미분 방정식에 대한 특정 해의 유형을 나타냅니다. 미분 방정식을 푸는 방법
I. 상미분방정식
1.1. 기본 개념 및 정의
미분 방정식은 독립 변수와 관련된 방정식입니다. 엑스, 필요한 기능 와이그리고 그 파생상품이나 미분상품.
기호적으로 미분 방정식은 다음과 같이 작성됩니다.
F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0
필요한 함수가 하나의 독립 변수에 의존하는 경우 미분 방정식을 일반 방정식이라고 합니다.
미분 방정식 풀기이 방정식을 항등식으로 바꾸는 함수라고 합니다.
미분방정식의 차수이 방정식에 포함된 가장 높은 도함수의 차수입니다.
예.
1. 1차 미분방정식을 고려해보세요
이 방정식의 해는 함수 y = 5 ln x입니다. 실제로 대체 와이"방정식에 우리는 항등식을 얻습니다.
그리고 이는 함수 y = 5 ln x–가 이 미분 방정식의 해라는 것을 의미합니다.
2. 2차 미분방정식을 고려해보세요 y" - 5y" +6y = 0. 함수는 이 방정식의 해입니다.
정말, .
이러한 표현을 방정식에 대입하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
그리고 이는 함수가 이 미분 방정식의 해라는 것을 의미합니다.
미분방정식 적분미분방정식의 해를 찾는 과정이다.
미분방정식의 일반해형태의 함수라고 불린다. 
, 이는 방정식의 차수만큼 독립적인 임의 상수를 포함합니다.
미분방정식의 부분해는 임의의 상수의 다양한 수치에 대한 일반해로부터 구한 해이다. 임의의 상수 값은 인수와 함수의 특정 초기 값에서 발견됩니다.
미분 방정식에 대한 특정 해의 그래프를 다음과 같이 부릅니다. 적분 곡선.
예
1. 1차 미분방정식에 대한 특정 해 찾기
xdx + ydy = 0, 만약에 와이= 4시에 엑스 = 3.
해결책. 방정식의 양쪽을 통합하면, 우리는 다음을 얻습니다:
논평. 적분의 결과로 얻은 임의의 상수 C는 추가 변환에 편리한 어떤 형태로든 표시될 수 있습니다. 이 경우 원의 정식 방정식을 고려하면 임의의 상수 C를 형식으로 표현하는 것이 편리합니다.
- 미분 방정식의 일반 해법.
초기 조건을 만족하는 방정식의 특정 해 와이 = 4시에 엑스 = 3은 초기 조건을 일반 해에 대입하여 일반 해에서 구합니다. 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.
C=5를 일반해에 대입하면 다음을 얻습니다. x 2 +y 2 = 5 2 .
이는 주어진 초기 조건 하에서 일반 해로부터 얻은 미분 방정식에 대한 특정 해입니다.
2. 미분방정식의 일반해 찾기
이 방정식의 해는 C가 임의의 상수인 형태의 함수입니다. 실제로 방정식을 대체하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
결과적으로, 이 미분 방정식은 무한한 수의 해를 갖습니다. 왜냐하면 상수 C의 다른 값에 대해 평등은 방정식에 대한 다른 해를 결정하기 때문입니다.
예를 들어, 직접 대체를 통해 다음 함수가 다음과 같은지 확인할 수 있습니다. 
방정식의 해입니다.
방정식에 대한 특정 해를 찾아야 하는 문제 y" = f(x,y)초기 조건을 만족하는 와이(x 0) = 와이 0, 코시 문제라고 합니다.
방정식 풀기 y" = f(x,y), 초기 조건을 만족하며, 와이(x 0) = 와이 0, 코시 문제에 대한 해결책이라고 합니다.
코시 문제의 해법은 단순한 기하학적 의미를 갖고 있습니다. 실제로 이러한 정의에 따르면 코시 문제를 해결하려면 y" = f(x,y)~을 고려하면 와이(x 0) = 와이 0, 방정식의 적분 곡선을 찾는 것을 의미합니다. y" = f(x,y)특정 지점을 통과하는 엠 0 (x0,와이 0).
II. 1차 미분방정식
2.1. 기본 개념
1차 미분 방정식은 다음 형식의 방정식입니다. F(x,y,y") = 0.
1차 미분 방정식은 1차 도함수를 포함하고 고차 도함수는 포함하지 않습니다.
방정식 y" = f(x,y)는 도함수에 대해 풀린 1차 방정식이라고 합니다.
1계 미분방정식의 일반적인 해는 하나의 임의의 상수를 포함하는 형식의 함수입니다.
예. 1차 미분방정식을 생각해 보세요.
이 방정식의 해는 함수입니다.
실제로, 이 방정식을 그 값으로 대체하면, 우리는 다음을 얻습니다:
그건 3배=3배
따라서 이 함수는 임의의 상수 C에 대한 방정식의 일반적인 해입니다.
초기 조건을 만족하는 이 방정식의 특정 해를 구합니다. y(1)=1초기 조건 대체 x = 1, y =1방정식의 일반적인 해법에 대해 우리는 어디에서 얻습니까? C=0.
따라서 우리는 이 방정식에 결과 값을 대입하여 일반적인 해로부터 특정 해를 얻습니다. C=0– 개인 솔루션.
2.2. 분리 가능한 변수가 있는 미분 방정식
분리 가능한 변수가 있는 미분 방정식은 다음 형식의 방정식입니다. y"=f(x)g(y)또는 차등을 통해 에프엑스(f(x))그리고 g(y)– 지정된 기능.
그런 분들을 위해 와이, 이에 대한 방정식은 y"=f(x)g(y)방정식과 동일합니다. 
여기서 변수는 와이는 왼쪽에만 존재하고, 변수 x는 오른쪽에만 존재합니다. 그들은 "Eq. y"=f(x)g(y변수를 분리하자."
형태의 방정식 분리변수 방정식이라고 부른다.
방정식의 양쪽을 통합 에 의해 엑스, 우리는 얻는다 G(y) = F(x) + C는 방정식의 일반적인 해입니다. 여기서 G(y)그리고 에프엑스(F(x))– 각각 함수의 일부 역도함수 에프엑스(f(x)), 씨임의의 상수.
분리 가능한 변수를 사용하여 1차 미분 방정식을 풀기 위한 알고리즘
실시예 1
방정식을 풀어보세요 y" = xy
해결책. 함수의 파생 와이"그것을 대체하다
변수를 분리하자
평등의 양쪽을 통합해 봅시다:
실시예 2
2yy" = 1- 3x 2, 만약에 와이 0 = 3~에 x 0 = 1
이는 분리변수 방정식이다. 미분으로 상상해 봅시다. 이를 위해 이 방정식을 다음 형식으로 다시 작성합니다. 
여기에서 
마지막 평등의 양쪽을 통합하면 우리는 다음을 찾습니다.
초기값 대체 x 0 = 1, y 0 = 3우리는 찾을 것이다 와 함께 9=1-1+씨, 즉. C = 9.
따라서 필요한 부분 적분은 다음과 같습니다. 
또는 
실시예 3
한 점을 통과하는 곡선의 방정식을 작성하세요. 남(2;-3)각도 계수와 접선을 가짐
해결책. 조건에 따라
이것은 분리가능한 변수를 갖는 방정식이다. 변수를 나누면 다음과 같은 결과를 얻습니다. 
방정식의 양쪽을 통합하면 다음을 얻습니다. 
초기 조건을 사용하여, 엑스 = 2그리고 y = - 3우리는 찾을 것이다 씨:
따라서 필요한 방정식의 형식은 다음과 같습니다. 
2.3. 1차 선형 미분 방정식
1차 선형 미분 방정식은 다음 형식의 방정식입니다. y" = f(x)y + g(x)
어디 에프엑스(f(x))그리고 g(x)- 일부 지정된 기능.
만약에 g(x)=0선형 미분 방정식을 균질이라고 하며 다음과 같은 형식을 갖습니다. y" = f(x)y
그렇다면 방정식 y" = f(x)y + g(x)이질적이라고 합니다.
선형 균질 미분 방정식의 일반 해 y" = f(x)y공식은 다음과 같습니다. 와 함께– 임의의 상수.
특히, 만약 C=0,그렇다면 해결책은 와이 = 0선형 균질 방정식의 형식이 다음과 같은 경우 y" = 캬어디 케이가 상수이면 일반적인 해는 다음과 같은 형식을 갖습니다.
선형 불균일 미분 방정식의 일반 해 y" = f(x)y + g(x)공식에 의해 주어진다 
,
저것들. 는 해당 선형 균질 방정식의 일반 해와 이 방정식의 특정 해의 합과 같습니다.
다음 형식의 선형 불균일 방정식의 경우 y" = kx + b,
어디 케이그리고 비- 일부 숫자와 특정 해는 상수 함수가 됩니다. 따라서 일반적인 해는 다음과 같은 형식을 갖습니다.
예. 방정식을 풀어보세요 y" + 2y +3 = 0
해결책. 방정식을 다음과 같은 형태로 표현해보자 y" = -2y - 3어디 k = -2, b= -3일반적인 해는 공식으로 제공됩니다.
따라서 여기서 C는 임의의 상수입니다.
2.4. 베르누이 방법으로 1차 선형 미분 방정식 풀기
1차 선형 미분 방정식의 일반 해 찾기 y" = f(x)y + g(x)치환을 사용하여 분리된 변수를 사용하여 두 개의 미분 방정식을 푸는 것으로 줄어듭니다. y=uv, 어디 유그리고 V- 알 수 없는 기능 엑스. 이 해법을 베르누이의 방법이라고 합니다.
1차 선형 미분 방정식을 풀기 위한 알고리즘
y" = f(x)y + g(x)
1. 대체 입력 y=uv.
2. 이 평등을 차별화하세요 y" = u"v + uv"
3. 대체 와이그리고 와이"이 방정식에: u"v + uv" =f(x)uv + g(x)또는 u"v + uv" + f(x)uv = g(x).
4. 방정식의 항을 그룹화하여 다음과 같이 하십시오. 유대괄호에서 꺼내십시오.
5. 괄호에서 0과 동일시하여 함수를 찾습니다.
이것은 분리 가능한 방정식입니다. 
변수를 나누어 다음을 얻습니다. 
어디 
.
.
6. 결과 값을 대체합니다. V방정식에(4단계부터):
그리고 함수를 찾으세요. 이것은 분리 가능한 변수가 있는 방정식입니다:
7. 일반적인 솔루션을 다음 형식으로 작성합니다. 
, 즉. .
실시예 1
방정식에 대한 특정 해 찾기 y" = -2y +3 = 0만약에 와이 =1~에 엑스 = 0
해결책. 치환을 이용해서 풀어보자 y=uv,.y" = u"v + uv"
대체 와이그리고 와이"이 방정식에 우리는
방정식 왼쪽의 두 번째 항과 세 번째 항을 그룹화하여 공통 인수를 꺼냅니다. 유 괄호 밖으로
괄호 안의 표현을 0과 동일시하고 결과 방정식을 풀어서 함수를 찾습니다. v = v(x)
우리는 분리된 변수를 가진 방정식을 얻습니다. 이 방정식의 양쪽을 통합해 보겠습니다. 함수 찾기 V:
결과 값을 대체합시다 V우리가 얻는 방정식에:
이는 분리변수 방정식이다. 방정식의 양쪽을 통합해 보겠습니다. 
함수를 찾아보자 당신 = 당신(x,c) 
일반적인 해결책을 찾아보겠습니다. 
초기 조건을 만족하는 방정식의 특정 해를 찾아봅시다. 와이 = 1~에 엑스 = 0:
III. 고차 미분 방정식
3.1. 기본 개념 및 정의
2차 미분 방정식은 2차 이하의 도함수를 포함하는 방정식입니다. 일반적인 경우 2차 미분 방정식은 다음과 같이 작성됩니다. F(x,y,y",y") = 0
2계 미분 방정식의 일반적인 해는 두 개의 임의 상수를 포함하는 형식의 함수입니다. C 1그리고 C 2.
2차 미분 방정식의 특정 해는 임의 상수의 특정 값에 대한 일반 해로부터 얻은 해입니다. C 1그리고 C 2.
3.2. 2차 선형 균질 미분 방정식 일정한 계수.
상수 계수를 갖는 2차 선형 동차 미분 방정식형태의 방정식이라고 불린다. y" + py" +qy = 0, 어디 피그리고 큐- 상수 값.
상수 계수를 사용하여 동차 2차 미분 방정식을 풀기 위한 알고리즘
1. 미분 방정식을 다음 형식으로 작성하십시오. y" + py" +qy = 0.
2. 다음을 나타내는 특성 방정식을 만듭니다. 와이"~을 통해 r 2, 와이"~을 통해 아르 자형, 와이 1에서: r 2 + pr +q = 0
명확한 적분을 찾을 때 우리가 직면한 작업을 떠올려 보겠습니다.
또는 dy = f(x)dx입니다. 그녀의 해결책은 다음과 같습니다.
그리고 그것은 부정 적분을 계산하는 것으로 귀결됩니다. 실제로는 더 복잡한 작업이 더 자주 발생합니다. 와이, 다음 형식의 관계를 만족하는 것으로 알려진 경우
이 관계는 독립변수와 관련이 있습니다. 엑스, 알 수 없는 기능 와이그리고 그 파생상품은 주문까지 N포함하여 불린다. .
미분 방정식에는 한 차수 또는 다른 차수의 도함수(또는 미분) 기호 아래에 있는 함수가 포함됩니다. 가장 높은 차수를 차수(9.1)라고 합니다. .
미분 방정식:
- 첫 주문,
두 번째 순서
- 다섯 번째 주문 등
주어진 미분방정식을 만족시키는 함수를 해라고 부른다. , 또는 적분 . 문제를 해결한다는 것은 모든 솔루션을 찾는 것을 의미합니다. 필요한 기능을 위한 경우 와이모든 해를 제공하는 공식을 얻었을 때 우리는 그 공식의 일반적인 해를 찾았다고 말합니다. , 또는 일반 적분 .
공통의 결정
포함 N임의의 상수 
그리고 처럼 보이는데
관련된 관계가 얻어지면 엑스, 와이그리고 N허용되지 않는 형식의 임의 상수 와이 -
그런 관계를 식 (9.1)의 일반 적분이라고 합니다.
코시 문제
각각의 특정 해, 즉 주어진 미분 방정식을 만족하고 임의의 상수에 의존하지 않는 각각의 특정 함수를 특정 해라고 합니다. , 또는 부분적분. 일반 해(적분)에서 특정 해(적분)를 얻으려면 상수에 특정 수치 값을 지정해야 합니다.
특정 해의 그래프를 적분 곡선이라고 합니다. 모든 부분해를 포함하는 일반해는 적분곡선군입니다. 1차 방정식의 경우 이 계열은 하나의 임의 상수에 의존합니다. 방정식의 경우 N-번째 주문 - 부터 N임의의 상수.
코시 문제는 방정식에 대한 특정 해를 찾는 것입니다. N-차순, 만족스럽다 N초기 조건:
n 상수 c 1, c 2,..., c n이 결정됩니다.
1차 미분방정식
도함수에 대해 해결되지 않은 1차 미분 방정식의 경우 다음과 같은 형식을 갖습니다.
또는 상대적으로 허용되는 경우
예제 3.46. 방정식의 일반적인 해 찾기
해결책.통합하면 우리는 얻는다
여기서 C는 임의의 상수입니다. C에 특정 수치 값을 할당하면 특정 솔루션을 얻을 수 있습니다. 예를 들어 다음과 같습니다.
예제 3.47. 100 r의 발생에 따라 은행에 예금되는 금액의 증가를 고려하십시오. 연간 복리이자. Yo를 초기 금액으로 하고 Yx를 최종 금액으로 설정합니다. 엑스연령. 1년에 한 번씩 이자를 계산하면
여기서 x = 0, 1, 2, 3,.... 이자를 1년에 두 번 계산하면 다음과 같습니다.
여기서 x = 0, 1/2, 1, 3/2,....이자 계산 시 N 1년에 한 번 그리고 만약 x라면 0, 1/n, 2/n, 3/n,... 순차 값을 취한 다음
1/n = h를 지정하면 이전 동등성은 다음과 같습니다.
무제한 확대 N(에 
) 한계 내에서 우리는 지속적인 이자가 발생하여 금액을 늘리는 과정에 도달합니다.
따라서 지속적인 변화가 있음이 분명합니다. 엑스화폐공급 변화의 법칙은 1차 미분방정식으로 표현된다. 여기서 Y x는 알 수 없는 함수입니다. 엑스- 독립 변수, 아르 자형- 끊임없는. 이 방정식을 풀고 이를 위해 다음과 같이 다시 작성해 보겠습니다.
어디 
, 또는 
여기서 P는 eC를 나타냅니다.
초기 조건 Y(0) = Yo에서 P: Yo = Pe o를 찾습니다. 여기서 Yo = P입니다. 따라서 해는 다음 형식을 갖습니다.
두 번째 경제 문제를 생각해 봅시다. 거시경제 모델은 또한 1차 선형 미분방정식으로 설명되며, 소득 또는 생산량 Y의 변화를 시간 함수로 설명합니다.
예제 3.48. 국민소득 Y가 그 가치에 비례하는 비율로 증가한다고 가정하면:
그리고 정부 지출 적자는 비례 계수를 사용하여 소득 Y에 직접적으로 비례합니다. 큐. 지출 적자는 국가 부채 증가로 이어진다 D:
t = 0에서 초기 조건 Y = Yo 및 D = Do. 첫 번째 방정식에서 Y= Yoe kt. Y를 대체하면 dD/dt = qYoe kt가 됩니다. 일반적인 솔루션은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
D = (q/ k) Yoe kt +С, 여기서 С = const는 초기 조건에서 결정됩니다. 초기 조건을 대체하면 Do = (q/ k)Yo + C를 얻습니다. 따라서 마지막으로,
D = Do +(q/ k)Yo(e kt -1),
이는 국가 부채가 동일한 상대 비율로 증가하고 있음을 보여줍니다. 케이, 국민소득과 동일하다.
가장 간단한 미분방정식을 생각해 봅시다 N차수는 다음 형식의 방정식입니다.
일반적인 솔루션은 다음을 사용하여 얻을 수 있습니다. N시간 통합.
예제 3.49. y """ = cos x의 예를 생각해 보세요.
해결책.통합하면 우리는 찾을 수 있습니다
일반적인 솔루션은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
선형미분방정식
경제학에서 널리 사용되는 방정식을 푸는 방법을 고려해 보겠습니다. (9.1)의 형식은 다음과 같습니다.
그런 다음 선형이라고 하며 여기서 рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x)에는 함수가 제공됩니다. f(x) = 0이면 (9.2)를 동차라고 하고, 그렇지 않으면 불균일이라고 합니다. 방정식 (9.2)의 일반 해는 특정 해의 합과 같습니다. 와이(엑스)그리고 이에 대응하는 균질 방정식의 일반 해법은 다음과 같습니다.
계수 р o (x), р 1 (x),..., р n (x)가 일정하면 (9.2)
(9.4)는 일정한 차수 계수를 갖는 선형 미분 방정식이라고 불립니다. N .
(9.4)의 형식은 다음과 같습니다.
일반성을 잃지 않고 p o = 1로 설정하고 (9.5)를 다음 형식으로 쓸 수 있습니다.
우리는 y = e kx 형식의 해(9.6)를 찾을 것입니다. 여기서 k는 상수입니다. 우리는: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . 결과 표현식을 (9.6)에 대입하면 다음과 같습니다.
(9.7)은 대수 방정식이며, 미지수는 다음과 같습니다. 케이, 이를 특성이라고 합니다. 특성 방정식에는 차수가 있습니다. N그리고 N뿌리 중에는 다중 및 복합이 있을 수 있습니다. k 1 , k 2 ,..., k n 을 실수이고 구별한다고 하면, 
- 특정 솔루션(9.7) 및 일반
상수 계수를 갖는 선형 동차 2차 미분 방정식을 생각해 보세요.
그 특성 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
(9.9)
판별식 D = p 2 - 4q, D의 부호에 따라 세 가지 경우가 가능합니다.
1. D>0이면 근 k 1 과 k 2 (9.9)는 실수이고 다르며 일반적인 해는 다음 형식을 갖습니다.
해결책.특성 방정식: k 2 + 9 = 0, k = ± 3i, a = 0, b = 3일 때 일반 솔루션의 형식은 다음과 같습니다.
y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.
2차 선형 미분 방정식은 상품 재고를 사용하여 웹형 경제 모델을 연구할 때 사용됩니다. 여기서 가격 P의 변화율은 재고 규모에 따라 달라집니다(문단 10 참조). 수요와 공급이 가격의 선형함수라면,
a는 반응 속도를 결정하는 상수이고 가격 변화 과정은 미분 방정식으로 설명됩니다.
특정 솔루션의 경우 상수를 사용할 수 있습니다.
의미있는 균형가격. 편차 
균질 방정식을 만족합니다.
(9.10)
특성 방정식은 다음과 같습니다.
용어가 긍정적인 경우. 나타내자 
. 특성 방정식 k 1,2 = ± i w의 근은 따라서 일반적인 해(9.10)의 형식은 다음과 같습니다.
여기서 C 및 는 임의의 상수이며 초기 조건에서 결정됩니다. 우리는 시간이 지남에 따라 가격 변화의 법칙을 얻었습니다.
이 온라인 계산기를 사용하면 온라인으로 미분 방정식을 풀 수 있습니다. 아포스트로피를 통해 함수의 도함수를 나타내는 해당 필드에 방정식을 입력하고 "방정식 풀기" 버튼을 클릭하면 충분합니다. 인기 있는 WolframAlpha 웹사이트를 기반으로 구현된 시스템은 자세한 내용을 제공합니다. 미분 방정식 풀기완전 무료입니다. 또한 코시 문제를 정의하여 가능한 솔루션의 전체 집합에서 주어진 초기 조건에 해당하는 몫을 선택할 수도 있습니다. 코시 문제는 별도의 필드에 입력됩니다.
미분 방정식
기본적으로 방정식의 함수는 와이변수의 함수이다 엑스. 그러나 변수에 대한 고유한 지정을 지정할 수 있습니다. 예를 들어 방정식에 y(t)를 쓰면 계산기가 자동으로 이를 인식합니다. 와이변수에 함수가 있습니다 티. 계산기의 도움으로 당신은 할 수 있습니다 미분 방정식을 풀다모든 복잡성 및 유형: 동종 및 비동질, 선형 또는 비선형, 1차 또는 2차 및 고차, 분리 가능 또는 분리 불가능 변수가 있는 방정식 등 솔루션 차이점 방정식은 분석 형식으로 제공되며 자세한 설명이 있습니다. 미분 방정식은 물리학과 수학에서 매우 일반적입니다. 이를 계산하지 않으면 많은 문제(특히 수리물리학)를 해결하는 것이 불가능합니다.
미분 방정식을 푸는 단계 중 하나는 함수를 통합하는 것입니다. 미분 방정식을 푸는 표준 방법이 있습니다. 방정식을 분리 가능한 변수 y와 x를 갖는 형태로 축소하고 분리된 함수를 별도로 적분하는 것이 필요합니다. 이렇게 하려면 때로는 특정 대체품을 만들어야 합니다.
도함수와 관련하여 이미 해결되었거나 도함수와 관련하여 해결될 수 있습니다. 
.
공통의 결정 미분 방정식간격에 입력 엑스주어진 는 이 평등의 양쪽을 적분하여 구할 수 있습니다.
우리는 얻는다 
.
부정적분의 속성을 살펴보면 원하는 일반 해를 찾을 수 있습니다.
y = F(x) + C,
어디 에프엑스(F(x))- 기본 기능 중 하나 에프엑스(f(x))사이 엑스, ㅏ 와 함께- 임의의 상수.
대부분의 문제에서는 간격이 엑스표시하지 마십시오. 이는 모두를 위한 해결책을 찾아야 함을 의미합니다. 엑스, 원하는 기능 와이, 원래 방정식이 의미가 있습니다.
초기 조건을 만족하는 미분 방정식에 대한 특정 해를 계산해야 하는 경우 와이(x 0) = 와이 0, 일반 적분을 계산한 후 y = F(x) + C, 여전히 상수의 값을 결정하는 것이 필요합니다. 기 = 기 0, 초기 조건을 사용합니다. 즉, 상수 기 = 기 0방정식에서 결정 F(x0) + C = y0, 미분 방정식의 원하는 부분 해법은 다음과 같은 형식을 취합니다.
y = F(x) + C0.
예를 살펴보겠습니다:
미분방정식의 일반적인 해를 구하고 결과의 정확성을 확인해 봅시다. 초기 조건을 만족하는 이 방정식의 특정 해를 찾아보겠습니다.
해결책:
주어진 미분 방정식을 적분하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
.
부분별 적분 방법을 사용하여 이 적분을 생각해 보겠습니다.
저것., 
미분방정식의 일반해이다.
결과가 올바른지 확인하기 위해 확인해 보겠습니다. 이를 위해 우리가 찾은 솔루션을 주어진 방정식으로 대체합니다.
.
즉, 언제 
원래 방정식은 항등식으로 변합니다.
따라서 미분 방정식의 일반 해가 올바르게 결정되었습니다.
우리가 찾은 해결책은 각각의 미분방정식에 대한 일반해입니다. 유효한인수 값 엑스.
초기 조건을 만족하는 ODE에 대한 특정 해를 계산하는 일이 남아 있습니다. 즉, 상수의 값을 계산해야 합니다. 와 함께, 평등이 참이 될 것입니다:
.
.
그런 다음 대체 C = 2 ODE의 일반 해에 대해 초기 조건을 충족하는 미분 방정식의 특정 해를 얻습니다.
.
상미분방정식 
방정식의 2변을 다음과 같이 나누어 도함수를 구할 수 있습니다. 에프엑스(f(x)). 이 변환은 다음과 같습니다. 에프엑스(f(x))어떤 상황에서도 0으로 변하지 않습니다 엑스미분 방정식의 적분 구간에서 엑스.
인수의 일부 값에 대해 다음과 같은 상황이 있을 수 있습니다. 엑스 ∈ 엑스기능 에프엑스(f(x))그리고 g(x)동시에 0이 됩니다. 비슷한 값의 경우 엑스미분방정식의 일반해는 임의의 함수이다 와이, 왜냐하면 그 안에 정의되어 있기 때문입니다. .
일부 인수 값의 경우 엑스 ∈ 엑스조건이 충족됩니다. 이는 이 경우 ODE에 해가 없음을 의미합니다.
다른 모든 사람을 위해 엑스간격에서 엑스미분 방정식의 일반 해는 변환된 방정식으로부터 결정됩니다.
예를 살펴보겠습니다:
예시 1.
ODE에 대한 일반적인 해를 찾아보겠습니다. 
.
해결책.
기본 기본 함수의 속성에서 자연 로그 함수는 인수의 음수가 아닌 값에 대해 정의되므로 표현식 정의 영역이 분명합니다. ln(x+3)간격이 있다 엑스 > -3 . 이는 주어진 미분 방정식이 다음에 대해 의미가 있음을 의미합니다. 엑스 > -3 . 이러한 인수 값에 대해 표현식은 x+3사라지지 않으므로 두 부분을 다음과 같이 나누어 도함수에 대한 ODE를 풀 수 있습니다. x + 3.
우리는 얻는다 
.
다음으로, 미분과 관련하여 해결된 결과 미분 방정식을 적분합니다. 
. 이 적분을 취하기 위해 우리는 이를 미분 부호 아래에 포함시키는 방법을 사용합니다.
