Odz 함수 예시. 수학 함수의 영역을 찾는 방법
분수 방정식. ODZ.
주목!
추가사항이 있습니다
특별 조항 555의 자료.
매우 "별로..."인 사람들을 위해
그리고 "아주 많이…"라고 하시는 분들을 위해)
우리는 계속해서 방정식을 마스터합니다. 우리는 이미 1차 방정식과 2차 방정식을 사용하는 방법을 알고 있습니다. 마지막 뷰가 남았습니다 - 분수 방정식. 또는 훨씬 더 정중하게도 호출됩니다. 분수 유리 방정식. 그것은 동일합니다.
분수 방정식.
이름에서 알 수 있듯이 이러한 방정식에는 반드시 분수가 포함됩니다. 하지만 분수뿐만 아니라 다음을 갖는 분수도 있습니다. 분모를 알 수 없음. 적어도 하나. 예를 들어:
분모가 다음과 같다면 상기시켜 드리겠습니다. 숫자, 이는 선형 방정식입니다.
결정하는 방법 분수 방정식? 우선, 분수를 제거하세요! 그 후 방정식은 대부분 선형 또는 이차 방정식으로 변합니다. 그러면 우리는 무엇을 해야 할지 압니다... 어떤 경우에는 5=5와 같은 항등식이나 7=2와 같은 잘못된 표현으로 바뀔 수 있습니다. 그러나 이런 일은 거의 발생하지 않습니다. 이에 대해서는 아래에서 언급하겠습니다.
그런데 분수를 없애는 방법!? 매우 간단합니다. 동일한 동일한 변환을 적용합니다.
전체 방정식에 동일한 표현식을 곱해야 합니다. 모든 분모가 줄어들도록! 모든 것이 즉시 쉬워질 것입니다. 예를 들어 설명하겠습니다. 방정식을 풀어야 합니다.
초등학교에서는 어떻게 가르쳤나요? 우리는 모든 것을 한쪽으로 옮기고 공통 분모로 가져옵니다. 나쁜 꿈처럼 잊어 버려! 분수를 더하거나 뺄 때 해야 할 일은 다음과 같습니다. 아니면 불평등을 가지고 일합니다. 그리고 방정식에서 우리는 모든 분모를 줄일 수 있는 기회를 제공하는 표현식(즉, 본질적으로 공통 분모)을 양쪽에 즉시 곱합니다. 그리고 이 표현은 뭔가요?
왼쪽에서 분모를 줄이려면 다음을 곱해야 합니다. x+2. 그리고 오른쪽에는 2를 곱해야 하는데, 이는 방정식에 다음을 곱해야 함을 의미합니다. 2(x+2). 곱하다:
이것은 일반적인 분수의 곱셈이지만 자세히 설명하겠습니다.
아직 브라켓을 열지 않았으니 참고해주세요 (x + 2)! 그래서 전체적으로 다음과 같이 씁니다.
왼쪽은 완전히 수축됩니다. (x+2), 그리고 오른쪽 2. 이것이 요구된 것입니다! 감소 후에 우리는 얻는다 선의방정식:
그리고 누구나 이 방정식을 풀 수 있어요! 엑스 = 2.
좀 더 복잡한 또 다른 예를 풀어보겠습니다.
3 = 3/1임을 기억한다면, 2배 = 2배/ 1, 우리는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
그리고 다시 우리는 우리가 별로 좋아하지 않는 것, 즉 분수를 제거합니다.
X로 분모를 줄이려면 분수에 다음을 곱해야 한다는 것을 알 수 있습니다. (x – 2). 그리고 몇몇은 우리에게 방해가 되지 않습니다. 글쎄, 곱해보자. 모두왼쪽과 모두오른쪽:
다시 괄호 (x – 2)나는 공개하지 않습니다. 브래킷 전체를 마치 하나의 숫자인 것처럼 작업합니다! 이 작업은 항상 수행되어야 합니다. 그렇지 않으면 아무것도 줄어들지 않습니다.
깊은 만족감으로 우리는 감소합니다 (x – 2)그리고 우리는 분수 없이 자를 사용하여 방정식을 얻습니다!
이제 대괄호를 열어 보겠습니다.
비슷한 것을 가져오고 모든 것을 왼쪽으로 이동하여 다음을 얻습니다.
하지만 그 전에 우리는 다른 문제를 해결하는 방법을 배울 것입니다. 관심이 있습니다. 그건 그렇고, 그건 갈퀴입니다!
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\(\frac(x)(x-1)\) 변수 값은 1과 같으며 규칙을 위반합니다. 0으로 나눌 수는 없습니다.. 따라서 여기서 \(x\)는 단위가 될 수 없으며 ODZ는 다음과 같이 작성됩니다. \(x\neq1\);\(\sqrt(x-2)\) 표현식에서 변수 값이 \(0\)이면 규칙이 위반됩니다. 급진적인 표현은 부정적이어서는 안 됩니다.. 이는 여기서 \(x\)가 \(0\)일 수 없으며 \(1, -3, -52.7\) 등이 될 수 없음을 의미합니다. 즉, x는 2보다 크거나 같아야 하며 ODZ는 다음과 같습니다. \(x\geq2\);
그러나 \(4x+1\) 표현식에서는 X 대신 어떤 숫자로도 대체할 수 있으며 규칙이 깨지지 않습니다. 따라서 여기서 허용되는 값의 범위는 전체 수치 축입니다. 이러한 경우 DZ는 녹음되지 않습니다., 유용한 정보가 포함되어 있지 않기 때문입니다.
준수해야 할 모든 규칙을 찾을 수 있습니다.
방정식의 ODZ
결정할 때 허용되는 값의 범위를 기억하는 것이 중요합니다. 거기에서 우리는 변수의 값을 찾고 있는데 실수로 수학 규칙을 위반하는 변수를 찾을 수 있습니다.
ODZ의 중요성을 이해하기 위해 방정식에 대한 두 가지 솔루션, 즉 ODZ가 있는 솔루션과 ODZ가 없는 솔루션을 비교해 보겠습니다.
예:
방정식을 풀어보세요
해결책
:
| ODZ가 없는 경우: | ODZ 사용: | |
| \(\frac(x^2-x)(x+3)=\frac(12)(x+3)\) | \(\frac(x^2-x)(x+3)=\frac(12)(x+3)\) | |
| ODZ: \(x+3≠0\) \(⇔\) \(x≠-3\) | ||
| \(x^2-x=12\) | \(x^2-x=12\) | |
| \(x^2-x-12=0\) | \(x^2-x-12=0\) | |
| \(D=(-1)^2-4·1·(-12)=49\) | \(D=(-1)^2-4·1·(-12)=49\) | |
| \(x_1=\)\(=4\) | \(x_2=\) \(\frac(-(-1) + \sqrt(49))(2 1)\) \(=4\) | |
| \(x_1=\)\(=-3\) | \(x_2=\) \(\frac(-(-1) - \sqrt(49))(2·1)\)\(=-3\) - ODZ 자격이 없습니다 | |
| 답변 : \(4; -3\) | 답변 : \(4\) |
차이점이 보이나요? 첫 번째 해결 방법에서는 답변에 잘못된 추가 !가 있었습니다. 왜 틀렸나요? 이를 원래 방정식에 대입해 보겠습니다.
\(\frac((-3)^2-(-3))((-3)+3)\)\(=\)\(\frac(12)((-3)+3)\)
\(\frac(12)(0)\) \(=\)\(\frac(12)(0)\)
알다시피, 우리는 왼쪽과 오른쪽 모두에서 계산할 수 없고 의미 없는 표현식을 얻었습니다(결국 0으로 나눌 수 없습니다). 그리고 이러한 가치가 존재하지 않기 때문에 그들이 동일하다는 사실은 더 이상 중요하지 않습니다. 따라서 "\(-3\)"은 부적절하고 관련 없는 루트이며 허용되는 값의 범위는 이러한 심각한 오류로부터 우리를 보호합니다.
그렇기 때문에 첫 번째 솔루션에서는 D를 받고 두 번째 솔루션에서는 A를 받게 됩니다. ODS를 고려하지 않는 것은 사소한 일이 아니라 매우 특정한 실수, 즉 잃어버린 기호나 잘못된 공식의 적용과 같기 때문입니다. 결국 최종 답변은 틀렸습니다!
허용 가능한 값의 범위를 찾으면 풀거나 방정식을 풀어야 하는 경우가 많기 때문에 이를 잘 수행할 수 있어야 합니다.
예 : 표현의 정의역 찾기 \(\sqrt(5-2x)+\) \(\frac(1)(\sqrt(14+5x-x^(2)))\)
해결책 : 수식에는 두 개의 근이 있는데, 그 중 하나가 분모에 있습니다. 이 경우 부과된 제한 사항을 기억하지 못하는 사람은... 기억하는 사람은 누구나 첫 번째 루트 아래의 표현식이 0보다 크거나 같고 두 번째 루트 아래의 표현식이 0보다 크다고 적습니다. 제한 사항이 왜 그런 것인지 이해하십니까?
답변 : \((-2;2,5]\)과학 고문:
1. 소개 3
2. 역사적 스케치 4
3. 방정식과 부등식을 풀 때 ODZ의 “위치” 5-6
4. ODZ 7의 특징과 위험성
5. ODZ – 해결책 8-9가 있습니다
6. ODZ를 찾는 것은 추가 작업입니다. 전환의 동등성 10-14
7. 통합 상태 시험 15-16의 ODZ
8. 결론 17
9. 문학 18
1. 소개
문제: ODZ를 찾는 데 필요한 방정식과 부등식은 대수학 과정에서 체계적인 표현을 위한 자리를 찾지 못했습니다. 이것이 아마도 동료들과 제가 그러한 예를 풀 때 종종 실수를 저지르는 이유일 것입니다. ODZ에 대해.
표적: DL을 고려해야 하는 예에서 상황을 분석하고 논리적으로 올바른 결론을 도출할 수 있습니다.
작업:
1. 이론 자료를 연구합니다.
2. 많은 방정식, 부등식을 푼다: a) 분수-합리적; b) 비합리적이다. c) 로그; d) 역삼각함수를 포함합니다.
3. 연구한 자료를 표준 자료와 다른 상황에 적용합니다.
4. "허용되는 가치의 영역: 이론과 실제"라는 주제로 작품을 만듭니다.
프로젝트:내가 알고 있는 기능을 반복하면서 프로젝트 작업을 시작했습니다. 그 중 다수의 범위는 제한되어 있습니다.
ODZ 발생:
1. 분수 유리 방정식과 부등식을 풀 때
2. 비합리적인 방정식과 부등식을 풀 때
3. 대수방정식과 부등식을 풀 때
4. 역삼각함수가 포함된 방정식과 부등식을 풀 때
다양한 소스(USE 교과서, 교과서, 참고서)의 많은 예제를 해결한 후 다음 원칙에 따라 예제 솔루션을 체계화했습니다.
· 예제를 풀고 ODZ(가장 일반적인 방법)를 고려할 수 있습니다.
· ODZ를 고려하지 않고 예제를 풀 수 있다
· ODZ를 고려해야만 올바른 결정을 내릴 수 있습니다.
작업에 사용된 방법: 1) 분석; 2) 통계 분석; 3) 공제; 4) 분류; 5) 예측.
나는 지난 몇 년 동안 통합 국가 시험 결과 분석을 연구했습니다. DL을 고려해야 하는 예에서는 많은 실수가 있었습니다. 이번에도 강조합니다 관련성내 주제.
2. 역사적 스케치
다른 수학 개념과 마찬가지로 함수 개념도 즉시 발전한 것이 아니라 오랜 발전 과정을 거쳤습니다. P. Fermat의 저서 "평면 및 고체 장소에 대한 소개 및 연구"(1636년, 1679년 출판)에서는 "최종 방정식에 두 개의 알려지지 않은 양이 있을 때마다 장소가 있습니다."라고 말합니다. 본질적으로 여기서 우리는 기능적 의존성과 그 그래픽 표현(Fermat의 "장소"는 선을 의미함)에 대해 이야기하고 있습니다. R. Descartes의 "기하학"(1637)의 방정식에 따른 선 연구는 또한 두 변수의 상호 의존성에 대한 명확한 이해를 나타냅니다. I. Barrow(기하학 강의, 1670)는 차별화와 통합 작업의 상호 역 특성을 기하학적 형태로 설정합니다(물론 이러한 용어 자체를 사용하지 않고). 이는 이미 기능 개념에 대한 완전히 명확한 숙달을 나타냅니다. 우리는 I. Newton에서도 이 개념을 기하학적, 기계적 형태로 발견합니다. 그러나 "함수"라는 용어는 1692년 G. Leibniz에서 처음 등장했으며, 더욱이 현대적인 이해에서는 그렇지 않습니다. G. 라이프니츠는 곡선과 관련된 다양한 세그먼트(예: 점의 가로좌표)를 함수라고 부릅니다. L'Hopital(1696)의 첫 번째 인쇄 과정인 "곡선 지식을 위한 무한소 분석"에서는 "함수"라는 용어가 사용되지 않았습니다.
현대 정의에 가까운 의미의 함수에 대한 첫 번째 정의는 I. Bernoulli(1718)에서 찾을 수 있습니다. "함수는 변수와 상수로 구성된 양입니다." 완전히 명확하지 않은 이 정의는 분석 공식으로 함수를 지정한다는 아이디어에 기반을 두고 있습니다. 동일한 개념이 L. Euler의 정의에도 나타납니다. L. Euler는 “Infinite of Analysis”(1748)에서 다음과 같이 설명합니다. “가변량의 함수는 이 가변량과 숫자 또는 어떤 방식으로든 구성된 분석 표현입니다. 일정한 양.” 그러나 L. Euler는 함수의 개념을 분석 표현과 연결하지 않는 함수에 대한 현대적인 이해에 더 이상 낯설지 않습니다. 그의 "미분 미적분학"(1755)은 다음과 같이 말합니다. "특정 양이 다른 양에 의존하여 후자가 변경되면 그 자체도 변경될 수 있는 경우 전자를 후자의 함수라고 합니다."
19세기 초부터 함수의 개념은 분석적 표현을 언급하지 않은 채 점점 더 정의되어 왔습니다. S. Lacroix는 "미분 및 적분에 관한 논문"(1797-1802)에서 다음과 같이 말합니다. "값이 하나 이상의 다른 수량에 의존하는 모든 수량을 이들 후자의 함수라고 합니다." J. Fourier(1822)의 "열 분석 이론"에는 다음과 같은 문구가 있습니다. 에프엑스(f(x))완전히 임의의 함수, 즉 일반 법칙의 적용 여부와 모든 값에 해당하는 주어진 값의 시퀀스를 나타냅니다. 엑스 0과 일부 값 사이에 포함됨 엑스" N. I. Lobachevsky의 정의는 현대 정의에 가깝습니다. “...함수의 일반적인 개념은 다음의 함수를 요구합니다. 엑스각각에 주어진 번호를 말해보세요 엑스그리고 함께 엑스점차적으로 변화합니다. 함수의 값은 분석적 표현이나 모든 숫자를 테스트하고 그 중 하나를 선택하는 수단을 제공하는 조건을 통해 제공될 수 있습니다. 또는 마지막으로 종속성이 존재하고 알려지지 않은 상태로 남아 있을 수 있습니다. 또한 거기에는 조금 더 낮은 표현이 있습니다: "이론의 넓은 관점은 서로 연결되어 있는 숫자가 마치 함께 주어진 것처럼 이해된다는 의미에서만 의존성의 존재를 허용합니다." 따라서 일반적으로 P. Dirichlet(1837)에 기인하는 분석 작업에 대한 참조가 없는 함수의 현대 정의가 그 이전에 반복적으로 제안되었습니다.
함수 y의 정의 영역(허용 값)은 이 함수가 정의된 독립 변수 x의 값 집합, 즉 독립 변수(인수)의 변경 영역입니다.
3. 방정식과 부등식을 풀 때 허용되는 값 범위의 "위치"
1. 분수 유리 방정식과 부등식을 풀 때분모는 0이 아니어야 합니다.
2. 비합리적인 방정식과 부등식을 해결합니다.
2.1..gif" 폭="212" 높이="51"> .
이 경우 ODZ를 찾을 필요가 없습니다. 첫 번째 방정식에서 얻은 x 값은 다음 부등식을 충족합니다: https://pandia.ru/text/78/083/images/image004_33. gif" width="107" height="27 src=">는 시스템입니다.
방정식에 동일하게 입력되므로 불평등 대신 불평등을 포함할 수 있습니다 https://pandia.ru/text/78/083/images/image009_18.gif" width="220" height="49"> 
https://pandia.ru/text/78/083/images/image014_11.gif" width="239" height="51"> 
3. 로그 방정식과 부등식을 해결합니다.
3.1. 대수 방정식을 푸는 방법
그러나 ODZ의 한 가지 조건만 확인하는 것으로 충분합니다.
3.2..gif" width="115" height="48 src=">.gif" width="115" height="48 src=">
4. 형태의 삼각 방정식시스템과 동일합니다(불평등 대신 시스템 https://pandia.ru/text/78/083/images/image024_5.gif" width="377" height="23">에 불평등을 포함할 수 있습니다. 방정식에
4. 허용치 범위의 특징과 위험성
수학 수업에서는 각 예에서 DL을 찾아야 합니다. 동시에 문제의 수학적 본질에 따르면 ODZ를 찾는 것은 전혀 필수가 아니며 종종 필요하지 않으며 때로는 불가능합니다. 이 모든 것은 예제의 솔루션에 손상을 주지 않습니다. 반면에, 학생들은 예제를 풀고 나면 DL을 고려하는 것을 잊어버리고 이를 최종 답으로 적고 일부 조건만 고려하는 경우가 종종 있습니다. 이런 상황은 잘 알려져 있지만 '전쟁'은 매년 계속되고 있으며 앞으로도 오랫동안 계속될 것 같습니다.
예를 들어 다음 부등식을 생각해 보세요.
여기서는 ODZ를 구하여 부등식을 해결합니다. 그러나 이러한 불평등을 해결할 때 학생들은 때때로 ODZ를 검색하지 않고도 할 수 있다고, 더 정확하게는 조건 없이 할 수 있다고 믿습니다.
실제로 정답을 얻으려면 부등식 과 을 모두 고려해야 합니다.
그러나 예를 들어 방정식에 대한 해법은 다음과 같습니다. https://pandia.ru/text/78/083/images/image032_4.gif" width="79 height=75" height="75">
이는 ODZ로 작업하는 것과 같습니다. 그러나 이 예에서는 이러한 작업이 필요하지 않습니다. 이러한 불평등 중 두 가지만 충족되는지 확인하는 것만으로도 충분합니다.
모든 방정식(부등식)은 다음 형식으로 축소될 수 있음을 상기시켜 드리겠습니다. ODZ는 단순히 왼쪽에 있는 함수의 정의 영역입니다. 이 영역을 모니터링해야 한다는 사실은 주어진 기능의 정의 영역, 즉 ODZ의 숫자로 루트를 정의한 결과입니다. 여기에 이 주제에 대한 재미있는 예가 있습니다..gif" width="20" height="21 src=">는 양수 집합의 정의 영역을 가지고 있습니다. (물론 이것은 다음과 같은 함수를 고려한다는 합의입니다. , 그러나 합리적) -1은 루트가 아닙니다.
5. 허용 가능한 값의 범위 – 해결책이 있습니다
그리고 마지막으로 많은 예에서 ODZ를 찾으면 답을 얻을 수 있습니다. 부피가 큰 레이아웃 없이,아니면 말로라도.
1. OD3은 빈 집합입니다. 즉, 원래 예에는 해가 없음을 의미합니다.
1)
2) 3) 
2. ㄴ오즈 하나 이상의 숫자가 발견되고 간단한 대체만으로 근을 신속하게 결정합니다.
1)
, x=3
2)
여기 ODZ에는 숫자 1만 있고 대체 후에는 루트가 아니라는 것이 분명해집니다.
3) ODZ에는 2와 3의 두 가지 숫자가 있으며 둘 다 적합합니다.
4) > ODZ에는 0과 1이라는 두 개의 숫자가 있는데 1만 적합하다.
ODZ는 표현 자체의 분석과 결합하여 효과적으로 사용될 수 있습니다.
5) 
< ОДЗ: Но в правой части неравенства могут быть только положительные числа, поэтому оставляем х=2. Тогда в неравенство подставим 2.
6) 
ODZ에서 다음과 같습니다. ..gif" width="143" height="24"> ODZ에서 다음이 있습니다. . 하지만 과 . 이후에는 해결책이 없습니다.
ODZ에는 https://pandia.ru/text/78/083/images/image060_0.gif" width="48" height="24">>가 있습니다. 이는 를 의미합니다. 마지막 불평등을 풀면 x를 얻습니다.<- 4, что не входит в ОДЗ. Поэтому решения нет.
3) ODZ: . 그때부터
한편, https://pandia.ru/text/78/083/images/image068_0.gif" width="160" height="24">
ODZ:. 구간 [-1; 0).
이는 다음 불평등을 충족합니다 https://pandia.ru/text/78/083/images/image071_0.gif" width="68" height="24 src=">.gif" width="123" height="24 src=">이고 해결책이 없습니다. 기능 및 https://pandia.ru/text/78/083/images/image076_0.gif" width="179" height="25">. ODZ: x>2..gif" width="233" height ="45 src="> ODZ를 찾아봅시다:
정수 해는 x=3 및 x=5에만 가능합니다. 검사를 통해 루트 x=3이 맞지 않음을 발견했습니다. 이는 답이 x=5임을 의미합니다.
6. 허용 가능한 값의 범위를 찾는 것은 추가 작업입니다. 전환의 동등성.
DZ를 찾지 않고도 상황이 명확한 예를 들 수 있습니다.
1. 
작은 수식에서 큰 수식을 뺄 때 결과는 음수가 되어야 하므로 동일성은 불가능합니다.
2. 
.
음수가 아닌 두 함수의 합은 음수가 될 수 없습니다.
또한 ODZ를 찾는 것이 어렵고 때로는 불가능할 때도 있습니다.
마지막으로 ODZ 검색은 추가 작업인 경우가 많으며, 이를 통해 무슨 일이 일어나고 있는지에 대한 이해를 증명할 수 있습니다. 여기에 제시할 수 있는 예가 엄청나게 많기 때문에 가장 일반적인 예만 선택하겠습니다. 이 경우 주요 해결 방법은 한 방정식(부등식, 시스템)에서 다른 방정식으로 이동할 때 등가 변환입니다.
1.
. x2 = 1인 x 값을 찾았으므로 x = 0을 얻을 수 없기 때문에 ODZ가 필요하지 않습니다.
2. . ODZ는 필요하지 않습니다. 왜냐하면 근호 표현이 언제 양수와 같은지 알아내기 때문입니다.
삼. . 이전 예와 같은 이유로 ODZ는 필요하지 않습니다.
4. 
ODZ는 필요하지 않습니다. 왜냐하면 근호 표현은 일부 함수의 제곱과 같으므로 음수가 될 수 없기 때문입니다.
5. 
6. ..gif" width="271" height="51"> 해결하려면 근수 표현에 대한 하나의 제한만으로 충분합니다. 실제로 작성된 혼합 시스템에서 다른 근수 표현은 음수가 아닙니다.
8. 이전 예와 같은 이유로 DZ는 필요하지 않습니다.
9. 
ODZ는 필요하지 않습니다. 왜냐하면 로그 기호 아래의 세 가지 표현식 중 두 개가 긍정적이면 세 번째 표현식의 긍정성을 보장하는 데 충분하기 때문입니다.
10. 
.gif" width="357" height="51"> 이전 예와 같은 이유로 ODZ는 필요하지 않습니다.
그러나 등가 변환 방법을 사용하여 문제를 해결할 때 ODZ(및 함수 속성)에 대한 지식이 도움이 된다는 점은 주목할 가치가 있습니다.
여기 몇 가지 예가 있어요.
1. . OD3, 이는 우변의 식이 양수임을 의미하며, 이와 동등한 방정식을 다음과 같은 형식으로 작성하는 것이 가능합니다 https://pandia.ru/text/78/083/images/image101_0.gif" width ="112" height="27 "> ODZ: 그런데 이 부등식을 풀 때 우변이 0보다 작은 경우는 고려할 필요가 없습니다.
삼. . ODZ에서는 다음과 같으므로 https://pandia.ru/text/78/083/images/image106_0.gif" width="303" height="48"> 일반적인 전환은 다음과 같습니다. :
https://pandia.ru/text/78/083/images/image108_0.gif" width="303" height="24">
가능한 경우는 두 가지입니다: 0
이는 원래 불평등이 다음 불평등 시스템 세트와 동일하다는 것을 의미합니다.
첫 번째 시스템에는 해가 없지만 두 번째 시스템에서는 다음을 얻습니다. x<-1 – решение неравенства.
동등성 조건을 이해하려면 몇 가지 미묘한 사항에 대한 지식이 필요합니다. 예를 들어, 다음 방정식이 동일한 이유는 무엇입니까?
또는 
그리고 마지막으로 아마도 가장 중요할 것입니다. 사실 등식은 방정식 자체를 일부 변환하면 답의 정확성을 보장하지만 부분 중 하나만 변환하는 데는 사용되지 않습니다. 한 부분에서 약어와 다른 공식을 사용하는 것은 등가 정리에 포함되지 않습니다. 나는 이미 이러한 유형의 몇 가지 예를 제시했습니다. 몇 가지 예를 더 살펴보겠습니다.
1. 이 결정은 당연하다. 왼쪽에서는 로그 함수의 속성에 따라 ..gif" width="111" height="48">라는 표현으로 이동합니다.
이 시스템을 풀면 결과(-2와 2)를 얻지만 숫자 -2가 ODZ에 포함되지 않기 때문에 답이 아닙니다. 그럼 ODS를 설치해야 할까요? 당연히 아니지. 그러나 우리는 해법에서 로그 함수의 특정 속성을 사용했기 때문에 이를 충족하는 조건을 제공해야 합니다. 그러한 조건은 대수 기호 아래의 표현의 긍정성입니다..gif" width="65" height="48">.
2. 
..gif" width="143" height="27 src="> 숫자는 이런 방식으로 대체될 수 있습니다. 
. 누가 이렇게 지루한 계산을 하겠습니까?.gif" width="12" height="23 src="> 조건을 추가하면 https://pandia.ru/text/78/083 숫자만 나오는 것을 바로 알 수 있습니다. / 이 조건을 충족합니다. Images/image128_0.gif" width="117" height="27 src=">) 응시자의 52%가 이를 입증했습니다. 이렇게 낮은 비율의 이유 중 하나는 많은 졸업생이 방정식을 제곱한 후 방정식에서 얻은 근을 선택하지 않았다는 사실입니다.
3) 예를 들어 C1 문제 중 하나에 대한 해결책을 고려하십시오. "함수 그래프의 점이 x의 모든 값을 찾으십시오. 
함수 그래프의 해당 지점 위에 있습니다. 작업은 로그 표현을 포함하는 분수 불평등을 해결하는 것입니다. 우리는 이러한 불평등을 해결하는 방법을 알고 있습니다. 그 중 가장 일반적인 방법은 간격 방법입니다. 그러나 이를 사용하면 응시자는 다양한 실수를 저지릅니다. 불평등의 예를 사용하여 가장 일반적인 오류를 고려해 보겠습니다.
엑스< 10. Они отмечают, что в первом случае решений нет, а во втором – корнями являются числа –1 и . При этом выпускники не учитывают условие 엑스 < 10.
8. 결론
요약하자면, 방정식과 부등식을 해결하는 보편적인 방법은 없다고 말할 수 있습니다. 기계적으로 행동하지 않고 자신이 하고 있는 일을 이해하고 싶을 때마다 딜레마가 발생합니다. 특히 어떤 솔루션을 선택해야 할까요? ODZ를 찾아야 할까요, 말까요? 나는 내가 얻은 경험이 이 딜레마를 해결하는 데 도움이 될 것이라고 생각합니다. ODZ를 올바르게 사용하는 방법을 배워서 실수를 멈추겠습니다. 내가 이것을 할 수 있는지 여부는 시간이 아니라 통합 국가 시험이 알려줄 것입니다.
9. 문학
기타 "대수학과 분석의 시작 10-11" 문제집 및 교과서, M.: "Prosveshchenie", 2002. "초등 수학 핸드북." M.: "Nauka", 1966. 신문 "수학" No. 46, 신문 "수학" No. 신문 "수학" No. "학교 학년 VII-VIII 수학의 역사". M.: "Prosveshchenie", 1982. 등 "실제 통합 국가 시험 작업 버전의 가장 완벽한 버전: 2009/FIPI" - M.: "Astrel", 2009. 등 "통합 국가 시험. 수학. 학생/FIPI 준비를 위한 범용 자료" - M.: "Intelligence Center", 2009. 등. "대수학 및 분석의 시작 10-11." M.: "Prosveshchenie", 2007. "학교 수학 문제 해결에 관한 워크숍(대수학 워크숍)." M.: 교육, 1976. “25,000개의 수학 수업.” M.: “계몽”, 1993. “수학 올림피아드 준비.” M.: "시험", 2006. "어린이를 위한 백과사전 "수학"" 11권, M.: Avanta +; 2002. 사이트 www.의 자료. *****, www. *****.
다양한 문제를 해결할 때 우리는 동일한 표현의 변형을 수행해야 하는 경우가 많습니다. 그러나 어떤 경우에는 어떤 종류의 변형이 허용되지만 다른 경우에는 허용되지 않는 경우가 있습니다. ODZ에서는 진행 중인 변환의 허용 여부를 모니터링하는 측면에서 상당한 지원을 제공합니다. 이에 대해 좀 더 자세히 살펴보겠습니다.
접근 방식의 본질은 다음과 같습니다. 원래 표현식에 대한 변수의 ODZ를 동일한 변환의 결과로 얻은 표현식에 대한 변수의 ODZ와 비교하고 비교 결과를 기반으로 적절한 결론을 도출합니다.
일반적으로 정체성 변환은 다음과 같습니다.
- DL에 영향을 미치지 않습니다.
- ODZ의 확장으로 이어집니다.
- ODZ가 좁아집니다.
예를 들어 각 경우를 설명해 보겠습니다.
표현식 x 2 +x+3·x를 고려하면 이 표현식에 대한 변수 x의 ODZ는 집합 R입니다. 이제 이 표현식을 사용하여 다음과 같은 동일한 변환을 수행해 보겠습니다. 유사한 용어를 제시하므로 결과적으로 x 2 +4·x 형식을 취하게 됩니다. 분명히 이 표현식의 변수 x도 집합 R입니다. 따라서 수행된 변환은 DZ를 변경하지 않았습니다.
계속 진행합시다. x+3/x−3/x라는 표현을 생각해 봅시다. 이 경우, ODZ는 x≠0 조건에 의해 결정되며, 이는 집합 (−무한화, 0)∪(0, +무한) 에 해당합니다. 이 표현식에는 유사한 용어도 포함되어 있으며 이를 줄여서 ODZ가 R인 표현식 x에 도달합니다. 우리가 보는 것: 변환의 결과로 ODZ가 확장되었습니다(원래 표현식에 대해 변수 x의 ODZ에 숫자 0이 추가되었습니다).
변환 후 허용되는 값의 범위를 좁히는 예를 고려해야 합니다. 표현을 써보자 
. 변수 x의 ODZ는 부등식 (x−1)·(x−3)≥0에 의해 결정됩니다. 해당 솔루션의 경우 이는 적합합니다. 예를 들어 결과적으로 (−무한대, 1]∪∪; 편집됨 S. A. Telyakovsky 저 - 17- ed. - M.: Education, 2008. - 240페이지: 아픈 - ISBN 978-5-09-019315-3.
먼저 찾는 방법을 알아볼까요? 함수합의 정의 영역. 그러한 함수는 합계를 구성하는 모든 함수가 의미가 있는 변수의 모든 값에 대해 의미가 있음이 분명합니다. 그러므로 다음 진술의 타당성에 대해서는 의심의 여지가 없습니다.
함수 f가 n 함수 f 1, f 2, …, f n의 합인 경우, 즉 함수 f는 공식 y=f 1 (x)+f 2 (x)+…+f n (x)으로 제공됩니다. ), 함수 f의 정의 영역은 함수 f 1, f 2, ..., f n의 정의 영역의 교차점입니다. 이것을 로 쓰자.
마지막 항목과 유사한 항목을 계속 사용하는 데 동의합니다. 이는 중괄호 안에 작성되거나 모든 조건의 동시 충족을 의미합니다. 이는 편리하고 시스템의 의미와 매우 자연스럽게 공감합니다.
예.
함수 y=x 7 +x+5+tgx가 주어지며, 우리는 함수의 정의 영역을 찾아야 합니다.
해결책.
함수 f는 f 1 - 지수 7의 거듭제곱 함수, f 2 - 지수 1의 거듭제곱 함수, f 3 - 상수 함수 및 f 4 - 접선 함수의 네 가지 함수의 합으로 표시됩니다.
기본 기본 함수의 정의 영역 표를 살펴보면 D(f 1)=(−무한대, +무한), D(f 2)=(−무한대, +무한), D(f 3)= (-무한대, +무한대), 탄젠트 정의 영역은 숫자를 제외한 모든 실수의 집합입니다. 
.
함수 f의 정의 영역은 함수 f 1, f 2, f 3 및 f 4의 정의 영역의 교차점입니다. 이것은 숫자를 제외한 모든 실수의 집합이라는 것이 매우 분명합니다. .
답변:
제외한 모든 실수의 집합 .
찾기로 넘어 갑시다 함수 곱의 정의 영역. 이 경우에도 유사한 규칙이 적용됩니다.
함수 f가 n 함수 f 1, f 2, ..., f n의 곱인 경우, 즉 함수 f는 다음 공식으로 제공됩니다. y=f1(x)f2(x)…fn(x), 그러면 함수 f의 정의 영역은 함수 f 1, f 2, ..., f n의 정의 영역의 교차점입니다. 그래서, .
이는 표시된 영역에 모든 제품 기능이 정의되어 있으므로 이해할 수 있습니다. 따라서 기능 f 자체가 정의됩니다.
예.
Y=3·arctgx·lnx .
해결책.
함수를 정의하는 공식의 우변의 구조는 f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x)로 간주될 수 있습니다. 여기서 f 1은 상수 함수이고, f 2는 아크탄젠트 함수이며, f 3은 e를 밑으로 하는 로그 함수입니다.
우리는 D(f 1)=(−무한대, +무한) , D(f 2)=(−무한대, +무한) 그리고 D(f 3)=(0, +무한) 을 알고 있습니다. 그 다음에 
.
답변:
함수 y=3·arctgx·lnx의 정의 영역은 모든 실수 양수의 집합입니다.
C는 실수인 공식 y=C·f(x)로 주어진 함수 정의 영역을 찾는 데 별도로 집중하겠습니다. 이 함수의 정의 영역과 함수 f의 정의 영역이 일치한다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 실제로 함수 y=C·f(x)는 상수 함수와 함수 f의 곱입니다. 상수 함수의 정의역은 모든 실수의 집합이고, 함수 f의 정의역은 D(f) 입니다. 그러면 함수 y=C f(x)의 정의 영역은 다음과 같습니다. 
, 이것이 표시되어야 하는 것입니다.
따라서 함수 y=f(x)와 y=C·f(x)(여기서 C는 실수임)의 정의 영역이 일치합니다. 예를 들어 근의 정의역은 이며, D(f)는 f 2 (x)가 함수 f 1의 정의역에 포함되는 함수 f 2의 정의역에서 모든 x의 집합이라는 것이 분명해집니다.
따라서, 복잡한 함수의 정의 영역 y=f 1 (f 2 (x))는 두 세트의 교집합입니다: x∈D(f 2)인 모든 x의 집합과 f 2 (x)∈D(f인 모든 x의 집합 1) . 즉, 우리가 채택한 표기법에서 
(이것은 본질적으로 불평등의 시스템입니다).
몇 가지 예시 솔루션을 살펴보겠습니다. 자세한 과정은 이 글의 범위를 벗어나므로 자세히 설명하지 않겠습니다.
예.
함수 y=lnx 2 의 정의 영역을 구합니다.
해결책.
원래 함수는 y=f 1 (f 2 (x))로 표현될 수 있습니다. 여기서 f 1은 밑이 e인 로그이고, f 2는 지수 2인 거듭제곱 함수입니다.
주요 기본 함수 정의의 알려진 영역으로 전환하면 D(f 1)=(0, +) 및 D(f 2)=(−, +)이 있습니다.
그 다음에 
그래서 우리는 우리가 필요로 하는 함수의 정의 영역을 찾았습니다. 그것은 0을 제외한 모든 실수의 집합입니다.
답변:
(−∞, 0)∪(0, +∞) .
예.
함수의 영역은 무엇입니까 
?
해결책.
이 함수는 복잡합니다. y=f 1 (f 2 (x))로 간주할 수 있습니다. 여기서 f 1은 지수가 있는 거듭제곱 함수이고 f 2는 아크사인 함수이므로 정의 영역을 찾아야 합니다.
우리가 알고 있는 내용을 살펴보겠습니다: D(f 1)=(0, +) 및 D(f 2)=[−1, 1] . x∈D(f 2) 및 f 2 (x)∈D(f 1)과 같은 x 값 세트의 교차점을 찾는 것이 남아 있습니다. 
arcsinx>0이 되도록 하려면 arcsine 함수의 속성을 기억하십시오. 아크사인은 [−1, 1] 정의 영역 전체에 걸쳐 증가하고 x=0에서 0이 됩니다. 따라서 간격 (0, 1]의 모든 x에 대해 arcsinx>0입니다.
시스템으로 돌아가 보겠습니다. 
따라서 함수 정의에 필요한 영역은 절반 구간(0, 1]입니다.
답변:
(0, 1] .
이제 일반 형식 y=f 1 (f 2 (...f n (x))))의 복잡한 함수로 넘어가겠습니다. 이 경우 함수 f의 정의 영역은 다음과 같이 구됩니다. 
.
예.
함수의 영역 찾기 
.
해결책.
주어진 복소 함수는 y=f 1 (f 2 (f 3 (x)))로 작성할 수 있습니다. 여기서 f 1 – sin, f 2 – 4차 근 함수, f 3 – log입니다.
우리는 D(f 1)=(−무한대, +무한) , D(f 2)=)
