반복: 표현과 그 변형. 표현의 동일한 변환, 유형

수업 유형 : 지식의 일반화 및 체계화 수업.

수업 목표:

  • 9학년 국가 시험을 준비하기 위해 이전에 습득한 지식을 적용하는 능력을 향상시킵니다.
  • 과제를 창의적으로 분석하고 접근하는 능력을 가르칩니다.
  • 문화와 사고의 효율성, 수학에 대한 인지적 관심을 배양합니다.
  • 학생들이 국가 시험을 준비하도록 도와주세요.
  • 학생들의 이론적 지식을 체계화합니다.
  • 국가 시험을 준비하면서 이 주제의 실무 방향을 강화합니다.
  • 정신적 작업 기술을 개발하십시오 - 합리적인 해결책을 찾으십시오.

장비: 멀티미디어 프로젝터, 워크시트, 시계.

수업 계획: 1. 조직적인 순간.

  1. 지식을 업데이트 중입니다.
  2. 이론적 자료의 개발.
  3. 강의 요약.
  4. 숙제.

수업 중

I. 조직적인 순간.

1) 선생님의 인사입니다.

암호화는 불법 사용자로부터 정보를 보호하기 위해 정보를 변환(암호화)하는 방법에 대한 과학입니다. 이러한 방법 중 하나를 "그리드"라고 합니다. 비교적 간단한 것 중 하나로 산수와 밀접한 관련이 있지만, 학교에서는 배우지 않는 것입니다. 격자 샘플이 당신 앞에 있습니다. 누군가 그것을 사용하는 방법을 알아낼 것입니다.

- 메시지에 대한 해결책.

"운동을 멈추는 모든 것은 매력을 멈춥니다."

프랑수아 라라슈푸코.

2) 수업 주제, 수업 목표, 수업 계획에 관한 메시지.

– 프레젠테이션의 슬라이드.

II. 지식을 업데이트 중입니다.

1) 구두 작업.

1. 숫자. 어떤 숫자를 알고 있나요?

– 자연수는 숫자를 셀 때 사용되는 1,2,3,4...

– 정수는 숫자… -4,-3,-2,-1,0,1, 2… 자연수, 그 반대 및 숫자 0입니다.

– 유리수는 정수와 분수입니다.

– 비합리적 – 이는 무한 소수 비주기 분수입니다.

– 실제 – 이것은 합리적이고 비합리적입니다.

2. 표현. 어떤 표현을 알고 있나요?

– 숫자는 산술 기호로 연결된 숫자로 구성된 표현입니다.

– 알파벳 – 일부 변수, 숫자 및 동작 기호를 포함하는 표현식입니다.

– 정수는 숫자에 대한 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 연산을 사용하여 숫자와 변수로 구성된 표현식입니다.

– 분수식은 변수가 있는 표현식으로 나누기를 사용하는 전체 표현식입니다.

3. 변화. 변환을 수행할 때 사용되는 주요 속성은 무엇입니까?

– 교환 가능 – 임의의 숫자 a와 b에 대해 참입니다: a+b=b+a, ab=va

– 연관 – 임의의 숫자 a, b, c에 대해 다음이 참입니다: (a+b)+c=a+(b+c), (ab)c=a(c)

– 분배 – 임의의 숫자 a, b, c에 대해 참입니다: a(b+c)=av+ac

4. 다음을 수행하십시오:

– 숫자를 오름차순으로 정렬합니다: 0.0157; 0.105; 0.07

– 숫자를 내림차순으로 정렬합니다: 0.0216; 0.12; 0.016

– 좌표선에 표시된 점 중 하나는 숫자 v68에 해당합니다. 이것이 무슨 요점입니까?

– 숫자는 어떤 점에 해당합니까?

– 숫자 a와 b는 좌표선에 표시됩니다. 다음 설명 중 사실인 것은 무엇입니까?

III. 이론적 자료의 개발.

1. 이사회에서 노트북으로 작업하십시오.

각 교사는 수업 중에 작업에 대한 작업을 노트북에 기록하는 워크시트를 가지고 있습니다. 이 시트의 오른쪽 열에는 수업 과제가 있고 왼쪽 열에는 숙제가 있습니다.

학생들은 위원회에서 일하러 나옵니다.

작업 번호 1. 이 경우 표현식은 동일하게 동일하게 변환됩니다.

작업 번호 2. 표현을 단순화합니다:

작업 번호 3. 그것을 고려해보세요:

3 – 평균 – 2c + 2; x 2 y – x 2 -y + x 3.

2x + y + y 2 – 4x 2 ; a - 3c +9c 2 -a 2 .

2. 독립적인 작업.

워크시트에는 독립적인 작업이 있으며, 텍스트 아래에는 정답 아래에 숫자를 입력하는 표가 있습니다. 작업을 완료하는 데 7분이 소요됩니다.

"숫자 및 전환" 테스트

1. 0.00019를 표준형식으로 쓴다.

1)0,019*10 -2 ; 2)0,19*10 -3 ; 3)1,9*10 -4 ; 4)19*10 -5

2. 좌표선에 표시된 점 중 하나가 숫자에 해당합니다.

3. 숫자 a와 b에 대하여 a>0, b>0, a>4b인 것으로 알려져 있습니다. 다음 부등식 중 틀린 것은 무엇입니까?

1) a-2a>-3b; 2) 2a>8b; 3) a/4>b-2; 4) a+3>b+1.

4. x=1.5이고 y=0.5인 경우 표현식의 값을 찾습니다: (6x – 5y): (3x+y).

1) 1,5; 2) 1,3; 3) 1,33; 4) 2,5.

5.다음 중 (7 – x)(x – 4)로 변환할 수 있는 식은 무엇입니까?

1)– (7 – x)(4 – x); 2) (7 – x)(4 – x);

3) – (x – 7)(4 – x); 4) (x – 7)(x-4).

작업 완료 후 ASUOK 프로그램(자동 교육 및 제어 관리 시스템)을 통해 점검이 진행됩니다. 남자들은 동료와 공책을 교환하고 선생님과 함께 시험을 확인합니다.
운동
답변: 3 1 1 2 1

6. 수업 요약.

오늘 수업에서는 국가 시험 준비를 위해 컬렉션에서 선택한 과제를 해결했습니다. 이는 시험에 완벽하게 합격하기 위해 반복해야 할 부분 중 일부입니다.

- 수업이 끝났습니다. 수업에서 어떤 점이 유용하다고 느꼈나요?

"전문가는 더 이상 생각하지 않고 아는 사람입니다." 프랭크 허바드.

7. 숙제

종이에는 집에서 완료해야 할 작업이 적혀 있습니다.

벨로루시 공화국 교육부

교육기관

"고멜 주립대학교의 이름을 따서 명명되었습니다. F.스코리나"

수학 학부

MPM학과

표현의 동일한 변형과 ​​학생들에게 표현 방법을 가르치는 방법

집행자:

학생 Starodubova A.Yu.

과학 고문:

캔드. 물리학과 수학 과학, 부교수 Lebedeva M.T.

고멜 2007

소개

1 주요 변형 유형과 연구 단계. 변환 사용을 익히는 단계

결론

문학

소개

산술 연산의 속성을 기반으로 한 표현식과 공식의 가장 간단한 변환은 초등학교와 5학년과 6학년에서 수행됩니다. 변환을 수행하는 기술과 능력의 형성은 대수학 과정에서 이루어집니다. 이는 수행되는 변형의 수와 다양성이 급격히 증가하고 이를 정당화하고 적용 조건을 명확히 하는 활동의 복잡성, 일반화된 정체성 개념, 동일한 변형, 동등한 변환.

1. 주요 변형 유형 및 연구 단계. 변환 사용을 익히는 단계

1. 대수학의 시작

수식의 한 부분 또는 두 부분 모두에 대해 작업을 수행하기 위한 규칙으로 표시되는 분할되지 않은 변환 시스템이 사용됩니다. 간단한 방정식을 푸는 작업, 함수를 정의하는 수식을 단순화하는 작업, 동작의 속성을 기반으로 계산을 합리적으로 수행하는 작업을 유창하게 수행하는 것이 목표입니다.

일반적인 예:

방정식 풀기:

ㅏ) ; b) ; V) .

동일한 변환(a); 동등하고 동일합니다 (b).

2. 특정 유형의 변환을 적용하는 기술 형성

결론: 약식 곱셈 공식; 지수화와 관련된 변환; 다양한 클래스의 기본 함수와 관련된 변환.

통합 변환 시스템 구성(합성)

목표는 다양한 교육 과제를 해결하는 데 사용하기에 적합한 유연하고 강력한 장치를 만드는 것입니다.. 이 단계로의 전환은 이미 알려진 내용을 부분적으로 이해하는 과정의 최종 반복 중에 수행되며, 특정 유형의 변환의 경우 이전에 연구한 유형에 삼각법 표현의 변환이 추가됩니다. 이러한 모든 변환을 "대수적"이라고 부를 수 있으며, "분석적" 변환에는 미분 및 적분 규칙을 기반으로 하는 변환과 극한에 대한 구절을 포함하는 표현의 변환이 포함됩니다. 이 유형의 차이점은 ID의 변수(특정 함수 세트)가 실행되는 세트의 특성에 있습니다.

연구 중인 신원은 두 가지 클래스로 나뉩니다.

I – 교환 링에서 유효한 약식 곱셈의 항등 및 항등

현장에서 공정합니다.

II - 산술 연산과 기본 기본 기능을 연결하는 ID입니다.

2 정체성 변환을 연구할 때 작업 시스템 구성의 특징

작업 시스템을 구성하는 주요 원칙은 작업 시스템을 단순한 것부터 복잡한 것까지 제시하는 것입니다.

운동주기– 학습의 여러 측면과 자료 배열 기술을 일련의 연습으로 결합합니다. 정체성 변형을 연구할 때 연습의 주기는 하나의 정체성에 대한 연구와 연관되며, 그 주위에 자연스럽게 연결되어 있는 다른 정체성이 그룹화됩니다.주기에는 경영진과 함께 작업이 포함됩니다. 문제의 신원의 적용 가능성에 대한 인정을 요구함. 연구 중인 항등식은 다양한 수치 영역에서 계산을 수행하는 데 사용됩니다. 각 주기의 작업은 두 그룹으로 나뉩니다.. 에게 첫 번째여기에는 신원을 처음 아는 동안 수행되는 작업이 포함됩니다. 하나의 주제로 통합된 여러 연속 수업의 교육 자료로 사용됩니다.

두 번째 그룹연습은 연구 중인 정체성을 다양한 응용 프로그램과 연결합니다. 이 그룹은 구성적 통일성을 형성하지 않습니다. 여기의 연습은 다양한 주제에 흩어져 있습니다.

설명된 순환 구조는 특정 변환을 적용하기 위한 기술 개발 단계를 나타냅니다.

종합 단계에서는 주기가 바뀌고 작업 그룹이 복잡해지는 방향으로 결합되고 다양한 정체성과 관련된 주기가 병합되어 특정 정체성의 적용 가능성을 인식하는 행동의 역할을 높이는 데 도움이 됩니다.

예.

정체성을 위한 작업 주기:

I 작업 그룹:

a) 제품 형태로 존재합니다.

b) 동등성을 확인하십시오.

c) 표현식에서 괄호를 확장합니다.

.

d) 다음을 계산합니다.


e) 인수분해:

f) 표현을 단순화합니다.

.

학생들은 이제 막 정체성의 공식화, 정체성 형태의 글쓰기, 증명에 익숙해졌습니다.

작업 a)는 연구 중인 신원의 구조를 고정하고 숫자 세트와의 연결을 설정하는 것과 관련됩니다(신원의 기호 구조와 변환되는 표현 비교, 신원에서 문자를 숫자로 대체). 마지막 예에서는 이를 연구 중인 형식으로 줄여야 합니다. 다음 예(e 및 g)에는 아이덴티티의 적용된 역할과 기호 구조의 복잡성으로 인해 발생하는 복잡성이 있습니다.

b) 유형의 작업은 대체 기술 개발을 목표로 합니다. 에 . 작업 c)의 역할은 비슷합니다.

변환 방향 중 하나를 선택해야 하는 유형 d)의 예는 이 아이디어의 개발을 완료합니다.

그룹 I 작업은 정체성의 구조, 가장 단순하고 근본적으로 가장 중요한 경우의 대체 작업, 정체성에 의해 수행되는 변형의 가역성에 대한 아이디어를 숙달하는 데 중점을 둡니다. 정체성의 다양한 측면을 보여주는 언어적 수단의 풍부화도 매우 중요하다. 과제의 텍스트는 이러한 측면에 대한 아이디어를 제공합니다.

II 작업 그룹.

g) 에 대한 항등식을 사용하여 다항식 을 인수분해합니다.

h) 분수의 분모에서 불합리성을 제거합니다.

i) 가 홀수이면 4로 나누어진다는 것을 증명하세요.

j) 함수는 분석적 표현으로 주어진다.

.

, 의 두 가지 경우를 고려하여 모듈러스 기호를 제거합니다.

k) 방정식을 푼다 .

이러한 작업은 이 특정 정체성의 세부 사항을 최대한 활용하고 고려하는 것을 목표로 하며, 제곱의 차이에 대해 연구되는 정체성을 사용하는 기술의 형성을 전제로 합니다. 목표는 수학 과정의 다른 주제와 관련된 자료의 사용과 함께 다양한 상황에서 정체성의 다양한 적용을 고려함으로써 정체성에 대한 이해를 심화시키는 것입니다.

또는 .

기본 기능의 ID와 관련된 작업 주기의 특징:

1) 기능성 소재를 기반으로 연구됩니다.

2) 첫 번째 그룹의 정체성은 나중에 나타나고 정체성 변환을 수행하기 위해 이미 개발된 기술을 사용하여 연구됩니다.

주기의 첫 번째 작업 그룹에는 이러한 새로운 숫자 영역과 원래 유리수 영역 사이의 연결을 설정하는 작업이 포함되어야 합니다.

예.

계산하다:

;

.

이러한 과제의 목적은 새로운 작동 및 기능의 기호를 포함하여 기록의 특징을 익히고 수학적 말하기 능력을 개발하는 것입니다.

기본 함수와 관련된 항등 변환 사용의 중요한 부분은 비합리적이고 초월적인 방정식의 해법에 해당합니다. 단계 순서:

a) 주어진 방정식 f(x)=0이 다음과 같이 표현될 수 있는 함수 ψ를 찾습니다.

b) y=ψ(x)를 대입하고 방정식을 푼다.


c) 각 방정식 ψ(x)=y k를 푼다. 여기서 y k는 방정식 F(y)=0의 근 집합이다.

설명된 방법을 사용할 때 단계 b)는 종종 Φ(x)에 대한 표기법을 도입하지 않고 암시적으로 수행됩니다. 또한 학생들은 답을 찾는 다양한 경로 중에서 더 빠르고 쉽게 대수 방정식에 도달하는 경로를 선택하는 것을 선호하는 경우가 많습니다.

예. 방정식 4 x -3*2=0을 풉니다.

2)(2 2) x -3*2 x =0 (a단계)

(2 x) 2 -3*2 x =0; 2 x (2 x -3)=0; 2×-3=0. (단계 b)

예. 방정식을 푼다:

a) 2 2x -3*2 x +2=0;

b) 2 2x -3*2 x -4=0;

다) 2 2x -3*2 x +1=0.

(독립적인 솔루션을 제안합니다.)

지수 함수를 포함한 초월 방정식의 해와 관련된 주기의 작업 분류:

1) a x =y 0 형식의 방정식으로 축소되고 간단하고 일반적인 답을 갖는 방정식:

2) a x = a k(k는 정수) 또는 a x = b(b≤0) 형식의 방정식으로 축소되는 방정식.

3) a x =y 0 형식의 방정식으로 축소되고 숫자 y 0이 명시적으로 작성된 형식에 대한 명시적인 분석이 필요한 방정식.

함수를 정의하는 공식을 단순화하면서 항등 변환을 사용하여 그래프를 구성하는 작업은 큰 이점이 있습니다.

a) 함수 y=를 그래프로 그리세요;

b) 방정식 lgx+lg(x-3)=1을 푼다

c) 어떤 집합에서 공식 log(x-5)+ log(x+5)= log(x 2 -25)가 항등원인가요?

계산에서 항등 변환의 사용 (Journal of Mathematics at School, No. 4, 1983, p. 45)

작업 번호 1. 함수는 y=0.3x 2 +4.64x-6 공식으로 제공됩니다. x=1.2에서 함수의 값을 구합니다.

y(1,2)=0.3*1.2 2 +4.64*1.2-6=1.2(0.3*1.2+4.64)-6=1.2(0 .36+4.64)-6=1.2*5-6=0.

작업 번호 2. 빗변의 길이가 3.6cm이고 다른 쪽 다리가 2.16cm인 경우 직각삼각형의 한쪽 다리의 길이를 계산합니다.

작업 번호 3. a) 0.64m 및 6.25m 크기의 직사각형 플롯의 면적은 얼마입니까? b) 99.8m와 2.6m?

a)0.64*6.25=0.8 2 *2.5 2 =(0.8*2.5) 2;

b)99.8*2.6=(100-0.2)2.6=100*2.6-0.2*2.6=260-0.52.


이러한 예를 통해 아이덴티티 변환의 실제 적용을 식별할 수 있습니다. 학생은 변환의 타당성을 위한 조건을 숙지해야 합니다(다이어그램 참조).
-

모든 다항식이 둥근 윤곽선에 맞는 다항식의 이미지 (그림 1)

-

단항식의 곱을 변환하는 타당성에 대한 조건과 제곱의 차이로 변환할 수 있는 표현식이 제공됩니다. (도식 2)

-

여기서 음영은 동일한 단항식을 의미하며 제곱의 차이로 변환될 수 있는 표현이 제공됩니다.(Scheme 3)
-

공통인수를 허용하는 표현.

상태를 식별하는 학생들의 기술은 다음 예를 사용하여 개발될 수 있습니다.

다음 중 괄호에서 공통 인수를 빼면 변환할 수 있는 표현식은 무엇입니까?


2)

3) 0.7a2+0.2b2;

5) 6,3*0,4+3,4*6,3;

6) 2x2+3x2+5y2;

7) 0,21+0,22+0,23.

실제로 대부분의 계산은 만족조건을 만족하지 못하기 때문에 이를 변환계산이 가능한 형태로 줄이는 기술이 필요하다. 이 경우 다음 작업이 적합합니다.

괄호에서 공통인수를 빼는 방법을 연구할 때:

가능하다면 이 표현식을 다이어그램 4에 표시된 표현식으로 변환하십시오.

4) 2a*a2*a2;

5) 2n4+3n6+n9;

8) 15ab 2 +5a 2b;

10) 12,4*-1,24*0,7;

11) 4,9*3,5+1,7*10,5;

12) 10,8 2 -108;

13)

14) 5*2 2 +7*2 3 -11*2 4 ;

15) 2*3 4 -3*2 4 +6;

18) 3,2/0,7-1,8*

"동일한 변환"이라는 개념을 형성할 때 이는 변환의 결과로 주어진 표현과 결과 표현이 포함된 문자의 모든 값에 대해 동일한 값을 취한다는 것을 의미한다는 점을 기억해야 합니다. 또한 동일한 변환 중에 한 계산 방법을 정의하는 표현식에서 동일한 값을 계산하는 다른 방법을 정의하는 표현식으로 이동합니다.

Scheme 5(단항식과 다항식의 곱을 변환하는 규칙)를 예로 설명할 수 있습니다.

0.5a(b+c) 또는 3.8(0.7+).

괄호에서 공통인수를 구하는 방법을 배우기 위한 연습:

표현식의 값을 계산합니다.

가) 4.59*0.25+1.27*0.25+2.3-0.25;

b) a=0.96에서 a+bc; b=4.8; c=9.8.

c) a(a+c)-c(a+b)(a=1.4); b=2.8; c=5.2.

계산 및 정체성 변환 기술의 형성을 예를 들어 설명하겠습니다.(Journal of Mathematics at School, No. 5, 1984, p. 30)

1) 기술과 능력은 의식적으로 형성되면(의식의 교훈적 원리) 더 빨리 획득되고 더 오래 유지됩니다.

1) 분모가 같은 분수를 더하는 규칙을 공식화하거나 먼저 구체적인 예를 사용하여 같은 주식을 더하는 본질을 고려할 수 있습니다.

2) 괄호 안의 공통인수를 빼서 인수분해할 때, 이 공통인수를 보고 분포법칙을 적용하는 것이 중요합니다. 첫 번째 연습을 수행할 때 다항식의 각 항을 곱으로 작성하는 것이 유용하며, 그 요소 중 하나는 모든 항에 공통적입니다.

3a 3 -15a 2 b+5ab 2 = a3a 2 -a15ab+a5b 2 .

다항식의 단항식 중 하나를 괄호에서 꺼낼 때 이 작업을 수행하는 것이 특히 유용합니다.

II. 첫 단계스킬 형성 – 스킬 숙달(자세한 설명과 메모를 통해 연습이 진행됩니다)


(표지 문제가 먼저 해결됩니다)

두 번째 단계– 일부 중간 작업을 제거하여 스킬을 자동화하는 단계

III. 기술의 강점은 내용과 형식 모두에서 다양한 예를 해결함으로써 달성됩니다.

주제: "공약수를 괄호에서 빼내기"

1. 다항식 대신 누락된 인수를 적습니다.

2. 괄호 앞에 음의 계수를 갖는 단항식이 있도록 인수분해합니다.

3. 괄호 안의 다항식이 정수 계수를 갖도록 인수분해합니다.


4. 방정식을 푼다:

IV. 기술 개발은 일부 중간 계산이나 변환을 구두로 수행할 때 가장 효과적입니다.

(구두);

V. 개발되는 기술과 능력은 이전에 형성된 학생의 지식, 기술 및 능력 시스템의 일부여야 합니다.

예를 들어, 축약된 곱셈 공식을 사용하여 다항식을 인수분해하는 방법을 가르칠 때 다음 연습이 제공됩니다.

인수분해:


6. 계산 및 변환의 합리적인 실행이 필요합니다.

V)표현을 단순화하십시오.

합리성은 괄호를 여는 데 있습니다.

Ⅶ. 지수가 포함된 표현식을 변환합니다.

1011 (Alg.9) 표현을 단순화하십시오:


1012 (Alg.9) 루트 기호 아래에서 승수를 제거합니다.

1013 (Alg.9) 루트 기호 아래에 인수를 입력하십시오:

1014 (Alg.9) 표현을 단순화하십시오:


모든 예에서 먼저 인수분해 또는 공통 인수의 뺄셈을 수행하거나 해당 감소 공식을 "참조"하십시오.

1015 (Alg.9) 분수를 줄이세요:

많은 학생들은 특히 평등을 공부할 때 어근이 포함된 표현을 변환하는 데 어려움을 겪습니다.

그러므로 형태의 표현을 구체적으로 기술하거나 또는 합리적인 지수로 어느 정도 가십시오.

1018 (Alg.9) 표현식의 값을 찾으십시오.


1019 (Alg.9) 표현을 단순화하십시오:

2.285 (Skanavi) 표현을 단순화하세요

그런 다음 함수를 플로팅합니다. 와이을 위한


2.299 (Skanavi) 평등의 유효성을 확인하십시오.

학위를 포함하는 표현의 변환은 다항식의 동일한 변환 연구에서 습득한 기술과 능력을 일반화한 것입니다.

2.320 (Skanavi) 표현을 단순화하십시오:


대수 7 과정은 다음과 같은 정의를 제공합니다.

데프. 변수의 값에 해당하는 값이 동일한 두 표현식을 동일하다고 합니다.

데프. 호출된 변수의 모든 값은 동일합니다. 신원.

94 (Alg.7) 평등은 다음과 같습니다.

ㅏ)

씨)

디)

설명 정의: 하나의 표현식을 동일하게 동일한 다른 표현식으로 바꾸는 것을 동일 변환 또는 단순히 표현식 변환이라고 합니다. 변수가 있는 표현식의 동일한 변환은 숫자 연산의 속성을 기반으로 수행됩니다.

No. (Alg.7) 표현 중

동일하게 같은 것을 찾아보세요.

주제: "표현의 동일한 변형"(질문 기법)

"대수학-7"의 첫 번째 주제인 "표현식과 그 변환"은 5~6학년에서 습득한 계산 능력을 통합하고 표현식 변환 및 방정식 해법에 대한 정보를 체계화하고 일반화하는 데 도움이 됩니다.

숫자와 문자 표현의 의미를 찾으면 학생들과 함께 유리수 연산 규칙을 ​​반복할 수 있습니다. 유리수로 산술 연산을 수행하는 능력은 전체 대수 과정의 기본입니다.

표현의 변형을 고려할 때 형식적 및 조작적 기술은 5-6학년에서 달성한 것과 동일한 수준으로 유지됩니다.

그러나 여기서 학생들은 이론 습득의 새로운 수준으로 올라갑니다. “동등한 표현”, “동일성”, “표현의 동일한 변환”이라는 개념을 소개하며, 다양한 대수 표현의 변환을 연구할 때 그 내용이 지속적으로 드러나고 심화됩니다. 항등 변환의 기초는 숫자 연산의 속성이라는 점이 강조됩니다.

"다항식"이라는 주제를 공부할 때 대수 표현의 동일한 변환에 대한 공식적인 조작 기술이 형성됩니다. 축약된 곱셈 공식은 전체 표현식의 동일한 변환을 수행하는 능력을 개발하는 추가 프로세스에 기여합니다. 축약된 곱셈과 다항식의 인수분해에 공식을 적용하는 기능은 전체 표현식을 변환하는 것뿐만 아니라 분수, 근을 사용한 연산에도 사용됩니다. , 유리수 지수를 갖는 거듭제곱.

8학년에서는 습득한 항등 변환 기술을 대수 분수, 제곱근 및 정수 지수의 거듭제곱을 포함하는 표현식을 사용하여 연습합니다.

앞으로는 신원 변환 기술이 유리수 지수를 포함하는 표현에 반영됩니다.

동일한 변환의 특수 그룹은 삼각 표현식과 로그 표현식으로 구성됩니다.

7~9학년 대수학 과정의 필수 학습 결과는 다음과 같습니다.

1) 정수 표현식의 항등 변환

a) 여는 괄호와 둘러싸는 괄호

b) 유사한 회원을 데려오는 것;

c) 다항식의 덧셈, 뺄셈 및 곱셈;

d) 공약수를 괄호 안에 넣고 약식 곱셈 공식을 사용하여 다항식을 인수분해합니다.

e) 이차 삼항식의 인수분해.

“학교에서의 수학” (B.U.M.) p.110

2) 유리식의 동일한 변환: 분수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈 및 나눗셈뿐만 아니라 간단한 결합 변환을 수행할 때 나열된 기술을 적용합니다 [p. 111]

3) 학생들은 거듭제곱과 어근을 포함하는 간단한 표현의 변형을 수행할 수 있어야 합니다. (pp. 111-112)

문제의 주요 유형, 학생이 긍정적인 성적을 받을 수 있도록 하는 해결 능력이 고려되었습니다.

정체성 변환을 연구하는 방법론의 가장 중요한 측면 중 하나는 학생이 정체성 변환을 수행하기 위한 목표를 개발하는 것입니다.

1) - 표현의 수치 단순화


2) 어떤 변환을 수행해야 합니까? (1) 또는 (2) 이러한 옵션에 대한 분석이 동기가 됩니다((2) 정의 범위가 좁아지므로 (1)이 바람직함)

3) 방정식을 푼다:

방정식을 풀 때 인수분해하기.

4) 계산:

축약된 곱셈 공식을 적용해 보겠습니다.

(101-1) (101+1)=100102=102000

5) 표현식의 값을 찾으십시오.

값을 찾으려면 각 분수에 공액을 곱하세요.

6) 함수를 그래프로 표현합니다:

전체 부분을 선택해 보겠습니다.

다양한 구현 예를 통해 신원 변환을 수행할 때 오류를 예방할 수 있습니다. 이 경우 더 큰 변환 프로세스에 구성 요소로 포함되는 "작은"기술이 실행됩니다.

예를 들어:

방정식의 방향에 따라 몇 가지 문제가 고려될 수 있습니다: 오른쪽에서 왼쪽으로 다항식의 곱셈; 왼쪽에서 오른쪽으로 - 인수분해. 왼쪽은 오른쪽에 있는 요인 중 하나의 배수입니다.

예제를 다양하게 하는 것 외에도 다음을 사용할 수 있습니다. 정체성과 수적 평등 사이의 사과.

다음 기술은 신원에 대한 설명입니다.

학생들의 관심을 높이는 것은 문제를 해결하기 위한 다양한 방법을 찾는 것을 포함할 수 있습니다.

정체성 변형 연구에 대한 수업은 다음에 집중하면 더욱 흥미로울 것입니다. 문제에 대한 해결책을 찾고 .

예를 들면 다음과 같습니다. 1) 분수를 줄입니다.

3) "복소수"의 공식을 증명하십시오.


고려하다:

평등의 오른쪽을 변환해 보겠습니다.

-

켤레 표현의 합. 그것들은 켤레로 곱하고 나눌 수 있지만 그러한 연산은 분모가 근수의 차이인 분수로 이어질 것입니다.

항등식의 첫 번째 부분에 있는 첫 번째 항은 두 번째 항보다 큰 숫자이므로 두 부분을 모두 제곱할 수 있습니다.

실습 3번.

주제: 표현의 동일한 변형(질문 기법).

문헌: "MPM 워크숍", 87-93페이지.

학생들의 높은 계산 문화와 신원 변환의 징후는 정확한 양과 대략적인 양에 대한 연산의 속성과 알고리즘과 그 능숙한 적용에 대한 강력한 지식입니다. 합리적인 계산 및 변환 방법과 그 검증; 계산 및 변환 방법과 규칙의 사용을 정당화하는 능력, 계산 작업을 오류 없이 실행하는 자동 기술.

학생들은 나열된 기술을 개발하기 위해 몇 학년부터 시작해야 합니까?

수식의 동일 변환 라인은 합리적 계산 기술의 적용으로 시작되며, 수치 표현의 값에 대한 합리적 계산 기술의 적용으로 시작됩니다. (5 학년)

학교 수학 과정에서 이러한 주제를 공부할 때는 주의를 기울여야 합니다. 특별한 관심!

학생들의 신원 변환에 대한 의식적인 구현은 대수 표현이 그 자체로 존재하지 않지만 특정 수치 세트와 불가분의 관계를 맺고 수치 표현의 일반화된 기록이라는 사실을 이해함으로써 촉진됩니다. 대수식과 수치식(그리고 그 변환) 사이의 유추는 논리적이며, 이를 교육에 사용하면 학생들의 실수를 예방하는 데 도움이 됩니다.

동일한 변환은 학교 수학 과정에서 별도의 주제가 아니며 대수학 전체 과정과 수학적 분석의 시작 부분에서 연구됩니다.

1~5학년을 위한 수학 프로그램은 변수를 사용한 표현식의 동일한 변환을 연구하기 위한 예방 자료입니다.

7학년 대수학 과정에서. 신원의 정의와 신원 변환이 소개됩니다.

데프.변수의 모든 값에 대해 해당 값이 동일한 두 개의 표현식이 호출됩니다. 동일하게 동일합니다.

ODA. 변수의 모든 값에 대해 참인 동등성을 항등이라고 합니다.

동일성의 가치는 주어진 표현을 그와 동일한 다른 표현으로 대체할 수 있다는 사실에 있습니다.

데프.한 표현식을 동일하게 동일한 다른 표현식으로 바꾸는 것을 호출합니다. 동일한 변환아니면 단순히 변환표현.

변수가 있는 표현식의 동일한 변환은 숫자 연산의 속성을 기반으로 수행됩니다.

항등 변환의 기초는 동등한 변환으로 간주될 수 있습니다.

ODA. 각각이 다른 문장의 논리적 귀결인 두 문장을 호출합니다. 동등한.

ODA. 변수 A가 포함된 문장이 호출됩니다. 변수 B가 있는 문장의 결과, 진리 영역 B가 진리 영역 A의 부분집합인 경우.

등가 문장에 대한 또 다른 정의가 주어질 수 있습니다. 변수가 있는 두 문장은 진리 영역이 일치하면 동등합니다.

a) B: R에 대한 x-1=0; A: (x-1) 2 나누기 R => A~B, 왜냐하면 진리 영역(해)이 일치함(x=1)

b) A: R에 대해 x=2; B: x 2 =4 over R => 진리 영역 A: x = 2; 진리 영역 B: x=-2, x=2; 왜냐하면 A의 진리 영역이 B에 포함되어 있으면 x 2 =4는 명제 x = 2의 결과입니다.

신원 변환의 기본은 동일한 숫자를 다른 형태로 표현하는 능력입니다. 예를 들어,


-

이 표현은 "분수의 기본 속성"이라는 주제를 공부할 때 도움이 될 것입니다.

신원 변환을 수행하는 기술은 다음과 유사한 예를 풀 때 발달하기 시작합니다. "a = 0.5, b = 2/3인 표현식 2a 3 +3ab+b 2 의 수치를 찾으세요." 5 기능의 선전학 개념을 허용합니다.

축약된 곱셈 공식을 공부할 때, 그들의 깊은 이해와 강한 동화에 주의해야 합니다. 이렇게 하려면 다음 그래픽 그림을 사용할 수 있습니다.


(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 a 2 -b 2 =(a-b)(a+b)

질문: 이 그림을 바탕으로 주어진 공식의 본질을 학생들에게 어떻게 설명해야 합니까?

일반적인 실수는 "합의 제곱"과 "제곱의 합"이라는 표현을 혼동하는 것입니다. 이러한 표현의 연산 순서가 다르다는 교사의 지적은 중요하지 않은 것 같습니다. 왜냐하면 학생들은 이러한 동작이 동일한 숫자에 대해 수행되므로 동작 순서를 변경해도 결과가 변하지 않는다고 믿기 때문입니다.

과제: 위의 공식을 오류 없이 사용하는 학생들의 능력을 개발하기 위한 말하기 연습 문제를 만듭니다. 이 두 표현이 어떻게 유사하고 서로 어떻게 다른지 어떻게 설명할 수 있습니까?

다양한 동일한 변형으로 인해 학생들은 변형이 수행되는 목적에 대해 방향을 잡기가 어렵습니다. 변환을 수행하는 목적(각 특정 사례에서)에 대한 모호한 지식은 학생들의 인식에 부정적인 영향을 미치고 학생들 사이에 엄청난 오류의 원인이 됩니다. 이는 다양한 정체성 변환을 수행하는 목표를 학생들에게 설명하는 것이 중요하다는 것을 의미합니다. 중요한 부분그것들을 연구하는 방법.

정체성 변화를 위한 동기의 예:

1. 표현식의 수치를 찾는 단순화;

2. 근을 잃지 않는 방정식의 변환을 선택합니다.

3. 변환을 수행할 때 계산 영역을 표시할 수 있습니다.

4. 계산에 변환 사용(예: 99 2 -1=(99-1)(99+1);

의사결정 과정을 관리하기 위해서는 교사가 학생이 저지른 실수의 본질을 정확하게 설명할 수 있는 능력을 갖는 것이 중요합니다. 오류의 정확한 특성화는 교사가 취하는 후속 조치를 올바르게 선택하는 데 중요합니다.

학생 오류의 예:

1. 곱셈 수행: 학생은 -54abx 6(7셀)을 받았습니다.

2. 3제곱(3x 2) 3으로 올리면 학생은 3x 6(7등급)을 받습니다.

3. (m + n) 2를 다항식으로 변환하면 학생은 m 2 + n 2(7학년)을 받았습니다.

4. 학생이 받은 부분을 줄임으로써(8등급);

5. 빼기 수행: , 학생이 적는다(8학년)

6. 분수의 형태로 분수를 표현하면 학생은 다음을 받았습니다. (8등급);

7. 산술근을 추출하여 학생은 x-1(9학년)을 받았습니다.

8. 방정식 풀기(9학년)

9. 표현을 변형함으로써 학생은 다음을 받습니다: (9학년).

결론

정체성 변환에 대한 연구는 특정 수업에서 공부하는 숫자 집합과 긴밀하게 연관되어 수행됩니다.

먼저 학생에게 변환의 각 단계를 설명하고 적용되는 규칙과 법칙을 공식화하도록 요청해야 합니다.

대수식의 동일한 변환에는 대체 및 등호 대체라는 두 가지 규칙이 사용됩니다. 대체가 가장 자주 사용되는 이유는 다음과 같습니다. 수식을 사용한 계산은 이를 기반으로 합니다. a=5이고 b=-3인 표현식 a*b의 값을 찾습니다. 학생들은 곱셈 연산을 수행할 때 곱셈 기호가 암시되어 있다고 믿고 괄호를 무시하는 경우가 많습니다. 예를 들어, 5*-3과 같이 입력할 수 있습니다.

문학

1. 인공지능 아자로프, S.A. Barvenov "시험 문제 해결을 위한 기능적 및 그래픽적 방법", Mn..Aversev, 2004

2. O.N. Piryutko "중앙 집중식 테스트의 일반적인 오류", Mn..Aversev, 2006

3. 인공지능 아자로프, S.A. Barvenov "중앙 집중식 테스트의 트랩 작업", Mn..Aversev, 2006

4. 인공지능 아자로프, S.A. Barvenov "삼각법 문제를 해결하는 방법", Mn..Aversev, 2005

숫자의 덧셈과 곱셈의 기본 속성.

덧셈의 ​​교환 성질: 항을 재배열해도 합계의 값은 변하지 않습니다. 임의의 숫자 a와 b에 대해 동등성은 참입니다.

덧셈의 ​​결합 성질: 두 수의 합에 세 번째 수를 더하려면 두 번째 수와 세 번째 수의 ​​합을 첫 번째 수에 더하면 됩니다. 임의의 숫자 a, b, c에 대해 평등은 참입니다.

곱셈의 교환 성질: 요소를 재배열해도 곱의 가치는 변하지 않습니다. 임의의 숫자 a, b, c에 대해 평등은 참입니다.

곱셈의 결합 속성: 두 숫자의 곱에 세 번째 숫자를 곱하려면 첫 번째 숫자에 두 번째와 세 번째 숫자의 곱을 곱하면 됩니다.

임의의 숫자 a, b, c에 대해 평등은 참입니다.

분산 속성: 숫자에 합계를 곱하려면 해당 숫자에 각 항을 곱하고 결과를 더하면 됩니다. 임의의 숫자 a, b, c에 대해 평등은 참입니다.

덧셈의 ​​교환적 및 결합적 속성은 다음과 같습니다. 어떤 합이든 원하는 방식으로 용어를 재배열하고 임의로 그룹으로 결합할 수 있습니다.

예제 1 합 1.23+13.5+4.27을 계산해 보겠습니다.

이렇게 하려면 첫 번째 용어와 세 번째 용어를 결합하는 것이 편리합니다. 우리는 다음을 얻습니다:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

곱셈의 교환 및 결합 속성에서 다음과 같은 내용이 나옵니다. 모든 제품에서 요소를 어떤 방식으로든 재배열하고 임의로 그룹으로 결합할 수 있습니다.

실시예 2 제품의 가치 1.8·0.25·64·0.5를 구해보자.

첫 번째 요소를 네 번째 요소와 결합하고 두 번째 요소를 세 번째 요소와 결합하면 다음과 같습니다.

1.8·0.25·64·0.5=(1.8·0.5)·(0.25·64)=0.9·16=14.4.

분배 법칙은 숫자에 세 개 이상의 항의 합을 곱할 때도 적용됩니다.

예를 들어 임의의 숫자 a, b, c 및 d에 대해 동등성은 참입니다.

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

우리는 빼기의 반대 수를 피감수에 더함으로써 뺄셈을 덧셈으로 대체할 수 있다는 것을 알고 있습니다.

이를 통해 a-b 형식의 수치 표현은 숫자 a와 -b의 합으로 간주되고, a+b-c-d 형식의 수치 표현은 숫자 a, b, -c, -d 등의 합으로 간주됩니다. 고려된 행동의 속성은 그러한 합계에도 유효합니다.

예제 3 3.27-6.5-2.5+1.73이라는 수식의 값을 구해보겠습니다.

이 표현식은 숫자 3.27, -6.5, -2.5 및 1.73의 합입니다. 덧셈의 ​​속성을 적용하면 다음과 같은 결과를 얻습니다: 3.27-6.5-2.5+1.73=(3.27+1.73)+(-6.5-2.5)=5+(-9) = -4.

실시예 4 곱 36·()를 계산해 보자.

승수는 숫자와 -의 합으로 생각할 수 있습니다. 곱셈의 분배법칙을 사용하여 다음을 얻습니다.

36()=36·-36·=9-10=-1.

신원

정의. 변수의 모든 값에 대해 해당 값이 동일한 두 표현식을 동일 동일이라고 합니다.

정의. 변수의 모든 값에 대해 참인 동등성을 항등이라고 합니다.

x=5, y=4에 대해 표현식 3(x+y)와 3x+3y의 값을 찾아보겠습니다.

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3·5+3·4=15+12=27.

우리는 같은 결과를 얻었습니다. 분포 속성에 따르면 일반적으로 변수의 모든 값에 대해 표현식 3(x+y) 및 3x+3y의 해당 값이 동일합니다.

이제 2x+y 및 2xy 표현식을 고려해 보겠습니다. x=1, y=2이면 동일한 값을 취합니다.

그러나 이러한 표현식의 값이 동일하지 않도록 x와 y의 값을 지정할 수 있습니다. 예를 들어 x=3, y=4이면

3(x+y) 표현식과 3x+3y 표현식은 동일하게 동일하지만 2x+y 및 2xy 표현식은 동일하게 동일하지 않습니다.

x와 y의 모든 값에 대해 참인 동등성 3(x+y)=x+3y는 항등식입니다.

진정한 수치적 평등도 항등식으로 간주됩니다.

따라서 항등식은 숫자 연산의 기본 속성을 표현하는 등식입니다.

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

신원의 다른 예는 다음과 같습니다.

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a·1=a, a·(-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

표현식의 동일한 변환

한 표현식을 동일하게 동일한 다른 표현식으로 바꾸는 것을 동일 변환 또는 단순히 표현식 변환이라고 합니다.

변수가 있는 표현식의 동일한 변환은 숫자 연산의 속성을 기반으로 수행됩니다.

주어진 x, y, z 값에 대해 xy-xz 표현식의 값을 찾으려면 세 단계를 수행해야 합니다. 예를 들어, x=2.3, y=0.8, z=0.2이면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

xy-xz=2.3·0.8-2.3·0.2=1.84-0.46=1.38.

이 결과는 xy-xz 표현식과 동일하게 x(y-z) 표현식을 사용하는 경우 두 단계만 수행하여 얻을 수 있습니다.

xy-xz=2.3(0.8-0.2)=2.3·0.6=1.38.

xy-xz 표현식을 동일하게 동일한 표현식 x(y-z)로 대체하여 계산을 단순화했습니다.

표현식의 동일한 변환은 표현식의 값을 계산하고 다른 문제를 해결하는 데 널리 사용됩니다. 예를 들어 유사한 용어를 가져오고 괄호를 여는 등 일부 동일한 변환이 이미 수행되어야 했습니다. 이러한 변환을 수행하는 규칙을 기억해 보겠습니다.

유사한 용어를 가져오려면 해당 계수를 더하고 그 결과에 공통 문자 부분을 곱해야 합니다.

대괄호 앞에 더하기 기호가 있으면 대괄호를 생략하고 대괄호 안에 있는 각 용어의 부호를 유지할 수 있습니다.

괄호 앞에 빼기 기호가 있는 경우 괄호 안의 각 용어의 기호를 변경하여 괄호를 생략할 수 있습니다.

예시 1 5x+2x-3x의 합으로 비슷한 용어를 제시해 보겠습니다.

유사한 용어를 줄이는 규칙을 사용해 보겠습니다.

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

이 변환은 곱셈의 분배 속성을 기반으로 합니다.

예제 2 수식 2a+(b-3c)에서 괄호를 열어 보겠습니다.

더하기 기호 앞에 괄호를 여는 규칙 사용:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

수행되는 변환은 덧셈의 결합 특성을 기반으로 합니다.

예제 3 a-(4b-c) 표현식에서 괄호를 열어 보겠습니다.

빼기 기호 앞에 괄호를 여는 규칙을 사용해 보겠습니다.

a-(4b-c)=a-4b+c.

수행되는 변환은 곱셈의 분배 속성과 덧셈의 결합 속성을 기반으로 합니다. 보여드리겠습니다. 이 표현식에서 두 번째 항 -(4b-c)를 곱 (-1)(4b-c)로 표현해 보겠습니다.

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

지정된 작업 속성을 적용하면 다음을 얻을 수 있습니다.

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

대수학에서 고려되는 다양한 표현 중에서 단항식의 합은 중요한 위치를 차지합니다. 다음은 그러한 표현의 예입니다.
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

단항식의 합을 다항식이라고 합니다. 다항식의 항을 다항식의 항이라고 합니다. 단항식은 단항식을 하나의 멤버로 구성된 다항식으로 간주하여 다항식으로 분류됩니다.

예를 들어, 다항식
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
단순화될 수 있습니다.

표준 형식의 단항식 형태로 모든 용어를 표현해 보겠습니다.
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

결과 다항식에 유사한 용어를 제시해 보겠습니다.
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
결과는 다항식이며 모든 항은 표준 형식의 단항식이며 그중에는 유사한 항이 없습니다. 이러한 다항식은 다음과 같이 불립니다. 표준 형식의 다항식.

뒤에 다항식의 정도표준 형태의 구성원은 구성원의 최고의 권한을 갖습니다. 따라서 이항식 \(12a^2b - 7b\)은 3차를 가지며, 삼항식 \(2b^2 -7b + 6\)은 2차를 갖습니다.

일반적으로 하나의 변수를 포함하는 표준형 다항식의 항은 지수의 내림차순으로 배열됩니다. 예를 들어:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

여러 다항식의 합은 표준 형식의 다항식으로 변환(간소화)될 수 있습니다.

때때로 다항식의 항은 그룹으로 나누어 각 그룹을 괄호로 묶어야 합니다. 묶는 괄호는 여는 괄호의 역변환이므로 공식화하기 쉽습니다. 괄호 여는 규칙:

괄호 앞에 "+" 기호가 있으면 괄호 안의 용어도 같은 기호로 표기됩니다.

괄호 앞에 "-" 기호가 있으면 괄호 안의 용어는 반대 기호로 표기됩니다.

단항식과 다항식의 곱의 변환(단순화)

곱셈의 분배 속성을 사용하면 단항식과 다항식의 곱을 다항식으로 변환(간소화)할 수 있습니다. 예를 들어:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

단항식과 다항식의 곱은 이 단항식과 다항식의 각 항의 곱의 합과 동일합니다.

이 결과는 일반적으로 규칙으로 공식화됩니다.

단항식에 다항식을 곱하려면 해당 단항식에 다항식의 각 항을 곱해야 합니다.

우리는 이미 이 규칙을 여러 번 사용하여 합계를 곱했습니다.

다항식의 곱. 두 다항식의 곱의 변환(단순화)

일반적으로 두 다항식의 곱은 한 다항식의 각 항과 다른 다항식의 각 항의 곱의 합과 동일합니다.

일반적으로 다음 규칙이 사용됩니다.

다항식에 다항식을 곱하려면 한 다항식의 각 항에 다른 다항식의 각 항을 곱하고 그 결과를 더해야 합니다.

약식 곱셈 공식. 제곱합, 차이 및 제곱의 차이

대수 변환의 일부 표현식은 다른 표현식보다 더 자주 처리해야 합니다. 아마도 가장 일반적인 표현은 \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) 및 \(a^2 - b^2 \)입니다. 즉, 합의 제곱, 제곱의 차이와 차이. 이러한 표현식의 이름이 불완전한 것 같습니다. 예를 들어 \((a + b)^2 \)는 물론 단순히 합의 제곱이 아니라 a와 b 합의 제곱입니다. . 그러나 a와 b의 합의 제곱은 자주 발생하지 않으며 일반적으로 문자 a와 b 대신 다양하고 때로는 매우 복잡한 표현이 포함됩니다.

\((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) 표현식은 표준 형식의 다항식으로 쉽게 변환(간소화)될 수 있습니다. 실제로 다항식을 곱할 때 이미 이 작업을 접한 적이 있습니다.
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

결과 ID를 기억하고 중간 계산 없이 적용하는 것이 유용합니다. 간단한 구두 표현이 도움이 됩니다.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - 합의 제곱은 제곱과 이중 곱의 합과 같습니다.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - 차이의 제곱은 두 배의 곱을 제외한 제곱의 합과 같습니다.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - 제곱의 차이는 차이와 합계의 곱과 같습니다.

이 세 가지 정체성을 사용하면 변환 시 왼쪽 부분을 오른쪽 부분으로 교체할 수 있으며 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 즉, 오른쪽 부분을 왼쪽 부분으로 바꿀 수 있습니다. 가장 어려운 것은 해당 표현식을 보고 변수 a와 b가 어떻게 대체되는지 이해하는 것입니다. 축약된 곱셈 공식을 사용하는 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

원래 표현식을 구성하는 숫자와 표현식은 동일하게 동일한 표현식으로 대체될 수 있습니다. 원래 표현의 이러한 변형은 그것과 동일하게 동일한 표현으로 이어집니다.

예를 들어, 3+x 표현식에서 숫자 3은 합 1+2로 대체될 수 있으며, 그 결과 원래 표현식과 동일하게 (1+2)+x 표현식이 생성됩니다. 또 다른 예: 1+a 5라는 표현에서 a 5의 거듭제곱은 예를 들어 a·a 4 형식의 동일하고 동일한 곱으로 대체될 수 있습니다. 그러면 1+a·a 4라는 표현이 나옵니다.

이 변환은 의심할 바 없이 인위적이며 일반적으로 추가 변환을 위한 준비입니다. 예를 들어, 4 x 3 +2 x 2의 합에서 차수의 속성을 고려하면 4 x 3이라는 용어는 2 x 2 2 x의 곱으로 표시될 수 있습니다. 이 변환 후에 원래 표현식은 2 x 2 2 x+2 x 2 형식을 취합니다. 분명히 결과 합계의 항은 2 x 2의 공통 인수를 가지므로 다음 변환인 괄호를 수행할 수 있습니다. 그 후에는 2 x 2 (2 x+1)이라는 표현이 나옵니다.

같은 수를 더하고 빼는 것

표현식의 또 다른 인위적인 변형은 동일한 숫자나 표현식을 더하고 동시에 빼는 것입니다. 이 변환은 본질적으로 0을 추가하는 것과 동일하고 0을 추가해도 값이 변경되지 않으므로 동일합니다.

예를 살펴보겠습니다. x 2 +2·x라는 표현을 생각해 봅시다. 여기에 하나를 더하고 하나를 빼면 나중에 또 다른 동일한 변형을 수행할 수 있습니다. 이항식을 제곱하다: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.

서지.

  • 대수학:교과서 7학년 일반 교육 기관 / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; 편집자 S. A. Telyakovsky. - 17판. -M .: 교육, 2008. - 240p. : 아픈. - ISBN 978-5-09-019315-3.
  • 대수학:교과서 8학년용. 일반 교육 기관 / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; 편집자 S. A. Telyakovsky. - 16판. -M .: 교육, 2008. - 271 p. : 아픈. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • 모르드코비치 A.G.대수학. 7 학년. 2시간 후 1부. 일반 교육 기관 학생을 위한 교과서 / A. G. Mordkovich. - 17판, 추가. - M .: Mnemosyne, 2013. - 175 p .: 아픈. ISBN 978-5-346-02432-3.


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