미분 공식이 필요한 이유는 무엇입니까? 미분, 미분의 규칙 및 공식

24.09.2019

비디오 코스 "Get an A"에는 60-65점으로 수학 통합 상태 시험에 성공적으로 합격하는 데 필요한 모든 주제가 포함되어 있습니다. 수학 프로필 통합 상태 시험의 모든 작업 1-13을 완료했습니다. 수학 기본 통합 상태 시험에 합격하는 데에도 적합합니다. 90~100점으로 통합 상태 시험에 합격하려면 파트 1을 30분 안에 실수 없이 풀어야 합니다!

10~11학년과 교사를 위한 통합 국가 시험 준비 과정입니다. 수학 통합 상태 시험 파트 1(처음 12개 문제)과 문제 13(삼각법)을 해결하는 데 필요한 모든 것입니다. 그리고 이것은 통합 상태 시험에서 70점이 넘으며, 100점 학생도 인문학 학생도 그것 없이는 할 수 없습니다.

필요한 모든 이론. 통합 상태 시험의 빠른 솔루션, 함정 및 비밀. FIPI Task Bank 파트 1의 모든 현재 작업이 분석되었습니다. 이 과정은 Unified State Exam 2018의 요구 사항을 완전히 준수합니다.

이 과정에는 5개의 큰 주제가 포함되어 있으며 각 주제는 2.5시간입니다. 각 주제는 처음부터 간단하고 명확하게 제공됩니다.

수백 개의 통합 상태 시험 과제. 단어 문제와 확률 이론. 문제 해결을 위한 간단하고 기억하기 쉬운 알고리즘입니다. 기하학. 모든 유형의 통합 상태 시험 작업에 대한 이론, 참고 자료, 분석. 입체 측정. 까다로운 솔루션, 유용한 치트 시트, 공간적 상상력 개발. 처음부터 삼각법 문제 13. 벼락치기 대신 이해하기. 복잡한 개념에 대한 명확한 설명. 대수학. 근, 거듭제곱, 로그, 함수 및 도함수. 통합 국가 시험 파트 2의 복잡한 문제를 해결하기 위한 기초입니다.

기본 함수의 도함수 표

정의 1

파생 계산이 호출됩니다. 분화.

도함수 $y"$ 또는 $\frac(dy)(dx)$를 나타냅니다.

참고 1

미분의 기본 규칙에 따라 함수의 도함수를 찾으려면 함수를 다른 함수로 변환해야 합니다.

파생상품 표를 살펴보겠습니다. 도함수를 찾은 후 함수가 다른 함수로 변환된다는 사실에 주목합시다.

유일한 예외는 $y=e^x$이며, 이는 자기 자신으로 변합니다.

파생상품 차별화 규칙

대부분의 경우 도함수를 찾을 때 도함수 표만 보는 것이 아니라 먼저 미분 규칙과 곱의 도함수 증명을 적용한 다음 기본 함수의 도함수 표를 사용해야 합니다.

1. 미분 부호에서 상수를 빼냅니다.

$C$는 상수입니다.

실시예 1

$y=7x^4$ 함수를 미분합니다.

해결책.

$y"=(7x^4)"$를 찾습니다. 도함수 기호에서 $7$라는 숫자를 취하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

$y"=(7x^4)"=7(x^4)"=$

표를 사용하여 검정력 함수의 미분 값을 찾아야 합니다.

$=7 \cdot 4x^3=$

결과를 수학에서 허용되는 형식으로 변환해 보겠습니다.

답변:$28x^3$.

2. 합(차)의 미분은 미분의 합(차)과 같습니다.

$(u \pm v)"=u" \pm v"$.

실시예 2

함수 $y=7+x-5x^3+4 \sin x-9\sqrt(x^2)+\frac(4)(x^4) -11\cot x$를 미분합니다.

해결책.

$y"=(7+x-5x^5+4 \sin x-9\sqrt(x^2)+\frac(4)(x^4) -11\cot x)"=$

미분의 합과 차를 구별하는 규칙을 적용합니다.

$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4 \sin x)"-(9\sqrt(x^2))"+(\frac(4)(x^4) )"-(11\침대 x)"=$

미분할 때 모든 거듭제곱과 근은 $x^(\frac(a)(b))$ 형식으로 변환되어야 합니다.

도함수 기호에서 모든 상수를 제거해 보겠습니다.

$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4\sin x)"-(9x^(\frac(2)(5)))"+(4x^(-4) )"-(11\침대 x)"=$

$=(7)"+(x)"-5(x^5)"+4(\sin x)"-9(x^(\frac(2)(5)))"+4(x^( -4))"-11(\cot x)"=$

미분 규칙을 이해한 후에는 긴 표현식을 다시 작성하는 것을 피하기 위해 그 중 일부(예: 마지막 두 개)가 동시에 적용됩니다.

우리는 도함수 기호 아래의 기본 함수로부터 표현식을 얻었습니다. 파생상품표를 사용해 보겠습니다.

$=0+1-5 \cdot 5x^4+4\cos x-9 \cdot \frac(2)(5) x^(-\frac(3)(5))+12x^(-5)- 11 \cdot \frac(-1)(\sin^2 x)=$

이를 수학에서 허용되는 형식으로 변환해 보겠습니다.

$=1-25x^4+4 \cos x-\frac(18)(5\sqrt(x^3))+\frac(12)(x^5) +\frac(11)(\sin^2 x)$

결과를 찾을 때 분수 거듭제곱이 있는 용어를 근으로, 음수 거듭제곱이 있는 용어를 분수로 변환하는 것이 일반적입니다.

답변: $1-25x^4+4 \cos x-\frac(18)(5\sqrt(x^3))+\frac(12)(x^5) +\frac(11)(\sin^2 x )$.

3. 함수 곱의 미분 공식:

$(uv)"=u" v+uv"$.

실시예 3

함수 $y=x^(11) \ln x$를 미분합니다.

해결책.

먼저 함수 곱의 도함수를 계산하는 규칙을 적용한 다음 도함수 표를 사용합니다.

$y"=(x^(11) \ln x)"=(x^(11))" \ln x+x^(11) (\lnтx)"=11x^(10) \ln x+x^ (11) \cdot \frac(1)(x)=11x^(10) \ln x-\frac(x^(11))(x)=11x^(10) \ln x-x^(10)=x ^(10) (11 \ln x-1)$.

답변: $x^(10) (11 \ln x-1)$.

4. 부분 함수의 미분 공식:

$(\frac(u)(v))"=\frac(u" v-uv")(v^2)$.

실시예 4

$y=\frac(3x-8)(x^5-7)$ 함수를 미분합니다.

해결책.

$y"=(\frac(3x-8)(x^5-7))"=$

수학 연산의 우선 순위 규칙에 따라 먼저 나눗셈을 수행한 다음 덧셈과 뺄셈을 수행하므로 먼저 몫의 미분 계산 규칙을 적용합니다.

$=\frac((3x-8)" (x^5-7)-(3x-8) (x^5-7)")((x^5-7)^2) =$

합과 차의 도함수 규칙을 적용하고 괄호를 열고 표현식을 단순화해 보겠습니다.

$=\frac(3(x^5-7)-5x^4 (3x-8))((x^5-7)^2) =\frac(3x^5-21-15x^5+40x^ 4)((x^5-7)^2) =\frac(-12x^5+40x^4-21)((x^5-7)^2)$ .

답변:$\frac(-12x^5+40x^4-21)((x^5-7)^2)$.

실시예 5

$y=\frac(x^7-2x+3)(x)$ 함수를 미분해 보겠습니다.

해결책.

함수 y는 두 함수의 몫이므로 몫의 도함수를 계산하는 규칙을 적용할 수 있지만, 이 경우 번거로운 함수를 얻게 됩니다. 이 함수를 단순화하기 위해 분자를 분모로 나눌 수 있습니다.

$y=\frac(x^7-13x+9)(x)=x^6-13+\frac(9)(x)$.

함수의 합과 차를 미분하는 규칙을 단순화된 함수에 적용해 보겠습니다.

$y"=(x^6-13+\frac(9)(x))"=(x^6)"+(-13)"+9(x^(-1))"=6x^5+ 0+9 \cdot (-x^(-2))=$

$=6x^5-\frac(9)(x^2)$.

답변: $6x^5-\frac(9)(x^2)$.

함수 y = f(x)를 구간 X에서 정의합니다. 유도체 xo 지점에서의 함수 y = f(x)를 극한이라고 합니다.

이 한도라면 한정된,그런 다음 함수 f(x)가 호출됩니다. 미분가능한그 시점에 xo; 게다가 이 시점에서는 필연적으로 연속인 것으로 밝혀졌습니다.

고려중인 한도가 ¥ (또는 - ¥)과 같은 경우 해당 지점의 함수는 다음과 같습니다. 엑스오연속인 경우, 함수 f(x)가 해당 지점에 있다고 말할 것입니다. x o 무한 미분.

파생 상품은 기호로 표시됩니다

y ¢, f ¢(xo), , .

파생상품을 찾는 것이 호출됩니다. 분화기능. 미분의 기하학적 의미도함수는 주어진 점에서 곡선 y=f(x)에 대한 접선의 기울기라는 것입니다 엑스오; 물리적 의미 -시간에 대한 경로의 도함수는 t o 순간에 직선 운동 s = s(t) 동안 이동하는 점의 순간 속도라는 것입니다.

만약에 와 함께은 상수이고 u = u(x), v = v(x)는 일부 미분 함수인 경우 다음 미분 규칙이 유효합니다.

1) (c) " = 0, (cu) " = cu";

2) (u+v)" = u"+v";

3) (uv)" = u"v+v"u;

4) (u/v)" = (u"v-v"u)/v 2;

5) y = f(u)이면 u = j(x), 즉 y = f(j(x)) - 복잡한 기능또는 위에 놓기, 미분 가능한 함수 j와 f로 구성된 다음, 또는

6) 함수 y = f(x)에 대해 역 미분 가능 함수 x = g(y) 및 ¹ 0이 있으면 .

도함수의 정의와 미분 규칙을 기반으로 주요 기본 함수의 표 형식 도함수 목록을 작성하는 것이 가능합니다.

1. (u m)" = m u m - 1 u" (m О 아르 자형).

2. (a u)" = a u lna× u".

3. (에유)" = 에유유".

4. (log a u)" = u"/(u ln a).

5. (ln u)" = u"/u.

6. (sin u)" = cos u× u".

7. (cos u)" = - sin u× u".

8. (tg u)" = 1/ cos 2 u× u".

9. (ctg u)" = - u" / sin 2 u.

10. (arcsin u)" = u" / .

11. (arccos u)" = - u" / .

12. (arctg u)" = u"/(1 + u 2).

13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2).

거듭제곱 지수 표현의 미분을 계산해 봅시다
y=u v , (u>0), 여기서 유그리고 V함수의 본질 엑스, 주어진 지점에서 파생 상품이 있음 유",V".

y=u v 등식의 로그를 취하면 ln y = v ln u를 얻습니다.

파생 상품을 다음과 같이 동일시합니다. 엑스규칙 3, 5와 로그 함수의 파생 공식을 사용하여 결과 평등의 양쪽에서 우리는 다음을 얻습니다.

y"/y = vu"/u +v" ln u, 여기서 y" = y (vu"/u +v" ln u).

(u v)"=u v (vu"/u+v" ln u), u > 0.

예를 들어, y = x sin x이면 y" = x sin x (sin x/x + cos x× ln x)입니다.

함수 y = f(x)가 다음 점에서 미분 가능한 경우 엑스, 즉. 이 시점에서 유한 도함수를 가집니다. 와이", 그러면 = y"+a, 여기서 a®0은 Dх® 0이므로 D y = y" Dх + a x입니다.

Dx에 대해 선형인 함수 증분의 주요 부분은 다음과 같습니다. 미분 함수 dy: dy = y" Dx로 표시됩니다. 이 공식에 y=x를 넣으면 dx = x"Dx = 1×Dx = Dx가 됩니다. 따라서 dy=y"dx, 즉 도함수를 나타내는 기호입니다. 분수처럼 여겨질 수 있다.

기능 D 증분 와이는 곡선의 세로좌표의 증분이고, 미분 d는 와이탄젠트의 세로좌표 증분입니다.

함수 y=f(x)에 대한 도함수 y ¢= f ¢(x)를 찾아보겠습니다. 이 파생 상품의 파생 상품이 호출됩니다. 2차 미분함수 f(x), 또는 2차 미분,지정되어 있습니다.

다음은 동일한 방식으로 정의되고 지정됩니다.

3차 미분 - ,

4차 미분 -

그리고 일반적으로 말하면 n차 도함수 - .

실시예 15.함수 y=(3x 3 -2x+1)×sin x의 도함수를 계산합니다.

해결책.규칙 3에 따르면, y"=(3x 3 -2x+1)"×sin x + (3x 3 -2x+1)×(sin x)" =
= (9x 2 -2)sin x + (3x 3 -2x+1)cos x.

실시예 16. y"를 구하면 y = tan x + 입니다.

해결책.합과 몫을 구별하는 규칙을 사용하여 다음을 얻습니다. y"=(tgx + )" = (tgx)" + ()" = + = .

실시예 17.복소 함수 y=의 도함수를 구합니다.
유=x4+1.

해결책.복잡한 함수의 미분 규칙에 따르면 다음과 같은 결과를 얻습니다. y" x =y " u u" x =()" u (x 4 +1)" x =(2u +. u=x 4 +1이므로
(2 x 4 +2+ .

실시예 18.

해결책. y= 함수를 y = e u 및 u = x 2 두 함수의 중첩으로 상상해 보겠습니다. 우리는 다음과 같습니다: y" x =y " u u" x = (e u)" u (x 2)" x = e u ×2x. 대체 x 2대신에 유, 우리는 y=2x 를 얻습니다.

실시예 19.함수 y=ln sin x의 도함수를 구합니다.

해결책. u=sin x라고 하면 복소 함수 y=ln u의 미분은 공식 y" = (ln u)" u (sin x)" x = 로 계산됩니다.

실시예 20.함수 y=의 도함수를 구합니다.

해결책.여러 중첩의 결과로 얻은 복잡한 함수의 경우 규칙 5를 순차적으로 적용하면 해결됩니다.

실시예 21. 도함수 y=ln을 계산합니다.

해결책.로그를 취하고 로그의 속성을 사용하면 다음을 얻습니다.

y=5/3ln(x 2 +4) +7/3ln(3x-1)-2/3ln(6x 3 +1)-1/3tg 5x.

마지막 평등의 양쪽을 차별화하면 다음을 얻습니다.

2.2. 경제학의 한계 분석. 탄력기능

경제 연구에서는 파생상품을 지칭하기 위해 특정 용어가 자주 사용됩니다. 예를 들어, 에프엑스(f(x))생산요소의 비용에 대한 제품의 생산량의 의존성을 표현하는 생산함수 엑스, 저것 f "(x)~라고 불리는 한계생산물; 만약에 g(x)비용 함수, 즉 함수가 있습니다. g(x)생산량에 대한 총 비용의 의존성을 표현합니다. 엑스, 저것 g"(x)~라고 불리는 한계비용.

경제학의 한계 분석- 생산량, 소비량 등이 변할 때 비용 또는 결과의 변화하는 가치를 연구하기 위한 일련의 기술입니다. 한계값 분석을 기반으로 합니다. 대부분의 경우 일반 통계 데이터를 기반으로 한 계획된 계산은 요약 지표 형태로 수행됩니다. 이 경우 분석은 주로 평균값 계산으로 구성됩니다. 그러나 어떤 경우에는 한계값을 고려한 보다 자세한 연구가 필요하다는 것이 밝혀졌습니다. 예를 들어, 미래에 대한 지역의 곡물 생산 비용을 결정할 때, 새로 포함된 최악의 토지에서는 예상되는 곡물 수집량에 따라 비용이 다를 수 있다는 점을 고려합니다. 재배, 생산 비용은 평균 면적보다 높을 것입니다.

두 지표의 관계를 보면 V그리고 엑스분석적으로 주어진다: v = f(x) - 그러면 평균값관계를 나타낸다 v/x, ㅏ 궁극적인- 파생물.

노동생산성 찾기.기능을 알려주세요
u = u(t), 생산된 제품의 수량을 나타냅니다. 유일하는 동안 티. 시간이 지남에 따라 생산되는 제품의 양을 계산해 봅시다.
Dt = 티 1 - 티 0: Du = 유(티 1) - 유(티 0) = 유(티 0 +Dt) - 유(티 0). 평균 노동 생산성생산된 제품의 양과 소비된 시간의 비율, 즉 z 평균.= Du/Dt.

작업자 생산성 t 0 순간의 z(t 0)는 z 평균이 지향하는 한계입니다. Dt®0에서: . 따라서 노동 생산성 계산은 미분 계산으로 귀결됩니다: z(t 0) = u"(t 0).

동종 제품의 생산 비용 K는 제품 수량의 함수입니다. 엑스. 그러므로 K = K(x)라고 쓸 수 있습니다. 생산량이 D만큼 증가한다고 가정하자. 엑스. 생산 수량 x+ Dх는 생산 비용 K(x + Dх)에 해당합니다. 결과적으로 생산량의 증가 D 엑스생산 비용의 증가에 해당합니다 DK = K(x + Dx) - K(x).

생산 비용의 평균 증가분은 DK/Dх입니다. 이는 생산량이 증가하면 단위당 생산 비용이 증가하는 것입니다.

한계라고 합니다 한계 생산 비용.

다음으로 표시하면 너(엑스)판매 수익금 엑스상품의 단위를 말한다. 한계수입.

미분을 사용하면 인수의 증분에 해당하는 함수의 증분을 계산할 수 있습니다. 많은 문제에서는 독립변수의 증가율에 대응하는 종속변수의 증가율(상대적 증가분)을 계산하는 것이 더 편리합니다. 이는 우리에게 함수의 탄력성(때때로 호출이라고도 함)이라는 개념을 제시합니다. 상대 파생 상품). 따라서 도함수 y ¢ = f ¢(x)가 있는 함수 y = f(x)가 주어집니다. 탄력기능 y = 변수에 상대적인 f(x) 엑스한계라고 불렀다

이는 E x (y) = x/y f ¢ (x) = 로 표시됩니다.

탄력성 상대 엑스는 독립 변수의 1% 증가에 해당하는 함수(증가 또는 감소)의 대략적인 백분율 증가입니다. 경제학자들은 가격 탄력성이라는 개념을 사용하여 소비자가 제품 가격 변화에 반응하거나 민감한 정도를 측정합니다. 일부 제품에 대한 수요는 가격 변화에 대한 소비자의 상대적 민감성을 특징으로 하며, 가격의 작은 변화는 구매 수량의 큰 변화로 이어집니다. 그러한 제품에 대한 수요는 일반적으로 상대적으로 탄력적아니면 그냥 탄력적이거나. 다른 제품의 경우 소비자는 상대적으로 가격 변화에 둔감합니다. 즉, 가격이 크게 변해도 구매 수량에는 작은 변화만 발생합니다. 그러한 경우에는 요구한다. 상대적으로 비탄력적또는 단순히 비탄력적입니다. 용어 완전 비탄력적수요란 가격의 변화가 수요량의 변화로 이어지지 않는 극단적인 경우를 의미합니다. 예를 들어 급성 당뇨병 환자의 인슐린 수요 또는 마약 중독자의 헤로인 수요가 있습니다. 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 가격을 최소한으로 낮추더라도 구매자가 자신의 능력 한계까지 구매를 늘리면 수요는 다음과 같습니다. 완전히 탄력적입니다.

함수의 극값

함수 y=f(x)가 호출됩니다. 증가 (감소하는) 특정 간격으로 x 1의 경우< x 2 выполняется неравенство f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x 2)).

미분 가능 함수 y = f(x)가 구간에서 증가(감소)하면 이 구간의 도함수 f ¢(x) > 0 (f ¢(x)< 0).

점 엑스오~라고 불리는 지역 최대점 (최저한의) 함수 f(x), 점의 이웃이 있는 경우 엑스오, 부등식 f(x) £ f(x о) (f(x) ³ f(x о))가 참인 모든 점에 대해.

최대 및 최소 포인트를 호출합니다. 극한점, 그리고 이 지점에서 함수의 값은 과격한 수단.

극한의 필요 조건. 요점이라면 엑스오가 함수 f(x)의 극점이면 f ¢(x о) = 0이거나 f ¢(x о)가 존재하지 않습니다. 그러한 점을 호출합니다. 비판적인,함수 자체는 임계점에서 정의됩니다. 함수의 극값은 임계점 중에서 찾아야 합니다.

첫 번째 충분조건.허락하다 엑스오- 중요한 점. 점을 통과할 때 f ¢ (x)인 경우 엑스오더하기 기호를 빼기로 변경한 다음 해당 지점에서 엑스오함수에는 최대값이 있고, 그렇지 않으면 최소값이 있습니다. 임계점을 통과할 때 미분의 부호가 변하지 않으면 그 지점에서 엑스오극단은 없습니다.

두 번째 충분조건.함수 f(x)가 도함수를 가지도록 하세요.
f ¢ (x) 지점 근처 엑스오그리고 그 지점 자체에서의 2차 도함수 엑스오. f ¢(x о) = 0이면 >0 (<0), то точка 엑스오함수 f(x)의 국소 최소(최대) 점입니다. =0이면 첫 번째 충분 조건을 사용하거나 더 높은 도함수를 사용해야 합니다.

세그먼트에서 함수 y = f(x)는 임계 지점이나 세그먼트 끝에서 최소값 또는 최대값에 도달할 수 있습니다.

실시예 22.함수 f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14의 극값을 구합니다.

해결책. f ¢ (x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3)이므로 함수의 임계점 x 1 = 2 및 x 2 = 3입니다. 극한은 다음에서만 가능합니다. 이 점들. x 1 = 2 지점을 통과할 때 도함수는 부호를 플러스에서 마이너스로 변경하므로 이 지점에서 함수는 최대값을 갖습니다. x 2 = 3 지점을 통과할 때 도함수는 부호를 마이너스에서 플러스로 변경하므로 x 2 = 3 지점에서 함수는 최소값을 갖습니다. 해당 지점에서 함수 값을 계산한 결과
x 1 = 2 및 x 2 = 3, 함수의 극값을 찾습니다: 최대 f(2) = 14 및 최소 f(3) = 13.

실시예 23.돌담 근처에 직사각형 영역을 만들어 철망으로 3면을 막고 네 번째면은 벽에 인접하도록해야합니다. 이를 위해 ㅏ메쉬의 선형 미터. 사이트의 면적이 가장 큰 가로 세로 비율은 얼마입니까?

해결책.플랫폼의 측면을 다음과 같이 표시하겠습니다. 엑스그리고 와이. 사이트의 면적은 S = xy입니다. 허락하다 와이- 벽에 인접한 변의 길이입니다. 그러면 조건에 따라 2x + y = a가 성립해야 합니다. 따라서 y = a - 2x 및 S = x(a - 2x), 여기서 0 £ x £ a/2(패드의 길이와 너비는 음수가 될 수 없습니다). S ¢ = a - 4x, a - 4x = 0 at x = a/4, 여기서
y = a - 2×a/4 =a/2. x = a/4가 유일한 임계점이므로, 이 점을 통과할 때 미분의 부호가 바뀌는지 확인해 보겠습니다. x에< a/4 S ¢ >0, x >a/4 S ¢의 경우<0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).

S는 연속적이고 양 끝의 값 S(0)과 S(a/2)는 0이므로 발견된 값은 함수의 가장 큰 값이 됩니다. 따라서 주어진 문제 조건에서 사이트의 가장 유리한 종횡비는 y = 2x입니다.

실시예 24. V=16p » 50 m 3 용량의 폐쇄형 원통형 탱크를 제작해야 합니다. 제조에 최소한의 재료가 사용되도록 탱크의 크기(반경 R 및 높이 H)는 어떻게 되어야 합니까?

해결책.원통의 전체 표면적은 S = 2pR(R+H)입니다. 우리는 실린더의 부피 V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 를 알고 있습니다. 이는 S(R) = 2p(R 2 +16/R)을 의미합니다. 우리는 이 함수의 미분을 찾습니다:
S ¢(R) = 2p(2R-16/R2) = 4p(R-8/R2). R 3 = 8에서 S ¢(R) = 0이므로,
R = 2, H = 16/4 = 4.

미분, 미분의 규칙 및 공식

함수 y = f(x)를 구간 X에서 정의합니다. 유도체 xo 지점에서의 함수 y = f(x)를 극한이라고 합니다.

= .

이 한도라면 한정된,그런 다음 함수 f(x)가 호출됩니다. 미분가능한그 시점에 xo; 게다가 이 시점에서는 필연적으로 연속인 것으로 밝혀졌습니다.

파생 상품은 기호로 표시됩니다

y ¢, f ¢(xo), , .

만약에 와 함께은 상수이고 u = u(x), v = v(x)는 일부 미분 함수인 경우 다음 미분 규칙이 유효합니다.

1) (c) " = 0, (cu) " = cu";

2) (u+v)" = u"+v";

3) (uv)" = u"v+v"u;

4) (u/v)" = (u"v-v"u)/v 2;

5) y = f(u)이면 u = j(x), 즉 y = f(j(x)) - 복잡한 기능또는 위에 놓기, 미분 가능한 함수 j와 f로 구성된 다음, 또는

6) 함수 y = f(x)에 대해 역 미분 가능 함수 x = g(y) 및 ¹ 0이 있으면 .

도함수의 정의와 미분 규칙을 기반으로 주요 기본 함수의 표 형식 도함수 목록을 작성하는 것이 가능합니다.

1. (u m)" = m u m- 1 u" (m О 아르 자형).

2. (a u)" = a u lna× u".

3. (에유)" = 에유유".

4. (log a u)" = u"/(u ln a).

5. (ln u)" = u"/u.

6. (sin u)" = cos u× u".

7. (cos u)" = - sin u× u".

8. (tg u)" = 1/ cos 2 u× u".

9. (ctg u)" = - u" / sin 2 u.

10. (arcsin u)" = u" / .

11. (arccos u)" = - u" / .

12. (arctg u)" = u"/(1 + u 2).

13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2).

거듭제곱 지수 표현 y=u v , (u>0)의 미분을 계산해 보겠습니다. 여기서 유그리고 V함수의 본질 엑스, 주어진 지점에서 파생 상품이 있음 유",V".

y=u v 등식의 로그를 취하면 ln y = v ln u를 얻습니다.

파생 상품을 다음과 같이 동일시합니다. 엑스규칙 3, 5와 로그 함수의 파생 공식을 사용하여 결과 평등의 양쪽에서 우리는 다음을 얻습니다.

y"/y = vu"/u +v" ln u, 여기서 y" = y (vu"/u +v" ln u).

(u v)"=u v (vu"/u+v" ln u), u > 0.

예를 들어, y = x sin x이면 y" = x sin x (sin x/x + cos x× ln x)입니다.

기능 D 증분 와이는 곡선의 세로좌표의 증분이고, 미분 d는 와이탄젠트의 세로좌표 증분입니다.

함수 y=f(x)에 대한 도함수 y ¢= f ¢(x)를 찾아보겠습니다. 이 파생 상품의 파생 상품이 호출됩니다. 2차 미분함수 f(x), 또는 2차 미분,지정되어 있으며 .

다음은 동일한 방식으로 정의되고 지정됩니다.

3차 미분 - ,

4차 미분 -

그리고 일반적으로 말하면 n차 도함수 - .

실시예 3.15. 함수 y=(3x 3 -2x+1)×sin x의 도함수를 계산합니다.

해결책.규칙 3에 따르면, y"=(3x 3 -2x+1)"×sin x + (3x 3 -2x+1)×(sin x)" =
= (9x 2 -2)sin x + (3x 3 -2x+1)cos x.

예제 3.16. y"를 구하면 y = tan x + 입니다.

해결책.합과 몫을 구별하는 규칙을 사용하여 다음을 얻습니다. y"=(tgx + )" = (tgx)" + ()" = + = .

실시예 3.17. 복소 함수 y=의 도함수를 구합니다.
유=x4+1.

해결책.복잡한 함수의 미분 규칙에 따르면 다음과 같은 결과를 얻습니다. y" x =y " u u" x =()" u (x 4 +1)" x =(2u +. u=x 4 +1이므로
(2 x 4 +2+ .

실시예 3.18.

실시예 3.19. 함수 y=ln sin x의 도함수를 구합니다.

해결책. u=sin x라고 하면 복소 함수 y=ln u의 미분은 공식 y" = (ln u)" u (sin x)" x =로 계산됩니다. .

예제 3.20.함수 y=의 도함수를 구합니다.

해결책.여러 중첩의 결과로 얻은 복잡한 함수의 경우 규칙 5를 순차적으로 적용하면 해결됩니다.

예제 3.21. 미분 계산 y=ln .

해결책.로그를 취하고 로그의 속성을 사용하면 다음을 얻습니다.

y=5/3ln(x 2 +4) +7/3ln(3x-1)-2/3ln(6x 3 +1)-1/3tg 5x.

마지막 평등의 양쪽을 차별화하면 다음을 얻습니다.

함수의 극값

함수 y=f(x)가 호출됩니다. 증가 (감소하는) 특정 간격으로 x 1의 경우< x 2 выполняется неравенство f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x 2)).

미분 가능 함수 y = f(x)가 구간에서 증가(감소)하면 이 구간의 도함수 f ¢(x) > 0 (f ¢(x)< 0).

최대 및 최소 포인트를 호출합니다. 극한점, 그리고 이 지점에서 함수의 값은 과격한 수단.

세그먼트에서 함수 y = f(x)는 임계 지점이나 세그먼트 끝에서 최소값 또는 최대값에 도달할 수 있습니다.

예제 3.22.함수 f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14의 극값을 구합니다.

해결책. f ¢ (x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3)이므로 함수의 임계점 x 1 = 2 및 x 2 = 3입니다. 극한은 다음에서만 가능합니다. 이 점들. x 1 = 2 지점을 통과할 때 도함수는 부호를 플러스에서 마이너스로 변경하므로 이 지점에서 함수는 최대값을 갖습니다. x 2 = 3 지점을 통과할 때 도함수는 부호를 마이너스에서 플러스로 변경하므로 x 2 = 3 지점에서 함수는 최소값을 갖습니다. x 1 = 2 및 x 2 = 3 지점에서 함수 값을 계산한 후 함수의 극값(최대 f(2) = 14 및 최소 f(3) = 13)을 찾습니다.

예제 3.23.돌담 근처에 직사각형 영역을 만들어 철망으로 3면을 막고 네 번째면은 벽에 인접하도록해야합니다. 이를 위해 ㅏ메쉬의 선형 미터. 사이트의 면적이 가장 큰 가로 세로 비율은 얼마입니까?

예제 3.24. V=16p » 50 m 3 용량의 폐쇄형 원통형 탱크를 제작해야 합니다. 제조에 최소한의 재료가 사용되도록 탱크의 크기(반경 R 및 높이 H)는 어떻게 되어야 합니까?

2. 차별화의 기본 규칙

만약에 와 함께은 상수이고 u = u(x), v = v(x)는 일부 미분 함수인 경우 다음 미분 규칙이 유효합니다.

1) (c) " = 0, (cu) " = cu";

2) (u+v)" = u"+v";

3) (uv)" = u"v+v"u;

4) (u/v)" = (u"v-v"u)/v 2;

예시 1.함수의 도함수 찾기

해결책. 검정력 함수를 미분하기 위해 규칙 (5), (8) 및 공식 (4)를 적용하면 다음을 얻습니다.

예시 2.함수의 도함수 찾기

해결책. 곱을 미분하는 규칙 (7)을 적용한 다음, 예 4와 같은 방식으로 요인의 도함수를 구해 보겠습니다. 그러면 다음을 얻습니다.

예시 3.함수 y =의 도함수를 구합니다.

해결책. 몫을 미분하기 위해 규칙 (10)을 적용해 보겠습니다.

그런 다음 위와 마찬가지로 분자의 도함수를 계산합니다. 우리는

작업 텍스트:

옵션 1

1. 함수의 도함수 찾기 .

2. 함수의 도함수 찾기 .

가로좌표에 , .

티

옵션 2

1. 함수의 도함수 찾기 .

2. 함수의 도함수 찾기 .

3. 함수 그래프에 대한 접선 방정식을 작성하십시오. 가로좌표에 , .

4. 중요한 점은 법에 따라 움직입니다. . 순간의 속도와 가속도를 구하라 티=5초 (변위는 미터 단위로 측정됩니다.)

옵션 3

1. 함수의 도함수 찾기 .

2. 함수의 도함수 찾기 .

3. 함수 그래프에 대한 접선 방정식을 작성하십시오. 가로좌표에 , .

4. 중요한 점은 법에 따라 움직입니다. . 순간의 속도와 가속도를 구하라 티=5초 (변위는 미터 단위로 측정됩니다.)

옵션 4

1. 함수의 도함수 찾기 .

2. 함수의 도함수 찾기 .

3. 함수 그래프에 대한 접선 방정식을 작성하십시오. 가로좌표에 , .

4. 중요한 점은 법에 따라 움직입니다. . 순간의 속도와 가속도를 구하라 티=5초 (변위는 미터 단위로 측정됩니다.)

옵션 5

1. 함수의 도함수 찾기 .

2. 함수의 도함수 찾기 .

3. 함수 그래프에 대한 접선 방정식을 작성하십시오. 가로좌표에 , .

4. 중요한 점은 법에 따라 움직입니다. . 순간의 속도와 가속도를 구하라 티=5초 (변위는 미터 단위로 측정됩니다.)

옵션 6

1. 함수의 도함수 찾기 .

2. 함수의 도함수 찾기 .

3. 함수 그래프에 대한 접선 방정식을 작성하십시오. 가로좌표에 , .

4. 중요한 점은 법에 따라 움직입니다. . 순간의 속도와 가속도를 구하라 티=5초 (변위는 미터 단위로 측정됩니다.)

실무 16호

주제: 함수 연구 및 그래프 작성에 미분 적용

작업의 목표: 주제를 마스터하는 데있어 학생들의 지식과 기술을 통합하고 파생 장치를 적용하는 기술을 개발합니다.

이론적 배경:

함수를 연구하고 그래프를 구성하는 방식

I. 함수 정의 영역을 찾아보세요.
II. 함수 그래프와 좌표축의 교차점을 찾습니다.
III. 점근선을 찾으세요.
IV. 가능한 극점을 찾아보세요.
V. 중요한 점을 찾으십시오.
6. 보조 그림을 사용하여 1차 도함수의 부호를 탐색합니다. 함수가 증가하고 감소하는 영역, 극한점을 결정합니다.
Ⅶ. 단락 1-6에서 수행된 연구를 고려하여 그래프를 구성하십시오.