빗변과 예각이 있는 등삼각형. 직각삼각형의 등호

03.07.2020

직각삼각형이 선의 각도 중 적어도 하나(즉, 90o와 같음)를 갖는 경우 삼각형이라고 하는 이전 수업의 내용을 상기하십시오.

고려하다 첫 징후삼각형 평등: 한 직각 삼각형의 두 변이 각각 다른 직각 삼각형의 두 변과 같으면 이러한 삼각형은 합동입니다.

이 경우를 설명하자면 다음과 같습니다.

쌀. 1. 동일한 직각삼각형

증거:

임의의 삼각형의 첫 번째 평등을 상기하십시오.

쌀. 2

한 삼각형의 두 변과 그 사이의 각도와 두 번째 삼각형의 해당 두 변과 그 사이의 각도가 같으면 이 삼각형은 합동입니다. 이것은 삼각형의 평등의 첫 번째 기호, 즉 다음과 같이 명시됩니다.

직각삼각형에 대한 유사한 증명은 다음과 같습니다.

삼각형은 첫 번째 부호가 같습니다.

직각 삼각형의 평등에 대한 두 번째 기준을 고려하십시오. 하나의 직각 삼각형의 다리와 그에 인접한 예각이 각각 다른 직각 삼각형의 다리와 인접한 예각과 같으면 이러한 삼각형은 합동입니다.

쌀. 삼

증거:

쌀. 4

삼각형의 평등에 대한 두 번째 기준을 사용합시다.

직각삼각형에 대한 유사한 증명:

삼각형은 두 번째 기준에서 동일합니다.

직각 삼각형의 평등에 대한 세 번째 기준을 고려하십시오. 하나의 직각 삼각형의 빗변과 그에 인접한 각도가 빗변 및 다른 삼각형에 인접한 각도와 각각 같으면 그러한 삼각형은 합동입니다.

증거:

쌀. 5

삼각형의 평등에 대한 두 번째 기준을 상기하십시오.

쌀. 6

이 삼각형은 다음과 같은 경우 합동입니다.

직각 삼각형의 한 쌍의 예각은 (∠А = ∠А 1)과 같다고 알려져 있으므로 다른 한 쌍의 각도(∠B = ∠B 1)의 동일성은 다음과 같이 증명됩니다.

AB \u003d A 1 B 1 (조건별)이므로 ∠B \u003d ∠B 1, ∠A \u003d ∠A 1입니다. 따라서 삼각형 ABC와 A 1 B 1 C 1은 두 번째 부호에서 같습니다.

삼각형의 평등에 대한 다음 기준을 고려하십시오.

한 삼각형의 변 및 빗변이 각각 다른 삼각형의 변 및 빗변과 같으면 이러한 직각 삼각형은 합동입니다.

쌀. 7

증거:

삼각형 ABC와 A 1 B 1 C 1을 겹쳐 봅시다. 정점 A와 A1, C와 C1이 겹치지만 정점 B와 점 B1이 일치하지 않는다고 가정합니다. 이 경우는 다음 그림에 나와 있습니다.

쌀. 8

이 경우 이등변 삼각형 ABB 1을 알 수 있습니다(정의에 따라 - 조건 AB = AB 1에 따라). 따라서 특성상 ∠AB 1 B = ∠ABV 1 입니다. 외부 모서리의 정의를 고려하십시오. 외부 코너삼각형은 삼각형의 모서리에 인접한 각도입니다. 그것의 정도 측정은 그것에 인접하지 않은 삼각형의 두 각도의 합과 같습니다. 그림은 이 비율을 보여줍니다.

쌀. 9

각도 5는 삼각형의 바깥 모서리이며 ∠5 = ∠1 + ∠2와 같습니다. 따라서 외각은 인접하지 않은 각 각보다 큽니다.

따라서 ∠ABB 1은 삼각형 ABC의 외각이고 합은 ∠ABB 1 = ∠CAB + ∠ACB = ∠ABC = ∠CAB + 90o와 같습니다. 따라서 ∠AB 1 B(직각 삼각형 ABB 1의 예각)는 각도 ∠ABB 1과 같을 수 없습니다. 왜냐하면 이 각도는 증명된 것처럼 둔각이기 때문입니다.

이것은 점 B와 B 1의 위치에 대한 우리의 가정이 잘못된 것으로 판명되었으므로 이러한 점이 일치한다는 것을 의미합니다. 이것은 삼각형 ABC와 A 1 B 1 C 1이 중첩됨을 의미합니다. 따라서 그들은 동일합니다(정의상).

따라서 이러한 기능은 일부 문제를 해결하는 데 사용할 수 있기 때문에 헛되이 도입되지 않습니다.

옴 스크 주립 대학 ().
참조 포털 calc.ru ().
교사 포털().

1. No. 38. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V., 편집자 Sadovnichiy V.A. 기하학 7. M .: 교육. 2010년

2. 그림에 표시된 데이터를 기반으로 동일한 삼각형이 있으면 표시하십시오.

3. 그림에 표시된 데이터를 기반으로 동일한 삼각형이 있으면 표시하십시오. AC = AF임을 명심하십시오.

4. 직각삼각형에서 중앙값과 높이는 빗변에 그려집니다. 그들 사이의 각도는 20o입니다. 주어진 직각 삼각형의 각 예각의 크기를 결정하십시오.

7 학년 기하학 과정에서 공부했고 마지막 수업에서 소위 반복되었습니다. 삼각형의 등호. 그들을 기억하십시오:

첫 번째 기호(2면과 그 사이의 각도):두 삼각형의 변이 같고 사이의 각도가 같으면 이러한 삼각형은 합동입니다.

두 번째 기호(측면 및 인접한 두 각도):삼각형의 변이 같고 주어진 변에 인접한 두 각이 있으면 이러한 삼각형은 합동입니다. 메모:삼각형 각도의 합이 일정하고 와 같다는 사실을 사용하여 각도의 "인접" 조건이 필요하지 않다는 것을 쉽게 증명할 수 있습니다. 즉, 다음 공식에서 부호가 참이 됩니다. "... 한 변과 두 각이 같다면...".

세 번째 기호(3면):삼각형의 세 변이 모두 같으면 이러한 삼각형은 합동입니다.

당연히 이러한 모든 기호는 직각 삼각형에 대해 그대로 유지됩니다. 그러나 직각 삼각형에는 한 가지 중요한 기능이 있습니다. 항상 한 쌍의 직각이 동일합니다. 따라서 이러한 표시는 단순화됩니다. 따라서 직각 삼각형의 등호를 공식화합시다.

첫 번째 징후(두 다리):직각 삼각형의 다리가 쌍으로 같으면 이러한 삼각형은 서로 같습니다(그림 2 참조).

주어진:

쌀. 2. 직각 삼각형의 평등의 첫 번째 기호 그림

입증하다:

증거:직각 삼각형에서 다음을 기억하십시오. . 따라서 우리는 삼각형의 등호(두 변과 그 사이의 각도)의 첫 번째 부호를 사용하여 다음을 얻을 수 있습니다. .

입증되었습니다.

2-번째 표시(다리 및 각도):한 직각 삼각형의 변과 예각이 다른 직각 삼각형의 변과 예각과 같으면 이러한 삼각형은 서로 같습니다(그림 3 참조).

주어진:

쌀. 3. 직각 삼각형의 두 번째 등호 기호 그림

입증하다:

증거:우리는 동일한 다리에 인접한 각도가 동일하다는 사실이 근본적이지 않다는 사실을 즉시 주목합니다. 사실, 직각 삼각형의 예각의 합(속성 1에 의한)은 와 같습니다. 따라서 이 각도 중 한 쌍이 같으면 다른 각도도 같습니다(합이 동일하기 때문에).

이 기능의 증거는 다음을 사용하는 것으로 귀결됩니다. 삼각형의 평등의 두 번째 기호(2 모서리와 측면에서). 실제로 조건에 따라 다리와 그에 인접한 한 쌍의 각도는 동일합니다. 그러나 그들에 인접한 두 번째 각도 쌍은 각도로 구성됩니다. . 따라서 삼각형의 평등에 대한 두 번째 기준을 사용하여 다음을 얻을 수 있습니다. .

입증되었습니다.

세 번째 기호(빗변 및 각도 기준):한 직각 삼각형의 빗변과 예각이 다른 직각 삼각형의 빗변과 예각과 같으면 이러한 삼각형은 서로 같습니다(그림 4 참조).

주어진:

쌀. 4. 직각 삼각형의 세 번째 등호 그림

입증하다:

증거:이 표시를 증명하기 위해 즉시 사용할 수 있습니다. 삼각형의 평등의 두 번째 기호- 측면과 두 개의 각도(보다 정확하게는 각도가 측면에 인접할 필요가 없음을 나타내는 결과에 의해). 사실, 조건에 의해: , , 그리고 직각삼각형의 성질로부터 그것은 다음을 따른다: . 따라서 삼각형의 등식에 대한 두 번째 기준을 사용하여 다음을 얻을 수 있습니다. .

입증되었습니다.

네 번째 징후(빗변과 다리):한 직각 삼각형의 빗변과 다리가 각각 다른 직각 삼각형의 빗변과 다리와 같으면 이러한 삼각형은 서로 같습니다 (그림 5 참조).

주어진:

쌀. 5. 직각 삼각형의 네 번째 등호 기호 그림

입증하다:

증거:이 기호를 증명하기 위해 우리는 지난 수업에서 공식화하고 증명한 삼각형의 평등 기호를 사용할 것입니다. 즉, 삼각형의 두 변이 같고 각이 더 크면 그러한 삼각형은 같습니다. 실제로, 조건에 따라 우리는 두 개의 동등한 측면을 가지고 있습니다. 또한 직각삼각형의 특성에 따라 . 직각이 삼각형에서 가장 크다는 것을 증명해야 합니다. 이것이 사실이 아니라고 가정해 봅시다. 즉, 보다 큰 각도가 적어도 하나 더 있어야 합니다. 그러나 삼각형 각도의 합은 이미 더 커질 것입니다. 그러나 이것은 불가능합니다. 즉 삼각형에는 그러한 각도가 있을 수 없습니다. 따라서 직각은 직각 삼각형에서 가장 큽니다. 따라서 위에서 공식화한 기호를 사용하여 다음을 얻을 수 있습니다. .

입증되었습니다.

우리는 이제 직각삼각형의 특징인 속성을 하나 더 공식화합니다.

재산

각도 반대편에 놓인 다리는 빗변보다 2 배 작습니다 (그림 6 참조).

주어진:

입증하다:AB

증거:추가 구성을 수행합니다. 와 같은 세그먼트만큼 점 너머로 선을 확장합니다. 요점을 알아봅시다. 각도와 인접하므로 합은 와 같습니다. 이후 , 각도 .

직각삼각형 (두 다리에 따르면 : - 일반, - 구조에 따라) - 직각 삼각형의 평등에 대한 첫 번째 신호.

삼각형의 평등에서 모든 해당 요소의 평등을 따릅니다. 수단, . 어디: . 또한, (동일한 삼각형 모두의 평등에서). 이것은 삼각형이 이등변 삼각형(밑면에서 같은 각도를 갖기 때문에)이지만 각도 중 하나가 같은 이등변 삼각형은 정삼각형이라는 것을 의미합니다. 이것은 특히 다음과 같습니다. , 증명해야 할 것입니다.

입증되었습니다.

4. 각도 반대쪽에 누워있는 다리의 속성 in

반대 진술도 사실이라는 점은 주목할 가치가 있습니다. 직각 삼각형에서 빗변이 다리 중 하나보다 두 배 크면이 다리 반대쪽의 예각은 다음과 같습니다.

우리는 또 다른 중요한 공식화 직각 삼각형의 표시.

메모:징후 어떤 진술이 참이면 삼각형은 직각 삼각형이라는 것을 의미합니다. 즉, 이 기능을 사용하면 직각 삼각형을 식별할 수 있습니다.

기호를 혼동하지 않는 것이 중요합니다.재산 -즉, 삼각형이 직각이면 그러한 속성을 갖습니다 ... 종종 부호와 속성은 서로 반대이지만 항상 그런 것은 아닙니다. 예를 들어, 정삼각형의 속성: 정삼각형에는 각이 있습니다. . 그러나 각이 있는 모든 삼각형이 아니기 때문에 정삼각형의 표시는 아닙니다. , 등변입니다.

보다 현실적인 예를 들 수 있습니다. "빵"이라는 단어의 속성 - "빵"이라는 단어 4 글자. 그러나 4 글자의 단어가 많기 때문에 4 글자의 존재는 "빵"이라는 단어의 표시가 아닙니다.

5. 직각삼각형의 표시(중앙값은 삼각형이 그려지는 면의 절반과 같음)

그래서, 직각 삼각형 기호:

삼각형에서 중앙값이 그려진 변의 절반과 같으면 이 삼각형은 직각이고 중앙값은 직각의 정점에서 그려집니다.

메모:우리는 그것을 기억 중앙값- 삼각형의 꼭지점과 반대쪽 중앙을 연결하는 선(그림 7 참조).

주어진:

입증하다:

증거:때문에 , 삼각형은 이등변입니다. 이것은 각 삼각형의 밑면 각도가 같다는 것을 의미합니다. 그건, , . 그러면 삼각형 내각의 합은 So, 입니다. 그러나: , 증명이 필요했습니다.

입증되었습니다.

이 수업에서는 7학년 초반에 배운 직각 삼각형의 기본 속성을 살펴보았습니다. 특히 그들은 직각 삼각형의 다른 기호와 속성뿐만 아니라 평등의 기호를 기억했습니다.

숙제

1. 직각삼각형에서 는 이등분선 입니다. cm 인 경우 다리 길이를 찾으십시오.

2. 직각 삼각형의 빗변에 점을 표시하여 . 점이 점에서 등거리에 있음을 증명하고 .

3. 비율이 5:13일 때 직각삼각형의 예각을 구하세요.

4. 빗변에 그려진 중앙값은 cm입니다.

5. 삼각형에서 는 이등분선 입니다. 세그먼트는 세그먼트보다 cm 작습니다. 이등분선을 찾으십시오.

수업 5:다각형

이 레슨에서는 새로운 주제를 시작하고 우리에게 새로운 "다각형"의 개념을 소개합니다. 측면, 꼭지점, 모서리, 볼록성 및 비볼록성 등 다각형과 관련된 기본 개념을 살펴보겠습니다. 그런 다음 다각형의 내각의 합에 대한 정리, 다각형의 외각의 합에 대한 정리와 같은 가장 중요한 사실을 증명할 것입니다. 결과적으로 우리는 폴리곤의 특수한 경우를 연구하는 단계에 근접하게 될 것입니다.

1. "다각형"의 개념

기하학 과정에서 우리는 기하학적 모양의 속성을 연구하고 이미 가장 단순한 삼각형과 원을 고려했습니다. 동시에 직각, 이등변 및 정삼각형과 같은 이러한 도형의 특정 특수 사례에 대해서도 논의했습니다. 이제 보다 일반적이고 복잡한 모양에 대해 이야기할 시간입니다. 다각형.

전용 케이스 첨부 다각형우리는 이미 익숙합니다 - 이것은 삼각형입니다 (그림 1 참조).

쌀. 1. 삼각형

이름 자체는 이미 이것이 세 개의 모서리가 있는 그림임을 강조합니다. 따라서 다각형그들 중 많은 수가있을 수 있습니다. 세 개 이상. 예를 들어 오각형을 그립니다(그림 2 참조). 모서리가 다섯 개인 그림.

쌀. 2. 펜타곤. 볼록 다각형

정의. 다각형- 여러 점(2개 이상)과 이를 직렬로 연결하는 해당 세그먼트 수로 구성된 도형. 이러한 포인트를 호출 봉우리다각형 및 세그먼트 파티. 이 경우 인접한 두 변은 같은 직선 위에 있지 않으며 인접하지 않은 두 변도 교차하지 않습니다.

정의. 정다각형모든 면과 각도가 같은 볼록 다각형입니다.

어느 다각형평면을 내부와 외부의 두 영역으로 나눕니다. 인테리어라고도 불리는 다각형.

즉, 예를 들어 오각형에 대해 이야기할 때 전체 내부 영역과 경계를 모두 의미합니다. 내부 영역에는 폴리곤 내부에 있는 모든 포인트도 포함됩니다. 이 점은 또한 오각형에 속합니다(그림 2 참조).

다각형은 모퉁이의 수(n개)를 알 수 없는 일반적인 경우가 고려되고 있음을 강조하기 위해 때때로 n각형이라고도 합니다.

정의. 다각형 둘레다각형 변의 길이의 합입니다.

이제 우리는 폴리곤의 유형에 익숙해져야 합니다. 그들은 다음과 같이 나뉩니다. 볼록한그리고 볼록하지 않은. 예를 들어, 그림에 표시된 다각형은 다음과 같습니다. 2는 볼록하고 그림에서. 3 볼록하지 않습니다.

쌀. 3. 볼록하지 않은 다각형

2. 볼록 및 비볼록 다각형

정의 1. 다각형~라고 불리는 볼록한, 측면 중 하나를 통해 직선을 그릴 때 전체 다각형이 선의 한쪽에만 있습니다. 볼록하지 않은나머지는 다 다각형.

그림에서 오각형의 어느 한 변을 확장한다고 상상하기 쉽습니다. 2 그것은 모두 이 직선의 한쪽에 있을 것입니다. 그는 볼록하다. 그러나 그림의 사변형을 통해 직선을 그릴 때 3 우리는 이미 그것을 두 부분으로 나누는 것을 봅니다. 그는 볼록하지 않습니다.

그러나 다각형의 볼록성에 대한 또 다른 정의가 있습니다.

정의 2. 다각형~라고 불리는 볼록한내부 점 중 두 개를 선택하고 세그먼트와 연결할 때 세그먼트의 모든 점이 폴리곤의 내부 점이기도 한 경우.

이 정의의 사용에 대한 데모는 그림 1의 세그먼트 구성 예에서 볼 수 있습니다. 2와 3.

정의. 대각선다각형은 인접하지 않은 두 정점을 연결하는 세그먼트입니다.

3. 볼록 n각형의 내각의 합에 대한 정리

다각형의 속성을 설명하기 위해 각도에 대한 두 가지 가장 중요한 정리가 있습니다. 볼록 다각형 내각 합 정리그리고 볼록 다각형 외각 합 정리. 그들을 고려해 봅시다.

정리. 볼록 다각형(n각형)의 내각의 합.

각도 (측면)의 수는 어디에 있습니까?

증명 1. Fig. 4개의 볼록한 n각형.

쌀. 4. 볼록한 n각형

정점에서 가능한 모든 대각선을 그립니다. 그들은 n-gon을 삼각형으로 나눕니다. 다각형의 각 변은 정점에 인접한 변을 제외하고 삼각형을 형성합니다. 이 모든 삼각형의 내각의 합이 n각형의 내각의 합과 같다는 것을 그림에서 쉽게 알 수 있습니다. 삼각형의 내각의 합은 이므로 n각형의 내각의 합은 다음과 같습니다.

증명해야 할 것입니다.

증명 2. 이 정리의 또 다른 증명도 가능합니다. 그림에서 유사한 n-gon을 그려 봅시다. 5 내부 점 중 하나를 모든 정점에 연결합니다.

입증되었습니다.

입증된 정리에서 흥미로운 사실은 볼록한 n-각형의 외부 각도의 합이 다음과 같다는 것입니다. 각도 (측면)의 수에 따라. 그런데 내각의 합과 달리.

다음으로 폴리곤의 특수한 경우인 사각형에 대해 자세히 살펴보겠습니다. 다음 수업에서는 평행 사변형과 같은 그림에 대해 알아보고 그 속성에 대해 설명합니다.

숙제

1. 각도의 합이 다음과 같은 볼록 다각형이 있습니까? a) ; b) ; V) ?

2. 숫자 2, 3, 10 및 21에 비례하는 사각형의 모서리를 찾으십시오. 이 사각형은 볼록합니까 아니면 볼록하지 않습니까?

3. 볼록 오각형의 정점은 하나로 연결됩니다. 결과 "별"의 정점에서 각도의 합을 찾으십시오.

수업 6:평행사변형

이 단원은 볼록한 사변형의 유형 중 하나인 평행사변형에 대해 다룹니다. 평행 사변형은 직사각형, 마름모, 정사각형과 같은 아종을 포함하는 개인 유형의 사변형 중 하나입니다. 우리 각자는 어린 시절부터 친숙했습니다. 평행사변형의 정의와 속성을 살펴보고 이러한 속성을 사용하여 몇 가지 예를 풀 것입니다.

평행사변형의 정의

지난 수업에서 우리는 볼록 다각형의 개념을 고려했습니다. 이제 다각형의 특수한 경우인 사각형, 또는 오히려 사각형의 특수한 경우에 대해 알아보겠습니다. 평행사변형.

평행사변형는 대변이 쌍으로 평행한 사변형입니다(그림 1 참조).

쌀. 1. 평행사변형

즉, 두 개의 평행선과 교차하는 두 개의 평행선이 주어지면 평행사변형이라는 도형을 형성합니다.

그것이 평행사변형이라는 사실로부터 다음과 같은 결론을 이끌어낼 수 있습니다. . 반대의 경우도 마찬가지입니다. 이면 사변형은 평행사변형입니다.

이 정의 외에도 몇 가지 더 동등한 것이 주어질 수 있지만 우리는 평행사변형의 고전적 정의인 이것에 초점을 맞추고 반대 변의 평행성을 사용하여 이 그림의 속성을 공식화할 것입니다.

티켓 번호 14

다각형. 다각형 요소. 다각형의 유형. 볼록 다각형의 각도의 합입니다.

인접한 세그먼트(즉, 세그먼트 AB와 BC, BC와 CD, ..., FA와 AB)가 동일한 직선에 놓이지 않도록 세그먼트 AB, BC, CD, ..., EF, FA로 구성된 그림을 고려하십시오. 선과 인접하지 않은 세그먼트에는 공통점이 없습니다. 이러한 도형을 다각형이라고 합니다. 점 A, B, C, ..., E, F를 정점이라고 하고 세그먼트 AB, BC, CD, ..., EF, FA를 다각형의 변이라고 합니다.

모든 변의 길이의 합을 다각형의 둘레라고 합니다.

다각형 피봉우리라고 피-곤.

같은 면에 속하는 다각형의 두 정점을 이웃이라고 합니다. 인접하지 않은 두 정점을 연결하는 선분을 다각형의 대각선이라고 합니다.

모든 다각형은 평면을 두 부분으로 나눕니다. 그 중 하나는 내부라고하고 다른 하나는 다각형의 외부 영역입니다.

인접한 두 꼭지점을 통과하는 모든 선의 한쪽에 있으면 다각형이 볼록하다고 합니다. (Polygon ABCD는 볼록하고 나머지는 볼록하지 않음)

볼록한 각도의 합 피-gon은 ( 피-2) 180°.

결과: 1) 삼각형 내각의 합은 180 0

2) 어떤 사변형의 내각의 합은 360 0

티켓 번호 15

평행사변형의 속성 중 하나를 증명하십시오.

1°. 평행사변형에서는 마주보는 변의 길이가 같고 마주보는 각의 크기도 같습니다.

2°. 평행사변형의 대각선은 교차점으로 이등분됩니다.

피타고라스의 정리.

정리:직각삼각형에서 빗변의 제곱은 변의 제곱의 합과 같습니다.

공정한 정리 피타고라스의 정리로 변환

정리 : 삼각형의 한 변의 제곱이 다른 두 변의 제곱의 합과 같으면 그 삼각형은 직각삼각형입니다.

이 정리를 사용하면 삼각형의 변을 알면 직각 삼각형인지 확인할 수 있습니다.

2. 직각 삼각형의 예각의 사인, 코사인, 탄젠트. 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 값은 30 0 , 45 0 , 60 0 입니다.

정의: 직각 삼각형의 예각의 사인은 빗변에 대한 반대쪽 다리의 비율입니다.

정의: 직각 삼각형의 예각의 코사인은 빗변에 대한 인접한 다리의 비율입니다.

정의: 직각 삼각형의 예각의 접선은 반대쪽 다리와 인접한 다리의 비율입니다.

	30 0	45 0	60 0
죄 A
코스 A
TG A

티켓 번호 17

티켓 번호 18

정리:한 삼각형의 3변이 다른 삼각형의 3변에 비례하면 이러한 삼각형은 유사합니다.

티켓 번호 14

직각 삼각형의 등호. 그들 중 하나의 증거.

직각 삼각형의 등호에는 네 가지 기호가 있습니다.

한 직각삼각형의 변이 각각 다른 직각삼각형의 변과 같으면 이러한 삼각형은 합동입니다. (AC \u003d A 1 C 1, BC \u003d B 1 C 1)

하나의 직각 삼각형의 다리와 그에 인접한 예각이 각각 다른 직각 삼각형의 다리 및 이에 인접한 예각과 같으면 이러한 삼각형은 합동입니다. (예를 들어, AC=A1C1, RA=RA1)

한 직각 삼각형의 빗변 및 예각이 각각 다른 직각의 빗변 및 예각과 같으면 이러한 삼각형은 합동입니다. (예: AB \u003d A 1 B 1, RA \u003d RA 1)

한 직각삼각형의 빗변과 변이 각각 다른 직각삼각형의 빗변과 변과 같으면 이러한 삼각형은 합동입니다. (예를 들어, AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1)

빗변과 예각으로 테스트를 증명합시다.

섹션: 수학

주제: “직각삼각형의 등호”

목적 : 지식 통합 (직각 삼각형의 속성), 직각 삼각형의 평등 징후에 대한 지식.

수업 중:

I. 조직적인 순간.
II. 구두로.

1. 질문에 답하십시오.

직각 삼각형의 요소 이름을 지정하십시오.
직각 삼각형 요소의 속성은 무엇입니까?
각 30 0의 맞은편에 있는 직각 삼각형의 변이 빗변의 절반과 같다는 것을 증명하십시오.
직각 삼각형의 변이 빗변의 절반과 같으면 이 변의 맞은편 각은 30 0 임을 증명하십시오.
x를 찾으십시오. 삼각형에서 답을 선택하십시오. 단어의 문자는 삼각형의 섹터에 있습니다. 짝 토론(3분).

그림 1.

그들은 "sign"이라는 단어를 만들었습니다.

III. 새로운 자료 학습

삼각형을 연구하면서 우리는 그것이 특정한 속성과 특징을 가지고 있다고 말합니다. 삼각형 평등의 어떤 징후를 알고 있습니까? 우리는 직각 삼각형의 속성을 공식화하고 증명했으며 오늘은 직각 삼각형의 평등 기호를 고려하고 이를 사용하여 문제를 해결할 것입니다.

삼각형의 등식을 증명할 때, 상응하는 동일한 원소 쌍은 모두 몇 쌍입니까? 직각 삼각형의 두 다리가 같은지 증명할 수 있습니까?

두 개의 직각 삼각형 ABC와 A 1 B 1 C 1이 되기 전에, 그들의 다리는 각각 같습니다. 가능하면 그들의 평등을 증명하십시오.

1번. (두 다리로)

그림 2.

주어진 : ABC 및 A 1 B 1 C 1, B \u003d B 1 \u003d 90 0, AB \u003d A 1 B 1, BC \u003d B 1 C 1

증명하다: ABC = A 1 B 1 C 1

신호음은 어떻게 들립니까? (그런 다음 작업 #1)

2번. (다리와 그에 인접한 예각에 따라)

그림 3

주어진 : ABC 및 A 1 B 1 C 1, B \u003d B 1 \u003d 90 0, BC \u003d B 1 C 1, C \u003d C 1

증명하다: ABC = A 1 B 1 C 1

신호음은 어떻게 들립니까? (그런 다음 작업 #2)

3번. (빗변과 예각으로)

그림 4

주어진 : ABC 및 A 1 B 1 C 1, B \u003d B 1 \u003d 90 0, AC \u003d A 1 C 1, A \u003d A 1

증명하다: ABC = A 1 B 1 C 1

신호음은 어떻게 들립니까? (그런 다음 작업 #3)

작업. 등삼각형을 찾아 동등성을 증명하십시오.

그림 5

IV. 수업에서 배운 내용을 통합합니다.

다음 문제를 해결하십시오.

그림 6

주어진 : ABC, A 1 B 1 C 1, DAB \u003d CBA \u003d 90 0, AD \u003d BD

증명: CAB=DBA.

4인 그룹 토론(3분).

메모가있는 교과서 번호 261의 작업이 필요한 이유.

그림 7

주어짐: ABC - 이등변, AD 및 CE - ABC의 높이

증명하다: AD=CE

증거:

V. 숙제.

P.35 (세 개의 기호), 261 번 (AOS가 이등변임을 증명), 268 번 (다리와 반대 각도를 따라 직각 삼각형의 평등 기호).

다음 기하학 수업에서 우리는 직각 삼각형의 평등 기호에 대해 계속 알게 될 것입니다. 나는 또한 2 레슨의 결과에 따라 다음 번에 점수를 게시할 것입니다.

추가로. 동등한 삼각형을 찾으십시오.

사실 모든 것이 그렇게 무섭지 않습니다. 물론 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 "실제" 정의는 기사에서 살펴봐야 합니다. 하지만 당신은 정말로 원하지 않습니까? 우리는 기뻐할 수 있습니다. 직각 삼각형에 대한 문제를 해결하기 위해 다음과 같은 간단한 사항을 간단히 채울 수 있습니다.

각도는 어떻습니까? 코너 반대쪽에 있는 다리, 즉 반대쪽 다리(코너용)가 있나요? 물론 있습니다! 이것은 카테터입니다!

하지만 각도는 어떻습니까? 잘 봐봐. 모퉁이에 인접한 다리는 어느 것입니까? 물론, 고양이. 따라서 각도의 경우 다리가 인접하고

그리고 지금 주목! 우리가 얻은 것을 보세요:

얼마나 좋은지 확인하세요.

이제 탄젠트와 코탄젠트로 넘어 갑시다.

이제 어떻게 말로 표현해야 할까요? 코너와 관련하여 다리는 무엇입니까? 물론 반대편에 있습니다. 모퉁이 반대편에 "거짓말"합니다. 그리고 카테트? 코너에 인접. 그래서 우리는 무엇을 얻었습니까?

분자와 분모가 어떻게 바뀌었는지 보십니까?

이제 다시 모퉁이를 돌고 교환했습니다.

요약

배운 내용을 간단히 적어보겠습니다.

피타고라스의 정리:

주요 직각 삼각형 정리는 피타고라스의 정리입니다.

피타고라스의 정리

그건 그렇고, 다리와 빗변이 무엇인지 잘 기억하십니까? 그렇지 않은 경우 그림을 보고 지식을 새로 고치십시오.

이미 피타고라스의 정리를 여러 번 사용했을 가능성이 있지만 그러한 정리가 왜 참인지 궁금한 적이 있습니까? 어떻게 증명하시겠습니까? 고대 그리스인처럼 합시다. 변이 있는 사각형을 그려봅시다.

당신은 우리가 그 변을 길이의 세그먼트로 얼마나 교묘하게 나눴는지 알 수 있습니다!

이제 표시된 점을 연결해 보겠습니다.

그러나 여기서 우리는 다른 것을 언급했지만 당신은 그림을보고 그 이유를 생각해보십시오.

더 큰 정사각형의 면적은 얼마입니까?

오른쪽, .

더 작은 영역은 어떻습니까?

틀림없이, .

네 모서리의 총 면적이 남아 있습니다. 우리가 그들 중 두 개를 가져다가 빗변으로 서로 기대고 있다고 상상해보십시오.

무슨 일이에요? 두 개의 직사각형. 따라서 "절단"영역은 동일합니다.

이제 모두 정리합시다.

변환하자:

그래서 우리는 피타고라스를 방문했습니다. 우리는 그의 정리를 고대 방식으로 증명했습니다.

직각삼각형과 삼각법

직각 삼각형의 경우 다음 관계가 성립합니다.

예각의 사인은 빗변에 대한 반대쪽 다리의 비율과 같습니다.

예각의 코사인은 빗변에 대한 인접한 다리의 비율과 같습니다.

예각의 접선은 반대쪽 다리와 인접한 다리의 비율과 같습니다.

예각의 코탄젠트는 인접한 다리와 반대쪽 다리의 비율과 같습니다.

그리고 다시 한 번, 이 모든 것이 접시 형태로 제공됩니다.

매우 편안합니다!

직각삼각형의 등호

I. 두 다리로

II. 다리와 빗변으로

III. 빗변과 예각으로

IV. 다리와 예각을 따라

ㅏ)

비)

주목! 여기서 다리가 "대응"하는 것이 매우 중요합니다. 예를 들어 다음과 같이 진행된다면

그런 다음 삼각형은 같지 않습니다, 그들은 하나의 동일한 예각을 가지고 있다는 사실에도 불구하고.

필요하다 두 삼각형 모두에서 다리가 인접하거나 둘 다-반대.

직각 삼각형의 평등 기호가 일반적인 삼각형 평등 기호와 어떻게 다른지 알아 차렸습니까?

“일반적인”삼각형의 평등을 위해서는 두 변과 그 사이의 각도, 두 각도와 그 사이의 변 또는 세 변의 세 요소의 평등이 필요하다는 사실에주의하십시오.

그러나 직각 삼각형의 등식을 위해서는 대응하는 요소가 두 개면 충분합니다. 대단하죠?

직각 삼각형의 유사성 징후와 대략 동일한 상황.

직각 삼각형의 유사성 징후

I. 급성 코너

II. 두 다리에

III. 다리와 빗변으로

직각 삼각형의 중앙값

왜 그래야만하지?

직각 삼각형 대신 전체 직사각형을 고려하십시오.

대각선을 그리고 대각선의 교차점인 점을 생각해 봅시다. 직사각형의 대각선에 대해 무엇을 알고 있습니까?

그리고 이것으로부터 무엇이 뒤따릅니까?

그래서 그런 일이 일어났습니다

- 중앙값:

이 사실을 기억하십시오! 많은 도움이 됩니다!

더 놀라운 것은 그 반대도 사실이라는 것입니다.

빗변에 그려진 중앙값이 빗변의 절반과 같다는 사실에서 어떤 이점을 얻을 수 있습니까? 그림을 보자

잘 봐봐. 즉, 점에서 삼각형의 세 꼭지점까지의 거리가 동일하다는 것이 밝혀졌습니다. 그러나 삼각형에는 삼각형의 세 정점이 모두 같은 거리에 있는 하나의 점만 있으며 이것이 설명된 원의 중심입니다. 무슨 일이 있었나요?

그럼 이 "게다가..."부터 시작해 봅시다.

i를 봅시다.

그러나 유사한 삼각형에서는 모든 각도가 동일합니다!

에 대해서도 마찬가지입니다.

이제 함께 그려봅시다:

이 "삼중" 유사성에서 어떤 용도로 사용할 수 있습니까?

예를 들어 - 직각 삼각형의 높이에 대한 두 가지 공식.

우리는 해당 당사자의 관계를 작성합니다.

높이를 찾기 위해 비율을 풀고 첫 번째 공식 "직각 삼각형의 높이":

자, 이제 이 지식을 다른 사람들과 적용하고 결합하면 직각 삼각형으로 모든 문제를 해결할 수 있습니다!

따라서 유사성을 적용해 보겠습니다. .

이제 어떻게 될까요?

다시 비율을 풀고 두 번째 공식을 얻습니다.

이 두 공식은 모두 잘 기억해야 하며 적용하기 더 편리한 공식을 사용해야 합니다.

다시 적어 봅시다.

피타고라스의 정리:

직각 삼각형에서 빗변의 제곱은 다리의 제곱의 합과 같습니다.

직각삼각형의 등호:

두 다리에:
다리와 빗변을 따라: 또는
다리와 인접한 예각을 따라: 또는
다리와 반대쪽 예각을 따라: 또는
빗변과 예각으로: 또는.

직각 삼각형의 유사성 징후:

하나의 날카로운 모서리: 또는
두 다리의 비례에서:
다리와 빗변의 비례에서: 또는.

직각 삼각형의 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트

직각 삼각형의 예각 사인은 빗변에 대한 반대쪽 다리의 비율입니다.
직각 삼각형의 예각의 코사인은 빗변에 대한 인접한 다리의 비율입니다.
직각 삼각형의 예각의 접선은 반대쪽 다리와 인접한 다리의 비율입니다.
직각 삼각형의 예각의 코탄젠트는 인접한 다리와 반대쪽 다리의 비율입니다.

직각 삼각형의 높이: 또는.

직각 삼각형에서 직각 꼭지점에서 그린 중앙값은 빗변의 절반과 같습니다: .

직각 삼각형의 면적:

카테터를 통해: