총 확률 공식. 베이즈 공식

4) 똑같이 생긴 항아리 3개가 있습니다. 첫 번째 항아리에는 흰색 공 5개와 검은색 공 10개가 들어 있습니다. 두 번째에는 흰색 공 9개와 검은색 공 6개가 들어 있습니다. 세 번째에는 검은 공만 있습니다. 무작위로 선택한 항아리에서 하나의 공을 꺼냅니다. 이 공이 검은색일 확률은 얼마인가?

해결책

이벤트 ㅏ- 검은 공을 꺼냈습니다. 이벤트 ㅏ

시간

시간

시간

투표함의 모양은 동일하므로 다음과 같습니다.

ㅏ각 가설에 대해.

검은 공은 첫 번째 항아리에서 꺼냈습니다.

비슷하게:

답변:

5) 두 개의 항아리가 있습니다. 첫 번째 항아리에는 흰색 공 5개와 검은색 공 10개가 들어 있습니다. 두 번째 항아리에는 흰색 공 9개와 검은색 공 6개가 들어 있습니다. 공 하나는 보지 않고 첫 번째 항아리에서 두 번째 항아리로 옮겨집니다. 그 후 두 번째 항아리에서 공 하나를 꺼냅니다. 이 공이 검은색일 확률을 구하시오.

해결책

이벤트 ㅏ– 두 번째 항아리에서 검은 공을 꺼냈습니다. 이벤트 ㅏ호환되지 않는 사건(가설) 중 하나와 함께 발생할 수 있습니다.

시간 1 – 첫 번째 저장소에서 두 번째 저장소로 이동 흰 공;

시간 2 – 검은 공이 첫 번째 항아리에서 두 번째 항아리로 옮겨졌습니다.

가설의 확률:

사건의 조건부 확률을 구해보자 ㅏ. 흰색 공이 첫 번째 항아리에서 두 번째 항아리로 옮겨지면 두 번째 항아리에는 흰색 공 10개와 검은색 공 6개가 들어 있습니다. 이는 검은 공을 얻을 확률이 다음과 같다는 것을 의미합니다.

비슷하게:

공식에 따르면 완전한 확률:

답변:

6) 세 개의 항아리가 있습니다. 첫 번째 항아리에는 흰색 공 5개와 검은색 공 10개가 들어 있습니다. 두 번째에는 흰색 공 9개와 검은색 공 6개가 들어 있습니다. 세 번째 항아리에는 15개의 검은색 공(흰색 공 없음)이 들어 있습니다. 무작위로 선택한 항아리에서 공 하나를 꺼냈습니다. 이 공은 검은색으로 밝혀졌습니다. 공이 두 번째 항아리에서 뽑혔을 확률을 구하세요.

해결책

이벤트 ㅏ– 무작위로 선택한 항아리에서 하나의 공을 가져왔습니다.

이벤트 ㅏ호환되지 않는 사건(가설) 중 하나와 함께 발생할 수 있습니다.

시간 1 – 첫 번째 항아리에서 공을 꺼냈습니다.

시간 2 – 두 번째 항아리에서 공을 꺼냈습니다.

시간 3 – 세 번째 항아리에서 공을 꺼냈습니다.

가설의 사전 확률은 다음과 같습니다.

문제 4에서는 사건의 조건부 확률이 발견됩니다. ㅏ총 확률은 다음과 같습니다.

베이즈 공식을 이용하여 가설의 사후확률을 구해보자 시간 2 .

검은 공은 두 번째 항아리에서 가져옵니다.

비교해 봅시다 :

따라서 검은 공이 뽑혔다는 것이 알려지면 두 번째 항아리에서 검은 공이 뽑힐 확률이 감소합니다(이는 두 번째 항아리에 검은 공이 가장 적게 포함되어 있다는 조건에 해당합니다).

답변: .

베르누이의 공식

7) 그 가족에는 여섯 명의 자녀가 있습니다. 여자아이를 가질 확률은 0.49이다. 이 아이들 중 한 명이 여자아이일 확률을 찾아보세요.

해결책

이벤트 ㅏ- 여자아이가 태어났어요.

피= 피(ㅏ) = 0,49;

큐= 1 – 피= 1 – 0,49 = 0,51.

베르누이 공식:

자녀가 6명뿐이라는 뜻이다. N=6.

우리는 그들 중에 정확히 한 명의 소녀가 있을 확률을 찾아야 합니다. 중= 1.

답변:

8) 세그먼트 AB정확한 값으로 나눈 값 씨 2:1의 비율로. 이 세그먼트에는 6개의 점이 무작위로 던져집니다. 점이 세그먼트에 포함될 확률은 세그먼트의 길이에 비례하고 위치에 의존하지 않는다고 가정합니다. 두 개 이상의 점이 한 점의 오른쪽에 있을 확률을 구합니다. 씨.

해결책

이벤트 ㅏ– 임의의 점이 세그먼트에 떨어집니다. C.B.(포인트 오른쪽에 씨).

왜냐하면 씨나누다 AB 2:1의 비율로 다음을 수행합니다.

2C.B.=A.C.;

2C.B.+C.B.=A.C.+C.B.;

3C.B.=AB;

확률의 기하학적 정의를 바탕으로 다음을 얻습니다.

베르누이의 공식.

그리고 결정하는 법도 배웠어요 일반적인 작업독립적인 이벤트를 통해 이제 훨씬 더 흥미로운 계속이 이어질 것입니다. 신소재, 그러나 아마도 실용적인 일상적인 도움도 제공할 것입니다.

사건의 독립성이 무엇인지 간단히 반복해 보겠습니다. 사건 중 하나라도 발생할 확률이 있으면 사건은 독립입니다. 의존하지 않는다다른 사건의 발생 또는 발생하지 않음으로부터. 가장 간단한 예- 동전 두 개를 던집니다. 한 동전의 앞면이나 뒷면이 나올 확률은 다른 동전을 던지는 결과에 전혀 의존하지 않습니다.

이벤트의 종속성이라는 개념도 여러분에게 친숙하므로 이를 좀 더 자세히 살펴봐야 할 때입니다.

먼저 두 가지 이벤트로 구성된 전통적인 세트를 고려하십시오. 매달린 , 무작위 요인 외에도 확률이 사건의 발생 여부에 따라 달라지는 경우. 사건이 일어날 것이라는 가정 하에 계산된 사건의 확률 이미 일어난 일이야, 라고 불리는 조건부 확률 이벤트의 발생을 로 표시합니다. 이 경우 이벤트가 호출됩니다. 종속 이벤트 (엄밀히 말하면 둘 중 하나만 종속되어 있음).

손에 들고 있는 카드:

문제 1

36장의 카드 덱에서 2장의 카드를 순차적으로 뽑습니다. 다음과 같은 경우 두 번째 카드가 하트일 확률을 구하세요.

a) 벌레가 추출되었습니다.
b) 다른 모양의 카드가 뽑혔습니다.

해결책: 이벤트를 고려하십시오. – 두 번째 카드는 하트가 될 것입니다. 이 사건의 확률은 웜이 더 일찍 그려졌는지 여부에 따라 달라집니다.

a) 하트가 먼저 뽑힌 경우(이벤트), 덱에 35장의 카드가 남아 있으며, 그 중 이제 8장의 하트 슈트 카드가 있습니다. 에 의해 고전적 정의 :
~을 고려하면, 그 전에 웜도 추출되었습니다.

b) 다른 모양의 카드가 먼저 뽑힌 경우(이벤트), 9개의 하트가 모두 덱에 남아 있습니다. 에 의해 고전적 정의 :
– 두 번째 카드가 하트일 확률 ~을 고려하면이전에 다른 모양의 카드가 뽑혔던 것입니다.

모든 것이 논리적입니다. 하트를 그릴 확률이 풀 데크금액 , 다음 카드를 뽑으면 비슷한 확률이 변경됩니다. 첫 번째 경우에는 감소합니다. (하트 수가 적기 때문에) 두 번째에는 증가합니다. (모든 하트가 덱에 남아 있었기 때문에).

답변:

물론 더 많은 종속 이벤트가 있을 수 있습니다. 문제는 아직 해결되지 않았지만 한 가지를 더 추가해 보겠습니다. – 세 번째 카드에는 하트가 그려집니다. 이벤트가 발생한 다음 이벤트가 발생했다고 가정합니다. 그러면 덱에는 하트 7개를 포함해 34장의 카드가 남습니다. 에 의해 고전적 정의 :
– 사건이 발생할 확률 ~을 고려하면이전에 두 개의 하트가 그려져 있었다는 것입니다.

독립적인 교육의 경우:

문제 2

봉투에는 10개가 들어있습니다. 복권, 우승 3명 포함. 티켓은 봉투에서 순차적으로 제거됩니다. 다음과 같은 확률을 구하세요.

a) 첫 번째 티켓이 당첨된 경우 두 번째 추첨 티켓이 당첨됩니다.
b) 이전 두 장의 티켓이 당첨된 경우 세 번째 티켓이 당첨됩니다.
c) 이전 티켓이 당첨된 경우 4번째 티켓이 당첨됩니다.

강의 마지막 부분에 설명이 포함된 짧은 솔루션입니다.

이제 근본적인 것 하나에 주목하자 중요한 점: 고려된 예에서는 조건부 확률만 찾는 것이 필요했지만 이전 사건은 확실하게 발생한 것으로 간주되었습니다.. 그러나 실제로는 무작위이기도 합니다! 따라서 "열정" 작업에서 전체 덱에서 하트를 그리는 것은 무작위 이벤트이며 확률은 .

실제로는 확률을 찾는 것이 훨씬 더 자주 필요합니다. 동시 발생종속 이벤트. 예를 들어, 전체 덱으로 구성된 이벤트의 확률을 찾는 방법 ~ 할 것이다벌레 추출 그리고그럼 또 다른 마음? 이 질문에 대한 답은 다음과 같습니다.

종속 사건의 확률을 곱하는 정리: 두 종속 사건의 공동 발생 확률은 첫 번째 사건이 이미 발생했다는 가정하에 계산된 두 종속 사건 중 하나의 확률과 다른 사건의 조건부 확률을 곱한 것과 같습니다.

우리의 경우:
– 전체 덱에서 하트 2개가 연속으로 뽑힐 확률.

비슷하게:
– 다른 무늬의 카드가 먼저 뽑힐 확률 그리고그럼 심장.

사건의 확률은 일반적으로 어떤 계산 없이도 명백했던 사건의 확률보다 눈에 띄게 더 큰 것으로 나타났습니다.

그리고 물론 복권 10장이 들어있는 봉투에 특별한 희망을 가질 필요는 없습니다. (작업 2)당신은 3을 그립니다 티켓 당첨계약:

예, 절대적으로 맞습니다 - 종속 사건의 확률을 곱하는 정리 당연히더 많은 수로 확장됩니다.

몇 가지 일반적인 예를 통해 자료를 통합해 보겠습니다.

문제 3

항아리 안에 흰색 공 4개, 검은색 공 7개가 있습니다. 공 2개를 교체하지 않고 항아리에서 무작위로 하나씩 꺼냅니다. 다음과 같은 확률을 구하세요.

a) 두 공은 모두 흰색이다.
b) 두 공 모두 검은색이다.
c) 먼저 흰색 공을 뽑은 다음 검은색 공을 뽑습니다.

"다시 가져오지 않고"라는 한정어에 주목하세요. 이 의견은 이벤트가 종속적이라는 사실을 더욱 강조합니다. 과연 추출된 공이 다시 반환된다면 어떨까요? 리턴 샘플링의 경우 검은 공과 흰색 공을 뽑을 확률은 변하지 않으며 이러한 문제에 대해서는 이미 안내를 받아야 합니다. INDEPENDENT 사건의 확률 곱셈 정리 .

해결책: 항아리의 총합: 4 + 7 = 11개의 공. 가다:

a) 사건을 고려하십시오. 첫 번째 공은 흰색입니다. - 두 번째 공은 흰색입니다. 그리고 첫 번째 공이 흰색일 확률을 구합니다. 그리고 2번째 흰색.

에 의해 고전적 정의확률: . 흰색 공을 제거하면 항아리 안에 흰색 공 3개를 포함해 10개의 공이 남게 된다고 가정합니다. 따라서 다음과 같습니다.
– 이전에 흰색 공을 뽑았다면 두 번째 시도에서 흰색 공을 뽑을 확률입니다.

– 두 공이 모두 흰색일 확률.

b) 첫 번째 공이 검은색일 확률을 구하십시오. 그리고 2번째 검정색

고전적인 정의에 따르면: – 첫 번째 시도에서 검은 공이 뽑힐 확률. 검은색 공을 뽑으면 항아리 안에 검은색 공 6개를 포함해 10개의 공이 남게 됩니다. 따라서 다음과 같습니다. – 이전에 검정색 공이 추첨된 경우 두 번째 시도에서 검정색 공이 추첨될 확률입니다.

종속 사건의 확률 곱셈 정리에 따르면:
– 두 공이 모두 검은색일 확률.

c) 사건의 확률을 구합니다(흰색 공이 먼저 추첨됩니다). 그리고다음은 검정색)

흰색 공을 제거한 후(확률 ) 항아리에는 흰색 3개와 검정색 7개를 포함하여 10개의 공이 남게 됩니다. 따라서: – 흰색 공을 뽑았다면 두 번째 시도에서 검은 공이 뽑힐 확률은 다음과 같습니다. 전에.

종속 사건의 확률 곱셈 정리에 따르면:
– 원하는 확률.

답변:

이 작업통해 쉽게 확인 가능 완전한 그룹을 형성하는 사건의 확률을 추가하는 정리 . 이를 위해 네 번째 누락 사건의 확률을 구합니다. - 검은색 공이 먼저 뽑혀질 것입니다. 그리고그럼 흰색.

이벤트 완전한 그룹을 형성하므로 확률의 합은 1과 같아야 합니다.
, 확인이 필요한 내용이었습니다.

그리고 제시된 자료를 얼마나 잘 마스터했는지 즉시 확인하는 것이 좋습니다.

문제 4

36장의 카드 덱에서 두 개의 에이스가 연속으로 뽑힐 확률은 얼마입니까?

문제 5

항아리 안에는 검정색 공 6개, 빨간색 공 5개, 흰색 공 4개가 있습니다. 세 개의 공이 순차적으로 그려집니다. 확률을 구해 보세요.

a) 이전에 검은색 공과 빨간색 공이 추첨된 경우 세 번째 공은 흰색으로 판명됩니다.
b) 첫 번째 공은 검정색, 두 번째 공은 빨간색, 세 번째 공은 흰색입니다.

수업이 끝나면 솔루션과 답변이 제공됩니다.

고려중인 많은 문제는 다른 방법으로 해결할 수 있다고 말해야하지만 혼란을 피하기 위해 아마도 그것에 대해 전혀 침묵하겠습니다.

아마도 모든 사람들은 특정 일련의 작업이 수행되는 경우 종속 이벤트가 발생한다는 것을 알아차렸을 것입니다. 그러나 일련의 작업 자체가 이벤트의 종속성을 보장하지는 않습니다. 예를 들어, 학생이 일부 시험의 질문에 무작위로 답한다고 가정해 보겠습니다. 이러한 이벤트는 차례로 발생하지만 한 질문에 대한 답변에 대한 무지는 다른 답변에 대한 무지에 전혀 의존하지 않습니다 =) 물론, 여기에 패턴이 있습니다 =) 그리고 반복적으로 동전을 던지는 완전히 간단한 예입니다. 이 매혹적인 과정은 심지어 다음과 같이 불립니다. 반복된 독립적 테스트 .

나는 이 순간을 지연시키고 다양한 예를 선택하려고 최선을 다했지만 문제가 있는 경우 독립 사건에 대한 곱셈 정리 범인이 담당하고 여기에 공이있는 항아리의 실제 침입이 있습니다 =) 따라서 탈출구가 없습니다. 다시 항아리입니다.

문제 6

흰색 공 6개와 검은색 공 4개가 들어 있는 항아리에서 공 3개를 무작위로 하나씩 꺼냅니다. 다음과 같은 확률을 구하세요.

a) 세 개의 공은 모두 검은색이다.
b) 최소한 두 개의 검은색 공이 있을 것입니다.

해결책:합계: 6 + 4 = 항아리에 공 10개.

이 작업에는 많은 이벤트가 있을 것이며 이와 관련하여 대문자로 표시되는 혼합 디자인 스타일을 사용하는 것이 더 바람직합니다. 라틴 문자로메인이벤트만. 조건부 확률을 계산하는 원리를 이미 이해하셨기를 바랍니다.

a) 다음과 같은 사건을 생각해 보십시오: – 세 개의 공이 모두 검은색입니다.

종속 사건의 확률 곱셈 정리에 따르면:

b) 두 번째 점은 더 흥미롭습니다. 이벤트를 고려하십시오. – 최소한 두 개의 검은 공이 있을 것입니다. 이 이벤트는 2개의 호환되지 않는 결과로 구성됩니다. 모든 공이 검은색(이벤트)이 되거나 2개의 공이 검은색이고 1개가 흰색이 됩니다. 최근 사건편지 .

이벤트에는 호환되지 않는 3가지 결과가 포함됩니다.

1차 테스트에서는 흰색이 추출되었습니다. 그리고 2번째에 그리고 3차 테스트 - 검은 공
또는
그리고 2번째 – 학사 그리고 3번째 – ChS
또는
1차 테스트에서는 BS가 추출되었습니다. 그리고 2번째 – ChS 그리고 3번째 – 학사.

관심 있는 사람들은 다음의 더 어려운 예에 익숙해질 수 있습니다. Chudesenko의 컬렉션 , 여러 개의 공이 전송됩니다. 특별한 팬을 위해 저는 첫 번째에서 두 번째 항아리로, 두 번째에서 세 번째로 공을 두 번 연속 이동하고 마지막 항아리에서 공을 최종 추출하는 등 조합 복잡성이 증가된 작업을 제공합니다. 파일 확률 덧셈과 곱셈 정리에 관한 추가 문제 . 그건 그렇고, 거기에는 다른 흥미로운 작업이 많이 있습니다.

그리고 이 기사의 마지막 부분에서는 제가 첫 번째 강의에서 여러분을 유혹했던 가장 흥미로운 문제를 분석할 것입니다. =) 우리는 그것을 분석하지도 않고 작은 실용적인 연구를 수행할 것입니다. 표시 위치 일반적인 견해너무 번거로울 테니 한번 생각해 보자 구체적인 예:

Petya는 확률론 시험을 치르며 20장의 티켓을 잘 알고 10장의 티켓을 잘 알지 못합니다. 예를 들어 그룹의 첫날에 영웅을 포함해 16명이 시험을 본다고 가정해 보겠습니다. 일반적으로 상황은 매우 익숙합니다. 학생들이 차례로 교실에 들어가 티켓을 뽑습니다.

티켓의 순차적 검색은 일련의 종속 이벤트와 긴급한 이벤트를 나타내는 것이 분명합니다. 질문: Petya가 "맨 앞줄"로 갈 경우, "가운데"로 갈 경우, 아니면 마지막으로 티켓을 뽑을 경우 어떤 경우에 "좋은" 티켓을 얻을 가능성이 더 높습니까? 언제 오는 것이 가장 좋은가요?

먼저, Petya가 자신의 기회를 일정하게 유지하는 "실험적으로 순수한" 상황을 고려해 보겠습니다. Petya는 반 친구들이 이미 받은 질문에 대한 정보를 받지 못하고, 복도에서 아무것도 배우지 않고, 자신의 차례를 기다리는 등의 작업을 수행합니다.

이벤트를 고려해 봅시다. - Petya가 가장 먼저 청중에게 입장하여 "좋은" 티켓을 뽑을 것입니다. 확률의 고전적 정의에 따르면: .

우수한 학생 Nastya가 앞서 합격할 경우 성공적인 티켓을 얻을 확률은 어떻게 변합니까? 이 경우 두 가지 모순된 가설이 가능합니다.

– Nastya는 "좋은"(Petya용) 티켓을 추첨합니다.
– Nastya는 "나쁜" 티켓을 뽑습니다. Petya의 기회가 높아질 것입니다.

이벤트(Petya가 2위를 하고 "좋은" 티켓을 얻음)는 다음과 같습니다. 매달린.

1) Nastya가 확률을 가지고 있다고 가정합니다. Petya에게서 행운의 티켓 한 장을 "훔쳤습니다". 그러면 테이블에는 29장의 티켓이 남게 되며 그 중 19장은 "좋음"입니다. 확률의 고전적 정의에 따르면:

2) 이제 Nastya가 확률을 가지고 있다고 가정합니다. 첫 번째 "불량" 티켓에서 Petya를 "구출"했습니다. 그러면 테이블에는 29장의 티켓이 남게 되며 그 중 여전히 "좋은" 티켓이 20장 남아 있습니다. 고전적인 정의에 따르면:

호환되지 않는 이벤트의 확률을 더하고 종속 이벤트의 확률을 곱하는 정리를 사용하여 Petya가 "좋은" 티켓을 뽑아 2위가 될 확률을 계산합니다.

확률은... 똑같습니다! 자, 이벤트를 생각해 봅시다. - Petya가 3위를 하고 Nastya와 Lena가 앞서게 하고 "좋은" 티켓을 꺼냅니다.

여기에는 더 많은 가설이 있습니다. 여성은 신사에게 성공한 티켓 2장을 "강탈"할 수 있고, 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 실패한 티켓 2장에서 신사를 구하거나 "좋은" 티켓 1장과 "나쁜" 티켓 1장을 추출할 수 있습니다. 비슷한 추론을 수행하고 동일한 정리를 사용하면... 동일한 확률 값을 얻게 됩니다!

따라서 순전히 수학적 관점에서 볼 때 언제 진행되더라도 초기 확률은 변경되지 않습니다. 하지만. 이는 평균적인 이론적 추정일 뿐이므로, 예를 들어 Petya가 마지막에 간다고 해서 그가 초기 기회에 따라 선택할 수 있는 "좋은" 티켓 10개와 "나쁜" 티켓 5개를 갖게 된다는 의미는 아닙니다. 이 비율은 좋거나 나쁘게 변할 수 있지만 티켓 중에 "공짜 1개"가 있거나 그 반대인 "순전한 공포"가 있을 가능성은 여전히 ​​낮습니다. "독특한" 사례도 배제되지는 않지만, 결국 확률이 거의 0인 복권은 300만 장도 없습니다. 큰 승리. 그러므로 “믿을 수 없는 행운” 혹은 “ 사악한 바위"라는 말은 너무 과장된 표현이 될 것이다.

수학과 "순수한 실험"은 좋지만 어떤 전략과 전술을 따르는 것이 여전히 더 수익성이 높습니까? 실제 상황에서? 물론 주관적인 요인도 고려해야합니다. 예를 들어 "용감한"에 대한 교사의 "할인"이나 시험이 끝날 때의 피로감 등이 있습니다. 종종 이러한 요소가 결정적일 수도 있지만 최종 논의에서는 추가적인 확률적 측면을 무시하지 않으려고 노력할 것입니다.

시험 준비가 잘 되어 있다면 "최전선"으로 가는 것이 더 나을 것입니다. 전체 티켓 세트가 있는 동안 가정은 " 일어날 것 같지 않은 사건은 일어나지 않는다 » 당신에게 훨씬 더 효과적입니다 더 크게. “티켓 15장에 불량 2장 포함” 비율보다 “티켓 30장, 불량 2장” 비율을 갖는 것이 훨씬 더 즐겁다는 데 동의합니다. 그리고 두 장의 티켓이 실패했다는 사실 별도의 시험으로 (평균 이론적 추정에 따른 것이 아닙니다!) 그들은 테이블 위에 남아있을 것입니다. 그것은 가능합니다.

이제 "Petya 상황"을 고려해 보겠습니다. 학생이 시험 준비를 아주 잘했지만 반면에 그는 "수영"도 잘하는 경우입니다. 즉, "그는 자신이 모르는 것보다 더 많은 것을 알고 있습니다." 이런 경우에는 5~6명이 먼저 나가서 관객석 밖에서 적절한 순간을 기다리게 하는 것이 바람직하다. 상황에 따라 행동하십시오. 곧 반 친구들이 어떤 종류의 티켓을 뽑았는지에 대한 정보가 들어오기 시작할 것입니다. (종속 이벤트가 다시 발생합니다!) , 그리고 "재생된" 질문에 더 이상 에너지를 낭비할 필요가 없습니다. 다른 티켓을 배우고 반복하여 초기 성공 확률을 높입니다. 수험생의 "첫 번째 배치"가 3-4개의 어려운 티켓(개인적으로)에서 한 번에 "구해냈다"면 가능한 한 빨리 시험에 응시하는 것이 더 유리합니다. 지금은 기회가 크게 늘어났습니다. 그 순간을 놓치지 않도록 노력하세요. 소수의 사람들만 앞서 나가면 이점이 사라질 가능성이 높습니다. 반대로 "불량" 티켓이 거의 없다면 기다리십시오. 몇 사람이 지나간 후, 이 "이상"은 다시 높은 확률, 사라지지 않으면 부드럽게 처리됩니다. 더 나은 면. "일반적인" 가장 일반적인 경우에는 이점도 있습니다. 즉, "24개 티켓/8개 불량" 비율이 "30개 티켓/10개 불량" 비율보다 더 좋습니다. 왜? 더 이상 어려운 티켓이 10개가 아니라 8개입니다! 배가된 에너지로 소재를 연구하고 있어요!

준비가 잘 되어 있지 않다면 당연히 "마지막 줄"로 가는 것이 좋습니다. (특히 잃을 것이 없는 경우 독창적인 솔루션도 가능하지만). 당신이 상대적으로 남을 가능성은 작지만 여전히 0이 아닌 확률이 있습니다. 간단한 질문+ 추가 벼락치기 + 박차를 가한 동료 학생들이 나눠줄 것입니다 =) 그리고, 그렇습니다 – 절대적으로 위기 상황그룹의 두 번째 부분이 시험을 치르는 다음 날이 아직 남아 있습니다 ;-)

결론은 무엇입니까? “누가 먼저 가는가가 더 잘 준비되어 있다”는 주관적인 평가 원칙은 명확한 확률론적 정당성을 찾습니다!

№1 . 첫 번째 항아리에는 흰색 공 2개와 검은색 공 6개가 들어 있고, 두 번째 항아리에는 흰색 공 4개와 검은색 공 2개가 들어 있습니다. 첫 번째 항아리에서 두 번째 항아리로 공 2개를 무작위로 옮겼고, 두 번째 항아리에서 공 1개를 무작위로 뽑았습니다.

1. 이 공이 흰색일 확률은 얼마입니까?

2. 두 번째 항아리에서 꺼낸 공은 흰색으로 밝혀졌습니다. 흰 공 2개가 첫 번째 항아리에서 두 번째 항아리로 옮겨졌을 확률은 얼마입니까?

해결책. a) 다음 표기법을 소개하겠습니다. ㅏ– 두 번째 항아리에서 가져온 공은 흰색입니다. 가설 H 1– 2개의 흰색 공이 첫 번째 항아리에서 두 번째 항아리로 옮겨집니다. H 2– 2개의 다양한 색상의 공이 배치됩니다. N 3– 2개의 검은 공이 움직였습니다. 그 다음에

p(A)=p(Hi)p(A| Н i)+p(Н 2)피 (ㅏ|H 2)+ p(H 3)피 (ㅏ|아니 3)

가설 확률 아니요 조건부 확률 아빠|Н i)(i= 1, 2, 3) 우리는 고전적인 계획에 따라 계산합니다.

총 확률 공식을 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

나) 확률 피(H 1|ㅏ) Bayes의 공식을 사용하여 다음을 찾습니다.

№2 . 위탁품 전구~에 20% 제1공장에서 생산된 30% - 두 번째, 에 50% - 세 번째. 결함이 있는 전구가 생산될 확률은 각각 다음과 같습니다. q1 =0.01, q2 =0.005, q3 = 0.006. 로트에서 무작위로 가져온 전구가 표준이 될 확률을 구하십시오.

해결책.표기법을 사용해 보겠습니다. ㅏ- "배치에서 표준 전구를 가져 왔습니다", H 1- “촬영한 전구는 첫 번째 공장에서 제조한 것입니다.”, H 2- "두 번째 공장" H3- "세 번째 공장." 조건부 확률을 구해보자

Р(А/Н i)(i=1,2, 3)공식에 따르면

Р(А/H i) = 1-Р(/H i),

이벤트 반대쪽 이벤트는 어디에 있나요? ㅏ(비표준 전구가 사용됩니다) :

P(A/H 1) = 1-P( /H1) = 1-0.01 = 0.99, P(A/N2) = 1-P(/H2) = 1-0.005 = 0.995,

P(A/N 3) = 1-P(/H 3) = 1-0.006 = 0.994.

문제 조건에서 다음과 같습니다. P(H 1) = 0.2, P(H 2) = 0.3, P(H 3) = 0.5.

P(A) = P(N 1)P(A/N 1) + P(N 2)P(A/N 2) + P(N 3)P(A/N 3) = 0.2 0.99 + 0.3 0.995+ + 0.5 0.994 = 0.198 + 0.2985 + 0.4970 = 0.9935.

№3 . 비행기에 단발 3발이 발사되었습니다. 첫 번째 샷의 명중 확률은 0.4, 두 번째 샷의 명중 확률은 0.5, 세 번째 샷의 명중 확률은 0.7입니다. 세 번의 공격만으로도 항공기를 무력화시킬 수 있습니다. 한 번 명중하면 항공기는 확률 0.2로 실패하고 두 번 명중하면 확률 0.6으로 실패합니다. 세 발의 사격으로 인해 비행기가 작동하지 않을 확률을 구하십시오.

해결책. 네 가지 가설을 고려해 보겠습니다.

H 0- 단 하나의 포탄도 비행기에 부딪히지 않았습니다.

H 1- 하나의 포탄이 비행기에 부딪혔습니다.

H 2- 비행기가 두 발의 포탄에 맞았습니다.

N 3- 세 발의 포탄이 비행기에 부딪혔습니다.

덧셈과 곱셈 정리를 사용하여 다음 가설의 확률을 찾습니다.

P(H0)=0.6·0.5·0.3=0.09;

P(H1)=0.4·0.5·0.3+0.6·0.5·0.3+0.6·0.5·0.7=0.36;

P(H2)=0.6·0.5·0.7+0.4·0.5·0.7+0.4·0.5·0.3=0.41;

P(H3)=0.4·0.5·0.7=0.14.

사건의 조건부 확률 ㅏ (항공기 고장) 이러한 가설 하에서는 동일합니다.

P(A|H0)=0 ; 피(A|H1)= 0,2; 피(A|H2)= 0,6; P(A|H 3)= 1.

총 확률 공식을 적용하면,

첫 번째 가설에 주목하세요. H 0 전체 확률 공식에서 해당 항이 사라지므로 고려 대상에서 생략될 수 있습니다. 이는 양립할 수 없는 가설의 전체 그룹이 아니라 그 중 다음과 같은 가설만을 고려하여 총 확률 공식을 적용할 때 일반적으로 수행되는 작업입니다. 이번 행사아마도.

작업 옵션

1. 학생구성팀은 신입생 2팀과 2학년 1팀으로 구성됩니다. 각 1학년 팀은 남학생 5명, 여학생 3명으로 구성되며, 2학년 팀은 남학생 4명, 여학생 4명으로 구성됩니다. 추첨을 통해 여단 중 한 명과 그 중 한 명이 분리대에서 선택되어 도시로 여행했습니다. a) 청년이 선택될 확률은 얼마나 됩니까? b) 선택된 사람은 청년으로 밝혀졌습니다. 그가 신입생일 확률은 얼마나 됩니까?

2. 첫 번째 항아리에는 10개의 공이 들어 있으며 그 중 8개는 흰색입니다. 두 번째 항아리에는 20개의 공이 들어 있는데 그 중 4개는 흰색입니다. 각 항아리에서 공 1개를 무작위로 뽑은 다음, 이 공 중에서 무작위로 공 1개를 꺼냅니다. 흰 공이 뽑힐 확률을 구하시오?

3. 이 학교 학생의 60%가 여학생입니다. 여자아이의 80%, 남자아이의 75%가 극장표를 가지고 있습니다. 누군가가 잃어버린 티켓을 교무실로 가져왔습니다. 이 티켓이 여자의 것일 확률은 얼마입니까? 소년에게?

4. 동전을 던져 문장이 위로 오도록 떨어지면 항아리 1에서 공 1개를 꺼냅니다. 그렇지 않으면 항아리 2에서. 항아리 1에는 빨간색 공 3개와 흰색 공 1개가 들어 있습니다. 항아리 2에는 빨간색 공 1개와 흰색 공 3개가 들어 있습니다. a) 추첨된 공이 빨간색일 확률은 얼마입니까? b) 공이 빨간색으로 판명될 경우 첫 번째 항아리에서 공을 꺼낼 확률은 얼마입니까?

5. 어떤 공장에서는 A 기계가 전체 제품의 40%를 생산하고, B 기계가 60%를 생산합니다. 평균적으로 A 기계에서 생산된 1000개 중 9개는 불량이고, B 기계는 500개 중 2개를 불량으로 생산하는데, 일일 생산량에서 무작위로 선택된 특정 생산량이 불량으로 판명됩니다. B 기계에서 생산되었을 확률은 얼마입니까?

6. 20명으로 구성된 그룹에는 우수 4명, 우수 10명, 보통 6명이 있다. 한 번의 사격으로 목표물을 맞출 확률 뛰어난 슈터 0.9, 좋은 경우 - 0.7, 평범한 경우 - 0.5와 같습니다. a) 무작위로 선택된 사수가 ​​목표물에 명중할 확률을 구하십시오. b) 무작위로 선택된 2명의 사수가 목표물에 명중합니다.

7. 첫 번째 자동 기계에서 부품의 40%가 조립을 위해 공급되며, 두 번째 - 30%, 세 번째 - 20%, 네 번째 - 10%의 부품이 공급됩니다. 첫 번째 기계에서 생산된 부품 중 결함은 2%, 두 번째는 15개, 세 번째는 0.5%, 네 번째는 0.2%였습니다. 조립을 위해 수령한 부품에 결함이 없을 확률을 구하십시오.

8. 5명의 사수 중 2명은 0.6의 확률로, 3명은 0.4의 확률로 목표물에 명중했습니다. a) 확률이 더 높은 것은 무엇입니까? 무작위로 선택된 사수가 ​​목표물에 맞을 것인가, 그렇지 않을 것인가? b) 무작위로 선택된 사수가 ​​목표물에 맞았습니다. 어느 것이 더 가능성이 높습니까? 그는 처음 두 개에 속합니까, 아니면 마지막 세 개에 속합니까?

9. 4명의 사수가 독립적으로 하나의 표적을 향해 사격하며, 각각 한 발씩 사격한다. 이 저격수의 적중 확률은 0.4입니다. 0.6; 0.7; 0.8. 총격을 가한 결과 표적에는 3개의 구멍이 발견됐다. 네 번째 범인이 빗나갔을 확률을 구하세요.

10. 학생 20명 중. 시험에 온 사람 중 준비가 매우 잘 된 사람은 8명, 준비가 잘 된 사람은 6명, 준비가 보통인 사람은 4명, 준비가 부족한 사람은 2명이었습니다. 시험지는 40문제로 구성되어 있습니다. 잘 준비된 학생은 모든 문제(보통 35개, 보통 - 25개, 부족함 10개)를 알고 있습니다. 어떤 학생이 티켓에 있는 세 가지 질문에 모두 답했습니다. 그가 준비되어 있을 확률을 구하십시오. a) 음; b) 나쁘다.

11~16. 두 세트의 책이 있으며, 첫 번째 세트의 책이 예술에 관한 확률은 p1이고 두 번째 세트가 p2입니다. 무작위로 가져온 책이 예술에 관한 책일 확률을 구해 보세요.

17-21. 첫 번째 상자에는 m 1개의 무선 튜브가 포함되어 있으며 그중 m 11은 표준이고 두 번째 상자에는 m 2 개의 무선 튜브가 포함되어 있으며 그중 m 21은 표준이며 램프는 r 번째 상자에서 무작위로 가져와 다른 상자에 배치됩니다. 사건 A의 확률을 구합니다.

22-30. 공장 작업장에서 생산된 부품은 표준 검사를 위해 두 명의 검사관 중 한 명에게 보내집니다. 부품이 첫 번째 검사관에게 전달될 확률은 p 11이고 두 번째 검사관에게 전달될 확률은 p 21입니다. 첫 번째 검사관이 적합한 부품을 표준으로 인식할 확률은 - p 12이고 두 번째 검사관이 - p 22입니다. 검사 결과 유효한 부분이 표준인 것으로 확인되었습니다. 이 부분이 r번째 검사관에 의해 확인되었을 확률을 구하세요.

이벤트 양식 전체 그룹, 서로 일치하지 않는 일부 테스트의 가능한 모든 결과를 집합적으로 설명하는 경우 전체 그룹의 사건 확률의 합은 1과 같습니다. 예를 들어 테스트는 다음과 같습니다. 주사위. 총 6개의 테스트 결과(추출되는 포인트 수는 1부터 6까지)가 있으며 각 결과는 1/6의 확률로 발생할 수 있으며 모든 결과의 확률의 합은 1과 같습니다.
사건 A는 양립할 수 없는 사건(가설) H 1, H 2, ..., H n 중 하나가 나타나 완전한 그룹을 형성하는 경우에만 발생할 수 있다고 가정합니다. 그러면 사건 A의 확률은 각 가설의 확률과 사건 A의 해당 조건부 확률을 곱한 값의 합으로 정의됩니다.

예제 5.1

두 개의 항아리에는 각각 9개의 흰색 공과 14개의 검은색 공이 들어 있습니다. 첫 번째 항아리에서 두 번째 항아리로 공 하나를 무작위로 옮겼고, 두 번째 항아리에서 공 1개를 무작위로 가져왔습니다. 두 번째 항아리에서 꺼낸 공이 검은색일 확률을 구하세요.

해결책
사건 A - 두 번째 항아리에서 꺼낸 공이 검은색으로 판명되었습니다.
가설 H 1 - 흰색 공이 첫 번째 항아리에서 두 번째 항아리로 옮겨졌습니다. P(H1) = 9/23.
가설 H 2 - 검은 공이 첫 번째 항아리에서 두 번째 항아리로 옮겨졌습니다. P(H2) = 14/23.
다시 배열한 후 두 번째 항아리에는 이제 24개의 공이 들어 있습니다. 사건 A의 조건부 확률:

총 확률 공식에 따르면

무너지다

베이즈 공식(Bayes)

사건 A는 양립할 수 없는 사건(가설) H 1, H 2, ..., H n 중 하나가 나타나 완전한 그룹을 형성하는 경우에만 발생할 수 있다고 가정합니다. 사건 A는 이미 발생했습니다. 가설의 조건부 확률을 계산해야 합니다(사건 A가 발생한 경우).

예제 6.1

두 개의 워크샵에서 동일한 유형의 부품에 스탬프를 찍습니다. 첫 번째 워크샵에서는 결함의 5%가 발생하고 두 번째 워크샵에서는 4%가 발생합니다. 제어를 위해 첫 번째 워크샵에서 20개의 부품이 선택되었고 두 번째 워크샵에서는 10개의 부품이 선택되었습니다. 이러한 부품은 하나의 배치로 혼합되고 한 부품은 무작위로 제거됩니다. 해당 부품에 결함이 있는 것으로 확인되었습니다. 그녀가 공방 1번 출신일 확률은 얼마인가?

해결책
사건 A – 부품에 결함이 있는 것으로 판명되었습니다.
가설 H 1 - 부품은 첫 번째 작업장에서 제조되었습니다. P(H1) = 2/3
가설 H 2 – 부품은 두 번째 작업장에서 제조되었습니다. P(H2) = 1/3
사건 A의 조건부 확률: PH1(A)=0.05; PH2(A)=0.04
사건 A가 이미 발생했다는 가정하에 첫 번째 가설의 확률을 찾아야 합니다.
P A (H 1) - ?
분모에 총 확률 공식을 대입하여 베이즈 가설에 대한 확률 공식을 사용합니다.

무너지다

베르누이의 공식

독립적인 시행(각 시행에서 사건이 발생할 확률이 이전 시행의 결과에 의존하지 않는 시행)을 수행하도록 합니다. 또한 각 시행에서 관심 있는 사건이 발생할 확률은 일정하며 p와 같습니다. 그런 다음 문제의 사건이 n번의 시행(순서에 상관없이)에서 정확히 k번 발생할 확률은 다음과 같습니다.

베르누이의 공식은 조합의 수를 사용합니다.
베르누이의 계획을 구현하려면 두 가지 조건이 필요하다는 점을 반복합니다.
1) 수행된 테스트의 독립성
2) p = const (사건이 발생할 확률의 상수값)
베르누이 계획의 확률 분포는 이항식입니다. n번 시행에서 사건(모드)이 발생할 가능성이 가장 높은 횟수는 np-q ≤ Mo ≤ np+p 제한 내에 있습니다.

예제 7.1

검토 기간 동안 2개 이상의 블록이 실패하지 않으면 4개의 블록으로 구성된 시스템이 제대로 작동합니다. 블록 고장이 독립적인 사건이고 각 블록의 고장 확률이 1/8인 경우 블록 시스템이 고장 없이 작동할 확률을 구합니다.