Horner 방식을 사용하여 더 높은 수준의 방정식을 푼다. "Horner의 계획, Bezout의 정리 및 모퉁이 나누기" 주제 교육 방법론
방정식과 부등식을 풀 때 차수가 3 이상인 다항식을 인수분해해야 하는 경우가 종종 있습니다. 이 기사에서는 이를 수행하는 가장 쉬운 방법을 살펴보겠습니다.
늘 그렇듯이 이론을 통해 도움을 받아보겠습니다.
베주의 정리다항식을 이항식으로 나눌 때 나머지가 임을 말합니다.
하지만 우리에게 중요한 것은 정리 자체가 아니라, 그것으로부터의 결과:
숫자가 다항식의 근이면 다항식은 나머지 없이 이항식으로 나누어집니다.
우리는 다항식의 적어도 하나의 근을 어떻게든 찾은 다음 다항식을 로 나누는 작업에 직면합니다. 여기서 다항식의 근은 어디입니까? 결과적으로 우리는 차수가 원래 차수보다 1 작은 다항식을 얻습니다. 그런 다음 필요한 경우 프로세스를 반복할 수 있습니다.
이 작업은 두 가지로 구분됩니다. 다항식의 근을 구하는 방법, 다항식을 이항식으로 나누는 방법.
이러한 점을 자세히 살펴보겠습니다.
1. 다항식의 근을 찾는 방법.
먼저 숫자 1과 -1이 다항식의 근인지 확인합니다.
여기서는 다음 사실이 도움이 될 것입니다.
다항식의 모든 계수의 합이 0이면 그 숫자는 다항식의 근이 됩니다.
예를 들어 다항식에서 계수의 합은 0입니다. 다항식의 근이 무엇인지 확인하는 것은 쉽습니다.
짝수 거듭제곱의 다항식 계수의 합이 홀수 거듭제곱의 계수 합과 같으면 그 숫자는 다항식의 근이 됩니다.자유 항은 짝수에 대한 계수로 간주됩니다. 왜냐하면 a는 짝수이기 때문입니다.
예를 들어, 다항식에서 짝수 거듭제곱에 대한 계수의 합은 이고, 홀수 거듭제곱에 대한 계수 합은 입니다. 다항식의 근이 무엇인지 확인하는 것은 쉽습니다.
1도 -1도 다항식의 근이 아니면 계속 진행합니다.
축소된 차수 다항식(즉, 선행 계수(계수)가 1과 동일한 다항식)의 경우 Vieta 공식이 유효합니다.
다항식의 근은 어디에 있습니까?
다항식의 나머지 계수에 관한 Vieta 공식도 있지만 우리는 이것에 관심이 있습니다.
이 Vieta 공식에서 다음과 같습니다. 다항식의 근이 정수라면, 그것들은 역시 정수인 자유항의 제수입니다.
이를 바탕으로, 다항식의 자유항을 인수분해하고, 가장 작은 것부터 큰 것까지 순차적으로 어떤 요소가 다항식의 근인지 확인해야 합니다.
예를 들어 다항식을 생각해 보세요.
자유 기간의 제수: ; ; ;
다항식의 모든 계수의 합은 와 같습니다. 따라서 숫자 1은 다항식의 근이 아닙니다.
짝수 거듭제곱에 대한 계수의 합:
홀수 거듭제곱에 대한 계수의 합:
따라서 숫자 -1도 다항식의 근이 아닙니다.
숫자 2가 다항식의 근인지 확인해 봅시다. 따라서 숫자 2는 다항식의 근입니다. 이는 베주의 정리에 따르면 다항식은 나머지 없이 이항식으로 나누어진다는 것을 의미합니다.
2. 다항식을 이항식으로 나누는 방법.
다항식은 열을 기준으로 이항식으로 나눌 수 있습니다.
열을 사용하여 다항식을 이항식으로 나눕니다.
다항식을 이항식으로 나누는 또 다른 방법은 Horner의 계획입니다.
이해하려면 이 영상을 시청하세요 다항식을 열이 있는 이항식으로 나누는 방법과 Horner의 방식을 사용하는 방법입니다.
열로 나눌 때 원래 다항식에서 어느 정도의 미지수가 누락되면 Horner의 계획에 대한 표를 작성할 때와 같은 방식으로 그 자리에 0을 씁니다.
따라서 다항식을 이항식으로 나누어야 하고 나눗셈의 결과로 다항식을 얻는다면 Horner의 방식을 사용하여 다항식의 계수를 찾을 수 있습니다.
우리는 또한 사용할 수 있습니다 호너 계획주어진 숫자가 다항식의 근인지 확인하려면: 숫자가 다항식의 근이면 다항식을 나눈 나머지는 0, 즉 두 번째 행의 마지막 열에 있습니다. Horner의 다이어그램에서는 0을 얻습니다.
Horner의 계획을 사용하여 우리는 "일석이조"를 사용합니다. 동시에 숫자가 다항식의 근인지 확인하고 이 다항식을 이항식으로 나눕니다.
예.방정식을 푼다:
1. 자유항의 약수를 적고, 자유항의 약수 중에서 다항식의 근을 찾아봅시다.
24의 제수:
2. 숫자 1이 다항식의 근인지 확인해 봅시다.
다항식의 계수의 합이므로 숫자 1은 다항식의 근입니다.
3. Horner의 방식을 사용하여 원래 다항식을 이항식으로 나눕니다.
A) 표의 첫 번째 행에 원래 다항식의 계수를 적어 보겠습니다.
포함하는 항이 없기 때문에 계수를 써야 하는 표의 열에 0을 씁니다. 왼쪽에는 찾은 루트인 숫자 1을 씁니다.
B) 표의 첫 번째 행을 채웁니다.
마지막 열에서는 예상대로 0을 얻었습니다. 원래 다항식을 나머지 없이 이항식으로 나눴습니다. 나눗셈으로 인한 다항식의 계수는 표의 두 번째 행에 파란색으로 표시됩니다.
숫자 1과 -1이 다항식의 근이 아닌지 확인하는 것은 쉽습니다.
B) 테이블을 계속합시다. 숫자 2가 다항식의 근인지 확인해 봅시다:
따라서 1로 나눈 결과로 얻어지는 다항식의 차수는 원래 다항식의 차수보다 작으므로 계수의 수와 열의 수가 1 적습니다.
마지막 열에서 우리는 -40을 얻었습니다. 이는 0과 같지 않은 숫자입니다. 따라서 다항식은 나머지가 있는 이항식으로 나눌 수 있으며 숫자 2는 다항식의 근이 아닙니다.
다) 숫자 -2가 다항식의 근인지 확인해 봅시다. 이전 시도가 실패했기 때문에 계수와의 혼동을 피하기 위해 이 시도에 해당하는 줄을 지울 것입니다.
엄청난! 나머지가 0이므로 다항식은 나머지 없이 이항식으로 나누어졌습니다. 따라서 숫자 -2가 다항식의 근이 됩니다. 다항식을 이항식으로 나누어 얻은 다항식의 계수는 표에서 녹색으로 표시됩니다.
나눗셈의 결과로 우리는 이차 삼항식을 얻습니다. 
, 그 뿌리는 Vieta의 정리를 사용하여 쉽게 찾을 수 있습니다.
따라서 원래 방정식의 근은 다음과 같습니다.
{
}
답변: ( 
}
수업 목표:
- Horner의 계획을 사용하여 학생들에게 더 높은 수준의 방정식을 풀도록 가르칩니다.
- 쌍으로 일하는 능력을 개발하십시오.
- 코스의 주요 섹션과 연계하여 학생들의 능력 개발을 위한 기반을 마련합니다.
- 학생이 자신의 잠재력을 평가하고, 수학에 대한 관심을 키우고, 사고하는 능력을 키우고, 주제에 대해 말할 수 있도록 도와주세요.
장비:그룹 작업을 위한 카드, Horner의 다이어그램이 있는 포스터.
교육 방법:강의, 이야기, 설명, 훈련 연습.
통제 형태:독립적인 솔루션 문제 확인, 독립적인 작업.
수업 중에는
1. 조직적인 순간
2. 학생들의 지식 업데이트
숫자가 주어진 방정식의 근인지 여부를 결정하는 정리(정리 공식화)는 무엇입니까?
베주의 정리. 다항식 P(x)를 이항식 x-c로 나눈 나머지는 P(c)와 동일하며, P(c)=0인 경우 숫자 c는 다항식 P(x)의 근이라고 합니다. 정리를 사용하면 나눗셈 연산을 수행하지 않고도 주어진 숫자가 다항식의 근인지 여부를 확인할 수 있습니다.
뿌리를 찾는 것을 더 쉽게 만드는 진술은 무엇입니까?
a) 다항식의 최고차 계수가 1과 같으면 다항식의 근은 자유항의 제수 중에서 찾아야 합니다.
b) 다항식의 계수의 합이 0이면 근 중 하나는 1입니다.
c) 짝수 자리에 있는 계수의 합이 홀수 자리에 있는 계수의 합과 같으면 근 중 하나는 -1과 같습니다.
d) 모든 계수가 양수이면 다항식의 근은 음수입니다.
e) 홀수차 다항식은 적어도 하나의 실수 근을 갖습니다.
3. 새로운 자료 학습
전체 대수 방정식을 풀 때는 다항식의 근의 값을 찾아야 합니다. Horner 방식이라는 특수 알고리즘을 사용하여 계산을 수행하면 이 작업이 상당히 단순화될 수 있습니다. 이 회로는 영국 과학자 William George Horner의 이름을 따서 명명되었습니다. Horner의 방식은 다항식 P(x)를 x-c로 나눈 몫과 나머지를 계산하는 알고리즘입니다. 간략하게 작동 방식.
임의의 다항식 P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n-1 x+ an n이 주어집니다. 이 다항식을 x-c로 나누면 P(x)=(x-c)g(x) + r(x) 형식으로 표현됩니다. 부분 g(x)=in 0 x n-1 + in n x n-2 +...+in n-2 x + in n-1, 여기서 in 0 =a 0, in n =st n-1 +an , n=1,2,3,…n-1. 나머지 r(x)= st n-1 +an. 이 계산 방법을 Horner 방식이라고 합니다. 알고리즘 이름에 "구성표"라는 단어가 붙은 이유는 해당 구현이 일반적으로 다음과 같은 형식으로 이루어지기 때문입니다. 먼저 테이블 2(n+2)를 그린다. 왼쪽 아래 셀에 숫자 c를 쓰고, 맨 윗줄에 다항식 P(x)의 계수를 씁니다. 이 경우 왼쪽 상단 셀은 비어 있습니다.
0 =a 0에서 |
1 =st 1 +a 1 |
2 = sv 1 + ㅏ 2 |
n-1에서 =st n-2 +a n-1 |
r(x)=f(c)=st n-1 +an |
알고리즘을 실행한 후 오른쪽 아래 셀에 기록되는 숫자는 다항식 P(x)를 x-c로 나눈 나머지입니다. 맨 아래 줄에 있는 0, 1, 2,...의 다른 숫자는 몫의 계수입니다.
예: 다항식 P(x)= x 3 -2x+3을 x-2로 나눕니다.
우리는 x 3 -2x+3=(x-2) (x 2 +2x+2) + 7을 얻습니다.
4. 연구 자료의 통합
예시 1:다항식 P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 을 정수 계수로 인수분해합니다.
우리는 자유 기간 -1:1의 제수 중에서 전체 뿌리를 찾고 있습니다. -1. 테이블을 만들어 봅시다:
X = -1 - 루트
P(x)= (x+1) (2x 3 -9x 2 +6x -1)
1/2을 확인해보자.
X=1/2 - 루트 |
따라서 다항식 P(x)는 다음과 같은 형식으로 표현될 수 있습니다.
P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)
예 2:방정식 풀기 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0
방정식의 왼쪽에 쓰여진 다항식의 계수의 합은 0이므로 근 중 하나는 1입니다. Horner의 계획을 사용해 보겠습니다.
X=1 - 루트 |
P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2)를 얻습니다. 우리는 자유 기간 2의 약수 중에서 근을 찾을 것입니다.
우리는 더 이상 온전한 뿌리가 없다는 것을 발견했습니다. 1/2을 확인해 봅시다; -1/2.
X= -1/2 - 루트 |
답: 1; -1/2.
예시 3:방정식 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0을 풉니다.
우리는 자유 항의 약수 5: 1;-1;5;-5 중에서 이 방정식의 근원을 찾아볼 것입니다. x=1은 계수의 합이 0이므로 방정식의 근입니다. Horner의 계획을 사용해 보겠습니다.
방정식을 세 가지 요소의 곱으로 표현해 보겠습니다. (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0. 2차 방정식 5x 2 -7x+5=0을 풀면 D=49-100=-51을 얻습니다. 근은 없습니다.
카드 1
- 다항식을 인수분해합니다: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
- 방정식을 푼다: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0
카드 2
- 다항식을 인수분해합니다: x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
- 방정식을 푼다: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0
카드 3
- 인수분해: 2x 3 -21x 2 +37x+24
- 방정식을 푼다: x 3 -2x 2 +4x-8=0
카드 4
- 인수분해: 5x 3 -46x 2 +79x-14
- 방정식을 푼다: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0
5. 요약
쌍으로 풀 때 지식 테스트는 행동 방법과 답의 이름을 인식하여 수업 중에 수행됩니다.
숙제:
방정식을 푼다:
가) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x+1=0
b) 5x4 -36x3 +62x2 -36x+5=0
다) x 4 + x 3 + x + 1 = 4x 2
d) x 4 +2x 3 -x-2=0
문학
- N.Ya. Vilenkin et al., 대수학 및 분석의 시작, 10학년(수학 심층 연구): Enlightenment, 2005.
- U.I. 사하추크, L.S. Sagatelova, 더 높은 수준의 방정식의 해법: Volgograd, 2007.
- S.B. Gashkov, 숫자 시스템 및 그 응용.
슬라이드 3
호너 윌리엄스 조지(1786-22.9.1837) - 영국 수학자. 브리스톨에서 태어났습니다. 그는 그곳에서 공부하고 일한 후 바스에 있는 학교에서 일했습니다. 대수학의 기본 작업. 1819년 현재 Ruffini-Horner 방법이라고 불리는 다항식의 실제 근을 대략적으로 계산하는 방법을 발표했습니다.(이 방법은 13세기에 중국인에게 알려졌습니다.) 다항식을 이항식 x-a로 나누는 방식은 다음과 같습니다. 호너 이후.
슬라이드 4
호너 계획
n차 다항식을 선형 이항식(a)으로 나누는 방법은 불완전한 몫과 나머지의 계수가 나누어지는 다항식의 계수와 다음 공식과 관련이 있다는 사실을 기반으로 합니다.
슬라이드 5
Horner의 계획에 따른 계산이 표에 나와 있습니다.
예제 1. 나누기 부분몫은 x3-x2+3x - 13이고 나머지는 42=f(-3)입니다.
슬라이드 6
이 방법의 가장 큰 장점은 표기법이 간결하고 다항식을 이항식으로 빠르게 나눌 수 있다는 것입니다. 실제로 Horner의 계획은 그룹화 방법을 기록하는 또 다른 형태이지만 후자와는 달리 완전히 비 시각적입니다. 여기에서는 답(인수분해)이 저절로 얻어지며, 그것을 얻는 과정은 볼 수 없습니다. 우리는 Horner의 계획을 엄격하게 입증하지는 않을 것이며 그것이 어떻게 작동하는지 보여줄 것입니다.
슬라이드 7
예시 2.
다항식 P(x)=x4-6x3+7x-392가 x-7로 나누어진다는 것을 증명하고 나눗셈의 몫을 구해 봅시다. 해결책. Horner의 계획을 사용하여 P(7)을 찾습니다. 여기에서 P(7)=0을 얻습니다. 즉, 다항식을 x-7로 나눈 나머지는 0이므로 다항식 P(x)는 (x-7)의 배수입니다. 또한 표의 두 번째 행에 있는 숫자는 다음의 계수입니다. P(x)를 (x-7)로 나눈 몫이므로 P(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56)입니다.
슬라이드 8
다항식 x3 – 5x2 – 2x + 16을 인수분해합니다.
이 다항식은 정수 계수를 갖습니다. 정수가 이 다항식의 근이면 숫자 16의 약수입니다. 따라서 주어진 다항식에 정수근이 있으면 이는 숫자 ±1만 될 수 있습니다. ±2; ±4; ±8; ±16. 직접적인 검증을 통해 우리는 숫자 2가 이 다항식의 근, 즉 x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x)임을 확신합니다. 여기서 Q(x)는 2차 다항식입니다.
슬라이드 9
결과 숫자 1, −3, −8은 원래 다항식을 x – 2로 나누어 얻은 다항식의 계수입니다. 즉, 나눗셈의 결과는 다음과 같습니다. 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. 나눗셈으로 인한 다항식의 차수는 항상 원래 차수보다 1 작습니다. 따라서: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8).
웹사이트 "Professional Mathematics Tutor"에서는 교육에 관한 일련의 방법론적 기사를 계속 제공합니다. 나는 학교 커리큘럼에서 가장 복잡하고 문제가 많은 주제에 대한 작업 방법에 대한 설명을 출판합니다. 이 자료는 정규 프로그램과 수학 수업 프로그램 모두에서 8~11학년 학생들과 함께 작업하는 수학 교사 및 교사에게 유용할 것입니다.
수학 교사는 교과서에 제대로 나와 있지 않은 내용을 항상 설명할 수는 없습니다. 불행하게도 이러한 주제는 점점 더 많아지고 있으며 매뉴얼 작성자에 따른 표시 오류가 대량으로 발생하고 있습니다. 이는 초보 수학 교사와 시간제 교사(교사는 학생 및 대학 교사)뿐만 아니라 경험이 풍부한 교사, 전문 교사, 경험과 자격을 갖춘 교사에게도 적용됩니다. 모든 수학 교사가 학교 교과서의 거친 부분을 능숙하게 교정하는 재능을 갖고 있는 것은 아닙니다. 모든 사람이 이러한 수정(또는 추가)이 필요하다는 사실을 이해하는 것은 아닙니다. 어린이의 질적 인식에 맞게 자료를 조정하는 데 참여하는 어린이는 거의 없습니다. 불행하게도 수학 교사들이 방법론자 및 출판물 저자와 함께 교과서의 모든 글자를 한꺼번에 논의하는 시대가 지났습니다. 이전에는 교과서를 학교에 공개하기 전에 학습 성과에 대한 진지한 분석과 연구가 수행되었습니다. 교과서를 강력한 수학 수업의 기준에 맞춰 보편화하려고 노력하는 아마추어의 시대가 왔습니다.
정보의 양을 늘리려는 경쟁은 동화의 질을 저하시키고 결과적으로 수학에 대한 실제 지식 수준을 저하시킵니다. 그러나 아무도 이것에 관심을 기울이지 않습니다. 그리고 우리 아이들은 이미 8학년이 되어 우리가 연구소에서 공부한 것, 즉 확률 이론, 고차 방정식 풀기 등을 공부해야 합니다. 어린이의 완전한 인식을 위해 책의 자료를 적용하는 것은 아쉬운 점이 많으며 수학 교사는 이를 어떻게든 처리해야 합니다.
성인 수학에서 "Bezout의 정리와 Horner의 계획"으로 더 잘 알려진 "다항식을 모퉁이로 나누기"와 같은 특정 주제를 가르치는 방법론에 대해 이야기합시다. 불과 몇 년 전만 해도 수학 교사에게 이 문제는 그렇게 시급한 문제가 아니었습니다. 왜냐하면 수학은 학교 주요 커리큘럼의 일부가 아니었기 때문입니다. 이제 Telyakovsky가 편집한 교과서의 존경받는 저자들은 내 생각에 최고의 교과서인 최신판을 변경했으며, 그것을 완전히 망쳐 놓은 후 교사에게 불필요한 걱정만 더했습니다. 수학의 지위가 없는 학교와 학급의 교사들은 저자의 혁신에 초점을 맞춰 수업에 추가 단락을 더 자주 포함하기 시작했고, 호기심 많은 아이들은 수학 교과서의 아름다운 페이지를 보면서 점점 더 많은 질문을 하기 시작했습니다. 교사: “모퉁이로 나누는 것이 무엇인가요? 우리는 이것을 겪을 것인가? 코너를 공유하는 방법은 무엇입니까? 더 이상 그러한 직접적인 질문으로부터 숨을 수 없습니다. 교사는 아이에게 뭔가를 말해야 할 것입니다.
그러나 ~함에 따라? 만약 그것이 교과서에 유능하게 제시되었다면 나는 아마도 주제를 다루는 방법을 설명하지 않았을 것입니다. 우리는 모든 일이 어떻게 진행되고 있습니까? 교과서는 인쇄되어 판매되어야 합니다. 그리고 이를 위해서는 정기적으로 업데이트가 필요합니다. 대학 교사들은 아이들이 지식과 기술도 없이 빈 머리로 왔다고 불평합니까? 수학적 지식에 대한 요구 사항이 증가하고 있습니까? 엄청난! 일부 연습 문제를 제거하고 대신 다른 프로그램에서 공부하는 주제를 삽입해 보겠습니다. 왜 우리 교과서가 더 나빠요? 몇 가지 추가 장을 포함하겠습니다. 학생들은 모퉁이 나누기 규칙을 모르십니까? 이것이 기본적인 수학이다. 이 단락은 "더 알고 싶은 사람들을 위해"라는 제목으로 선택 사항으로 만들어야 합니다. 반대하는 교사? 왜 우리는 일반적으로 교사에 관심을 갖나요? 방법론자들과 학교 선생님들도 반대하나요? 우리는 자료를 복잡하게 만들지 않고 가장 간단한 부분을 고려할 것입니다.
그리고 이것이 시작되는 곳입니다. 주제의 단순성과 동화의 질은 우선 교과서 저자의 지시에 따라 서로 명확하게 관련되지 않은 특정 작업 세트를 수행하는 것이 아니라 논리를 이해하는 데 있습니다. . 그렇지 않으면 학생의 머리 속에 안개가 끼게 될 것입니다. 저자가 상대적으로 실력이 뛰어난 학생들을 대상으로 하고 있지만(그러나 정규 프로그램에서 공부하는 경우) 명령 형식으로 주제를 제시해서는 안 됩니다. 교과서에서 무엇을 볼 수 있나요? 얘들아, 우리는 이 법칙에 따라 나누어야 한다. 각도 아래에서 다항식을 구합니다. 따라서 원래 다항식은 인수분해됩니다. 그러나 모서리 아래의 항이 정확히 이런 방식으로 선택되는 이유와 모서리 위의 다항식을 곱한 다음 현재 나머지에서 빼야 하는 이유를 이해하는 것이 명확하지 않습니다. 그리고 가장 중요한 것은 선택된 단항식을 최종적으로 추가해야 하는 이유와 결과 괄호가 원래 다항식의 확장이 되는 이유가 명확하지 않다는 것입니다. 유능한 수학자라면 교과서에 나오는 설명에 굵은 물음표를 붙일 것입니다.
나는 교사와 수학 교사에게 문제에 대한 나의 해결책을 알려 주는데, 이는 실제로 교과서에 명시된 모든 것을 학생에게 분명하게 만듭니다. 실제로 우리는 Bezout의 정리를 증명할 것입니다. 숫자 a가 다항식의 근이면 이 다항식은 인수로 분해될 수 있으며, 그 중 하나는 x-a이고 두 번째는 세 가지 방법 중 하나로 원본에서 얻습니다. 변환을 통해 선형 요소를 분리하거나, 모서리로 나누거나, Horner의 방식을 사용하여 분리합니다. 이 공식을 사용하면 수학 교사가 작업하는 것이 더 쉬울 것입니다.
교수법이란 무엇인가? 우선, 이는 수학적 결론을 도출하는 데 기초가 되는 일련의 설명과 예의 명확한 순서입니다. 이 주제도 예외는 아닙니다. 수학 교사가 아이에게 베주의 정리를 소개하는 것은 매우 중요합니다. 모퉁이로 나누기 전에. 매우 중요합니다! 구체적인 예를 들어 이해하는 것이 가장 좋습니다. 선택된 근을 갖는 다항식을 취하여 7학년 학생들에게 친숙한 항등변환 방법을 사용하여 이를 인수분해하는 기술을 보여드리겠습니다. 수학 교사의 적절한 설명, 강조 및 팁이 함께 제공되면 일반적인 수학적 계산, 임의의 계수 및 각도 없이도 자료를 전달하는 것이 가능합니다.
수학 교사를 위한 중요한 조언- 처음부터 끝까지 지침을 따르고 이 순서를 변경하지 마십시오.
자, 다항식이 있다고 가정해 봅시다. X 대신 숫자 1을 대체하면 다항식의 값은 0과 같습니다. 따라서 x=1이 루트입니다. 이를 두 개의 항으로 분해하여 그 중 하나는 선형 표현과 일부 단항식의 산물이고 두 번째는 . 즉, 이를 다음과 같은 형태로 표현해보자.
우리는 빨간색 필드에 대한 단항식을 선택하여 최고항을 곱할 때 원래 다항식의 최고항과 완전히 일치합니다. 학생이 가장 약하지 않다면 수학 교사에게 다음과 같은 필수 표현을 말할 수 있을 것입니다. 교사는 즉시 이를 빨간색 필드에 삽입하고 열 때 어떤 일이 발생하는지 보여 달라는 요청을 받아야 합니다. 이 가상 임시 다항식을 화살표 아래(작은 사진 아래) 서명하고 파란색과 같은 색상으로 강조 표시하는 것이 가장 좋습니다. 이는 선택 항목의 나머지 부분이라고 하는 빨간색 필드에 대한 용어를 선택하는 데 도움이 됩니다. 나는 교사들에게 이 나머지는 뺄셈으로 찾을 수 있다는 점을 지적하라고 조언하고 싶습니다. 이 작업을 수행하면 다음을 얻습니다.
수학 교사는 이 등식에 1을 대입하면 왼쪽에서 0을 얻게 된다는 사실(1이 원래 다항식의 근이므로)과 오른쪽에서는 분명히 다음과 같다는 사실에 학생의 주의를 기울여야 합니다. 또한 첫 번째 항을 0으로 만듭니다. 이는 어떠한 검증 없이도 하나가 "녹색 나머지"의 루트라고 말할 수 있음을 의미합니다.
원래 다항식과 동일한 방식으로 처리하여 동일한 선형 인수를 분리해 보겠습니다. 수학 교사는 학생 앞에 두 개의 프레임을 그리고 왼쪽에서 오른쪽으로 채우도록 요청합니다.
학생은 빨간색 필드에 대한 단항식을 교사에게 선택하여 선형 표현의 최고항을 곱할 때 확장 다항식의 최고항이 제공됩니다. 프레임에 맞추고 즉시 브래킷을 열고 접는 부분에서 빼야 할 표현을 파란색으로 강조 표시합니다. 이 작업을 수행하면 우리는
그리고 마지막으로 마지막 나머지 부분에 대해서도 동일한 작업을 수행합니다.
우리는 마침내 그것을 얻을 것이다
이제 대괄호에서 표현식을 꺼내 원래 다항식을 인수로 분해하는 것을 볼 수 있습니다. 그 중 하나는 "x에서 선택한 근을 뺀 것"입니다.
학생이 마지막 "녹색 나머지"가 우연히 필요한 요소로 분해되었다고 생각하지 않도록 수학 교사는 모든 녹색 나머지의 중요한 속성을 지적해야 합니다. 각 녹색 나머지는 루트가 1입니다. 이 나머지가 감소하면, 우리에게 얼마나 많은 다항식이 주어졌는지에 상관없이 초기의 차수가 무엇이든 조만간 우리는 근 1을 갖는 선형 "녹색 나머지"를 얻게 될 것입니다. 따라서 그것은 필연적으로 특정의 곱으로 분해될 것입니다. 숫자와 표현식.
이러한 준비 작업을 마친 후에는 수학 교사가 모서리로 나눌 때 어떤 일이 발생하는지 학생에게 설명하는 것이 어렵지 않을 것입니다. 이는 동일한 프로세스로, 더 짧고 간결한 형태로, 등호도 없고 강조 표시된 동일한 용어를 다시 작성하지 않습니다. 선형 인수가 추출되는 다항식은 모서리 왼쪽에 기록되고, 선택한 빨간색 단항식은 각도로 수집되어(이제 왜 합산되어야 하는지 명확해짐) "파란색 다항식", "빨간색"을 얻습니다. ” 1에 x-1을 곱한 다음 현재 선택한 항목에서 일반적인 숫자 분할에서 열로 수행되는 방식을 빼야 합니다(여기서는 이전에 연구한 내용과 유사합니다). 생성된 "녹색 잔류물"은 "빨간색 단항식"의 새로운 분리 및 선택을 따릅니다. 그리고 "녹색 균형"이 0이 될 때까지 계속됩니다. 가장 중요한 것은 학생이 각도 위와 아래에 작성된 다항식의 추가 운명을 이해한다는 것입니다. 분명히, 이것들은 그 곱이 원래 다항식과 동일한 괄호입니다.
수학 교사 작업의 다음 단계는 베주의 정리를 공식화하는 것입니다. 실제로, 교사의 이러한 접근 방식을 사용한 공식화는 분명해집니다. 숫자 a가 다항식의 근이면 인수분해할 수 있으며, 그 중 하나는 이고, 다른 하나는 세 가지 방법 중 하나로 원래 값에서 얻습니다. :
- 직접 분해(그룹화 방법과 유사)
- 모서리로 나누기(열에서)
- Horner 회로를 통해
모든 수학 교사가 학생들에게 호너 다이어그램을 보여주는 것은 아니며, 모든 학교 교사(다행히 교사 자신에게는)가 수업 중에 주제에 너무 깊이 들어가는 것은 아닙니다. 그러나 수학 수업을 듣는 학생에게는 긴 나눗셈에서 멈출 이유가 없습니다. 게다가 가장 편리하고 빠른분해 기술은 정확하게 Horner의 계획을 기반으로 합니다. 그것이 어디서 왔는지 어린이에게 설명하려면 모서리로 나누는 예를 사용하여 녹색 나머지 부분에 더 높은 계수가 나타나는 것을 추적하는 것으로 충분합니다. 초기 다항식의 선행 계수가 첫 번째 "빨간색 단항식"의 계수로 전달되고 더 나아가 현재 상위 다항식의 두 번째 계수에서 전달된다는 것이 분명해집니다. 공제됨"빨간색 단항식"의 현재 계수에 를 곱한 결과입니다. 그러므로 가능하다 추가하다을 곱한 결과입니다. 계수가 있는 동작의 세부 사항에 학생의 주의를 집중시킨 후, 수학 교사는 변수 자체를 기록하지 않고도 이러한 동작이 일반적으로 어떻게 수행되는지 보여줄 수 있습니다. 이를 위해서는 다음 표와 같이 원래 다항식의 근과 계수를 우선순위에 따라 입력하면 편리합니다.
다항식에 차수가 누락된 경우 해당 0 계수가 테이블에 강제로 적용됩니다. "빨간색 다항식"의 계수는 "후크" 규칙에 따라 맨 아래 줄에 차례로 기록됩니다. 
루트에 마지막 빨간색 계수를 곱하고 맨 위 줄의 다음 계수에 추가한 다음 그 결과를 맨 아래 줄에 기록합니다. 마지막 열에서 우리는 마지막 "녹색 나머지"의 가장 높은 계수, 즉 0을 얻도록 보장됩니다. 프로세스가 완료되면 숫자가 표시됩니다. 일치하는 루트와 나머지 0 사이에 끼어 있음두 번째(비선형) 요소의 계수로 나타납니다.
근 a는 최종선의 끝에서 0을 제공하므로 Horner의 방식을 사용하여 다항식의 근 제목에 대한 숫자를 확인할 수 있습니다. 유리근 선택에 관한 특별한 정리인 경우. 도움을 받아 얻은 이 타이틀의 모든 후보는 간단히 Horner의 다이어그램에 왼쪽부터 차례로 삽입됩니다. 0을 얻자마자 테스트된 숫자는 근이 되고 동시에 해당 선에서 원래 다항식의 인수분해 계수를 얻게 됩니다. 매우 편안합니다.
결론적으로, Horner의 계획을 정확하게 소개하고 주제를 실질적으로 통합하려면 수학 교사가 자신의 처분에 충분한 시간을 가져야 한다는 점에 주목하고 싶습니다. "일주일에 한 번" 체제로 일하는 교사는 코너 분할에 참여해서는 안됩니다. 수학 통합 국가 시험과 수학 수학 아카데미에서 첫 번째 부분에서는 그러한 수단으로 풀 수 있는 3차 방정식을 접할 가능성이 거의 없습니다. 교사가 모스크바 주립 대학의 수학 시험을 위해 자녀를 준비시키는 경우 해당 주제를 공부하는 것이 필수가 됩니다. 통합 상태 시험의 편집자와 달리 대학 교사는 지원자의 지식 깊이를 테스트하는 것을 정말 좋아합니다.
Kolpakov Alexander Nikolaevich, 수학 교사 모스크바, Strogino
