밑수 2에 대한 12의 로그는 다음과 같습니다. 자연로그의 기본 공식

원시 수준 대수학의 요소 중 하나는 로그입니다. 이름은 "숫자" 또는 "힘"이라는 단어에서 유래한 그리스어에서 유래되었으며 최종 숫자를 찾기 위해 밑수에 있는 숫자를 올려야 하는 힘을 의미합니다.

로그의 유형

• log a b – 밑수 a에 대한 숫자 b의 로그(a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• log b – 십진 로그(밑이 10인 로그, a = 10);
• ln b – 자연 로그(밑 e에 대한 로그, a = e).

로그를 푸는 방법?

밑수 a에 대한 b의 로그는 b를 밑수 a로 올려야 하는 지수입니다. 얻은 결과는 다음과 같이 발음됩니다. "밑수 a에 대한 b의 로그". 로그 문제에 대한 해결책은 지정된 숫자에서 숫자로 주어진 거듭제곱을 결정해야 한다는 것입니다. 표기법 자체를 변환하는 것뿐만 아니라 로그를 결정하거나 풀기 위한 몇 가지 기본 규칙이 있습니다. 이를 사용하여 로그 방정식을 풀고, 도함수를 구하고, 적분을 풀고, 기타 여러 작업을 수행합니다. 기본적으로 로그 자체에 대한 해법은 단순화된 표기법입니다. 다음은 기본 공식과 속성입니다.

어떤 경우에는 ; a > 0; a ≠ 1이고 모든 x에 대해; 와이 > 0.

• a log a b = b – 기본 로그 항등
• 로그 1 = 0
• 로가 a = 1
• 로그 a (x y) = 로그 a x + 로그 a y
• 로그 x/y = 로그 x – 로그 a y
• 1/x 로그 = -log a x
• 로그 a x p = p 로그 a x
• log a k x = 1/k log a x , k ≠ 0인 경우
• 로그 a x = 로그 a c x c
• log a x = log b x/ log b a – 새로운 밑수로 이동하는 공식
• 로그 x = 1/로그 x a

로그를 푸는 방법 - 해결을 위한 단계별 지침

• 먼저, 필요한 방정식을 적어보세요.

참고: 기본 로그가 10이면 항목이 단축되어 소수 로그가 됩니다. 자연수 e가 있으면 이를 적어 자연 로그로 줄입니다. 이는 모든 로그의 결과가 숫자 b를 얻기 위해 밑수를 올리는 거듭제곱이라는 것을 의미합니다.

직접적으로 해결책은 이 정도를 계산하는 데 있습니다. 로그로 표현식을 풀기 전에 공식을 사용하여 규칙에 따라 단순화해야 합니다. 기사를 조금 뒤로 돌아가면 주요 정체성을 찾을 수 있습니다.

두 개의 서로 다른 숫자이지만 동일한 밑수를 사용하여 로그를 더하고 뺄 때 각각 숫자 b와 c의 곱이나 나눗셈을 사용하여 하나의 로그로 바꿉니다. 이 경우 다른 거점으로 이동하는 공식을 적용할 수 있습니다(위 참조).

표현식을 사용하여 로그를 단순화하는 경우 고려해야 할 몇 가지 제한 사항이 있습니다. 즉, 로그 a의 밑은 양수일 뿐이고 1과 같지 않습니다. 숫자 b는 a와 마찬가지로 0보다 커야 합니다.

식을 단순화하면 로그를 수치적으로 계산할 수 없는 경우가 있습니다. 많은 거듭제곱이 무리수이기 때문에 그러한 표현이 의미가 없는 경우가 있습니다. 이 조건에서 숫자의 거듭제곱을 로그로 둡니다.

자연 로그, 그래프, 정의 영역, 값 집합, 기본 공식, 도함수, 적분, 거듭제곱 급수 전개 및 복소수를 사용한 함수 ln x 표현의 기본 속성이 제공됩니다.

정의

자연로그함수 y = ln x, 지수의 역수 x = e y이며 숫자 e의 밑수에 대한 로그입니다. ln x = 로그 e x.

자연 로그는 그 도함수가 가장 간단한 형태를 갖기 때문에 수학에서 널리 사용됩니다. (ln x)' = 1/ x.

기반을 둔 정의, 자연로그의 밑은 숫자입니다. 이자형:
전자 ≅ 2.718281828459045...;
.

함수 그래프 y = ln x.

자연로그 그래프(함수 y = ln x)는 직선 y = x에 대한 거울 반사에 의한 지수 그래프로부터 얻어집니다.

자연 로그는 변수 x의 양수 값에 대해 정의됩니다. 정의 영역에서는 단조롭게 증가합니다.

x → 0 자연로그의 극한은 음의 무한대(-무한대)입니다.

x → + 로서 자연로그의 극한은 플러스 무한대(+ )입니다. x가 큰 경우 로그는 매우 느리게 증가합니다. 양의 지수 a를 갖는 모든 거듭제곱 함수 x a는 로그보다 빠르게 증가합니다.

자연로그의 성질

정의 영역, 값 집합, 극한값, 증가, 감소

자연 로그는 단조 증가 함수이므로 극값이 없습니다. 자연 로그의 주요 속성이 표에 나와 있습니다.

ln x 값

ln 1 = 0

자연로그의 기본 공식

역함수의 정의에 따른 공식:

로그의 주요 속성과 그 결과

베이스 교체식

모든 로그는 기본 대체 공식을 사용하여 자연 로그로 표현될 수 있습니다.

이러한 공식의 증명은 "로그" 섹션에 나와 있습니다.

역함수

자연로그의 역수는 지수입니다.

그렇다면

그렇다면.

미분 ln x

자연로그의 미분:
.
모듈러스 x의 자연 로그의 미분:
.
n차 도함수:
.
수식 도출 > > >

완전한

적분은 부분별 적분으로 계산됩니다.
.
그래서,

복소수를 사용한 표현식

복소수 변수 z의 기능을 고려해보세요.
.
복소변수를 표현해보자 지모듈을 통해 아르 자형그리고 논쟁 φ :
.
로그의 속성을 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
.
또는
.
인수 ψ는 고유하게 정의되지 않았습니다. 당신이 넣으면
, 여기서 n은 정수이고,
다른 n에 대해 동일한 숫자가 됩니다.

따라서 복소수 변수의 함수인 자연 로그는 단일 값 함수가 아닙니다.

파워 시리즈 확장

확장이 발생하는 경우:

참고자료:
안에. 브론스타인, K.A. Semendyaev, 엔지니어 및 대학생을 위한 수학 핸드북, "Lan", 2009.

밑수 a(a > 0, a ≠ 1)에 대한 숫자 b(b > 0)의 로그- b를 얻기 위해 a를 올려야 하는 지수.

b의 밑이 10인 로그는 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 로그(b), 밑이 e인 로그(자연 로그)는 다음과 같습니다. ln(b).

로그 문제를 풀 때 자주 사용됩니다.

로그의 속성

크게 4가지가 있는데 로그의 속성.

a > 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0이라고 가정합니다.

특성 1. 곱의 로그

제품의 로그로그의 합과 같습니다:

로그 a (x ⋅ y) = 로그 a x + 로그 a y

속성 2. 몫의 로그

몫의 로그로그의 차이와 같습니다:

로그 a (x / y) = 로그 a x – 로그 a y

속성 3. 거듭제곱의 로그

정도의 로그거듭제곱과 로그의 곱과 같습니다.

로그의 밑이 각도인 경우 다른 공식이 적용됩니다.

속성 4. 근의 로그

이 속성은 거듭제곱의 n제곱근이 1/n의 거듭제곱과 같기 때문에 거듭제곱의 로그 속성에서 얻을 수 있습니다.

한 밑수의 로그를 다른 밑수의 로그로 변환하는 공식

이 공식은 로그에 대한 다양한 작업을 해결할 때도 자주 사용됩니다.

특별한 경우:

로그 비교(부등식)

밑이 동일한 로그 아래에 두 개의 함수 f(x)와 g(x)가 있고 그 사이에는 부등호가 있습니다.

이를 비교하려면 먼저 로그 a의 밑을 살펴봐야 합니다.

• a > 0이면 f(x) > g(x) > 0입니다.
• 0이면< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

로그 문제를 해결하는 방법: 예

로그 문제작업 5 및 작업 7의 11학년 수학 통합 상태 시험에 포함된 경우 당사 웹 사이트의 해당 섹션에서 솔루션이 있는 작업을 찾을 수 있습니다. 또한 로그가 포함된 작업은 수학 작업 은행에서 찾을 수 있습니다. 사이트를 검색하면 모든 예제를 찾을 수 있습니다.

로그란 무엇입니까?

로그는 항상 학교 수학 과정에서 어려운 주제로 간주되어 왔습니다. 로그에 대한 다양한 정의가 있지만 어떤 이유로 대부분의 교과서에서는 가장 복잡하고 성공하지 못한 정의를 사용합니다.

로그를 간단하고 명확하게 정의하겠습니다. 이를 위해 테이블을 생성해 보겠습니다.

그래서 우리는 2의 거듭제곱을 가지고 있습니다.

로그 - 속성, 공식, 해결 방법

맨 밑줄에서 숫자를 취하면 이 숫자를 얻기 위해 두 개를 올려야 하는 힘을 쉽게 찾을 수 있습니다. 예를 들어 16을 얻으려면 2의 4승을 올려야 합니다. 그리고 64를 얻으려면 2의 6승을 올려야 합니다. 이는 표를 보면 알 수 있습니다.

그리고 이제 - 실제로 로그의 정의는 다음과 같습니다.

인수 x의 밑수 a는 숫자 x를 얻기 위해 숫자 a를 올려야 하는 거듭제곱입니다.

지정: log a x = b, 여기서 a는 밑수, x는 인수, b는 로그가 실제로 동일한 값입니다.

예를 들어, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3(2 3 = 8이므로 8의 밑이 2인 로그는 3입니다). 동일한 성공으로 2 6 = 64이므로 로그 2 64 = 6입니다.

주어진 밑수에 대한 숫자의 로그를 찾는 작업을 호출합니다. 이제 테이블에 새 줄을 추가해 보겠습니다.

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
로그 2 2 = 1	로그 2 4 = 2	로그 2 8 = 3	로그 2 16 = 4	로그 2 32 = 5	로그 2 64 = 6

불행하게도 모든 로그가 그렇게 쉽게 계산되는 것은 아닙니다. 예를 들어, 로그 2 5를 찾으십시오. 숫자 5는 테이블에 없지만 논리에 따르면 로그는 구간 어딘가에 있을 것입니다. 왜냐면 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

이러한 숫자를 무리수라고 합니다. 소수점 이하의 숫자는 무한정 쓸 수 있으며 결코 반복되지 않습니다. 로그가 비합리적인 것으로 판명되면 log 2 5, log 3 8, log 5 100과 같이 그대로 두는 것이 좋습니다.

로그는 두 개의 변수(밑수와 인수)가 있는 표현식이라는 점을 이해하는 것이 중요합니다. 처음에는 근거가 어디에 있고 주장이 어디에 있는지 혼동하는 사람들이 많습니다. 성가신 오해를 피하려면 그림을 살펴보십시오.

우리 앞에는 로그의 정의에 지나지 않습니다. 기억하다: 로그는 거듭제곱이다, 인수를 얻으려면 기반을 구축해야 합니다. 거듭제곱된 베이스입니다. 그림에서 빨간색으로 강조 표시되어 있습니다. 베이스는 항상 바닥에 있다는 것이 밝혀졌습니다! 나는 첫 수업에서 학생들에게 이 놀라운 규칙을 말하는데, 아무런 혼란도 일어나지 않습니다.

로그를 계산하는 방법

우리는 정의를 알아냈습니다. 남은 것은 로그를 계산하는 방법을 배우는 것입니다. "로그" 표시를 제거하세요. 우선, 정의에서 두 가지 중요한 사실이 뒤따른다는 점에 주목합니다.

1. 인수와 밑은 항상 0보다 커야 합니다. 이는 로그의 정의가 축소되는 유리수 지수에 의한 정도의 정의에서 따릅니다.
2. 기초는 어느 정도든 여전히 하나로 남아 있기 때문에 하나와 달라야 합니다. 그렇기 때문에 “두 개를 얻으려면 어떤 권세까지 올라가야 하는가”라는 질문은 의미가 없습니다. 그런 정도는 없습니다!

이러한 제한을 호출합니다. 허용 가능한 값의 범위(ODZ). 로그의 ODZ는 다음과 같습니다: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

숫자 b(로그 값)에는 제한이 없습니다. 예를 들어, 로그는 음수가 될 수도 있습니다: log 2 0.5 = −1, 왜냐하면 0.5 = 2 −1.

그러나 이제 우리는 로그의 VA를 알 필요가 없는 수치 표현만을 고려하고 있습니다. 문제 작성자는 모든 제한 사항을 이미 고려했습니다. 그러나 로그 방정식과 부등식이 적용되면 DL 요구 사항이 필수가 됩니다. 결국, 근거와 주장에는 위의 제한 사항과 반드시 ​​일치하지 않는 매우 강력한 구성이 포함될 수 있습니다.

이제 로그 계산을 위한 일반적인 방식을 살펴보겠습니다. 이는 세 단계로 구성됩니다.

1. 밑수 a와 인수 x를 가능한 최소 밑수가 1보다 큰 거듭제곱으로 표현합니다. 그 과정에서 소수를 없애는 것이 더 좋습니다.
2. 변수 b에 대한 방정식을 풉니다. x = a b ;
3. 결과 숫자 b가 답이 될 것입니다.

그게 다야! 로그가 비합리적인 것으로 판명되면 이는 첫 번째 단계에서 이미 표시됩니다. 밑이 1보다 커야 한다는 요구 사항은 매우 중요합니다. 이렇게 하면 오류 가능성이 줄어들고 계산이 크게 단순화됩니다. 소수도 마찬가지입니다. 즉시 일반 분수로 변환하면 오류가 훨씬 줄어듭니다.

구체적인 예를 사용하여 이 체계가 어떻게 작동하는지 살펴보겠습니다.

일. 로그를 계산합니다: log 5 25

1. 밑수와 인수를 5의 거듭제곱으로 상상해 봅시다: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

방정식을 만들고 풀어 봅시다:
로그 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. 우리는 다음과 같은 답변을 받았습니다: 2.

일. 로그를 계산합니다.

일. 로그를 계산합니다: log 4 64

1. 밑수와 인수를 2의 거듭제곱으로 상상해 봅시다: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. 방정식을 만들고 풀어 봅시다:
   로그 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. 우리는 다음과 같은 답변을 받았습니다: 3.

일. 로그를 계산합니다: log 16 1

1. 밑수와 인수를 2의 거듭제곱으로 상상해 봅시다: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. 방정식을 만들고 풀어 봅시다:
   로그 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. 우리는 0이라는 답변을 받았습니다.

일. 로그를 계산합니다: log 7 14

1. 밑수와 인수를 7의 거듭제곱으로 상상해 봅시다. 7 = 7 1 ; 14는 7의 거듭제곱으로 표현될 수 없습니다. 왜냐하면 7 1이기 때문입니다.< 14 < 7 2 ;
2. 이전 단락에서 로그는 계산되지 않습니다.
3. 대답은 변화가 없다는 것입니다: 로그 7 14.

마지막 예에 대한 작은 참고 사항입니다. 숫자가 다른 숫자의 정확한 거듭제곱이 아니라는 것을 어떻게 확신할 수 있습니까? 매우 간단합니다. 소인수로 인수분해하면 됩니다. 확장에 두 가지 이상의 다른 요인이 있는 경우 그 숫자는 정확한 거듭제곱이 아닙니다.

일. 숫자가 정확한 거듭제곱인지 알아보세요: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - 정확한 차수, 왜냐하면 승수는 하나뿐입니다.
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - 3과 2의 두 가지 요인이 있으므로 정확한 거듭제곱은 아닙니다.
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - 정확한 정도;
35 = 7 · 5 - 역시 정확한 거듭제곱은 아닙니다.
14 = 7 · 2 - 역시 정확한 정도는 아닙니다.

또한 소수 자체는 항상 자신의 정확한 거듭제곱이라는 점에 유의하세요.

십진 로그

일부 로그는 너무 흔해서 특별한 이름과 기호를 갖습니다.

인수 x는 밑이 10인 로그입니다. 즉, 숫자 x를 얻기 위해 숫자 10을 거듭제곱해야 합니다. 명칭 : LG X.

예를 들어, 로그 10 = 1; LG 100 = 2; LG 1000 = 3 - 등.

앞으로 교과서에 'lg 0.01을 찾아라' 같은 문구가 나오면 오타가 아니라는 점을 알아두시기 바랍니다. 이것은 십진 로그입니다. 그러나 이 표기법에 익숙하지 않은 경우 언제든지 다시 작성할 수 있습니다.
로그 x = 로그 10 x

일반 로그에 대해 참인 모든 것은 십진 로그에도 참입니다.

자연로그

자체 지정이 있는 또 다른 로그가 있습니다. 어떤 면에서는 십진수보다 훨씬 더 중요합니다. 우리는 자연 로그에 대해 이야기하고 있습니다.

인수 x의 밑은 e에 대한 로그입니다. 즉, 숫자 x를 얻기 위해 숫자 e를 올려야 하는 거듭제곱입니다. 명칭: ln x.

많은 사람들이 물을 것입니다. 숫자 e는 무엇입니까? 이는 무리수이므로 정확한 값을 찾아 기록할 수 없습니다. 나는 첫 번째 수치만을 제시할 것이다:
e = 2.718281828459…

이 숫자가 무엇인지, 왜 필요한지에 대해서는 자세히 설명하지 않겠습니다. e가 자연로그의 밑이라는 점을 기억하세요.
ln x = 로그 e x

따라서 ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - 등. 반면에 ln2는 무리수이다. 일반적으로 유리수의 자연 로그는 무리수입니다. 물론, ln 1 = 0인 경우는 제외됩니다.

자연로그의 경우 일반 로그에 적용되는 모든 규칙이 유효합니다.

또한보십시오:

로그. 로그의 속성(로그의 거듭제곱).

숫자를 로그로 표현하는 방법은 무엇입니까?

우리는 로그의 정의를 사용합니다.

로그는 로그 기호 아래의 숫자를 얻기 위해 밑을 올려야 하는 지수입니다.

따라서 특정 숫자 c를 밑수 a에 대한 로그로 나타내려면 로그 부호 아래에 로그 밑과 동일한 밑수를 거듭제곱하고 이 숫자 c를 지수로 써야 합니다.

절대적으로 모든 숫자는 로그(양수, 음수, 정수, 분수, 유리수, 무리수)로 표현될 수 있습니다.

시험이나 시험의 스트레스가 많은 조건에서 a와 c를 혼동하지 않으려면 다음 암기 규칙을 사용할 수 있습니다.

아래에 있는 것은 내려가고, 위에 있는 것은 올라갑니다.

예를 들어 숫자 2를 밑이 3인 로그로 표현해야 합니다.

2와 3이라는 두 개의 숫자가 있습니다. 이 숫자는 밑수와 지수이며 로그 기호 아래에 쓸 것입니다. 이 숫자 중 어느 숫자를 기준으로 기록해야 하는지, 어느 숫자를 지수까지 기록해야 하는지 결정하는 것이 남아 있습니다.

로그 표기법에서 밑수 3은 맨 아래에 있습니다. 이는 밑수 3에 대한 로그로 2를 나타낼 때 밑수에도 3을 적는다는 의미입니다.

2는 3보다 높습니다. 그리고 2차 표기법에서 우리는 3위 위에 즉 지수로 씁니다.

로그. 첫 번째 수준.

로그

로그정수 비기반으로 ㅏ, 어디 a > 0, a ≠ 1, 숫자를 올려야 하는 지수라고 합니다. ㅏ, 얻으려면 비.

로그의 정의다음과 같이 간략하게 작성할 수 있습니다.

이 평등은 다음에 유효합니다. b > 0, a > 0, a ≠ 1.일반적으로 호출됩니다. 로그 항등식.
숫자의 로그를 찾는 작업을 호출합니다. 로그로.

로그의 속성:

제품의 로그:

몫의 로그:

로그 밑 바꾸기:

정도의 로그:

근의 로그:

거듭제곱을 기반으로 한 로그:

소수 및 자연 로그.

십진 로그숫자는 이 숫자의 로그를 밑수 10으로 호출하고   lg라고 씁니다. 비
자연로그숫자를 밑수에 대한 로그라고 합니다. 이자형, 어디 이자형- 대략 2.7과 같은 무리수. 동시에 그들은 ln을 쓴다. 비.

대수학과 기하학에 관한 기타 참고 사항

로그의 기본 속성

로그의 기본 속성

다른 숫자와 마찬가지로 로그도 모든 방법으로 더하고, 빼고, 변환할 수 있습니다. 그러나 로그는 정확히 평범한 숫자가 아니기 때문에 여기에는 다음과 같은 규칙이 있습니다. 주요 속성.

이러한 규칙을 확실히 알아야 합니다. 규칙이 없으면 심각한 로그 문제 하나도 해결할 수 없습니다. 또한 그 중 거의 없습니다. 하루 만에 모든 것을 배울 수 있습니다. 그럼 시작해 보겠습니다.

로그 더하기 및 빼기

밑이 동일한 두 개의 로그(x를 로그하고 y를 로그)를 고려하십시오. 그런 다음 더하고 뺄 수 있으며 다음과 같습니다.

1. 로그 a x + 로그 a y = 로그 a (x y);
2. 로그 a x - 로그 a y = 로그 a (x:y).

따라서 로그의 합은 곱의 로그와 같고 그 차이는 몫의 로그와 같습니다. 참고하세요: 여기서 핵심은 다음과 같습니다. 동일한 근거. 이유가 다르면 이 규칙은 적용되지 않습니다!

이 공식은 개별 부분을 고려하지 않는 경우에도 로그 표현식을 계산하는 데 도움이 됩니다("로그란 무엇인가" 단원 참조). 예제를 살펴보고 다음을 확인하세요.

로그 6 4 + 로그 6 9.

로그는 밑이 동일하므로 합계 공식을 사용합니다.
로그 6 4 + 로그 6 9 = 로그 6 (4 9) = 로그 6 36 = 2.

일. 다음 표현식의 값을 구합니다: log 2 48 − log 2 3.

기본은 동일하므로 차이 공식을 사용합니다.
로그 2 48 - 로그 2 3 = 로그 2 (48:3) = 로그 2 16 = 4.

일. 다음 표현식의 값을 구합니다: log 3 135 − log 3 5.

이번에도 기본은 동일하므로 다음과 같습니다.
로그3 135 - 로그3 5 = 로그3(135:5) = 로그3 27 = 3.

보시다시피 원래 표현식은 별도로 계산되지 않는 "나쁜" 로그로 구성됩니다. 그러나 변환 후에는 완전히 정상적인 숫자가 얻어집니다. 많은 테스트가 이 사실을 기반으로 합니다. 예, 통합 국가 시험에서는 시험과 같은 표현이 진지하게(때로는 거의 변경 없이) 제공됩니다.

로그에서 지수 추출하기

이제 작업을 조금 복잡하게 만들어 보겠습니다. 로그의 밑수 또는 인수가 거듭제곱이면 어떻게 되나요? 그런 다음 이 정도의 지수는 다음 규칙에 따라 로그 부호에서 제거될 수 있습니다.

마지막 규칙이 처음 두 규칙을 따르는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 그러나 어쨌든 기억하는 것이 좋습니다. 어떤 경우에는 계산량이 크게 줄어들 것입니다.

물론 로그의 ODZ가 관찰되면(a > 0, a ≠ 1, x > 0) 이러한 모든 규칙이 의미가 있습니다. 그리고 한 가지 더: 모든 수식을 왼쪽에서 오른쪽으로 적용하는 방법뿐만 아니라 그 반대로도 적용하는 방법을 배우십시오. , 즉. 로그 자체에 로그 기호 앞에 숫자를 입력할 수 있습니다.

로그를 푸는 방법

이것이 가장 자주 요구되는 것입니다.

일. 다음 표현식의 값을 찾으세요: log 7 49 6 .

첫 번째 공식을 사용하여 인수의 정도를 제거해 보겠습니다.
로그 7 49 6 = 6 로그 7 49 = 6 2 = 12

일. 표현의 의미를 찾으십시오.

분모에는 로그가 포함되어 있으며 밑과 인수는 정확한 거듭제곱입니다. 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. 우리는:

마지막 예에는 약간의 설명이 필요하다고 생각합니다. 로그는 어디로 갔나요? 마지막 순간까지 우리는 분모만을 가지고 작업합니다. 우리는 거기에 있는 로그의 밑수와 인수를 거듭제곱의 형태로 제시하고 지수를 제거했습니다. 우리는 "3층" 분수를 얻었습니다.

이제 주요 분수를 살펴 보겠습니다. 분자와 분모에는 동일한 숫자인 log 2 7이 포함됩니다. log 2 7 ≠ 0이므로 분수를 줄일 수 있습니다. 2/4는 분모에 남아 있습니다. 산술 규칙에 따라 4개는 분자로 옮겨질 수 있으며, 이것이 이루어졌습니다. 그 결과는 2번이었습니다.

새로운 기반으로의 전환

로그의 덧셈과 뺄셈 규칙에 대해 말하면서 나는 로그가 동일한 밑수에서만 작동한다는 점을 특히 강조했습니다. 이유가 다르다면? 만약 같은 수의 정확한 거듭제곱이 아니라면 어떻게 될까요?

새로운 기반으로의 전환을 위한 공식이 구출되었습니다. 정리의 형태로 공식화합시다.

로그 로그 a x를 주어 보겠습니다. 그런 다음 c > 0이고 c ≠ 1인 임의의 숫자 c에 대해 동등성은 참입니다.

특히 c = x로 설정하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

두 번째 공식에서는 로그의 밑과 인수를 바꿀 수 있지만 이 경우 전체 표현식이 "뒤집어집니다". 로그는 분모에 나타납니다.

이러한 공식은 일반적인 수치 표현에서는 거의 발견되지 않습니다. 로그 방정식과 부등식을 풀 때만 얼마나 편리한지 평가할 수 있습니다.

그러나 새로운 기반으로 이전하지 않으면 전혀 해결할 수 없는 문제가 있다. 다음 중 몇 가지를 살펴보겠습니다.

일. 다음 표현식의 값을 찾으세요: log 5 16 log 2 25.

두 로그의 인수에는 정확한 거듭제곱이 포함되어 있습니다. 지표를 살펴보겠습니다. log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; 로그 2 25 = 로그 2 5 2 = 2로그 2 5;

이제 두 번째 로그를 "역전"시켜 보겠습니다.

요소를 재배열해도 곱이 변하지 않기 때문에 차분하게 4와 2를 곱한 뒤 로그를 다루었습니다.

일. 다음 표현식의 값을 찾으세요: log 9 100 lg 3.

첫 번째 로그의 밑수와 인수는 정확한 거듭제곱입니다. 이것을 기록하고 지표를 제거합시다.

이제 새로운 밑수로 이동하여 십진 로그를 제거해 보겠습니다.

기본 로그 항등식

풀이 과정에서 숫자를 주어진 밑수에 대한 로그로 표현해야 하는 경우가 종종 있습니다.

이 경우 다음 공식이 도움이 될 것입니다.

첫 번째 경우에는 숫자 n이 인수의 지수가 됩니다. 숫자 n은 단지 로그 값이기 때문에 무엇이든 될 수 있습니다.

두 번째 공식은 실제로 다른 말로 표현된 정의입니다. 그것이 바로 이름입니다: .

실제로 숫자 b를 이 거듭제곱하여 숫자 a를 제공하면 어떻게 될까요? 맞습니다. 결과는 같은 숫자 a입니다. 이 단락을 다시 주의 깊게 읽으십시오. 많은 사람들이 이 단락에서 막히게 됩니다.

새로운 진수로 이동하기 위한 공식과 마찬가지로, 기본 로그 항등식은 때때로 유일한 해법입니다.

일. 표현의 의미를 찾으십시오.

log 25 64 = log 5 8 - 단순히 로그의 밑과 인수에서 제곱을 취했다는 점에 유의하세요. 동일한 밑수로 거듭제곱을 곱하는 규칙을 고려하면 다음을 얻습니다.

모르는 사람이 있다면 이것은 통합 상태 시험의 실제 작업이었습니다 :)

로그 단위 및 로그 0

결론적으로 나는 속성이라고 부르기 어려운 두 가지 항등식을 제시할 것입니다. 오히려 그것은 로그 정의의 결과입니다. 그들은 끊임없이 문제에 나타나며 놀랍게도 "고급" 학생들에게도 문제를 일으킵니다.

1. 로그 a a = 1입니다. 한 번만 기억하세요. 밑수 자체의 밑수 a에 대한 로그는 1과 같습니다.
2. 로그 a 1 = 0입니다. 밑수 a는 무엇이든 될 수 있지만 인수에 하나가 포함되어 있으면 로그는 0과 같습니다! 0 = 1은 정의의 직접적인 결과이기 때문입니다.

그것이 모든 속성입니다. 반드시 실천에 옮기는 연습을 하세요! 수업 시작 시 치트 시트를 다운로드하여 인쇄한 후 문제를 해결하세요.

숫자의 로그 N 기반으로 ㅏ 지수라고 함 엑스 , 이를 구축해야 합니다. ㅏ 번호를 얻으려고 N

제공되는
,
,

로그의 정의로부터 다음과 같습니다:
, 즉.
- 이 평등은 기본 로그 항등식입니다.

밑이 10인 로그를 십진 로그라고 합니다. 대신에
쓰다
.

밑수에 대한 로그 이자형 자연이라고 불리며 지정되었습니다.
.

로그의 기본 속성.

1의 로그는 모든 밑수에 대해 0과 같습니다.

곱의 로그는 요인의 로그의 합과 같습니다.

3) 몫의 로그는 로그의 차이와 같습니다.

요인
로그에서 밑으로의 전환 계수라고 함 ㅏ 밑바닥의 로그에 비 .

속성 2-5를 사용하면 복잡한 표현식의 로그를 로그에 대한 간단한 산술 연산의 결과로 줄이는 것이 가능한 경우가 많습니다.

예를 들어,

이러한 로그 변환을 로그라고 합니다. 로그에 대한 역변환을 강화라고 합니다.

제 2 장. 고등 수학의 요소.

1. 한도

기능의 한계
다음과 같이 유한수 A는 다음과 같습니다. xx 0 미리 정해진 각각에 대해
, 그런 숫자가 있어요
그 즉시
, 저것
.

한계가 있는 함수는 극소량만큼 다릅니다.
, 여기서 - b.m.v., 즉
.

예. 기능을 고려하십시오
.

노력할 때
, 기능 와이 0이 되는 경향이 있습니다:

1.1. 극한에 관한 기본 정리.

상수 값의 극한은 이 상수 값과 같습니다.

.

유한한 수의 함수의 합(차)의 극한은 이러한 함수의 극한의 합(차)과 같습니다.

유한한 수의 함수의 곱의 극한은 이러한 함수의 극한의 곱과 같습니다.

두 함수의 몫의 극한은 분모의 극한이 0이 아닌 경우 이러한 함수의 극한의 몫과 같습니다.

놀라운 한계

,
, 어디

1.2. 한도 계산 예시

그러나 모든 한계가 그렇게 쉽게 계산되는 것은 아닙니다. 종종 한계를 계산하면 유형의 불확실성이 드러납니다. 또는 .

.

2. 함수의 파생

함수를 하나 가지자
, 세그먼트에서 연속
.

논쟁 좀 늘었어
. 그러면 함수는 증가분을 받게 됩니다.
.

인수 값 함수 값에 해당합니다.
.

인수 값
함수 값에 해당합니다.

따라서, .

이 비율의 극한을 다음에서 찾아보자.
. 이 극한이 존재하면 이를 주어진 함수의 도함수라고 합니다.

정의 3 주어진 함수의 파생
논쟁으로 인수의 증가가 임의로 0이 되는 경향이 있을 때 인수의 증가에 대한 함수의 증가 비율의 한계라고 합니다.

함수의 파생
다음과 같이 지정할 수 있습니다.

; ; ; .

정의 4함수의 미분을 찾는 작업을 다음과 같이 부릅니다. 분화.

2.1. 파생어의 기계적 의미.

일부 강체나 재료 점의 직선 운동을 생각해 봅시다.

어느 시점에 보자 이동점
멀리 떨어져 있었다 시작 위치에서
.

일정 시간이 지나면
그녀는 멀리 이사했다
. 태도 =- 재료 지점의 평균 속도
. 다음을 고려하여 이 비율의 극한을 찾아봅시다.
.

결과적으로, 물질 점의 순간 이동 속도를 결정하는 것은 시간에 대한 경로의 미분을 찾는 것으로 축소됩니다.

2.2. 도함수의 기하학적 값

그래픽으로 정의된 함수를 만들어 보겠습니다.
.

쌀. 1. 도함수의 기하학적 의미

만약에
, 다음을 가리킨다
, 곡선을 따라 이동하여 점에 접근합니다.
.

따라서
, 즉. 주어진 인수 값에 대한 도함수 값 주어진 점에서 축의 양의 방향과 접선이 이루는 각도의 접선과 수치적으로 같습니다.
.

2.3. 기본 차별화 공식 표.

전력 기능

지수 함수

로그 함수

삼각함수

역삼각함수

2.4. 차별화 규칙.

파생어

함수의 합(차)의 미분

두 함수의 곱의 파생

두 함수의 몫의 파생

2.5. 복잡한 함수의 파생물입니다.

기능을 부여하자
형태로 표현될 수 있도록

그리고
, 여기서 변수는 중간 논증이라면

복소 함수의 도함수는 중간 인수에 대한 주어진 함수의 도함수와 x에 대한 중간 인수의 도함수를 곱한 것과 같습니다.

예시 1.

예시 2.

3. 미분 기능.

있게 해주세요
, 일정 간격으로 미분 가능
놔줘 ~에 이 함수에는 도함수가 있습니다

,

그럼 우리 쓸 수 있어

(1),

어디 - 무한한 양,

언제부터

모든 평등 조건 (1)에 다음을 곱합니다.
우리는:

어디
- b.m.v. 더 높은 순서.

크기
함수의 미분이라고 함
지정되어 있으며

.

3.1. 미분의 기하학적 값입니다.

기능을 부여하자
.

그림 2. 미분의 기하학적 의미.

.

분명히 함수의 미분은
주어진 지점에서 접선의 세로좌표의 증분과 같습니다.

3.2. 다양한 주문의 파생 상품과 미분 상품.

만약 거기에
, 그 다음에
1차 파생상품이라고 합니다.

1차 도함수의 도함수를 2차 도함수라고 하며 다음과 같이 씁니다.
.

함수의 n차 도함수
는 (n-1)차 도함수라고 불리며 다음과 같이 쓰여집니다:

.

함수의 미분의 미분을 2차 미분 또는 2차 미분이라고 합니다.

.

.

3.3 분화를 이용하여 생물학적 문제를 해결합니다.

작업 1. 연구에 따르면 미생물 군집의 성장은 법을 준수하는 것으로 나타났습니다.
, 어디 N – 미생물 수(천 단위), 티 – 시간(일).

b) 이 기간 동안 식민지의 인구가 증가할 것인가, 감소할 것인가?

답변. 식민지의 크기가 증가합니다.

작업 2. 병원성 박테리아의 함량을 모니터링하기 위해 호수의 물을 주기적으로 테스트합니다. 을 통해 티 테스트 후 며칠 후 박테리아의 농도는 비율에 따라 결정됩니다.

.

호수의 박테리아 농도는 언제 최소가 되며 수영이 가능합니까?

해결 방법: 함수의 도함수가 0일 때 함수는 최대 또는 최소에 도달합니다.

,

최대값 또는 최소값이 6일 후인지 결정해 보겠습니다. 이를 위해 2차 미분을 살펴보겠습니다.

대답: 6일 후에는 박테리아 농도가 최소 수준이 됩니다.

오늘 우리는 로그 공식그리고 우리는 지표를 줄 것입니다 솔루션 예시.

그것들 자체는 로그의 기본 속성에 따른 해법 패턴을 암시합니다. 해결하기 위해 로그 공식을 적용하기 전에 모든 속성을 상기시켜 드리겠습니다.

이제 이러한 공식(속성)을 바탕으로 다음을 보여드리겠습니다. 로그 해결의 예.

공식을 기반으로 로그를 푸는 예.

로그 a를 밑으로 하는 양수 b(log a b로 표시)는 b > 0, a > 0, 1인 b를 얻기 위해 a를 올려야 하는 지수입니다.

정의에 따르면 log a b = x는 a x = b와 동일하므로 log a a x = x입니다.

로그, 예:

로그 2 8 = 3, 왜냐하면 2 3 = 8

로그 7 49 = 2, 왜냐하면 7 2 = 49

로그 5 1/5 = -1, 왜냐하면 5 -1 = 1/5

십진 로그- 이것은 밑이 10인 일반 로그입니다. lg로 표시됩니다.

로그 10 100 = 2, 왜냐하면 10 2 = 100

자연로그- 또한 일반 로그, 로그이지만 e를 밑으로 합니다(e = 2.71828... - 무리수). ln으로 표시됩니다.

로그, 로그 방정식, 부등식을 풀 때 로그가 필요하기 때문에 로그의 공식이나 속성을 기억해 두는 것이 좋습니다. 예제를 통해 각 공식을 다시 살펴보겠습니다.

• 기본 로그 항등식
  a 로그 a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• 곱의 로그는 로그의 합과 같습니다.
  로그 a (bc) = 로그 a b + 로그 a c

  로그 3 8.1 + 로그 3 10 = 로그 3 (8.1*10) = 로그 3 81 = 4

• 몫의 로그는 로그의 차이와 같습니다.
  로그 a (b/c) = 로그 a b - 로그 a c

  9 로그 5 50 /9 로그 5 2 = 9 로그 5 50- 로그 5 2 = 9 로그 5 25 = 9 2 = 81

• 로그 수의 거듭제곱과 로그 밑의 속성

  로그 수의 지수 log a b m = mlog a b

  로그 밑의 지수 log a n b =1/n*log a b

  로그 a n b m = m/n*log a b,

  m = n이면 log a n b n = log a b를 얻습니다.

  로그 4 9 = 로그 2 2 3 2 = 로그 2 3

• 새로운 기반으로의 전환
  로그 a b = 로그 c b/로그 c a,

  c = b이면 log b b = 1을 얻습니다.

  그런 다음 로그 a b = 1/log b a

  로그 0.8 3*로그 3 1.25 = 로그 0.8 3*로그 0.8 1.25/로그 0.8 3 = 로그 0.8 1.25 = 로그 4/5 5/4 = -1

보시다시피 로그 공식은 보이는 것만큼 복잡하지 않습니다. 이제 로그 해결의 예를 살펴본 후 로그 방정식으로 넘어갈 수 있습니다. ""기사에서 로그 방정식을 푸는 예를 더 자세히 살펴보겠습니다. 놓치지 마세요!

솔루션에 대해 여전히 궁금한 점이 있으면 기사 댓글에 적어주세요.

참고: 우리는 옵션으로 다른 수준의 교육과 해외 유학을 받기로 결정했습니다.