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슬라이드 캡션:

입체 측정 교차 선 사이의 거리

교차하는 두 선의 공통 수직선은 이들 선의 끝이 각각의 선분에 수직인 선분입니다. a b A B 교차하는 선 사이의 거리는 공통 수직선의 길이입니다.

교차하는 선 사이의 거리를 계산하는 방법. 교차하는 선 사이의 거리는 이들 선 중 하나의 점에서 첫 번째 선과 평행한 두 번째 선을 통과하는 평면까지의 거리와 같습니다.

교차하는 선 사이의 거리를 계산하는 방법. 교차하는 선 사이의 거리는 이러한 선을 포함하는 두 평행 평면 사이의 거리와 같습니다.

1번 단위 큐브에서 찾기

2번 단위 큐브에서 찾기

3번 단위 큐브에서 찾기

4번 단위 큐브에서 찾기

두 스큐 선의 공통 수직선은 세그먼트의 중간점과 E - 중간점 F - 중간점을 연결하는 세그먼트입니다.

5번 단위 큐브에서 ~를 찾아보세요.

교차하는 선 사이의 거리를 계산하는 방법. 교차하는 선 사이의 거리는 선 중 하나에 수직인 평면에 대한 투영 사이의 거리와 같습니다.

5번 단위 입방체에서 O를 찾으세요 - 직선 AC를 평면에 투영한 것

6 번 측면 모서리 PA = 3이고 밑면 측면이 2인 일반 피라미드 PABC가 주어집니다. 찾다

직사각형 - 직사각형 - 직사각형

7번 단위 입방체에서 선과 선 사이의 거리를 구하세요.

주제: 방법론 개발, 프레젠테이션 및 메모

교차선 사이의 각도

"교차선 사이의 각도" 주제에 대한 수학 통합 국가 시험 합격 준비 프레젠테이션...

11학년 학생들과 함께 개발했습니다. 이 주제에 관한 문제를 해결하기 위한 다양한 방법이 고려됩니다....

기하학 교과서, 다양한 문제집, 대학 준비 교과서의 수많은 입체 문제 중에서 교차선 사이의 거리를 찾는 문제는 극히 드뭅니다. 아마도 이는 실제 적용 범위가 좁고(면적 및 부피 계산 문제를 "승리"하는 것과 달리 학교 커리큘럼에 비해) 이 주제의 복잡성 때문일 것입니다.

통합 상태 시험을 실시하는 실습을 통해 많은 학생들이 시험지에 포함된 기하학 과제를 완료하기조차 시작하지 않는다는 것을 알 수 있습니다. 복잡성이 증가하는 기하학적 작업을 성공적으로 완료하려면 사고의 유연성, 의도한 구성을 분석하고 그 안의 부품을 분리하는 능력을 개발해야 하며, 이를 고려하면 문제를 해결할 수 있는 방법을 찾을 수 있습니다. 문제.

학교 과정에는 교차 선 사이의 거리를 찾는 문제를 해결하는 네 가지 방법을 연구하는 것이 포함됩니다. 방법의 선택은 우선 특정 작업의 특성, 선택 기회를 제공하는 기회, 두 번째로 특정 학생의 "공간적 사고"의 능력과 특성에 따라 결정됩니다. 이러한 각 방법을 사용하면 문제의 가장 중요한 부분, 즉 두 교차 선에 수직인 세그먼트를 구성할 수 있습니다(문제의 계산 부분의 경우 방법으로 나눌 필요가 없음).

교차선 사이의 거리를 찾는 문제를 해결하는 기본 방법

두 개의 기울어진 선의 공통 수직선의 길이를 찾는 것, 즉 이 선에 끝이 있고 각 선에 수직인 세그먼트.

교차하는 선 중 하나에서 다른 선을 통과하는 평행한 평면까지의 거리를 구합니다.

주어진 교차선을 통과하는 두 평행 평면 사이의 거리를 구합니다.

교차선 중 하나를 수직인 평면(소위 "스크린")에 투영하는 점에서 동일한 평면에 다른 선을 투영하는 지점까지의 거리를 찾습니다.

다음과 같은 가장 간단한 방법을 사용하여 네 가지 방법을 모두 시연해 보겠습니다. 일: "모서리가 있는 큐브 안에 ㅏ모서리와 교차하지 않는 면의 대각선 사이의 거리를 찾으세요." 답: .

그림 1

h skr은 대각선을 포함하는 측면의 평면에 수직입니다. 디그리고 모서리에 수직이므로, h skr그리고 가장자리 사이의 거리입니다 ㅏ그리고 대각선 디.

그림 2

평면 A는 모서리와 평행하고 주어진 대각선을 통과하므로 다음이 주어집니다. h skr는 모서리에서 평면 A까지의 거리뿐만 아니라 모서리에서 주어진 대각선까지의 거리이기도 합니다.

그림 3

평면 A와 B는 평행하고 주어진 두 개의 기울어진 선을 통과합니다. 따라서 두 평면 사이의 거리는 두 개의 기울어진 선 사이의 거리와 같습니다.

그림 4

평면 A는 큐브의 가장자리에 수직입니다. A 대각선에 투영할 때 디이 대각선은 큐브 밑면 중 하나로 변합니다. 이것 h skr는 모서리를 포함하는 선과 평면 C에 대한 대각선의 투영 사이, 즉 모서리를 포함하는 선과 대각선 사이의 거리입니다.

학교에서 공부한 다면체에 대한 각 방법의 적용에 대해 더 자세히 살펴보겠습니다.

첫 번째 방법의 사용은 매우 제한적입니다. 가장 간단한 문제에서는 정확하고 복잡한 문제에서는 두 교차점의 공통 수직선의 대략적인 위치를 결정하고 정당화하는 것이 매우 어렵기 때문에 일부 문제에서만 잘 사용됩니다. 윤곽. 게다가 복잡한 문제에서 이 수직선의 길이를 구할 때 극복할 수 없는 어려움에 직면할 수도 있습니다.

문제 1. 치수가 있는 직육면체에서 에이, 비, 시측면 가장자리와 교차하지 않는 밑면의 대각선 사이의 거리를 찾으십시오.

그림 5

AHBD를 보자. A 1 A는 평면 ABCD에 수직이므로 A 1 A AH입니다.

AH는 교차하는 두 선 모두에 수직이므로 AHτ는 선 A 1 A와 BD 사이의 거리입니다. 직각 삼각형 ABD에서 다리 AB와 AD의 길이를 알고 직각 삼각형의 면적을 계산하는 공식을 사용하여 높이 AH를 찾습니다. 답변:

문제 2. 측면 모서리가 있는 일반 4각형 피라미드에서 엘그리고 베이스 쪽 ㅏ변심과 이 변심이 포함된 측면과 교차하는 밑면 사이의 거리를 구하십시오.

그림 6

SHCD는 변종과 같고 ADCD는 ABCD와 같습니다. 따라서 DH는 직선 SH와 AD 사이의 거리입니다. DH는 측면 CD의 절반과 같습니다. 답변:

이 방법의 사용은 또한 교차하는 직선 중 하나를 통과하고 다른 직선에 평행한 평면을 신속하게 구성(또는 기성품을 찾을 수 있음)할 수 있는 경우 임의의 지점에서 수직을 구성할 수 있다는 사실로 인해 제한됩니다. 이 평면(다면체 내부)에 대한 두 번째 직선은 어려움을 야기합니다. 그러나 지정된 수직선을 구성(또는 찾는)하는 것이 어려움을 일으키지 않는 간단한 문제에서는 이 방법이 가장 빠르고 쉬우므로 접근 가능합니다.

문제 2. 이 방법을 사용하여 위의 문제를 해결하면 특별한 어려움이 발생하지 않습니다.

그림 7

평면 EFM은 AD ​​|| E.F. 선 MF는 이 평면에 있으므로 선 AD와 평면 EFM 사이의 거리는 선 AD와 선 MF 사이의 거리와 같습니다. OHAD를 해보자. OHEF, OHMO, 따라서 OH(EFM), 따라서 OH는 직선 AD와 평면 EFM 사이의 거리, 따라서 직선 AD와 직선 MF 사이의 거리입니다. 삼각형 AOD에서 OH를 구합니다.

문제 3. 치수가 있는 직육면체에서 a,b그리고 시간측면 모서리와 교차하지 않는 평행육면체의 대각선 사이의 거리를 구합니다.

그림 8

선 AA 1은 평면 BB 1 D 1 D와 평행하고 B 1 D는 ​​이 평면에 속하므로 AA 1에서 평면 BB 1 D 1 D까지의 거리는 선 AA 1과 B 1 D 사이의 거리와 같습니다. AHBD 밖으로. 또한 AH B 1 B, 따라서 AH(BB 1 D 1 D), 따라서 AHB 1 D, 즉 AH는 필요한 거리입니다. 직각삼각형 ABD에서 AH를 구합니다.

답변:

문제 4. 높이가 1인 정육각형 프리즘 A:F에서 시간그리고 베이스 쪽 ㅏ선 사이의 거리를 찾으십시오.

그림 9 그림 10

a) AA 1 및 ED 1.

평면 E 1 EDD 1 을 생각해 보세요. A 1 E 1 EE 1 , A 1 E 1 E 1 D 1 따라서

A 1 E 1 (E 1 EDD 1). 또한 A 1 E 1 AA 1 . 따라서 A 1 E 1 은 직선 AA 1 에서 평면 E 1 EDD 1 까지의 거리입니다. ED 1 (E 1 EDD 1) 따라서 AE 1은 직선 AA 1에서 직선 ED 1까지의 거리입니다. 우리는 코사인 정리를 사용하여 삼각형 F 1 A 1 E 1에서 A 1 E 1을 찾습니다. 답변:

b) AF 및 대각선 BE 1.

BE에 수직인 점 F에서 직선 FH를 그리자. EE 1 FH, FHBE, 따라서 FH(BEE 1 B 1), 따라서 FH는 직선 AF와 (BEE 1 B 1) 사이의 거리이고, 따라서 직선 AF와 대각선 BE 1 사이의 거리입니다. 답변:

방법 III

이 방법의 사용은 매우 제한적입니다. 선 중 하나에 평행한 평면(방법 II)이 두 개의 평행한 평면보다 구성하기 쉽기 때문입니다. 그러나 교차하는 선이 평행한 면에 속하는 경우 프리즘에 방법 III을 사용할 수 있습니다. 다면체의 경우에도 주어진 선을 포함하는 평행 단면을 구성하는 것은 쉽습니다.

작업 4.

그림 11

a) 평면 BAA 1 B 1 및 DEE 1 D 1은 AB || ED 및 AA 1 || EE 1. ED 1 DEE 1 D 1, AA 1 (BAA 1 B 1) 따라서 직선 AA 1과 ED 1 사이의 거리는 평면 BAA 1 B 1과 DEE 1 D 1 사이의 거리와 같습니다. A 1 E 1 AA 1 , A 1 E 1 A 1 B 1 따라서 A 1 E 1 BAA 1 B 1 입니다. 마찬가지로 A 1 E 1(DEE 1 D 1)임을 증명합니다. 따라서 A 1 E 1은 평면 BAA 1 B 1과 DEE 1 D 1 사이의 거리, 따라서 직선 AA 1과 ED 1 사이의 거리입니다. 우리는 각도 A 1 F 1 E 1이 와 같은 이등변인 삼각형 A 1 F 1 E 1에서 A 1 E 1을 찾습니다. 답변:

그림 12

b) AF와 대각선 BE1 사이의 거리도 비슷하게 구합니다.

문제 5. 모서리가 있는 큐브에서 ㅏ인접한 두 면의 교차하지 않는 두 대각선 사이의 거리를 구합니다.

이 문제는 일부 교과서에서 고전적인 문제로 간주되지만 일반적으로 해당 솔루션은 방법 IV로 제공되지만 방법 III을 사용하면 솔루션에 상당히 접근 가능합니다.

그림 13

이 문제의 일부 어려움은 두 평행 평면(AB 1 D 1 || BC 1 D)에 대한 대각선 A 1 C의 직각성을 증명함으로써 발생합니다. B 1 CBC 1 및 BC 1 A 1 B 1 따라서 선 BC 1은 평면 A 1 B 1 C에 수직이므로 BC 1 A 1 C입니다. 또한 A 1 CBD입니다. 결과적으로 직선 A 1 C는 평면 BC 1 D에 수직입니다. 문제의 계산 부분은 특별한 어려움을 일으키지 않습니다. h skr= EF는 입방체의 대각선과 두 개의 동일한 정뿔 A 1 AB 1 D 1 및 CC 1 BD 높이의 차이로 구됩니다.

방법 IV.

이 방법은 상당히 광범위하게 적용됩니다. 중간 및 높은 난이도의 작업의 경우 주요 작업으로 간주될 수 있습니다. 이전 세 가지 방법 중 하나가 더 쉽고 빠르게 작동하는 경우에만 이 방법을 사용할 필요가 없습니다. 이러한 경우 방법 IV는 문제 해결을 복잡하게 만들거나 달성하기 어렵게 만들 수 있기 때문입니다. 이 방법은 선 중 하나를 "스크린"에 투영할 필요가 없기 때문에 교차 선의 직각인 경우에 사용하는 데 매우 유용합니다.

문제 5. 동일한 "고전적인" 문제(큐브의 인접한 두 면의 대각선이 교차하지 않는 문제)는 "스크린"(큐브의 대각선 부분)이 발견되자마자 더 이상 어려워 보이지 않습니다.

그림 14

화면 :

그림 15

평면 A 1 B 1 CD를 생각해 보세요. C 1 F(A 1 B 1 CD), 왜냐하면 C 1 FB 1 C 및 C 1 FA 1 B 1이기 때문입니다. 그런 다음 "스크린"에 C 1 D를 투영하면 세그먼트 DF가 됩니다. EMDF를 해보자. 세그먼트 EM은 인접한 두 면의 교차하지 않는 두 대각선 사이의 거리입니다. 직각삼각형 EDF에서 EM을 구합니다. 답변:.

문제 6. 정삼각뿔에서 교차하는 선 사이의 거리와 각도를 구하십시오: 측면 가장자리 엘그리고 베이스 쪽 ㅏ.

그림 16

이 문제 및 이와 유사한 문제에서 방법 IV는 다른 방법보다 더 빠른 솔루션을 제공합니다. AC(삼각형 BDM)에 수직인 "스크린" 역할을 하는 섹션을 구성했기 때문에 더 이상 구성할 필요가 없다는 것이 분명합니다. 이 화면에 또 다른 직선(BM)을 투영합니다. DH는 필요한 거리입니다. DH는 면적 공식을 사용하여 삼각형 MDB에서 구합니다. 답변: .

이 기사에서는 좌표 방법을 사용하여 교차하는 선 사이의 거리를 찾는 데 중점을 둡니다. 먼저, 교차하는 선 사이의 거리에 대한 정의가 제공됩니다. 다음으로, 교차하는 선 사이의 거리를 찾을 수 있는 알고리즘을 얻습니다. 결론적으로 예제에 대한 솔루션을 자세히 분석합니다.

페이지 탐색.

교차선 사이의 거리 - 정의.

사선 사이의 거리를 정의하기 전에 사선의 정의를 상기하고 사선과 관련된 정리를 증명해 보겠습니다.

정의.

- 교차하는 선 중 하나와 다른 선을 통과하는 평행한 평면 사이의 거리입니다.

차례로, 직선과 평행한 평면 사이의 거리는 직선의 어떤 점에서 평면까지의 거리입니다. 그러면 교차선 사이의 거리 정의에 대한 다음 공식이 유효합니다.

정의.

교차선 사이의 거리교차하는 선 중 하나의 특정 지점에서 첫 번째 선과 평행한 다른 선을 통과하는 평면까지의 거리입니다.

교차선 a와 b를 고려하십시오. 선 a에 특정 점 M 1을 표시하고 선 b를 통해 선 a와 평행한 평면을 그리고 점 M 1에서 평면에 수직인 M 1 H 1을 내립니다. 수직 M 1 H 1의 길이는 교차선 a와 b 사이의 거리입니다.

교차선 사이의 거리 찾기 - 이론, 예, 솔루션.

교차하는 선 사이의 거리를 찾을 때 가장 어려운 점은 길이가 원하는 거리와 동일한 세그먼트를 보거나 구성하는 것입니다. 이러한 세그먼트가 구성되면 문제의 조건에 따라 피타고라스 정리, 삼각형의 동등성 또는 유사성 부호 등을 사용하여 길이를 찾을 수 있습니다. 이것이 10~11학년의 기하학 수업에서 교차선 사이의 거리를 찾을 때 수행하는 작업입니다.

Oxyz가 3차원 공간에 도입되고 그 안에 교차선 a와 b가 주어지면 좌표 방법을 사용하여 주어진 교차선 사이의 거리를 계산하는 작업에 대처할 수 있습니다. 자세히 살펴 보겠습니다.

선 a와 평행하고 선 b를 지나는 평면을 생각해 보세요. 그러면 교차선 a와 b 사이에 필요한 거리는 정의에 따라 선 a에 있는 어떤 점 M 1에서 평면까지의 거리와 같습니다. 따라서 선 a에 있는 특정 점 M 1의 좌표를 결정하고 평면의 정규 방정식을 형식으로 얻으면 점으로부터의 거리를 계산할 수 있습니다. 공식을 사용하여 평면에 계산합니다(이 공식은 점에서 평면까지의 거리를 찾는 기사에서 얻었습니다). 그리고 이 거리는 교차선 사이에 필요한 거리와 같습니다.

이제 자세히 설명하겠습니다.

문제는 선 a 위에 있는 점 M 1 의 좌표를 구하고 평면의 정규방정식을 구하는 것입니다.

공간에서 직선 방정식의 기본 유형을 잘 알고 있다면 점 M 1의 좌표를 결정하는 데 어려움이 없습니다. 그러나 평면의 방정식을 얻는 것에 대해 더 자세히 살펴볼 가치가 있습니다.

비행기가 통과하는 특정 점 M 2의 좌표를 결정하고 다음 형식으로 비행기의 법선 벡터를 얻는 경우 , 그러면 평면의 일반 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

점 M 2로 평면이 선 b를 통과하므로 선 b 위에 있는 임의의 점을 취할 수 있습니다. 따라서 점 M 2의 좌표를 찾은 것으로 간주할 수 있습니다.

평면의 법선 벡터의 좌표를 얻는 것이 남아 있습니다. 해보자.

평면은 선 b를 통과하고 선 a와 평행합니다. 결과적으로 평면의 법선 벡터는 선 a의 방향 벡터(표시)와 선 b의 방향 벡터(표시) 모두에 수직입니다. 그런 다음 을 벡터로 사용할 수 있습니다. 직선 a와 b의 좌표와 방향 벡터를 결정하고 계산했습니다. , 평면의 법선 벡터의 좌표를 찾습니다.

따라서 평면의 일반 방정식은 다음과 같습니다.

남은 것은 평면의 일반 방정식을 정규 형식으로 가져오고 공식을 사용하여 교차선 a와 b 사이에 필요한 거리를 계산하는 것입니다.

따라서, 교차하는 선 a와 b 사이의 거리를 찾으려면 다음이 필요합니다.

예제의 해결 방법을 살펴보겠습니다.

예.

직교좌표계 Oxyz의 3차원 공간에는 교차하는 두 직선 a와 b가 주어집니다. 직선 a가 결정됩니다.

이 온라인 계산기를 사용하면 공간에서 선 사이의 거리를 찾을 수 있습니다. 설명과 함께 자세한 솔루션이 제공됩니다. 공간에서 선 사이의 거리를 계산하려면 선 방정식 유형("표준" 또는 "파라메트릭")을 설정하고 셀에 선 방정식의 계수를 입력한 다음 "해결" 버튼을 클릭합니다.

×

경고

모든 셀을 지우시겠습니까?

닫기 지우기

데이터 입력 지침.숫자는 정수(예: 487, 5, -7623 등), 소수(예: 67., 102.54 등) 또는 분수로 입력됩니다. 분수는 a/b 형식으로 입력해야 하며, 여기서 a와 b(b>0)는 정수 또는 십진수입니다. 예 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 등

공간의 선 사이의 거리 - 이론, 예 및 솔루션

직교직교좌표계를 주어보자 옥시즈 엘 1과 엘 2:

.

(1)

,

(2)

어디 중 1 (엑스 1 , 와이 1 , 지 1) 그리고 중 2 (엑스 2 , 와이 2 , 지 2) − 직선 위에 있는 점 엘 1과 엘 2, 에 큐 1 ={중 1 , 피 1 , 엘 1) 그리고 큐 2 ={중 2 , 피 2 , 엘 2 ) – 직선의 방향 벡터 엘 1과 엘 2, 각각.

공간의 선 (1)과 (2)는 일치하거나, ​​평행하거나, 교차하거나, 교차할 수 있습니다. 공간의 선이 교차하거나 일치하면 그 사이의 거리는 0입니다. 우리는 두 가지 경우를 고려할 것입니다. 첫 번째는 선이 평행하다는 것이고, 두 번째는 선이 교차한다는 것입니다. 나머지는 일반적인 경우입니다. 평행선 사이의 거리를 계산할 때 거리가 0과 같다면 이는 두 선이 일치한다는 의미입니다. 교차하는 선 사이의 거리가 0이면 이 선이 교차합니다.

1. 공간의 평행선 사이의 거리

선 사이의 거리를 계산하는 두 가지 방법을 고려해 보겠습니다.

방법 1. 한 지점에서 중 1연속 엘 1 비행기를 그린다 α , 선에 수직 엘 2. 포인트 찾기 중 3 (엑스 3 , 와이 3 , 와이 3) 평면 교차점 α 그리고 똑바로 엘삼. 본질적으로 우리는 점의 투영을 찾습니다 중 1연속 엘 2. 선에 대한 점의 투영을 찾는 방법을 살펴보십시오. 다음으로 점 사이의 거리를 계산합니다. 중 1 (엑스 1 , 와이 1 , 지 1) 그리고 중 3 (엑스 3 , 와이 3 , 지 3):

예 1. 선 사이의 거리 찾기 엘 1과 엘 2:

똑바로 엘 2개 지점을 통과 중 2 (엑스 2 , 와이 2 , 지 2)=중

값 대체 중 2 , 피 2 , 엘 2 , 엑스 1 , 와이 1 , 지(5) 중 1개는 다음과 같습니다.

선의 교차점을 찾아보자 엘 2와 비행기 α , 이를 위해 우리는 직선의 매개변수 방정식을 구성합니다. 엘 2 .

선의 교차점을 찾으려면 엘 2와 비행기 α , 변수의 값을 대체 엑스, 와이, 지(7)부터 (6)까지:

결과 값 대체 티(7)에서는 직선의 교차점을 얻습니다. 엘 2와 비행기 α :

점 사이의 거리를 찾는 것이 남아 있습니다. 중 1과 중 3:

엘 1과 엘 2는 같음 디=7.2506.

방법 2. 선 사이의 거리 찾기 엘 1과 엘 2 (식 (1) 및 (2)). 먼저 선의 평행성을 확인합니다. 엘 1과 엘 2. 직선의 방향 벡터인 경우 엘 1과 엘 2개는 동일 선상에 있습니다. 평등을 만족하는 숫자 λ가 있는 경우 큐 1 =λ 큐 2, 그다음 직진 엘 1과 엘 2개는 평행하다.

평행 벡터 사이의 거리를 계산하는 이 방법은 벡터의 벡터곱 개념을 기반으로 합니다. 벡터의 벡터 곱의 표준과 큐 1은 이러한 벡터에 의해 형성된 평행사변형의 면적을 나타냅니다(그림 2). 평행사변형의 넓이를 알면 평행사변형의 꼭지점을 찾을 수 있습니다 디, 면적을 베이스로 나누기 큐평행사변형 1개.

큐 1:

.

선 사이의 거리 엘 1과 엘 2는 다음과 같습니다:

,

,

예제 2. 방법 2를 사용하여 예제 1을 풀어보겠습니다. 선 사이의 거리를 구합니다.

똑바로 엘 2개 지점을 통과 중 2 (엑스 2 , 와이 2 , 지 2)=중 2 (8, 4, 1)이고 방향 벡터를 가짐

큐 2 ={중 2 , 피 2 , 엘 2 }={2, −4, 8}

벡터 큐 1과 큐 2개는 동일선상에 있습니다. 그러므로 직선 엘 1과 엘 2개는 평행하다. 평행선 사이의 거리를 계산하려면 벡터의 벡터 곱을 사용합니다.

벡터를 만들어 봅시다 =( 엑스 2 −엑스 1 , 와이 2 −와이 1 , 지 2 −지 1 }={7, 2, 0}.

벡터의 벡터 곱을 계산해 봅시다. 큐 1 . 이를 위해 3×3 행렬을 생성합니다. 첫 번째 행은 기본 벡터입니다. 나, 제이, 케이, 나머지 라인은 벡터 및 요소의 요소로 채워집니다. 큐 1:

따라서 벡터와 벡터의 벡터 곱의 결과는 다음과 같습니다. 큐 1은 벡터가 됩니다.

답: 선 사이의 거리 엘 1과 엘 2는 같음 디=7.25061.

2. 공간에서 교차하는 선 사이의 거리

직교직교좌표계를 주어보자 옥시즈그리고 이 좌표계에 직선이 있다고 가정해 보겠습니다. 엘 1과 엘 2 (식 (1) 및 (2)).

똑바로 보자 엘 1과 엘 2는 평행하지 않습니다(이전 단락에서 평행선에 대해 논의했습니다). 선 사이의 거리를 구하려면 엘 1과 엘 2 평행 평면을 만들어야 합니다 α 1과 α 2 직선이 되도록 엘 1 비행기에 누워 α 1번 스트레이트 엘 2 - 비행기에서 α 2. 그러면 선 사이의 거리가 엘 1과 엘 2는 평면 사이의 거리와 같습니다 엘 1과 엘 2 (그림 3).

어디 N 1 ={ㅏ 1 , 비 1 , 씨 1 ) − 평면의 법선 벡터 α 1 . 비행기를 타려면 α 1 직선을 통과했다 엘 1, 법선 벡터 N 1은 방향 벡터와 직교해야 합니다. 큐 1연속 엘 1, 즉 이러한 벡터의 스칼라 곱은 0과 같아야 합니다.

3개의 방정식과 4개의 미지수를 사용하여 선형 방정식 시스템 (27)−(29) 풀기 ㅏ 1 , 비 1 , 씨 1 , 디 1, 방정식으로 대체

비행기 α 1과 α 2는 평행하므로 결과 법선 벡터는 다음과 같습니다. N 1 ={ㅏ 1 , 비 1 , 씨 1) 그리고 N 2 ={ㅏ 2 , 비 2 , 씨 2) 이 평면들은 동일선상에 있습니다. 이들 벡터가 동일하지 않으면 (31)에 특정 숫자를 곱하여 결과 법선 벡터를 얻을 수 있습니다. N 2는 식 (30)의 법선 벡터와 일치한다.

그런 다음 평행 평면 사이의 거리는 다음 공식으로 계산됩니다.

(33)

해결책. 똑바로 엘 1은 점을 통과한다 중 1 (엑스 1 , 와이 1 , 지 1)=중 1(2, 1, 4)이며 방향 벡터를 가집니다. 큐 1 ={중 1 , 피 1 , 엘 1 }={1, 3, −2}.

똑바로 엘 2개 지점을 통과 중 2 (엑스 2 , 와이 2 , 지 2)=중 2 (6, −1, 2)이고 방향 벡터를 가집니다. 큐 2 ={중 2 , 피 2 , 엘 2 }={2, −3, 7}.

비행기를 만들어보자 α 1호선 통과 엘 1, 직선과 평행 엘 2 .

비행기 이후로 α 1은 선을 통과한다 엘 1. 그러면 역시 점을 통과한다 중 1 (엑스 1 , 와이 1 , 지 1)=중 1(2, 1, 4) 및 법선 벡터 N 1 ={중 1 , 피 1 , 엘 1) 비행기 α 1 방향 벡터에 수직 큐 1연속 엘 1 . 그러면 평면의 방정식은 다음 조건을 충족해야 합니다.

비행기 이후로 α 1은 선과 평행해야 합니다. 엘 2, 다음 조건을 충족해야 합니다.

이러한 방정식을 행렬 형식으로 표현해 보겠습니다.

(40)

다음과 관련하여 선형 방정식 시스템 (40)을 풀어 보겠습니다. ㅏ 1 , 비 1 , 씨 1 , 디 1.

점과 평면과 함께. 이것은 공간의 두 지점을 연결할 수 있는 무한한 도형입니다. 직선은 항상 어떤 평면에 속합니다. 두 직선의 위치에 따라 서로 다른 방법을 사용하여 두 직선 사이의 거리를 찾아야 합니다.

공간에서 서로에 대한 두 선의 위치에 대한 세 가지 옵션이 있습니다. 즉, 평행, 교차 또는입니다. 두 번째 옵션은 동일한 평면에 있는 경우에만 가능하며 두 개의 평행 평면에 속하는 것을 제외하지 않습니다. 세 번째 상황은 선이 서로 다른 평행 평면에 놓여 있음을 나타냅니다.

두 평행선 사이의 거리를 찾으려면 임의의 두 점에서 두 평행선을 연결하는 수직 선분의 길이를 결정해야 합니다. 직선은 평행도의 정의에 따라 두 개의 동일한 좌표를 갖기 때문에 2차원 좌표 공간에서 직선의 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
L1: a x + b y + c = 0;
L2: a x + b y + d = 0.
그런 다음 다음 공식을 사용하여 세그먼트의 길이를 찾을 수 있습니다.
s = |c - d|/√(a² + b²)이며, C = D일 때, 즉 선이 일치하면 거리는 0이 됩니다.

2차원 좌표에서 교차하는 선 사이의 거리는 의미가 없다는 것이 분명합니다. 그러나 두 평면이 서로 다른 평면에 있을 경우 두 평면에 수직인 평면에 있는 세그먼트의 길이로 찾을 수 있습니다. 이 세그먼트의 끝은 이 평면에 선의 두 점을 투영하는 점이 됩니다. 즉, 길이는 이러한 선을 포함하는 평행한 평면 사이의 거리와 같습니다. 따라서 평면이 일반 방정식으로 주어지면:
α: A1 x + B1 y + C1 z + E = 0,
β: A2 x + B2 y + C2 z + F = 0,
직선 사이의 거리는 다음 공식으로 사용할 수 있습니다.
s = |E – F|/√(|A1 A2| + B1 B2 + C1 C2).

메모

일반적인 직선과 특히 교차선은 수학자에게만 관심이 있는 것이 아닙니다. 이들의 특성은 건축, 건축, 의학, 자연 그 자체 등 다양한 분야에서 유용합니다.

팁 2: 두 평행선 사이의 거리를 찾는 방법

하나 이상의 평면에 위치한 두 객체 사이의 거리를 결정하는 것은 기하학에서 가장 일반적인 문제 중 하나입니다. 일반적으로 허용되는 방법을 사용하여 두 평행선 사이의 거리를 찾을 수 있습니다.

지침

평행선은 교차하거나 일치하지 않는 동일한 평면에 있는 선입니다. 평행선 사이의 거리를 찾으려면 평행선 중 하나에서 임의의 점을 선택한 다음 두 번째 선에 수직을 놓습니다. 이제 남은 것은 결과 세그먼트의 길이를 측정하는 것입니다. 두 평행선을 연결하는 수직선의 길이는 두 평행선 사이의 거리입니다.

계산된 거리의 정확도는 이에 따라 달라지므로 한 평행선에서 다른 평행선으로 수직선을 그리는 순서에 주의하세요. 이렇게 하려면 직각 삼각형 그리기 도구를 사용하세요. 선 중 하나에서 점을 선택하고 직각(다리)에 인접한 삼각형의 변 중 하나에 연결한 다음 다른 쪽을 다른 선과 정렬합니다. 날카로운 연필을 사용하여 첫 번째 다리를 따라 반대쪽 직선에 도달하도록 선을 그립니다.