이 기사에서는 자세히 분석합니다. 숫자의 절대값. 우리는 숫자의 모듈러스에 대한 다양한 정의를 제공하고 표기법을 소개하며 그래픽 삽화를 제공합니다. 이 경우 정의에 따라 숫자의 모듈러스를 찾는 다양한 예를 고려합니다. 그런 다음 모듈의 주요 속성을 나열하고 정당화합니다. 이 기사의 끝에서 복소수의 모듈러스가 결정되고 발견되는 방법에 대해 설명합니다.

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숫자의 계수 - 정의, 표기법 및 예

먼저 소개합니다 계수 지정. 숫자 a의 모듈은 , 즉 숫자의 왼쪽과 오른쪽에 모듈 기호를 형성하는 수직선을 놓을 것입니다. 몇 가지 예를 들어 보겠습니다. 예를 들어 모듈로 -7은 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 모듈 4,125는 로 작성되고 모듈은 로 작성됩니다.

모듈의 다음 정의는 실수 집합의 구성 부분과 관련하여 정수, 유리수 및 비합리수를 참조합니다. 복소수의 모듈러스에 대해 이야기하겠습니다.

정의.

모듈러스는 a가 양수인 경우 a 자체이거나 a가 음수인 경우 a의 반대인 숫자 −a이거나 a=0인 경우 0입니다.

숫자 계수의 음성 정의는 종종 다음 형식으로 작성됩니다. , 이 표기법은 if ​​a>0 , if a=0 , if a<0 .

레코드를 보다 간결한 형식으로 표현할 수 있습니다. . 이 표기법은 if ​​(a가 0보다 크거나 같음)이고<0 .

기록도 있다 . 여기서 a=0인 경우는 별도로 설명해야 한다. 이 경우에는 이지만 −0=0 입니다. 0은 자신과 반대인 숫자로 간주되기 때문입니다.

가져오자 숫자의 모듈러스를 찾는 예주어진 정의로. 예를 들어 숫자 15와 . 찾기부터 시작합시다. 숫자 15가 양수이므로 모듈러스는 정의에 따라 이 숫자 자체, 즉 . 숫자의 모듈러스는 무엇입니까? 는 음수이므로 모듈러스는 숫자의 반대 숫자, 즉 숫자와 같습니다. . 따라서, .

이 단락의 결론에서 숫자의 모듈러스를 찾을 때 실제로 적용하기에 매우 편리한 결론을 제공합니다. 숫자 모듈러스의 정의에서 다음이 따릅니다. 숫자의 계수는 부호에 관계없이 계수 부호 아래의 숫자와 같습니다., 위에서 논의한 예에서 이것은 매우 명확하게 볼 수 있습니다. 유성 진술은 숫자의 모듈러스가 호출되는 이유를 설명합니다. 숫자의 절대값. 따라서 숫자의 모듈러스와 숫자의 절댓값은 하나이며 동일합니다.

거리로 숫자의 모듈러스

기하학적으로 숫자의 모듈러스는 다음과 같이 해석될 수 있습니다. 거리. 가져오자 거리 측면에서 숫자의 계수 결정.

정의.

모듈러스좌표선의 원점에서 숫자 a에 해당하는 점까지의 거리입니다.

이 정의는 첫 번째 단락에 주어진 숫자의 모듈러스 정의와 일치합니다. 이 점을 설명하겠습니다. 원점에서 양수에 해당하는 점까지의 거리는 이 숫자와 같습니다. 0은 기준점에 해당하므로 기준점에서 좌표가 0인 점까지의 거리는 0과 같습니다(단일 세그먼트 및 단일 세그먼트의 일부를 구성하는 세그먼트는 포인트 O에서 얻기 위해 별도로 설정할 필요가 없습니다. 좌표가 0인 지점까지). 원점에서 음의 좌표를 가진 점까지의 거리는 원점에서 좌표가 반대 숫자인 점까지의 거리와 같기 때문에 주어진 점의 좌표와 반대 숫자와 같습니다.

예를 들어 숫자 9의 모듈러스는 원점에서 좌표 9인 점까지의 거리가 9이므로 9입니다. 또 다른 예를 들어보겠습니다. 좌표가 -3.25인 점은 점 O에서 3.25 거리에 있으므로 .

숫자 모듈러스의 소리 정의는 두 숫자의 차이 모듈러스를 정의하는 특수한 경우입니다.

정의.

두 숫자의 차 계수 a와 b는 좌표가 a와 b인 좌표선의 점 사이의 거리와 같습니다.

즉, 좌표선 위의 점 A(a)와 B(b)가 주어지면 점 A에서 점 B까지의 거리는 숫자 a와 b의 차이의 계수와 같습니다. 점 O(기준점)를 점 B로 취하면 이 단락의 시작 부분에 주어진 숫자의 모듈러스 정의를 얻습니다.

산술 제곱근을 통해 숫자의 모듈러스 결정

때때로 발견 산술 제곱근을 통한 모듈러스 결정.

예를 들어, 이 정의에 따라 숫자 -30의 모듈을 계산해 봅시다. 우리는 가지고 있습니다. 마찬가지로 2/3 계수를 계산합니다. .

산술 제곱근 측면에서 숫자의 모듈러스 정의는 이 문서의 첫 번째 단락에 제공된 정의와도 일치합니다. 보여드리겠습니다. a를 양수로 하고 -a를 음수로 하자. 그 다음에 그리고 , a=0이면 .

모듈 속성

이 모듈에는 여러 가지 특징적인 결과가 있습니다. 모듈 속성. 이제 우리는 가장 일반적으로 사용되는 주요 항목을 제공합니다. 이러한 속성을 입증할 때 거리 측면에서 숫자의 모듈러스 정의에 의존합니다.

가장 명백한 모듈 속성부터 시작하겠습니다. 숫자의 모듈러스는 음수가 될 수 없습니다.. 리터럴 형식에서 이 속성은 숫자 a 에 대한 형식을 갖습니다. 이 속성은 정당화하기 매우 쉽습니다. 숫자의 모듈러스는 거리이며 거리는 음수로 표현할 수 없습니다.

모듈의 다음 속성으로 넘어 갑시다. 숫자의 모듈러스는 이 숫자가 0인 경우에만 0과 같습니다.. 0의 모듈러스는 정의상 0입니다. 0은 원점에 해당하고 좌표선의 다른 점은 0에 해당하지 않습니다. 각 실수는 좌표선의 단일 점과 연결되기 때문입니다. 같은 이유로 0 이외의 숫자는 원점 이외의 점에 해당합니다. 그리고 원점에서 점 O 이외의 점까지의 거리는 0이 아닙니다. 두 점 사이의 거리는 이러한 점들이 일치하는 경우에만 0과 같기 때문입니다. 위의 추론은 0의 모듈러스만이 0과 같다는 것을 증명합니다.

계속하세요. 반대 숫자는 동일한 모듈을 갖습니다. 즉, 모든 숫자에 대해 a . 실제로, 좌표가 반대 숫자인 좌표선의 두 점은 원점에서 같은 거리에 있으므로 반대 숫자의 모듈은 동일합니다.

다음 모듈 속성은 다음과 같습니다. 두 숫자의 곱 모듈러스는 이 숫자의 모듈 곱과 같습니다., 그건, . 정의에 따르면 숫자 a와 b의 곱의 모듈러스는 a b if 또는 −(a b) if 입니다. 실수의 곱셈 규칙에 따라 숫자 a와 b의 모듈러스 곱은 a b , , 또는 −(a b) , if , 고려된 속성을 증명합니다.

a를 b로 나누는 몫의 계수는 a의 계수를 b의 계수로 나눈 몫과 같습니다., 그건, . 모듈의 이 속성을 정당화해 보겠습니다. 몫이 곱과 같으므로 . 이전 속성 덕분에 우리는 . 평등을 사용하는 것만 남아 있습니다. 숫자 계수의 정의로 인해 유효합니다.

다음 모듈 속성은 부등식으로 작성됩니다. , a , b 및 c는 임의의 실수입니다. 서면 부등식은 삼각형 부등식. 이를 명확하게 하기 위해 좌표선에서 점 A(a) , B(b) , C(c) 를 취하고 정점이 같은 선에 있는 축퇴 삼각형 ABC 를 고려하십시오. 정의에 따라 차의 계수는 세그먼트 AB의 길이, - 세그먼트 AC의 길이 및 - 세그먼트 CB의 길이와 같습니다. 삼각형의 한 변의 길이는 다른 두 변의 길이의 합을 초과하지 않으므로 부등식은 따라서 부등식도 유지됩니다.

방금 증명된 부등식은 다음 형식에서 훨씬 더 일반적입니다. . 서면 부등식은 일반적으로 다음과 같은 공식이 있는 모듈의 별도 속성으로 간주됩니다. 두 숫자의 합의 모듈러스는 이 숫자의 모듈러스의 합을 초과하지 않습니다.". 그러나 부등식은 부등식 에서 바로 이어집니다. b 대신 −b를 넣고 c=0을 취하면 됩니다.

복소수 계수

주자 복소수의 모듈러스 결정. 우리에게 주어진 복소수, 대수 형식으로 작성 , 여기서 x 및 y는 각각 주어진 복소수 z의 실수 및 허수 부분을 나타내는 실수이며 허수 단위입니다.

모듈러스로 방정식과 부등식 풀기종종 문제를 일으킵니다. 그러나 무엇인지 잘 이해한다면 숫자의 절대값, 그리고 모듈로 부호를 포함하는 표현식을 올바르게 확장하는 방법, 방정식의 존재 모듈 기호 아래의 표현해결에 장애가 되지 않습니다.

약간의 이론. 각 숫자에는 숫자의 절대값과 부호라는 두 가지 특성이 있습니다.

예를 들어 숫자 +5 또는 5는 "+" 기호와 절대값 5를 가집니다.

숫자 -5에는 "-" 기호가 있고 절대값은 5입니다.

숫자 5와 -5의 절대값은 5입니다.

숫자 x의 절대값은 숫자의 모듈러스라고 하며 |x|로 표시됩니다.

보시다시피, 이 숫자가 0보다 크거나 같으면 숫자의 모듈러스는 숫자 자체와 같고, 이 숫자가 음수이면 반대 부호가 있는 숫자와 같습니다.

모듈 기호 아래에 있는 모든 식에도 동일하게 적용됩니다.

모듈 확장 규칙은 다음과 같습니다.

|f(x)|= f(x) ≥ 0인 경우 f(x), 그리고

|f(x)|= - f(x) if f(x)< 0

예를 들어 |x-3|=x-3이면 x-3≥0이고 |x-3|=-(x-3)=3-x이면 x-3이면<0.

모듈러스 기호 아래에 표현식이 포함된 방정식을 풀려면 먼저 다음을 수행해야 합니다. 모듈 확장 규칙에 따라 모듈 확장.

그런 다음 방정식 또는 불평등이 변형됩니다. 두 개의 다른 숫자 간격에 존재하는 두 개의 다른 방정식으로.

모듈러스 기호 아래의 식이 음수가 아닌 수치 간격에 하나의 방정식이 존재합니다.

그리고 두 번째 방정식은 모듈러스 기호 아래의 식이 음수인 구간에 존재합니다.

간단한 예를 들어보겠습니다.

방정식을 풀어봅시다:

|x-3|=-x 2 +4x-3

1. 모듈을 열어봅시다.

|x-3|=x-3≥0인 경우 x-3, 즉 x≥3인 경우

|x-3|=-(x-3)=x-3인 경우 3-x<0, т.е. если х<3

2. 두 개의 숫자 간격이 있습니다: x≥3 및 x<3.

각 구간에서 원래 방정식이 어떤 방정식으로 변환되는지 고려하십시오.

A) x≥3 |x-3|=x-3인 경우 방정식은 다음과 같습니다.

주목! 이 방정식은 구간 x≥3에만 존재합니다!

괄호를 열고 유사한 용어를 지정해 보겠습니다.

이 방정식을 푸십시오.

이 방정식에는 근이 있습니다.

엑스 1 \u003d 0, 엑스 2 \u003d 3

주목! 방정식 x-3=-x 2 +4x-3은 구간 x≥3에만 존재하므로 이 구간에 속하는 근에만 관심이 있습니다. 이 조건은 x 2 =3만 만족합니다.

B) x에서<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

주목! 이 방정식은 구간 x에만 존재합니다.<3!

괄호를 열고 같은 용어를 지정해 봅시다. 우리는 방정식을 얻습니다.

엑스 1 \u003d 2, 엑스 2 \u003d 3

주목! 방정식 3-x \u003d -x 2 + 4x-3은 간격 x에만 존재하기 때문에<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.

따라서 첫 번째 간격에서 루트 x=3만 취하고 두 번째 간격에서 루트 x=2를 취합니다.

MBOU 중등 학교 №17 Ivanov

« 모듈로 방정식»
체계적인 개발

컴파일됨

수학 선생님

Lebedeva N.V.

20010년

주석

1 장 소개

섹션 2. 주요 기능 섹션 3. 계수의 개념에 대한 기하학적 해석 섹션 4. 함수 y = |x|의 그래프 섹션 5 협약

제 2 장

섹션 1. |F(х)| 형식의 방정식 = m (원생동물) 섹션 2. F(|х|) = m 형식의 방정식 섹션 3. |F(х)| 형식의 방정식 = 지(엑스) 섹션 4. |F(х)| 형식의 방정식 = ±F(x)(아름다운) 섹션 5. |F(х)| 형식의 방정식 = |지(엑스)| 섹션 6. 비표준 방정식 풀이의 예 섹션 7. |F(х)| 형식의 방정식 + |지(엑스)| = 0 섹션 8. |а 1 x ± в 1 | ± |a 2 x ± in 2 | ± …|an x ± in n | = m 섹션 9. 여러 모듈을 포함하는 방정식

3장. 모듈러스로 다양한 방정식을 푸는 예.

섹션 1. 삼각 방정식 섹션 2. 지수 방정식 섹션 3. 대수 방정식 섹션 4. 무리 방정식 섹션 5. 고급 복잡성 작업 연습에 대한 답변 서지

설명 참고.

실수의 절대값(모듈러스) 개념은 본질적인 특성 중 하나입니다. 이 개념은 물리, 수학 및 기술 과학의 다양한 분야에서 널리 사용됩니다. 러시아 국방부 프로그램에 따라 중등 학교에서 수학 과정을 가르치는 실습에서 "숫자의 절대 값"이라는 개념이 반복적으로 발생합니다. 6 학년에서는 모듈의 정의 , 기하학적 의미가 소개됩니다. 8 학년에서는 절대 오차의 개념이 형성되고 모듈을 포함하는 가장 간단한 방정식과 부등식의 해가 고려되며 산술 제곱근의 속성이 연구됩니다. 11학년에서 개념은 "뿌리" 섹션에서 찾을 수 있습니다. N학위."교육 경험에 따르면 학생들은 종종 이 자료에 대한 지식이 필요한 작업을 해결하는 데 어려움을 겪고 완료를 시작하지 않고 건너뛰는 경우가 많습니다. 9 학년과 11 학년 과정의 시험 과제 텍스트에도 유사한 과제가 포함되어 있습니다. 또한 대학이 학교 졸업생에게 부과하는 요구 사항은 다릅니다. 즉, 학교 커리큘럼의 요구 사항보다 높은 수준입니다. 현대 사회의 삶에서 특정 정신 기술로 나타나는 수학적 사고 방식의 형성은 매우 중요합니다. 모듈로 문제를 해결하는 과정에서 일반화와 구체화, 분석, 분류와 체계화, 유추 등의 기법을 적용할 수 있는 능력이 요구된다. 이러한 작업의 솔루션을 통해 학교 과정의 주요 섹션에 대한 지식, 논리적 사고 수준 및 초기 연구 기술을 확인할 수 있습니다. 이 작업은 모듈러스를 포함하는 방정식의 솔루션인 섹션 중 하나에 전념합니다. 총 3개의 챕터로 구성되어 있습니다. 첫 번째 장에서는 기본 개념과 가장 중요한 이론적 계산을 소개합니다. 두 번째 장에서는 모듈을 포함하는 9가지 기본 유형의 방정식을 제안하고 이를 해결하는 방법을 고려하며 다양한 수준의 복잡성에 대한 예를 분석합니다. 세 번째 장에서는 더 복잡하고 비표준 방정식(삼각, 지수, 대수 및 무리수)을 제공합니다. 방정식의 각 유형에 대해 독립적인 솔루션을 위한 연습이 있습니다(답변과 지침이 첨부됨). 이 작업의 주요 목적은 교사가 수업을 준비하고 선택 과목을 구성하는 방법론적 지원을 제공하는 것입니다. 이 자료는 고등학생을 위한 교구로도 사용할 수 있습니다. 작업에서 제안된 작업은 흥미롭고 항상 해결하기 쉬운 것은 아니므로 학생들의 학습 동기를 더욱 의식하고 능력을 테스트하며 대학 입학을 위한 학교 졸업생의 준비 수준을 향상시킬 수 있습니다. 제안 된 연습의 차별화 된 선택은 비표준 문제를 해결하는 데 지식을 적용하는 방법을 가르 칠 수있는 기회뿐만 아니라 자료의 재생산 동화 수준에서 창의적인 동화 수준으로의 전환을 의미합니다.

1 장 소개.

섹션 1. 절대값 결정 .

정의 : 실수의 절대값(모듈러스) ㅏ음수가 아닌 숫자라고 합니다. ㅏ또는 -ㅏ. 지정: │ ㅏ │ 항목은 다음과 같습니다. "숫자 a의 모듈" 또는 "숫자 a의 절대값"

│ a > 0인 경우

│a│ = │ 0 if a = 0 (1)

│ - 만약에
예: 1) │2,5│ = 2,5 2) │-7│ = 7 3) │1 - √2│ = √2 – 1

식 모듈 확장:

a) x > 12인 경우 │x - 8│ b) x ≤ -2인 경우 │2x + 3│ │x - 8│= x - 8 │ 2x + 3│= - 2x - 3

섹션 2. 기본 속성.

절대값의 기본 속성을 고려하십시오. 속성 #1: 반대 숫자는 모듈이 동일합니다. │а│=│-а│평등의 정확성을 보여줍시다. 숫자의 정의를 적어 봅시다 - ㅏ : │-a│= (2) 세트 (1)과 (2)를 비교해 봅시다. 분명히, 숫자의 절대 값의 정의 ㅏ그리고 - ㅏ매치업. 따라서, │а│=│-а│
다음 속성을 고려할 때 그들의 증명이 속성 #2: 유한한 수의 실수 합계의 절대값은 항의 절대값 합계를 초과하지 않습니다. 속성 #3: 두 실수 간의 차의 절대값은 절대값의 합을 초과하지 않습니다: │а - в│ ≤│а│+│в│ 속성 #4: 유한한 수의 실수 곱의 절대값은 인수 절대값의 곱과 같습니다. │а · в│=│а│·│в│ 속성 #5: 실수의 몫의 절대값은 절대값의 몫과 같습니다.

섹션 3. 숫자의 모듈러스 개념에 대한 기하학적 해석.

각 실수는 이 실수의 기하학적 표현이 될 세로선의 한 점과 연관될 수 있습니다. 수직선의 각 점은 원점으로부터의 거리에 해당합니다. 원점에서 주어진 점까지의 세그먼트 길이. 이 거리는 항상 음수가 아닌 값으로 간주됩니다. 따라서 해당 세그먼트의 길이는 주어진 실수의 절대값에 대한 기하학적 해석이 될 것입니다.

제시된 기하학적 그림은 속성 번호 1을 명확하게 확인합니다. 반대 숫자의 계수는 같습니다. 여기에서 평등의 타당성을 쉽게 이해할 수 있습니다: │x - a│= │a - x│. 방정식 │х│= m, 여기서 m ≥ 0, 즉 x 1.2 = ± m을 푸는 것이 더 명백해집니다. 예: 1) │х│= 4 x 1.2 = ± 4 2) │х - 3│= 1
× 1.2 = 2; 4

섹션 4. 함수 y \u003d │х│의 그래프

이 함수의 도메인은 모두 실수입니다.

섹션 5. 기호.

앞으로 방정식을 푸는 예를 고려할 때 다음과 같은 규칙이 사용됩니다. ( - 시스템 기호 [ - 기호 설정 방정식(부등식)의 시스템을 풀 때 시스템에 포함된 방정식(부등식) 솔루션의 교점이 발견됩니다. 일련의 방정식(부등식)을 풀 때 집합에 포함된 방정식(부등식)의 해의 합집합이 발견됩니다.

제 2 장

이 장에서는 하나 이상의 모듈이 포함된 방정식을 푸는 대수적 방법을 살펴봅니다.

섹션 1. │F (х) │= m 형식의 방정식

이 유형의 방정식을 가장 간단한 방정식이라고 합니다. m ≥ 0인 경우에만 솔루션이 있습니다. 모듈러스의 정의에 따라 원래 방정식은 다음 두 방정식의 조합과 동일합니다. │ 에프(엑스)│=중
예:
№1. 방정식 풀기: │7x - 2│= 9


답: 엑스 1 = - 1; 엑스 2 = 1 4 / 7 №2
│x 2 + 3x + 1│= 1

x 2 + 3x + 2 = 0 x 2 + 3x = 0 x 1 = -1; x 2 \u003d -2 x (x + 3) \u003d 0 x 1 \u003d 0; × 2 = -3 답: 근의 합은 - 2입니다..№3
│x 4 -5x 2 + 2│= 2 x 4 - 5x 2 = 0 x 4 - 5x 2 + 4 = 0 x 2 (x 2 - 5) = 0 표시 x 2 = m, m ≥ 0 x = 0 ; ±√5m 2 – 5m + 4 = 0m = 1; 4 - 두 값 모두 m ≥ 0 x 2 = 1 x 2 = 4 x = ± 1 x = ± 2 조건을 충족합니다. 답: 방정식 7의 근의 수. 수업 과정:
№1. 방정식을 풀고 근의 합을 나타냅니다: │x - 5│= 3 №2 . 방정식을 풀고 더 작은 근을 나타냅니다. │x 2 + x │ \u003d 0 №3 . 방정식을 풀고 더 큰 근을 나타냅니다. │x 2 - 5x + 4 │ \u003d 4 №4 .방정식을 풀고 전체 근을 나타냅니다. │2x 2 - 7x + 6│ \u003d 1 №5 .방정식을 풀고 뿌리의 수를 나타냅니다: │x 4 - 13x 2 + 50 │ = 14

섹션 2. F(│х│) = m 형식의 방정식

왼쪽의 함수 인수는 모듈로 부호 아래에 있고 오른쪽은 변수와 무관합니다. 이 유형의 방정식을 푸는 두 가지 방법을 살펴보겠습니다. 1가지 방법:절대값의 정의에 따라 원래 방정식은 두 시스템의 전체와 동일합니다. 각각에서 하위 모듈 표현식에 조건이 부과됩니다. 에프(│х│) =중
함수 F(│х│)는 정의의 전체 영역에 짝수이므로 방정식 F(х) = m 및 F(-х) = m의 근은 반대 숫자의 쌍입니다. 따라서 시스템 중 하나를 해결하는 것으로 충분합니다(이와 같이 예제를 고려할 때 하나의 시스템에 대한 솔루션이 제공됨). 2가지 방법:새로운 변수를 도입하는 방법의 적용. 이 경우 │х│= a 지정이 도입되며 여기서 a ≥ 0입니다. 이 방법은 설계에서 덜 방대합니다.
예: №1 . 방정식을 풉니다: 3x 2 - 4│x│ = - 1 새로운 변수를 도입해 보겠습니다. │x│= a를 나타냅니다. 여기서 a ≥ 0입니다. 방정식 3a 2 - 4a + 1 = 0 D = 16 - 12 = 4 a 1 = 1 a 2 = 1 / 3 원래 변수로 돌아갑니다. │x │ = 1 및 │х│= 1/3. 각 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 답: 엑스 1 = 1; 엑스 2 = - 1; 엑스 3 = 1 / 3 ; 엑스 4 = - 1 / 3 . №2. 방정식 풀기 : 5x 2 + 3│x│- 1 \u003d 1 / 2 │x│ + 3x 2
첫 번째 세트 시스템의 솔루션을 찾으십시오. 4x 2 + 5x-2 \u003d 0 D \u003d 57 x 1 \u003d -5 + √57 / 8 x 2 \u003d -5-√57 / 8 x 2는 조건 x ≥ 0을 만족하지 않습니다. 솔루션에 의해 두 번째 시스템은 반대 숫자 x 1이 됩니다. 답: 엑스 1 = -5+√57 / 8 ; 엑스 2 = 5-√57 / 8 .№3 . 방정식 풀기 : x 4 - │х│= 0 │х│= a를 나타냅니다. 여기서 a ≥ 0입니다. 우리는 방정식 a 4 - a \u003d 0 a (a 3 - 1) \u003d 0 a 1 \u003d 0을 얻습니다. a 2 \u003d 1 원래 변수로 돌아갑니다. │х│=0 및 │х│= 1 x = 0; ±1 답: 엑스 1 = 0; 엑스 2 = 1; 엑스 3 = - 1.
수업 과정: №6. 방정식 풀기: 2│х│ - 4.5 = 5 - 3/8 │х│ №7 . 방정식을 풀고 답에서 뿌리 수를 나타냅니다. 3x 2 - 7│x│ + 2 = 0 №8 . 답에서 방정식을 풀고 전체 솔루션을 나타냅니다. x 4 + │х│ - 2 = 0

섹션 3. │F(х)│ = G(х) 형식의 방정식

이 유형의 방정식의 우변은 변수에 따라 다르므로 우변이 함수 G(x) ≥ 0인 경우에만 해가 있습니다. 원래 방정식은 두 가지 방법으로 풀 수 있습니다. 1가지 방법:표준은 그 정의에 기반한 모듈의 공개를 기반으로 하며 두 시스템의 조합으로 동등한 전환으로 구성됩니다. │ 에프(엑스)│ =G(엑스)

함수 G(x)에 대한 복잡한 표현과 함수 F(x)에 대한 덜 복잡한 표현의 경우에 이 방법을 사용하는 것이 합리적입니다. 2가지 방법:오른쪽에 조건이 부과되는 등가 시스템으로의 전환으로 구성됩니다. │ 에프(엑스)│= G(엑스)

이 방법은 부등식 G(x) ≥ 0의 해가 가정되기 때문에 함수 G(x)에 대한 표현이 함수 F(x)에 대한 표현보다 덜 복잡하면 사용하기 더 편리합니다. 여러 모듈 중 두 번째 옵션을 사용하려면 이 방법을 권장합니다. 예: №1. 방정식 풀기: │x + 2│= 6 -2x
(1가지 방법) 답: x = 1 1 / 3 №2.
│x 2 - 2x - 1 │ \u003d 2 (x + 1)
(양방향) 답: 근의 곱은 3입니다.
№3. 방정식을 풀고 답에 근의 합을 쓰십시오.
│x-6 │ \u003d x 2-5x + 9

답: 근의 합은 4입니다.
수업 과정: №9. │x + 4│= - 3x №10. 방정식을 풀고 답에서 솔루션 수를 나타냅니다. │x 2 + x - 1 │ \u003d 2x - 1 №11 . 방정식을 풀고 답에서 근의 곱을 나타냅니다. │x + 3 │ \u003d x 2 + x - 6

섹션 4. │F(x)│= F(x) 및 │F(x)│= - F(x) 형식의 방정식

이러한 유형의 방정식은 때때로 "아름다운"이라고 불립니다. 방정식의 우변은 변수에 따라 다르므로 해는 우변이 음수가 아닌 경우에만 존재합니다. 따라서 원래 방정식은 다음 부등식과 동일합니다.
│F(x)│= F(x) F(x) ≥ 0 및 │F(x)│= - F(x) F(x) 예: №1 . 답에서 더 작은 정수 근을 나타냅니다. │5x - 3│ \u003d 5x - 3 5x - 3 ≥ 0 5x ≥ 3 x ≥ 0.6 답: x = 1№2. 방정식을 풀고 답에서 간격의 길이를 나타냅니다. │x 2 - 9 │ \u003d 9 - x 2 x 2 - 9 ≤ 0 (x - 3) (x + 3) ≤ 0 [- 3; 삼] 답: 간격의 길이는 6입니다.№3 . 방정식을 풀고 답에서 정수 솔루션의 수를 나타냅니다. │2 + x - x 2 │ = 2 + x - x 2 2 + x - x 2 ≥ 0 x 2 - x - 2 ≤ 0 [- 1; 2] 답변: 4가지 전체 솔루션.№4 . 방정식을 풀고 답에서 가장 큰 근을 나타냅니다.
│4 - 엑스 -
│= 4 – 엑스 –
x 2-5x + 5 \u003d 0 D \u003d 5 x 1.2 \u003d
≈ 1,4

답: x = 3.

수업 과정: №12. 방정식을 풀고 답에서 전체 루트를 나타냅니다. │x 2 + 6x + 8 │= x 2 + 6x + 8 №13. 방정식을 풀고 답에서 정수 솔루션의 수를 나타냅니다. │13x - x 2 - 36│+ x 2 - 13x + 36 = 0 №14. 방정식을 풀고 답에서 방정식의 근이 아닌 정수를 나타냅니다.

섹션 5. │F(x)│= │G(x)│ 형식의 방정식

방정식의 양쪽이 음수가 아니므로 해결책은 두 가지 경우를 고려하는 것입니다. 하위 모듈 표현식의 부호가 같거나 반대입니다. 따라서 원래 방정식은 다음 두 방정식의 조합과 동일합니다. │ 에프(엑스)│= │ G(엑스)│
예: №1. 방정식을 풀고 답에서 전체 루트를 나타냅니다. │x + 3│ \u003d │2x - 1│
답: 정수 루트 x = 4.№2. 방정식을 풉니다. │ x-x2-1│ \u003d │2x-3-x2 │
답: x = 2.№3 . 답에서 방정식을 풀고 근의 곱을 나타냅니다.




방정식 4x 2 + 2x - 1 \u003d 0 x 1.2 \u003d - 1±√5 / 4의 근 답: 근의 곱은 0.25입니다. 수업 과정: №15 . 방정식을 풀고 답에서 전체 솔루션을 나타냅니다. │x 2 - 3x + 2│ \u003d │x 2 + 6x - 1│ №16. 답에서 더 작은 근을 나타냅니다. │5x - 3│=│7 - x│ №17 . 방정식을 풀고 답에 근의 합을 쓰십시오.

섹션 6. 비표준 방정식 풀이의 예

이 섹션에서는 표현의 절대 값이 정의에 의해 드러나는 솔루션에서 비표준 방정식의 예를 고려합니다. 예:

№1. 방정식을 풀고 답에서 근의 합을 나타냅니다. x │x│- 5x - 6 \u003d 0
답: 근의 합은 1입니다. №2. . 방정식을 풀고 답에서 더 작은 루트를 나타냅니다. x 2 - 4x
- 5 = 0
답: 더 작은 루트 x = - 5. №3. 방정식을 풉니다.

답: x = -1. 수업 과정: №18. 방정식을 풀고 근의 합을 씁니다: x │3x + 5│= 3x 2 + 4x + 3
№19. 방정식 풀기 : x 2 - 3x \u003d

№20. 방정식을 풉니다.

섹션 7. │F(x)│+│G(x)│=0 형식의 방정식

이 유형의 방정식의 왼쪽에 음이 아닌 양의 합이 있음을 쉽게 알 수 있습니다. 따라서 원래 방정식은 두 항이 동시에 0인 경우에만 해를 갖습니다. 방정식은 방정식 시스템과 동일합니다. │ 에프(엑스)│+│ G(엑스)│=0
예: №1 . 방정식을 풉니다.
답: x = 2. №2. 방정식을 풉니다. 답: x = 1. 수업 과정: №21. 방정식을 풉니다. №22 . 방정식을 풀고 답에 근의 합을 쓰십시오. №23 . 답에서 방정식을 풀고 솔루션 수를 나타냅니다.

섹션 8. 형식의 방정식

이 유형의 방정식을 풀기 위해 간격 방법이 사용됩니다. 모듈의 순차적 확장으로 해결하면 N매우 번거롭고 불편한 시스템 세트. 간격 방법의 알고리즘을 고려하십시오. 1). 변수 값 찾기 엑스, 각 모듈은 0과 같습니다(하위 모듈 표현식의 0):
2). 찾은 값은 수직선에 표시되며 간격으로 나뉩니다 (각각 간격의 수는 N+1 ) 삼). 얻은 각 간격에서 각 모듈이 어떤 기호로 표시되는지 결정하십시오 (솔루션을 만들 때 숫자 선을 사용하여 기호를 표시 할 수 있음) 4). 원래 방정식은 세트와 동일합니다. N+1 변수의 구성원이 표시되는 각각의 시스템 엑스간격 중 하나입니다. 예: №1 . 방정식을 풀고 답에서 가장 큰 근을 나타냅니다.
1). 하위 모듈 표현식의 0을 찾아봅시다: x = 2; x = -3 2). 찾은 값을 수직선에 표시하고 각 모듈이 얻은 간격에 어떤 기호로 표시되는지 결정합니다.
x – 2 x – 2 x – 2 - - + - 3 2x 2x + 6 2x + 6 2x + 6 - + + 3)
- 해 없음 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 답: 가장 큰 루트는 x = 2입니다. №2. 방정식을 풀고 답에 전체 근을 쓰십시오.
1). 하위 모듈 표현식의 0을 찾아봅시다: x = 1.5; x = - 1 2). 찾은 값을 수직선에 표시하고 얻은 간격에서 각 모듈이 어떤 기호로 표시되는지 결정합니다. x + 1 x + 1 x + 1 - + +
-1 1.5 x 2х – 3 2х – 3 2х – 3 - - +
3).
마지막 시스템에는 해가 없으므로 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 방정식을 풀 때 두 번째 모듈 앞의 "-" 기호에 주의해야 합니다. 답: 정수 루트 x = 7. №3. 방정식을 풀고 답에서 근의 합을 나타냅니다. 1). 하위 모듈 표현식의 0을 찾아봅시다: x = 5; x = 1; x = - 2 2). 발견 된 값을 수직선에 표시하고 얻은 간격에서 각 모듈이 어떤 기호로 표시되는지 결정합니다. x - 5 x - 5 x - 5 x - 5 - - - +
-2 1 5 x x – 1 x – 1 x – 1 x – 1 - - + + x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 - + + +
3).
방정식에는 두 개의 근 x = 0과 2가 있습니다. 답: 근의 합은 2입니다. №4 . 방정식을 푸십시오: 1). 하위 모듈 표현식의 0을 찾아봅시다: x = 1; x = 2; x = 3. 2). 얻은 간격에서 각 모듈이 확장되는 부호를 결정합시다. 삼).
우리는 처음 세 시스템의 솔루션을 결합합니다. 답변: ; 엑스 = 5.
수업 과정: №24. 방정식을 풉니다.
№25. 방정식을 풀고 답에 근의 합을 쓰십시오. №26. 답에서 방정식을 풀고 더 작은 근을 나타냅니다. №27. 방정식을 풀고 답에 더 큰 근을 입력하십시오.

섹션 9. 여러 모듈을 포함하는 방정식

여러 모듈을 포함하는 방정식은 하위 모듈 표현식에 절대 값이 있다고 가정합니다. 이 유형의 방정식을 푸는 기본 원칙은 "외부"부터 시작하여 모듈을 순차적으로 공개하는 것입니다. 솔루션 과정에서 섹션 1, 3에서 설명한 기술이 사용됩니다.

예: №1. 방정식을 풉니다.
답변: x = 1; - 열하나. №2. 방정식을 풉니다.
답변: x = 0; 4; - 4. №3. 답에서 방정식을 풀고 근의 곱을 나타냅니다.
답: 근의 곱은 8입니다. №4. 방정식을 풉니다.
모집단 방정식을 나타냅니다. (1) 그리고 (2) 설계의 편의를 위해 각각의 솔루션을 개별적으로 고려하십시오. 두 방정식 모두 하나 이상의 모듈을 포함하므로 일련의 시스템으로 동등한 전환을 수행하는 것이 더 편리합니다. (1)

(2)


답변:
수업 과정: №36. 방정식을 풀고 답에서 근의 합을 나타냅니다. 5 │3x-5│ \u003d 25 x №37. 근이 둘 이상인 경우 방정식을 풀고 답에 근의 합을 나타냅니다. │x + 2│ x - 3x - 10 = 1 №38. 방정식 풀기 : 3 │2x -4│ \u003d 9 │x│ №39. 방정식을 풀고 답에서 근의 수를 나타냅니다. 2 │ sin x │ = √2 №40 . 답에서 방정식을 풀고 뿌리의 수를 나타냅니다.

섹션 3. 대수 방정식.

다음 방정식을 풀기 전에 로그와 로그 함수의 속성을 검토할 필요가 있습니다. 예: №1. 방정식을 풀고 답에서 근의 곱을 나타냅니다. log 2 (x + 1) 2 + log 2 │x + 1 │ \u003d 6 O.D.Z. x+1≠0 x≠ - 1

사례 1: x ≥ - 1이면 log 2(x+1) 2 + log 2(x+1) = 6 log 2(x+1) 3 = log 2 2 6(x+1) 3 = 2 6 x+1 = 4 x = 3 – 조건 x ≥ - 1을 충족 2 경우: x log 2 (x+1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x+1) 2 + log 2 (-(x+1)) = 6 log 2 (-(x+1) 3) = log 2 2 6- (x+1) 3 = 2 6- (x+1) = 4 x = - 5 – 조건 x - 1 만족
답: 근의 곱은 15입니다.
№2. 답에서 방정식을 풀고 근의 합을 나타냅니다. lg
O.D.Z.

답: 근의 합은 0.5입니다.
№3. 방정식 풀기: log 5
O.D.Z.

답: x = 9. №4. 방정식 풀기: │2 + log 0.2 x│+ 3 = │1 + log 5 x│ O.D.Z. x > 0 다른 기지로 이동하는 공식을 사용합시다. │2 - log 5 x│+ 3 = │1 + log 5 x│
│2 - log 5 x│- │1 + log 5 x│= - 3 하위 모듈 표현식의 0을 찾아봅시다: x = 25; x \u003d 이 숫자는 허용 값의 영역을 세 개의 간격으로 나누므로 방정식은 세 시스템의 전체와 동일합니다.
답변: )