니다.

또 뭔데? 또는? 물론 별 어려움 없이 비교할 수 있습니다. 거듭제곱으로 올리는 숫자가 클수록 값은 더 커집니다.

그래서. 규칙을 도출해보자.

근의 지수가 동일한 경우(우리의 경우), 다음을 비교해야 합니다. 급진적 표현(i) - 근수가 클수록, 더 많은 가치동일한 비율로 뿌리를 내립니다.

기억하기 어렵나요? 그럼 그냥 예시를 머릿속에 간직하고... 그만큼 더?

근이 정사각형이므로 근의 지수는 동일합니다. 한 숫자()의 근수 표현은 다른 숫자()보다 큽니다. 이는 규칙이 실제로 참임을 의미합니다.

어근 표현은 같지만 어근의 정도가 다르다면 어떨까요? 예를 들어: .

뿌리를 추출할 때에도 분명합니다. 더 크게더 작은 숫자를 얻게 될 것입니다. 예를 들어보자:

첫 번째 루트의 값을 다음과 같이, 두 번째 루트의 값을 다음과 같이 표시하겠습니다.

이러한 방정식에 더 많은 내용이 있어야 함을 쉽게 알 수 있습니다. 따라서 다음과 같습니다.

급진적 표현이 같은 경우(우리의 경우), 그리고 근의 지수는 다릅니다(우리의 경우 이는 and입니다), 그런 다음 지수를 비교해야합니다(그리고) - 지표가 높을수록 이 표현은 작아집니다..

다음 뿌리를 비교해 보세요.

결과를 비교해볼까요?

우리는 이것을 성공적으로 정리했습니다 :). 또 다른 질문이 생깁니다. 우리가 모두 다르다면 어떨까요? 학위와 급진적 표현 모두? 모든 것이 그렇게 복잡하지는 않습니다. 단지... 루트를 "제거"하면 됩니다. 예 예. 그냥 없애세요)

차수와 근수 표현이 다른 경우 근의 지수에 대한 최소 공배수(관련 섹션 참조)를 찾고 두 표현을 최소 공배수와 동일한 거듭제곱으로 올려야 합니다.

우리 모두는 말과 말로 존재합니다. 예는 다음과 같습니다.

1. 우리는 뿌리의 지표를 봅니다. 이들의 최소공배수는 입니다.
2. 두 표현식을 모두 거듭제곱해 보겠습니다.
3. 표현식을 변환하고 괄호를 열어 보겠습니다(자세한 내용은 해당 장에서 확인하세요).
4. 우리가 한 일을 세어보고 표시해 봅시다:

4. 로그의 비교

그래서 천천히 그러나 확실하게 우리는 로그를 비교하는 방법에 대한 질문에 도달했습니다. 이것이 어떤 동물인지 기억이 나지 않는다면 먼저 해당 섹션의 이론을 읽어 보시기 바랍니다. 읽어보셨나요? 그런 다음 몇 가지 중요한 질문에 답해 보세요.

1. 로그의 주장은 무엇이며 그 밑은 무엇입니까?
2. 함수의 증가 또는 감소 여부를 결정하는 것은 무엇입니까?

모든 것을 기억하고 완벽하게 마스터했다면 시작해 보세요!

로그를 서로 비교하려면 다음 3가지 기술만 알아야 합니다.

• 동일한 기준으로 축소;
• 동일한 주장으로 축소;
• 세 번째 숫자와 비교.

처음에는 로그의 밑수에 주의를 기울이십시오. 적으면 기능이 감소하고, 많으면 증가한다는 것을 기억하십니까? 이것이 우리의 판단의 기초가 될 것입니다.

이미 동일한 밑수 또는 인수로 축소된 로그의 비교를 고려해 보겠습니다.

우선 문제를 단순화해 보겠습니다. 비교 로그를 입력해 보겠습니다. 동등한 근거 . 그 다음에:

1. for 함수는 from 간격에 따라 증가합니다. 이는 정의에 따라 then(“직접 비교”)을 의미합니다.
2. 예:- 근거가 동일하므로 그에 따라 인수를 비교합니다. 따라서:
3. 함수 at은 from 간격에 따라 감소합니다. 이는 정의에 따라 then(“역비교”)을 의미합니다. - 밑이 동일하므로 이에 따라 인수를 비교합니다. 그러나 함수가 감소하므로 로그의 부호는 "역"이 됩니다.

이제 이유는 다르지만 주장은 동일한 경우를 고려하십시오.

1. 베이스가 더 큽니다.
   • . 이 경우에는 "역비교"를 사용합니다. 예를 들면 다음과 같습니다. - 인수가 동일합니다. 밑수를 비교해 보겠습니다. 그러나 로그의 부호는 "역"입니다.
2. 베이스 a는 간격에 있습니다.
   • . 이 경우에는 "직접 비교"를 사용합니다. 예를 들어:
   • . 이 경우에는 "역비교"를 사용합니다. 예를 들어:

모든 것을 일반적인 표 형식으로 적어 보겠습니다.

, 여기서	, 여기서

따라서 이미 이해하셨듯이, 로그를 비교할 때 동일한 밑수 또는 논증을 도출해야 하며, 한 밑수에서 다른 밑수로 이동하는 공식을 사용하여 동일한 밑수에 도달합니다.

로그를 세 번째 숫자와 비교할 수도 있으며, 이를 바탕으로 무엇이 더 적고 무엇이 더 많은지에 대한 결론을 도출할 수 있습니다. 예를 들어, 이 두 로그를 비교하는 방법을 생각해 보세요.

약간의 힌트 - 비교를 위해 로그가 많은 도움이 될 것이며 그 인수는 동일할 것입니다.

생각? 함께 결정합시다.

우리는 이 두 로그를 여러분과 쉽게 비교할 수 있습니다.

방법을 모르시나요? 위 참조. 우리는 이것을 정리했습니다. 어떤 표시가 나올까요? 오른쪽:

동의하다?

서로 비교해 봅시다 :

다음을 얻어야 합니다:

이제 모든 결론을 하나로 결합하십시오. 일어난?

5. 삼각함수 표현의 비교.

사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트란 무엇입니까? 단위원은 무엇이며 그 값을 찾는 방법은 무엇입니까? 삼각함수? 이러한 질문에 대한 답을 모른다면 이 주제에 대한 이론을 읽어 보시기 바랍니다. 그리고 알고 계시다면 삼각법 표현을 서로 비교하는 것이 어렵지 않습니다!

기억을 조금 새롭게 해보자. 단위 삼각원과 그 안에 내접하는 삼각형을 그려 봅시다. 당신은 관리 했습니까? 이제 삼각형의 변을 사용하여 어느 쪽에 코사인을 플롯하고 어느 쪽에 사인을 플롯하는지 표시하십시오. (물론 사인은 빗변에 대한 반대변의 비율이고 코사인은 인접한 변이라는 것을 기억하십니까?) 당신이 그렸나요? 엄청난! 마지막 손질은 우리가 그것을 가질 장소, 장소 등을 적어 두는 것입니다. 내려놓았나요? 휴) 당신과 나에게 일어난 일을 비교해 보겠습니다.

휴! 이제 비교를 시작하겠습니다!

우리가 비교해야한다고 가정 해 봅시다. 단위원에 점을 배치하여 상자(여기서 표시한 위치)의 프롬프트를 사용하여 이러한 각도를 그립니다. 당신은 관리 했습니까? 내가 얻은 것은 다음과 같습니다.

이제 원에 표시한 점에서 축 위에 수직선을 놓아 보겠습니다. 어느 것입니까? 사인 값을 나타내는 축은 무엇입니까? 오른쪽, . 이것이 당신이 얻어야 할 것입니다:

이 사진을 보면 어느 쪽이 더 큰가요? 아니면? 물론, 포인트가 포인트보다 높기 때문입니다.

비슷한 방식으로 코사인 값을 비교합니다. 축에 수직인 부분만 낮추면 되는데... 그렇죠, . 따라서 어느 지점이 오른쪽(또는 사인의 경우 더 높음)에 있는지 확인하면 값이 더 커집니다.

여러분은 이미 접선을 비교하는 방법을 알고 있을 것입니다. 그렇죠? 당신이 알아야 할 것은 접선이 무엇인지뿐입니다. 그렇다면 탄젠트는 무엇입니까?) 맞습니다. 사인과 코사인의 비율입니다.

접선을 비교하기 위해 이전 사례와 같은 방식으로 각도를 그립니다. 다음을 비교해야 한다고 가정해 보겠습니다.

당신이 그렸나요? 이제 좌표축에 사인 값도 표시합니다. 눈치채셨나요? 이제 좌표선에 코사인 값을 표시하십시오. 일어난? 비교해 봅시다:

이제 당신이 쓴 내용을 분석해 보세요. - 큰 부분을 작은 부분으로 나눕니다. 답에는 확실히 1보다 큰 값이 포함됩니다. 오른쪽?

그리고 작은 것을 큰 것으로 나눌 때. 대답은 정확히 1보다 작은 숫자가 될 것입니다.

그렇다면 어떤 삼각함수 표현이 더 큰 가치를 갖고 있을까요?

오른쪽:

이제 이해하셨듯이, 코탄젠트를 비교하는 것은 동일한 일이지만 역으로만 가능합니다. 우리는 코사인과 사인을 정의하는 세그먼트가 서로 어떻게 관련되어 있는지 살펴봅니다.

다음 삼각함수 표현식을 직접 비교해 보세요.

예.

답변.

숫자의 비교. 평균 수준.

어느 숫자가 더 큰가요: 또는? 대답은 분명합니다. 그리고 지금 : 아니면? 더 이상 그렇게 명확하지 않죠? 그래서: 아니면?

어떤 수치 표현이 더 큰지 알아야 하는 경우가 많습니다. 예를 들어 부등식을 해결할 때 축에 점을 올바른 순서로 배치하려면 다음과 같이 하세요.

이제 그러한 숫자를 비교하는 방법을 가르쳐 드리겠습니다.

숫자를 비교해야 하는 경우 숫자 사이에 기호를 넣습니다( 라틴어 단어대 또는 약어 대 - 에 맞서): . 이 기호는 알 수 없는 부등 기호()를 대체합니다. 다음으로 공연해보겠습니다 정체성 변화숫자 사이에 어떤 기호를 배치해야 하는지 명확해질 때까지.

숫자 비교의 본질은 이것이다: 우리는 부호를 일종의 부등호인 것처럼 취급합니다. 그리고 이 표현을 사용하면 우리가 일반적으로 부등식에 대해 하는 모든 작업을 수행할 수 있습니다.

• 양쪽에 숫자를 더하세요(물론 뺄 수도 있습니다).
• "모든 것을 한쪽으로 이동", 즉 두 부분에서 비교된 표현식 중 하나를 뺍니다. 빼기 표현식 대신 .
• 같은 수를 곱하거나 나눕니다. 이 숫자가 음수이면 부등호가 반전됩니다.
• 양쪽을 같은 힘으로 끌어올립니다. 이 거듭제곱이 짝수이면 두 부분의 부호가 동일한지 확인해야 합니다. 두 부분이 모두 양수이면 거듭제곱해도 부호는 변하지 않지만, 음수이면 반대 방향으로 변경됩니다.
• 두 부분에서 같은 차수의 근을 추출합니다. 짝수의 근을 추출하려면 먼저 두 표현식이 모두 음수가 아닌지 확인해야 합니다.
• 다른 동등한 변환.

중요: 부등호가 변하지 않도록 변환하는 것이 좋습니다! 즉, 변환 중에 음수를 곱하는 것은 바람직하지 않으며, 부분 중 하나가 음수이면 제곱할 수 없습니다.

몇 가지 전형적인 상황을 살펴보겠습니다.

1. 지수화.

예.

어느 것이 더 많습니까? 아니면?

해결책.

부등식의 양변이 양수이므로 이를 제곱하여 근을 제거할 수 있습니다.

예.

어느 것이 더 많습니까? 아니면?

해결책.

여기서도 제곱을 할 수 있지만 이것은 우리가 제거하는 데 도움이 될 뿐입니다. 제곱근. 여기에서는 두 뿌리가 모두 사라지는 정도까지 올려야합니다. 이는 이 차수의 지수가 (첫 번째 근의 차수)와 by 둘 다로 나누어져야 함을 의미합니다. 따라서 이 숫자는 다음과 같이 제곱됩니다.

2. 공액체에 의한 곱셈.

예.

어느 것이 더 많습니까? 아니면?

해결책.

각 차이를 켤레합으로 곱하고 나누어 보겠습니다.

당연히 오른쪽의 분모가 왼쪽의 분모보다 큽니다. 따라서 오른쪽 분수는 왼쪽 분수보다 작습니다.

3. 뺄셈

그것을 기억하자.

예.

어느 것이 더 많습니까? 아니면?

해결책.

물론, 우리는 모든 것을 제곱하고, 재편성하고, 다시 제곱할 수 있습니다. 하지만 더 스마트하게 할 수 있습니다.

왼쪽의 각 항은 오른쪽의 각 항보다 작다는 것을 알 수 있습니다.

따라서 좌변의 모든 항의 합은 우변의 모든 항의 합보다 작습니다.

하지만 조심하세요! 우리는 더 많은 것을 물었습니다 ...

오른쪽이 더 큽니다.

예.

숫자를 비교하고...

해결책.

삼각법 공식을 기억해 봅시다.

삼각원의 어느 부분에 점이 있고 놓여 있는지 확인해 봅시다.

4. 분할.

여기서는 간단한 규칙도 사용합니다: .

또는 그렇습니다.

부호가 바뀔 때: .

예.

비교하다: .

해결책.

5. 숫자를 세 번째 숫자와 비교하세요.

If and, then(이행성의 법칙).

예.

비교하다.

해결책.

숫자를 서로 비교하는 것이 아니라 숫자로 비교합시다.

그것은 분명합니다.

반면에 .

예.

어느 것이 더 많습니까? 아니면?

해결책.

두 숫자 모두 더 크지만 더 작습니다. 1보다 크지만 다른 것보다 작은 숫자를 선택해 보겠습니다. 예를 들어, . 점검 해보자:

6. 로그로 무엇을 할까요?

특별한 것은 없습니다. 로그를 제거하는 방법은 주제에 자세히 설명되어 있습니다. 기본 규칙은 다음과 같습니다.

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Leftrightarrow (\rm( ))\left[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \쐐기(a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \웨지 y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

또한 밑수가 다르고 인수가 동일한 로그에 대한 규칙을 추가할 수도 있습니다.

이는 이렇게 설명할 수 있습니다. 베이스가 클수록 동일한 것을 얻기 위해 올려야 하는 정도가 줄어듭니다. 밑이 더 작으면 해당 함수가 단조 감소하므로 반대가 됩니다.

예.

숫자를 비교하십시오 : 그리고.

해결책.

위의 규칙에 따르면:

이제 고급을 위한 공식이 생겼습니다.

로그 비교 규칙은 더 간단하게 작성할 수 있습니다.

예.

어느 것이 더 많습니까? 아니면?

해결책.

예.

어느 숫자가 더 큰지 비교하세요: .

해결책.

숫자의 비교. 주요 사항에 대해 간략하게

1. 지수화

부등식의 양쪽이 양수이면 근을 제거하기 위해 제곱할 수 있습니다.

2. 공액체에 의한 곱셈

공액은 제곱 공식의 차이에 대한 표현을 보완하는 요소입니다. -공액 for 및 그 반대의 경우 .

3. 뺄셈

4. 구분

그게 언제인지 아니면

표지판이 바뀔 때:

5. 세 번째 숫자와의 비교

그렇다면

6. 로그의 비교

기본 규칙.

존재하다 특정 규칙숫자의 비교. 다음 예를 고려하십시오.

어제 온도계는 15˚C를 보였고 오늘은 20˚C를 나타냅니다. 오늘은 어제보다 따뜻합니다. 15번 적은 수 20, 다음과 같이 쓸 수 있습니다: 15< 20. А, если мы представим эти числа на координатной прямой, то точка со значением 15 будет расположена левее точки со значением 20.

이제 살펴 보겠습니다. 음의 온도. 어제 바깥 날씨는 영하 12도, 오늘은 영하 8도였습니다. 오늘은 어제보다 따뜻하네요. 따라서 그들은 숫자 -12가 숫자 -8보다 작다고 믿습니다. 수평 좌표선에서 값이 -12인 점은 값이 -8인 점의 왼쪽에 위치합니다. 다음과 같이 쓸 수 있습니다: -12< -8.

따라서 가로 좌표선을 사용하여 숫자를 비교하면 두 숫자 중 작은 숫자가 좌표선의 이미지가 왼쪽에 있는 숫자이고, 큰 숫자가 오른쪽에 있는 숫자입니다. 예를 들어 그림에서는 A > B 및 C이지만 B > C입니다.

좌표선에서 양수는 0의 오른쪽에 위치하고 음수는 0의 왼쪽에 위치하며 모든 양수는 0보다 크고 모든 음수는 0보다 작으므로 모든 음수는 더 작습니다. 모든 것보다 정수.

즉, 숫자를 비교할 때 가장 먼저 주의해야 할 것은 비교되는 숫자의 부호입니다. 마이너스(음수)가 있는 숫자는 항상 양수보다 작습니다.

두 개의 음수를 비교하는 경우 모듈러스를 비교해야 합니다. 큰 숫자는 모듈러스가 더 작은 숫자가 되고, 작은 숫자는 모듈러스가 더 작은 숫자가 됩니다. 예를 들어 -7 및 -5입니다. 비교되는 숫자가 음수입니다. 모듈 5와 7을 비교합니다. 7은 5보다 큽니다. 이는 -7이 -5보다 작다는 것을 의미합니다. 좌표선에 두 개의 음수를 표시하면 작은 숫자가 왼쪽에, 큰 숫자가 오른쪽에 위치하게 됩니다. -7은 -5의 왼쪽에 위치하며 이는 -7을 의미합니다.< -5.

분수 비교

분모가 같은 두 분수 중에서 분자가 작은 것은 더 작고, 분자가 큰 것은 더 큽니다.

분모가 같은 분수만 비교할 수 있습니다.

일반 분수를 비교하는 알고리즘

1) 분수에 정수 부분이 있으면 그것과 비교를 시작합니다. 더 큰 분수는 전체 부분이 더 큰 분수입니다. 분수에 정수 부분이 없거나 같으면 다음 지점으로 이동합니다.

2) 분수가 다음과 같은 경우 다른 분모그것들을 공통 분모로 가져올 필요가 있습니다.

3) 분수의 분자를 비교해보세요. 더 큰 분수는 더 큰 분자를 가진 분수가 됩니다.

다음과 같은 분수에 유의하세요. 전체 부분전체 부분이 없으면 항상 더 많은 분수가 있을 것입니다.

소수의 비교

소수는 소수점 오른쪽의 동일한 자릿수(자릿수)로만 비교할 수 있습니다.

소수점 이하 비교 알고리즘

1) 소수점 이하 글자수에 ​​주의하세요. 자릿수가 동일하면 비교를 시작할 수 있습니다. 그렇지 않은 경우 소수점 이하 자릿수 중 하나에 필요한 수의 0을 추가합니다.

2) 소수를 왼쪽에서 오른쪽으로 비교합니다. 정수와 정수, 십분의 일과 십분의 일, 백분의 일과 백분의 일 등.

3) 더 큰 분수는 부분 중 하나가 다른 분수보다 큰 분수입니다(정수로 비교를 시작합니다. 한 분수의 전체 부분이 더 크면 전체 분수도 더 큽니다).

예를 들어 소수를 비교해 보겠습니다.

1) 소수 자릿수를 동일하게 만들기 위해 첫 번째 분수에 필요한 수의 0을 추가합니다.

57.300 및 57.321

2) 왼쪽에서 오른쪽으로 비교를 시작합니다.

정수가 있는 정수: 57 = 57;

10분의 1로: 3 = 3;

백분의 일과 백분의 일: 0< 2.

첫 번째 소수 부분의 1/100이 더 작아졌으므로 전체 분수도 더 작아집니다.

57,300 < 57,321

웹사이트에서 자료의 전체 또는 일부를 복사하는 경우 출처에 대한 링크가 필요합니다.

숫자를 비교하는 것은 수학 과정에서 가장 쉽고 즐거운 주제 중 하나입니다. 그러나 그것이 그렇게 간단하지는 않다고 말해야 한다. 예를 들어, 한 자리 또는 두 자리 양수를 비교하는 데 어려움을 겪는 사람은 거의 없습니다.

하지만 숫자는 큰 금액표지판은 이미 문제를 일으키고 있으며 사람들은 종종 비교할 때 길을 잃습니다. 음수두 숫자를 어떻게 비교하는지 기억이 나지 않습니다. 다른 표시. 우리는 이 모든 질문에 답하려고 노력할 것입니다.

양수 비교 규칙

가장 간단한 것부터 시작하겠습니다. 앞에 기호가 없는 숫자, 즉 양수 숫자를 사용합니다.

• 우선, 모든 양수는 정의상 0보다 크다는 점을 기억할 가치가 있습니다. 우리 얘기 중이야영형 분수전체 없이. 예를 들어, 소수점 이하 0.2는 0보다 클 것입니다. 왜냐하면 좌표선에서 해당 지점은 여전히 ​​0에서 두 개의 작은 눈금만큼 떨어져 있기 때문입니다.
• 두 개의 양수와 많은 수의 부호를 비교하는 경우 각 숫자를 비교해야 합니다. 예를 들어, 32와 33입니다. 이 숫자의 10의 자리는 동일하지만 숫자 33은 1의 자리에 "2"보다 "3"이 더 많기 때문에 더 큽니다.
• 두 소수를 비교하는 방법은 무엇입니까? 여기서 먼저 전체 부분을 살펴봐야 합니다. 예를 들어 분수 3.5는 4.6보다 작습니다. 전체 부분은 동일하지만 소수점 이하 자릿수가 다른 경우는 어떻게 되나요? 이 경우 정수에 대한 규칙이 적용됩니다. 더 크고 작은 10분의 1, 100분의 1, 1000분의 1이 발견될 때까지 숫자별로 부호를 비교해야 합니다. 예를 들어 4.86은 4.75보다 큽니다. 8/10은 7보다 크기 때문입니다.

음수 비교

문제에 특정 숫자 -a와 -c가 있고 어느 것이 더 큰지 결정해야 하는 경우 보편 법칙이 적용됩니다. 먼저, 이 숫자의 모듈이 작성됩니다. - |a| 그리고 |들| -그리고 서로 비교하십시오. 모듈러스가 더 큰 숫자는 음수에 비해 작아지고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 모듈러스가 더 작은 숫자가 클수록 숫자가 커집니다.

음수와 양수를 비교해야 하는 경우 어떻게 해야 합니까?

여기서 작동하는 규칙은 단 하나이며 이는 기본입니다. 양수는 숫자에 관계없이 항상 빼기 기호가 있는 숫자보다 큽니다. 예를 들어 숫자 "1"은 항상 더 많은 수"-1458"은 단순히 좌표선에서 1이 0의 오른쪽에 있기 때문입니다.

또한 음수는 항상 0보다 작다는 점을 기억해야 합니다.

아래 기사에서는 음수 비교의 원리에 대해 간략하게 설명합니다. 규칙을 공식화하고 이를 실제 문제 해결에 적용할 것입니다.

Yandex.RTB R-A-339285-1

음수 비교 규칙

규칙은 소스 데이터 모듈의 비교를 기반으로 합니다. 본질적으로 두 음수를 비교한다는 것은 비교되는 음수의 모듈러스와 동일한 양수를 비교하는 것을 의미합니다.

정의 1

두 음수를 비교할 때 더 작은 숫자가 크기가 더 큰 숫자입니다. 더 큰 숫자는 모듈러스가 더 작은 숫자입니다. 주어진 음수는 절대 값이 같으면 같습니다.

공식화된 규칙은 음의 정수와 유리수 및 실수 모두에 적용됩니다.

기하학적 해석은 지정된 규칙에 명시된 원리를 확인합니다. 즉, 좌표선에서 더 작은 음수가 더 큰 음수보다 왼쪽에 위치합니다. 이 진술은 일반적으로 모든 숫자에 해당됩니다.

음수 비교의 예

제일 간단한 예음수를 비교하는 것은 정수를 비교하는 것입니다. 비슷한 작업부터 시작해 보겠습니다.

실시예 1

음수 - 65와 - 23을 비교해야합니다.

해결책

규칙에 따라 음수 비교 작업을 수행하려면 먼저 해당 모듈을 결정해야 합니다. | - 65 | = 65 및 | - 23 | = 23. 이제 주어진 모듈러스(65 > 23)와 동일한 양수를 비교해 보겠습니다. 모듈러스가 작은 음수가 더 크다는 규칙을 다시 적용해 보겠습니다. 따라서 우리는 다음을 얻습니다: - 65< - 23 .

답변: - 65 < - 23 .

부정적인 것을 비교하는 것은 조금 더 어렵습니다. 유리수: 이 작업은 궁극적으로 분수나 소수를 비교하게 됩니다.

실시예 2

주어진 숫자 중 어느 것이 더 큰지 결정해야 합니다. - 4 3 14 또는 - 4 , 7 .

해결책

비교되는 숫자의 모듈을 결정합시다. - 4 3 14 = 4 3 14 그리고 | - 4, 7 | = 4, 7. 이제 결과 모듈을 비교해 보겠습니다. 분수의 전체 부분이 동일하므로 분수 부분을 비교해 보겠습니다. 3 14 및 0, 7. 소수 0, 7을 일반 분수로 변환해 보겠습니다. 7 10, 비교된 분수의 공통 분모를 찾으면 다음과 같은 결과를 얻습니다. 15 70 그리고 49 70 . 그러면 비교 결과는 다음과 같습니다. 15 70 < 49 70 또는 3 14 < 0 , 7 . Таким образом, 4 3 14 < 4 , 7 . fff 음수 비교 규칙을 적용하면 다음과 같은 결과가 나옵니다. - 4 3 14 < - 4 , 7

분수를 소수로 변환하여 비교하는 것도 가능했습니다. 차이점은 계산의 편의성에만 있습니다.

답변: - 4 3 14 < - 4 , 7

음의 실수를 비교하는 경우에도 동일한 규칙을 따릅니다.

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음수마이너스 기호(-)가 있는 숫자입니다(예: −1, −2, −3). 다음과 같이 읽습니다: 마이너스 1, 마이너스 2, 마이너스 3.

적용예 음수신체, 공기, 토양 또는 물의 온도를 표시하는 온도계입니다. 안에 겨울철, 외부가 매우 추울 때 온도는 음수(또는 사람들이 말하는 것처럼 "마이너스")일 수 있습니다.

예를 들어, 추위 -10도:

앞에서 살펴본 1, 2, 3과 같은 일반적인 숫자를 양수라고 합니다. 양수는 더하기 기호(+)가 있는 숫자입니다.

양수를 쓸 때 + 기호를 쓰지 않기 때문에 우리에게 익숙한 숫자 1, 2, 3이 보이는데, 이 양수들은 +1, +2처럼 보인다는 점을 명심해야 합니다. , +3.

수업 내용

이것은 음수와 양수 모두 모든 숫자가 위치하는 직선입니다. 다음과 같이:

여기에 표시된 숫자는 -5부터 5까지입니다. 실제로 좌표선은 무한합니다. 그림은 그것의 작은 부분만을 보여줍니다.

좌표선의 숫자는 점으로 표시됩니다. 사진에 굵게 표시됨 검은 점출발점이다. 카운트다운은 0부터 시작됩니다. 원점 왼쪽에는 음수, 오른쪽에는 양수를 표시합니다.

좌표선은 양쪽에서 무한정 계속됩니다. 수학에서 무한대는 기호 π로 표시됩니다. 음의 방향은 −로 표시됩니다. 양수 기호+ 과. 그러면 마이너스 무한대부터 플러스 무한대까지의 모든 숫자가 좌표선에 위치한다고 말할 수 있습니다.

좌표선의 각 점에는 고유한 이름과 좌표가 있습니다. 이름라틴 문자입니다. 동등 어구는 이 선에서 점의 위치를 ​​나타내는 숫자입니다. 간단히 말해서 좌표는 좌표선에 표시하려는 바로 그 숫자입니다.

예를 들어, 점 A(2)는 다음과 같이 읽습니다. "좌표 2가 있는 점 A" 좌표선에 다음과 같이 표시됩니다.

여기 ㅏ는 점의 이름이고 2는 점의 좌표입니다. ㅏ.

예시 2.점 B(4)는 다음과 같습니다. "좌표 4의 점 B"

여기 비는 점의 이름이고 4는 점의 좌표입니다. 비.

예시 3.점 M(−3)은 다음과 같이 읽습니다. "좌표가 마이너스 3인 점 M" 좌표선에 다음과 같이 표시됩니다.

여기 중는 점의 이름이고, −3은 점 M의 좌표입니다. .

포인트는 임의의 문자로 지정할 수 있습니다. 그러나 일반적으로 대문자 라틴 문자로 표시하는 것이 허용됩니다. 또한 보고서의 시작 부분은 달리 호출됩니다. 기원보통 크다는 뜻이에요 라틴 문자영형

음수는 원점을 기준으로 왼쪽에 있고 양수는 오른쪽에 있다는 것을 쉽게 알 수 있습니다.

등의 문구가 있습니다. "왼쪽으로 갈수록 작아진다"그리고 "오른쪽으로 갈수록 더 많아진다". 당신은 아마도 우리가 말하는 내용을 이미 짐작했을 것입니다. 왼쪽으로 한 단계씩 올라갈수록 숫자는 감소합니다. 그리고 오른쪽으로 한 단계씩 올라갈수록 숫자는 늘어납니다. 오른쪽을 가리키는 화살표는 양의 참조 방향을 나타냅니다.

음수와 양수 비교

규칙 1. 모든 음수는 양수보다 작습니다.

예를 들어, −5와 3이라는 두 숫자를 비교해 보겠습니다. 마이너스 5 더 적은 5가 무엇보다도 3보다 큰 숫자로 눈에 띈다는 사실에도 불구하고 3보다.

이는 -5가 음수이고 3이 양수이기 때문입니다. 좌표선에서 숫자 -5와 3이 어디에 있는지 볼 수 있습니다.

-5는 왼쪽에, 3은 오른쪽에 있는 것을 볼 수 있습니다. 그리고 우리는 이렇게 말했습니다. "왼쪽으로 갈수록 작아진다" . 그리고 규칙에 따르면 음수는 양수보다 작습니다. 그것은 다음과 같습니다

−5 < 3

"마이너스 5는 3보다 작습니다."

규칙 2. 두 개의 음수 중 좌표선에서 왼쪽에 있는 것이 더 작습니다.

예를 들어 숫자 −4와 −1을 비교해 보겠습니다. 마이너스 4 더 적은, 마이너스 1보다.

이는 좌표선에서 -4가 -1보다 왼쪽에 위치하기 때문입니다.

-4는 왼쪽에, -1은 오른쪽에 있는 것을 볼 수 있습니다. 그리고 우리는 이렇게 말했습니다. "왼쪽으로 갈수록 작아진다" . 그리고 두 개의 음수 중 좌표선에서 왼쪽에 있는 숫자가 더 작다는 법칙입니다. 그것은 다음과 같습니다

마이너스 4는 마이너스 1보다 작습니다.

규칙 3. 0은 음수보다 큽니다.

예를 들어 0과 -3을 비교해 보겠습니다. 영 더마이너스 3보다. 이는 좌표선에서 0이 -3보다 더 오른쪽에 위치하기 때문입니다.

0은 오른쪽에 있고 -3은 왼쪽에 있음을 알 수 있습니다. 그리고 우리는 이렇게 말했습니다. "오른쪽으로 갈수록 더 많아진다" . 그리고 규칙은 0이 어떤 음수보다 크다고 말합니다. 그것은 다음과 같습니다

0은 마이너스 3보다 큽니다.

규칙 4. 0은 양수보다 작습니다.

예를 들어 0과 4를 비교해 보겠습니다. 0 더 적은, 4보다. 이것은 원칙적으로 명확하고 사실입니다. 그러나 우리는 이것을 다시 좌표선에서 우리 눈으로 보려고 노력할 것입니다:

좌표선에서 0은 왼쪽에, 4는 오른쪽에 위치하는 것을 볼 수 있습니다. 그리고 우리는 이렇게 말했습니다. "왼쪽으로 갈수록 작아진다" . 그리고 규칙에 따르면 0은 양수보다 작습니다. 그것은 다음과 같습니다

0은 4보다 작습니다.

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