로그 부등식을 해결하는 방법. Manov의 작업 "통합 상태 시험의 대수 불평등"

수행된 추론은 간단하지만 로그 부등식의 해결을 상당히 단순화합니다.

예시 4.

로그 x (x 2 -3)<0

해결책:

실시예 5.

로그 2 x (2x 2 -4x +6) ≤로그 2 x (x 2 +x )

해결책:

답변. (0; 0.5)U.

실시예 6.

이 부등식을 풀기 위해 분모 대신 (x-1-1)(x-1)을 쓰고, 분자 대신 곱 (x-1)(x-3-9 + x)를 씁니다.

답변 : (3;6)

실시예 7.

실시예 8.

2.3. 비표준 대체.

예시 1.

예시 2.

예시 3.

예시 4.

실시예 5.

실시예 6.

실시예 7.

로그 4 (3 x -1)로그 0.25

y=3 x -1;로 대체해 보겠습니다. 그러면 이 불평등은 다음과 같은 형태를 취할 것입니다.

로그 4 로그 0.25
.

왜냐하면 로그 0.25 = -로그 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y 이면 마지막 부등식을 2log 4 y -log 4 2 y ≤로 다시 씁니다.

t =log 4 y를 대체하고 부등식 t 2 -2t +≥0을 구해 보겠습니다. 그 해는 간격 - .

따라서 y 값을 찾기 위해 두 가지 간단한 부등식 세트가 있습니다.
이 세트의 해는 간격 0입니다.<у≤2 и 8≤у<+.

따라서 원래 부등식은 두 개의 지수 부등식의 집합과 같습니다.
즉, 집계

이 집합의 첫 번째 부등식에 대한 해는 구간 0입니다.<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. 따라서 구간 0부터 x의 모든 값에 대해 원래 부등식이 충족됩니다.<х≤1 и 2≤х<+.

실시예 8.

해결책:

불평등은 시스템과 같다

ODZ를 정의하는 두 번째 부등식에 대한 해결책은 다음과 같습니다. 엑스,

무엇을 위해 엑스 > 0.

첫 번째 부등식을 해결하기 위해 대체를 수행합니다.

그러면 우리는 불평등을 얻습니다.

또는

마지막 부등식에 대한 해의 집합은 다음 방법으로 구합니다.

간격: -1< 티 < 2. Откуда, возвращаясь к переменной 엑스, 우리는 얻는다

또는

그 중 많은 것 엑스, 이는 마지막 부등식을 만족합니다.

ODZ( 엑스> 0) 따라서 시스템에 대한 해입니다.

따라서 원래의 불평등이 발생합니다.

답변:

2.4. 함정이 있는 작업.

예시 1.

.

해결책.부등식의 ODZ는 조건 0을 만족하는 모든 x입니다. . 따라서 모든 x는 구간 0에 속합니다.

예시 2.

로그 2(2 x +1-x 2)>로그 2(2 x-1 +1-x)+1.. ? 요점은 두 번째 숫자가 분명히 다음보다 크다는 것입니다.

결론

다양한 교육 소스에서 C3 문제를 해결하기 위한 구체적인 방법을 찾는 것은 쉽지 않았습니다. 작업을 진행하는 동안 복잡한 로그 부등식을 해결하기 위한 비표준 방법을 연구할 수 있었습니다. 이는 등가 전이 및 일반화된 간격 방법, 합리화 방법입니다. , 비표준 대체 , ODZ의 트랩이 있는 작업. 이러한 방법은 학교 커리큘럼에 포함되어 있지 않습니다.

저는 다양한 방법을 사용하여 파트 C, 즉 C3의 통합 상태 시험에서 제안된 27개의 불평등을 해결했습니다. 방법에 따른 솔루션의 불평등은 내 활동의 프로젝트 제품이 된 "솔루션을 통한 C3 대수 불평등" 컬렉션의 기초를 형성했습니다. 프로젝트 초기에 제시했던 가설은 확증되었습니다. C3 문제는 이러한 방법을 알면 효과적으로 해결할 수 있습니다.

게다가 로그에 관한 흥미로운 사실도 발견했습니다. 이 일을 하는 것이 나에게는 흥미로웠다. 내 프로젝트 제품은 학생과 교사 모두에게 유용할 것입니다.

결론:

이로써 프로젝트 목표가 달성되었고 문제도 해결되었습니다. 그리고 저는 작업의 모든 단계에서 가장 완전하고 다양한 프로젝트 활동 경험을 얻었습니다. 프로젝트를 진행하는 동안 나의 주요 발달 영향은 정신 능력, 논리적 정신 작업과 관련된 활동, 창의적 능력 개발, 개인 주도성, 책임감, 인내 및 활동에 있었습니다.

연구 프로젝트 생성 시 성공 보장 나는 상당한 학교 경험, 다양한 출처에서 정보를 얻고, 그 신뢰성을 확인하고, 중요도에 따라 순위를 매기는 능력을 얻었습니다.

수학에 대한 직접적인 주제 지식 외에도 컴퓨터 과학 분야에서 실용 기술을 확장하고 심리학 분야에서 새로운 지식과 경험을 얻었으며 급우들과 접촉하고 어른들과 협력하는 법을 배웠습니다. 프로젝트 활동을 통해 조직적, 지적, 의사소통적 일반 교육 기술이 개발되었습니다.

문학

1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. 변수가 하나인 불평등 시스템(표준 작업 C3).

2. Malkova A. G. 수학 통합 국가 시험 준비.

3. Samarova S. S. 대수 부등식 풀기.

4. 수학. A.L.이 편집한 교육 작품 모음 Semenov 및 I.V. 야쉬첸코. -M.: MTsNMO, 2009. - 72p.-

로그 부등식

이전 수업에서 우리는 로그 방정식에 대해 배웠고 이제는 그것이 무엇인지, 어떻게 해결하는지 알고 있습니다. 오늘의 수업은 로그 부등식에 대한 연구에 전념할 것입니다. 이러한 불평등은 무엇이며 로그 방정식을 푸는 것과 불평등을 푸는 것의 차이점은 무엇입니까?

로그 부등식은 로그 기호 아래 또는 밑수에 변수가 나타나는 부등식입니다.

또는 로그 부등식은 로그 방정식에서와 같이 알 수 없는 값이 로그 기호 아래에 나타나는 부등식이라고 말할 수도 있습니다.

가장 간단한 로그 부등식의 형식은 다음과 같습니다.

여기서 f(x)와 g(x)는 x에 의존하는 일부 표현식입니다.

다음 예제를 사용하여 이를 살펴보겠습니다: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

로그 부등식 풀기

로그 부등식을 풀기 전에, 풀면 지수 부등식과 유사하다는 점에 주목할 필요가 있습니다. 즉:

첫째, 로그에서 로그 기호 아래의 표현식으로 이동할 때 로그의 밑수를 1과 비교해야 합니다.

둘째, 변수의 변화를 이용하여 로그 부등식을 풀 때 가장 단순한 부등식을 얻을 때까지 변화에 대한 부등식을 풀어야 한다.

그러나 당신과 나는 로그 부등식을 해결하는 비슷한 측면을 고려했습니다. 이제 다소 중요한 차이점에 주목해 보겠습니다. 여러분과 나는 로그 함수의 정의 영역이 제한적이라는 것을 알고 있으므로 로그에서 로그 기호 아래의 표현식으로 이동할 때 허용되는 값의 범위(ADV)를 고려해야 합니다.

즉, 로그 방정식을 풀 때 여러분과 내가 먼저 방정식의 근을 찾은 다음 이 해를 확인할 수 있다는 점을 고려해야 합니다. 그러나 로그 부등식을 푸는 것은 로그에서 로그 기호 아래의 표현으로 이동하므로 부등식의 ODZ를 적어야 하기 때문에 이 방법으로는 작동하지 않습니다.

또한, 불평등 이론은 양수와 음수인 실수와 숫자 0으로 구성된다는 점을 기억할 가치가 있습니다.

예를 들어 숫자 "a"가 양수인 경우 a >0이라는 표기법을 사용해야 합니다. 이 경우 이 숫자의 합과 곱도 모두 양수입니다.

부등식을 해결하는 주요 원리는 이를 더 단순한 부등식으로 대체하는 것이지만, 가장 중요한 것은 주어진 부등식과 동등하다는 것입니다. 또한, 우리는 부등식을 얻었고 이를 더 간단한 형태 등으로 다시 대체했습니다.

변수를 사용하여 부등식을 풀 때는 해당 변수의 모든 해를 찾아야 합니다. 두 부등식의 변수 x가 동일한 경우 해가 일치한다면 그러한 부등식은 동일합니다.

로그 부등식을 해결하는 작업을 수행할 때 a > 1이면 로그 함수가 증가하고 0이면 로그 함수가 증가한다는 점을 기억해야 합니다.< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

로그 부등식을 해결하는 방법

이제 로그 부등식을 풀 때 발생하는 몇 가지 방법을 살펴보겠습니다. 더 나은 이해와 동화를 위해 구체적인 예를 사용하여 이해하려고 노력할 것입니다.

우리 모두는 가장 간단한 로그 부등식의 형태가 다음과 같다는 것을 알고 있습니다.

이 불평등에서 V –는 다음 불평등 기호 중 하나입니다.<,>, ≤ 또는 ≥.

주어진 로그의 밑이 1보다 큰 경우(a>1), 로그에서 로그 기호 아래의 표현식으로 전환하면 이 버전에서는 부등호가 유지되고 부등호는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

이는 다음 시스템과 동일합니다.

로그의 밑이 0보다 크고 1보다 작은 경우(0

이는 다음 시스템과 동일합니다.

아래 그림에 표시된 가장 간단한 로그 부등식을 해결하는 더 많은 예를 살펴보겠습니다.

예제 해결

운동.이 불평등을 해결해 봅시다:

허용 가능한 값의 범위를 해결합니다.

이제 우변에 다음을 곱해 보겠습니다.

우리가 무엇을 생각해 낼 수 있는지 봅시다:

이제 하위 대수 표현식을 변환해 보겠습니다. 로그의 밑이 0이기 때문에< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

그리고 이것으로부터 우리가 얻은 간격은 전적으로 ODZ에 속하며 그러한 불평등에 대한 해결책이 됩니다.

우리가 얻은 대답은 다음과 같습니다.

로그 부등식을 해결하려면 무엇이 필요합니까?

이제 로그 부등식을 성공적으로 해결하기 위해 무엇이 필요한지 분석해 볼까요?

첫째, 모든 주의를 집중하고 이러한 불평등에 따른 변환을 수행할 때 실수하지 않도록 노력하십시오. 또한, 그러한 불평등을 해결할 때, 외부 솔루션의 손실이나 획득으로 이어질 수 있는 불평등의 확장과 축소를 피해야 한다는 점을 기억해야 합니다.

둘째, 로그 부등식을 풀 때 불평등 시스템과 불평등 집합과 같은 개념 간의 차이를 논리적으로 생각하고 이해하는 방법을 배워야 DL의 안내를 받으면서 불평등에 대한 솔루션을 쉽게 선택할 수 있습니다.

셋째, 이러한 불평등을 성공적으로 해결하려면 각자가 기본 기능의 모든 속성을 완벽하게 알고 그 의미를 명확하게 이해해야 합니다. 이러한 함수에는 대수 함수뿐만 아니라 유리수, 거듭제곱, 삼각함수 등 한마디로 학교 대수학 시간에 공부한 모든 함수가 포함됩니다.

보시다시피, 로그 불평등이라는 주제를 연구한 결과, 목표 달성에 신중하고 끈질기게 노력한다면 이러한 불평등을 해결하는 데 어려움이 없습니다. 불평등을 해결하는 데 문제가 발생하지 않도록 하려면 가능한 한 많이 연습하고 다양한 문제를 해결하는 동시에 그러한 불평등을 해결하는 기본 방법과 해당 시스템을 기억해야 합니다. 대수부등식을 풀지 못했다면, 앞으로 다시는 실수를 반복하지 않도록 주의 깊게 실수를 분석해야 합니다.

숙제

주제를 더 잘 이해하고 다루는 내용을 통합하려면 다음 불평등을 해결하세요.

수학 통합 국가 시험에 합격하기까지 남은 시간이 점점 줄어들고 있습니다. 상황은 점점 더 뜨거워지고 있으며 학생, 부모, 교사 및 교사의 신경은 점점 더 긴장되고 있습니다. 매일 심도 있는 수학 수업을 통해 긴장을 완화할 수 있습니다. 결국 우리가 알고 있듯이 긍정적인 태도를 갖게 하고 능력과 지식에 대한 자신감만큼 시험에 합격하는 데 도움이 되는 것은 없습니다. 오늘은 수학 교사가 전통적으로 많은 현대 고등학생들에게 어려움을 야기하는 문제인 로그 및 지수 부등식 풀이 시스템에 대해 알려줄 것입니다.

수학 교사로서 수학 통합 시험에서 C3 문제를 해결하는 방법을 배우기 위해서는 다음과 같은 중요한 사항에주의를 기울이는 것이 좋습니다.

1. 로그 및 지수 부등식 시스템을 풀기 전에 이러한 각 유형의 부등식을 개별적으로 해결하는 방법을 배워야 합니다. 특히 허용 가능한 값의 범위가 어떻게 지정되는지 이해하기 위해 로그 및 지수 표현식의 등가 변환이 수행됩니다. ""및 ""기사를 연구하면 이와 관련된 일부 비밀을 이해할 수 있습니다.

2. 동시에, 불평등 체계를 해결하는 것이 항상 각 불평등을 개별적으로 해결하고 결과 간격을 교차시키는 것으로 귀결되는 것은 아니라는 점을 인식할 필요가 있습니다. 때로는 시스템의 한 가지 불평등에 대한 해결책을 알면 두 번째 불평등에 대한 해결책이 훨씬 더 간단해집니다. 통합 상태 시험 형식으로 학생들이 최종 시험을 치를 수 있도록 준비하는 수학 교사로서 저는 이 기사에서 이와 관련된 몇 가지 비밀을 공개하겠습니다.

3. 집합의 교집합과 합집합의 차이를 명확히 이해하는 것이 필요합니다. 이것은 경험이 풍부한 전문 교사가 첫 수업부터 학생에게 제공하려고 하는 가장 중요한 수학적 지식 중 하나입니다. 집합의 교집합과 합집합을 시각적으로 표현한 것이 소위 "오일러 원"입니다.

집합의 교차점 각 세트에 포함된 요소만 포함하는 세트입니다.

교차로

"오일러 원"을 사용한 집합의 교점 표현

손끝에서 설명을 받으세요. Diana는 지갑에 다음으로 구성된 "세트"를 가지고 있습니다. 펜, 연필, 통치자, 노트북, 빗). 앨리스는 지갑에 다음으로 구성된 "세트"를 가지고 있습니다. 공책, 연필, 거울, 노트북, 키예프의 커틀릿). 이 두 "세트"의 교집합은 다음으로 구성된 "세트"가 됩니다. 연필, 노트북), Diana와 Alice 모두 이러한 "요소"를 모두 갖고 있기 때문입니다.

기억하는 것이 중요합니다! 부등식에 대한 해가 구간이고 부등식에 대한 해가 구간인 경우 시스템에 대한 해는 다음과 같습니다.

그 간격은 교차로 원래 간격. 여기와 아래모든 징후를 의미합니다. title="QuickLaTeX.com에서 렌더링됨" height="17" width="93" style="vertical-align: -4px;">!} 그리고 아래 - 반대 기호입니다.

세트의 합집합 원래 세트의 모든 요소로 구성된 세트입니다.

즉, 두 세트가 주어지면 그 세트는 다음과 같습니다. 통일 다음과 같은 형식의 집합이 됩니다.

"오일러 원"을 사용한 집합 합집합 묘사

손끝에서 설명을 받으세요.이전 예에서 가져온 "세트"의 합집합은 다음으로 구성된 "세트"가 됩니다. 펜, 연필, 통치자, 노트북, 빗, 공책, 거울, 키예프의 커틀릿), 원래 "세트"의 모든 요소로 구성되어 있기 때문입니다. 불필요하지 않을 수 있는 한 가지 설명입니다. 한 무리의 할 수 없다동일한 요소를 포함합니다.

기억하는 것이 중요합니다! 불평등에 대한 해가 구간이고 불평등에 대한 해가 구간인 경우 모집단에 대한 해는 다음과 같습니다.

그 간격은 노동 조합 원래 간격.

예제로 직접 이동해 보겠습니다.

예시 1.불평등 시스템을 해결합니다.

문제 C3에 대한 해결책.

1. 먼저 첫 번째 부등식을 풀어보겠습니다. 대체를 사용하여 불평등으로 이동합니다.

2. 이제 두 번째 부등식을 풀어보겠습니다. 허용되는 값의 범위는 불평등에 의해 결정됩니다.

Title="QuickLaTeX.com에서 렌더링됨">!}

로그 제목="Rendered by QuickLaTeX.com)의 밑을 고려하여 허용 가능한 값 범위 내에서" height="18" width="52" style="vertical-align: -4px;"> переходим к равносильному неравенству:!}

허용 가능한 값 범위 내에 있지 않은 솔루션을 제외하고 간격을 얻습니다.

3. 답장하다 체계불평등이 있을 것이다 교차로

수직선의 결과 간격입니다. 해결책은 그들의 교차점이다

예시 2.불평등 시스템을 해결합니다.

문제 C3에 대한 해결책.

1. 먼저 첫 번째 부등식을 풀어보겠습니다. 두 부분에 title="Rendered by QuickLaTeX.com)을 곱합니다." height="14" width="55" style="vertical-align: 0px;"> и делаем замену в результате чего приходим к неравенству:!}

역치환으로 넘어가겠습니다.

2.

Title="QuickLaTeX.com에서 렌더링됨">!}

결과 간격의 그래픽 표현입니다. 시스템에 대한 솔루션은 교차점입니다.

예시 3.불평등 시스템을 해결합니다.

문제 C3에 대한 해결책.

1. 먼저 첫 번째 부등식을 풀어보겠습니다. 두 부분에 title="Rendered by QuickLaTeX.com)을 곱합니다." height="18" width="61" style="vertical-align: -4px;"> после чего получаем неравенство:!}

대체를 사용하면 다음과 같은 불평등이 발생합니다.

역치환으로 넘어가겠습니다.

2. 이제 두 번째 부등식을 풀어보겠습니다. 먼저 이 불평등의 허용 가능한 값 범위를 결정해 보겠습니다.

ql-오른쪽-eqno">

점에 유의하시기 바랍니다

그런 다음 허용 가능한 값의 범위를 고려하여 다음을 얻습니다.

3. 우리는 불평등에 대한 일반적인 해결책을 찾습니다. 얻은 노드 포인트의 비합리적인 값을 비교하는 것은 이 예에서 결코 사소한 작업이 아닙니다. 다음과 같이 이 작업을 수행할 수 있습니다. 왜냐하면

Title="QuickLaTeX.com에서 렌더링됨">!}

저것 시스템에 대한 최종 응답은 다음과 같습니다.

예시 4.불평등 시스템을 해결합니다.

문제 C3의 해결.

1. 먼저 두 번째 부등식을 풀어보겠습니다.

2. 원래 시스템의 첫 번째 부등식은 밑이 가변적인 로그 부등식입니다. 이러한 부등식을 해결하는 편리한 방법은 "복소 로그 부등식" 기사에 설명되어 있으며 간단한 공식을 기반으로 합니다.

모든 불평등 기호는 기호로 대체될 수 있으며, 가장 중요한 것은 두 경우 모두 동일하다는 것입니다. 이 공식을 사용하면 부등식 해결이 크게 단순화됩니다.

이제 이 불평등에 대해 허용 가능한 값의 범위를 결정해 보겠습니다. 이는 다음 시스템에 의해 설정됩니다.

Title="QuickLaTeX.com에서 렌더링됨">!}

Title="QuickLaTeX.com에서 렌더링됨">!}

동시에 이 간격이 우리의 불평등에 대한 해결책이 될 것임을 쉽게 알 수 있습니다.

3. 원본에 대한 최종 답변 시스템불평등이 있을 것이다 교차로 결과 간격, 즉

실시예 5.불평등 시스템을 해결합니다.

작업 C3에 대한 솔루션입니다.

1. 먼저 첫 번째 부등식을 풀어보겠습니다. 우리는 치환을 사용하고 다음과 같은 2차 부등식을 진행합니다:

2. 이제 두 번째 부등식을 풀어보겠습니다. 허용되는 값의 범위는 시스템에 의해 결정됩니다.

Title="QuickLaTeX.com에서 렌더링됨">!}

이 부등식은 다음 혼합 시스템과 동일합니다.

허용 가능한 값 범위 내, 즉 title="Rendered by QuickLaTeX.com)" height="18" width="53" style="vertical-align: -4px;"> используя равносильные преобразования переходим к следующей смешанной системе:!}

허용 가능한 값의 범위를 고려하여 다음을 얻습니다.

3. 원작의 최종 결정 시스템~이다

문제 C3에 대한 해결책.

1. 먼저 첫 번째 부등식을 풀어보겠습니다. 동등한 변환을 사용하여 다음과 같은 형식으로 만듭니다.

2. 이제 두 번째 부등식을 풀어보겠습니다. 유효한 값의 범위는 간격에 따라 결정됩니다: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="68" style="vertical-align: 0px;"> Используя замену переменной переходим к следующему квадратичному неравенству:!}

이 답변은 전적으로 허용 가능한 불평등 값의 범위에 속합니다.

3. 이전 단락에서 얻은 간격을 교차함으로써 불평등 시스템에 대한 최종 답을 얻습니다.

오늘 우리는 로그 및 지수 부등식 시스템을 해결했습니다. 이러한 종류의 과제는 현재 학년도 내내 수학 통합 국가 시험의 평가판에서 제공되었습니다. 그러나 통합 상태 시험 준비 경험이 있는 수학 교사로서 이것이 6월 수학 통합 상태 시험의 실제 버전에 유사한 작업이 있을 것이라는 의미는 전혀 아니라고 말할 수 있습니다.

고등학생들이 수학 통합 국가 시험에 응시할 수 있도록 준비하는 가정교사와 학교 교사에게 주로 전달되는 한 가지 경고를 말씀드리겠습니다. 주어진 주제에 대해 엄격하게 시험을 위해 학생들을 준비시키는 것은 매우 위험합니다. 왜냐하면 이 경우 이전에 언급된 작업 형식이 약간 변경되더라도 완전히 "실패"할 위험이 있기 때문입니다. 수학교육은 이수되어야 합니다. 사랑하는 동료 여러분, 특정 유형의 문제를 해결하기 위해 소위 "훈련"을 통해 학생들을 로봇에 비유하지 마십시오. 결국 인간 사고의 형식화보다 더 나쁜 것은 없습니다.

모두에게 행운과 창의적인 성공을 기원합니다!

세르게이 발레리에비치

시도해 보면 두 가지 옵션이 있습니다. 작동할 것인지 작동하지 않을 것인지입니다. 시도하지 않으면 하나만 있습니다.
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