큐브의 섹션을 3개로 구성합니다. 세 점 수수께끼

24.09.2019

다면체와 난이도를 선택하세요

평행 육면체.

사면체.

입방체 레벨 A.

레벨 A.

평행 육면체.

입방체 레벨 B.

레벨 B.

사면체.

레벨 B.

평행 육면체.

사면체.

입방체 레벨 C.

레벨 C.

입방체 레벨 A.

M, H 및 K 점, 여기서 KЄ(DCC 1 디 1 ).

V 1

와 함께 1

디 1

돕다

평면 a) 가장자리 BB 포함 1 ; b) 비행기 (SS 1 디).

입방체 레벨 B.

V 1

와 함께 1

디 1

돕다

입방체 레벨 C.

통과하는 평면으로 큐브의 단면을 구성합니다. K, E, M 지점을 통해 (M Є AB). 그런 다음 직선 BB의 교차점을 찾으십시오. 1 이 비행기로.

V 1

와 함께 1

디 1

입방체 레벨 A.

통과하는 사면체의 단면을 구성합니다.

M, H 및 K 점, 여기서 KЄ(DCC 1 디 1 ).

V 1

와 함께 1

EP ll MN

디 1

입방체 레벨 B.

V 1

와 함께 1

디 1

AN ll KE

평면이 통과하는 입방체 단면 구성

점 A, K, E. 이 점의 교차선을 찾으십시오.

평면 a) 가장자리 BB 포함 1 ; b) 비행기 (SS 1 디).

입방체 레벨 C.

점 K, E, M을 통과하는 평면으로 입방체의 단면을 구성합니다. (M Є AB). 그런 다음 직선 BB1과 이 평면의 교차점을 찾으세요.

V 1

와 함께 1

디 1

PHKERF– 필수 섹션

레벨 A. 갈비뼈에 AA 1 그리고 1 디 1 1 1 = 6, 에이 1 디 1 = 8, AB = 4cm.

돕다

레벨 B.

돕다

레벨C. 세 점 S, R, L이 평행육면체의 모서리에 주어져 있습니다. SRL 평면을 사용하여 평행육면체의 단면을 구성합니다.

돕다

레벨 A. 갈비뼈에 AA 1 그리고 1 디 1 평행육면체의 중간점 S와 R을 각각 취합니다. SRВ 평면을 사용하여 평행육면체의 단면을 구성합니다. 1 AA인 경우 단면적을 구합니다. 1 = 6, 에이 1 디 1 = 8, AB = 4cm.

메모

헤론의 공식을 적용해 보세요.

레벨 B

SRELZX– 필수 섹션

레벨 C.

사면체.

레벨 A.

돕다

사면체.

통과하는 평면을 사용하여 사면체의 단면을 구성합니다.

레벨 B.

돕다

사면체에서 면(STA)과 (ATV)의 높이에서 점 K와 M을 취하고,

점 E는 평면(ABC) 위에 있습니다. 정사면체의 단면 그리기

이 지점들을 통과합니다.

사면체.

레벨 C.

돕다

통과하는 평면을 사용하여 사면체의 단면을 구성합니다.

갈비뼈 ST, SA 및 KЄTV 중간을 통과합니다. 뷰 정의

단면에서 얻은 사각형.

사면체.

레벨 A.

사면체.

통과하는 평면을 사용하여 사면체의 단면을 구성합니다.

레벨 B.

M과 H 지점, KЄ(ABC) 지점을 통과합니다.

MNRE– 필수 섹션

수업 목표

섹션 구성과 관련된 문제를 해결하는 학생들의 기술 형성.
학생들의 공간적 상상력의 형성과 발달.
그래픽 문화와 수학적 연설의 발전.
개인 및 팀으로 작업하는 능력을 개발합니다.

수업 유형:지식의 형성과 향상에 대한 교훈.

교육 활동 조직 형태:그룹, 개인, 집단.

수업 기술 지원:컴퓨터, 멀티미디어 프로젝터, 스크린, 기하학적 몸체 세트(큐브, 평행육면체, 사면체).

수업 중

1. 조직적인 순간

수업은 5~6명의 3개 그룹으로 나누어 진행됩니다. 각 테이블에는 섹션, 즉 본체 세트를 구성하기 위한 개인 및 그룹 작업이 있습니다. 학생들에게 수업의 주제와 목적을 소개합니다.

2. 기초지식 업데이트

여론조사 이론:

– 입체 측정의 공리.
– 공간의 평행선 개념.
– 평행선에 대한 정리.
– 세 직선의 평행성.
– 공간에서 직선과 평면의 상대적인 위치.
– 선과 평면 사이의 평행성을 나타내는 기호입니다.
– 평면의 평행도 결정.
– 두 평면의 평행도 표시.
– 평행 평면의 속성.
– 사면체. 평행 육면체. 평행육면체의 속성.

3. 새로운 자료 학습

선생님의 말씀:많은 입체 문제를 해결할 때 평면에 의한 다면체 단면이 사용됩니다. 주어진 다면체의 점이 양쪽에 있는 임의의 평면을 다면체의 분할 평면이라고 부르겠습니다.
절단 평면은 세그먼트를 따라 면과 교차합니다. 변이 이러한 세그먼트인 다각형을 다면체의 단면이라고 합니다.
그림 38-39를 사용하여 알아봅시다. 사면체와 평행육면체의 단면은 몇 개의 변을 가질 수 있습니까?

재학생사진을 분석하고 결론을 도출합니다. 선생님절단 평면이 일부 세그먼트를 따라 평행육면체의 반대쪽 두 면과 교차하는 경우 이러한 세그먼트는 평행하다는 사실을 지적하면서 학생들의 답을 수정합니다.

분석교과서에 있는 1, 2, 3번 문제를 풀어보세요(구술 그룹 활동).

4. 연구 자료의 통합(그룹별)

1개 그룹:주어진 점 M, N, K를 통과하는 평면으로 사면체의 단면을 구성하는 방법을 설명하고 문제 1-3에서 M, N, K가 모서리의 중간점과 각 모서리인 경우 단면의 둘레를 구합니다. 사면체는 같다 ㅏ.

그룹 2:주어진 세 개의 점(정육면체의 꼭지점 또는 모서리의 중간점)을 통과하는 평면을 사용하여 입방체의 단면을 구성하는 방법을 설명합니다(주어진 세 개의 점은 그림에 강조 표시되어 있습니다). 문제 1-4와 6, 큐브의 가장자리가 다음과 같을 경우 단면의 둘레를 구합니다. ㅏ.문제 5에서 AE =임을 증명하십시오. ㅏ/3

그룹 3:평행육면체의 단면을 구성하다 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1점을 통과하는 평면:

그룹은 슬라이드를 사용하여 보드에서 완료된 모든 작업을 방어합니다.

5. 독립 작품 85호, 105호.

6. 수업 요약

수업 중 학생들의 작업을 평가합니다.

7. 숙제:개별 카드.

І-ІІІ 레벨 No. 2의 일반 교육 학교

Kirovskoye 시정부 교육부

“평면으로 큐브 섹션

그리고 문제에 대한 실제적인 적용.”

수학선생님이 준비해주신

교사 방법론자

추마코바 G.V.

2015년

소개:

다면체 섹션 구성에 대한 문제는 고등학교 기하학 과정과 다양한 수준의 시험 모두에서 중요한 위치를 차지합니다. 이러한 유형의 문제를 해결하면 입체 측정 공리의 동화, 지식과 기술의 체계화, 공간 이해 및 건설 기술 개발에 기여합니다. 단면 구성과 관련된 문제를 해결할 때 발생하는 어려움은 잘 알려져 있습니다.

단면 구성 방법을 구성하는 주요 동작은 직선과 평면의 교점 찾기, 두 평면의 교점 구성, 평면에 평행한 직선 구성, 평면에 수직인 직선 구성입니다. 비행기.

학교 수학 과정의 한 문제를 사용하여 섹션 구성을 설명하겠습니다.

№1. 적어도 두 개의 큐브 섹션을 구성하세요.ABCDA 1 비 1 씨 1 디 1 비행기 오전 1 C, 점 M인 경우 1 세그먼트 BB를 따라 이동합니다. 1 B에서 B로 1 . M점에서 그은 단면의 높이를 측정하는 경계를 구하라 1 .

해결책: 점 M을 사용하여 두 개의 필수 섹션을 구성해 보겠습니다. 1 B지점과 M지점에 더 가깝습니다. 2 B에 더 가깝다 1 . 두 섹션 모두 그림에 표시되어 있으며 이동 시작 시 M 지점이 1 방금 B 지점에서 멀어졌습니다 1 , 단면은 밑변이 AC이고 높이가 M인 삼각형입니다. 1 O는 세그먼트 BO보다 약간 더 큽니다.
M점이라면 1 M 위치를 차지할 것이다 2 B 지점과 매우 가까운 곳에 위치 1 , 저것 오전 2 C는 거의 일치할 것이다. AB 1 C이고 높이는 M입니다. 1 O – 세그먼트 B 포함 1 아, 그 길이는
(OB 1 =
=
).

연속성을 이유로 여기에서 다음과 같이 결론을 내립니다.

특히 M 1 지점이 꼭지점 B의 위치를 차지하면 어떤 일이 발생하는지 살펴봐야 합니다.

№2. 큐브의 가장자리에 있는 세 점 A 1, E 및 L을 통과하는 평면을 사용하여 큐브의 단면을 구성합니다.

면 A 1 ADD 1 및 DD 1 C 1 C의 평면은 직선 DD 1을 따라 교차하고 면 A 1 B 1 C 1 D 1 u DD 1 C 1 C의 평면은 직선 D 1을 따라 교차합니다. 다 1 . 점 A와 E를 연결하여 절단 평면과 AA 1 D 1 D 면의 교차 직선을 얻고 이를 계속하면 절단 평면과 AA 1 D 1 D의 세 평면에 속하는 점 N을 찾습니다. 면의 평면 AA 1 D 1 D u DD 1 C 1 C.

마찬가지로 단면 평면과 면 A 1 B 1 C 1 D 1 u DD 1 C 1 C의 세 평면에 공통적인 점 M을 찾습니다. 따라서 점 N u M은 절단 평면과 평면 DD 1 C 1 C에 속합니다. 직선 MN은 단면 평면과 면 DD 1 C 1 C의 교차점이고 F와 K는 큐브 CD u CC 1의 가장자리와의 교차점입니다. 점 A 1 , E , F , K u L 을 직선으로 일관되게 연결하면 오각형 A 를 얻습니다! EFKL은 원하는 섹션을 제공합니다.

평면을 이용하여 입방체의 단면을 구성할 때 엑스섹션에서 임의의 점 배열을 사용하면 결과는 삼각형, 사다리꼴, 직사각형, 오각형 또는 육각형입니다. 당연히 섹션 유형이 이 섹션을 정의하는 점의 위치 유형에 따라 어떻게 달라지는지에 대한 의문이 생겼습니다.

알아보기 위해 연구를 진행하기로 결정했습니다.

하나의 꼭지점을 갖는 모서리에 속하는 세 점이 주어졌을 때 평면으로 정육면체의 단면을 구성합니다.

꼭지점 D 1에 속하는 세 점 A 1 , D , C 1 이 취해지며 그 자체가 큐브의 꼭지점입니다.

A 1 C 1 , A 1 Du DC 1 이 입방체 면의 대각선이기 때문에 단면은 정삼각형이 됩니다.

세 개의 점: A 1 u C 1은 큐브의 정점이고 점 F는 큐브 DD 1의 가장자리에 속합니다. 점은 꼭지점 D 1 에서 나오는 직선에 속합니다.

F가 점 A 1 u C 1 에서 등거리에 있으므로 횡단면은 이등변 삼각형이 됩니다.

세 개의 점: A 1 u C 1은 큐브의 정점이고 점 F는 큐브 모서리 DD 1의 직선에 속합니다. 점들은 하나의 꼭지점 D 1 에서 나오는 직선에 속합니다.

F가 점 A 1 u C 1 에서 등거리에 있으므로 단면은 이등변 사다리꼴이 됩니다. 즉, LA 1 = KC 1 입니다.

세 개의 점은 하나의 꼭지점 D 1을 갖는 모서리에 속합니다. 점 F u M은 각각 모서리 D 1 Du D 1 C의 연속에 속하며 점 A 1은 큐브의 꼭지점입니다.

단면 결과 오각형 A 1 KLNG가 생성됩니다.

세 개의 점 F, M, Q를 취하여 각각 모서리 D 1 D, D 1 C 1 및 D 1 A 1의 연속에 놓이게 합니다.

단면 결과는 육각형 KLNGJH입니다.

세 개의 점이 하나의 꼭지점 D 1을 갖는 모서리에 있습니다.

단면의 결과는 임의의 삼각형이 되지만 점이 D 1 Q =D 1 M =D 1 F 로 배열되면, 즉 정점 D 1에서 등거리에 있으면 단면이 생성됩니다. 정삼각형에서.

절단 평면은 점 H, Q 및 M으로 정의됩니다. 단면은 두 개의 평행 평면과 세 번째 평면의 교차점에 대한 정리에 따라 KC ││ MP 및 MK ││ PC 이후 평행사변형을 생성합니다.

포인트라면 H, Q 및 M은 2a의 거리에서 D로부터 멀리 떨어진 절단 평면을 정의합니다. 여기서 a는 입방체의 가장자리에 대한 것이며 단면에서 정삼각형 ACB 1이 얻어집니다.

결론: 단면을 정의하는 세 개의 점은 공통 꼭지점을 갖는 입방체의 세 모서리에 속하거나 연속되며 단면의 결과는 삼각형, 오각형, 육각형, 사다리꼴, 평행사변형입니다.

3개의 점이 주어졌을 때 평면으로 입방체의 단면을 구성합니다. 그 중 2개는 인접한 모서리에 있고 세 번째 점은 인접하지 않은 모서리에 있습니다.

세 개의 점 M, Ku F는 M u F가 하나의 꼭지점 A 1을 갖는 모서리에 속하고 점 K는 이들에 인접하지 않은 모서리에 놓이도록 취해집니다.

단면 결과는 직사각형입니다. A 1 M = D 1 K이고 세 수직의 정리를 사용하면 MKLF가 직사각형이라는 것을 증명할 수 있으며 A 1 M이면 D 1 K이면 사다리꼴이나 오각형을 얻을 수 있습니다.

Ku L이 하나의 꼭지점 A1에서 나오는 가장자리에 속하고 점 N이 인접하지 않고 가장자리 CC1에 속하도록 세 개의 점이 선택됩니다. K, Lu N 가장자리의 중간점 A 1 A, A 1 B 1 u CC 1 – 각각.

단면 결과는 정육각형 KLGNHM이 됩니다.

Ku L이 하나의 정점 A 1에서 나오는 가장자리에 속하고 점 T가 가장자리 DC에 속하도록 세 개의 점이 선택됩니다.

단면 결과는 육각형 KLFRTZ입니다.

Ku L이 하나의 꼭지점 A 1에서 큐브의 모서리에 속하고 점 M이 모서리 DD 1에 속하도록 세 개의 점이 선택됩니다.

단면은 사다리꼴 LKQM을 생성합니다.

세 개의 점 K u L은 하나의 정점 A 1과 모서리 BC에 있는 점 R을 갖는 모서리에 속합니다.

단면은 오각형 KLFRT로 이어집니다.

결론: 절단 평면이 세 개의 점으로 정의되고 그 중 두 개는 인접한 모서리에 있고 세 번째는 인접하지 않은 모서리에 있는 경우 단면은 직사각형, 오각형, 육각형, 사다리꼴이 될 수 있습니다.

정육면체의 단면과 그 특별한 경우에는 평행사변형이 있습니다.

포인트들 단면을 정의하는 T, H, J는 다음과 같이 위치합니다. T.H. 기원 후, H.J. 기원 후. 단면의 결과는 정사각형 HTKJ입니다.

단면은 점 C, F, L로 지정되며 DF = FD 1, BL = LB 1입니다. 단면은 마름모 AFCL을 생성합니다.

단면은 C, G, H 점으로 정의됩니다. B1H=DG. 단면에는 평행사변형 A 1 GCH가 있습니다.

단면을 정의하는 점은 큐브 A, D, C 1의 꼭지점입니다. 단면은 직사각형이 됩니다.

정육면체 단면의 정다각형

삼각형 ABC 1은 그 변이 입방체 면의 대각선이기 때문에 정변형입니다.

KV = MV = TV이므로 삼각형 KMT는 등변입니다.

KMTE는 단면이 점 M, K, E 및 MK로 정의되므로 정사각형입니다. 기원 후, E.K. 기원 후.

단면을 정의하는 점 H, E, K가 각각 모서리 CC 1, DC, AA 1의 중간점이므로 단면은 정육각형 KMTNEO를 갖습니다.

통합 상태 시험(Unified State Exam)의 큐브 및 입체 측정에 관한 몇 가지 문제입니다.

매뉴얼 "Unified State Exam 2005. Mathematics." 일반적인 테스트 문제” (Kornikova T. A. et al.) 공통 아이디어로 통합된 입체 측정 문제(C4) 10개 포함: 삼각 프리즘 ABCA가 제공됩니다. 1 안에 1 와 함께 1 밑면 AB와 BC의 변은 서로 수직이고 모서리 BB에 수직입니다. 1 , AB=BC=BB 1 , 정점 A는 원뿔의 상단(또는 원통 밑면 중 하나의 중심 또는 구의 중심)이고, 원뿔의 밑면(구 또는 원통의 두 번째 밑면)은 중앙을 통과합니다. 프리즘 한쪽 가장자리의 길이는 알려져 있습니다. 원뿔(구, 원통)의 부피나 표면을 구해야 합니다.

일반적인 예제 솔루션:

이 프리즘을 큐브에 추가하세요. 육각형 DEFKLM - 원뿔 밑면의 평면에 의한 입방체 단면으로, 그 원은 중간 A 1 B 1을 통과하고 A는 원뿔의 꼭지점입니다.

DEFKLM은 A 1 B 1의 중앙을 통과하는 원통의 밑면에 의한 입방체 단면입니다. A는 실린더의 두 번째 밑면의 중심이거나 a의 단면입니다. 중심이 A이고 그 구가 A 1 B 1의 중심을 통과하는 대원의 평면으로 정육면체를 만듭니다.

육각형데프클름– 모서리 A의 중앙을 통과하는 평면에 의한 입방체 단면 1 안에 1 , BB 1 , 구성점을 얻을 때 VSZh케이, 엘, 중, 이는 해당 모서리의 중간점입니다. 이 육각형의 변은 삼각형의 빗변입니다DB 1 이자형, EBF, FCK, KQL, LRM, 엄마. 1 디, 다리는 큐브 가장자리의 절반과 같습니다. 그러면 이 육각형의 중심은 그 주위에 외접하는 원의 중심이 되며, 이는 정육면체의 모서리와 교차합니다.디, 이자형, 에프, 케이, 엘그리고 M은 이 원의 반지름입니다.
, 여기서 A 1 안에 1 = ㅏ .

A.O. 엘자. 티. 에게. EAL – 이등변:알 = A.E. .

( 아베 유 EAL– 직사각형,AB= AQ= ㅏ, BE = L.Q. = )

EO =OL은 육각형 DEFKLM의 대각선 EL의 중점입니다. 즉, AO는 중앙값이고 이등변삼각형의 특성에 따라 높이입니다. AO도 비슷한 방식으로 증명됩니다. DK. AO는 육각형 평면의 두 교차 직선에 수직이므로 AO는 전체 평면에 수직입니다.

A가 원뿔의 꼭지점이면 AO는 높이이고, A가 원통의 두 번째 밑면의 중심이면 AO는 원통의 높이입니다.

ABC: AC=
, 피 – 큐브 밑면의 대각선 교차점, AP=
, RR 1 =AA 1 = ㅏ . OR=RR 1 =, 그런 다음 직사각형에서 ROA JSC=
. 그래서 AO=
.

그렇다면 원뿔에 대해 이야기한다면:

(에서
).

답변:

실린더에 관해 이야기하는 경우:

답변:

구체에 대해 이야기하는 경우 :

답변:

Kornikova T. A. 및 기타 일반적인 테스트 작업. 통합 국가 시험 - 2005

옵션 6.

일. 주어진 프리즘 ABCA 1 B 1 C 1과 원통입니다. 프리즘 밑면의 변 AB와 BC는 모서리 BB 1에 수직이고 서로 수직입니다. 원통 밑면의 중심은 점 A 1이고 두 번째 밑면의 원은 모서리 A 1 B 1의 중앙을 통과합니다.

BB 1 =AB=BC=10이면 원통의 전체 표면적을 구합니다. 그 양을 찾으십시오.

해결책:

.
.

CubeD1의 섹션 구성 작업
C1
이자형
A1
지하 1층
디
ㅏ
에프
비
와 함께

검증작업.

옵션 1개
옵션 2
1. 사면체
1. 평행육면체
2. 평행육면체의 성질

큐브의 절단면은 주어진 큐브의 점이 양쪽에 있는 평면입니다.

시컨트
평면은 큐브의 면과 교차합니다.
세그먼트.
측면이 다음과 같은 다각형
이러한 세그먼트를 큐브의 섹션이라고 합니다.
큐브의 단면은 삼각형이 될 수 있습니다.
사각형, 오각형 및
육각형.
섹션을 구성할 때 다음 사항을 고려해야 합니다.
절단 평면이 두 평면을 교차하는 경우
일부 세그먼트를 따라 반대면을 만든 다음
이 세그먼트는 평행합니다. (이유를 설명해라).

지하 1층
C1
D1
A1
중
케이
중요한!
비
와 함께
디
절단면이 교차하는 경우
반대편 가장자리, 그러면
K DCC1
평행하게 교차합니다
M BCC1
세그먼트.

모서리의 중간점인 세 개의 지정된 점입니다. 가장자리가 단면의 둘레를 찾으십시오.

통과하는 평면으로 입방체의 단면을 구성합니다.
모서리의 중간점인 세 개의 지정된 점입니다.
정육면체의 모서리가 a와 같을 때 단면의 둘레를 구합니다.
D1
N
케이
A1
디
ㅏ
C1
지하 1층
중
와 함께
비

꼭지점인 세 개의 주어진 점을 통과하는 평면으로 입방체의 단면을 구성합니다. 큐브의 가장자리가 단면의 둘레를 구합니다.

통과하는 평면으로 입방체의 단면을 구성합니다.
정점인 3개의 주어진 점. 찾다
큐브의 가장자리가 a와 같은 경우 단면의 둘레입니다.
D1
C1
A1
지하 1층
디
ㅏ
와 함께
비

D1
C1
A1
중
지하 1층
디
ㅏ
와 함께
비

주어진 세 점을 통과하는 평면으로 입방체의 단면을 구성합니다. 정육면체의 모서리가 a와 같을 때 단면의 둘레를 구합니다.

D1
C1
A1
지하 1층
N
디
ㅏ
와 함께
비

모서리의 중간점인 세 개의 주어진 점을 통과하는 평면으로 입방체의 단면을 구성합니다.

C1
D1
지하 1층
A1
케이
디
와 함께
N
이자형
ㅏ
중
비

평면을 사용하여 입방체 단면을 구성하는 문제는 일반적으로 피라미드 단면과 관련된 문제보다 간단합니다.

두 점이 같은 평면에 있으면 두 점을 지나는 직선을 그릴 수 있습니다. 큐브의 단면을 구성할 때 절단면의 흔적을 구성하는 또 다른 옵션이 가능합니다. 세 번째 평면은 평행선을 따라 두 개의 평행 평면과 교차하므로 면 중 하나에 이미 직선이 구성되어 있고 다른 면에 단면이 통과하는 점이 있는 경우 이에 평행한 선을 그릴 수 있습니다. 이 지점을 통해 지적하십시오.

평면을 사용하여 큐브의 단면을 구성하는 방법에 대한 구체적인 예를 살펴보겠습니다.

1) 점 A, C, M을 통과하는 평면으로 입방체의 단면을 구성합니다.

이 유형의 문제는 큐브 섹션을 구성하는 모든 문제 중에서 가장 간단합니다. 점 A와 C는 같은 평면(ABC)에 있으므로 두 점을 지나는 직선을 그릴 수 있습니다. 그 추적은 세그먼트 AC입니다. 눈에 보이지 않으므로 AC를 획으로 표시합니다. 마찬가지로 동일한 평면(CDD1)에 있는 점 M과 C를 연결하고 동일한 평면(ADD1)에 있는 점 A와 M을 연결합니다. Triangle ACM은 필수 구간입니다.

2) 점 M, N, P를 통과하는 평면으로 입방체의 단면을 구성합니다.

여기서는 점 M과 N만 동일한 평면(ADD1)에 있으므로 이를 통해 직선을 그리고 트레이스 MN(보이지 않음)을 얻습니다. 큐브의 반대쪽 면이 평행한 평면에 있으므로 절단 평면은 평행선을 따라 평행한 평면 (ADD1) 및 (BCC1)과 교차합니다. 우리는 이미 평행선 중 하나를 구성했습니다. 이것이 바로 MN입니다.

점 P를 통해 MN과 평행한 선을 그립니다. 점 S에서 모서리 BB1과 교차합니다. PS는 면(BCC1)의 절단 평면의 추적입니다.

같은 평면(ABB1)에 있는 점 M과 S를 지나는 직선을 그립니다. MS의 흔적(보이는)을 받았습니다.

평면(ABB1)과 (CDD1)은 평행합니다. 평면(ABB1)에는 이미 직선 MS가 있으므로 평면(CDD1)의 점 N을 통해 MS에 평행한 직선을 그립니다. 이 선은 점 L에서 모서리 D1C1과 교차합니다. 해당 선은 NL(보이지 않음)입니다. 점 P와 L은 동일한 평면(A1B1C1)에 있으므로 점 P와 L을 통과하는 직선을 그립니다.

국방부 MNLPS는 필수 섹션입니다.

3) 점 M, N, P를 통과하는 평면으로 입방체의 단면을 구성합니다.

점 M과 N은 동일한 평면(ВСС1)에 있으므로 이를 통해 직선을 그릴 수 있습니다. 우리는 추적 MN(가시적)을 얻습니다. 평면 (BCC1)은 평면 (ADD1)과 평행하므로 (ADD1)에 있는 점 P를 통해 MN에 평행한 선을 그립니다. 이는 점 E에서 모서리 AD와 교차합니다. 트레이스 PE(보이지 않음)를 얻었습니다.

더 이상 같은 평면에 있는 점이 없으며, 직선과 평행한 평면에 있는 점이 없습니다. 따라서 추가 포인트를 얻으려면 기존 라인 중 하나를 계속해야 합니다.

MN 선을 계속 그리면 그 선이 평면(BCC1)에 있으므로 이 평면의 선 중 하나와 MN의 교차점을 찾아야 합니다. CC1과 B1C1의 교차점이 이미 있습니다. 이는 M과 N입니다. 남은 것은 직선 BC와 BB1입니다. BC와 MN이 점 K에서 교차할 때까지 계속해 보겠습니다. 점 K는 선 BC 위에 있습니다. 이는 평면(ABC)에 속한다는 것을 의미하므로 점 K와 이 평면에 있는 점 E를 통과하는 직선을 그릴 수 있습니다. 이는 지점 H에서 가장자리 CD와 교차합니다. EH는 해당 추적(보이지 않음)입니다. H와 N은 동일한 평면(CDD1)에 있으므로 이들을 통과하는 직선을 그릴 수 있습니다. HN(보이지 않는) 추적을 얻습니다.

평면(ABC)과 (A1B1C1)은 평행합니다. 그 중 하나에는 선 EH가 있고 다른 하나에는 점 M이 있습니다. M을 통해 EH와 평행한 선을 그릴 수 있습니다. MF 추적(표시)을 얻습니다. 점 M과 F를 지나는 직선을 그립니다.

육각형 MNHEPF는 필수 섹션입니다.

MN이 다른 직선 평면(BCC1)인 BB1과 교차할 때까지 직선을 계속 이어간다면 평면(ABB1)에 속하는 점 G를 얻게 됩니다. 이는 G와 P를 통해 추적이 PF인 직선을 그릴 수 있음을 의미합니다. 다음으로, 평행한 평면에 있는 점들을 통해 직선을 그리고 동일한 결과에 도달합니다.

직선 PE로 작업하면 동일한 섹션 MNHEPF가 제공됩니다.

4) 점 M, N, P를 통과하는 평면으로 입방체의 단면을 구성합니다.

여기서 우리는 같은 평면(A1B1C1)에 있는 점 M과 N을 지나는 직선을 그릴 수 있습니다. 그녀의 발자국은 MN(보임)입니다. 더 이상 동일한 평면이나 평행 평면에 있는 점이 없습니다.

직선 MN을 계속하자. 평면(A1B1C1)에 있으므로 이 평면의 선 중 하나만 교차할 수 있습니다. A1D1 및 C1D1(N 및 M)과의 교차점이 이미 있습니다. 이 평면에 두 개의 직선(A1B1 및 B1C1)이 더 있습니다. A1B1과 MN의 교점은 S입니다. A1B1 선 위에 있기 때문에 평면(ABB1)에 속합니다. 즉, 동일한 평면에 있는 점 P와 이를 통해 직선을 그릴 수 있습니다. 선 PS는 점 E에서 가장자리 AA1과 교차합니다. PE는 그 흔적입니다(가시적). 동일한 평면(ADD1)에 있는 점 N과 E를 통해 직선을 그릴 수 있으며 그 흔적은 NE(보이지 않음)입니다. 평면(ADD1)에는 선 NE가 있고, 이에 평행한 평면(BCC1)에는 점 P가 있습니다. 점 P를 통해 NE에 평행한 선 PL을 그릴 수 있습니다. 이는 점 L에서 가장자리 CC1과 교차합니다. PL은 이 선의 추적입니다(가시적). 점 M과 L은 동일한 평면(CDD1)에 있으므로 이를 통해 직선을 그릴 수 있습니다. 그녀의 흔적은 ML(보이지 않음)입니다. Pentagon MLPEN은 필수 섹션입니다.

양방향으로 직선 NM을 계속하고 직선 A1B1뿐만 아니라 평면(A1B1C1)에 있는 직선 B1C1과의 교차점을 찾는 것이 가능했습니다. 이 경우 점 P를 통해 한 번에 두 개의 선을 그립니다. 하나는 점 P와 S를 통해 평면(ABB1)에, 두 번째는 점 P와 R을 통해 평면(BCC1)에 그립니다. 동일한 평면에 있는 점: M c L, E - N과 함께.