사인과 코사인을 사용한 연산. 삼각 함수를 찾는 규칙: 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트

24.09.2019

직각삼각형 풀이 문제를 고찰할 때 사인과 코사인의 정의를 암기하는 기술을 제시하겠다고 약속했습니다. 이를 사용하면 어느 쪽이 빗변에 속하는지(인접 또는 반대) 항상 빠르게 기억할 수 있습니다. 오랫동안 미루지 않기로 했는데요, 필요한 자료는 아래 있으니 꼭 읽어주세요😉

사실 저는 10-11학년 학생들이 이러한 정의를 기억하는 데 어려움을 겪는 것을 반복해서 관찰했습니다. 그들은 다리가 빗변을 의미한다는 것을 아주 잘 기억합니다.- 그들은 잊어버리고 혼란스러운. 시험에서 알 수 있듯이 실수의 대가는 상실점입니다.

제가 직접 제시하는 정보는 수학과 관련이 없습니다. 그것은 비 유적 사고 및 언어-논리적 의사 소통 방법과 관련이 있습니다. 그게 바로 내가 기억하는 방식이야, 영원히정의 데이터. 잊어버린 경우 제시된 기술을 사용하여 언제든지 쉽게 기억할 수 있습니다.

직각 삼각형에서 사인과 코사인의 정의를 상기시켜 드리겠습니다.

코사인직각 삼각형의 예각은 빗변에 대한 인접한 다리의 비율입니다.

공동직각 삼각형의 예각은 빗변에 대한 대변의 비율입니다.

그렇다면 코사인이라는 단어와 어떤 연관성이 있습니까?

아마 다들 자기만의 것이 있을 거예요 😉링크를 기억하세요:

따라서 그 표현은 즉시 당신의 기억 속에 나타날 것입니다.

«… 빗변에 대한 ADJACENT 다리의 비율».

코사인을 결정하는 문제가 해결되었습니다.

직각삼각형에서 사인의 정의를 기억하고 코사인의 정의를 기억해야 한다면 직각삼각형의 예각의 사인이 빗변에 대한 대변의 비율이라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 결국 다리는 두 개뿐입니다. 인접한 다리가 코사인으로 "점유"되면 반대쪽 다리만 사인으로 남습니다.

탄젠트와 코탄젠트는 어떻습니까? 혼란은 똑같습니다. 학생들은 이것이 다리의 관계라는 것을 알고 있지만 문제는 어느 쪽이 어느 쪽을 가리키는지, 즉 인접한 쪽의 반대쪽인지 아니면 그 반대인지 기억하는 것입니다.

정의:

접선직각 삼각형의 예각은 반대쪽과 인접한 쪽의 비율입니다.

코탄젠트직각 삼각형의 예각은 인접한 변과 대변의 비율입니다.

기억하는 방법? 두 가지 방법이 있습니다. 하나는 언어-논리적 연결을 사용하고 다른 하나는 수학적 연결을 사용합니다.

수학적 방법

그러한 정의가 있습니다 - 예각의 탄젠트는 각도의 사인과 코사인의 비율입니다.

*공식을 외우면 직각삼각형의 예각의 탄젠트가 대변과 인접변의 비율이라는 것을 항상 알 수 있습니다.

비슷하게.예각의 코탄젠트는 각도의 코사인과 사인의 비율입니다.

그래서! 이러한 공식을 기억하면 다음 사항을 항상 확인할 수 있습니다.

- 직각 삼각형의 예각의 탄젠트는 반대쪽과 인접한 쪽의 비율입니다.

- 직각삼각형의 예각의 코탄젠트는 인접한 변과 반대쪽의 비율입니다.

단어-논리적 방법

탄젠트에 대해서. 링크를 기억하세요:

즉, 접선의 정의를 기억해야 할 경우 이러한 논리적 연결을 이용하면 접선이 무엇인지 쉽게 기억할 수 있습니다.

"...인접한 변에 대한 반대쪽의 비율"

코탄젠트에 대해 이야기하면 탄젠트의 정의를 기억하면 코탄젠트의 정의를 쉽게 말할 수 있습니다.

“...인접한 면과 반대쪽의 비율”

웹사이트에는 탄젠트와 코탄젠트를 기억하는 흥미로운 방법이 있습니다. " 수학적 탠덤 " , 바라보다.

보편적인 방법

그냥 외워두시면 됩니다.그러나 실습에서 알 수 있듯이 언어-논리적 연결 덕분에 사람은 수학적 정보뿐만 아니라 오랫동안 정보를 기억합니다.

자료가 귀하에게 도움이 되었기를 바랍니다.

감사합니다, Alexander Krutitskikh

추신: 소셜 네트워크 사이트에 대해 알려주시면 감사하겠습니다.

원점을 중심으로 단위원을 구성하고 인수에 임의의 값을 설정하면 x 0축에서 계산 황소모서리 엑스 0, 그러면 단위원의 이 각도는 특정 점에 해당합니다. ㅏ(그림 1) 축에 대한 투영 오점이 있을 겁니다 중. 단면 길이 옴점의 가로좌표의 절대값과 같습니다. ㅏ. 주어진 인수 값 x 0함수 값이 매핑되었습니다. 와이=코사인 엑스 0 가로좌표처럼 ㅏ. 이에 따라 포인트 안에(엑스 0 ;~에 0) 함수의 그래프에 속한다 ~에=코사인 엑스(그림 2). 요점이라면 ㅏ축의 오른쪽에 있습니다 OU, 현재 사인은 양수이지만 왼쪽이면 음수가 됩니다. 하지만 어쨌든 기간 ㅏ서클을 떠날 수 없습니다. 따라서 코사인은 –1에서 1 사이의 범위에 있습니다.

-1 = 왜냐하면 엑스 = 1.

임의의 각도에서 추가 회전, 2의 배수 피, 반환점 ㅏ같은 곳으로. 따라서 기능 와이 =코사인 엑스피:

코사인( 엑스+ 2피) = 왜냐하면 엑스.

절대값은 같지만 부호가 반대인 두 가지 인수 값을 취하면, 엑스그리고 - 엑스, 원에서 대응점을 찾아보세요 엑스그리고 A-x. 그림에서 볼 수 있듯이. 삼 축에 대한 투영 오같은 점이다 중. 그렇기 때문에

코사인(- 엑스) = 왜냐하면 ( 엑스),

저것들. 코사인은 짝수 함수입니다. 에프(–엑스) = 에프(엑스).

이는 함수의 속성을 탐색할 수 있음을 의미합니다. 와이=코사인 엑스세그먼트에 , 그런 다음 패리티와 주기성을 고려합니다.

~에 엑스= 0점 ㅏ축에 놓여있다 오, 가로좌표는 1이므로 cos 0 = 1입니다. 엑스점 ㅏ원 주위를 위쪽 및 왼쪽으로 이동하면 자연스럽게 투영은 왼쪽으로만 이루어지며 x = 피/2 코사인은 0이 됩니다. 포인트 ㅏ이 순간 최대 높이까지 상승한 다음 계속 왼쪽으로 이동하지만 이미 하강하고 있습니다. 가로좌표는 -1과 같은 가장 작은 값에 도달할 때까지 감소합니다. 엑스= 피. 따라서 간격에 따라 함수는 ~에=코사인 엑스 1에서 –1까지 단조롭게 감소합니다(그림 4, 5).

코사인의 패리티로부터 간격 [- 피, 0] 함수는 –1에서 1까지 단조롭게 증가하며, 에서 0 값을 취합니다. x =–피/2. 여러 기간을 거치면 물결 모양의 곡선이 나타납니다(그림 6).

그래서 기능은 와이=코사인 엑스포인트에서 0 값을 취합니다. 엑스= 피/2 + kp, 어디 케이 -임의의 정수. 1과 동일한 최대값은 포인트에서 달성됩니다. 엑스= 2kp, 즉. 2단계로 피, 최소값은 지점에서 -1과 같습니다. 엑스= 피 + 2kp.

함수 y = 죄 x.

단위원 코너에 엑스 0은 점에 해당합니다. ㅏ(그림 7), 축에 대한 투영 OU점이 있을 겁니다 N.지함수값 와이 0 =죄 x 0점의 세로좌표로 정의됨 ㅏ. 점 안에(모서리 엑스 0 ,~에 0) 함수의 그래프에 속한다 와이= 죄 엑스(그림 8). 그 기능은 분명하다. 와이 =죄 엑스주기적, 해당 기간은 2입니다. 피:

죄( 엑스+ 2피) = 죄 ( 엑스).

두 인수 값의 경우 엑스그리고 - , 해당 지점의 투영 엑스그리고 A-x축당 OU점을 기준으로 대칭으로 위치 에 대한. 그렇기 때문에

죄(- 엑스) = -죄 ( 엑스),

저것들. 사인은 홀수 함수입니다. f(- 엑스) = -f( 엑스) (그림 9).

요점이라면 ㅏ점을 기준으로 회전 에 대한비스듬히 피/2 시계 반대 방향(즉, 각도가 엑스증가하다 피/2), 새 위치의 세로 좌표는 이전 위치의 세로 좌표와 같습니다. 즉

죄( 엑스+ 피/2) = 왜냐하면 엑스.

그렇지 않으면 사인은 다음과 같이 "늦은" 코사인이 됩니다. 피/2, 인수가 다음과 같이 증가하면 모든 코사인 값은 사인에서 "반복"되기 때문입니다. 피/2. 그리고 사인 그래프를 만들려면 코사인 그래프를 다음만큼 이동하는 것으로 충분합니다. 피/2 오른쪽 (그림 10). 사인의 매우 중요한 속성은 등식으로 표현됩니다.

평등의 기하학적 의미는 그림에서 볼 수 있습니다. 11. 여기 엑스 -이것은 반 호입니다 AB, 죄 엑스 -해당 코드의 절반. 확실히 포인트가 가까워질수록 ㅏ그리고 안에현의 길이는 점점 호의 길이에 가까워지고 있습니다. 동일한 그림에서 부등식을 도출하는 것은 쉽습니다.

|죄 엑스| x|, 모든 경우에 해당 엑스.

수학자들은 공식(*)을 놀라운 한계라고 부릅니다. 특히 그로부터 다음과 같은 죄가 나온다. 엑스» 엑스작게 엑스.

기능 ~에= TG 엑스, 와이=ctg 엑스. 다른 두 삼각함수인 탄젠트와 코탄젠트는 이미 우리에게 알려진 사인과 코사인의 비율로 가장 쉽게 정의됩니다.

사인, 코사인과 마찬가지로 탄젠트와 코탄젠트는 주기 함수이지만 주기는 동일합니다. 피, 즉. 사인과 코사인의 절반 크기입니다. 그 이유는 분명합니다. 사인과 코사인이 모두 부호를 변경하면 비율은 변경되지 않습니다.

탄젠트의 분모에는 코사인이 포함되어 있으므로 코사인이 0인 지점에서는 탄젠트가 정의되지 않습니다. 엑스= 피/2 +kp. 다른 모든 지점에서는 단조롭게 증가합니다. 직접 엑스= 피/2 + kp접선의 경우 수직 점근선입니다. 포인트에서 kp접선과 기울기는 각각 0과 1입니다(그림 12).

코탄젠트는 사인이 0인 경우 정의되지 않습니다( x = kp). 다른 지점에서는 단조롭게 감소하고 직선 x = kp – 수직 점근선. 포인트에서 x = p/2 +kp코탄젠트는 0이 되고, 이 지점에서의 기울기는 –1과 같습니다(그림 13).

패리티와 주기성.

함수는 다음과 같은 경우에도 호출됩니다. 에프(–엑스) = 에프(엑스). 코사인 및 시컨트 함수는 짝수이고 사인, 탄젠트, 코탄젠트 및 코시컨트 함수는 홀수입니다.

죄(–α) = – 죄 α	탄(–α) = – 탄 α
cos (–α) = cos α	ctg (–α) = – ctg α
초(–α) = 초 α	코초 (–α) = – 코초 α

패리티 속성은 점의 대칭을 따릅니다. 피와 아르 자형-ㅏ (그림 14) 축을 기준으로 엑스. 이러한 대칭으로 인해 점의 세로 좌표는 부호(( 엑스;~에) 로 이동 ( 엑스; –у)). 모든 함수 - 주기, 사인, 코사인, 시컨트 및 코시컨트의 주기는 2입니다. 피, 탄젠트와 코탄젠트 - 피:

죄 (α + 2 크르) = 죄 α	cos(α+2 크르) = cosα
tg(α+ 크르) = 탄 α	유아용침대(α+ 크르) = 코그 α
초(α + 2 크르) = 초 α	코섹(α+2 크르) = 코초 α

사인과 코사인의 주기성은 모든 점이 피 a+2 kp, 어디 케이= 0, ±1, ±2,…, 일치하며 탄젠트와 코탄젠트의 주기성은 점들이 피에이+ kp교대로 원의 정반대 두 점으로 떨어지며 접선 축에 동일한 점을 제공합니다.

삼각 함수의 주요 속성은 표로 요약할 수 있습니다.

기능	도메인	여러 의미	동등	단조로운 영역 ( 케이= 0, ± 1, ± 2,…)
죄 엑스	–Ґ x Ґ	[–1, +1]	이상한	증가하다 엑스오((4 케이 – 1) 피 /2, (4케이 + 1) 피/2), 감소 엑스오((4 케이 + 1) 피 /2, (4케이 + 3) 피/2)
코사인 엑스	–Ґ x Ґ	[–1, +1]	심지어	다음으로 증가 엑스오((2 케이 – 1) 피, 2kp), 감소 엑스오(2 kp, (2케이 + 1) 피)
tg 엑스	엑스 № 피/2 + 피케이	(–Ґ , +Ґ )	이상한	증가하다 엑스오((2 케이 – 1) 피 /2, (2케이 + 1) 피 /2)
CTG 엑스	엑스 № 피케이	(–Ґ , +Ґ )	이상한	감소하다 엑스에 대한 ( kp, (케이 + 1) 피)
비서 엑스	엑스 № 피/2 + 피케이	(–Ґ , –1] AND [+1, +Ґ )	심지어	다음으로 증가 엑스오(2 kp, (2케이 + 1) 피), 감소 엑스오((2 케이– 1) 피, 2 kp)
코섹 엑스	엑스 № 피케이	(–Ґ , –1] AND [+1, +Ґ )	이상한	증가하다 엑스오((4 케이 + 1) 피 /2, (4케이 + 3) 피/2), 감소 엑스오((4 케이 – 1) 피 /2, (4케이 + 1) 피 /2)

감소 공식.

이 공식에 따르면 인수 a의 삼각 함수 값은 다음과 같습니다. 피/2 a p 는 인수 함수 a 의 값으로 축소될 수 있습니다. 여기서 0 a p /2는 동일하거나 상보적입니다.

인수 b	-ㅏ	+ 에	피-ㅏ	피+ 에	+ 에	+ 에	2피-ㅏ
죄 b	왜냐하면	왜냐하면	죄를 짓다	-죄	-코사인	-코사인	-죄
왜냐하면 B	죄를 짓다	-죄	-코사인	-코사인	-죄	죄를 짓다	왜냐하면

따라서 삼각 함수 표에는 예각에 대해서만 값이 제공되며 예를 들어 사인 및 탄젠트로 제한하는 것으로 충분합니다. 표에는 사인과 코사인에 대해 가장 일반적으로 사용되는 공식만 표시되어 있습니다. 이것으로부터 탄젠트와 코탄젠트에 대한 공식을 쉽게 얻을 수 있습니다. 형식의 인수에서 함수를 캐스팅할 때 kp/2 ± a, 여기서 케이– 인수 a의 함수에 대한 정수:

1) 다음과 같은 경우 함수 이름이 저장됩니다. 케이다음과 같은 경우 "보완적"으로 변경됩니다. 케이이상한;

2) 오른쪽의 부호는 해당 지점의 환원 함수 부호와 일치합니다. kp각도 a가 예각이면 /2 ± a입니다.

예를 들어 ctg(a – 피/2) 우리는 – 피/2 at 0 a p /2는 코탄젠트가 음수인 네 번째 사분면에 있으며, 규칙 1에 따라 함수 이름을 ctg(a – 피/2) = -tg a .

추가 공식.

여러 각도에 대한 공식.

이 공식은 덧셈 공식에서 직접 파생됩니다.

죄 2a = 2 죄 a cos a ;

cos 2a = cos 2 a – 죄 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 죄 2 a ;

죄 3a = 3 죄 a – 4 죄 3 a ;

cos 3a = 4 cos 3a – 3 cos a ;

cos 3a의 공식은 François Viète가 삼차 방정식을 풀 때 사용했습니다. 그는 cos에 대한 표현을 처음으로 발견했습니다. N와 죄 N a는 나중에 Moivre의 공식에서 더 간단한 방법으로 얻어졌습니다.

이중 인수 수식에서 a를 /2로 바꾸면 반각 수식으로 변환될 수 있습니다.

범용 대체 공식.

이러한 공식을 사용하면 동일한 인수의 다른 삼각 함수와 관련된 표현식을 단일 함수 tg(a /2)의 유리식으로 다시 작성할 수 있으며, 이는 일부 방정식을 풀 때 유용할 수 있습니다.

합계를 곱으로, 곱을 합계로 변환하는 공식입니다.

컴퓨터가 출현하기 전에는 이러한 공식을 사용하여 계산을 단순화했습니다. 계산은 로그 테이블을 사용하여 수행되었으며 나중에는 슬라이드 규칙을 사용했습니다. 로그는 숫자를 곱하는 데 가장 적합하므로 원래의 모든 표현식은 로그화에 편리한 형식으로 만들어졌습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

2 죄 ㅏ죄 b = cos ( a–b) – 왜냐하면 ( a+b);

2cos ㅏ코사인 비=코사인( a–b) + 왜냐하면 ( a+b);

2 죄 ㅏ코사인 비= 죄 ( a–b) + 죄 ( a+b).

탄젠트 및 코탄젠트 함수에 대한 공식은 위에서 얻을 수 있습니다.

학위 감소 공식.

다중 인수 공식에서 다음 공식이 파생됩니다.

죄 2 a = (1 – cos 2a)/2;	cos 2a = (1 + cos 2a )/2;
죄 3a = (3 죄 a – 죄 3a)/4;	왜냐하면 3A = (3코사인 a + 왜냐하면 3가)/4.

이러한 공식을 사용하면 삼각 방정식을 더 낮은 방정식으로 줄일 수 있습니다. 같은 방식으로 사인과 코사인의 더 높은 거듭제곱에 대한 감소 공식을 유도할 수 있습니다.

삼각함수의 미분과 적분
(죄 엑스)` = 왜냐하면 엑스;	(코사인 엑스)` = -죄 엑스;
(tg 엑스)` = ;	(ctg 엑스)` = – ;
죄를 짓지 않는다 xdx= -cos 엑스 + 씨;	왜냐하면 xdx= 죄 엑스 + 씨;
t tg xdx= –ln\|코사인 엑스\| + 씨;	tctg xdx = ln\|죄 엑스\| + 씨;

정의 영역의 각 지점에서 각 삼각 함수는 연속적이고 무한히 미분 가능합니다. 또한, 삼각함수의 미분은 삼각함수이며, 적분하면 삼각함수 또는 그 로그도 구해진다. 삼각 함수의 합리적인 조합의 적분은 항상 기본 함수입니다.

멱급수와 무한곱의 형태로 삼각함수를 표현합니다.

모든 삼각함수는 멱급수로 확장될 수 있습니다. 이 경우 함수 sin 엑스비코스 엑스행으로 표시됩니다. 모든 값에 대해 수렴 엑스:

이 계열을 사용하여 죄에 대한 대략적인 표현을 얻을 수 있습니다. 엑스그리고 왜냐하면 엑스작은 값으로 엑스:

에 | 엑스| p/2;

0x에서| 피

(비 n – 베르누이 수).

죄 기능 엑스그리고 왜냐하면 엑스무한한 곱의 형태로 표현될 수 있다:

삼각법 시스템 1, cos 엑스,죄 엑스, 왜냐하면 2 엑스, 죄 2 엑스,¼,cos nx,죄 nx, ¼, 세그먼트에 형성 [- 피, 피] 함수의 직교 시스템으로, 함수를 삼각 급수 형태로 표현하는 것이 가능합니다.

복소 평면에 대한 실수 인수의 해당 삼각 함수의 분석적 연속으로 정의됩니다. 응, 죄야 지그리고 왜냐하면 지죄에 대한 계열을 사용하여 정의할 수 있습니다. 엑스그리고 왜냐하면 엑스, 대신에 엑스놓다 지:

이 급수는 평면 전체에 걸쳐 수렴하므로 죄 지그리고 왜냐하면 지- 전체 기능.

탄젠트와 코탄젠트는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

tg 기능 지그리고 ctg 지– 메로모픽 기능. tg 극 지그리고 초 지– 단순(1차) 및 지점에 위치 z = p/2 + pn,극 ctg 지그리고 코섹 지– 또한 간단하고 여러 지점에 위치 지 = 피앤, n = 0, ±1, ±2,…

실수 인수의 삼각 함수에 유효한 모든 공식은 복소수 함수에도 유효합니다. 특히,

죄(- 지) = -죄 지,

코사인(- 지) = 왜냐하면 지,

tg(– 지) = -tg 지,

CTG(– 지) = –ctg 지,

저것들. 짝수 및 홀수 패리티가 유지됩니다. 수식도 저장됩니다

죄( 지 + 2피) = 죄 지, (지 + 2피) = 왜냐하면 지, (지 + 피) = TG 지, (지 + 피) = CTG 지,

저것들. 주기성도 보존되며 주기는 실제 논증의 함수와 동일합니다.

삼각 함수는 순전히 허수 인수의 지수 함수로 표현될 수 있습니다.

뒤쪽에, 이즈 cos로 표현 지그리고 죄 지공식에 따르면:

이즈=코사인 지 + 나죄 지

이러한 공식을 오일러의 공식이라고 합니다. 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)가 1743년에 이를 개발했습니다.

삼각함수는 쌍곡선 함수로 표현될 수도 있습니다:

지 = –나쉿 이즈, cos z = ch iz, z = –i 번째 iz.

여기서 sh, ch 및 th는 쌍곡선 사인, 코사인 및 탄젠트입니다.

복소수 인수의 삼각 함수 z = x + iy, 어디 엑스그리고 와이– 실수는 실수 인수의 삼각함수와 쌍곡선 함수를 통해 표현될 수 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

죄( x + 나) = 죄 엑스채널 와이 + 나코사인 엑스쉿 와이;

코사인( x + 나) = 왜냐하면 엑스채널 와이 + 나죄 엑스쉿 와이.

복소수 인수의 사인과 코사인은 절대값으로 1보다 큰 실수값을 취할 수 있습니다. 예를 들어:

알 수 없는 각도가 삼각 함수의 인수로 방정식에 입력되면 방정식을 삼각법이라고 합니다. 이러한 방정식은 너무 일반적이어서 해당 방법이 솔루션은 매우 상세하고 신중하게 개발되었습니다. 와 함께다양한 기술과 공식을 사용하여 삼각 방정식은 다음 형식의 방정식으로 축소됩니다. 에프(엑스)=a, 어디 에프– 사인, 코사인, 탄젠트 또는 코탄젠트 등 가장 간단한 삼각 함수 중 하나입니다. 그런 다음 주장을 표현하십시오. 엑스이 함수는 알려진 값을 통해 ㅏ.

삼각함수는 주기적이므로, ㅏ값의 범위에서 인수의 값은 무한히 많으며 방정식의 해는 다음의 단일 함수로 작성할 수 없습니다. ㅏ. 따라서 각 주요 삼각 함수의 정의 영역에서 모든 값을 각각 한 번만 취하는 섹션이 선택되고 이에 반대되는 함수가 이 섹션에서 발견됩니다. 이러한 함수는 원래 함수의 이름에 접두사 arc(arc)를 추가하여 표시되며 역삼각법이라고 합니다. 함수 또는 단순히 호 함수입니다.

역삼각함수.

죄를 위해 엑스, 코사인 엑스, tg 엑스그리고 ctg 엑스역함수를 정의할 수 있습니다. 이에 따라 arcsin으로 표시됩니다. 엑스("아크사인"을 읽어보세요 엑스"), 아르코스 엑스, 아크탄 엑스그리고 arcctg 엑스. 정의에 따르면, 아크신 엑스그런 숫자가 있어요 와이,무엇

죄 ~에 = 엑스.

다른 역삼각함수도 마찬가지입니다. 그러나 이 정의에는 약간의 부정확성이 있습니다.

죄를 반성하면 엑스, 코사인 엑스, tg 엑스그리고 ctg 엑스좌표 평면의 첫 번째 및 세 번째 사분면의 이등분선을 기준으로 하면 주기성으로 인해 함수가 모호해집니다. 무한한 수의 각도가 동일한 사인(코사인, 탄젠트, 코탄젠트)에 해당합니다.

모호함을 없애기 위해 너비가 다음과 같은 곡선 섹션을 사용합니다. 피, 이 경우 인수와 함수 값 사이에 일대일 대응이 유지되어야 합니다. 좌표 원점 근처의 영역이 선택됩니다. 사인의 경우 "일대일 간격"으로 우리는 세그먼트 [- 피/2, 피/2], 코사인에 대해 사인이 -1에서 1로 단조롭게 증가합니다. 세그먼트, 탄젠트 및 코탄젠트에 대해 각각 간격(- 피/2, 피/2) 및 (0, 피). 간격의 각 곡선은 이등분선을 기준으로 반영되며 이제 역삼각 함수를 결정할 수 있습니다. 예를 들어 인수 값을 지정해 보겠습니다. x 0 , 0 Ј 엑스 0 Ј 1. 그러면 함수의 값 와이 0 = 아크신 엑스 0 의미는 하나뿐이겠지 ~에 0 , 그런 - 피/2 Ј ~에 0 Ј 피/2 및 엑스 0 = 죄 와이 0 .

따라서 아크사인은 아크사인의 함수입니다. ㅏ, 구간 [-1, 1]에 정의되고 각각 동일 ㅏ그러한 가치에 – 피/2 a p /2 그 죄 a = ㅏ.단위원을 이용하여 표현하면 매우 편리하다(Fig. 15). 언제 | 에 | 1 원 위에 세로 좌표가 있는 두 점이 있습니다. ㅏ, 축에 대해 대칭 유.그 중 하나는 각도에 해당합니다. ㅏ= 아크신 ㅏ, 그리고 다른 하나는 코너야 p-a. 와 함께사인의 주기성을 고려하여 방정식 sin을 해결합니다. 엑스= ㅏ다음과 같이 작성됩니다.

x =(–1)N아크신 ㅏ + 2피앤,

어디 N= 0, ±1, ±2,...

다른 간단한 삼각 방정식도 같은 방법으로 풀 수 있습니다.

코사인 엑스 = ㅏ, –1 =ㅏ= 1;

x =±아르코스 ㅏ + 2피앤,

어디 피= 0, ±1, ±2,...(그림 16);

tg 엑스 = ㅏ;

엑스= 아크탄 ㅏ + 피 N,

어디 n = 0, ±1, ±2,...(그림 17);

CTG 엑스= ㅏ;

엑스= arcctg ㅏ + 피 N,

어디 n = 0, ±1, ±2,...(그림 18).

역삼각함수의 기본 속성:

아크신 엑스(그림 19): 정의 영역 – 세그먼트 [-1, 1]; 범위 - [- 피/2, 피/2], 단조 증가 함수;

아르코스 엑스(그림 20): 정의 영역 - 세그먼트 [-1, 1]; 범위 - ; 단조 감소 함수;

아크트그 엑스(그림 21): 정의 영역 – 모든 실수; 값의 범위 – 간격 (– 피/2, 피/2); 단조 증가 함수; 똑바로 ~에= –피/2 및 y = p /2 –수평 점근선;

arcctg 엑스(그림 22): 정의 영역 – 모든 실수; 값의 범위 – 간격(0, 피); 단조 감소 함수; 똑바로 와이= 0 및 와이 = 피– 수평 점근선.

누구에게나 지 = x + 나, 어디 엑스그리고 와이실수이고 불평등이 적용됩니다.

½| 이\e y–에-이| ≤|죄 지|≤½( 이 +이-와이),

½| 어이–에-이| ≤|코사인 지|≤½( e y +e -y),

그 중 와이® Ґ 점근식은 다음과 같습니다(균일하게 엑스)

|죄 지| » 1/2 이자형 |와이| ,

|cos 지| » 1/2 이자형 |와이| .

삼각함수는 천문학과 기하학 연구와 관련하여 처음 등장했습니다. 본질적으로 삼각함수인 삼각형과 원의 선분 비율은 이미 3세기에 발견되었습니다. 기원전 이자형. 고대 그리스 수학자들의 작품에서 – 그러나 유클리드, 아르키메데스, 페르가의 아폴로니우스 등은 이러한 관계가 독립적인 연구 대상이 아니었기 때문에 삼각함수 자체를 연구하지 않았습니다. 그들은 처음에는 세그먼트로 간주되었으며 이 형태에서는 Aristarchus(기원전 4세기 후반~3세기 후반), Hipparchus(BC 2세기), Menelaus(AD 1세기) 및 Ptolemy(AD 2세기)가 사용했습니다. 구형 삼각형 풀기. 프톨레마이오스는 30인치마다 10-6의 정확도로 예각에 대한 첫 번째 화음 표를 편집했습니다. 이것이 첫 번째 사인 표였습니다. 비율로 함수 sin a는 이미 Aryabhata(5세기 말)에서 발견됩니다. tg a 및 ctg a 함수는 al- Battani(9세기 후반 - 10세기 초) 및 Abul-Vefa(10세기)에서 발견되며 sec a 및 cosec a도 사용합니다... Aryabhata는 이미 공식을 알고 있었습니다( sin 2 a + cos 2 a) = 1, 그리고 반각의 sin 및 cos 공식을 사용하여 3°45" 각도에 대한 사인 표를 만들었습니다. 가장 간단한 인수에 대해 알려진 삼각 함수 값을 기반으로 합니다. Bhaskara(12세기)는 덧셈 공식을 사용하여 1의 관점에서 표를 구성하는 방법을 제시했습니다. 다양한 논증의 삼각 함수의 합과 차이를 곱으로 변환하는 공식은 Regiomontanus(15세기)와 J. Napier가 로그 발명(1614)과 관련하여 유도했습니다. Regiomontan은 1" 단위의 사인 값 표를 제공했습니다. 삼각 함수를 거듭제곱 계열로 확장한 것은 I. Newton(1669)에 의해 얻어졌습니다. 삼각 함수 이론은 L. Euler( 18세기) 그는 실제적이고 복잡한 논증에 대한 정의를 소유하고 있으며 현재 상징주의로 받아들여지고 지수 함수와 사인 및 코사인 시스템의 직교성과의 연결을 설정합니다.

– 확실히 삼각법에 관한 작업이 있을 것입니다. 삼각법은 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트로 가득 찬 수많은 어려운 공식을 입력해야 하기 때문에 종종 싫어합니다. 이 사이트는 이미 Euler 및 Peel 공식의 예를 사용하여 잊어버린 공식을 기억하는 방법에 대한 조언을 제공한 적이 있습니다.

그리고 이 글에서 우리는 단지 5개의 간단한 삼각함수 공식만 확실하게 알고 나머지는 전반적으로 이해하고 이를 도출하는 것만으로도 충분하다는 것을 보여주려고 노력할 것입니다. 그것은 DNA와 같습니다. 분자는 완성된 생명체의 완전한 청사진을 저장하지 않습니다. 오히려, 이용 가능한 아미노산으로부터 이를 조립하는 방법에 대한 지침이 포함되어 있습니다. 따라서 삼각법에서는 몇 가지 일반 원리를 알고 있으므로 염두에 두어야 할 작은 집합에서 필요한 모든 공식을 얻을 것입니다.

우리는 다음 공식을 사용합니다.

사인 및 코사인 합에 대한 공식에서 코사인 함수의 패리티와 사인 함수의 홀수를 알고 b 대신 -b를 대체하여 차이에 대한 공식을 얻습니다.

차이의 사인: 죄(a-b) = 죄ㅏ코사인(-비)+코사인ㅏ죄(-비) = 죄ㅏ코사인비-코사인ㅏ죄비
차이의 코사인: 코사인(a-b) = 코사인ㅏ코사인(-비)-죄ㅏ죄(-비) = 코사인ㅏ코사인비+죄ㅏ죄비

a = b를 동일한 공식에 넣으면 이중 각도의 사인 및 코사인 공식을 얻습니다.

이중 각도의 사인: 죄2a = 죄(아+아) = 죄ㅏ코사인ㅏ+코사인ㅏ죄ㅏ = 2죄ㅏ코사인ㅏ
이중 각도의 코사인: 코사인2a = 코사인(아+아) = 코사인ㅏ코사인ㅏ-죄ㅏ죄ㅏ = 코사인2a-죄2a

다른 여러 각도에 대한 공식도 비슷하게 얻습니다.

삼중 각도의 사인: 죄3아 = 죄(2a+a) = 죄2a코사인ㅏ+코사인2a죄ㅏ = (2죄ㅏ코사인ㅏ)코사인ㅏ+(코사인2a-죄2a)죄ㅏ = 2죄ㅏ코사인2a+죄ㅏ코사인2a-죄 3a = 3 죄ㅏ코사인2a-죄 3a = 3 죄ㅏ(1-죄2a)-죄 3a = 3 죄ㅏ-4죄 3아
삼중각의 코사인: 코사인3아 = 코사인(2a+a) = 코사인2a코사인ㅏ-죄2a죄ㅏ = (코사인2a-죄2a)코사인ㅏ-(2죄ㅏ코사인ㅏ)죄ㅏ = 코사인 3a- 죄2a코사인ㅏ-2죄2a코사인ㅏ = 코사인 3a-3 죄2a코사인ㅏ = 코사인 3a-3(1- 코사인2a)코사인ㅏ = 4코사인 3a-3 코사인ㅏ

계속 진행하기 전에 한 가지 문제를 살펴보겠습니다.
주어진 : 각도가 예각입니다.
다음과 같은 경우 코사인을 구하세요.
한 학생이 제시한 솔루션:
왜냐하면 , 저것 죄ㅏ= 3,a 코사인ㅏ = 4.
(수학 유머에서)

따라서 탄젠트의 정의는 이 함수를 사인과 코사인 모두와 연관시킵니다. 그러나 탄젠트를 코사인에만 연관시키는 공식을 얻을 수 있습니다. 그것을 도출하기 위해 우리는 주요 삼각법 정체성을 취합니다. 죄 2 ㅏ+코사인 2 ㅏ= 1로 나누고 코사인 2 ㅏ. 우리는 다음을 얻습니다:

따라서 이 문제에 대한 해결책은 다음과 같습니다.

(각도가 예각이므로 뿌리를 추출할 때는 + 기호를 취함)

합계의 탄젠트 공식은 기억하기 어려운 또 다른 공식입니다. 다음과 같이 출력해보자.

즉시 표시되며

이중 각도에 대한 코사인 공식에서 반각에 대한 사인 및 코사인 공식을 얻을 수 있습니다. 이렇게 하려면 이중 각도 코사인 공식의 왼쪽에 다음을 수행합니다.
코사인2 ㅏ = 코사인 2 ㅏ-죄 2 ㅏ
하나를 추가하고 오른쪽에 삼각 단위를 추가합니다. 사인과 코사인의 제곱의 합.
코사인2a+1 = 코사인2a-죄2a+코사인2a+죄2a
2코사인 2 ㅏ = 코사인2 ㅏ+1
표현하다 코사인ㅏ~을 통해 코사인2 ㅏ변수 변경을 수행하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

부호는 사분면에 따라 사용됩니다.

마찬가지로, 평등의 왼쪽에서 1을 빼고 오른쪽에서 사인과 코사인의 제곱의 합을 빼면 다음을 얻습니다.
코사인2a-1 = 코사인2a-죄2a-코사인2a-죄2a
2죄 2 ㅏ = 1-코사인2 ㅏ

그리고 마지막으로 삼각 함수의 합을 곱으로 변환하기 위해 다음 기술을 사용합니다. 사인의 합을 곱으로 표현해야 한다고 가정해 보겠습니다. 죄ㅏ+죄비. a = x+y, b+x-y가 되는 변수 x와 y를 도입해 보겠습니다. 그 다음에
죄ㅏ+죄비 = 죄(x+y)+ 죄(x-y) = 죄엑스 코사인와이+ 코사인엑스 죄와이+ 죄엑스 코사인와이- 코사인엑스 죄 y=2 죄엑스 코사인와이. 이제 x와 y를 a와 b로 표현해 보겠습니다.

a = x+y이므로 b = x-y이므로 . 그렇기 때문에

즉시 철회할 수 있습니다.

파티셔닝 공식 사인과 코사인의 곱 V 양: 죄ㅏ코사인비 = 0.5(죄(a+b)+죄(a-b))

사인의 차이와 코사인의 합과 차이를 곱으로 변환하는 것, 그리고 사인과 코사인의 곱을 합으로 나누는 공식을 직접 연습하고 도출하는 것을 권장합니다. 이러한 연습을 완료하면 삼각법 공식을 도출하는 기술을 철저히 익힐 수 있으며 가장 어려운 테스트, 올림피아드 또는 테스트에서도 길을 잃지 않을 것입니다.

예:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0.416…\)

논증과 의미

예각의 코사인

예각의 코사인직각 삼각형을 사용하여 결정할 수 있습니다. 이는 빗변에 대한 인접한 다리의 비율과 같습니다.

예 :

1) 각도가 주어지면 이 각도의 코사인을 결정해야 합니다.

2) 이 각에 대해 직각삼각형을 완성해 봅시다.

3) 필요한 측면을 측정한 후 코사인을 계산할 수 있습니다.

숫자의 코사인

숫자 원을 사용하면 모든 숫자의 코사인을 결정할 수 있지만 일반적으로 다음과 관련된 숫자의 코사인을 찾을 수 있습니다. \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).

예를 들어, 숫자 \(\frac(π)(6)\)의 경우 코사인은 \(\frac(\sqrt(3))(2)\) 와 같습니다. 그리고 숫자 \(-\)\(\frac(3π)(4)\)의 경우 \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\)와 같습니다(대략 \ (-0 ,71\)).

실제로 자주 발생하는 다른 숫자에 대한 코사인은 참조하세요.

코사인 값은 항상 \(-1\)에서 \(1\) 사이의 범위에 있습니다. 이 경우 코사인은 모든 각도와 숫자에 대해 계산될 수 있습니다.

모든 각도의 코사인

숫자원 덕분에 예각뿐만 아니라 둔각, 음수 및 심지어 \(360°\)보다 큰(완전 회전) 코사인을 결정할 수 있습니다. 방법은 \(100\)번 듣는 것보다 한번 보시는 것이 더 쉽기 때문에 그림을 참고해주세요.

이제 설명하겠습니다. 각도의 코사인을 결정해야 한다고 가정합니다. 코아\(150°\) 단위의 각도 측정. 포인트를 결합해 에 대한원의 중심과 측면으로 좋아요– \(x\) 축을 사용합니다. 그런 다음 시계 반대 방향으로 \(150°\) 따로 보관합니다. 그러면 점의 세로좌표는 ㅏ이 각도의 코사인을 보여드리겠습니다.

예를 들어 \(-60°\)(각도) 단위의 각도에 관심이 있는 경우 KOV), 동일한 작업을 수행하지만 \(60°\)를 시계 방향으로 설정합니다.

그리고 마지막으로 각도는 \(360°\)(각도)보다 큽니다. CBS) - 모든 것이 어리석은 것과 비슷합니다. 시계 방향으로 한 바퀴 돌린 후에야 두 번째 원으로 이동하여 "도 부족"을 얻습니다. 특히 우리의 경우 각도 \(405°\)는 \(360° + 45°\)로 표시됩니다.

예를 들어 \(960°\)로 각도를 그리려면 두 번 회전해야 하고(\(360°+360°+240°\)), \(2640)의 각도를 그리려면 쉽게 추측할 수 있습니다. °\) - 전체 7개.

대체할 수 있듯이 숫자의 코사인과 임의 각도의 코사인은 거의 동일하게 정의됩니다. 원에서 점을 찾는 방식만 변경됩니다.

분기별 코사인 부호

코사인 축(즉, 그림에서 빨간색으로 강조 표시된 가로축)을 사용하면 숫자(삼각) 원을 따라 코사인의 부호를 쉽게 결정할 수 있습니다.

축의 값이 \(0\)부터 \(1\)까지인 경우 코사인에는 더하기 기호(I 및 IV 분기 - 녹색 영역)가 표시됩니다.
- 축의 값이 \(0\)부터 \(-1\)까지인 경우 코사인에는 빼기 기호가 표시됩니다(II 및 III 분기 - 보라색 영역).

다른 삼각함수와의 관계:

- 동일한 각도(또는 숫자): 기본 삼각 항등식 \(\sin^2⁡x+\cos^2⁡x=1\)
- 동일한 각도(또는 숫자): 공식 \(1+tg^2⁡x=\)\(\frac(1)(\cos^2⁡x)\)
- 그리고 같은 각도(또는 숫자)의 사인: 공식 \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sin⁡x)\)
가장 일반적으로 사용되는 다른 수식은 참조하세요.

방정식 \(\cos⁡x=a\)의 해

방정식 \(\cos⁡x=a\)에 대한 해법입니다. 여기서 \(a\)는 \(1\)보다 크지 않고 \(-1\)보다 작지 않습니다. 즉, \(a∈[-1;1]\):

\(\cos ⁡x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccos⁡a+2πk, k∈Z\)

\(a>1\) 또는 \(a<-1\), то решений у уравнения нет.

예 . 삼각 방정식 \(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\)을 푼다.
해결책:

숫자원을 이용하여 방정식을 풀어봅시다. 이를 위해:
1) 축을 만들어 봅시다.
2) 원을 만들어 봅시다.
3) 코사인 축(\(y\)축)에 \(\frac(1)(2)\) 점을 표시합니다.
4) 이 점을 통해 코사인 축에 수직인 선을 그립니다.
5) 수직선과 원의 교차점을 표시합니다.
6) 다음 점의 값에 서명해 보겠습니다. \(\frac(π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(π)(3)\) .
7) 이 점에 해당하는 모든 값을 \(x=t+2πk\), \(k∈Z\) 공식을 사용하여 적어 보겠습니다.
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);

답변: \(x=±\frac(π)(3)+2πk\) \(k∈Z\)

함수 \(y=\cos(x)\)

\(x\) 축을 따라 라디안 단위로 각도를 표시하고 \(y\) 축을 따라 이러한 각도에 해당하는 코사인 값을 플롯하면 다음 그래프를 얻습니다.

이 그래프는 호출되며 다음과 같은 속성을 갖습니다.

정의 영역은 x의 값입니다: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- 값 범위 – \(-1\)부터 \(1\)까지: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- 짝수: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- 주기가 \(2π\)인 주기적: \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- 좌표축과의 교차점:
가로축: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), 여기서 \(n ϵ Z\)
Y축: \((0;1)\)
- 부호의 불변성 간격:
함수는 구간에서 양수입니다: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), 여기서 \(n ϵ Z\)
함수는 구간에서 음수입니다: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), 여기서 \(n ϵ Z\)
- 증가 및 감소 간격:
함수는 간격에 따라 증가합니다: \((π+2πn;2π+2πn)\), 여기서 \(n ϵ Z\)
함수는 \((2πn;π+2πn)\) 구간에서 감소합니다. 여기서 \(n ϵ Z\)
- 함수의 최대값과 최소값:
함수는 \(x=2πn\) 지점에서 최대값 \(y=1\)을 갖습니다. 여기서 \(n ϵ Z\)
이 함수는 \(x=π+2πn\) 지점에서 최소값 \(y=-1\)을 갖습니다. 여기서 \(n ϵ Z\)입니다.