기하수열의 분모는 같습니다. 항상 기분이 좋다
수학이란 무엇인가인간은 자연과 자신을 통제합니다.
소련 수학자, 학자 A.N. 콜모고로프
기하학적 진행.
산술 수열 문제와 함께 기하 수열 개념과 관련된 문제도 수학 입시 시험에서 흔히 볼 수 있습니다. 이러한 문제를 성공적으로 해결하려면 기하학적 수열의 속성을 알아야 하고 이를 사용하는 데 능숙해야 합니다.
이 기사는 기하학적 진행의 기본 속성을 제시하는 데 전념합니다. 일반적인 문제를 해결하는 예도 여기에 제공됩니다., 수학 입학 시험 과제에서 빌린 것입니다.
먼저 기하학적 수열의 기본 속성을 살펴보고 가장 중요한 공식과 설명을 기억해 보겠습니다., 이 개념과 관련이 있습니다.
정의.두 번째부터 시작하는 각 숫자가 이전 숫자와 같고 동일한 숫자를 곱한 경우 숫자 시퀀스를 기하학적 수열이라고 합니다. 이 숫자를 기하학적 수열의 분모라고 합니다.
기하학적 진행을 위해수식이 유효하다
, (1)
어디 . 식 (1)은 기하수열의 일반항의 공식이라고 하며, 식 (2)는 기하수열의 주요 속성을 나타냅니다. 수열의 각 항은 이웃 항의 기하 평균과 일치합니다.
메모, 문제의 진행을 "기하학적"이라고 부르는 것은 바로 이러한 속성 때문입니다.
위의 식 (1)과 (2)는 다음과 같이 일반화됩니다.
, (3)
금액을 계산하려면첫 번째 기하학적 진행의 구성원공식이 적용됩니다
로 표시하면
어디 . 이기 때문에 식(6)은 식(5)를 일반화한 것이다.
언제와 같은 경우에 기하학적 진행무한히 감소하고 있습니다. 금액을 계산하려면무한히 감소하는 기하학적 수열의 모든 항에 대해 다음 공식이 사용됩니다.
. (7)
예를 들어 , 공식 (7)을 사용하여 우리는 보여줄 수 있습니다, 무엇
어디 . 이러한 동등성은 ,(첫 번째 동등성) 및 ,(두 번째 동등성)이라는 조건 하에서 식(7)에서 얻습니다.
정리.그렇다면
증거. 그렇다면
정리가 입증되었습니다.
"기하학적 진행"이라는 주제에 대한 문제 해결의 예를 고려해 보겠습니다.
예시 1.주어진 값: , 및 . 찾다 .
해결책.식 (5)를 적용하면
답변: .
예시 2.순리에 맡기다. 찾다 .
해결책.이후 및 , 우리는 공식 (5), (6)을 사용하고 방정식 시스템을 얻습니다.
시스템 (9)의 두 번째 방정식을 첫 번째로 나누면, 그런 다음 또는 . 이것으로부터 다음과 같은 결과가 나온다. . 두 가지 경우를 고려해 보겠습니다.
1. 만일, 그런 다음 시스템의 첫 번째 방정식 (9)에서 우리는.
2. 그렇다면 .
예시 3., 그리고 . 찾다 .
해결책.공식 (2)로부터 다음과 같습니다. 또는 . 이후 , 그때 또는 .
조건에 따라 . 그러나 그러므로. 이후와 그러면 여기에 방정식 시스템이 있습니다
시스템의 두 번째 방정식을 첫 번째 방정식으로 나누면 또는 입니다.
이후 방정식에는 고유한 적합한 근이 있습니다. 이 경우 시스템의 첫 번째 방정식을 따릅니다.
공식 (7)을 고려하면, 우리는 얻습니다.
답변: .
예시 4.주어진 값: 그리고 . 찾다 .
해결책.그때부터.
이후 , 그때 또는
공식 (2)에 따르면 . 이와 관련하여 평등 (10)으로부터 우리는 또는 를 얻습니다.
그러나 조건에 따라.
실시예 5.. 찾다 .
해결책. 정리에 따르면 우리에게는 두 가지 평등이 있습니다
이후 , 그때 또는 . 왜냐면 .
답변: .
실시예 6.주어진 값: 그리고 . 찾다 .
해결책.공식 (5)를 고려하면,
그때부터. , 그리고 , 이후 .
실시예 7.순리에 맡기다. 찾다 .
해결책.공식 (1)에 따르면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
그러므로 우리는 또는 . 과 , 그러므로 과 .
답변: .
실시예 8.다음과 같은 경우 무한 감소 기하수열의 분모를 구합니다.
그리고 .
해결책. 식 (7)로부터 다음과 같다그리고 . 여기와 문제의 조건으로부터 우리는 방정식 시스템을 얻습니다.
시스템의 첫 번째 방정식을 제곱하면, 그런 다음 결과 방정식을 두 번째 방정식으로 나눕니다., 그러면 우리는 얻는다
또는 .
답변: .
실시예 9.수열 , 가 기하수열인 모든 값을 찾습니다.
해결책., 그리고 . 기하학적 수열의 주요 속성을 정의하는 공식 (2)에 따르면 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 또는 .
여기에서 우리는 이차방정식을 얻습니다., 누구의 뿌리인가그리고 .
확인해 보자: 만약, 다음 , 그리고 ; 만약 , 그렇다면 , 그리고 .
첫 번째 경우에는그리고 , 그리고 두 번째 – 그리고 .
답변: , .
실시예 10.방정식을 풀어보세요
, (11)
어디서 그리고 .
해결책. 방정식 (11)의 왼쪽은 무한하게 감소하는 기하 수열의 합입니다. 여기서 및 는 다음과 같습니다. 및 .
식 (7)로부터 다음과 같다, 무엇 . 이와 관련하여 방정식 (11)은 다음과 같은 형식을 취합니다.또는 . 적합한 루트 이차 방정식은
답변: .
실시예 11.피 양수의 시퀀스산술급수를 형성한다, ㅏ – 기하학적 진행, 그것이 와 무슨 관련이 있습니까? 찾다 .
해결책.왜냐하면 산술 수열, 저것 (산술 진행의 주요 속성). 왜냐하면, 그런 다음 또는 . 이는 다음을 의미합니다. 기하학적 진행은 다음과 같은 형태를 갖는다는 것. 공식 (2)에 따르면, 그런 다음 그것을 적어둡니다.
이후 및 , 다음 . 이 경우 표현식은또는 형식을 취합니다. 조건에 따라, 그래서 Eq.우리는 고려 중인 문제에 대한 고유한 해결책을 얻습니다., 즉. .
답변: .
실시예 12.합계 계산
. (12)
해결책. 등식(12)의 양변에 5를 곱하고 다음을 얻습니다.
결과 표현식에서 (12)를 빼면, 저것
또는 .
계산을 위해 값을 공식 (7)에 대입하고 . 그때부터.
답변: .
여기에 제시된 문제 해결 사례는 지원자가 입학 시험을 준비할 때 유용할 것입니다. 문제 해결 방법에 대한 더 깊은 연구를 위해, 기하학적 진행과 관련된, 추천 문헌 목록에서 튜토리얼을 사용할 수 있습니다.
1. 대학 지원자를 위한 수학 문제 모음 / Ed. 미. 스카나비. – M.: Mir and Education, 2013. – 608 p.
2. 수프런 V.P. 고등학생을 위한 수학: 학교 커리큘럼의 추가 섹션. – M.: 레넌드 / URSS, 2014. – 216p.
3. Medynsky M.M. 문제와 연습 문제를 다루는 초등 수학의 전체 과정입니다. 책 2: 번호 순서 및 진행. – M.: 에디투스, 2015. – 208p.
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기하수열의 n번째 항에 대한 공식은 매우 간단합니다. 의미와 일반적인 모습 모두. 그러나 n번째 항의 공식에는 매우 원시적인 것부터 매우 심각한 것까지 모든 종류의 문제가 있습니다. 그리고 우리가 아는 과정에서 우리는 두 가지 모두를 확실히 고려할 것입니다. 그럼 좀 알아볼까요?)
그래서 우선 실제로는 공식N
여기 그녀가 있습니다:
비앤 = 비 1 · qn -1
공식은 공식일 뿐, 초자연적인 것은 아닙니다. 유사한 공식보다 훨씬 더 간단하고 컴팩트해 보입니다. 공식의 의미도 펠트 부츠만큼 간단합니다.
이 공식을 사용하면 ITS NUMBER로 기하수열의 모든 멤버를 찾을 수 있습니다. N".
보시다시피, 그 의미는 산술 진행과 완전히 유사합니다. 우리는 숫자 n을 알고 있습니다. 이 숫자 아래에 있는 항을 셀 수도 있습니다. 우리가 원하는 어느 쪽이든. "q"를 여러 번 반복해서 곱하지 않고 말이죠. 그게 요점입니다.)
나는 이 수준의 진행 작업에서 공식에 포함된 모든 양이 이미 명확해야 한다는 것을 이해하지만, 여전히 각 양을 해독하는 것이 나의 의무라고 생각합니다. 혹시라도.
자, 여기 있습니다:
비 1 – 첫 번째기하학적 진행의 용어;
큐 – ;
N– 회원번호
비앤 – n 번째 (N일)기하학적 진행의 용어.
이 공식은 모든 기하학적 진행의 네 가지 주요 매개변수를 연결합니다. 비N, 비 1 , 큐그리고 N. 그리고 모든 진행 문제는 이 네 가지 핵심 수치를 중심으로 전개됩니다.
“어떻게 제거되나요?”– 궁금한 질문이 들립니다. 초등학생! 바라보다!
무엇과 동일합니까? 두번째진행 멤버? 괜찮아요! 우리는 직접 작성합니다:
b 2 = b 1 ·q
세 번째 멤버는요? 그것도 문제가 되지 않습니다! 우리는 두 번째 항을 곱합니다 다시 한 번큐.
이와 같이:
B3 = b2q
이제 두 번째 항이 b 1 ·q와 동일하다는 것을 기억하고 다음 식을 등식으로 대체해 보겠습니다.
B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2
우리는 다음을 얻습니다:
비 3 = b 1 ·q 2
이제 러시아어로 된 항목을 읽어보겠습니다. 제삼항은 첫 번째 항에 q를 곱한 값과 같습니다. 두번째도. 알아 들었 니? 아직 아님? 좋습니다. 한 단계만 더 진행하세요.
네 번째 용어는 무엇입니까? 모두 같은! 곱하다 이전의(즉, 세 번째 용어) q:
B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3
총:
비 4 = b 1 ·q 3
그리고 다시 러시아어로 번역합니다. 네번째항은 첫 번째 항에 q를 곱한 값과 같습니다. 제삼도.
등등. 그래서 어때? 패턴을 파악하셨나요? 예! 임의의 숫자를 갖는 임의의 항에 대해 동일한 인수 q의 수(즉, 분모의 차수)는 항상 다음과 같습니다. 원하는 멤버 수보다 한 명 적음N.
따라서 우리의 공식은 옵션 없이 다음과 같습니다.
b n =비 1 · qn -1
그게 다야.)
그럼 문제를 해결해 볼까요?)
수식 문제 해결N기하학적 수열의 번째 항.
평소처럼 공식을 직접 적용해 보겠습니다. 일반적인 문제는 다음과 같습니다.
기하학적 수열에서는 다음이 알려져 있습니다. 비 1 = 512 및 큐 = -1/2. 수열의 열 번째 항을 구합니다.
물론 이 문제는 아무런 공식 없이도 풀 수 있습니다. 기하학적 진행의 의미에서 직접적으로. 하지만 우리는 n번째 항의 공식을 준비해야 합니다. 그렇죠? 여기서 우리는 워밍업 중입니다.
공식을 적용하기 위한 데이터는 다음과 같습니다.
첫 번째 멤버는 알려져 있다. 512호입니다.
비 1 = 512.
진행의 분모는 다음과 같이 알려져 있습니다. 큐 = -1/2.
남은 것은 멤버 n의 수가 몇인지 알아내는 것뿐입니다. 괜찮아요! 10번째 학기에 관심이 있나요? 그래서 우리는 일반식에 n 대신 10을 대입합니다.
그리고 산술을 신중하게 계산하십시오.
답: -1
보시다시피, 진행의 10번째 항은 마이너스로 나타났습니다. 놀라운 것은 없습니다. 진행 분모는 -1/2입니다. 부정적인숫자. 그리고 이것은 우리의 발전의 징후가 번갈아 나타난다는 것을 말해줍니다. 그렇습니다.)
여기에서는 모든 것이 간단합니다. 여기에도 비슷한 문제가 있지만 계산 측면에서는 조금 더 복잡합니다.
기하학적 수열에서는 다음이 알려져 있습니다.
비 1 = 3
수열의 열세 번째 항을 구합니다.
모든 것이 동일합니다. 이번에는 진행의 분모가 비합리적인. 2의 루트입니다. 글쎄요. 괜찮습니다. 공식은 보편적이며 어떤 숫자에도 대처할 수 있습니다.
우리는 다음 공식에 따라 직접 작업합니다.
물론 공식은 제대로 작동했지만... 일부 사람들은 여기서 막히게 됩니다. 다음에 루트로 무엇을 해야 할까요? 루트를 12승으로 높이는 방법은 무엇입니까?
어떻게... 물론 모든 공식은 좋은 것이지만 이전의 모든 수학에 대한 지식이 취소되지는 않는다는 것을 이해해야 합니다! 구축하는 방법? 예, 학위의 속성을 기억하세요! 루트를 다음으로 바꾸자 분수도– 학위를 어느 정도 올리기 위한 공식에 따라.
이와 같이:
답: 192
그리고 그게 다야.)
n번째 항 공식을 직접 적용할 때 가장 어려운 점은 무엇입니까? 예! 가장 큰 어려움은 학위로 일해요!즉, 음수, 분수, 근 및 유사한 구조를 거듭제곱하는 것입니다. 그래서 이것 때문에 고민이신 분들은 정도와 그 속성을 다시 한번 복습해주세요! 그렇지 않으면 이 주제도 느려질 것입니다. 예...)
이제 일반적인 검색 문제를 해결해 보겠습니다. 공식의 요소 중 하나, 다른 모든 것이 주어진 경우. 이러한 문제를 성공적으로 해결하기 위한 레시피는 균일하고 매우 간단합니다. 공식을 쓰다N-번째 멤버 종합!조건 옆 노트북에 바로 있습니다. 그리고 그 조건을 통해 우리에게 주어진 것과 부족한 것이 무엇인지 알아냅니다. 그리고 우리는 수식을 통해 원하는 값을 표현합니다. 모두!
예를 들어, 그런 무해한 문제입니다.
분모가 3인 기하수열의 다섯 번째 항은 567입니다. 이 수열의 첫 번째 항을 구하세요.
복잡한 것은 없습니다. 우리는 주문에 따라 직접 작업합니다.
n번째 항의 공식을 작성해 봅시다!
비앤 = 비 1 · qn -1
우리에게 주어진 것은 무엇입니까? 먼저, 진행의 분모는 다음과 같습니다. 큐 = 3.
게다가 우리에게 주어진 다섯 번째 멤버: 비 5 = 567 .
모두? 아니요! 우리에게는 숫자 n도 주어졌습니다! 이것은 5입니다: n = 5.
녹음 내용을 이미 이해하셨기를 바랍니다. 비 5 = 567 두 개의 매개변수가 동시에 숨겨져 있습니다. 이는 다섯 번째 항 자체(567)와 해당 숫자(5)입니다. 이에 대해서는 비슷한 강의에서 이미 이야기했지만 여기서도 언급할 가치가 있다고 생각합니다.)
이제 데이터를 공식으로 대체합니다.
567 = 비 1 ·3 5-1
우리는 산술을 수행하고 단순화하여 간단한 선형 방정식을 얻습니다.
81 비 1 = 567
우리는 다음을 해결하고 얻습니다.
비 1 = 7
보시다시피 첫 번째 용어를 찾는 데 문제가 없습니다. 하지만 분모를 검색할 때 큐그리고 숫자 N놀라움도 있을 수 있습니다. 그리고 당신도 그에 대비해야 합니다(놀라움). 그렇습니다.
예를 들어, 이 문제는 다음과 같습니다.
양의 분모를 갖는 기하수열의 다섯 번째 항은 162이고, 이 수열의 첫 번째 항은 2입니다. 수열의 분모를 구합니다.
이번에는 첫 번째와 다섯 번째 항이 주어지고 진행의 분모를 찾도록 요청받습니다. 여기 있습니다.
우리는 공식을 씁니다N번째 멤버!
비앤 = 비 1 · qn -1
초기 데이터는 다음과 같습니다.
비 5 = 162
비 1 = 2
N = 5
누락된 값 큐. 괜찮아요! 지금 찾아봅시다.) 우리가 알고 있는 모든 것을 공식에 대입합니다.
우리는 다음을 얻습니다:
162 = 2큐 5-1
2 큐 4 = 162
큐 4 = 81
4차 간단한 방정식입니다. 그리고 지금 - 주의하여!이 단계에서 많은 학생들은 즉시 즐겁게 근(4도)을 추출하고 답을 얻습니다. 큐=3 .
이와 같이:
q4 = 81
큐 = 3
그러나 사실 이것은 끝나지 않은 대답이다. 더 정확하게는 불완전합니다. 왜? 요점은 대답이 큐 = -3 또한 적합합니다: (-3) 4도 81이 됩니다!
이는 전력 방정식 때문입니다. xn = ㅏ항상 그랬다 두 개의 반대 뿌리~에 심지어N . 플러스와 마이너스:
둘 다 적합합니다.
예를 들어, 결정할 때(예: 두번째도)
x 2 = 9
왠지 그 모습에 놀라지 않는 너 둘뿌리 x=±3? 여기도 마찬가지입니다. 그리고 다른 어떤 것과도 심지어학위(4, 6, 10 등)는 동일합니다. 자세한 내용은 주제에 있습니다.
따라서 올바른 해결책은 다음과 같습니다.
큐 4 = 81
큐= ±3
좋아, 우리는 표지판을 정리했습니다. 플러스와 마이너스 중 어느 것이 맞나요? 자, 문제 설명을 다시 읽어보겠습니다. 추가 정보.물론 존재하지 않을 수도 있지만, 이번 문제에서는 그러한 정보가 사용 가능.우리의 조건은 다음과 같은 진행이 제공된다는 일반 텍스트로 명시되어 있습니다. 양의 분모.
그러므로 대답은 분명합니다.
큐 = 3
여기에서는 모든 것이 간단합니다. 문제 진술이 다음과 같다면 어떤 일이 일어날 것이라고 생각하십니까?
기하수열의 다섯 번째 항은 162이고, 이 수열의 첫 번째 항은 2입니다. 수열의 분모를 구하세요.
차이점은 무엇입니까? 예! 상태 아무것도 아님분모의 부호에 대해서는 언급이 없습니다. 직접적으로도 간접적으로도 아닙니다. 그리고 여기서 문제는 이미 두 가지 솔루션!
큐 = 3 그리고 큐 = -3
예 예! 플러스와 마이너스가 모두 있습니다.) 수학적으로 이 사실은 두 가지 진행, 문제의 조건에 맞습니다. 그리고 각각에는 고유한 분모가 있습니다. 그냥 재미로 각 용어의 처음 5개 용어를 연습하고 작성해 보세요.)
이제 회원번호를 찾는 연습을 해보겠습니다. 이 문제가 제일 어렵죠, 그렇죠. 하지만 더 창의적이기도 합니다.)
기하학적 진행이 주어지면:
3; 6; 12; 24; …
이 수열에서 768이라는 숫자는 무엇입니까?
첫 번째 단계는 여전히 동일합니다. 공식을 쓰다N번째 멤버!
비앤 = 비 1 · qn -1
그리고 이제 평소와 같이 우리가 알고 있는 데이터를 그 안에 대체합니다. 흠... 작동하지 않아요! 첫 번째 항은 어디에 있고, 분모는 어디에 있고, 다른 모든 것은 어디에 있습니까?!
어디서, 어디서... 왜 눈이 필요한가요? 속눈썹을 펄럭이시나요? 이번에는 진행이 다음 형식으로 직접 제공됩니다. 시퀀스.첫 번째 멤버를 만나볼까요? 우리는보다! 이것은 트리플(b 1 = 3)입니다. 분모는 어떻습니까? 아직 볼 수는 없지만 계산하는 것은 매우 쉽습니다. 물론 이해하신다면...
그래서 우리는 계산합니다. 기하학적 수열의 의미에 따라 직접적으로: 우리는 그 용어 중 하나(첫 번째 용어 제외)를 취하고 이전 용어로 나눕니다.
적어도 다음과 같습니다:
큐 = 24/12 = 2
우리는 또 무엇을 알고 있습니까? 우리는 또한 이 수열의 768과 같은 항을 알고 있습니다. 어떤 수 n에서:
비앤 = 768
우리는 그의 전화번호를 모르지만, 우리의 임무는 바로 그를 찾는 것입니다.) 그래서 우리는 찾고 있습니다. 우리는 공식에 대체하는 데 필요한 모든 데이터를 이미 다운로드했습니다. 본인도 모르게..)
여기서는 다음과 같이 대체합니다.
768 = 3 2N -1
기본적인 것을 해봅시다. 양변을 3으로 나누고 방정식을 일반적인 형식으로 다시 작성합니다. 미지수는 왼쪽에, 알려진 값은 오른쪽에 있습니다.
우리는 다음을 얻습니다:
2 N -1 = 256
이것은 흥미로운 방정식이다. "n"을 찾아야 합니다. 뭐, 특이해요? 예, 나는 논쟁하지 않습니다. 실제로 이것은 가장 간단한 것입니다. 알려지지 않은 것(이 경우에는 숫자)이기 때문에 그렇게 불립니다. N) 비용 지시자도.
기하수열을 배우는 단계(9학년)에서는 지수방정식을 푸는 방법을 가르쳐주지 않습니다. 그렇죠... 이것은 고등학교에서 다룰 주제입니다. 하지만 무서운 건 없어요. 그러한 방정식이 어떻게 해결되는지 모르더라도, 우리의 방정식을 찾아보도록 합시다. N, 간단한 논리와 상식에 따라 안내됩니다.
이야기를 시작합시다. 왼쪽에는 듀스가 있습니다. 어느 정도. 우리는 아직 이 학위가 정확히 무엇인지 모르지만, 그것은 무서운 것이 아닙니다. 하지만 우리는 이 정도가 256과 같다는 것을 확실히 알고 있습니다! 그래서 우리는 2가 256이 되는 정도를 기억합니다. 기억하시나요? 예! 안에 여덟 번째도!
256 = 2 8
도를 기억하지 못하거나 도를 인식하는 데 문제가 있는 경우에도 괜찮습니다. 연속적으로 2제곱, 세제곱, 4차, 5차 등을 수행하면 됩니다. 실제로 선택이 가능하지만 이 수준에서는 꽤 잘 작동합니다.
어떤 식으로든 우리는 다음을 얻습니다.
2 N -1 = 2 8
N-1 = 8
N = 9
그럼 768은 제구우리 진행의 멤버입니다. 이제 문제가 해결되었습니다.)
답: 9
무엇? 지루한? 초등학생이 지겹나요? 동의하다. 그리고 나도. 다음 레벨로 넘어가자.)
더 복잡한 작업.
이제 더 어려운 문제를 해결해 보겠습니다. 아주 멋지지는 않지만 답을 얻으려면 약간의 작업이 필요한 것입니다.
예를 들어, 이것입니다.
네 번째 항이 -24이고 일곱 번째 항이 192인 경우 등비수열의 두 번째 항을 구합니다.
이것은 장르의 고전입니다. 진행에 대한 두 가지 다른 용어가 알려져 있지만 다른 용어를 찾아야 합니다. 또한 모든 구성원이 이웃하지 않습니다. 처음에는 혼란스럽습니다. 그렇습니다.
마찬가지로 이러한 문제를 해결하기 위해 두 가지 방법을 고려해 보겠습니다. 첫 번째 방법은 보편적입니다. 대수학. 모든 소스 데이터와 완벽하게 작동합니다. 그럼 여기서부터 시작하겠습니다.)
우리는 공식에 따라 각 용어를 설명합니다. N번째 멤버!
모든 것은 산술 진행과 동일합니다. 이번에만 우리가 함께 일하고 있어요 또 다른일반 공식. 그게 전부입니다.) 그러나 본질은 동일합니다. 하나씩초기 데이터를 n번째 항의 공식에 대체합니다. 각 회원마다 - 자신의 것입니다.
네 번째 용어에 대해 다음과 같이 작성합니다.
비 4 = 비 1 · 큐 3
-24 = 비 1 · 큐 3
먹다. 방정식 하나가 준비되었습니다.
일곱 번째 학기에는 다음과 같이 씁니다.
비 7 = 비 1 · 큐 6
192 = 비 1 · 큐 6
전체적으로 우리는 2개의 방정식을 얻었습니다. 같은 진행 .
우리는 그들로부터 시스템을 조립합니다:
위협적인 외관에도 불구하고 시스템은 매우 간단합니다. 가장 확실한 해결책은 간단한 대체입니다. 우리는 표현한다 비 1 상위 방정식을 하위 방정식으로 대체합니다.
아래쪽 방정식을 약간 조작한 후(제곱을 줄이고 -24로 나누기) 다음을 얻습니다.
큐 3 = -8
그건 그렇고, 이 동일한 방정식은 더 간단한 방법으로 도달할 수 있습니다! 어느 것? 이제 이러한 시스템을 해결하는 또 다른 비밀이지만 매우 아름답고 강력하며 유용한 방법을 보여 드리겠습니다. 이러한 시스템에는 다음이 포함됩니다. 작동합니다.적어도 하나. 라고 불리는 분할 방법하나의 방정식을 다른 방정식으로 변환합니다.
따라서 우리 앞에는 다음과 같은 시스템이 있습니다.
왼쪽의 두 방정식에서 - 일하다, 오른쪽에는 숫자만 있습니다. 이것은 아주 좋은 징조입니다.) 이것을 취하여... 예를 들어, 아래쪽 방정식을 위쪽 방정식으로 나눕니다! 무슨 뜻인가요? 하나의 방정식을 다른 방정식으로 나누어 볼까요?매우 간단합니다. 가져 가자 왼쪽하나의 방정식(하위) 및 나누다그녀의 왼쪽또 다른 방정식(위). 오른쪽도 비슷합니다. 오른쪽하나의 방정식 나누다~에 오른쪽또 다른.
전체 분할 프로세스는 다음과 같습니다.
이제 줄일 수 있는 모든 것을 줄이면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
큐 3 = -8
이 방법의 좋은 점은 무엇입니까? 예, 그러한 분할 과정에서 나쁘고 불편한 모든 것이 안전하게 줄어들 수 있고 완전히 무해한 방정식이 남기 때문입니다! 그렇기 때문에 다음을 갖는 것이 매우 중요합니다. 곱셈만시스템의 방정식 중 적어도 하나에서. 곱셈도 없고 줄일 것도 없습니다. 예...
일반적으로 이 방법은 (시스템을 해결하는 다른 많은 중요한 방법과 마찬가지로) 별도의 교훈을 얻을 가치가 있습니다. 확실히 더 자세히 알아보겠습니다. 타일…
그러나 시스템을 얼마나 정확하게 해결하는지는 중요하지 않습니다. 어쨌든 이제 결과 방정식을 풀어야 합니다.
큐 3 = -8
문제 없습니다. 큐브 루트를 추출하면 완료됩니다!
추출할 때 여기에 플러스/마이너스를 넣을 필요가 없다는 점에 유의하세요. 우리의 뿌리는 홀수(3차) 등급입니다. 그리고 대답도 마찬가지다.)
그래서 진행의 분모가 발견되었습니다. 마이너스 2. 엄청난! 절차가 진행 중입니다.)
첫 번째 항(예를 들어 상위 방정식에서)에 대해 다음을 얻습니다.
엄청난! 우리는 첫 번째 용어와 분모를 알고 있습니다. 이제 우리는 진보의 구성원을 찾을 수 있는 기회를 갖게 되었습니다. 두 번째도 포함됩니다.)
두 번째 용어의 경우 모든 것이 매우 간단합니다.
비 2 = 비 1 · 큐= 3·(-2) = -6
답: -6
그래서 우리는 문제를 해결하기 위한 대수적 방법을 세분화했습니다. 어려운? 그렇지 않습니다. 동의합니다. 길고 지루한가? 네, 물론이죠. 그러나 때로는 작업량을 크게 줄일 수 있습니다. 이를 위해 그래픽 방법.우리에게 오래되고 친숙한 곳입니다.)
문제를 그려보자!
예! 정확히. 다시 우리는 숫자 축에 진행 상황을 묘사합니다. 눈금자를 따를 필요는 없으며 용어 사이에 동일한 간격을 유지할 필요도 없습니다(그런데 진행이 기하학적이기 때문에 동일하지는 않습니다!). 개략적으로시퀀스를 그려봅시다.
나는 이것을 다음과 같이 얻었습니다 :
이제 그림을 보고 알아보세요. 얼마나 많은 동일한 요소 "q"가 분리되어 있습니까? 네번째그리고 제칠회원? 그렇죠, 셋!
그러므로 우리는 다음과 같이 쓸 권리가 있습니다.
-24·큐 3 = 192
이제 여기에서 q를 쉽게 찾을 수 있습니다.
큐 3 = -8
큐 = -2
좋습니다. 우리 주머니에는 이미 분모가 있습니다. 이제 그림을 다시 살펴보겠습니다. 사이에 분모가 몇 개나 있는지 살펴보겠습니다. 두번째그리고 네번째회원? 둘! 따라서 이러한 용어 사이의 연결을 기록하기 위해 분모를 구성합니다. 제곱.
그래서 우리는 다음과 같이 씁니다:
비 2 · 큐 2 = -24 , 어디 비 2 = -24/ 큐 2
우리는 찾은 분모를 b 2에 대한 표현식으로 대체하고 계산하여 다음을 얻습니다.
답: -6
보시다시피 모든 것이 시스템을 통하는 것보다 훨씬 간단하고 빠릅니다. 게다가 여기서는 첫 번째 항을 전혀 계산할 필요조차 없었습니다! 조금도.)
여기에 간단하고 시각적인 신호등이 있습니다. 그러나 여기에는 심각한 단점도 있습니다. 짐작하셨나요? 예! 매우 짧은 진행에만 적합합니다. 우리가 관심을 갖는 구성원 간의 거리가 그리 크지 않은 경우. 하지만 다른 모든 경우에는 이미 그림을 그리는 것이 어렵습니다. 그렇습니다... 그런 다음 시스템을 통해 문제를 분석적으로 해결합니다.) 그리고 시스템은 보편적인 것입니다. 그들은 어떤 숫자라도 처리할 수 있습니다.
또 다른 엄청난 도전:
기하수열의 두 번째 항은 첫 번째 항보다 10이 더 크고, 세 번째 항은 두 번째 항보다 30이 더 큽니다. 진행의 분모를 찾으십시오.
뭐, 멋지지? 별말씀을요! 모두 같은. 다시 우리는 문제 설명을 순수 대수학으로 변환합니다.
1) 각 용어를 공식에 따라 설명합니다. N번째 멤버!
두 번째 항: b 2 = b 1 q
세 번째 항: b 3 = b 1 q 2
2) 문제제기서에 나오는 멤버들간의 연결고리를 적어봅니다.
우리는 조건을 읽었습니다. "기하수열의 두 번째 항은 첫 번째 항보다 10 더 큽니다."그만해, 이건 귀중한 거야!
그래서 우리는 다음과 같이 씁니다:
비 2 = 비 1 +10
그리고 우리는 이 문구를 순수한 수학으로 번역합니다.
비 3 = 비 2 +30
우리는 두 개의 방정식을 얻었습니다. 이들을 하나의 시스템으로 결합해 보겠습니다.
시스템은 간단해 보입니다. 그러나 문자에 대한 색인이 너무 많습니다. 두 번째와 세 번째 항 대신 첫 번째 항과 분모를 통해 표현을 대체해 보겠습니다! 우리가 그린 것이 헛된 일이었나요?
우리는 다음을 얻습니다:
하지만 그러한 시스템은 더 이상 선물이 아닙니다. 그렇습니다... 이 문제를 해결하는 방법은 무엇입니까? 불행하게도 복잡한 문제를 해결하는 보편적인 비밀 주문은 없습니다. 비선형수학에는 시스템이 없으며 존재할 수도 없습니다. 이건 환상적이야! 하지만 이렇게 어려운 문제를 해결하려고 할 때 가장 먼저 생각해야 할 것은 무엇인지 알아내는 것입니다. 그러나 시스템의 방정식 중 하나는 예를 들어 변수 중 하나를 다른 변수로 쉽게 표현할 수 있는 아름다운 형태로 축소되지 않습니까?
그것을 알아 봅시다. 시스템의 첫 번째 방정식은 두 번째 방정식보다 확실히 더 간단합니다. 우리는 그를 고문할 것이다.) 첫 번째 방정식부터 시도해 보아야 하지 않을까? 무엇를 통해 표현하다 무엇?분모를 찾고 싶기 때문에 큐, 그렇다면 다음과 같이 표현하는 것이 가장 유리할 것입니다. 비 1 ~을 통해 큐.
그럼 오래된 방정식을 사용하여 첫 번째 방정식으로 이 절차를 수행해 보겠습니다.
b 1 q = b 1 +10
b1q – b1 = 10
b 1 (q-1) = 10
모두! 그래서 우리는 표현했습니다. 불필요한변수 (b 1)을 다음과 같이 제공합니다. 필요한(큐). 예, 우리가 아는 가장 간단한 표현은 아닙니다. 일종의 분수... 하지만 우리 시스템은 괜찮은 수준입니다.)
전형적인. 우리는 무엇을 해야할지 알고 있습니다.
우리는 ODZ를 쓴다 (반드시!) :
q ≠ 1
모든 것에 분모(q-1)를 곱하고 모든 분수를 취소합니다.
10 큐 2 = 10 큐 + 30(큐-1)
모든 것을 10으로 나누고 괄호를 열고 왼쪽부터 모든 것을 수집합니다.
큐 2 – 4 큐 + 3 = 0
우리는 결과를 풀고 두 가지 근을 얻습니다.
큐 1 = 1
큐 2 = 3
최종 답변은 하나뿐입니다. 큐 = 3 .
답: 3
보시다시피, 기하수열의 n번째 항 공식과 관련된 대부분의 문제를 해결하는 방법은 항상 동일합니다. 주의 깊게문제의 조건과 n번째 항의 공식을 사용하여 모든 유용한 정보를 순수 대수학으로 변환합니다.
즉:
1) 문제에 주어진 각 용어를 공식에 따라 별도로 설명합니다.N번째 회원.
2) 문제의 조건에서 멤버 간의 연결을 수학적 형식으로 변환합니다. 우리는 방정식 또는 방정식 시스템을 구성합니다.
3) 결과 방정식 또는 방정식 시스템을 풀고 진행의 알려지지 않은 매개 변수를 찾습니다.
4) 답변이 모호한 경우에는 작업 조건을 주의 깊게 읽고 추가 정보(있는 경우)를 검색하세요. 또한 DL 조건(있는 경우)과 함께 수신된 응답을 확인합니다.
이제 기하학적 수열 문제를 해결하는 과정에서 가장 흔히 오류로 이어지는 주요 문제를 나열해 보겠습니다.
1. 초등 산술. 분수와 음수를 사용한 연산.
2. 이 세 가지 사항 중 적어도 하나에 문제가 있다면 이 주제에서 필연적으로 실수를 하게 될 것입니다. 불행하게도... 그러니 게으르지 말고 위에서 언급한 내용을 반복하세요. 그리고 링크를 따라가세요. 도움이 될 때도 있습니다.)
수정되고 반복되는 수식.
이제 조건이 덜 친숙하게 표현된 몇 가지 일반적인 시험 문제를 살펴보겠습니다. 예, 예, 짐작하셨겠죠! 이것 수정됨그리고 반복되는 n 번째 용어 공식. 우리는 이미 그러한 공식을 접했고 산술 진행에 대해 연구했습니다. 여기에서는 모든 것이 비슷합니다. 본질은 동일합니다.
예를 들어 OGE의 다음 문제는 다음과 같습니다.
기하학적 진행은 공식에 의해 제공됩니다 비앤 = 3 2 N . 첫 번째 항과 네 번째 항의 합을 구합니다.
이번에는 진행 상황이 평소와 같지 않습니다. 일종의 공식 형태입니다. 그래서 뭐? 이 공식은 역시 공식N번째 멤버!당신과 나는 n 번째 항의 공식이 문자를 사용하여 일반 형식으로 작성될 수 있다는 것을 알고 있습니다. 특정 진행. 와 함께 특정한첫 번째 항과 분모.
우리의 경우 실제로 다음 매개변수를 사용하여 기하학적 수열에 대한 일반 용어 공식이 제공됩니다.
비 1 = 6
큐 = 2
확인해볼까요?) n번째 항의 수식을 일반형으로 적어서 비 1 그리고 큐. 우리는 다음을 얻습니다:
비앤 = 비 1 · qn -1
비앤= 6 2N -1
인수분해와 거듭제곱의 속성을 사용하여 단순화하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
비앤= 6 2N -1 = 3·2·2N -1 = 3 2N -1+1 = 3 2N
보시다시피 모든 것이 공평합니다. 그러나 우리의 목표는 특정 공식의 유도를 보여주는 것이 아닙니다. 이것은 서정적 여담입니다. 순전히 이해를 위한 것입니다.) 우리의 목표는 조건에 주어진 공식에 따라 문제를 해결하는 것입니다. 이해되시나요?) 그래서 우리는 수정된 공식을 직접 가지고 작업합니다.
우리는 첫 번째 용어를 계산합니다. 대체하자 N=1 일반 공식으로:
비 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6
이와 같이. 그건 그렇고, 나는 게으르지 않을 것이며 첫 번째 항 계산에서 전형적인 실수에 다시 한 번주의를 기울일 것입니다. 하지 마십시오. 공식을 보면 비앤= 3 2N, 즉시 첫 번째 용어가 3이라고 쓰십시오! 이건 중대한 실수죠, 그렇죠...)
계속합시다. 대체하자 N=4 그리고 네 번째 항을 센다:
비 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48
마지막으로 필요한 금액을 계산합니다.
비 1 + 비 4 = 6+48 = 54
답: 54
또 다른 문제.
기하학적 진행은 다음 조건에 따라 지정됩니다.
비 1 = -7;
비앤 +1 = 3 비앤
진행의 네 번째 항을 찾아보세요.
여기서 진행은 반복 공식에 의해 제공됩니다. 글쎄요.) 이 공식을 사용하는 방법 – 우리도 알고 있어요.
그래서 우리는 행동합니다. 단계별로.
1) 둘을 센다 연이은진행 멤버.
첫 번째 용어는 이미 우리에게 주어졌습니다. 마이너스 7. 그러나 다음 두 번째 항은 반복 공식을 사용하여 쉽게 계산할 수 있습니다. 물론 작동 원리를 이해한다면.)
그래서 우리는 두 번째 항을 계산합니다 잘 알려진 첫 번째에 따르면 :
비 2 = 3 비 1 = 3·(-7) = -21
2) 진행의 분모를 계산합니다.
문제 없습니다. 똑바로, 나누자 두번째거시기 첫 번째.
우리는 다음을 얻습니다:
큐 = -21/(-7) = 3
3) 수식을 쓰세요N일반적인 형식으로 두 번째 멤버를 계산하고 필요한 멤버를 계산합니다.
따라서 우리는 첫 번째 항을 알고 분모도 알고 있습니다. 그래서 우리는 다음과 같이 씁니다:
비앤= -7·3N -1
비 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189
답: -189
보시다시피, 기하학적 수열에 대한 이러한 공식을 사용하여 작업하는 것은 본질적으로 산술 수열의 공식과 다르지 않습니다. 이 공식의 일반적인 본질과 의미를 이해하는 것이 중요합니다. 글쎄요, 기하학적 진행의 의미도 이해해야 합니다. 그렇습니다.) 그러면 어리석은 실수는 없을 것입니다.
글쎄, 우리 스스로 결정하자?)
워밍업을 위한 매우 기본적인 작업:
1. 주어진 기하학적 수열은 다음과 같습니다. 비 1 = 243,a 큐 = -2/3. 진행의 여섯 번째 항을 찾아보세요.
2. 기하학적 진행의 일반항은 다음 공식으로 표현됩니다. 비앤 = 5∙2 N +1 . 이 수열의 마지막 세 자리 항의 수를 찾으세요.
3. 기하학적 진행은 다음 조건에 따라 제공됩니다.
비 1 = -3;
비앤 +1 = 6 비앤
수열의 다섯 번째 항을 찾아보세요.
조금 더 복잡합니다.
4. 기하학적 진행이 주어지면:
비 1 =2048; 큐 =-0,5
여섯 번째 부정항은 무엇과 같나요?
뭐가 엄청 어려워 보이나요? 별말씀을요. 기하학적 진행의 의미에 대한 논리와 이해가 당신을 구할 것입니다. 물론, n번째 항의 공식입니다.
5. 기하수열의 세 번째 항은 -14이고, 여덟 번째 항은 112입니다. 수열의 분모를 구하세요.
6. 기하수열의 첫 번째 항과 두 번째 항의 합은 75이고, 두 번째와 세 번째 항의 합은 150입니다. 수열의 여섯 번째 항을 구합니다.
답변(혼란): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.
그게 거의 전부입니다. 우리가 해야 할 일은 셈하는 법을 배우는 것뿐이다. 기하수열의 처음 n 항의 합응 발견해 무한히 감소하는 기하학적 수열그리고 그 금액. 그건 그렇고, 매우 흥미롭고 특이한 것입니다! 이에 대해서는 다음 강의에서 자세히 설명합니다.)
모든 자연수에 대해 N 실수와 일치 앤 , 그런 다음 그들은 그것이 주어 졌다고 말합니다 번호 순서 :
ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3 , . . . , 앤 , . . . .
따라서 숫자 순서는 자연 인수의 함수입니다.
숫자 ㅏ 1 ~라고 불리는 수열의 첫 번째 항 , 숫자 ㅏ 2 — 수열의 두 번째 항 , 숫자 ㅏ 3 — 제삼 등등. 숫자 앤 ~라고 불리는 시퀀스의 n번째 멤버 , 그리고 자연수 N — 그의 전화번호 .
인접한 두 멤버로부터 앤 그리고 앤 +1 시퀀스 멤버 앤 +1 ~라고 불리는 후속 (쪽으로 앤 ), ㅏ 앤 — 이전의 (쪽으로 앤 +1 ).
시퀀스를 정의하려면 임의의 숫자로 시퀀스의 멤버를 찾을 수 있는 방법을 지정해야 합니다.
종종 시퀀스는 다음을 사용하여 지정됩니다. n번째 항 공식 , 즉 번호로 시퀀스의 멤버를 결정할 수 있는 공식입니다.
예를 들어,
양의 홀수 시퀀스는 다음 공식으로 주어질 수 있습니다.
앤= 2N- 1,
그리고 교대하는 순서 1 그리고 -1 - 공식
비 N = (-1)N +1 . ◄
순서를 정할 수 있다 반복 공식, 즉, 일부부터 시작하여 이전(하나 이상의) 멤버까지 시퀀스의 모든 멤버를 표현하는 공식입니다.
예를 들어,
만약에 ㅏ 1 = 1 , ㅏ 앤 +1 = 앤 + 5
ㅏ 1 = 1,
ㅏ 2 = ㅏ 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
ㅏ 3 = ㅏ 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
ㅏ 4 = ㅏ 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
ㅏ 5 = ㅏ 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
만약에 1= 1, 2 = 1, 앤 +2 = 앤 + 앤 +1 , 그러면 숫자 순서의 처음 7개 항은 다음과 같이 설정됩니다.
1 = 1,
2 = 1,
3 = 1 + 2 = 1 + 1 = 2,
4 = 2 + 3 = 1 + 2 = 3,
5 = 3 + 4 = 2 + 3 = 5,
ㅏ 6 = ㅏ 4 + ㅏ 5 = 3 + 5 = 8,
ㅏ 7 = ㅏ 5 + ㅏ 6 = 5 + 8 = 13. ◄
시퀀스는 다음과 같습니다. 결정적인 그리고 끝없는 .
시퀀스가 호출됩니다. 궁극적인 , 회원 수가 한정된 경우. 시퀀스가 호출됩니다. 끝없는 , 멤버가 무한히 많은 경우.
예를 들어,
두 자리 자연수의 수열:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
결정적인.
소수의 수열:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
끝없는. ◄
시퀀스가 호출됩니다. 증가 , 두 번째부터 시작하여 각 멤버가 이전 멤버보다 큰 경우.
시퀀스가 호출됩니다. 감소하는 , 두 번째부터 시작하여 각 멤버가 이전 멤버보다 작은 경우.
예를 들어,
2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . - 증가하는 순서;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . - 감소하는 순서. ◄
숫자가 증가해도 요소가 감소하지 않거나 반대로 증가하지 않는 수열을 호출합니다. 단조로운 순서 .
특히 단조 수열은 증가 수열과 감소 수열입니다.
산술 진행
산술 진행 두 번째부터 시작하여 각 멤버가 이전 멤버와 동일하고 동일한 번호가 추가되는 시퀀스입니다.
ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3 , . . . , 앤, . . .
임의의 자연수에 대한 산술진열이다. N 조건이 충족됩니다:
앤 +1 = 앤 + 디,
어디 디 - 특정 숫자.
따라서 주어진 산술 수열의 후속 항과 이전 항 사이의 차이는 항상 일정합니다.
2 - ㅏ 1 = 3 - ㅏ 2 = . . . = 앤 +1 - 앤 = 디.
숫자 디 ~라고 불리는 산술진행의 차이.
산술 수열을 정의하려면 첫 번째 항과 차이를 나타내는 것으로 충분합니다.
예를 들어,
만약에 ㅏ 1 = 3, 디 = 4 , 그러면 다음과 같이 수열의 처음 5개 항을 찾습니다.
1 =3,
2 = 1 + 디 = 3 + 4 = 7,
3 = 2 + 디= 7 + 4 = 11,
4 = 3 + 디= 11 + 4 = 15,
ㅏ 5 = ㅏ 4 + 디= 15 + 4 = 19. ◄
첫 번째 항을 사용한 산술 진행의 경우 ㅏ 1 그리고 차이점 디 그녀의 N
앤 = 1 + (N- 1)디.
예를 들어,
산술수열의 30번째 항을 구하다
1, 4, 7, 10, . . .
1 =1, 디 = 3,
30 = 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄
n-1 = 1 + (N- 2)디,
앤= 1 + (N- 1)디,
앤 +1 = ㅏ 1 + nd,
그렇다면 분명히
| 앤=
| n-1 + n+1
|
| 2
|
두 번째부터 시작하는 산술 수열의 각 구성원은 이전 및 후속 구성원의 산술 평균과 같습니다.
숫자 a, b 및 c는 그 중 하나가 다른 두 개의 산술 평균과 동일한 경우에만 일부 산술 수열의 연속 항입니다.
예를 들어,
앤 = 2N- 7 는 산술진행이다.
위의 구문을 사용해 보겠습니다. 우리는:
앤 = 2N- 7,
n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,
n+1 = 2(아니오 1) - 7 = 2N- 5.
따라서,
| n+1 + n-1
| =
| 2N- 5 + 2N- 9
| = 2N- 7 = 앤,
|
| 2
| 2
|
◄
참고하세요 N 등차수열의 제번째 항은 다음을 통해서만 구할 수 있는 것이 아닙니다. ㅏ 1 , 뿐만 아니라 이전의 에이 케이
앤 = 에이 케이 + (N- 케이)디.
예를 들어,
을 위한 ㅏ 5 적어둘 수 있다
5 = 1 + 4디,
5 = 2 + 3디,
5 = 3 + 2디,
5 = 4 + 디. ◄
앤 = n-k + kd,
앤 = n+k - kd,
그렇다면 분명히
| 앤=
| ㅏ n-k
+ 에 n+k
|
| 2
|
두 번째부터 시작하는 산술 수열의 모든 구성원은 이 산술 수열의 동일한 간격 구성원의 합의 절반과 같습니다.
또한 모든 산술 수열에 대해 다음과 같은 등식이 성립합니다.
a m + a n = a k + a l,
m + n = k + l.
예를 들어,
산술 진행에서
1) ㅏ 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ㅏ 9 + ㅏ 11 )/2;
2) 28 = 10 = 3 + 7디= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;
4) 2 + 12 = 5 + 9, 왜냐하면
2 + 12= 4 + 34 = 38,
5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄
Sn= 1 + 2 + 3 + . . .+ 앤,
첫 번째 N 산술 수열의 항은 극단 항의 합의 절반과 항의 개수를 곱한 것과 같습니다.
특히 여기에서 용어를 합산해야 한다면 다음과 같습니다.
에이 케이, 에이 케이 +1 , . . . , 앤,
그러면 이전 공식의 구조가 유지됩니다.
예를 들어,
산술 진행에서 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
에스 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = 에스 10 - 에스 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
산술 수열이 주어지면 양은 다음과 같습니다. ㅏ 1 , 앤, 디, N그리고에스 N 두 가지 공식으로 연결됩니다.
따라서 이들 수량 중 세 가지 값이 주어지면 나머지 두 수량의 해당 값은 두 개의 미지수가 있는 두 방정식의 시스템으로 결합된 이 공식에서 결정됩니다.
산술수열은 단조수열이다. 여기서:
- 만약에 디 > 0 , 그러면 증가하고 있습니다.
- 만약에 디 < 0 , 그러면 감소하고 있습니다.
- 만약에 디 = 0 이면 시퀀스는 고정됩니다.
기하학적 진행
기하학적 진행 두 번째부터 시작하는 각 멤버가 이전 멤버와 동일한 숫자를 곱한 시퀀스입니다.
비 1 , 비 2 , 비 3 , . . . , 비앤, . . .
임의의 자연수에 대한 기하수열이다 N 조건이 충족됩니다:
비앤 +1 = 비앤 · 큐,
어디 큐 ≠ 0 - 특정 숫자.
따라서 주어진 기하학적 수열의 후속 항과 이전 항의 비율은 상수입니다.
비 2 / 비 1 = 비 3 / 비 2 = . . . = 비앤 +1 / 비앤 = 큐.
숫자 큐 ~라고 불리는 기하학적 진행의 분모.
기하학적 수열을 정의하려면 첫 번째 항과 분모를 나타내는 것으로 충분합니다.
예를 들어,
만약에 비 1 = 1, 큐 = -3 , 그러면 다음과 같이 수열의 처음 5개 항을 찾습니다.
비 1 = 1,
비 2 = 비 1 · 큐 = 1 · (-3) = -3,
비 3 = 비 2 · 큐= -3 · (-3) = 9,
비 4 = 비 3 · 큐= 9 · (-3) = -27,
비 5 = 비 4 · 큐= -27 · (-3) = 81. ◄
비 1 분모 큐 그녀의 N 번째 항은 다음 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.
비앤 = 비 1 · qn -1 .
예를 들어,
기하학적 수열의 일곱 번째 항을 찾아보세요 1, 2, 4, . . .
비 1 = 1, 큐 = 2,
비 7 = 비 1 · 큐 6 = 1 2 6 = 64. ◄
bn-1 = 비 1 · qn -2 ,
비앤 = 비 1 · qn -1 ,
비앤 +1 = 비 1 · qn,
그렇다면 분명히
비앤 2 = 비앤 -1 · 비앤 +1 ,
두 번째부터 시작하는 기하 수열의 각 구성원은 이전 및 후속 구성원의 기하 평균(비례)과 같습니다.
그 반대도 참이므로 다음 진술이 유지됩니다.
숫자 a, b, c는 그 중 하나의 제곱이 다른 두 숫자의 곱과 같은 경우에만, 즉 숫자 중 하나가 다른 두 숫자의 기하 평균인 경우에만 일부 기하학적 수열의 연속 항입니다.
예를 들어,
공식에 의해 주어진 수열을 증명해보자 비앤= -3 2 N 는 기하학적 진행이다. 위의 구문을 사용해 보겠습니다. 우리는:
비앤= -3 2 N,
비앤 -1 = -3 2 N -1 ,
비앤 +1 = -3 2 N +1 .
따라서,
비앤 2 = (-3 2 N) 2 = (-3 2 N -1 ) · (-3 · 2 N +1 ) = 비앤 -1 · 비앤 +1 ,
이는 원하는 진술을 증명합니다. ◄
참고하세요 N 기하수열의 번째 항은 다음을 통해서만 찾을 수 있는 것이 아닙니다. 비 1 , 이전 회원도 마찬가지입니다. ㄴㅋ , 공식을 사용하면 충분합니다.
비앤 = ㄴㅋ · qn - 케이.
예를 들어,
을 위한 비 5 적어둘 수 있다
비 5 = 비 1 · 큐 4 ,
비 5 = 비 2 · q 3,
비 5 = 비 3 · q 2,
비 5 = 비 4 · 큐. ◄
비앤 = ㄴㅋ · qn - 케이,
비앤 = 비앤 - 케이 · qk,
그렇다면 분명히
비앤 2 = 비앤 - 케이· 비앤 + 케이
두 번째부터 시작하는 기하수열의 임의 항의 제곱은 그로부터 등거리에 있는 이 수열 항의 곱과 같습니다.
또한 모든 기하학적 수열의 경우 동등성이 적용됩니다.
비엠· 비앤= ㄴㅋ· b l,
중+ N= 케이+ 엘.
예를 들어,
기하학적 진행으로
1) 비 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = 비 5 · 비 7 ;
2) 1024 = 비 11 = 비 6 · 큐 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) 비 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = 비 4 · 비 8 ;
4) 비 2 · 비 7 = 비 4 · 비 5 , 왜냐하면
비 2 · 비 7 = 2 · 64 = 128,
비 4 · 비 5 = 8 · 16 = 128. ◄
Sn= 비 1 + 비 2 + 비 3 + . . . + 비앤
첫 번째 N 분모가 있는 기하학적 수열의 구성원 큐 ≠ 0 다음 공식으로 계산됩니다.
그리고 언제 큐 = 1 - 공식에 따르면
Sn= 주의 1
조건을 합산해야 하는 경우 참고하세요.
ㄴㅋ, ㄴㅋ +1 , . . . , 비앤,
그런 다음 공식이 사용됩니다.
| Sn- SK -1 = ㄴㅋ + ㄴㅋ +1 + . . . + 비앤 = ㄴㅋ · | 1 - qn -
케이 +1
| . |
| 1 - 큐
|
예를 들어,
기하학적 진행으로 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
에스 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = 에스 10 - 에스 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
기하수열이 주어지면 양은 비 1 , 비앤, 큐, N그리고 Sn 두 가지 공식으로 연결됩니다.
따라서 이들 수량 중 세 가지 값이 주어지면 나머지 두 수량의 해당 값은 두 개의 미지수가 있는 두 방정식의 시스템으로 결합된 이 공식에서 결정됩니다.
첫 번째 항이 있는 기하수열의 경우 비 1 분모 큐 다음과 같은 일이 일어난다 단조성의 성질 :
- 다음 조건 중 하나가 충족되면 진행이 증가합니다.
비 1 > 0 그리고 큐> 1;
비 1 < 0 그리고 0 < 큐< 1;
- 다음 조건 중 하나가 충족되면 진행이 감소합니다.
비 1 > 0 그리고 0 < 큐< 1;
비 1 < 0 그리고 큐> 1.
만약에 큐< 0 이면 기하수열이 번갈아 나타납니다. 즉, 홀수 항은 첫 번째 항과 동일한 부호를 가지며, 짝수 항은 반대 부호를 갖습니다. 교대 기하학적 수열은 단조롭지 않다는 것이 분명합니다.
첫 번째 제품 N 기하학적 진행의 항은 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.
Pn= 비 1 · 비 2 · 비 3 · . . . · 비앤 = (비 1 · 비앤) N / 2 .
예를 들어,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
무한히 감소하는 기하학적 진행
무한히 감소하는 기하학적 진행 분모 계수가 더 작은 무한 기하학적 수열이라고 합니다. 1 , 그건
|큐| < 1 .
무한히 감소하는 기하학적 수열은 감소하는 수열이 아닐 수도 있습니다. 상황에 딱 맞아요
1 < 큐< 0 .
이러한 분모를 사용하면 시퀀스가 번갈아 나타납니다. 예를 들어,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
무한히 감소하는 기하학적 수열의 합 첫 번째 것의 합이 제한 없이 접근하는 숫자의 이름을 지정하십시오. N 숫자가 무제한으로 증가하는 진행 멤버 N . 이 숫자는 항상 유한하며 다음 공식으로 표현됩니다.
| 에스= 비 1 + 비 2 + 비 3 + . . . = | 비 1
| . |
| 1 - 큐
|
예를 들어,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
산술수열과 기하수열의 관계
산술 및 기하 수열은 밀접하게 관련되어 있습니다. 두 가지 예만 살펴보겠습니다.
ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3 , . . . 디 , 저것
ㄴ 1 , ㄴ 2 , ㄴ 3 , . . . ㄴ디 .
예를 들어,
1, 3, 5, . . . - 차이가 있는 산술 진행 2 그리고
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - 분모를 사용한 기하학적 진행 7 2 . ◄
비 1 , 비 2 , 비 3 , . . . - 분모를 사용한 기하학적 진행 큐 , 저것
ab1을 기록하다, ab2를 기록하다, ab3를 기록하다, . . . - 차이가 있는 산술 진행 로그큐 .
예를 들어,
2, 12, 72, . . . - 분모를 사용한 기하학적 진행 6 그리고
LG 2, LG 12, LG 72, . . . - 차이가 있는 산술 진행 LG 6 . ◄
특정 시리즈를 고려해 봅시다.
7 28 112 448 1792...
해당 요소의 가치가 이전 요소보다 정확히 4배 더 크다는 것은 분명합니다. 이는 이 시리즈가 진보적이라는 것을 의미합니다.
기하학적 수열은 무한한 숫자 시퀀스로, 주요 특징은 특정 숫자를 곱하여 이전 숫자에서 다음 숫자를 얻는다는 것입니다. 이는 다음 수식으로 표현됩니다.
a z +1 =a z ·q, 여기서 z는 선택한 요소의 번호입니다.
따라서 z ∈ N입니다.
학교에서 기하학적 진행을 공부하는 기간은 9학년입니다. 예제는 개념을 이해하는 데 도움이 됩니다.
0.25 0.125 0.0625...
이 공식을 바탕으로 진행의 분모는 다음과 같이 찾을 수 있습니다.
q와 bz 모두 0이 될 수 없습니다. 또한 진행의 각 요소는 0이 되어서는 안 됩니다.
따라서 일련의 다음 숫자를 찾으려면 마지막 숫자에 q를 곱해야 합니다.
이 진행을 설정하려면 첫 번째 요소와 분모를 지정해야 합니다. 그 후에는 후속 용어와 그 합계를 찾을 수 있습니다.
품종
q와 a1에 따라 이 진행은 여러 유형으로 나뉩니다.
- a 1과 q가 모두 1보다 큰 경우 이러한 수열은 각 후속 요소와 함께 증가하는 기하학적 수열입니다. 이에 대한 예가 아래에 나와 있습니다.
예: a 1 =3, q=2 - 두 매개변수 모두 1보다 큽니다.
그런 다음 숫자 순서는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
3 6 12 24 48 ...
- 만약 |q| 는 1보다 작습니다. 즉, 곱셈은 나눗셈과 같습니다. 그런 다음 유사한 조건의 수열은 감소하는 기하학적 수열입니다. 이에 대한 예가 아래에 나와 있습니다.
예: a 1 =6, q=1/3 - a 1은 1보다 크고 q는 작습니다.
그러면 숫자 순서는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
6 2 2/3 ... - 모든 요소는 그 뒤에 오는 요소보다 3배 더 큽니다.
- 교대 표시. 만약 q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
예: a 1 = -3, q = -2 - 두 매개변수 모두 0보다 작습니다.
그런 다음 숫자 순서는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
3, 6, -12, 24,...
방식
기하수열을 편리하게 사용하기 위한 많은 공식이 있습니다:
- Z-항 공식. 이전 숫자를 계산하지 않고 특정 숫자 아래의 요소를 계산할 수 있습니다.
예:큐 = 3, ㅏ 1 = 4. 진행의 네 번째 요소를 계산해야 합니다.
해결책:ㅏ 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- 수량이 다음과 같은 첫 번째 요소의 합 지. 시퀀스의 모든 요소의 합을 계산할 수 있습니다.az포함한.
이후 (1-큐)가 분모에 있으면 (1 - q)≠ 0이므로 q는 1과 같지 않습니다.
참고: q=1이면 진행은 무한히 반복되는 일련의 숫자가 됩니다.
기하수열의 합, 예:ㅏ 1 = 2, 큐= -2. S5를 계산합니다.
해결책:에스 5 = 22 - 공식을 사용한 계산.
- 경우 금액 |큐| < 1 и если z стремится к бесконечности.
예:ㅏ 1 = 2 , 큐= 0.5. 금액을 찾아보세요.
해결책:Sz = 2 · = 4
Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
일부 속성:
- 특징적인 속성. 다음과 같은 경우 누구에게나 작동지, 주어진 숫자 계열은 기하학적 수열입니다.
az 2 = az -1 · ㅏz+1
- 또한, 기하 수열에서 숫자의 제곱은 주어진 계열에서 다른 두 숫자의 제곱을 더하여 구합니다(이 요소에서 등거리에 있는 경우).
az 2 = az - 티 2 + az + 티 2 , 어디티- 이 숫자들 사이의 거리.
- 강요q가 다르다한 번.
- 수열 요소의 로그도 수열을 형성하지만 산술적인 것, 즉 각각은 이전 것보다 특정 숫자만큼 더 큽니다.
몇 가지 고전적인 문제의 예
기하학적 진행이 무엇인지 더 잘 이해하려면 클래스 9에 대한 솔루션이 포함된 예제가 도움이 될 수 있습니다.
- 정황:ㅏ 1 = 3, ㅏ 3 = 48. 찾기큐.
해결 방법: 각 후속 요소는 이전 요소보다 큽니다.큐 한 번.일부 요소를 다른 요소의 관점에서 분모를 사용하여 표현하는 것이 필요합니다.
따라서,ㅏ 3 = 큐 2 · ㅏ 1
대체할 때큐= 4
- 정황:ㅏ 2 = 6, ㅏ 3 = 12. S 6을 계산합니다.
해결책:이렇게 하려면 첫 번째 요소인 q를 찾아 공식에 대입하면 됩니다.
ㅏ 3 = 큐· ㅏ 2 , 따라서,큐= 2
2 = q · 1 ,그렇기 때문에 1 = 3
에스 6 = 189
- · ㅏ 1 = 10, 큐= -2. 진행의 네 번째 요소를 찾으세요.
해결책: 이렇게 하려면 첫 번째 요소와 분모를 통해 네 번째 요소를 표현하는 것으로 충분합니다.
4 = q 3· 1 = -80
적용 예:
- 은행 고객은 10,000 루블의 금액을 예금했으며, 이 조건에 따라 고객은 매년 그 중 6%를 원금에 추가하게 됩니다. 4년 후 계좌에 얼마의 돈이 남게 될까요?
해결책: 초기 금액은 10,000루블입니다. 이는 투자 후 1년이 지나면 계좌의 금액이 10,000 + 10,000이 된다는 것을 의미합니다. · 0.06 = 10000 1.06
따라서 다음 해 이후 계정의 금액은 다음과 같이 표시됩니다.
(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000
즉, 매년 금액이 1.06배씩 증가하는 셈이다. 이는 4년 후 계좌의 자금 금액을 찾으려면 첫 번째 요소가 10,000이고 분모가 1.06인 진행의 네 번째 요소를 찾는 것으로 충분하다는 것을 의미합니다.
에스 = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625
합계 계산 문제의 예:
기하학적 수열은 다양한 문제에 사용됩니다. 합계를 구하는 예는 다음과 같습니다.
ㅏ 1 = 4, 큐= 2, 계산하다에스 5.
해결책: 계산에 필요한 모든 데이터가 알려져 있으므로 이를 공식에 대체하기만 하면 됩니다.
에스 5 = 124
- ㅏ 2 = 6, ㅏ 3 = 18. 처음 6개 요소의 합을 계산합니다.
해결책:
기하학에서. 진행, 각 다음 요소는 이전 요소보다 q배 더 큽니다. 즉, 요소를 알아야 하는 합계를 계산하려면ㅏ 1 분모큐.
ㅏ 2 · 큐 = ㅏ 3
큐 = 3
마찬가지로, 당신은 찾아야합니다ㅏ 1 , 알고ㅏ 2 그리고큐.
ㅏ 1 · 큐 = ㅏ 2
1 =2
에스 6 = 728.
이 숫자를 기하수열의 분모라고 합니다. 즉, 각 항은 이전 항과 q배만큼 다릅니다. (우리는 q ≠ 1이라고 가정할 것입니다. 그렇지 않으면 모든 것이 너무 사소합니다). 기하수열의 n번째 항에 대한 일반 공식은 b n = b 1 q n – 1 이라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 숫자 bn과 bm의 항은 qn – m만큼 다릅니다.이미 고대 이집트에서는 산술뿐만 아니라 기하수열도 알고 있었습니다. 예를 들어, 여기에 Rhind 파피루스의 문제가 있습니다. “일곱 얼굴에는 일곱 마리의 고양이가 있습니다. 고양이 한 마리는 쥐 일곱 마리를 먹고, 쥐 한 마리는 옥수수 일곱 이삭을 먹으며, 보리 한 이삭에는 보리 7줄이 자랄 수 있습니다. 이 계열의 숫자와 그 합은 얼마나 됩니까?
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쌀. 1. 고대 이집트의 기하수열 문제 |
이 작업은 다른 시대에 다른 민족들 사이에서 다양한 변형을 가지고 여러 번 반복되었습니다. 예를 들어, 13세기에 쓰여진 글입니다. 피사의 레오나르도(피보나치)의 『주판의 책』에는 로마로 가는 길에 7명의 노부인(분명히 순례자)이 나타나는 문제가 있는데, 그들 각각은 노새 7마리를 가지고 있고, 각 노새는 각각 7개의 가방을 가지고 있으며, 빵 7개에는 칼 7개, 칼집 7개가 들어 있습니다. 문제는 얼마나 많은 객체가 있는지 묻습니다.
기하수열 S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) 의 처음 n 항의 합입니다. 이 공식은 예를 들어 다음과 같이 증명될 수 있습니다: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.
숫자 b 1 q n을 S n에 추가하고 다음을 얻습니다.
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여기에서 S n (q – 1) = b 1 (q n – 1)이며 필요한 공식을 얻습니다.
이미 6세기로 거슬러 올라가는 고대 바빌론의 점토판 중 하나에 있습니다. 기원전 즉, 합계 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1을 포함합니다. 사실, 다른 여러 경우와 마찬가지로 이 사실이 바빌로니아 사람들에게 어떻게 알려졌는지 알 수 없습니다. .
여러 문화, 특히 인도에서 기하학적 진보의 급속한 증가는 우주의 광대함을 시각적으로 상징하는 것으로 반복적으로 사용됩니다. 체스 출현에 관한 유명한 전설에서 통치자는 발명가에게 보상을 직접 선택할 기회를 제공하고 체스 판의 첫 번째 사각형에 밀알 두 개를 배치하면 얻을 수있는 밀알의 수를 묻습니다. 두 번째, 세 번째에 4, 네 번째에 8 등, 매번 숫자가 두 배가 됩니다. Vladyka는 우리가 기껏해야 가방 몇 개에 대해 이야기하고 있다고 생각했지만 잘못 계산했습니다. 체스판의 64개 정사각형 전체에 대해 발명가는 20자리 숫자로 표현되는 (2 64 - 1) 그레인을 받아야 한다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 지구 표면 전체에 씨앗을 뿌려도 필요한 양의 곡물을 모으는 데는 최소 8년이 걸립니다. 이 전설은 때때로 체스 게임에 숨겨진 사실상 무한한 가능성을 나타내는 것으로 해석됩니다.
이 숫자가 실제로 20자리임을 쉽게 알 수 있습니다.
2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≒ 16 ∙ 1000 6 = 1.6∙10 19 (보다 정확한 계산은 1.84∙10 19입니다). 그런데 이 숫자가 어떤 숫자로 끝나는지 알 수 있을까요?
기하수열은 분모가 1보다 크면 증가하고, 1보다 작으면 감소할 수 있습니다. 안에 후자의 경우충분히 큰 n에 대한 수 qn은 임의로 작아질 수 있습니다. 증가하는 기하수열은 예기치 않게 빠르게 증가하는 반면, 감소하는 기하수열은 그만큼 빠르게 감소합니다.
n이 클수록 숫자 qn은 0과 다르며, 기하학적 진행 Sn = b 1 (1 – q n) / (1 – q)의 n 항의 합이 숫자 S = b 1 / (에 더 가까워집니다. 1 – q). (예를 들어 F. Viet은 이렇게 추론했습니다). 숫자 S는 무한히 감소하는 기하학적 수열의 합이라고 합니다. 그러나 수세기 동안 무한한 수의 용어를 사용하여 전체 기하학적 수열을 합산하는 것이 무엇을 의미하는지에 대한 질문은 수학자에게 충분히 명확하지 않았습니다.
예를 들어 Zeno의 아포리아 "Half Division"과 "Achilles and the Tortoise"에서는 감소하는 기하학적 진행을 볼 수 있습니다. 첫 번째 경우에는 전체 도로(길이 1로 가정)가 1/2, 1/4, 1/8 등의 무한한 수의 세그먼트의 합이라는 것이 명확하게 표시됩니다. 유한한 합 무한 기하학적 진행에 대한 아이디어의 관점. 그런데 어떻게 이런 일이 있을 수 있지?
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쌀. 2. 1/2 계수로 진행 |
아킬레스에 관한 아포리아에서는 상황이 좀 더 복잡합니다. 왜냐하면 여기서 진행의 분모는 1/2이 아니라 다른 숫자이기 때문입니다. 예를 들어, 아킬레스가 속도 v로 달리고, 거북이는 속도 u로 움직이고, 둘 사이의 초기 거리는 l이라고 가정해 보겠습니다. 아킬레스는 l/v 시간에 이 거리를 이동할 것이며, 이 시간 동안 거북이는 lu/v 거리를 이동할 것입니다. 아킬레스가 이 구간을 통과하면 그와 거북이 사이의 거리는 l (u /v) 2 등과 같아집니다. 거북이를 따라잡는다는 것은 첫 번째 구간과 무한히 감소하는 기하학적 진행의 합을 찾는 것을 의미한다는 것이 밝혀졌습니다. l 항과 분모 u /v. 이 합계(아킬레스가 결국 거북이와 만나는 장소로 달려갈 구간)는 l / (1 – u /v) = lv / (v – u)와 같습니다. 그러나 이 결과를 어떻게 해석해야 하는지, 왜 그것이 의미가 있는지는 오랫동안 명확하지 않았습니다.
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쌀. 3. 계수가 2/3인 기하학적 수열 |
아르키메데스는 포물선 부분의 면적을 결정하기 위해 기하학적 진행의 합을 사용했습니다. 포물선의 이 부분을 현 AB로 구분하고 포물선 D점의 접선이 AB와 평행하도록 합니다. C를 AB의 중간점, E를 AC의 중간점, F를 CB의 중간점으로 둡니다. 점 A, E, F, B를 통해 DC에 평행한 선을 그립니다. 점 D에 그려진 접선이 점 K, L, M, N에서 이 선과 교차한다고 가정합니다. 세그먼트 AD와 DB도 그려보겠습니다. 선 EL이 점 G에서 선 AD와 교차하고 점 H에서 포물선과 교차한다고 가정합니다. 선 FM은 점 Q에서 선 DB와 교차하고 점 R에서 포물선과 교차합니다. 원뿔 단면의 일반 이론에 따르면 DC는 포물선(즉, 축에 평행한 선분)의 지름입니다. 그것과 점 D의 접선은 좌표축 x와 y의 역할을 할 수 있습니다. 여기서 포물선 방정식은 y 2 = 2px로 작성됩니다(x는 D에서 주어진 직경의 임의 지점까지의 거리이고, y는 직경의 이 지점에서 포물선 자체의 어떤 지점까지 주어진 접선에 평행한 선분).
포물선 방정식에 의해 DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, DK = 2DL이므로 KA = 4LH가 됩니다. KA = 2LG, LH = HG이기 때문입니다. 포물선의 ADB 세그먼트 영역은 삼각형 ΔADB의 영역과 AHD 및 DRB 세그먼트의 영역을 합친 영역과 같습니다. 차례로 AHD 세그먼트의 면적은 삼각형 AHD 및 나머지 세그먼트 AH 및 HD의 면적과 유사하며 각각 동일한 작업을 수행할 수 있습니다. 삼각형(Δ)으로 분할하고 나머지 두 세그먼트() 등:
삼각형 ΔAHD의 면적은 삼각형 ΔALD 면적의 절반과 같습니다(공통 밑변 AD를 가지며 높이가 2배 다름). 이는 다시 면적의 절반과 같습니다. 삼각형 ΔAKD이므로 삼각형 ΔACD 면적의 절반입니다. 따라서 삼각형 ΔAHD의 면적은 삼각형 ΔACD 면적의 1/4과 같습니다. 마찬가지로 삼각형 ΔDRB의 면적은 삼각형 ΔDFB 면적의 1/4과 같습니다. 따라서 삼각형 ΔAHD와 ΔDRB의 면적을 합하면 삼각형 ΔADB 면적의 1/4과 같습니다. 세그먼트 AH, HD, DR 및 RB에 적용할 때 이 작업을 반복하면 삼각형이 선택되며, 그 영역을 합친 면적은 삼각형 ΔAHD 및 ΔDRB를 합친 면적보다 4배 작습니다. 따라서 삼각형 ΔADB의 면적보다 16배 작습니다. 등등:
따라서 아르키메데스는 “직선과 포물선 사이에 포함된 모든 선분은 밑변과 높이가 같은 삼각형의 4/3를 구성한다”는 것을 증명했습니다.
