3의 근의 도함수. 도함수 찾기: 알고리즘 및 솔루션의 예

03.07.2020

복잡한 함수가 항상 복잡한 함수의 정의에 맞는 것은 아닙니다. y \u003d sin x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 형식의 함수가 있는 경우 y \u003d sin 2 x와 달리 복잡한 것으로 간주할 수 없습니다.

이 기사에서는 복잡한 함수의 개념과 그 식별을 보여줍니다. 결론에서 솔루션의 예를 사용하여 도함수를 찾기 위한 공식으로 작업해 봅시다. 미분표와 미분 규칙을 사용하면 미분을 찾는 시간이 크게 단축됩니다.

기본 정의

정의 1

복합 함수는 인수도 함수인 함수입니다.

다음과 같이 표시됩니다. f (g (x)) . 함수 g(x)는 인수 f(g(x))로 간주됩니다.

정의 2

함수 f가 있고 코탄젠트 함수이면 g(x) = ln x는 자연 로그 함수입니다. 복소 함수 f(g(x))는 arctg(lnx)로 작성됩니다. 또는 g (x) \u003d x 2 + 2 x-3이 전체 합리적 함수로 간주되는 4 승 함수 인 함수 f (g (x)) \u003d (x 2 + 2 x - 3) 4 .

분명히 g(x)는 까다로울 수 있습니다. y \u003d sin 2 x + 1 x 3 - 5의 예에서 g의 값은 분수가 있는 세제곱근을 가짐을 알 수 있습니다. 이 표현은 y = f (f 1 (f 2 (x))) 로 나타낼 수 있습니다. f는 사인 함수이고 f 1은 제곱근 아래에 위치한 함수이고 f 2 (x) \u003d 2 x + 1 x 3-5는 분수 유리 함수입니다.

정의 3

중첩 정도는 임의의 자연수로 정의되며 y = f(f1(f2(f3(. . . (f n (x)))))) 로 표시됩니다.

정의 4

함수 구성의 개념은 문제 설명에 따른 중첩 함수의 수를 나타냅니다. 솔루션의 경우, 다음 형식의 복소 함수의 도함수를 찾는 공식

(에프(지(엑스)))"=에프"(지(엑스)) 지"(엑스)

예

예 1

y = (2 x + 1) 2 형식의 복소수 함수의 도함수를 구합니다.

해결책

관례적으로 f는 제곱 함수이고 g(x) = 2 x + 1은 선형 함수로 간주됩니다.

복잡한 함수에 미분 공식을 적용하고 다음과 같이 작성합니다.

f"(g(x)) = ((g(x)) 2)" = 2(g(x)) 2 - 1 = 2g(x) = 2(2 x + 1) ; g "(x) = (2x + 1)" = (2x)" + 1" = 2 x" + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f(g(x))) "=f" ( g(x)) g"(x) = 2 (2x + 1) 2 = 8x + 4

함수의 단순화된 초기 형태로 도함수를 찾는 것이 필요합니다. 우리는 다음을 얻습니다.

y = (2x + 1) 2 = 4x2 + 4x + 1

그러므로 우리는 그것을 가지고

y"=(4x2+4x+1)"=(4x2)"+(4x)"+1"=4(x2)"+4(x)"+0==4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 - 1 = 8 x + 4

결과가 일치했습니다.

이런 종류의 문제를 풀 때 f와 g(x) 형태의 함수가 어디에 있는지 이해하는 것이 중요합니다.

예 2

y \u003d sin 2 x 및 y \u003d sin x 2 형식의 복소 함수의 도함수를 찾아야 합니다.

해결책

함수의 첫 번째 항목은 f가 제곱 함수이고 g(x)가 사인 함수라고 말합니다. 그럼 우리는 그것을 얻는다

y "= (죄 2 x)" = 2 죄 2 - 1 x (죄 x)" = 2 죄 x cos x

두 번째 항목은 f가 사인 함수이고 g(x) = x 2가 거듭제곱 함수를 나타냄을 보여줍니다. 복잡한 함수의 곱은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

y " \u003d (sin x 2) " \u003d cos (x 2) (x 2) " \u003d cos (x 2) 2 x 2-1 \u003d 2 x cos (x 2)

파생 상품 y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))))의 공식은 y "= f"(f 1 (f 2 (f 3 (. . . ( f n (x)))))) f 1 "(f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) f 2" (f 3 (. . . (f n (x)) )) )) . . . 에프엔 "(엑스)

예 3

함수 y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) 의 도함수를 구합니다.

해결책

이 예제는 함수의 위치를 작성하고 결정하는 복잡성을 보여줍니다. 그런 다음 y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) 표시, 여기서 f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x)는 사인 함수, 함수 3도까지 올리는 함수, 로그와 밑수 e를 갖는 함수, 아크 탄젠트와 선형 함수.

복잡한 함수의 정의 공식에서 다음을 얻습니다.

y "= 에프"(에프 1(에프 2(에프 3(에프 4(엑스)))))) 에프 1"(에프 2(에프 3(에프 4(엑스)))) 에프 2"(에프 3(에프 4(엑스))) 에프 3"(에프 4(엑스)) 에프 4"(엑스)

찾을 내용 얻기

f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) 미분 표에서 사인의 미분으로 f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x) ))))) ) = cos (ln 3 arc t g (2 x)) .
f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) 전력 함수의 미분으로 f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 아크 t g (2 x) = 3 ln 2 아크 t g (2 x) .
에프 2 "(에프 3 (에프 4 (엑스))) 대수 미분, f 2 "(에프 3 (에프 4 (엑스))) = 1 아크 t g (2 엑스) .
f 3 "(f 4 (x)) 아크 탄젠트의 미분으로 f 3 "(f 4 (x)) = 11 + (2 x) 2 = 11 + 4 x 2.
도함수 f 4 (x) \u003d 2 x를 찾을 때 지수가 1인 거듭제곱 함수의 도함수 공식을 사용하여 도함수의 부호에서 2를 취한 다음 f 4 "(x) \u003d ( 2 x)" \u003d 2 x "\u003d 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

우리는 중간 결과를 결합하고

y "= 에프"(에프 1(에프 2(에프 3(에프 4(엑스)))))) 에프 1"(에프 2(에프 3(에프 4(엑스)))) 에프 2"(에프 3(에프 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 arc t g (2 x)) 3 ln 2 arc t g (2 x) 1 arc t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 arc t g (2 x)) ln 2 arc t g (2 x) arc t g (2 x) (1 + 4 x 2)

이러한 기능의 분석은 중첩 인형과 유사합니다. 파생 테이블을 사용하여 미분 규칙을 항상 명시적으로 적용할 수는 없습니다. 복잡한 함수의 도함수를 찾기 위해 공식을 적용해야 하는 경우가 종종 있습니다.

복잡한 뷰와 복잡한 함수 사이에는 몇 가지 차이점이 있습니다. 이를 구별할 수 있는 명확한 능력이 있으면 파생물을 찾는 것이 특히 쉬울 것입니다.

예 4

그러한 예를 가져오는 것을 고려할 필요가 있다. y = t g 2 x + 3 t g x + 1 형식의 함수가 있는 경우 g (x) = t g x , f (g) = g 2 + 3 g + 1 형식의 복소수 함수로 간주할 수 있습니다. . 분명히 복소 도함수에 대한 공식을 적용하는 것이 필요합니다.

f "(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3g (x) + 1) " \u003d (g 2 (x)) " + (3g (x)) " + 1 " == 2g 2 - 1 (x) + 3g "(x) + 0 \u003d 2g (x) + 3 1g 1 - 1 (x) \u003d \u003d 2g (x) + 3 \u003d 2t g x + 삼; g "(x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f(g(x))) " = f "(g(x)) g "(x) = (2t g x + 3 ) 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

y = t g x 2 + 3 t g x + 1 형식의 함수는 합이 t g x 2 , 3 t g x 및 1이므로 복소수로 간주되지 않습니다. 그러나 t g x 2는 복잡한 함수로 간주되며 g (x) \u003d x 2 형식의 거듭 제곱 함수와 접선의 함수인 f를 얻습니다. 이렇게하려면 금액으로 구분해야합니다. 우리는 그것을 얻는다

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x

복소 함수(t g x 2) "의 도함수를 찾는 것으로 넘어갑시다.

f "(g (x)) = (tg (g (x)))" = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g "(x) = (x 2)" = 2 x 2 -1 \u003d 2 x ⇒ (t g x 2) " \u003d f " (g (x)) g " (x) \u003d 2 x cos 2 (x 2)

우리는 y "= (t g x 2 + 3 t g x + 1)" = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

복소 함수는 복소 함수에 포함될 수 있으며 복소 함수 자체가 복소 형식의 복합 함수가 될 수 있습니다.

실시예 5

예를 들어, y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) 형식의 복잡한 함수를 고려하십시오.

이 함수는 y = f(g(x))로 나타낼 수 있습니다. 여기서 f의 값은 밑이 3인 로그의 함수이고 g(x)는 h(x) = 형식의 두 함수의 합으로 간주됩니다. x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 및 k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) . 분명히 y = f(h(x) + k(x)) 입니다.

함수 h(x) 를 고려하십시오. 이것은 l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 대 m (x) = e x 2 + 3 3의 비율입니다.

l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x)는 두 함수 n (x) = x 2 + 7과 p ( x) \u003d 3 cos 3 (2 x + 1) , 여기서 p (x) \u003d 3 p 1 (p 2 (p 3 (x)))은 수치 계수가 3 인 복소 함수이고 p 1은 큐브 함수, p 2 코사인 함수, p 3 (x) = 2 x + 1 - 선형 함수.

우리는 m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x)가 두 함수 q (x) = e x 2 및 r (x) = 3 3 의 합이라는 것을 발견했습니다. 여기서 q (x) = q 1 (q 2 (x))는 복소수 함수, q 1은 지수를 갖는 함수, q 2 (x) = x 2는 거듭제곱 함수입니다.

이것은 h(x) = l(x) m(x) = n(x) + p(x) q(x) + r(x) = n(x) + 3 p 1(p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1) \u003d s (x) t (x) 형식의 표현으로 전달할 때 함수가 복소수 s (x) \ u003d ln 2 x \u003d s 1 ( s 2 (x)) 정수 유리 t (x) = x 2 + 1, 여기서 s 1은 제곱 함수이고 s 2 (x) = ln x는 밑이 e인 대수입니다. .

식은 k (x) = s (x) t (x) = s 1 (s 2 (x)) t (x) 형식을 취합니다.

그럼 우리는 그것을 얻는다

y = 로그 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = fn (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

함수의 구조에 따라 미분할 때 표현을 단순화하기 위해 어떤 수식을 어떻게 적용해야 하는지가 명확해졌습니다. 이러한 문제에 익숙해지고 해법을 이해하기 위해서는 함수의 미분, 즉 도함수를 구하는 점을 참고할 필요가 있다.

텍스트에 오류가 있는 경우 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르십시오.

도함수를 찾는 작업을 미분이라고 합니다.

미분을 인수의 증분에 대한 증분의 비율의 극한으로 정의하여 가장 간단한 (그리고 매우 간단하지 않은) 함수의 미분을 찾는 문제를 해결 한 결과 미분 테이블과 정확하게 정의 된 미분 규칙이 나타났습니다. . Isaac Newton(1643-1727)과 Gottfried Wilhelm Leibniz(1646-1716)는 파생 상품을 찾는 분야에서 처음으로 일했습니다.

따라서 우리 시대에 어떤 함수의 도함수를 찾기 위해서는 위에서 언급한 인수의 증분에 대한 함수의 증분 비율의 한계를 계산할 필요가 없고 표를 사용하기만 하면 됩니다. 미분법칙과 미분법칙. 다음 알고리즘은 도함수를 찾는 데 적합합니다.

미분을 찾으려면, 스트로크 기호 아래에 표현식이 필요합니다. 간단한 함수 분해그리고 어떤 행동을 결정 (곱, 합계, 몫)이러한 기능은 관련이 있습니다. 또한 미분 규칙에서 미분 표에서 기본 함수의 미분을 찾고 곱, 합계 및 몫의 미분 공식을 찾습니다. 도함수 표와 미분 규칙은 처음 두 예제 다음에 제공됩니다.

예 1함수의 도함수 찾기

해결책. 미분 규칙에서 우리는 함수 합의 도함수는 함수 도함수 합, 즉

미분 표에서 "X"의 미분은 1이고 사인의 미분은 코사인임을 알 수 있습니다. 이 값을 파생 상품의 합으로 대체하고 문제 조건에 필요한 파생 상품을 찾습니다.

예 2함수의 도함수 찾기

해결책. 합계의 도함수로 미분합니다. 여기서 상수 인수가 있는 두 번째 항은 도함수의 부호에서 벗어날 수 있습니다.

무언가가 어디에서 왔는지에 대한 질문이 여전히 있으면 일반적으로 파생 상품 표와 가장 간단한 차별화 규칙을 읽은 후에 명확해집니다. 우리는 지금 그들에게 가고 있습니다.

단순 함수의 도함수 표

1. 상수(숫자)의 미분. 함수 표현식에 있는 모든 숫자(1, 2, 5, 200...). 항상 0입니다. 매우 자주 필요하므로 기억하는 것이 매우 중요합니다.
2. 독립 변수의 미분. 가장 자주 "x". 항상 1과 같습니다. 이것은 또한 기억하는 것이 중요합니다
3. 학위의 미분. 문제를 풀 때 비제곱근을 거듭제곱으로 변환해야 합니다.
4. -1의 거듭제곱에 대한 변수의 도함수
5. 제곱근의 도함수
6. 사인 미분
7. 코사인 미분
8. 탄젠트 미분
9. 코탄젠트의 도함수
10. 아크사인의 도함수
11. 아크코사인의 도함수
12. 아크 탄젠트의 미분
13. 역탄젠트의 도함수
14. 자연로그의 도함수
15. 대수 함수의 도함수
16. 지수의 미분
17. 지수 함수의 도함수

차별화 규칙

1. 합 또는 차의 미분
2. 파생 상품
2a. 상수 인수를 곱한 식의 도함수
3. 몫의 도함수
4. 복소함수의 도함수

규칙 1함수인 경우

어떤 지점에서 미분 가능하고 같은 지점에서 함수

그리고

저것들. 함수의 대수적 합의 도함수는 이러한 함수의 도함수의 대수적 합과 같습니다.

결과. 두 개의 미분 가능 함수가 상수에 의해 다른 경우 해당 미분은 다음과 같습니다., 즉.

규칙 2함수인 경우

가 어떤 점에서 미분가능하다면 그들의 곱도 같은 점에서 미분가능합니다.

그리고

저것들. 두 함수의 곱의 미분은 이러한 각 함수의 곱과 다른 함수의 곱의 합과 같습니다.

결과 1. 미분의 부호에서 상수 요소를 제거할 수 있습니다.:

결과 2. 미분 가능한 여러 함수의 곱의 도함수는 각 인수와 다른 모든 함수의 도함수의 곱의 합과 같습니다.

예를 들어 3개의 곱셈기의 경우:

규칙 3함수인 경우

어느 시점에서 미분 가능 그리고 , 그런 다음 이 시점에서 그들의 몫도 미분 가능합니다.u/v 및

저것들. 두 함수의 몫의 도함수는 분자가 분모와 분자의 도함수의 곱과 분자와 분모의 도함수의 차이인 분수와 같고 분모는 이전 분자의 제곱입니다. .

다른 페이지에서 볼 수 있는 위치

실제 문제에서 곱의 도함수와 몫을 찾을 때 항상 여러 미분 규칙을 한 번에 적용해야 하므로 이러한 도함수에 대한 더 많은 예제가 기사에 있습니다."곱과 몫의 도함수".

논평.상수(즉, 숫자)를 합계의 항과 상수 요소로 혼동해서는 안 됩니다! 항의 경우 그 도함수는 0이고, 상수인 경우에는 도함수의 부호에서 빼준다. 이는 도함수 공부 초기 단계에서 흔히 발생하는 전형적인 실수인데, 일반 학생이 일-이성분 예제를 여러 개 풀면서 일반 학생은 더 이상 이런 실수를 하지 않습니다.

그리고 곱이나 몫을 구별할 때 용어가 있는 경우 유"V, 여기서 유- 예를 들어 2 또는 5와 같은 숫자, 즉 상수인 경우 이 숫자의 도함수는 0이 되므로 전체 용어는 0이 됩니다(이러한 경우는 예 10에서 분석됨). .

또 다른 일반적인 실수는 복소 함수의 도함수를 단순 함수의 도함수로 기계적으로 해결하는 것입니다. 그래서 복소 함수의 도함수별도의 기사에 전념합니다. 그러나 먼저 간단한 함수의 도함수를 찾는 방법을 배웁니다.

그 과정에서 표현의 변형 없이는 할 수 없습니다. 이렇게 하려면 새 Windows 설명서에서 열어야 할 수 있습니다. 힘과 뿌리가 있는 행동그리고 분수가 있는 작업 .

거듭제곱과 근이 있는 도함수에 대한 솔루션을 찾고 있다면, 즉 함수가 다음과 같을 때 , 그런 다음 " 거듭제곱과 근을 가진 분수의 합의 도함수" 수업을 따르십시오.

다음과 같은 작업이 있는 경우 , "단순 삼각 함수의 도함수" 수업에 있습니다.

단계별 예 - 미분을 찾는 방법

예 3함수의 도함수 찾기

해결책. 우리는 함수 표현의 부분을 결정합니다. 전체 표현은 곱을 나타내고 그 요소는 합계이며, 두 번째는 항 중 하나에 상수 요소가 포함되어 있습니다. 제품 차별화 규칙을 적용합니다. 두 함수의 곱의 미분은 이러한 각 함수의 곱과 다른 함수의 곱의 합과 같습니다.

다음으로, 합의 미분 규칙을 적용합니다. 함수의 대수적 합의 미분은 이러한 함수의 미분의 대수적 합과 같습니다. 우리의 경우 각 합계에서 빼기 기호가 있는 두 번째 용어입니다. 각각의 합에서 우리는 미분이 1인 독립 변수와 미분이 0인 상수(숫자)를 모두 봅니다. 따라서 "x"는 1로, 마이너스 5는 0으로 바뀝니다. 두 번째 식에서 "x"는 2를 곱하므로 "x"의 미분과 같은 단위로 2를 곱합니다. 파생 상품의 다음 값을 얻습니다.

우리는 발견된 도함수를 곱의 합으로 대체하고 문제 조건에 필요한 전체 함수의 도함수를 얻습니다.

그리고 미분에서 문제의 해를 확인할 수 있습니다.

예 4함수의 도함수 찾기

해결책. 몫의 도함수를 찾아야 합니다. 우리는 몫을 미분하기 위한 공식을 적용합니다: 두 함수의 몫의 도함수는 분자가 분모의 곱과 분자의 도함수 및 분자와 분모의 도함수의 차이인 분수와 같습니다. 분모는 이전 분자의 제곱입니다. 우리는 다음을 얻습니다.

우리는 이미 예 2에서 분자의 인수의 도함수를 찾았습니다. 또한 현재 예에서 분자의 두 번째 인수인 곱이 빼기 기호로 취해진 것을 잊지 마십시오.

예를 들어 다음과 같이 근과 도의 연속 더미가 있는 함수의 도함수를 찾아야 하는 문제에 대한 솔루션을 찾고 있다면 다음과 같습니다. 그럼 수업에 오신 것을 환영합니다 "제곱과 근을 가진 분수의 합의 도함수" .

사인, 코사인, 탄젠트 및 기타 삼각 함수의 도함수에 대해 자세히 알아야 하는 경우, 즉 함수가 다음과 같은 경우 , 그럼 당신은 수업이 있습니다 "단순 삼각함수의 도함수" .

실시예 5함수의 도함수 찾기

해결책. 이 함수에서 우리는 독립 변수의 제곱근인 요인 중 하나인 제품을 봅니다. 파생 상품 테이블에서 친숙한 파생 상품이 있습니다. 제품 차별화 규칙과 제곱근 미분의 표 값에 따라 다음을 얻습니다.

에서 미분 문제의 솔루션을 확인할 수 있습니다. 파생 계산기 온라인 .

실시예 6함수의 도함수 찾기

해결책. 이 함수에서 우리는 배당금이 독립 변수의 제곱근인 몫을 봅니다. 예 4에서 반복하고 적용한 몫의 미분 규칙과 제곱근 미분의 표 값에 따라 다음을 얻습니다.

분자에서 분수를 제거하려면 분자와 분모에 .

임의의 근의 도함수 공식의 일반적인 경우- 분자가 1인 분수, 분모는 도함수가 계산된 근의 정도와 같은 수이고, 같은 정도의 근을 곱한 수이며, 그 근 표현은 도함수가 계산된 근의 정도, 1 감소
제곱근의 도함수- 이전 수식의 특수한 경우입니다. x의 제곱근의 도함수분자가 1이고 분모가 x의 제곱근의 2배인 분수입니다.
세제곱근 파생물, 또한 일반 공식의 특별한 경우입니다. 세제곱근의 도함수는 단위를 세 세제곱근 x 제곱으로 나눈 값입니다.

다음은 제곱근과 세제곱근의 도함수를 찾는 공식이 그림에 표시된 것과 정확히 같은 이유를 설명하는 변환입니다.

물론 미분도의 근을 추출하는 것이 분모가 같은 정도인 거듭제곱으로 분수를 올리는 것과 같다는 점을 고려하면 이러한 공식은 전혀 외울 수 없습니다. 그러면 근의 도함수를 구하는 것은 해당 분수의 차수의 도함수를 구하는 공식을 적용하는 것으로 환원된다..

제곱근 아래 변수의 도함수

(√x)" = 1 / (2√x)또는 1/2 x -1/2

설명:
(√x)" = (x 1/2)"

제곱근은 1/2의 거듭제곱과 정확히 같은 연산입니다.이것은 근의 도함수를 찾기 위해 변수의 도함수를 찾기 위한 규칙의 공식을 임의의 정도로 적용할 수 있음을 의미합니다.

(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

세제곱근의 도함수(3차 근의 도함수)

세제곱근의 도함수는 정확히 제곱근과 같습니다.

세제곱근을 1/3의 거듭제곱으로 상상하고 일반적인 미분 규칙에 따라 도함수를 찾으십시오. 위의 그림에서 간단한 수식을 볼 수 있으며 아래에 그 이유에 대한 설명이 나와 있습니다.

-2/3의 거듭제곱은 1/3에서 1을 뺀 값입니다.

지침

근의 도함수를 찾기 전에 풀고 있는 예에 있는 다른 함수에 주의를 기울이십시오. 문제에 급진적 표현이 많은 경우 다음 규칙을 사용하여 제곱근의 도함수를 찾습니다.

(√x)" = 1 / 2√x.

세제곱근의 도함수를 찾으려면 다음 공식을 적용하십시오.

(³√x)" \u003d 1 / 3 (³√x)²,

여기서 ³√x는 x의 세제곱근을 나타냅니다.

미분을 위해 fractional 에 변수가 있는 경우 적절한 지수를 사용하여 근을 거듭제곱 함수로 변환합니다. 제곱근의 경우 이것은 ½의 거듭제곱이고 세제곱근의 경우 ⅓입니다.

√x \u003d x ^ ½,
³√x = x ^ ⅓,

여기서 ^는 거듭제곱을 나타냅니다.

일반적으로 거듭제곱 함수, 특히 x^1, x^⅓의 도함수를 찾으려면 다음 규칙을 사용하십시오.

(x ^ n)" = n * x^(n-1).

근의 도함수에 대해 이 관계는 다음을 의미합니다.

(x^½)" = ½ x ^ (-½) 및
(x^⅓)" = ⅓ x ^ (-⅔).

모든 것을 차별화했으면 예제의 나머지 부분을 자세히 살펴보십시오. 답변에 매우 성가신 표현이 있다면 확실히 단순화할 수 있습니다. 대부분의 학교 예문은 결과가 작은 숫자 또는 간결한 표현이 되도록 설계되었습니다.

많은 미분 문제에서 근(정사각형 및 정육면체)은 다른 함수와 함께 발생합니다. 이 경우 근의 도함수를 찾으려면 다음 규칙을 적용하십시오.
상수의 도함수(상수, C)는 0과 같습니다. C" = 0;
도함수의 부호에서 상수 인수를 취합니다: (k*f)" = k * (f)" (f는 임의의 함수임) ;
여러 함수의 합의 미분은 미분의 합과 같습니다: (f + g)" = (f)" + (g)";
두 함수의 곱의 도함수는 ... 아니요, 도함수의 곱이 아니라 다음과 같은 표현입니다: (fg)" = (f)"g + f (g)";
몫의 미분도 미분의 몫과 같지 않지만 다음 규칙에 따라 구합니다: (f / g)" = ((f)"g - f(g)") / g².

메모

이 페이지에서 문제에 대한 자세한 솔루션과 함께 함수의 미분을 온라인으로 계산할 수 있습니다. 함수의 미분해는 본 학원의 수학적 분석 과정에서 수강생들이 공부하는 미분법칙을 이용하여 구한다. 함수의 도함수를 찾으려면 데이터 입력 규칙에 따라 "함수" 필드에 미분할 함수를 입력해야 합니다.

유용한 조언

함수의 미분은 인수의 증가가 0이 될 때 인수의 증가에 대한 함수의 증가 비율의 한계입니다. 이 정의의 수학적 의미는 이해하기 쉽지 않습니다. 학교 대수 과정에서 함수의 극한 개념은 전혀 연구되지 않거나 매우 피상적으로 연구됩니다. 그러나 다양한 함수의 미분을 찾는 방법을 배우기 위해서는 이것이 필요하지 않습니다.

출처:

x의 루트 미분

거듭제곱 함수의 미분 공식 유도(x의 a 거듭제곱). x에서 근의 도함수가 고려됩니다. 고차 거듭제곱 함수의 도함수 공식. 파생 상품 계산의 예.

콘텐츠

또한보십시오: 거듭제곱 함수 및 근, 공식 및 그래프
멱함수 플롯

기본 공식

x의 a 거듭제곱은 a 곱하기 x의 a-1 거듭제곱입니다.
(1) .

x의 n제곱근의 m제곱의 도함수는 다음과 같습니다.
(2) .

거듭제곱 함수의 도함수 공식 유도

사례 x > 0

지수 a를 갖는 변수 x의 거듭제곱 함수를 고려하십시오.
(3) .
여기서 a는 임의의 실수입니다. 먼저 경우를 생각해 봅시다.

함수(3)의 도함수를 찾기 위해 거듭제곱 함수의 속성을 사용하고 다음 형식으로 변환합니다.
.

이제 다음을 적용하여 미분을 찾습니다.
;
.
여기 .

공식 (1)이 증명되었습니다.

x의 차수 n의 근을 차수 m으로 도함수에 대한 공식 유도

이제 다음 형식의 루트인 함수를 고려하십시오.
(4) .

도함수를 찾기 위해 근을 거듭제곱 함수로 변환합니다.
.
공식 (3)과 비교하면
.
그 다음에
.

공식 (1)에 의해 파생물을 찾습니다.
(1) ;
;
(2) .

실제로는 공식 (2)를 외울 필요가 없습니다. 먼저 근을 거듭제곱 함수로 변환한 다음 공식 (1)을 사용하여 도함수를 찾는 것이 훨씬 더 편리합니다(페이지 끝의 예 참조).

경우 x = 0

이면 변수 x =의 값에 대해 거듭제곱 함수도 정의됩니다. 0 . x =에 대한 함수 (3)의 도함수를 찾아봅시다. 0 . 이를 위해 파생 상품의 정의를 사용합니다.
.

대체 x = 0 :
.
이 경우 미분이란 오른쪽 극한을 의미합니다.

그래서 우리는 다음을 찾았습니다.
.
이것으로부터 , 에서임을 알 수 있습니다.
에 , .
에 , .
이 결과는 또한 공식(1)에 의해 얻어진다:
(1) .
따라서 공식 (1)은 x =에도 유효합니다. 0 .

케이스 x< 0

함수 (3)을 다시 고려하십시오.
(3) .
상수 a의 일부 값에 대해서는 변수 x의 음수 값에 대해서도 정의됩니다. 즉, a를 유리수라 하자. 그런 다음 기약할 수 없는 분수로 나타낼 수 있습니다.
,
여기서 m과 n은 공약수가 없는 정수입니다.

n이 홀수이면 변수 x의 음수 값에 대해서도 지수 함수가 정의됩니다. 예를 들어, n = 3 m = 1 x의 세제곱근이 있습니다.
.
x 의 음수 값에 대해서도 정의됩니다.

정의되는 상수 a 의 합리적인 값에 대한 멱함수(3)의 도함수를 찾아봅시다. 이를 위해 다음 형식으로 x를 나타냅니다.
.
그 다음에 ,
.
미분의 부호에서 상수를 취하고 복소 함수의 미분 규칙을 적용하여 미분을 찾습니다.

.
여기 . 하지만
.
왜냐하면 , 그러면
.
그 다음에
.
즉, 공식 (1)은 다음에 대해서도 유효합니다.
(1) .

고차 파생 상품

이제 우리는 전력 함수의 고차 도함수를 찾습니다.
(3) .
우리는 이미 1차 미분을 찾았습니다.
.

미분의 부호에서 상수 a를 취하면 2차 미분을 찾습니다.
.
유사하게, 우리는 3차와 4차의 도함수를 찾습니다:
;

.

여기에서 그것은 분명하다 임의의 n차 도함수다음과 같은 형식이 있습니다.
.

그것을주의해라 a가 자연수인 경우, 이면 n차 미분은 상수입니다.
.
그런 다음 모든 후속 도함수는 0과 같습니다.
,
에 .

미분 예제

예

함수의 도함수를 찾으십시오.
.

근을 거듭제곱으로 변환해 봅시다:
;
.
그런 다음 원래 함수는 다음과 같은 형식을 취합니다.
.

우리는 정도의 파생물을 찾습니다.
;
.
상수의 도함수는 0입니다.
.