수렴을 위한 적분을 조사합니다. 확실한 온라인 통합
정적분
\[ I=\int_a^bf(x)dx \]
는 숫자 $a,\,b$가 유한하고 $f(x)$가 연속함수라는 가정하에 구성되었습니다. 이러한 가정 중 하나가 위반되면 부적절한 적분을 말합니다.
10.1 제1종 부적절한 적분
제1종 부적절한 적분은 $a,\,b$ 중 적어도 하나가 무한대일 때 발생합니다.
10.1.1 정의 및 기본 속성
먼저 적분의 하한이 유한하고 상한이 $+\infty$인 상황을 고려해 보겠습니다. 다른 옵션에 대해서는 잠시 후에 논의하겠습니다. 우리가 관심 있는 모든 $x$에 대해 연속인 $f(x)$에 대해 적분을 고려하십시오.
\begin(방정식) I=\int _a^(+\infty)f(x)dx. \quad(19) \label(inf1) \end(방정식)
우선, 우리는 이 표현의 의미를 확립할 필요가 있습니다. 이를 위해 다음 기능을 소개합니다.
\[ I(N)=\int _a^(N)f(x)dx \]
$N\rightarrow +\infty$에 대한 동작을 고려하십시오.
정의. 유한한 한계를 두자
\[ A=\lim_(N \rightarrow +\infty)I(N)=\lim_(N \rightarrow +\infty)\int _a^(N)f(x)dx. \]
그런 다음 제1종 부적절한 적분(19)이 수렴하고 $A$ 값이 여기에 할당된다고 말합니다. 함수 자체는 $\left[ a, \, +\infty \right) 구간에서 적분 가능하다고 합니다. $. 지정된 극한이 존재하지 않거나 $\pm \infty$와 같으면 적분(19)이 발산한다고 합니다.
적분을 고려하십시오
\[ I=\int _0^(+\infty)\frac(dx)(1+x^2). \]
\[ I(N)=\int _0^(N) \frac(dx)(1+x^2). \]
이 경우 피적분 함수의 역도함수는 알려져 있으므로
\[ I(N)=\int _0^(N) \frac(dx)(1+x^2)=arctgx|_0^(N)=arctgN. \]
$N \rightarrow +\infty$에 대해 $arctg N \rightarrow \pi /2 $인 것으로 알려져 있습니다. 따라서 $I(N)$에는 유한한 한계가 있으며, 부적절한 적분은 수렴하여 $\pi /2$와 같습니다.
제1종 수렴 가적분은 일반 정적분의 모든 표준 속성을 갖습니다.
1. $f(x)$, $g(x)$가 $\left[ a, \, +\infty \right)$ 구간에서 적분 가능하면 그 합은 $f(x)+g(x)입니다. $는 또한 이 간격에서 적분 가능하며 \[ \int _a^(+\infty)\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int _a^(+\infty)f(x )dx+\int _a^(+\infty)g(x)dx. \] 2. $f(x)$가 $\left[ a, \, +\infty \right)$ 구간에서 적분 가능하면 임의의 상수 $C$에 대해 함수 $C\cdot f(x)$ 는 또한 이 구간에서 적분 가능하며 \[ \int _a^(+\infty)C\cdot f(x)dx=C \cdot \int _a^(+\infty)f(x)dx입니다. \] 3. $f(x)$가 $\left[ a, \, +\infty \right)$ 구간에서 적분 가능하고 이 구간 $f(x)>0$에서 \[ \int _a^ (+\infty) f(x)dx\,>\,0. \] 4. $f(x)$가 $\left[ a, \, +\infty \right)$ 구간에서 적분 가능하면 모든 $b>a$에 대해 적분 \[ \int _b^(+ \infty) f(x)dx \]는 수렴하고 \[ \int _a^(+\infty)f(x)dx=\int _a^(b) f(x)dx+\int _b^(+\infty ) f( x)dx \] (구간에 따른 적분의 가산성).
변수변경, 부분적분 등의 공식도 유효합니다. (자연스러운 예약으로).
적분을 고려하십시오
\begin(방정식) I=\int _1^(+\infty)\frac(1)(x^k)\,dx. \quad (20) \label(mod) \end(방정식)
기능을 소개하자면
\[ I(N)=\int _1^(N)\frac(1)(x^k)\,dx. \]
이 경우 역도함수가 알려져 있으므로
\[ I(N)=\int _1^(N)\frac(1)(x^k)\,dx\,=\frac(x^(1-k))(1-k)|_1^N = \frac(N^(1-k))(1-k)-\frac(1)(1-k) \]
$k \neq 1$의 경우,
\[ I(N)=\int _1^(N)\frac(1)(x)\,dx\,=lnx|_1^N= lnN \]
$k = 1$의 경우. $N \rightarrow +\infty$의 동작을 고려하면 적분(20)이 $k>1$에 대해 수렴하고 $k \leq 1$에 대해 발산한다는 결론에 도달합니다.
이제 적분의 하한이 $-\infty$이고 상한이 유한한 경우의 옵션을 고려해 보겠습니다. 적분을 살펴보자
\[ I=\int _(-\infty)^af(x)dx. \]
그러나 변수 $x=-s$를 변경한 다음 적분 한계를 장소에서 변경하면 이 옵션을 이전 옵션으로 줄일 수 있습니다.
\[ I=\int _(-a)^(+\infty)g(s)ds, \]
$g(들)=f(-s)$. 이제 두 개의 무한 극한이 있는 경우를 고려해 보겠습니다. 완전한
\begin(방정식) I=\int _(-\infty)^(+\infty)f(x)dx, \quad (21) \label(intr) \end(방정식)
그리고 $f(x)$는 모든 $x \in \mathbb(R)$에 대해 연속입니다. 구간을 두 부분으로 나누어 보겠습니다. $c \in \mathbb(R)$를 취하고 두 적분을 고려합니다.
\[ I_1=\int _(-\infty)^(c)f(x)dx, \quad I_2=\int _(c)^(+\infty)f(x)dx. \]
정의. 두 적분 $I_1$, $I_2$가 수렴하면 적분(21)을 수렴이라고 하며 $I=I_1+I_2$ 값이 할당됩니다(구간의 가산성에 따라). 적분 $I_1$, $I_2$ 중 적어도 하나가 발산하는 경우 적분(21)을 발산이라고 합니다.
적분(21)의 수렴은 $c$ 점의 선택에 의존하지 않는다는 것이 증명될 수 있습니다.
적분구간 $\left(-\infty, \, c \right]$ 또는 $(-\infty, \, +\infty)$를 갖는 제1종 가적분은 정적분의 모든 표준 속성을 갖습니다(다음과 같습니다). 선택 통합 간격을 고려한 해당 재구성).
10.1.2 제1종 부적절한 적분의 수렴 테스트
정리(비교의 첫 번째 기호). $f(x)$, $g(x)$가 $x>a$ 및 $0 a$에 대해 연속이라고 가정합니다. 그 다음에
1. 적분 \[ \int _a^(+\infty)g(x)dx \]가 수렴하면 적분 \[ \int _a^(+\infty)f(x)dx가 수렴합니다. \] 2. 적분 \[ \int _a^(+\infty)f(x)dx \]가 발산하면 적분 \[ \int _a^(+\infty)g(x)dx가 발산합니다. \]
정리(두 번째 비교 기준). $f(x)$, $g(x)$가 $x>a$에 대해 연속적이고 양수라고 하고 유한한 한계가 있다고 가정합니다.
\[ \theta = \lim_(x \rightarrow +\infty) \frac(f(x))(g(x)), \quad \theta \neq 0, \, +\infty. \]
그런 다음 적분
\[ \int _a^(+\infty)f(x)dx, \quad \int _a^(+\infty)g(x)dx \]
동시에 수렴하거나 발산합니다.
적분을 고려하십시오
\[ I=\int _1^(+\infty)\frac(1)(x+\sin x)\,dx. \]
피적분 표현식은 적분 구간에 대한 양의 함수입니다. 또한, $x \rightarrow +\infty$에 대해 다음을 얻습니다:
$\sin x$는 분모에 대한 "작은" 수정입니다. 보다 정확하게는 $f(x)=1/(x+\sin x)$, \, $g(x)=1/x$를 취하면 다음과 같습니다.
\[ \lim _(x \rightarrow +\infty)\frac(f(x))(g(x))=\lim _(x \rightarrow +\infty)\frac(x)(x+\sin x) =1. \]
두 번째 비교 기준을 적용하면 적분이 적분과 동시에 수렴하거나 발산한다는 결론에 도달합니다.
\[ \int _1^(+\infty)\frac(1)(x)\,dx . \]
이전 예에서 보았듯이 이 적분은 발산합니다($k=1$). 결과적으로, 원래 적분은 발산합니다.
부적절한 적분을 계산하거나 수렴(발산)을 설정합니다.
1. \[ \int _(0)^(+\infty)e^(-ax)\,dx. \] 2. \[ \int _(0)^(+\infty)xe^(-x^2)\,dx. \] 3. \[ \int _(-\infty)^(+\infty)\frac(2xdx)(x^2+1). \] 4. \[ \int _(0)^(+\infty)\frac(xdx)((x+2)^3). \] 5. \[ \int _(-\infty)^(+\infty)\frac(dx)(x^2+2x+2). \] 6. \[ \int _(1)^(+\infty)\frac(lnx)(x^2)\,dx. \] 7. \[ \int _(1)^(+\infty)\frac(dx)((1+x)\sqrt(x)). \] 8. \[ \int _(0)^(+\infty)e^(-\sqrt(x))\,dx. \] 9. \[ \int _(0)^(+\infty)e^(-ax)\cos x\,dx. \] 10. \[ \int _(0)^(+\infty)\frac(xdx)(x^3+1). \]
학생과 학생이 다룬 자료를 통합할 수 있도록 사이트에 온라인으로 확실한 통합이 있습니다. 그리고 실무 능력을 훈련하세요. 순식간에 온라인으로 명확한 적분의 완전한 솔루션을 통해 프로세스의 모든 단계를 결정하는 데 도움이 될 것입니다.. 온라인 적분 - 온라인으로 명확한 적분. 학생과 학생이 자신이 다룬 자료를 완전히 통합하고 실제 기술을 훈련할 수 있는 사이트의 특정 통합 요소입니다. 순식간에 온라인으로 명확한 적분의 완전한 솔루션을 통해 프로세스의 모든 단계를 결정하는 데 도움이 될 것입니다.. 온라인 적분 - 온라인으로 명확한 적분. 뛰어난 작가들의 책에서 이 주제를 연구한 우리에게는 온라인에서 명확한 적분을 취하는 것이 초자연적인 일이 아닌 것 같습니다. 우리는 그들에게 깊은 감사를 표하고 이들 개인에게 존경심을 표합니다. 이러한 문제를 계산하기 위한 온라인 서비스는 특정 적분을 즉시 결정하는 데 도움이 됩니다. 올바른 정보를 제공하면 모든 것이 좋아질 것입니다! 문제에 대한 해결책으로서 명확한 통합은 학생들의 읽고 쓰는 능력을 향상시킬 것입니다. 게으른 사람은 누구나 이것을 꿈꾸며 우리도 예외는 아니며 솔직히 인정합니다. 여전히 무료 솔루션을 사용하여 온라인에서 정적분을 계산할 수 있다면 이를 사용하려는 모든 사람에게 웹사이트 주소를 적어주세요. 유용한 링크를 공유하면 좋은 사람들이 선물로 보상해 준다는 말이 있습니다. 귀중한 시간을 낭비하지 않고 계산기 자체로 특정 적분이 해결되는 문제를 분석하는 문제는 매우 흥미로울 것입니다. 그렇기 때문에 그들은 사람을 위해 일하는 기계입니다. 그러나 온라인에서 특정 통합 문제를 해결하는 것은 모든 사이트에서 처리할 수 있는 작업이 아니며 확인하기 쉽습니다. 즉, 복잡한 예를 들어 각 서비스를 사용하여 문제를 해결해 보세요. 그 차이를 직접 느끼실 수 있을 것입니다. 종종 아무런 노력 없이 온라인에서 명확한 적분을 찾는 것이 매우 어려워지며 귀하의 답변은 결과의 전체 그림을 배경으로 우스꽝스러워 보일 것입니다. 먼저 젊은 선수를 위한 코스를 수강하는 것이 더 나을 것입니다. 온라인 부적절한 적분에 대한 모든 솔루션은 먼저 부정한 계산으로 축소된 다음 극한 이론을 사용하여 일반적으로 대체 경계 A와 B가 있는 결과 표현식의 일측 극한을 계산합니다. 귀하가 표시한 정적분을 조사한 후 온라인에서 자세한 솔루션을 검색한 결과, 다섯 번째 단계, 즉 체비쇼프 변수 대체 공식을 사용할 때 귀하가 실수했다고 결론을 내렸습니다. 향후 결정에는 매우 신중하십시오. 온라인 계산기가 처음에 특정 적분을 계산할 수 없는 경우 먼저 웹사이트의 적절한 양식에 기록된 데이터를 다시 확인해야 합니다. 모든 것이 제대로 되었는지 확인하고 Go-Go! 각 학생에 대해 장애물은 교사 자신과 온라인으로 부적절한 적분을 계산하는 것입니다. 왜냐하면 이것은 시험이거나 콜로키움이거나 단지 쌍에 대한 테스트이기 때문입니다. 주어진 부적절한 적분 온라인 계산기를 사용할 수 있게 되자마자, 그런 다음 즉시 주어진 기능을 입력하고 주어진 통합 한계를 대체하고 솔루션 버튼을 클릭하면 전체 세부 답변에 액세스할 수 있습니다. 그래도 사이트만큼 멋진 사이트가 있으면 좋습니다. 무료이고 사용하기 쉽고 섹션도 많이 포함되어 있기 때문입니다. 학생들이 매일 사용하는 것 중 하나는 완전한 형태의 솔루션을 갖춘 완전한 온라인 솔루션입니다. 같은 섹션에서는 연구소와 엔지니어링 작업 모두에서 답변을 추가로 적용하기 위한 자세한 솔루션을 통해 온라인으로 부적절한 적분을 계산할 수 있습니다. 상한과 하한, 즉 라이프니츠 적분이 아니라 무한 적분 없이 그러한 예를 미리 풀면 온라인에서 정적분을 결정하는 것은 모든 사람에게 간단한 문제인 것처럼 보입니다. 그러나 여기서 당신과 나는 단호히 동의하지 않습니다. 언뜻보기에는 이것이 정확히 이렇게 보일 수 있지만 중요한 차이가 있으므로 모든 것을 분해합시다. 해법은 이러한 정적분을 명시적으로 제공하지 않고 표현을 극한 값으로 변환한 결과로 제공합니다. 즉, 먼저 경계의 기호 값을 대입하여 적분을 푼 다음 무한대 또는 특정 지점에서 극한을 계산해야 합니다. 따라서 무료 솔루션으로 온라인에서 정적분을 계산한다는 것은 뉴턴-라이프니츠 공식을 사용하여 정확한 솔루션을 제시하는 것 이상을 의미하지 않습니다. 우리의 확실한 적분 계산기를 고려한다면, 눈앞에서 몇 초 안에 계산하는 데 도움이 될 것입니다. 이러한 서두름은 가능한 한 빨리 작업을 완료하고 개인적인 문제를 해결하려는 모든 사람에게 필요합니다. 온라인으로 추정되는 특정 통합에 대한 솔루션을 준비하는 똑똑한 사람을 위해 등록을 요청한 다음 잔액에 돈을 추가하라는 사이트를 인터넷에서 검색해서는 안됩니다. Math24 주소는 온라인에서 특정 적분을 찾는 데 도움을 주는 것을 포함하여 많은 수학적 문제를 해결하기 위한 무료 서비스입니다. 이를 확인하려면 구체적인 예가 포함된 설명을 확인하세요. 해당 필드에 피적분 함수를 입력한 다음 무한 극한 값을 지정하거나(이 경우 부적절한 적분의 해는 온라인으로 계산되어 얻어집니다), 자세한 해를 사용하여 수치적 또는 기호적 한계와 정적분을 온라인으로 지정합니다 "솔루션"버튼 "을 클릭하면 페이지에 표시됩니다. 그렇지 않습니까? 매우 간단하고 불필요한 조치가 필요하지 않으며 무료이며 가장 중요한 동시에 효과적입니다. 특정 온라인 통합 계산기가 귀하에게 최대의 이점을 제공하고 모든 계산 프로세스의 복잡성에 대한 스트레스 없이 편안한 상태를 얻을 수 있도록 서비스를 직접 사용할 수 있습니다. 현대 세계. 복잡한 공식의 정글에 뛰어들어 온라인으로 부적절한 적분 계산을 스스로 연구한다면 이는 칭찬할만한 일이며 박사 학위 논문을 작성할 기회를 얻을 수 있지만 학생 생활의 현실로 돌아가 보겠습니다. 학생은 누구입니까? 우선, 그는 긴장을 풀고 숙제를 할 시간을 갖고 싶어하는 활기차고 쾌활한 청년입니다! 따라서 우리는 광대한 글로벌 네트워크에서 부적절한 통합 온라인 계산기를 찾으려고 노력하는 학생들을 돌보았고 여기에 여러분의 관심을 끌었습니다. 이 사이트는 젊은이들에게 가장 유용한 온라인 해결사입니다. 그건 그렇고, 우리 서비스는 학생과 학생을 위한 보조자로 제공되지만 모든 엔지니어에게 완벽하게 적합합니다. 왜냐하면 우리는 모든 유형의 문제를 해결할 수 있고 해당 솔루션이 전문적인 형식으로 제공되기 때문입니다. 예를 들어, 우리는 단계적으로 완전한 솔루션을 갖춘 명확한 통합을 온라인으로 제공합니다. 즉, 각 논리 블록(하위 작업)에는 전체 솔루션 프로세스 동안 모든 계산이 포함된 별도의 항목이 제공됩니다. 물론 이는 다단계 순차 레이아웃에 대한 인식을 단순화하므로 상세한 솔루션을 통해 온라인에서 부적절한 통합을 찾는 유사한 서비스에 비해 사이트 프로젝트의 이점입니다.
적분합의 극한인 명확한 적분
조건이 충족되는 경우에만 존재할 수 있습니다(즉, 특정 최종 값을 가짐).
이러한 조건 중 하나 이상을 위반하면 정의의 의미가 상실됩니다. 실제로 무한 세그먼트의 경우, 예를 들어 [ ㅏ; ) 다음과 같이 나눌 수 없다. 피유한한 길이의 부분 
, 또한 세그먼트 수가 증가함에 따라 0이 되는 경향이 있습니다. 어느 시점에서 무제한의 경우 와 함께[ㅏ;
비] 임의의 점 선택 요구 사항을 위반했습니다. 
부분 세그먼트 – 선택할 수 없습니다 
=와 함께, 이 시점에서 함수의 값은 정의되지 않았기 때문입니다. 그러나 이러한 경우에도 극한에 또 다른 구절을 도입함으로써 정적분의 개념을 일반화하는 것이 가능합니다. 무한 간격과 불연속(무한) 함수에 대한 적분을 호출합니다. 당신의 것이 아니다.
정의.
기능을 보자 
간격 [ ㅏ; ) 임의의 유한 간격에서 적분 가능합니다 [ ㅏ;
비], 즉. 존재한다 
누구에게나 비
> ㅏ. 유형 제한 
~라고 불리는 부적절한 적분
첫 번째 종류
(또는 무한 간격에 대한 부적절한 적분) 및 
.
따라서 정의에 따르면, 
=
.
우극한이 존재하고 유한한 경우, 부적절한 적분은 다음과 같습니다. 
~라고 불리는 수렴하는
. 이 극한이 무한하거나 전혀 존재하지 않는다면, 그들은 부적절한 적분이라고 말합니다. 갈라진다
.
마찬가지로, 함수의 부적절한 적분 개념을 소개할 수 있습니다. 
간격을 따라 (–; 비]:
=
.
그리고 함수의 부적절한 적분 
구간(–; +)에 대한 는 위에 소개된 적분의 합으로 정의됩니다.
=
+
,
어디 ㅏ– 임의의 지점. 이 적분은 두 항이 수렴하면 수렴하고, 항 중 적어도 하나가 발산하면 발산합니다.
기하학적 관점에서 적분은 
,
, 함수 그래프에 의해 위의 경계가 제한된 무한 곡선 사다리꼴 영역의 수치 값을 결정합니다. 
, 왼쪽 – 직선 
, 아래부터 – OX 축 기준. 적분의 수렴은 이러한 사다리꼴의 유한 영역이 존재하고 오른쪽 벽이 움직일 수 있는 곡선 사다리꼴 영역의 한계와 동일함을 의미합니다. 
.
무한 극한을 갖는 적분의 경우, 우리는 일반화할 수 있습니다 뉴턴-라이프니츠 공식:
=
=에프( +
) – F( ㅏ),
여기서 F( +
)
=
. 이 극한이 존재하면 적분은 수렴하고, 그렇지 않으면 발산합니다.
우리는 무한 간격의 경우에 정적분 개념의 일반화를 고려했습니다.
이제 제한되지 않은 함수의 경우에 대한 일반화를 고려해 보겠습니다.
정의
기능을 보자 
간격 [ ㅏ;
비), 지점의 일부 지역에서는 무제한입니다. 비, 임의의 간격에서 연속적입니다. 
, 여기서>0(따라서 이 구간에서 적분 가능합니다. 즉 
존재합니다). 유형 제한 
~라고 불리는 제2종 부적절한 적분
(또는 무한 함수의 부적절한 적분)은 다음과 같이 표시됩니다. 
.
따라서, 점에서 무한의 부적절한 적분은 비함수는 정의에 따라 존재합니다.
=
.
우변의 극한이 존재하고 유한한 경우 적분을 호출합니다. 수렴하는. 유한 극한이 없으면 부적절한 적분이라고 합니다. 다른.
마찬가지로, 우리는 함수의 부적절한 적분을 정의할 수 있습니다. 
그 점에서 무한한 불연속성을 갖는 것 ㅏ:
=
.
기능의 경우 
내부 점에 무한한 간격이 있습니다 와 함께
이면 부적절한 적분은 다음과 같이 정의됩니다.
=
+
=
+
.
이 적분은 두 항이 수렴하면 수렴하고, 적어도 하나의 항이 발산하면 발산합니다.
기하학적 관점에서 볼 때 무한 함수의 부적절한 적분은 무한 곡선 사다리꼴의 영역을 특징으로 합니다.
가적분은 정적분의 극한까지 전달함으로써 파생되므로, 정적분의 모든 속성은 (적절한 개선을 통해) 1종과 2종의 가적분으로 전달될 수 있습니다.
부적절한 적분으로 이어지는 많은 문제에서는 이 적분이 무엇인지 알 필요가 없으며 수렴 또는 발산을 확인하는 것만으로도 충분합니다. 이를 위해 그들은 사용합니다 수렴의 징후. 부적절한 적분의 수렴 징후:
1) 비교 기호.
모두를 위한 것이 되도록 해주세요 엑스
. 그렇다면 만약 
수렴한 다음 수렴한다 
, 그리고 
. 만약에 
갈라지고, 또 갈라지고, 
.
2) 수렴하는 경우 
, 그런 다음 수렴하고 
(이 경우 마지막 적분은 다음과 같습니다. 절대적으로 수렴).
무한 함수의 부적절한 적분의 수렴 및 발산의 징후는 위에서 공식화한 것과 유사합니다.
문제 해결의 예.
예시 1.
ㅏ) 
; 비) 
; V) 
G) 
; 디) 
.
해결책.
a) 정의에 따르면 다음과 같습니다.
.
b) 마찬가지로
따라서 이 적분은 수렴하고 다음과 같습니다. 
.
c) 정의에 따르면 
=
+
, 그리고 ㅏ– 임의의 숫자. 우리의 경우를 넣어보자 
, 그러면 우리는 다음을 얻습니다:
이 적분은 수렴합니다.
이는 이 적분이 발산한다는 것을 의미합니다.
e) 생각해 보자 
. 피적분함수의 역도함수를 구하려면 부분적분법을 적용할 필요가 있습니다. 그러면 우리는 다음을 얻습니다:
둘 다 이후 
, 어느 것도 아니다 
존재하지 않는다, 그러면 존재하지 않는다, 그리고
따라서 이 적분은 발산합니다.
예시 2.
적분의 수렴을 조사합니다. 
에 따라 피.
해결책.
~에 
우리는:
만약에 
, 저것 
그리고. 따라서 적분은 발산합니다.
만약에 
, 저것 
, ㅏ 
, 그 다음에
=,
따라서 적분은 수렴합니다.
만약에 
, 저것
그러므로 적분은 발산합니다.
따라서, 
예시 3.
부적절한 적분을 계산하거나 발산을 설정합니다.
ㅏ) 
; 비) 
; V) 
.
해결책.
a) 적분 
은 제2종 부적절한 적분입니다. 왜냐하면 적분은 
한 지점에 국한되지 않고 
. 그러면 정의에 따르면,
.
적분은 수렴하고 다음과 같습니다. 
.
b) 고려 
. 여기서도 피적분자는 점에 제한되지 않습니다. 
. 그러므로 이 적분은 제2종 적분이며, 정의에 따르면 다음과 같습니다.
따라서 적분은 발산합니다.
c) 고려 
. 적분 
두 지점에서 무한한 간격이 발생합니다. 
그리고 
, 그 중 첫 번째는 적분 구간에 속합니다. 
. 결과적으로, 이 적분은 제2종 부적절한 적분입니다. 그런 다음 정의에 따라
=
=
.
따라서 적분은 수렴하고 다음과 같습니다. 
.
지금 여기 있나요? =) 아니요, 누구에게도 위협을 가하려는 것이 아닙니다. 단지 부적절한 적분이라는 주제는 고등 수학과 기타 정확한 과학을 무시하지 않는 것이 얼마나 중요한지 보여주는 아주 좋은 예입니다. 수업을 배우는 데 필요한 모든 것이 웹사이트에 있습니다. 원할 경우 상세하고 접근 가능한 형식으로 제공됩니다.
그럼 시작해 보겠습니다. 비유적으로 말하면, 부적절한 적분은 "고급" 정적분이며 실제로는 그다지 어려움이 없으며 게다가 부적절한 적분은 매우 좋은 기하학적 의미를 갖습니다.
부적절한 적분을 평가한다는 것은 무엇을 의미합니까?
부적절한 적분 계산 - 이는 NUMBER를 찾는 것을 의미합니다.(정확한 적분과 정확히 동일), 아니면 그것이 다르다는 것을 증명해라.(즉, 숫자 대신 무한대가 표시됩니다)
부적절한 적분에는 두 가지 유형이 있습니다.
무한한 적분 한계를 갖는 부적절한 적분
때때로 그러한 부적절한 적분은 다음과 같이 불립니다. 제1종 부적절한 적분. 일반적으로 무한 극한을 갖는 부적절한 적분은 다음과 같은 경우가 가장 많습니다. 정적분과 어떻게 다릅니까? 상한선에서. 그것은 끝이 없습니다: .
덜 일반적인 것은 무한 하한 또는 두 개의 무한 한도가 있는 적분입니다. 나중에 익숙해지면 살펴보겠습니다. :)
자, 이제 가장 인기 있는 사례를 살펴보겠습니다. 대부분의 예에서 피적분 함수는 마디 없는그 사이에, 그리고 이건 중요한 사실을 먼저 확인해야 합니다!간격이 있으면 추가적인 뉘앙스가 있기 때문입니다. 명확성을 위해, 그때에도 전형적인 구부러진 사다리꼴다음과 같이 보일 것입니다 :
이는 무한하며(오른쪽에 제한되지 않음), 부적절한 적분그 면적과 수치적으로 같다. 다음 옵션이 가능합니다:
1) 가장 먼저 떠오르는 생각: “그 도형은 무한하니, 그렇다면 
" 즉, 면적도 무한대라는 뜻이다. 그럴 수도 있습니다.이 경우 그들은 부적절한 적분이라고 말합니다. 갈라진다.
2) 하지만. 역설적으로 들리겠지만, 무한한 도형의 면적은... 유한한 숫자와 같을 수 있습니다! 예를 들어: . 이것이 사실일까요? 용이하게. 두 번째 경우, 부적절한 적분 수렴.
3) 조금 후에 세 번째 옵션에 대해 설명합니다.
부적절한 적분은 어떤 경우에 발산하고 어떤 경우에 수렴합니까? 이는 피적분 함수에 따라 다르며 곧 구체적인 예를 살펴보겠습니다.
무한 곡선 사다리꼴이 축 아래에 있으면 어떻게 되나요? 이 경우 부적절한 적분은 
(발산) 또는 유한 음수와 같습니다.
따라서, 부적절한 적분은 음수가 될 수 있습니다..
중요한!해결해야 할 부적절한 적분이 주어졌을 때, 일반적으로 말하자면, 어떤 영역에 대한 이야기도 없고 도면을 구축할 필요도 없습니다.. 단지 자료의 이해를 돕기 위해 가적분의 기하학적 의미를 설명하였습니다.
가적분은 정적분과 매우 유사하므로 Newton-Leibniz 공식을 기억해 두겠습니다. 
. 사실, 이 공식은 부적절한 적분에도 적용 가능하며 약간만 수정하면 됩니다. 차이점은 무엇입니까? 적분의 무한한 상한에서: . 아마도 많은 사람들은 이것이 이미 극한 이론의 적용과 관련이 있다고 추측했으며 공식은 다음과 같이 작성될 것입니다. 
.
정적분과의 차이점은 무엇인가요? 특별한 것은 없습니다! 정적분과 마찬가지로 역도함수(무한적분)를 구할 수 있어야 하고, 뉴턴-라이프니츠 공식을 적용할 수 있어야 합니다. 추가된 유일한 것은 한도 계산입니다. 그들과 함께 나쁜 시간을 보내는 사람은 교훈을 얻으십시오 기능 제한. 솔루션의 예, 군대보다 늦었 기 때문입니다.
두 가지 전형적인 예를 살펴보겠습니다.
실시예 1
명확하게 설명하기 위해 그림을 그리겠지만, 다시 한 번 강조하지만, 연습 중 이 작업에서는 도면을 작성할 필요가 없습니다..
피적분 함수는 반구간에서 연속적입니다. 즉, 모든 것이 정상이고 부적절한 적분은 "표준" 방법으로 계산할 수 있음을 의미합니다.
우리 공식의 적용 
문제에 대한 해결책은 다음과 같습니다.
즉, 부적절한 적분은 발산하고, 음영 처리된 곡선 사다리꼴의 면적은 무한대가 됩니다.
고려된 예에서 우리는 정적분에서와 같이 뉴턴-라이프니츠 공식을 적용하는 가장 간단한 테이블 적분과 동일한 기술을 가지고 있습니다. 그러나 이 공식은 극한의 부호 하에 적용됩니다. "동적" 변수의 일반적인 문자 대신 "be"라는 문자가 나타납니다. 어떤 문자도 표준 "X"보다 나쁘지 않기 때문에 혼동하거나 당황해서는 안 됩니다.
at 의 이유를 이해하지 못한다면 이것은 매우 나쁜 것입니다. 가장 간단한 극한을 이해하지 못하거나(일반적으로 극한이 무엇인지 이해하지 못하거나) 로그 함수의 그래프가 어떻게 생겼는지 알지 못하는 것입니다. 두 번째 경우에는 수업에 참석하십시오. 기본 함수의 그래프 및 속성.
부적절한 적분을 풀 때 기본 기본 함수의 그래프가 어떻게 보이는지 아는 것이 매우 중요합니다!
완료된 작업은 다음과 같아야 합니다.
“
! 예제를 준비할 때 우리는 항상 해법을 중단하고 피적분 함수에 무슨 일이 일어나는지 나타냅니다. – 적분 구간에서 연속인가요, 아니면 연속인가요?. 이를 통해 우리는 부적절한 적분의 유형을 식별하고 추가 조치를 정당화합니다.
실시예 2
부적절한 적분을 계산하거나 발산을 설정합니다.
그림을 그려보자: 
먼저, 우리는 다음 사항에 주목합니다: 피적분 함수는 반구간에서 연속입니다. 후드. 우리는 공식을 사용하여 해결합니다 
:
(1) 우리는 가장 단순한 거듭제곱 함수의 적분을 취합니다(이 특별한 경우는 많은 표에 나와 있습니다). 추가 계산에 방해가 되지 않도록 빼기 기호를 한계 기호 너머로 즉시 이동하는 것이 좋습니다.
(2) 뉴턴-라이프니츠 공식을 이용하여 상한과 하한을 대입한다.
(3) (여러분, 이것은 오래 전에 이해했어야 했던 것임)을 표시하고 대답을 단순화합니다.
여기서 무한 곡선 사다리꼴의 면적은 유한수입니다! 믿을 수 없지만 사실입니다.
완성된 예제는 다음과 같아야 합니다.
“
피적분 함수는 다음에서 연속입니다.
“
다음과 같은 적분을 발견하면 어떻게 해야 할까요? 중단점통합 간격에? 이는 예제에 오타가 있음을 의미합니다. (아마도), 또는 고급 수준의 교육에 관한 것입니다. 후자의 경우, 이로 인해 가산성 속성, 간격에 대한 두 개의 부적절한 적분을 고려한 다음 합을 처리해야 합니다.
때로는 오타나 의도로 인해 부적절한 적분이 발생할 수 있습니다. 전혀 존재하지 않는다, 예를 들어 위 적분의 분모에 "x"의 제곱근을 넣으면 적분 구간의 일부가 피적분 정의 영역에 전혀 포함되지 않습니다.
더욱이, 모든 "명백한 웰빙"에도 불구하고 부적절한 적분은 존재하지 않을 수 있습니다. 전형적인 예: . 코사인의 명확성과 연속성에도 불구하고 그러한 부적절한 적분은 존재하지 않습니다! 왜? 다음과 같은 이유로 매우 간단합니다.
- 존재하지 않는다 적절한 한도.
그리고 그러한 예는 드물기는 하지만 실제로 발생합니다! 따라서 수렴과 발산 외에도 "부적분은 없습니다"라는 유효한 답을 가진 해의 세 번째 결과도 있습니다.
또한 부적절한 적분의 엄격한 정의는 극한을 통해 정확하게 주어지며 원하는 사람은 교육 문헌에서 이에 익숙해질 수 있다는 점에 유의해야 합니다. 글쎄, 우리는 실용적인 수업을 계속하고 더 의미있는 작업으로 넘어갑니다.
실시예 3
부적절한 적분을 계산하거나 발산을 설정합니다.
먼저, 역도함수(부정적분)를 찾아보겠습니다. 이를 수행하지 못하면 당연히 부적절한 적분도 풀 수 없게 됩니다.
테이블 적분 중 피적분 함수와 유사한 것은 무엇입니까? 아크탄젠트가 생각나네요. 
. 이러한 고려 사항은 분모에 정사각형을 갖는 것이 좋을 것임을 시사합니다. 이는 교체로 수행됩니다.
다음을 바꾸자:
부정적분이 발견되었습니다. 이 경우 상수를 추가하는 것은 의미가 없습니다.
초안을 확인하는 것, 즉 얻은 결과를 구별하는 것은 항상 유용합니다.
원래의 적분을 구했습니다. 이는 부정 적분을 올바르게 찾았음을 의미합니다.
이제 우리는 부적절한 적분을 찾습니다:
(1) 우리는 공식에 따라 해를 씁니다. 
. 추가 계산을 방해하지 않도록 상수를 극한 기호 너머로 즉시 이동하는 것이 좋습니다.
(2) 뉴턴-라이프니츠 공식에 따라 상한과 하한을 대입합니다. 왜 
에 ? 이미 추천된 기사에서 아크탄젠트 그래프를 참조하세요.
(3) 최종 답을 얻습니다. 마음 속으로 알아두면 유용한 사실.
고급 학생들은 부정적분을 따로 구하지 않고 대체법을 사용하지 않고 오히려 미분부호에 함수를 대입하여 가적분을 '즉시' 푸는 방법을 사용할 수도 있습니다. 이 경우 솔루션은 다음과 같아야 합니다.
“
피적분함수는 에서 연속입니다. 
“
실시예 4
부적절한 적분을 계산하거나 발산을 설정합니다.
! 이는 전형적인 예이며 유사한 적분은 매우 자주 발견됩니다. 잘 해결하세요! 여기서의 역도함수는 완전한 정사각형을 선택하는 방법을 사용하여 구하며, 방법에 대한 자세한 내용은 강의에서 확인할 수 있습니다. 일부 분수의 통합.
실시예 5
부적절한 적분을 계산하거나 발산을 설정합니다.
이 적분은 자세히 풀 수 있습니다. 즉, 먼저 변수를 변경하여 부정적분을 구합니다. 또는 미분 기호 아래에 함수를 포함시켜 "즉시" 문제를 해결할 수 있습니다. 수학 교육을 받은 사람은 누구입니까?
수업이 끝나면 완전한 솔루션과 답변을 얻을 수 있습니다.
적분의 하한이 무한한 부적절한 적분에 대한 해법의 예는 페이지에서 찾을 수 있습니다. 부적절한 적분을 해결하는 효율적인 방법. 여기서 우리는 두 적분 한계가 모두 무한한 경우도 분석했습니다.
무한 함수의 부적절한 적분
또는 제2종 부적절한 적분. 두 번째 종류의 부적절한 적분은 일반적인 정적분에서 교묘하게 "암호화"되어 완전히 동일하게 보입니다. 그러나 정적분과 달리 피적분은 무한 불연속성을 겪습니다(존재하지 않음): 1) 지점에서 , 2) 또는 지점에서 , 3) 또는 두 지점을 동시에, 4) 또는 통합 세그먼트에서도 가능합니다. 처음 두 가지 사례를 살펴보겠습니다. 사례 3-4의 경우 기사 마지막 부분에 추가 강의 링크가 있습니다.
명확하게 하기 위한 예: . 확실한 일체형인 것 같습니다. 그러나 실제로 이것은 두 번째 종류의 부적절한 적분입니다. 하한 값을 피적분 함수에 대입하면 분모는 0이 됩니다. 즉, 이 시점에서는 피적분 함수가 존재하지 않습니다!
일반적으로 부적절한 적분을 분석할 때 항상 두 적분 한계를 피적분 함수로 대체해야 합니다.. 이와 관련하여 상한을 확인해 보겠습니다. 
. 여기는 모든 것이 괜찮습니다.
고려 중인 부적절한 적분 유형에 대한 곡선 사다리꼴은 기본적으로 다음과 같습니다.
여기에서는 모든 것이 첫 번째 종류의 적분과 거의 동일합니다.
우리의 적분은 위에서 경계가 없는 음영처리된 곡선 사다리꼴의 면적과 수치적으로 동일합니다. 이 경우 두 가지 옵션*이 있을 수 있습니다. 즉, 부적절한 적분이 발산하거나(영역이 무한함) 부적절한 적분이 유한 수와 같습니다(즉, 무한 그림의 영역이 유한합니다!).
* 기본적으로 우리는 일반적으로 부적절한 적분이 존재한다고 가정합니다.
이제 남은 것은 뉴턴-라이프니츠 공식을 수정하는 것뿐입니다. 또한 극한의 도움으로 수정되지만 극한은 더 이상 무한대로 향하지 않습니다. 오른쪽 값으로 이동합니다.그림을 보면 쉽게 따라갈 수 있습니다. 축을 따라 무한히 가까운 한계점에 접근해야 합니다. 오른쪽에.
이것이 실제로 어떻게 구현되는지 살펴보겠습니다.
실시예 6
부적절한 적분을 계산하거나 발산을 설정합니다.
피적분 함수는 한 지점에서 무한한 불연속성을 갖습니다. (상한까지 모든 것이 괜찮은지 구두로 확인하거나 초안으로 확인하는 것을 잊지 마세요!)
먼저, 부정 적분을 계산해 보겠습니다. 
대사: 
교체에 어려움이 있으시면 강의를 참고하세요 부정적분의 치환 방법.
부적절한 적분을 계산해 보겠습니다.
(1) 여기서 새로운 점은 무엇입니까? 솔루션 기술 측면에서는 사실상 아무것도 없습니다. 변경된 유일한 사항은 제한 아이콘 아래의 항목입니다: . 추가는 오른쪽의 값을 위해 노력하고 있음을 의미합니다(논리적입니다. 그래프 참조). 한계 이론에서 이러한 한계를 호출합니다. 일방적인 한계. 이 경우 우리는 우극한.
(2) 뉴턴-라이프니츠 공식을 이용하여 상한과 하한을 대입한다.
(3) 에서 다루자. 표현식이 어디로 가는지 어떻게 결정하나요? 대략적으로 말하면, 값을 그 값으로 대체하고 3/4를 대체하고 . 답을 빗어 보겠습니다.
이 경우, 부적절한 적분은 음수와 같습니다. 여기에는 범죄가 없으며 해당 곡선 사다리꼴이 축 아래에 위치합니다.
이제 독립적인 솔루션에 대한 두 가지 예가 있습니다.
실시예 7
부적절한 적분을 계산하거나 발산을 설정합니다.
실시예 8
부적절한 적분을 계산하거나 발산을 설정합니다.
해당 지점에 피적분 함수가 존재하지 않는 경우
이러한 부적절한 적분에 대한 무한 곡선 사다리꼴은 기본적으로 다음과 같습니다.
무한 적분 한계를 갖는 부적절한 적분
때때로 이러한 부적절한 적분은 제1종 부적절한 적분이라고도 합니다..gif" width="49" height="19 src=">.
덜 일반적인 것은 무한 하한 또는 두 개의 무한 한계가 있는 적분입니다.
가장 인기있는 사례를 고려해 보겠습니다 https://pandia.ru/text/80/057/images/image005_1.gif" width="63" height="51"> ? 항상 그런 것은 아닙니다. 적분https://pandia.ru/text/80/057/images/image007_0.gif" width="47" height="23 src=">
피적분함수의 그래프를 그림으로 그려보자. 이 경우의 일반적인 그래프와 곡선 사다리꼴은 다음과 같습니다.
부적절한 적분https://pandia.ru/text/80/057/images/image009_0.gif" width="100" height="51">" 즉, 면적도 무한합니다. 그럴 수도 있습니다.이 경우 그들은 부적절한 적분이라고 말합니다. 갈라진다.
2) 하지만. 역설적으로 들리겠지만, 무한한 도형의 면적은... 유한한 숫자와 같을 수 있습니다! 예를 들면 다음과 같습니다. .. 두 번째 경우에는 부적절한 적분 수렴.
무한 곡선 사다리꼴이 축 아래에 있으면 어떻게 되나요?.gif" width="217" height="51 src=">.
: 
.
실시예 1
적분 함수 https://pandia.ru/text/80/057/images/image017_0.gif" width="43" height="23">는 모든 것이 괜찮고 부적절한 적분을 사용하여 계산할 수 있음을 의미합니다. 표준” 방법.
공식 적용 https://pandia.ru/text/80/057/images/image018_0.gif" width="356" height="49">
즉, 부적절한 적분은 발산하고, 음영 처리된 곡선 사다리꼴의 면적은 무한대가 됩니다.
부적절한 적분을 풀 때 기본 기본 함수의 그래프가 어떻게 보이는지 아는 것이 매우 중요합니다!
실시예 2
부적절한 적분을 계산하거나 발산을 설정합니다.
그림을 그려보자: 
먼저, 우리는 다음 사항에 주목합니다: 피적분 함수는 반구간에서 연속입니다. 좋아요..gif" width="327" height="53">
(1) 우리는 가장 단순한 거듭제곱 함수의 적분을 취합니다(이 특별한 경우는 많은 표에 나와 있습니다). 추가 계산에 방해가 되지 않도록 빼기 기호를 한계 기호 너머로 즉시 이동하는 것이 좋습니다.
(2) 뉴턴-라이프니츠 공식을 이용하여 상한과 하한을 대입한다.
(3) 우리는 https://pandia.ru/text/80/057/images/image024.gif" width="56" height="19 src=">를 지적합니다. (여러분, 이것은 오랫동안 이해되어야 했습니다. ) 대답을 단순화하십시오.
여기서 무한 곡선 사다리꼴의 면적은 유한수입니다! 믿을 수 없지만 사실입니다.
실시예 3
부적절한 적분을 계산하거나 발산을 설정합니다.
피적분함수는 에서 연속입니다.
먼저, 역도함수(부정적분)를 찾아보겠습니다.
테이블 적분 중 피적분 함수와 유사한 것은 무엇입니까? 아크탄젠트가 생각나네요. 
. 이러한 고려 사항은 분모에 정사각형을 갖는 것이 좋을 것임을 시사합니다. 이는 교체로 수행됩니다.
다음을 바꾸자:
확인을 수행하는 것, 즉 얻은 결과를 구별하는 것은 항상 유용합니다.
이제 우리는 부적절한 적분을 찾습니다:
(1) 우리는 공식에 따라 해를 씁니다. 
. 추가 계산을 방해하지 않도록 상수를 극한 기호 너머로 즉시 이동하는 것이 좋습니다.
(2) 뉴턴-라이프니츠 공식에 따라 상한값과 하한값을 대입합니다..gif" width="56" height="19 src=">? 이미 반복해서 추천한 기사의 아크탄젠트 그래프를 참조하세요.
(3) 최종 답을 얻습니다. 마음 속으로 알아두면 유용한 사실.
고급 학생들은 부정적분을 따로 구하지 않고 대체법을 사용하지 않고 오히려 미분부호에 함수를 대입하여 가적분을 '즉시' 푸는 방법을 사용할 수도 있습니다. 이 경우 솔루션은 다음과 같아야 합니다.
“
적분 함수는 https://pandia.ru/text/80/057/images/image041.gif" width="337" height="104">에서 연속적입니다.
“
실시예 4
부적절한 적분을 계산하거나 발산을 설정합니다.
! 이는 전형적인 예이며 유사한 적분은 매우 자주 발견됩니다. 잘 해결하세요! 여기서는 완전한 정사각형을 분리하는 방법을 사용하여 역도함수를 찾습니다.
실시예 5
부적절한 적분을 계산하거나 발산을 설정합니다.
이 적분은 자세히 풀 수 있습니다. 즉, 먼저 변수를 변경하여 부정적분을 구합니다. 또는 미분 기호 아래에 함수를 포함시켜 "즉시" 문제를 해결할 수 있습니다.
무한 함수의 부적절한 적분
때때로 그러한 부적절한 적분을 제2종 부적절한 적분이라고 합니다. 두 번째 종류의 부적절한 적분은 일반적인 정적분 아래에서 교활하게 "암호화"되며 정확히 동일하게 보입니다: ..gif" width="39" height="15 src=">, 2) 또는 at point , 3) 또는 한 번에 두 지점에서, 4) 또는 통합 세그먼트에서도. 처음 두 가지 사례를 고려해 보겠습니다. 기사 마지막 부분의 사례 3-4에 대해서는 추가 강의에 대한 링크가 있습니다.
명확하게 하기 위한 예: https://pandia.ru/text/80/057/images/image048.gif" width="65 height=41" height="41">, 그러면 분모는 0이 됩니다. 즉, 이 시점에서는 피적분 함수가 존재하지 않습니다!
일반적으로 부적절한 적분을 분석할 때 항상 두 적분 한계를 피적분 함수로 대체해야 합니다...jpg" alt="부적분, 적분 하한의 불연속점" width="323" height="380">!}
여기에서는 모든 것이 첫 번째 종류의 적분과 거의 동일합니다.
우리의 적분은 위에서 경계가 없는 음영처리된 곡선 사다리꼴의 면적과 수치적으로 동일합니다. 이 경우 두 가지 옵션이 있을 수 있습니다. 부적절한 적분은 발산하거나(영역은 무한함) 부적절한 적분은 유한 수와 같습니다(즉, 무한 그림의 영역은 유한합니다!).
이제 남은 것은 뉴턴-라이프니츠 공식을 수정하는 것뿐입니다. 또한 극한의 도움으로 수정되지만 극한은 더 이상 무한대로 향하지 않습니다. 가치를 부여하다https://pandia.ru/text/80/057/images/image052.gif" width="28" height="19"> 오른쪽에.
실시예 6
부적절한 적분을 계산하거나 발산을 설정합니다.
피적분 함수는 한 지점에서 무한한 불연속성을 갖습니다. (상한까지 모든 것이 괜찮은지 구두로 확인하거나 초안으로 확인하는 것을 잊지 마세요!)
먼저, 부정 적분을 계산해 보겠습니다. 
대사: 
부적절한 적분을 계산해 보겠습니다.
(1) 여기서 새로운 점은 무엇입니까? 솔루션 기술 측면에서는 사실상 아무것도 없습니다. 변경된 유일한 사항은 제한 아이콘 아래의 항목입니다: . 추가는 오른쪽의 값을 위해 노력하고 있음을 의미합니다(논리적입니다. 그래프 참조). 극한 이론에서 이러한 극한을 일측 극한이라고 합니다. 이 경우 오른손잡이 제한이 있습니다.
(2) 뉴턴-라이프니츠 공식을 이용하여 상한과 하한을 대입한다.
(3) 이해합시다 https://pandia.ru/text/80/057/images/image058.gif" width="69" height="41 src=">. 표현이 어디로 가야할지 어떻게 결정합니까? 대략적으로 말하면 , 값을 대체하면 됩니다. , 3/4을 대체하고 .. 답을 빗어냅니다.
이 경우, 부적절한 적분은 음수와 같습니다.
실시예 7
부적절한 적분을 계산하거나 발산을 설정합니다.
실시예 8
부적절한 적분을 계산하거나 발산을 설정합니다.
해당 지점에 피적분 함수가 존재하지 않는 경우
이러한 부적절한 적분에 대한 무한 곡선 사다리꼴은 기본적으로 다음과 같습니다.
한계가 다음과 같은 경향이 있다는 점을 제외하고는 모든 것이 완전히 동일합니다. 가치를 부여하다https://pandia.ru/text/80/057/images/image052.gif" width="28" height="19"> 한계점에 무한히 접근해야 합니다 왼쪽.
