삼각형 이등분 정리는 반대쪽 변을 나눕니다. 삼각형 abc의 기본 요소

오늘은 아주 쉬운 수업이 될 것입니다. 우리는 각도 이등분선이라는 하나의 개체만 고려하고 미래에 매우 유용할 가장 중요한 속성을 증명할 것입니다.

긴장을 풀지 마십시오. 첫 번째 수업에서 동일한 OGE 또는 USE에서 높은 점수를 얻고자 하는 학생들은 이등분선의 정확한 정의를 공식화할 수도 없습니다.

그리고 정말 흥미로운 일을 하는 대신에 우리는 그런 단순한 일에 시간을 보냅니다. 그러니 읽고, 보고, 채택하세요. :)

먼저 약간 이상한 질문이 있습니다. 각도란 무엇입니까? 맞습니다. 각도는 같은 지점에서 나오는 두 개의 광선입니다. 예를 들어:


각도의 예: 예각, 둔각 및 직각

그림에서 볼 수 있듯이 모서리는 날카롭고 둔하고 직선일 수 있습니다. 지금은 중요하지 않습니다. 종종 편의를 위해 각 광선에 추가 점이 표시되고 각도 $AOB$($\angle AOB$로 작성됨)가 있다고 말합니다.

선장은 광선 $OA$ 및 $OB$ 외에도 항상 지점 $O$에서 광선 다발을 그릴 수 있다고 암시하는 것 같습니다. 그러나 그들 중에는 하나의 특별한 것이있을 것입니다-이등분선이라고합니다.

정의. 각도의 이등분선은 해당 각도의 정점에서 나와 각도를 이등분하는 광선입니다.

위 각도의 경우 이등분선은 다음과 같습니다.


예각, 둔각 및 직각에 대한 이등분선의 예

실제 도면에서 특정 광선(우리의 경우 $OM$ 광선)이 초기 각도를 두 개의 동일한 각도로 분할한다는 것이 항상 분명한 것은 아니므로 동일한 수의 각도로 동일한 각도를 표시하는 것이 기하학에서 일반적입니다. 호(이 도면에서 이것은 예각의 경우 1호, 무딘 경우 2개, 직선의 경우 3개)입니다.

좋아, 우리는 정의를 알아 냈습니다. 이제 이등분선의 속성을 이해해야 합니다.

각도 이등분선의 기본 속성

실제로 이등분선에는 많은 속성이 있습니다. 그리고 우리는 다음 수업에서 그것들을 확실히 고려할 것입니다. 그러나 지금 이해해야 할 트릭이 하나 있습니다.

정리. 각의 이등분선은 주어진 각의 측면에서 등거리에 있는 점들의 자취입니다.

수학에서 러시아어로 번역하면 한 번에 두 가지 사실을 의미합니다.

  1. 각도의 이등분선에 있는 모든 점은 해당 각도의 측면에서 같은 거리에 있습니다.
  2. 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 점이 주어진 각도의 측면에서 같은 거리에 있으면 이 각도의 이등분선에 놓이는 것이 보장됩니다.

이 진술을 증명하기 전에 한 가지 점을 명확히합시다. 사실 한 점에서 각도의 한 변까지의 거리는 무엇입니까? 점에서 선까지의 거리에 대한 오래된 정의가 여기서 도움이 될 것입니다.

정의. 한 점에서 선까지의 거리는 그 점에서 그 선까지 그은 수선의 길이입니다.

예를 들어, 선 $l$과 이 선 위에 있지 않은 점 $A$를 생각해 보십시오. $H\in l$인 수직 $AH$를 그립니다. 그러면 이 수직선의 길이는 점 $A$에서 선 $l$까지의 거리가 됩니다.

점에서 선까지의 거리를 그래픽으로 표현

각도는 단지 두 개의 광선이고 각 광선은 선의 조각이므로 한 점에서 각도 측면까지의 거리를 쉽게 결정할 수 있습니다. 단지 두 개의 수직선일 뿐입니다.


점에서 각도의 변까지의 거리를 결정합니다.

그게 다야! 이제 우리는 거리와 이등분선이 무엇인지 압니다. 따라서 주요 속성을 증명할 수 있습니다.

약속한 대로 증명을 두 부분으로 나눕니다.

1. 이등분선 위의 한 점에서 각 변까지의 거리는 같다

정점 $O$와 이등분선 $OM$이 있는 임의의 각도를 고려하십시오.

이 같은 점 $M$이 각도의 변에서 같은 거리에 있음을 증명해 보겠습니다.

증거. 점 $M$에서 각 변에 수직선을 그립니다. $M((H)_(1))$ 및 $M((H)_(2))$라고 부르겠습니다.

모서리 측면에 수직선을 그립니다.

$\vartriangle OM((H)_(1))$ 및 $\vartriangle OM((H)_(2))$ 두 개의 직각 삼각형이 있습니다. 그들은 공통 빗변 $OM$과 같은 각도를 가집니다.

  1. $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ ($OM$는 이등분선이므로);
  2. $\angle M((H)_(1))O=\angle M((H)_(2))O=90()^\circ $ 구성으로;
  3. $\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$ 직각 삼각형의 예각은 항상 90도입니다.

따라서 삼각형은 측면과 두 개의 인접한 각도가 동일합니다(삼각형의 등호 표시 참조). 따라서 특히 $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, 즉 점 $O$에서 각도의 측면까지의 거리는 실제로 동일합니다. Q.E.D.:)

2. 거리가 같으면 점이 이등분선에 있습니다.

이제 상황이 역전되었습니다. 각도 $O$와 이 각도의 변에서 같은 거리에 있는 점 $M$을 지정합니다.

광선 $OM$이 이등분선임을 증명해 보겠습니다. $\각도 MO((H)_(1))=\각도 MO((H)_(2))$.

증거. 우선, 이 광선 $OM$을 그려봅시다. 그렇지 않으면 증명할 것이 없습니다.

모퉁이 안쪽에서 빔 $OM$을 보냈습니다.

$\vartriangle OM((H)_(1))$ 및 $\vartriangle OM((H)_(2))$ 두 개의 직각 삼각형을 다시 얻었습니다. 분명히 그들은 다음과 같은 이유로 동등합니다.

  1. 빗변 $OM$이 일반적입니다.
  2. 조건에 의한 다리 $M((H)_(1))=M((H)_(2))$
  3. 나머지 다리도 동일합니다. 왜냐하면 피타고라스의 정리 $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$에 의해.

따라서 세 변에 삼각형 $\vartriangle OM((H)_(1))$ 및 $\vartriangle OM((H)_(2))$가 있습니다. 특히, 그들의 각도는 동일합니다: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. 그리고 이것은 $OM$이 이등분선이라는 것을 의미합니다.

증명의 결론에서 우리는 형성된 동일한 각도를 빨간색 호로 표시합니다.

이등분선은 각도 $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$를 두 개의 동일한 각도로 나눕니다.

보시다시피 복잡한 것은 없습니다. 우리는 각의 이등분선이 이 각의 변에 등거리에 있는 점들의 자취임을 증명했습니다. :)

이제 우리는 용어를 어느 정도 결정했으므로 새로운 수준으로 이동할 때입니다. 다음 단원에서는 이등분선의 더 복잡한 속성을 분석하고 이를 실제 문제 해결에 적용하는 방법을 배웁니다.

삼각형의 이등분선은 삼각형의 각도를 두 개의 동일한 각도로 나누는 세그먼트입니다. 예를 들어 삼각형의 각도가 120 0 이면 이등분선을 그려서 60 0 의 두 각도를 구성합니다.

그리고 삼각형에는 세 각이 있으므로 세 개의 이등분선을 그릴 수 있습니다. 그들은 모두 같은 컷오프 포인트를 가지고 있습니다. 이 점은 삼각형에 새겨진 원의 중심입니다. 다른 방법으로 이 교차점을 삼각형의 내심이라고 합니다.

내각과 외각의 두 이등분선이 교차하면 90°의 각이 얻어집니다. 삼각형의 외각은 삼각형의 내각에 인접한 각입니다.

쌀. 1. 이등분선이 3개인 삼각형

이등분선은 반대쪽을 측면과 연결된 두 개의 세그먼트로 나눕니다.

$$(CL\오버(LB)) = (AC\오버(AB))$$

이등분선의 점은 각도의 변에서 등거리에 있습니다. 즉, 각도의 변에서 같은 거리에 있습니다. 즉, 이등분선의 어느 한 점에서 삼각형 각도의 각 변에 수직선을 떨어뜨리면 이 수직선은 ..

한 정점에서 중앙값, 이등분선 및 높이를 그리면 중앙값이 가장 긴 세그먼트가 되고 높이는 가장 짧은 세그먼트가 됩니다.

이등분선의 일부 속성

특정 종류의 삼각형에서 이등분선은 특별한 속성을 가집니다. 우선 이것은 이등변 삼각형에 적용됩니다. 이 그림에는 두 개의 동일한 측면이 있으며 세 번째는 밑면이라고 합니다.

이등변 삼각형 각도의 정점에서 밑변까지의 이등분선을 그리면 높이와 중앙값의 속성을 모두 갖습니다. 따라서 이등분선의 길이는 중앙값과 높이의 길이와 일치합니다.

정의:

  • 키삼각형의 한 꼭지점에서 반대편 변까지의 수선.
  • 중앙값삼각형의 꼭지점과 반대쪽 변의 중간점을 연결하는 선분.

쌀. 2. 이등변삼각형의 이등분선

이것은 정삼각형, 즉 세 변이 모두 같은 삼각형에도 적용됩니다.

작업 예

삼각형 ABC에서 BR은 AB = 6cm, BC = 4cm, RC = 2cm인 이등분선이고 세 번째 변의 길이를 뺍니다.

쌀. 3. 삼각형의 이등분선

해결책:

이등분선은 삼각형의 변을 일정한 비율로 나눕니다. 이 비율을 이용해서 AR을 표현해보자. 이 변을 이등분선으로 나눈 세그먼트의 합으로 세 번째 변의 길이를 찾은 후.

  • $(AB\오버(BC)) = (AR\오버(RC))$
  • $RC=(6\over(4))*2=3cm$

그런 다음 전체 세그먼트 AC = RC+ AR

AC = 3+2=5cm.

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강의 주제

각도 이등분선

수업 목표

각도 이등분선과 그 속성에 대한 학생들의 지식을 보충합니다.
각도 이등분선에 대한 새로운 정보를 소개합니다.
이등분선의 속성에 대한 정리가 다른 방식으로 증명될 ​​수 있다는 학생들의 지식을 확장하기 위해;
논리적 사고, 수학 과학에 대한 관심, 인내 및 분석 능력을 개발하십시오.

수업 목표

각도 이등분선에 대한 학생들의 지식을 넓히기 위해;
그리기 도구를 사용하여 각도 이등분선을 구성하는 기술을 통합합니다.
이 주제에 대한 추가 정보 및 흥미로운 정보를 얻으십시오.
수학 발전에서 정리의 중요성에 대한 정보를 제공하십시오.
문제를 해결하여 습득한 지식을 통합합니다.
인내, 호기심 및 수리 과학을 공부하려는 열망을 기릅니다.

강의 계획

1. 각도 이등분선에 대한 수업의 주요 주제 공개;
2. 다루는 자료의 반복;
3. 이등분선에 대한 흥미로운 정보.
4. 역사적 배경, 그리스 기하학.
5. 숙제.

각도 이등분선

오늘의 수업은 이등분선의 주제에 바칠 것입니다. 이등분선의 정의를 기억합시다.

이등분선은 각도의 측면에서 등거리에 있는 점의 자취입니다.

간단히 말해서 이등분선은 각도를 반으로 나누는 선입니다.

각도의 이등분선은 각도의 꼭지점에서 나와 두 개의 다른 동일한 각도로 나누는 광선입니다.

프랑스어 번역에서 "이등분선"이라는 단어는 각도를 반으로 자르거나 균등하게 나누는 방법을 의미합니다.

삼각형의 이등분선

각의 이등분선 외에도 삼각형의 이등분선도 있습니다. 삼각형에는 각각 세 개의 각도가 포함되어 있기 때문에 각 삼각형은 세 개의 다른 이등분선을 가질 수 있습니다.

삼각형의 이등분선은 무엇입니까? 삼각형의 이등분선은 삼각형의 꼭지점과 반대쪽 점을 연결하는 각의 이등분선의 한 부분입니다.



삼각형의 이등분선에는 고유한 속성이 있습니다. 예를 들어, 반대쪽을 다른 두 개의 측면에 비례하는 세그먼트로 나눕니다.



직각 삼각형의 경우 정확히 예각의 이등분선이 교차할 때 정확히 45도 각도를 형성합니다.

또한 삼각형에 새겨진 원의 중심에서 엄격하게 교차한다는 사실과 같은 삼각형의 이등분선의 속성을 잊어서는 안됩니다.

음, 가장 흥미로운 점은 이등변 삼각형의 경우 밑면에 그려진 선은 이등분선, 중앙값 및 높이가 모두 된다는 것입니다. 따라서 삼각형의 한 꼭지점에서 그린 중앙값, 높이, 이등분선이 일치하면 이등변삼각형이 된다.

직각 삼각형과 이등변 삼각형의 어떤 속성을 기억할 수 있습니까?

이등분선의 구성

각도의 이등분선은 각도 측정을 사용하여 각도기를 사용하여 구성됩니다. 이등분선 만들기를 시작하려면 각도 측정값을 반으로 나누고 꼭지점의 한쪽에 있는 각도의 절반 각도 측정값을 제쳐두고 두 번째 절반이 주어진 각도의 이등분선이 됩니다.



우리는 90도의 도 측정값을 갖는 주어진 각도를 취하고 이등분선을 사용하여 45도의 구성된 두 각도를 얻습니다.

직선각은 이등분선을 사용하여 각도를 2개의 직각으로 나눕니다. 둔각은 이등분선을 만들 때 2개의 예각으로 나눕니다.

이등분선의 정의에서 각도를 이등분하는 광선이라는 것을 알 수 있습니다. 이등분선을 만들려면 각도를 반으로 나누어야 합니다.

각도 이등분선을 구성하는 알고리즘

1. 먼저 모서리의 꼭지점을 중심으로 원을 그려 측면과 교차하도록 합니다.



3. 이 모서리 내부에 교차점이 있도록 반지름이 있는 2개의 원을 그립니다.



4. 이제 이 원들의 교차점을 통과하는 방식으로 모서리 상단에서 빔을 그립니다. 이 광선은 주어진 각도의 이등분선입니다.



이제 결과 광선이 이 각도의 이등분선임을 증명해 봅시다. 한 변이 공통인 두 개의 삼각형, 즉 꼭지점에서 원의 교차점까지의 세그먼트를 예로 들어 3p에서 얻었습니다.

해당 측면의 두 번째 쌍은 1p.에서 얻은 세그먼트로 모서리 상단에서 측면과 원의 교차점으로 이동합니다.

대응 변의 세 번째 쌍은 각각 1p에서 얻은 세그먼트입니다. 원의 교차점에서 원의 교차점까지이지만 3p에서 얻습니다.

따라서 이 세그먼트의 2쌍은 하나 또는 두 개의 원의 반지름이지만 반지름이 같기 때문에 동일합니다. 따라서 삼각형은 세 변에서 모두 동일합니다. 우리는 삼각형이 합동일 때 각도 합동임을 압니다. 따라서 정점에서 두 개의 새로운 각도와 주어진 각도는 문제의 조건에 따라 같으므로 생성된 광선은 이등분선이 됩니다.

이등분선에 대한 흥미로운 정보

그리스어로 암기 기술을 의미하는 니모닉이라는 과학이 있다는 것을 알고 계셨습니까? 그리고 이등분선의 정의를 더 잘 기억하기 위해 이등분선이 모서리를 돌고 모서리를 반으로 나누는 쥐인 니모닉 규칙이 있습니다.



아르키메데스도 이등분 정리를 사용했다는 것을 알고 계십니까? 그는 12각형, 24각형 등의 변의 바닥 길이를 결정하기 위해 밑면을 변에 비례하는 부분으로 나누는 데 사용했습니다.

각도 이등분선의 전설

두 각과 이등분선 또는 인접 모서리의 형성에 관한 이야기.

한 번 같은 광장에서 두 모서리가 만났습니다. 나이 든 쪽은 130도 정도였고, 어린 쪽은 겨우 50도였다. 이것은 동화이기 때문에 우리는 년도를 학위로 대체할 것입니다. 그래서 그들은 만나서 그들 중 어느 것이 더 좋고 더 중요한지 논쟁하기 시작했습니다. 장로는 나이가 많고 현명하며 평생 동안 130 ° 동안 더 많이 보았 기 때문에 우선 순위가 자신의 편이라고 믿었습니다. 반대로 젊은 사람은 자신이 더 젊기 때문에 더 강하고 오래 지속된다고 주장했습니다. 그리고 분쟁이 영원히 지속되지 않도록 토너먼트를 개최하기로 결정했습니다. Bisector는 이러한 경쟁에 대해 알게되었고 동시에 적을 물리 치고 Geometry를 이끌기로 결정했습니다.

그리고 이제 대망의 토너먼트 시간이 왔으며 코너가 2 개였습니다. 전투가 한창이던 순간, 바이섹터가 나타나 참전을 결정했다. 그러나 나이 든 Angle은 Bisector와의 전투에 들어갔고 어린 사람은 스스로를 끌어 올렸고 승리는 여전히 Bisector 편으로 판명되었습니다.

BISSECTOR의 속성

이등분선 속성: 삼각형에서 이등분선은 반대쪽 변을 인접한 변에 비례하는 선분으로 나눕니다.

외각의 이등분선 삼각형의 외각의 이등분선은 한 점에서 변의 연장선과 교차하며, 이 변의 끝점까지의 거리는 각각 삼각형의 인접한 변에 비례합니다. 씨바디

이등분선 길이 공식:

이등분선이 삼각형의 반대편을 나누는 세그먼트의 길이를 찾는 공식

이등분선이 이등분선의 교차점으로 나누어지는 세그먼트의 길이 비율을 찾는 공식

문제 1. 삼각형의 이등분선 중 하나는 꼭지점에서 세어 3:2의 비율로 이등분선의 교점으로 나뉩니다. 이 이등분선을 그리는 삼각형의 한 변의 길이가 12cm일 때 삼각형의 둘레를 구하십시오.

솔루션 우리는 이등분선이 삼각형의 이등분선의 교차점으로 나누어지는 세그먼트의 길이 비율을 찾기 위해 공식을 사용합니다: 30. 대답: P = 30cm.

작업 2 . 이등분선 BD와 CE ∆ ABC는 점 O에서 교차합니다. AB=14, BC=6, AC=10. OD를 찾으십시오.

해결책. 이등분선의 길이를 구하는 공식을 사용합시다: BD = BD = = 이등분선이 이등분선의 교차점으로 나누어지는 세그먼트의 비율에 대한 공식에 따르면: l = . 2 + 1 = 모든 것의 세 부분.

파트 1입니다.  OD = 답변: OD =

문제 ∆ ABC에서 이등분선 AL과 BK가 그려집니다. 세그먼트 KLif AB \u003d 15, AK \u003d 7.5, BL \u003d 5의 길이를 찾으십시오. ∆ ABC에서 이등분선 AD가 그려지고 점 D를 통과하는 직선은 AC와 평행하고 점 E에서 AB와 교차합니다. AB = 5, AC = 7인 경우 면적 ∆ ABC 및 ∆ BDE의 비율을 구합니다. 다리 길이가 24 cm 및 18 cm인 직각 삼각형의 예각의 이등분선을 찾습니다. 직각 삼각형에서 예각의 이등분선은 반대쪽 다리를 4cm와 5cm 길이로 나누고 삼각형의 면적을 결정합니다.

5. 이등변삼각형에서 밑변과 변의 길이는 각각 5cm와 20cm이고 삼각형 밑변에서 내각의 이등분선을 구합니다. 6. 다리가 a와 b가 같은 삼각형의 직각의 이등분선을 찾으십시오. 7. 한 변의 길이가 a = 18 cm, b = 15 cm, c = 12 cm인 삼각형 ABC의 각도 A의 이등분선 길이를 계산합니다. 내각의 이등분선이 교차점에서 나누는 비율을 찾으십시오.

답변: 답변: 답변: 답변: 답변: 답변: 답변: 답변: 답변: AP = 6 AP = 10 참조 KL = CP =

삼각형의 각도 이등분선은 무엇입니까? 이 질문에 대해 어떤 사람들은 악명 높은 쥐가 모퉁이를 돌아다니며 모퉁이를 반으로 나눈다고 합니다. 이 질문은 다음과 같이 들렸을 것입니다. 모서리 상단에서 시작하여 후자를 두 개의 동일한 부분으로 나눕니다. 기하학에서 이 도형은 삼각형의 반대편과 교차할 때까지 이등분선의 한 부분으로 인식됩니다. 이것은 잘못된 생각이 아닙니다. 그리고 각도 이등분선에 대해 그 정의 외에 또 무엇이 알려져 있습니까?

점의 위치와 마찬가지로 자체 특성이 있습니다. 그 중 첫 번째는 기호가 아니라 다음과 같이 간단히 표현할 수있는 정리입니다. 삼각형."

그것이 갖는 두 번째 속성: 모든 각도의 이등분선의 교점을 내심이라고 합니다.

세 번째 기호: 삼각형의 내각 1개와 외각 2개의 이등분선이 삼각형에 새겨진 세 원 중 하나의 중심에서 교차합니다.

삼각형의 각도 이등분선의 네 번째 속성은 각각이 같으면 마지막 것이 이등변이라는 것입니다.

다섯 번째 기호는 또한 이등변 삼각형과 관련이 있으며 이등분선으로 그림에서 인식하기 위한 주요 지침입니다. 즉, 이등변 삼각형에서는 중앙값과 높이의 역할을 동시에 수행합니다.

각도 이등분선은 나침반과 직선자를 사용하여 구성할 수 있습니다.

여섯 번째 규칙은 정육면체의 2배, 원의 제곱, 각의 삼등분을 구성하는 것이 불가능한 것처럼 사용 가능한 이등분선만으로 삼각형을 구성하는 것은 불가능하다고 말합니다. 엄밀히 말하면 이것은 삼각형 각도의 이등분선의 모든 속성입니다.

이전 단락을 주의 깊게 읽었다면 아마도 한 문구에 관심이 있었을 것입니다. "각도의 삼등분은 무엇입니까?" -반드시 물어볼 것입니다. 삼등분은 이등분선과 조금 비슷하지만 후자를 그리면 각도가 두 등분으로 나뉘고 삼등분을 만들 때 세 부분으로 나뉩니다. 자연스럽게 각의 이등분선은 학교에서 가르치지 않기 때문에 기억하기가 더 쉽습니다. 그러나 완전성을 위해 그것에 대해 말씀 드리겠습니다.

내가 말했듯이 삼등분선은 컴퍼스와 자로만 만들 수는 없지만 Fujita 규칙과 몇 가지 곡선을 사용하여 만들 수 있습니다.

각도의 삼등분 문제는 nevsis의 도움으로 아주 간단하게 해결됩니다.

기하학에는 각도의 삼등분에 대한 정리가 있습니다. 몰리(Morley) 정리라고 합니다. 그녀는 각 각의 중간에 있는 삼등분선의 교차점이 정점이 될 것이라고 말합니다.

큰 삼각형 안에 있는 작은 검은색 삼각형은 항상 정삼각형입니다. 이 정리는 1904년 영국 과학자 프랭크 몰리에 의해 발견되었습니다.

각도의 분할에 대해 얼마나 배울 수 있는지는 다음과 같습니다. 각도의 삼등분선과 이등분선은 항상 자세한 설명이 필요합니다. 그러나 여기에는 Pascal의 달팽이, Nicomedes의 conchoid 등 아직 공개되지 않은 많은 정의가 있습니다. 의심할 여지 없이, 그들에 대해 더 많은 것을 쓸 수 있습니다.



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