분자 분모에 같은 값을 곱합니다. 분수 연산
일반 분수로 수행할 수 있는 또 다른 연산은 곱셈입니다. 우리는 문제를 풀 때 기본 규칙을 설명하고 일반 분수에 자연수를 곱하는 방법과 세 개 이상의 일반 분수를 올바르게 곱하는 방법을 보여줍니다.
먼저 기본 규칙을 적어 보겠습니다.
정의 1
하나의 일반 분수를 곱하면 결과 분수의 분자는 원래 분수의 분자 곱과 같고 분모는 분모의 곱과 같습니다. 문자 그대로 두 분수 a/b와 c/d에 대해 a b·c d = a·c b·d로 표현할 수 있습니다.
이 규칙을 올바르게 적용하는 방법에 대한 예를 살펴보겠습니다. 변이 하나의 숫자 단위와 같은 정사각형이 있다고 가정해 보겠습니다. 그러면 그림의 면적은 1제곱이 됩니다. 단위. 정사각형을 변이 1 4 및 숫자 단위가 1 8인 동일한 직사각형으로 나누면 이제 32개의 직사각형으로 구성됩니다(8 4 = 32이므로). 따라서 각각의 면적은 전체 그림 면적의 1 32와 같습니다. 1 32제곱미터 단위.
변이 5 8 숫자 단위와 3 4 숫자 단위인 음영처리된 조각이 있습니다. 따라서 면적을 계산하려면 첫 번째 분수에 두 번째 분수를 곱해야 합니다. 5 8 · 3 4 제곱미터와 같습니다. 단위. 그러나 우리는 조각에 포함된 직사각형의 수를 간단하게 계산할 수 있습니다. 그 중 15개가 있으므로 전체 면적은 15 32 평방 단위입니다.
5 3 = 15이고 8 4 = 32이므로 다음과 같은 등식을 쓸 수 있습니다.
5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32
이는 a b · c d = a · c b · d로 표현되는 일반 분수의 곱셈을 위해 우리가 공식화한 규칙을 확인합니다. 이는 진분수와 가분수 모두에 대해 동일하게 작동합니다. 분모가 다르거나 동일한 분수를 곱하는 데 사용할 수 있습니다.
일반 분수의 곱셈과 관련된 몇 가지 문제에 대한 해결책을 살펴보겠습니다.
실시예 1
7 11에 9 8을 곱합니다.
해결책
먼저, 7에 9를 곱하여 표시된 분수의 분자 곱을 계산해 보겠습니다. 우리는 63을 얻었습니다. 그런 다음 분모의 곱을 계산하여 11 · 8 = 88을 얻습니다. 두 개의 숫자를 구성해 봅시다. 답은 63 88입니다.
전체 솔루션은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88
답변: 7 11 · 9 8 = 63 88.
답에서 축소 가능한 분수를 얻으면 계산을 완료하고 축소를 수행해야 합니다. 가분수를 얻으려면 전체 부분을 분리해야 합니다.
실시예 2
분수의 곱 계산 4 15 및 55 6 .
해결책
위에서 연구한 규칙에 따르면 분자에 분자를 곱하고 분모에 분모를 곱해야 합니다. 솔루션 레코드는 다음과 같습니다.
4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90
우리는 환원 가능한 분수를 얻었습니다. 10으로 나누어지는 것.
분수를 줄여보겠습니다: 220 90 gcd (220, 90) = 10, 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. 결과적으로 우리는 가분수를 얻었고, 이 중에서 전체 부분을 선택하여 대분수인 22 9 = 2 4 9를 얻습니다.
답변: 4 15 55 6 = 2 4 9.
계산을 쉽게 하기 위해 곱셈 연산을 수행하기 전에 원래 분수를 줄일 수도 있습니다. 이를 위해서는 분수를 a · c b · d 형식으로 줄여야 합니다. 변수의 값을 간단한 요소로 분해하고 동일한 요소를 줄여 보겠습니다.
특정 작업의 데이터를 사용하여 이것이 어떤 모습인지 설명하겠습니다.
실시예 3
곱 4 15 55 6을 계산하세요.
해결책
곱셈 규칙에 따라 계산을 적어 보겠습니다. 우리는 얻을 것이다:
4 15 55 6 = 4 55 15 6
4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5, 6 = 2 3이므로 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3입니다.
2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9
답변: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .
일반 분수를 곱하는 수식에는 교환 특성이 있습니다. 즉, 필요한 경우 요소의 순서를 변경할 수 있습니다.
a b · c d = c d · a b = a · c b · d
분수와 자연수를 곱하는 방법
기본 규칙을 바로 적어두고 실제로 설명해 보겠습니다.
정의 2
공통 분수에 자연수를 곱하려면 해당 분수의 분자에 해당 숫자를 곱해야 합니다. 이 경우 최종 분수의 분모는 원래 일반 분수의 분모와 같습니다. 특정 분수 a b에 자연수 n을 곱하면 공식 a b · n = a · n b로 쓸 수 있습니다.
자연수는 분모가 1인 일반 분수로 표현될 수 있다는 점을 기억하면 이 공식을 쉽게 이해할 수 있습니다.
a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b
구체적인 예를 들어 우리의 아이디어를 설명하겠습니다.
실시예 4
곱 2 27 곱하기 5를 계산합니다.
해결책
원래 분수의 분자에 두 번째 요소를 곱하면 10이 됩니다. 위에서 언급한 규칙에 따라 결과적으로 10 27을 얻게 됩니다. 전체 솔루션은 이 게시물에 나와 있습니다.
2 27 5 = 2 5 27 = 10 27
답변: 2 27 5 = 10 27
자연수에 분수를 곱할 때, 그 결과를 축약하거나 대분수로 표현해야 하는 경우가 많습니다.
실시예 5
조건: 곱 8을 5 12로 계산합니다.
해결책
위의 규칙에 따라 자연수에 분자를 곱합니다. 결과적으로 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12가 됩니다. 마지막 분수에는 2로 나누어지는 부호가 있으므로 이를 줄여야 합니다.
LCM(40, 12) = 4이므로 40 12 = 40:4 12:4 = 10 3
이제 우리가 해야 할 일은 전체 부분을 선택하고 준비된 답인 10 3 = 3 1 3을 적는 것뿐입니다.
이 항목에서 전체 해를 볼 수 있습니다: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.
분자와 분모를 소인수로 나누어 분수를 줄일 수도 있으며 결과는 정확히 동일합니다.
답변: 5 12 8 = 3 1 3.
자연수에 분수를 곱한 수치 표현도 변위 속성을 갖습니다. 즉, 요소의 순서는 결과에 영향을 주지 않습니다.
a b · n = n · a b = a · n b
세 개 이상의 공통 분수를 곱하는 방법
우리는 자연수 곱셈의 특징과 동일한 속성을 일반 분수의 곱셈 동작으로 확장할 수 있습니다. 이는 이러한 개념의 정의에서 비롯됩니다.
결합 및 교환 속성에 대한 지식 덕분에 세 개 이상의 일반 분수를 곱할 수 있습니다. 편의성을 높이기 위해 요소를 재배열하거나 계산을 더 쉽게 하는 방식으로 괄호를 배열하는 것이 허용됩니다.
이것이 어떻게 수행되는지 예를 들어 보여드리겠습니다.
실시예 6
네 개의 공통 분수 1 20, 12 5, 3 7 및 5 8을 곱합니다.
해결 방법: 먼저 작업을 기록해 보겠습니다. 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 을 얻습니다. 모든 분자와 분모를 모두 곱해야 합니다. 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .
곱셈을 시작하기 전에 일을 조금 더 쉽게 만들고 추가 감소를 위해 일부 숫자를 소인수로 인수분해할 수 있습니다. 이는 이미 준비된 결과 부분을 줄이는 것보다 쉬울 것입니다.
1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9,280
답변: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9,280.
실시예 7
5개의 숫자 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10을 곱합니다.
해결책
편의상 분수 7 8을 숫자 8로 그룹화하고 숫자 12를 분수 5 36으로 그룹화할 수 있습니다. 왜냐하면 미래의 약어가 우리에게 분명할 것이기 때문입니다. 결과적으로 우리는 다음을 얻게 됩니다:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 5 10 3 = 350 3 = 116 2 3
답변: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.
텍스트에 오류가 있으면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르세요.
분수에 분수를, 분수에 숫자를 올바르게 곱하려면 간단한 규칙을 알아야 합니다. 이제 이러한 규칙을 자세히 분석하겠습니다.
공통 분수에 분수를 곱합니다.
분수에 분수를 곱하려면 분자의 곱과 이러한 분수의 분모의 곱을 계산해야 합니다.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)
예를 살펴보겠습니다:
첫 번째 분수의 분자에 두 번째 분수의 분자를 곱하고, 첫 번째 분수의 분모에 두 번째 분수의 분모도 곱합니다.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ 곱하기 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\)
분수 \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\)이 3으로 감소되었습니다.
분수에 숫자를 곱합니다.
먼저 규칙을 기억해 봅시다. 모든 숫자는 분수 \(\bf n = \frac(n)(1)\) 로 표시될 수 있습니다.
곱셈을 할 때 이 규칙을 사용해 봅시다.
\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
가분수 \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\)을 대분수로 변환합니다.
다시 말해서, 숫자에 분수를 곱할 때 숫자에 분자를 곱하고 분모는 그대로 둡니다.예:
\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)
대분수를 곱합니다.
대분수를 곱하려면 먼저 각 대분수를 가분수로 표현한 다음 곱셈 규칙을 사용해야 합니다. 분자에 분자를 곱하고 분모에 분모를 곱합니다.
예:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(빨간색) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(빨간색) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
역분수와 숫자의 곱셈.
분수 \(\bf \frac(a)(b)\)는 a≠0,b≠0인 경우 분수 \(\bf \frac(b)(a)\)의 역수입니다.
분수 \(\bf \frac(a)(b)\)와 \(\bf \frac(b)(a)\)를 역분수라고 합니다. 역분수의 곱은 1과 같습니다.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)
예:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
관련 질문:
분수에 분수를 곱하는 방법은 무엇입니까?
답: 일반 분수의 곱은 분자와 분자, 분모와 분모를 곱한 것입니다. 대분수의 곱을 얻으려면 이를 가분수로 변환하고 규칙에 따라 곱해야 합니다.
분모가 다른 분수를 곱하는 방법은 무엇입니까?
답변: 분수의 분모가 같거나 다른지는 중요하지 않습니다. 곱셈은 분자와 분모, 분모와 분모의 곱을 찾는 규칙에 따라 발생합니다.
대분수를 곱하는 방법은 무엇입니까?
답변: 우선 대분수를 가분수로 변환한 다음 곱셈 규칙을 사용하여 곱을 구해야 합니다.
숫자에 분수를 곱하는 방법은 무엇입니까?
답: 숫자에 분자를 곱하고 분모는 그대로 둡니다.
예시 #1:
곱을 계산합니다: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )
해결책:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( 빨간색) (5))(3 \times \color(red) (5) \times 13) = \frac(4)(39)\)
예시 #2:
숫자와 분수의 곱을 계산합니다: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)
해결책:
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
예시 #3:
분수 \(\frac(1)(3)\)의 역수를 쓰시겠습니까?
답: \(\frac(3)(1) = 3\)
예시 #4:
두 개의 상호 역분할의 곱을 계산합니다: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)
해결책:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)
예시 #5:
역분수는 다음과 같을 수 있습니다:
a) 적절한 분수와 동시에;
b) 동시에 가분수;
c) 동시에 자연수?
해결책:
a) 첫 번째 질문에 답하기 위해 예를 들어 보겠습니다. 분수 \(\frac(2)(3)\)는 진분수이며, 그 역분수는 \(\frac(3)(2)\) - 가분수와 같습니다. 대답: 아니요.
b) 거의 모든 분수 계산에서는 이 조건이 충족되지 않지만 동시에 가분수라는 조건을 충족하는 숫자가 있습니다. 예를 들어, 가분수는 \(\frac(3)(3)\)이고, 그 역분수는 \(\frac(3)(3)\)과 같습니다. 우리는 2개의 가분수를 얻습니다. 답: 분자와 분모가 같은 특정 조건에서는 항상 그런 것은 아닙니다.
c) 자연수는 숫자를 셀 때 사용하는 숫자입니다(예: 1, 2, 3, …). \(3 = \frac(3)(1)\)이라는 숫자를 취하면 그 역분수는 \(\frac(1)(3)\)이 됩니다. 분수 \(\frac(1)(3)\)는 자연수가 아닙니다. 모든 숫자를 조사하면 숫자의 역수는 1을 제외하고 항상 분수입니다. 숫자 1을 취하면 그 역수는 \(\frac(1)(1) = \frac(1)입니다. )(1) = 1\). 1번은 자연수이다. 답변: 숫자 1인 경우 한 가지 경우에만 동시에 자연수가 될 수 있습니다.
예시 #6:
대분수를 곱해 보세요: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )
해결책:
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
예시 #7:
두 개의 역수가 동시에 대수가 될 수 있나요?
예를 살펴보겠습니다. 대분수 \(1\frac(1)(2)\)를 가져와 그 역분수를 구하고 이를 가분수 \(1\frac(1)(2) = \frac(3)로 변환합니다. )(2) \) . 역분수는 \(\frac(2)(3)\) 과 같습니다. 분수 \(\frac(2)(3)\)는 진분수입니다. 답: 서로 역인 두 분수는 동시에 대분수가 될 수 없습니다.
일반 분수는 먼저 5학년 학생을 만나 평생 동행합니다. 일상 생활에서는 개체를 전체가 아닌 별도의 조각으로 고려하거나 사용해야 하는 경우가 많기 때문입니다. 이 주제에 대한 연구를 시작하십시오 - 공유. 주식은 동등한 부분이다, 이 개체 또는 해당 개체가 구분됩니다. 결국, 예를 들어 제품의 길이나 가격을 정수로 표현하는 것이 항상 가능한 것은 아니며 일부 측정값의 부분이나 분수를 고려해야 합니다. "분할하다"라는 동사에서 형성되었습니다. 부분으로 나누고 아랍어에 뿌리를 둔 "분수"라는 단어 자체는 8 세기에 러시아어로 나타났습니다.
분수 표현은 오랫동안 수학의 가장 어려운 분야로 여겨져 왔습니다. 17세기에 처음으로 수학 교과서가 등장했을 때, 이를 '깨진 수'라고 불렀는데, 이는 사람들이 이해하기 매우 어려웠습니다.
부분이 수평선으로 구분되는 단순한 분수 나머지의 현대적인 형태는 피보나치(피사의 레오나르도)에 의해 처음으로 발전되었습니다. 그의 작품은 1202년에 제작되었습니다. 하지만 이 글의 목적은 분모가 다른 대분수를 곱하는 방법을 독자에게 간단하고 명확하게 설명하는 것입니다.
분모가 다른 분수의 곱셈
처음에는 결정할 가치가 있습니다. 분수의 종류:
- 옳은;
- 잘못된;
- 혼합.
다음으로, 분모가 같은 분수를 어떻게 곱하는지 기억해야 합니다. 이 과정의 규칙 자체는 독립적으로 공식화하는 것이 어렵지 않습니다. 동일한 분모로 간단한 분수를 곱한 결과는 분수 표현이며, 그 분자는 분자의 곱이고 분모는 이러한 분수의 분모의 곱입니다. . 즉, 실제로 새로운 분모는 원래 존재했던 분모 중 하나의 제곱입니다.
곱할 때 분모가 다른 단순 분수두 개 이상의 요인에 대해서는 규칙이 변경되지 않습니다.
ㅏ/비 * 씨/디 = a*c / b*d.
유일한 차이점은 분수선 아래에 형성된 숫자는 다른 숫자의 곱이 되며 당연히 하나의 숫자 표현의 제곱이라고 할 수 없다는 것입니다.
다음 예를 사용하여 분모가 다른 분수의 곱셈을 고려해 볼 가치가 있습니다.
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
예제에서는 분수 표현식을 줄이는 방법을 사용합니다. 분자 수는 분모 수로만 줄일 수 있으며, 분수선 위나 아래의 인접 인수는 줄일 수 없습니다.
단순분수와 함께 대분수라는 개념이 있습니다. 대분수는 정수와 분수 부분으로 구성됩니다. 즉, 다음 숫자의 합입니다.
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
곱셈은 어떻게 작동하나요?
고려할 수 있도록 몇 가지 예가 제공됩니다.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
이 예에서는 숫자의 곱셈을 사용합니다. 일반 분수 부분, 이 작업에 대한 규칙은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
ㅏ* 비/씨 = a*b /씨.
실제로 그러한 곱은 동일한 분수 나머지의 합이며 항의 수는 이 자연수를 나타냅니다. 특별한 경우:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
숫자에 분수 나머지를 곱하는 또 다른 해결책이 있습니다. 분모를 다음 숫자로 나누면 됩니다.
디* 이자형/에프 = 이자형/에프:디.
이 기술은 분모를 나머지 없이 자연수로 나누거나 정수로 나눌 때 사용하는 데 유용합니다.
대분수를 가분수로 변환하고 앞에서 설명한 방법으로 곱을 구합니다.
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
이 예에는 대분수를 가분수로 표현하는 방법이 포함되어 있으며 일반 공식으로도 표현할 수 있습니다.
ㅏ 비씨 = a*b+ c / c, 여기서 새 분수의 분모는 전체 부분에 분모를 곱하고 원래 분수 나머지의 분자와 추가하여 형성되며 분모는 동일하게 유지됩니다.
이 과정은 반대 방향으로도 작동합니다. 전체 부분과 분수 나머지를 분리하려면 "모서리"를 사용하여 가분수의 분자를 분모로 나누어야 합니다.
가분수 곱하기일반적으로 인정되는 방식으로 생산됩니다. 단일 분수선 아래에 쓸 때 이 방법을 사용하여 숫자를 줄이고 결과를 더 쉽게 계산하려면 필요에 따라 분수를 줄여야 합니다.
인터넷에는 다양한 변형 프로그램의 복잡한 수학적 문제를 해결하는 데 도움이 되는 많은 도우미가 있습니다. 충분한 수의 이러한 서비스는 분모에 다른 숫자가 있는 분수의 곱셈을 계산하는 데 도움을 줍니다(소위 분수 계산용 온라인 계산기). 곱셈뿐만 아니라 일반 분수와 대분수를 사용하여 다른 모든 간단한 산술 연산도 수행할 수 있습니다. 작업하는 것은 어렵지 않습니다. 웹 사이트 페이지에서 해당 필드를 채우고 수학 연산 기호를 선택한 다음 "계산"을 클릭하면 됩니다. 프로그램이 자동으로 계산합니다.
분수를 이용한 산술연산이라는 주제는 중, 고등학생 교육 전반에 걸쳐 관련되어 있습니다. 고등학교에서는 더 이상 가장 단순한 종을 고려하지 않지만 정수 분수 표현, 그러나 이전에 얻은 변환 및 계산 규칙에 대한 지식은 원래 형식으로 적용됩니다. 잘 습득된 기본 지식은 가장 복잡한 문제를 성공적으로 해결하는 데 완전한 자신감을 제공합니다.
결론적으로 다음과 같이 쓴 Lev Nikolaevich Tolstoy의 말을 인용하는 것이 합리적입니다. “인간은 분수입니다. 분자(그의 장점)를 늘리는 것은 사람의 힘이 아니지만 누구나 분모(자신에 대한 의견)를 줄일 수 있으며, 이 감소로 인해 그의 완벽함에 더 가까워집니다.
지난 시간에 우리는 분수를 더하고 빼는 방법을 배웠습니다(“분수 더하기 및 빼기” 강의 참조). 이러한 작업 중 가장 어려운 부분은 분수를 공통 분모로 가져오는 것이었습니다.
이제 곱셈과 나눗셈을 다룰 차례입니다. 좋은 소식은 이러한 연산이 덧셈과 뺄셈보다 훨씬 간단하다는 것입니다. 먼저, 분리된 정수 부분 없이 두 개의 양수 분수가 있는 가장 간단한 경우를 생각해 보겠습니다.
두 분수를 곱하려면 분자와 분모를 따로 곱해야 합니다. 첫 번째 숫자는 새 분수의 분자가 되고 두 번째 숫자는 분모가 됩니다.
두 분수를 나누려면 첫 번째 분수에 "역전된" 두 번째 분수를 곱해야 합니다.
지정:
정의에 따르면 분수를 나누는 것은 곱셈으로 줄어듭니다. 분수를 "뒤집기"하려면 분자와 분모를 바꾸면 됩니다. 따라서 수업 내내 우리는 주로 곱셈을 고려할 것입니다.
곱셈의 결과로 축소 가능한 분수가 발생할 수 있습니다(종종 발생합니다). 물론 축소되어야 합니다. 모든 축소 후에 분수가 잘못된 것으로 판명되면 전체 부분을 강조 표시해야 합니다. 그러나 곱셈에서 확실히 일어나지 않는 일은 공통 분모로의 축소입니다. 교차 방법도 없고, 최대 인수와 최소 공배수도 없습니다.
정의에 따르면 다음과 같습니다.
분수와 정수 및 음수 분수의 곱셈
분수에 정수 부분이 포함되어 있으면 부적절한 분수로 변환해야 하며 그런 다음 위에 설명된 방식에 따라 곱해야 합니다.
분수의 분자, 분모 또는 그 앞에 마이너스가 있는 경우 다음 규칙에 따라 곱셈에서 빼거나 완전히 제거할 수 있습니다.
- 마이너스로 플러스하면 마이너스가 됩니다.
- 두 개의 부정이 긍정을 만듭니다.
지금까지 이러한 규칙은 음수를 더하고 뺄 때, 즉 전체 부분을 제거해야 하는 경우에만 발생했습니다. 작업의 경우 여러 가지 단점을 한 번에 "소각"하기 위해 일반화할 수 있습니다.
- 네거티브가 완전히 사라질 때까지 쌍으로 제거합니다. 극단적인 경우에는 짝이 없는 마이너스 하나가 살아남을 수 있습니다.
- 마이너스가 남아 있지 않으면 작업이 완료되고 곱셈을 시작할 수 있습니다. 마지막 마이너스에 대한 쌍이 없어서 지워지지 않으면 곱셈의 한계를 벗어나게 됩니다. 결과는 음수입니다.
일. 표현의 의미를 찾으십시오.
우리는 모든 분수를 가분수로 변환한 다음 곱셈에서 마이너스를 제거합니다. 우리는 일반적인 규칙에 따라 남은 것을 곱합니다. 우리는 다음을 얻습니다:
강조 표시된 전체 부분이 있는 분수 앞에 나타나는 마이너스는 전체 부분뿐만 아니라 전체 분수를 구체적으로 의미한다는 점을 다시 한 번 상기시켜 드리겠습니다(이는 마지막 두 예에 적용됩니다).
또한 음수에 주의하세요. 곱할 때는 괄호로 묶입니다. 이는 곱셈 기호에서 빼기를 분리하고 전체 표기법을 더 정확하게 만들기 위해 수행됩니다.
즉석에서 분수 줄이기
곱셈은 매우 노동집약적인 작업입니다. 여기의 숫자는 상당히 큰 것으로 나타났으며 문제를 단순화하기 위해 분수를 더 줄여 볼 수 있습니다. 곱하기 전에. 실제로, 본질적으로 분수의 분자와 분모는 일반적인 인수이므로 분수의 기본 속성을 사용하여 축소할 수 있습니다. 예시를 살펴보세요:
일. 표현의 의미를 찾으십시오.
정의에 따르면 다음과 같습니다.
모든 예에서 감소된 숫자와 남은 숫자는 빨간색으로 표시됩니다.
참고: 첫 번째 경우 승수는 완전히 감소했습니다. 그 자리에는 일반적으로 쓸 필요가 없는 단위가 남아 있습니다. 두 번째 예에서는 완전한 감소를 달성할 수 없었지만, 총 계산량이 여전히 감소했습니다.
그러나 분수를 더하거나 뺄 때 이 방법을 사용하지 마십시오! 예, 때로는 줄이고 싶은 비슷한 숫자가 있습니다. 여기 보세요:
당신은 그렇게 할 수 없습니다!
이 오류는 더할 때 분수의 분자가 숫자의 곱이 아닌 합계를 생성하기 때문에 발생합니다. 결과적으로 분수의 기본 속성을 적용하는 것은 불가능합니다. 왜냐하면 이 속성은 특히 숫자의 곱셈을 다루기 때문입니다.
분수를 줄이는 데는 다른 이유가 없으므로 이전 문제에 대한 올바른 해결책은 다음과 같습니다.
올바른 해결책:
보시다시피 정답은 그다지 아름답지 않은 것으로 나타났습니다. 일반적으로 주의하세요.
§ 87. 분수의 추가.
분수를 더하는 것은 정수를 더하는 것과 많은 유사점이 있습니다. 분수의 추가는 주어진 여러 숫자(용어)가 하나의 숫자(합계)로 결합되어 용어 단위의 모든 단위와 분수를 포함한다는 사실로 구성된 동작입니다.
우리는 세 가지 경우를 순차적으로 고려할 것입니다:
1. 분모가 같은 분수를 더합니다.
2. 분모가 다른 분수의 추가.
3. 대분수의 추가.
1. 분모가 같은 분수를 더합니다.
예를 들어 1/5 + 2/5를 생각해 보세요.
세그먼트 AB(그림 17)를 하나로 가져와 5개의 동일한 부분으로 나누면 이 세그먼트의 AC 부분은 세그먼트 AB의 1/5과 같고 동일한 세그먼트 CD의 일부는 다음과 같습니다. 2/5 AB.
도면에서 AD 세그먼트를 취하면 3/5 AB와 동일하다는 것이 분명합니다. 그러나 세그먼트 AD는 정확히 세그먼트 AC와 CD의 합입니다. 그래서 우리는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
이러한 항과 결과 합계를 고려하면 항의 분자를 더하여 합의 분자를 얻었고 분모는 변경되지 않은 상태로 유지되었음을 알 수 있습니다.
이것으로부터 우리는 다음과 같은 규칙을 얻습니다. 동일한 분모를 가진 분수를 더하려면 분자를 더하고 동일한 분모를 그대로 두어야 합니다.
예를 살펴보겠습니다:
2. 분모가 다른 분수의 추가.
분수를 더해 보겠습니다: 3 / 4 + 3 / 8 먼저 분수를 최소 공통 분모로 줄여야 합니다.
중간 링크 6/8 + 3/8을 쓸 수 없습니다. 명확성을 위해 여기에 작성했습니다.
따라서 분모가 다른 분수를 추가하려면 먼저 분수를 가장 낮은 공통 분모로 줄이고 분자를 추가한 다음 공통 분모에 레이블을 지정해야 합니다.
예를 생각해 봅시다(해당 분수 위에 추가 요소를 쓸 것입니다):
3. 대분수의 추가.
숫자를 더해 봅시다: 2 3/8 + 3 5/6.
먼저 숫자의 분수 부분을 공통 분모로 가져와 다시 작성해 보겠습니다.
이제 정수 부분과 분수 부분을 순차적으로 추가합니다.
§ 88. 분수 빼기.
분수를 빼는 것은 정수를 빼는 것과 같은 방식으로 정의됩니다. 이는 두 용어와 그 중 하나의 합을 고려하여 다른 용어를 찾는 작업입니다. 세 가지 경우를 연속적으로 고려해 보겠습니다.
1. 분모가 같은 분수를 뺍니다.
2. 분모가 다른 분수를 뺍니다.
3. 대분수의 뺄셈.
1. 분모가 같은 분수를 뺍니다.
예를 살펴보겠습니다:
13 / 15 - 4 / 15
세그먼트 AB(그림 18)를 하나의 단위로 가져와 15개의 동일한 부분으로 나눕니다. 그러면 이 세그먼트의 AC 부분은 AB의 1/15를 나타내고 동일한 세그먼트의 부분 AD는 13/15 AB에 해당합니다. 4/15 AB와 동일한 또 다른 세그먼트 ED를 따로 보관해 두겠습니다.
13/15에서 분수 4/15를 빼야 합니다. 도면에서 이는 세그먼트 AD에서 세그먼트 ED를 빼야 함을 의미합니다. 결과적으로 세그먼트 AE는 세그먼트 AB의 9/15로 유지됩니다. 그래서 우리는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
우리가 만든 예는 분자를 빼서 차이의 분자를 얻었지만 분모는 동일하게 유지되었음을 보여줍니다.
따라서 분모가 같은 분수를 빼려면 피감수의 분자에서 감수의 분자를 빼고 분모는 그대로 두어야 합니다.
2. 분모가 다른 분수를 뺍니다.
예. 3/4 - 5/8
먼저, 이 분수들을 가장 낮은 공통 분모로 줄여보겠습니다.
여기에는 명확성을 위해 중간 6/8 - 5/8이 기록되어 있지만 나중에 건너뛸 수 있습니다.
따라서 분수에서 분수를 빼려면 먼저 분수를 가장 낮은 공통 분모로 줄인 다음 피감의 분자에서 피감의 분자를 빼고 그 차이 아래에 공통 분모에 서명해야 합니다.
예를 살펴보겠습니다:
3. 대분수의 뺄셈.
예. 10 3/4 - 7 2/3.
피감수와 감수의 분수 부분을 가장 낮은 공통 분모로 줄여 보겠습니다.
우리는 전체에서 전체를 빼고, 분수에서 분수를 뺍니다. 그러나 감수의 분수 부분이 피감수의 분수 부분보다 큰 경우가 있습니다. 이러한 경우에는 전체 피감수 부분에서 하나의 단위를 가져와서 분수부가 표현되는 부분으로 나누어서 피감수의 분수부에 더해야 합니다. 그런 다음 이전 예와 동일한 방식으로 뺄셈이 수행됩니다.
§ 89. 분수의 곱셈.
분수 곱셈을 공부할 때 다음 질문을 고려합니다.
1. 분수에 정수를 곱합니다.
2. 주어진 숫자의 분수를 찾는 것.
3. 정수에 분수를 곱합니다.
4. 분수에 분수를 곱합니다.
5. 대분수의 곱셈.
6. 관심의 개념.
7. 주어진 숫자의 백분율을 구합니다. 순차적으로 고려해 봅시다.
1. 분수에 정수를 곱합니다.
분수에 정수를 곱하는 것은 정수에 정수를 곱하는 것과 같은 의미입니다. 분수(피승수)에 정수(인수)를 곱한다는 것은 동일한 항의 합을 생성하는 것을 의미하며, 각 항은 피승수와 같고 항의 개수는 승수와 같습니다.
즉, 1/9에 7을 곱해야 한다면 다음과 같이 할 수 있습니다.
작업이 동일한 분모를 가진 분수를 추가하는 것으로 축소되었기 때문에 결과를 쉽게 얻을 수 있었습니다. 따라서,
이 동작을 고려하면 분수에 정수를 곱하는 것은 정수의 단위 수만큼 이 분수를 늘리는 것과 동일하다는 것을 알 수 있습니다. 그리고 분수를 증가시키는 것은 분자를 증가시킴으로써 달성되기 때문에
또는 분모를 줄여서 
, 그런 다음 나누기가 가능하다면 분자에 정수를 곱하거나 분모를 정수로 나눌 수 있습니다.
여기에서 우리는 규칙을 얻습니다:
분수에 정수를 곱하려면 분자에 정수를 곱하고 분모는 그대로 두거나, 가능하다면 분자를 변경하지 않고 분모를 해당 숫자로 나누어야 합니다.
곱할 때 다음과 같은 약어가 가능합니다.
2. 주어진 숫자의 분수를 찾는 것.주어진 숫자의 일부를 찾거나 계산해야 하는 문제가 많이 있습니다. 이러한 문제와 다른 문제의 차이점은 일부 개체 또는 측정 단위의 수를 제공하며 여기에도 특정 분수로 표시된 이 숫자의 일부를 찾아야 한다는 것입니다. 이해를 돕기 위해 먼저 이러한 문제의 예를 제시한 후 해결 방법을 소개합니다.
작업 1.나는 60 루블을 가지고있었습니다. 나는 이 돈의 1/3을 책 구입에 썼습니다. 책값은 얼마였나요?
작업 2.기차는 도시 A와 B 사이를 300km만큼 이동해야 합니다. 그는 이미 이 거리의 2/3를 이동했습니다. 이것은 몇 킬로미터입니까?
작업 3.마을에는 400채의 집이 있는데, 그 중 3/4은 벽돌이고 나머지는 목조입니다. 벽돌집은 총 몇 개 있나요?
이것은 주어진 숫자의 일부를 찾는 데 직면하는 많은 문제 중 일부입니다. 일반적으로 주어진 숫자의 분수를 찾는 문제라고 합니다.
문제 1에 대한 해결책. 60 문지름부터. 나는 책에 1/3을 썼습니다. 이는 책 가격을 찾으려면 숫자 60을 3으로 나누어야 함을 의미합니다.
문제 해결 2.문제의 요점은 300km의 2/3를 찾아야 한다는 것이다. 먼저 300의 1/3을 계산해 보겠습니다. 이는 300km를 3으로 나누어 달성됩니다.
300: 3 = 100(300의 1/3).
300의 2/3를 찾으려면 결과 몫을 두 배로 늘려야 합니다. 즉, 2를 곱해야 합니다.
100 x 2 = 200(300의 2/3).
문제 해결 3.여기서는 400개의 3/4을 구성하는 벽돌집의 수를 결정해야 합니다. 먼저 400개의 1/4을 구하고,
400: 4 = 100(400의 1/4).
400의 4분의 3을 계산하려면 결과 몫을 3배로 늘려야 합니다. 즉, 3을 곱해야 합니다.
100 x 3 = 300(400의 3/4).
이러한 문제에 대한 해결책을 바탕으로 다음과 같은 규칙을 도출할 수 있습니다.
주어진 숫자에서 분수의 값을 찾으려면 이 숫자를 분수의 분모로 나누고 결과 몫에 분자를 곱해야 합니다.
3. 정수에 분수를 곱합니다.
앞서(§ 26) 정수의 곱셈은 동일한 항(5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20)의 추가로 이해되어야 한다는 것이 확립되었습니다. 이 단락(포인트 1)에서는 분수에 정수를 곱하는 것은 이 분수와 동일한 동일한 항의 합을 찾는 것을 의미한다는 것이 확립되었습니다.
두 경우 모두 곱셈은 동일한 항의 합을 찾는 것으로 구성되었습니다.
이제 우리는 정수에 분수를 곱하는 것으로 넘어갑니다. 여기서 우리는 예를 들어 곱셈: 9 2 / 3을 접하게 됩니다. 이 경우에는 곱셈의 이전 정의가 적용되지 않음이 분명합니다. 이는 같은 수를 더하는 것으로 그러한 곱셈을 대체할 수 없다는 사실에서 분명해집니다.
이 때문에 우리는 곱셈에 대한 새로운 정의를 제시해야 합니다. 즉, 분수 곱셈으로 무엇을 이해해야 하는지, 이 동작을 어떻게 이해해야 하는지에 대한 질문에 답해야 합니다.
정수에 분수를 곱하는 것의 의미는 다음 정의에서 분명해집니다. 정수(피승수)에 분수(피승수)를 곱한다는 것은 피승수의 이 분수를 찾는 것을 의미합니다.
즉, 9에 2/3을 곱하면 9개의 단위 중 2/3을 찾는다는 의미입니다. 이전 단락에서는 이러한 문제가 해결되었습니다. 그래서 우리가 6으로 끝날 것이라는 것을 쉽게 알 수 있습니다.
그러나 이제 흥미롭고 중요한 질문이 생깁니다. 왜 같은 수의 합을 구하고 숫자의 분수를 구하는 것과 같이 겉보기에 다른 연산을 산술에서 동일한 단어 "곱셈"으로 부르는 이유는 무엇입니까?
이는 이전 작업(단어로 숫자를 여러 번 반복)과 새 작업(숫자의 분수 찾기)이 동질적인 질문에 대한 답을 제공하기 때문에 발생합니다. 이는 동질적인 질문이나 작업이 동일한 조치로 해결된다는 고려 사항에서 여기서 진행된다는 것을 의미합니다.
이를 이해하려면 다음 문제를 고려하십시오. “천 1m의 가격은 50 루블입니다. 그런 천 4m의 가격은 얼마입니까?
이 문제는 루블 수(50)에 미터 수(4)를 곱하여 해결됩니다. 즉, 50 x 4 = 200(루블)입니다.
같은 문제를 생각해 봅시다. 그러나 천의 양은 분수로 표현됩니다. “천 1m의 가격은 50루블입니다. 그런 천 3/4m의 가격은 얼마입니까?”
이 문제는 또한 루블 수(50)에 미터 수(3/4)를 곱하여 해결해야 합니다.
문제의 의미를 바꾸지 않고 숫자를 여러 번 더 변경할 수 있습니다(예: 9/10m 또는 2 3/10m 등).
이러한 문제는 내용이 동일하고 숫자만 다르기 때문에 문제를 해결하는 데 사용되는 동작을 동일한 단어인 곱셈이라고 부릅니다.
정수에 분수를 어떻게 곱하나요?
마지막 문제에서 나온 숫자를 살펴보겠습니다.
정의에 따르면 50의 3/4을 찾아야 합니다. 먼저 50의 1/4을 찾은 다음 3/4을 찾습니다.
50의 1/4은 50/4입니다.
50의 3/4은 입니다.
따라서.
또 다른 예를 생각해 봅시다: 12 5 / 8 =?
12의 1/8은 12/8이고,
숫자 12의 5/8은 입니다.
따라서,
여기에서 우리는 규칙을 얻습니다:
정수에 분수를 곱하려면 정수에 분수의 분자를 곱하고 이 곱을 분자로 만들고 이 분수의 분모를 분모로 표시해야 합니다.
문자를 사용하여 이 규칙을 작성해 보겠습니다.
이 규칙을 완전히 명확하게 하려면 분수가 몫으로 간주될 수 있다는 점을 기억해야 합니다. 따라서 발견된 규칙을 § 38에 명시된 숫자에 몫을 곱하는 규칙과 비교하는 것이 유용합니다.
곱셈을 수행하기 전에 (가능하다면) 감소, 예를 들어:
4. 분수에 분수를 곱합니다.분수에 분수를 곱하는 것은 정수에 분수를 곱하는 것과 같은 의미입니다. 즉, 분수에 분수를 곱할 때 첫 번째 분수(피승수)에서 인수에 포함된 분수를 찾아야 합니다.
즉, 3/4에 1/2(절반)을 곱하면 3/4의 절반을 구한다는 의미입니다.
분수에 분수를 어떻게 곱하나요?
예를 들어보겠습니다: 3/4에 5/7을 곱합니다. 이는 3/4 중 5/7을 찾아야 함을 의미합니다. 먼저 3/4의 1/7을 찾은 다음 5/7을 구해 봅시다.
3/4의 1/7은 다음과 같이 표현됩니다.
5/7 숫자 3/4은 다음과 같이 표현됩니다.
따라서,
또 다른 예: 5/8에 4/9를 곱한 것입니다.
5/8의 1/9은 ,
5/8의 4/9는 입니다.
따라서, 
이러한 예에서 다음 규칙을 추론할 수 있습니다.
분수에 분수를 곱하려면 분자에 분자를, 분모에 분모를 곱하고 첫 번째 곱을 분자로, 두 번째 곱을 곱의 분모로 만들어야 합니다.
이 규칙은 다음과 같이 일반적인 형식으로 작성될 수 있습니다.
곱셈을 할 때는 (가능한 경우) 감소를 해야 합니다. 예를 살펴보겠습니다:
5. 대분수의 곱셈.대분수는 가분수로 쉽게 대체될 수 있으므로 이러한 상황은 대분수를 곱할 때 일반적으로 사용됩니다. 이는 피승수나 승수 또는 두 요소가 대분수로 표현되는 경우 가분수로 대체된다는 의미입니다. 예를 들어 대분수(2 1/2와 3 1/5)를 곱해 봅시다. 각각을 가분수로 바꾼 다음 분수에 분수를 곱하는 규칙에 따라 결과 분수를 곱해 보겠습니다.
규칙.대분수를 곱하려면 먼저 가분수로 변환한 다음 분수와 분수의 곱셈 규칙에 따라 곱해야 합니다.
메모.요소 중 하나가 정수인 경우 다음과 같이 분포 법칙에 따라 곱셈을 수행할 수 있습니다.
6. 관심의 개념.문제를 풀고 다양한 실제 계산을 수행할 때 우리는 온갖 종류의 분수를 사용합니다. 그러나 많은 양이 단지 임의의 분할을 허용하는 것이 아니라 자연스러운 분할을 허용한다는 점을 명심해야 합니다. 예를 들어, 루블의 100분의 1(1/100)을 가져오면 코펙이 되고, 200분의 1은 2코펙, 300분의 1은 3코펙이 됩니다. 루블의 1/10을 가져갈 수 있습니다. "10 코펙 또는 10 코펙 조각입니다. 루블의 1/4, 즉 25 코펙, 반 루블, 즉 50 코펙(50 코펙)을 가져갈 수 있습니다. 그러나 예를 들어 루블은 7분의 1로 나누어지지 않기 때문에 루블의 2/7은 실제로 사용되지 않습니다.
무게 단위(예: 킬로그램)는 주로 1/10kg 또는 100g과 같은 소수 나누기를 허용하며, 1/6, 1/11, 1/13과 같은 킬로그램 분수는 일반적이지 않습니다.
일반적으로 우리의 (미터법) 측정값은 소수이며 소수 나누기를 허용합니다.
그러나 동일한(균일한) 수량 분할 방법을 사용하는 것은 다양한 경우에 매우 유용하고 편리하다는 점에 유의해야 합니다. 수년간의 경험을 통해 그러한 정당한 구분이 "100분의 1"이라는 사실이 밝혀졌습니다. 인간 활동의 가장 다양한 영역과 관련된 몇 가지 예를 고려해 보겠습니다.
1. 도서 가격이 기존 가격의 12/100로 인하되었습니다.
예. 책의 이전 가격은 10 루블이었습니다. 1 루블 감소했습니다. 코펙 20개
2. 저축은행은 예금자에게 당해 연도 저축예금금액의 100분의 2를 지급한다.
예. 500 루블이 금전 등록기에 입금되며, 이 금액으로 인한 연간 수입은 10 루블입니다.
3. 한 학교의 졸업생 수는 전체 학생 수의 100분의 5로 한다.
예 그 학교에는 1,200명의 학생이 있었는데 그 중 60명이 졸업했습니다.
숫자의 100분의 1 부분을 백분율이라고 합니다..
"퍼센트"라는 단어는 라틴어에서 차용되었으며 어근 "센트"는 100을 의미합니다. 전치사(pro centum)와 함께 이 단어는 “100년 동안”을 의미합니다. 이 표현의 의미는 원래 고대 로마에서 이자는 채무자가 대출 기관에 “100분마다” 지불하는 돈에 부여된 이름이었다는 사실에서 유래합니다. "센트"라는 단어는 센트너(100킬로그램), 센티미터(예: 센티미터)와 같은 친숙한 단어로 들립니다.
예를 들어, 지난 한 달 동안 그 공장에서 생산한 모든 제품의 1/100에 결함이 있었다고 말하는 대신, 지난 한 달 동안 그 공장에서 1%의 결함이 발생했다고 말할 것입니다. 공장은 수립된 계획보다 4/100 더 많은 제품을 생산했다고 말하는 대신 공장이 계획을 4% 초과했다고 말할 것입니다.
위의 예는 다르게 표현될 수 있습니다:
1. 도서 가격이 기존 가격보다 12% 인하되었습니다.
2. 저축은행은 예금자에게 저축액에 대해 연간 2%를 지급합니다.
3. 한 학교의 졸업생 수는 전체 학교 학생의 5%였습니다.
문자를 줄이려면 "퍼센트"라는 단어 대신 % 기호를 쓰는 것이 일반적입니다.
그러나 계산에서 % 기호는 일반적으로 기록되지 않으며 문제 설명과 최종 결과에 기록될 수 있다는 점을 기억해야 합니다. 계산을 수행할 때 이 기호를 사용하여 정수 대신 분모가 100인 분수를 써야 합니다.
표시된 아이콘으로 정수를 분모가 100인 분수로 바꿀 수 있어야 합니다.
반대로, 분모가 100인 분수 대신 표시된 기호를 사용하여 정수를 작성하는 데 익숙해져야 합니다.
7. 주어진 숫자의 백분율을 구합니다.
작업 1.학교는 200입방미터를 받았습니다. m 장작, 자작나무 장작이 30%를 차지합니다. 자작나무 장작이 얼마나 있었나요?
이 문제의 의미는 학교에 전달된 장작 중 자작나무 장작이 일부만을 차지했으며, 이 부분이 30/100의 분수로 표현된다는 것입니다. 이는 숫자의 일부를 찾는 작업이 있음을 의미합니다. 이를 해결하려면 200에 30/100을 곱해야 합니다(숫자의 분수를 찾는 문제는 숫자에 분수를 곱하여 해결됩니다.).
이는 200의 30%가 60이라는 뜻입니다.
이 문제에서 발생하는 30/100의 분수는 10으로 줄어들 수 있습니다. 맨 처음부터 이 축소를 수행하는 것이 가능할 것입니다. 문제에 대한 해결책은 변하지 않았을 것입니다.
작업 2.캠프에는 다양한 연령대의 어린이 300명이 있었습니다. 11세 어린이는 21%, 12세 어린이는 61%, 마지막으로 13세 어린이는 18%를 차지했습니다. 캠프에는 각 연령대의 어린이가 몇 명이나 있었나요?
이 문제에서는 세 가지 계산을 수행해야 합니다. 즉, 11세, 12세, 마지막으로 13세 어린이의 수를 순차적으로 구합니다.
이는 여기서 숫자의 분수를 세 번 찾아야 함을 의미합니다. 해보자:
1) 11세 어린이는 몇 명이었습니까?
2) 12세 어린이는 몇 명 있었나요?
3) 13세 어린이는 몇 명 있었나요?
문제를 해결한 후 찾은 숫자를 추가하는 것이 유용합니다. 그 합은 300이어야 합니다:
63 + 183 + 54 = 300
또한 문제 설명에 주어진 백분율의 합은 100이라는 점에 유의해야 합니다.
21% + 61% + 18% = 100%
이는 캠프에 포함된 전체 아동 수를 100%로 간주했음을 의미합니다.
3일일일일일 3.근로자는 한 달에 1,200 루블을 받았습니다. 이 중 그는 음식에 65%, 아파트 및 난방에 6%, 가스, 전기 및 라디오에 4%, 문화적 필요에 10%, 저축에 15%를 지출했습니다. 문제에 표시된 요구 사항에 얼마나 많은 돈이 지출되었습니까?
이 문제를 해결하려면 1,200의 분수를 5번 구해야 합니다.
1) 식비에 얼마나 많은 돈을 썼나요? 문제는 이 비용이 총 수입의 65%, 즉 1,200의 65/100이라는 것입니다. 계산해 보겠습니다.
2) 난방시설이 갖춰진 아파트에 얼마를 지불하셨나요? 이전과 비슷하게 추론하여 다음 계산에 도달했습니다.
3) 가스, 전기, 라디오 비용을 얼마나 지불하셨나요?
4) 문화적 요구에 얼마나 많은 돈이 지출되었습니까?
5) 근로자는 얼마나 많은 돈을 저축했습니까?
확인하려면 이 5개 질문에서 찾은 숫자를 더하는 것이 유용합니다. 금액은 1,200 루블이어야합니다. 모든 수입은 100%로 간주되며, 이는 문제 설명에 제공된 백분율 숫자를 합산하여 쉽게 확인할 수 있습니다.
우리는 세 가지 문제를 해결했습니다. 이러한 문제는 다양한 문제(학교에 장작 배달, 다양한 연령대의 자녀 수, 근로자 비용)를 다루었음에도 불구하고 동일한 방식으로 해결되었습니다. 모든 문제에서 주어진 숫자의 몇 퍼센트를 찾아야 했기 때문에 이런 일이 일어났습니다.
§ 90. 분수의 나눗셈.
분수의 나눗셈을 공부하면서 다음 질문을 고려해 보겠습니다.
1. 정수를 정수로 나눕니다.
2. 분수를 정수로 나누기
3. 정수를 분수로 나누기.
4. 분수를 분수로 나누기.
5. 대분수의 나눗셈.
6. 주어진 분수에서 숫자 찾기.
7. 백분율로 숫자 찾기.
순차적으로 고려해 봅시다.
1. 정수를 정수로 나눕니다.
정수 섹션에서 설명한 것처럼 나눗셈은 두 요소(배제)와 이러한 요소 중 하나(제수)의 곱이 주어지면 다른 요소가 발견된다는 사실로 구성된 동작입니다.
정수 섹션에서 정수를 정수로 나누는 방법을 살펴보았습니다. 우리는 그곳에서 두 가지 나누기 사례를 만났습니다: 나머지가 없는 나누기, 즉 “전체”(150:10 = 15)와 나머지가 있는 나누기(100:9 = 11 및 나머지 1개)입니다. 따라서 정수 분야에서는 피제수가 항상 정수로 제수를 곱한 것이 아니기 때문에 정확한 나눗셈이 항상 가능한 것은 아니라고 말할 수 있습니다. 분수에 의한 곱셈을 도입한 후에는 정수를 나누는 모든 경우를 고려할 수 있습니다(0으로 나누는 것만 제외).
예를 들어, 7을 12로 나누면 12를 곱하면 7이 되는 숫자를 찾는다는 의미입니다. 7/12 12 = 7이기 때문에 이러한 숫자는 분수 7/12입니다. 또 다른 예: 14: 25 = 14 / 25, 왜냐하면 14 / 25 25 = 14이기 때문입니다.
따라서 정수를 정수로 나누려면 분자가 피제수와 같고 분모가 제수와 같은 분수를 만들어야 합니다.
2. 분수를 정수로 나누기.
분수 6/7을 3으로 나눕니다. 위에 주어진 나눗셈의 정의에 따라 여기에 곱(6/7)과 인수(3) 중 하나가 있습니다. 3을 곱하면 주어진 제품이 6/7이 되는 두 번째 요소를 찾아야 합니다. 당연히 이 제품보다 3배는 작아야 합니다. 이는 우리 앞에 주어진 과제가 6/7의 분수를 3배로 줄이는 것임을 의미합니다.
우리는 분자를 줄이거나 분모를 늘려서 분수를 줄일 수 있다는 것을 이미 알고 있습니다. 따라서 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
이 경우 분자 6은 3으로 나누어 떨어지므로 분자를 3배로 줄여야 합니다.
또 다른 예를 들어보겠습니다: 5 / 8을 2로 나눈 값입니다. 여기서 분자 5는 2로 나누어지지 않습니다. 즉, 분모에 이 숫자를 곱해야 함을 의미합니다.
이를 바탕으로 다음과 같은 규칙을 만들 수 있습니다. 분수를 정수로 나누려면 분수의 분자를 해당 정수로 나누어야 합니다.(가능하다면), 같은 분모를 남기거나, 분수의 분모에 이 숫자를 곱하여 같은 분자를 남겨두세요.
3. 정수를 분수로 나누기.
5를 1/2로 나누어야 합니다. 즉, 1/2을 곱한 후 곱이 5가 되는 숫자를 찾아야 합니다. 분명히 이 숫자는 1/2이 진분수이므로 5보다 커야 합니다. , 그리고 숫자를 곱할 때 진분수의 곱은 곱해지는 곱보다 작아야 합니다. 이를 더 명확하게 하기 위해 우리의 작업을 다음과 같이 작성해 보겠습니다. 5: 1 / 2 = 엑스 , 이는 x 1/2 = 5를 의미합니다.
우리는 그런 숫자를 찾아야 해 엑스 , 1/2을 곱하면 5가 됩니다. 특정 숫자에 1/2을 곱하면 이 숫자의 1/2을 찾는 것이므로 알 수 없는 숫자의 1/2이 됩니다. 엑스 은 5와 같고 정수는 엑스 두 배, 즉 5 2 = 10입니다.
따라서 5: 1 / 2 = 5 2 = 10
점검 해보자: 
또 다른 예를 살펴보겠습니다. 6을 2/3으로 나누고 싶다고 가정해 보겠습니다. 먼저 그림을 사용하여 원하는 결과를 찾아보겠습니다(그림 19).
그림 19
6개 단위에 해당하는 세그먼트 AB를 그리고 각 단위를 3개의 동일한 부분으로 나눕니다. 각 단위에서 전체 세그먼트 AB의 3/3(3/3)은 6배 더 큽니다. 예. 18/3. 작은 괄호를 사용하여 2개의 결과 세그먼트 18개를 연결합니다. 9개의 세그먼트만 있을 것입니다. 이는 분수 2/3이 6개 단위에 9번 포함된다는 의미입니다. 즉, 분수 2/3이 6개 전체 단위보다 9배 적다는 뜻입니다. 따라서,
도면 없이 계산만 사용하여 이 결과를 얻는 방법은 무엇입니까? 다음과 같이 추론해 봅시다. 6을 2/3으로 나누어야 합니다. 즉, 6에 2/3이 몇 번 포함되는지 질문에 대답해야 합니다. 먼저 알아봅시다: 6에 1/3이 몇 번 포함됩니까? 전체 단위에는 3/3이 있고, 6개 단위에는 6배, 즉 18/3이 있습니다. 이 숫자를 찾으려면 6에 3을 곱해야 합니다. 이는 1/3이 b 단위에 18번 포함되고 2/3이 b 단위에 18번이 아니라 절반의 횟수, 즉 18:2 = 9에 포함된다는 의미입니다. . 따라서 6을 2/3로 나눌 때 다음과 같이 했습니다.
여기에서 우리는 정수를 분수로 나누는 규칙을 얻습니다. 정수를 분수로 나누려면 이 정수에 주어진 분수의 분모를 곱하고 이 곱을 분자로 만들어 주어진 분수의 분자로 나누어야 합니다.
문자를 사용하여 규칙을 작성해 보겠습니다.
이 규칙을 완전히 명확하게 하려면 분수가 몫으로 간주될 수 있다는 점을 기억해야 합니다. 따라서 발견된 규칙을 § 38에 명시된 숫자를 몫으로 나누는 규칙과 비교하는 것이 유용합니다. 거기에서도 동일한 공식이 얻어졌습니다.
나눌 때 다음과 같이 약어를 사용할 수 있습니다.
4. 분수를 분수로 나누기.
3/4을 3/8로 나누어야 한다고 가정해 보겠습니다. 나눗셈으로 얻은 숫자는 무엇을 의미하나요? 분수 3/8이 분수 3/4에 몇 번 포함되는지에 대한 질문에 답합니다. 이 문제를 이해하기 위해 그림을 그려보겠습니다(그림 20).
세그먼트 AB를 하나로 묶어서 4개의 동일한 부분으로 나누고 해당 부분 3개를 표시해 봅시다. 세그먼트 AC는 세그먼트 AB의 3/4과 같습니다. 이제 4개의 원래 세그먼트를 각각 반으로 나누면 세그먼트 AB가 8개의 동일한 부분으로 나누어지고 각 부분은 세그먼트 AB의 1/8과 같습니다. 3개의 세그먼트를 호로 연결하면 AD와 DC의 각 세그먼트는 AB 세그먼트의 3/8과 같습니다. 그림은 3/8에 해당하는 세그먼트가 정확히 2번 3/4에 해당하는 세그먼트에 포함되어 있음을 보여줍니다. 즉, 나눗셈의 결과는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
3 / 4: 3 / 8 = 2
또 다른 예를 살펴보겠습니다. 15/16을 3/32로 나누어야 한다고 가정해 보겠습니다.
우리는 다음과 같이 추론할 수 있습니다. 3/32를 곱하면 15/16이 되는 숫자를 찾아야 합니다. 다음과 같이 계산을 작성해 보겠습니다.
15 / 16: 3 / 32 = 엑스
3 / 32 엑스 = 15 / 16
3/32 알 수 없는 번호 엑스 15/16입니다
알 수 없는 숫자의 1/32 엑스 이다 ,
32 / 32개 숫자 엑스 조립 .
따라서,
따라서 분수를 분수로 나누려면 첫 번째 분수의 분자에 두 번째 분수의 분모를 곱하고, 첫 번째 분수의 분모에 두 번째 분수의 분자를 곱하여 첫 번째 곱을 분자로 만들어야 합니다. 두 번째는 분모입니다.
문자를 사용하여 규칙을 작성해 보겠습니다.
나눌 때 다음과 같이 약어를 사용할 수 있습니다.
5. 대분수의 나눗셈.
대분수를 나눌 때는 먼저 가분수로 변환한 다음 결과 분수를 분수 나누기 규칙에 따라 나누어야 합니다. 예를 살펴보겠습니다:
대분수를 가분수로 변환해 보겠습니다.
이제 나누자:
따라서 대분수를 나누려면 가분수로 변환한 후 분수 나누기 규칙을 사용하여 나누어야 합니다.
6. 주어진 분수에서 숫자 찾기.
다양한 분수 문제 중에는 알 수 없는 숫자의 일부 분수의 값이 주어지고 이 숫자를 찾아야 하는 경우가 있습니다. 이러한 유형의 문제는 주어진 숫자의 분수를 찾는 문제의 반대입니다. 거기에는 숫자가 주어졌고 이 숫자의 일부분을 찾아야 했습니다. 여기서는 숫자의 일부분이 주어졌고 이 숫자 자체를 찾아야 했습니다. 이러한 유형의 문제를 해결해 보면 이 아이디어는 더욱 명확해질 것입니다.
작업 1.첫날, 유리창은 지어진 집 전체 창문의 1/3에 해당하는 50개의 창문에 유리를 발랐습니다. 이 집에는 창문이 몇 개 있나요?
해결책.문제는 50개의 유리창이 집 전체 창문의 1/3을 차지한다는 것입니다. 이는 총 창문이 3배 더 많다는 것을 의미합니다.
그 집에는 150개의 창문이 있었습니다.
작업 2.이 매장에서는 밀가루 1,500kg을 판매했는데, 이는 매장 전체 밀가루 재고량의 3/8에 해당합니다. 그 가게의 초기 밀가루 공급량은 얼마였습니까?
해결책.문제의 조건으로 볼 때 판매된 밀가루 1,500kg이 전체 재고량의 3/8을 차지한다는 것이 분명합니다. 이는 이 예비금의 1/8이 3배 적어진다는 것을 의미합니다. 즉, 이를 계산하려면 1500을 3배 줄여야 합니다.
1,500: 3 = 500(예비량의 1/8).
분명히 전체 공급량은 8배 더 커질 것입니다. 따라서,
500 8 = 4,000(kg).
매장의 초기 밀가루 재고는 4,000kg이었습니다.
이 문제를 고려하면 다음과 같은 법칙이 도출될 수 있다.
주어진 분수 값에서 숫자를 찾으려면 이 값을 분수의 분자로 나누고 그 결과에 분수의 분모를 곱하면 충분합니다.
우리는 분수가 주어진 숫자를 찾는 두 가지 문제를 해결했습니다. 마지막 문제에서 특히 명확하게 볼 수 있듯이 이러한 문제는 나눗셈(한 부분을 찾은 경우)과 곱셈(정수를 찾은 경우)의 두 가지 작업으로 해결됩니다.
그러나 분수의 나눗셈을 배운 후에는 위의 문제를 한 번의 동작, 즉 분수로 나누는 것으로 해결할 수 있습니다.
예를 들어, 마지막 작업은 다음과 같은 한 가지 작업으로 해결할 수 있습니다.
앞으로 우리는 한 번의 작업, 즉 나눗셈을 통해 분수에서 숫자를 찾는 문제를 해결할 것입니다.
7. 백분율로 숫자 찾기.
이 문제에서는 해당 숫자의 몇 퍼센트를 알고 있는 숫자를 찾아야 합니다.
작업 1.올해 초에 나는 저축은행으로부터 60루블을 받았습니다. 1년 전에 저축한 금액에서 발생한 수입입니다. 나는 저축은행에 얼마나 많은 돈을 넣어두었나요? (현금 데스크는 예금자에게 연간 2%의 수익을 제공합니다.)
문제는 저축은행에 일정 금액을 넣어두고 1년 동안 머물렀다는 점이다. 1년 후 나는 그녀로부터 60루블을 받았습니다. 수입은 내가 예금한 돈의 2/100입니다. 내가 돈을 얼마나 넣었지?
결과적으로, 두 가지 방식(루블과 분수)으로 표현된 이 돈의 일부를 알면 아직 알려지지 않은 전체 금액을 찾아야 합니다. 이것은 분수가 주어진 숫자를 찾는 일반적인 문제입니다. 분할을 통해 다음 문제가 해결됩니다.
이는 3,000 루블이 저축 은행에 예치되었음을 의미합니다.
작업 2.어부들은 2주 만에 월간 계획의 64%를 달성하여 512톤의 물고기를 수확했습니다. 그들의 계획은 무엇이었나요?
문제의 상황으로 볼 때 어부들이 계획의 일부를 완료한 것으로 알려져 있습니다. 이 부분은 계획의 64%인 512톤에 해당한다. 계획에 따라 얼마나 많은 물고기를 준비해야 하는지 우리는 모릅니다. 이 번호를 찾는 것이 문제의 해결책이 될 것입니다.
이러한 문제는 부서별로 해결됩니다.
이는 계획에 따르면 800톤의 생선을 준비해야 함을 의미합니다.
작업 3.기차는 리가에서 모스크바로 갔다. 276km를 통과했을 때 승객 중 한 명이 지나가는 차장에게 이미 얼마나 많은 여행을 했는지 물었습니다. 이에 차장은 “우리는 이미 전체 여행의 30%를 여행했습니다”라고 대답했습니다. 리가에서 모스크바까지의 거리는 얼마입니까?
문제 조건으로 볼 때 리가에서 모스크바까지의 경로 중 30%가 276km라는 것이 분명합니다. 우리는 이 도시들 사이의 전체 거리를 찾아야 합니다. 즉, 이 부분에 대해 전체를 찾아야 합니다.
§ 91. 역수. 나눗셈을 곱셈으로 대체합니다.
분수 2/3을 취하고 분모 대신 분자를 바꾸면 3/2가 됩니다. 우리는 이 분수의 역수를 얻었습니다.
주어진 분수의 역수를 얻으려면 분모 대신 분자를, 분자 대신 분모를 넣어야 합니다. 이런 식으로 우리는 어떤 분수의 역수를 얻을 수 있습니다. 예를 들어:
3/4, 역방향 4/3; 5/6, 역방향 6/5
첫 번째의 분자가 두 번째의 분모이고, 첫 번째의 분모가 두 번째의 분자라는 성질을 갖는 두 개의 분수를 호출합니다. 서로 반대.
이제 1/2의 역수가 어떤 분수인지 생각해 봅시다. 분명히 그것은 2/1이거나 단지 2일 것입니다. 주어진 것의 역분수를 찾아서 우리는 정수를 얻었습니다. 그리고 이 사건은 고립된 것이 아닙니다. 반대로 분자가 1인 모든 분수의 경우 역수는 정수가 됩니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
1/3, 역방향 3; 1/5, 역방향 5
역분수를 찾을 때 정수도 만났기 때문에 다음에서는 역분수에 대해 이야기하지 않고 역수에 대해 이야기하겠습니다.
정수의 역수를 쓰는 방법을 알아봅시다. 분수의 경우 간단히 해결할 수 있습니다. 분자 자리에 분모를 넣어야 합니다. 같은 방법으로 정수의 역수를 구할 수 있습니다. 모든 정수는 분모가 1일 수 있기 때문입니다. 이는 7 = 7/1이므로 7의 역수는 1/7이 된다는 의미입니다. 숫자 10의 경우 10 = 10/1이므로 그 역수는 1/10이 됩니다.
이 아이디어는 다르게 표현될 수 있습니다. 주어진 숫자의 역수는 1을 주어진 숫자로 나누어 얻습니다.. 이 진술은 정수뿐만 아니라 분수에도 해당됩니다. 사실, 분수 5/9의 역수를 써야 한다면, 1을 취해 5/9로 나눌 수 있습니다.
이제 한 가지를 지적해보자. 재산우리에게 유용할 역수: 역수의 곱은 1과 같습니다.물론:
이 속성을 사용하면 다음과 같은 방법으로 역수를 찾을 수 있습니다. 8의 역수를 구해야 한다고 가정해 보겠습니다.
문자로 나타내자 엑스 , 그다음 8 엑스 = 1, 따라서 엑스 = 1/8. 7/12의 역수인 다른 숫자를 찾아 문자로 표시해 봅시다. 엑스 , 그 다음 7월 12일 엑스 = 1, 따라서 엑스 = 1: 7 / 12 또는 엑스 = 12 / 7 .
여기서는 분수 나누기에 대한 정보를 약간 보충하기 위해 역수의 개념을 도입했습니다.
숫자 6을 3/5로 나누면 다음과 같습니다.
표현식에 특별한 주의를 기울이고 주어진 표현식과 비교하십시오: .
이전 표현식과 연결하지 않고 표현식을 별도로 취하면 6을 3/5로 나누거나 6을 5/3로 곱하는 것에서 그것이 어디에서 왔는지에 대한 질문을 해결하는 것이 불가능합니다. 두 경우 모두 같은 일이 발생합니다. 그러므로 우리는 다음과 같이 말할 수 있습니다. 한 숫자를 다른 숫자로 나누는 것은 피제수에 제수의 역수를 곱함으로써 대체될 수 있습니다.
아래에 제공되는 예는 이러한 결론을 완전히 확인시켜줍니다.
