불평등 시스템 예제를 해결하는 방법. 간격 방법이란 무엇입니까?

주목!
추가사항이 있습니다
특별 조항 555의 자료.
매우 "별로..."인 사람들을 위해
그리고 "아주 많이…"라고 하시는 분들을 위해)

무슨 일이야? "이차 부등식"?질문 없습니다!) 어느이차 방정식을 계산하고 그 안의 기호를 바꾸세요. "=" (같음)을 부등호( > ≥ < ≤ ≠ ), 우리는 이차 부등식을 얻습니다. 예를 들어:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x 2 ≤ 4

뭐, 이해하겠지...)

내가 여기서 방정식과 불평등을 연결한 것은 아무것도 아닙니다. 요점은 문제 해결의 첫 번째 단계가 어느이차 부등식 - 이 부등식이 만들어지는 방정식을 풀어보세요.이러한 이유로 이차 방정식을 풀 수 없으면 자동으로 부등식의 완전한 실패로 이어집니다. 힌트가 명확합니까?) 그렇다면 이차 방정식을 푸는 방법을 살펴보십시오. 거기에 모든 것이 자세히 설명되어 있습니다. 그리고 이번 강의에서는 불평등을 다룰 것입니다.

해결 준비가 된 불평등의 형식은 다음과 같습니다. 왼쪽은 이차 삼항식입니다. 도끼 2 +bx+c, 오른쪽 - 0.불평등 기호는 무엇이든 될 수 있습니다. 처음 두 가지 예는 여기에 있습니다. 이미 결정을 내릴 준비가 되어 있습니다.세 번째 예는 아직 준비가 필요합니다.

이 사이트가 마음에 드신다면...

그건 그렇고, 당신을 위한 몇 가지 흥미로운 사이트가 더 있습니다.)

예제 풀이를 연습하고 자신의 레벨을 알아볼 수 있습니다. 즉시 검증으로 테스트합니다. 배우자 - 관심을 가지고!)

함수와 파생물에 대해 알아볼 수 있습니다.

먼저, 간격 방법이 해결하는 문제에 대한 느낌을 주기 위한 약간의 가사입니다. 다음 부등식을 해결해야 한다고 가정해 보겠습니다.

(x − 5)(x + 3) > 0

옵션은 무엇입니까? 대부분의 학생들에게 가장 먼저 떠오르는 것은 "더하기에 더하기는 더하기", "빼기에 빼기는 더하기"라는 규칙입니다. 따라서 두 괄호가 모두 양수인 경우(x − 5 > 0 및 x + 3 > 0)를 고려하는 것으로 충분합니다. 그런 다음 두 괄호가 모두 음수인 경우(x − 5)도 고려합니다.< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

좀 더 고급 학생들은 (아마도) 왼쪽에 그래프가 포물선인 이차 함수가 있다는 것을 기억할 것입니다. 게다가 이 포물선은 x = 5 및 x = −3 지점에서 OX 축과 교차합니다. 추가 작업을 위해서는 괄호를 열어야 합니다. 우리는:

x 2 − 2x − 15 > 0

이제 포물선의 가지가 위쪽을 향하고 있다는 것이 분명해졌습니다. 계수 a = 1 > 0. 이 포물선의 다이어그램을 그려 보겠습니다.

이 함수는 OX 축 위를 통과하는 경우 0보다 큽니다. 우리의 경우 이는 간격 (−무한대 -3) 및 (5; +무한대)입니다. 이것이 답입니다.

참고 사항: 그림은 정확하게 보여줍니다. 기능 다이어그램, 그녀의 일정이 아닙니다. 실제 그래프의 경우 좌표 계산, 변위 계산 및 현재로서는 전혀 사용하지 않는 기타 쓰레기를 계산해야 하기 때문입니다.

이러한 방법이 왜 효과적이지 않습니까?

그래서 우리는 동일한 불평등에 대한 두 가지 해결책을 고려했습니다. 둘 다 꽤 번거로운 것으로 판명되었습니다. 첫 번째 결정이 내려집니다. 생각해 보세요! - 불평등 시스템의 집합. 두 번째 해결책도 특별히 쉽지는 않습니다. 포물선 그래프와 기타 여러 가지 작은 사실을 기억해야 합니다.

그것은 아주 단순한 불평등이었다. 승수는 2개뿐입니다. 이제 승수가 2개가 아니라 최소한 4개가 있다고 상상해 보세요. 예를 들면 다음과 같습니다.

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

그러한 불평등을 해결하는 방법은 무엇입니까? 가능한 모든 장점과 단점의 조합을 살펴보시겠습니까? 예, 해결책을 찾는 것보다 더 빨리 잠들 것입니다. 그래프를 그리는 것도 옵션이 아닙니다. 이러한 함수가 좌표 평면에서 어떻게 작동하는지 명확하지 않기 때문입니다.

이러한 불평등의 경우 오늘 고려할 특별한 솔루션 알고리즘이 필요합니다.

간격 방법이란 무엇입니까?

간격 방법은 f(x) > 0 및 f(x) 형식의 복소 부등식을 풀기 위해 설계된 특수 알고리즘입니다.< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. 방정식 f (x) = 0을 푸십시오. 따라서 부등식 대신 해결하기 훨씬 더 간단한 방정식을 얻습니다.
2. 얻은 모든 뿌리를 좌표선에 표시하십시오. 따라서 직선은 여러 간격으로 나누어집니다.
3. 가장 오른쪽 구간에서 함수 f(x)의 부호(플러스 또는 마이너스)를 알아보세요. 이렇게 하려면 표시된 모든 근의 오른쪽에 있는 숫자를 f(x)로 대체하면 충분합니다.
4. 나머지 간격으로 표지판을 표시하십시오. 이렇게 하려면 각 루트를 통과할 때 기호가 변경된다는 점을 기억하세요.

그게 다야! 그 후에 남은 것은 우리가 관심을 갖는 간격을 적는 것뿐입니다. 부등식이 f(x) > 0 형식인 경우 "+" 기호로 표시되고, 부등식이 f(x) 형식인 경우 "-" 기호로 표시됩니다.< 0.

언뜻보기에 간격 방법은 일종의 작은 것처럼 보일 수 있습니다. 그러나 실제로는 모든 것이 매우 간단합니다. 조금만 연습하면 모든 것이 명확해질 것입니다. 예제를 살펴보고 직접 확인해 보세요.

일. 부등식을 해결합니다.

(x − 2)(x + 7)< 0

우리는 간격 방법을 사용하여 작업합니다. 1단계: 부등식을 방정식으로 바꾸고 해결합니다.

(x − 2)(x + 7) = 0

요인 중 하나 이상이 0인 경우에만 곱이 0입니다.

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

우리는 두 개의 뿌리를 얻었습니다. 2단계로 넘어가겠습니다. 좌표선에 이 뿌리를 표시하세요. 우리는:

이제 3단계: 가장 오른쪽 구간(표시된 지점 x = 2의 오른쪽)에서 함수의 부호를 찾습니다. 이렇게 하려면 숫자 x = 2보다 큰 숫자를 가져와야 합니다. 예를 들어 x = 3을 가정해 보겠습니다(그러나 x = 4, x = 10, 심지어 x = 10,000을 사용하는 것을 금지하는 사람은 아무도 없습니다). 우리는 다음을 얻습니다:

에프(x) = (x − 2)(x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

f(3) = 10 > 0임을 확인하므로 가장 오른쪽 구간에 더하기 기호를 넣습니다.

마지막 지점으로 넘어가겠습니다. 나머지 간격의 표시를 기록해야 합니다. 우리는 각 루트를 통과할 때 기호가 변경되어야 한다는 것을 기억합니다. 예를 들어 루트 x = 2의 오른쪽에는 플러스가 있으므로(이전 단계에서 이를 확인했습니다) 왼쪽에도 마이너스가 있어야 합니다.

이 마이너스는 전체 구간(−7; 2)으로 확장되므로 루트 x = −7의 오른쪽에 마이너스가 있습니다. 따라서 루트 x = −7의 왼쪽에는 플러스가 있습니다. 좌표축에 이러한 기호를 표시하는 것이 남아 있습니다. 우리는:

다음과 같은 형태의 원래 부등식으로 돌아가 보겠습니다.

(x − 2)(x + 7)< 0

따라서 함수는 0보다 작아야 합니다. 이는 우리가 하나의 간격(−7; 2)에만 나타나는 빼기 기호에 관심이 있음을 의미합니다. 이것이 답이 될 것입니다.

일. 부등식을 해결합니다.

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

1단계: 왼쪽을 0으로 설정합니다.

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

기억하세요: 요소 중 적어도 하나가 0과 같을 때 곱은 0과 같습니다. 그렇기 때문에 우리는 각 개별 괄호를 0과 동일시할 권리가 있습니다.

2단계: 좌표선에 모든 근을 표시합니다.

3단계: 가장 오른쪽 간격의 부호를 찾습니다. x = 1보다 큰 숫자는 무엇이든 사용할 수 있습니다. 예를 들어 x = 10을 사용할 수 있습니다.

f (x) = (x + 9)(x − 3)(1 − x);
x = 10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197;
f(10) = -1197< 0.

4단계: 나머지 표지판 배치. 우리는 각 루트를 통과할 때 기호가 변경된다는 것을 기억합니다. 결과적으로 우리의 그림은 다음과 같습니다.

그게 다야. 남은 것은 답을 적는 것뿐입니다. 원래 부등식을 다시 살펴보세요.

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

이는 f(x) 형식의 부등식입니다.< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +무한대)

이것이 답입니다.

기능 기호에 대한 참고 사항

연습에 따르면 간격 방법의 가장 큰 어려움은 마지막 두 단계에서 발생합니다. 표지판을 놓을 때. 많은 학생들이 혼란스러워하기 시작합니다. 어떤 숫자를 선택하고 표지판을 어디에 붙일지.

구간 방법을 최종적으로 이해하려면 이 방법의 기반이 되는 두 가지 관찰을 고려하십시오.

1. 연속 함수는 해당 지점에서만 부호를 변경합니다. 0과 같은 곳. 이러한 점은 좌표축을 여러 조각으로 분할하며 그 안에서 함수의 부호는 절대 변하지 않습니다. 이것이 우리가 방정식 f(x) = 0을 풀고 찾은 근을 직선에 표시하는 이유입니다. 발견된 숫자는 장점과 단점을 구분하는 "경계선" 지점입니다.
2. 어떤 구간에서 함수의 부호를 찾으려면 이 구간의 숫자를 함수에 대입하면 충분합니다. 예를 들어, 간격 (−5; 6)의 경우 x = −4, x = 0, x = 4 및 원하는 경우 x = 1.29374를 취할 권리가 있습니다. 왜 중요 함? 그렇습니다. 의심이 많은 학생들을 괴롭히기 시작하기 때문입니다. 예를 들어, x = −4에 대해 플러스를 얻고, x = 0에 대해 마이너스를 얻는다면 어떨까요? 그러나 이런 일은 결코 일어나지 않을 것입니다. 동일한 간격의 모든 점은 동일한 부호를 나타냅니다. 이것을 기억.

이것이 간격 방법에 대해 알아야 할 전부입니다. 물론 가장 간단한 형태로 분석해봤습니다. 비엄격, 분수 및 반복 근을 갖는 더 복잡한 불평등이 있습니다. 간격 방법을 사용할 수도 있지만 이는 별도의 대규모 강의 주제입니다.

이제 간격 방법을 획기적으로 단순화하는 고급 기술을 살펴보고 싶습니다. 보다 정확하게는 단순화는 세 번째 단계, 즉 선의 가장 오른쪽 부분에 있는 부호를 계산하는 단계에만 영향을 미칩니다. 어떤 이유에서인지 이 기술은 학교에서 가르치지 않습니다(적어도 아무도 나에게 설명하지 않았습니다). 그러나 헛된 일입니다. 실제로 이 알고리즘은 매우 간단하기 때문입니다.

따라서 함수의 부호는 수직선의 오른쪽 부분에 있습니다. 이 부분은 (a ; +무한대) 형식을 가지며, 여기서 a는 방정식 f(x) = 0의 가장 큰 근입니다. 당황하지 않기 위해 구체적인 예를 고려해 보겠습니다.

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x);
(x − 1)(2 + x)(7 − x) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

우리는 3개의 뿌리를 얻었습니다. x = −2, x = 1, x = 7과 같이 오름차순으로 나열해 보겠습니다. 분명히 가장 큰 근은 x = 7입니다.

그래픽으로 추론하는 것이 더 쉽다고 생각하는 사람들을 위해 이 루트를 좌표선에 표시하겠습니다. 무슨 일이 일어나는지 봅시다:

가장 오른쪽 간격에서 함수 f(x)의 부호를 찾는 것이 필요합니다. (7; +무한대). 그러나 우리가 이미 언급했듯이 부호를 결정하기 위해 이 간격에서 임의의 숫자를 취할 수 있습니다. 예를 들어 x = 8, x = 150 등을 사용할 수 있습니다. 그리고 지금은 학교에서 가르치지 않는 것과 동일한 기술입니다. 무한대를 숫자로 삼아 보겠습니다. 더 정확하게, 플러스 무한대, 즉. + 과.

“돌에 맞았나요? 어떻게 무한대를 함수로 대체할 수 있나요?” - 물어볼 수도 있겠네요. 하지만 생각해 보세요. 함수 자체의 값은 필요하지 않고 부호만 필요합니다. 따라서 예를 들어 f (x) = −1 및 f (x) = −938 740 576 215 값은 동일한 것을 의미합니다. 이 구간의 함수는 음수입니다. 따라서 당신에게 필요한 것은 함수의 값이 아니라 무한대에 나타나는 부호를 찾는 것입니다.

사실 무한대를 대입하는 것은 매우 간단합니다. 우리의 기능으로 돌아가자:

에프(x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

x가 매우 큰 숫자라고 상상해 보세요. 10억, 심지어는 1조. 이제 각 괄호에서 무슨 일이 일어나는지 살펴보겠습니다.

첫 번째 괄호: (x − 1). 10억에서 1을 빼면 어떻게 될까요? 결과는 10억과 크게 다르지 않은 숫자가 될 것이며, 이 숫자는 양수일 것입니다. 두 번째 괄호도 마찬가지입니다: (2 + x). 2에 10억을 더하면 10억과 코펙을 얻게 됩니다. 이는 양수입니다. 마지막으로 세 번째 괄호는 (7 − x)입니다. 여기에는 7이라는 형태의 한심한 조각이 "갉아 먹힌" 마이너스 10억 달러가 있을 것입니다. 저것들. 결과 숫자는 마이너스 10억과 크게 다르지 않으며 음수입니다.

남은 것은 전체 작업의 기호를 찾는 것입니다. 첫 번째 괄호에는 플러스가 있고 마지막 괄호에는 마이너스가 있으므로 다음과 같은 구성을 얻습니다.

(+) · (+) · (−) = (−)

마지막 기호는 마이너스입니다! 그리고 함수 자체의 값이 무엇인지는 중요하지 않습니다. 가장 중요한 것은 이 값이 음수라는 것입니다. 가장 오른쪽 간격에는 빼기 기호가 있습니다. 남은 것은 간격 방법의 네 번째 단계인 모든 기호를 정렬하는 것입니다. 우리는:

원래 부등식은 다음과 같습니다.

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

따라서 우리는 마이너스 기호로 표시된 구간에 관심이 있습니다. 우리는 답을 작성합니다:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +무한대)

그것이 내가 당신에게 말하고 싶었던 모든 트릭입니다. 결론적으로 무한대를 이용한 간격법으로 ​​풀 수 있는 또 다른 부등식은 다음과 같다. 솔루션을 시각적으로 단축하기 위해 단계 번호와 자세한 설명을 작성하지 않겠습니다. 실제 문제를 해결할 때 꼭 작성해야 할 내용만 작성하겠습니다.

일. 부등식을 해결합니다.

x (2x + 8)(x − 3) > 0

불평등을 방정식으로 바꾸고 해결합니다.

x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

좌표선에 세 루트를 모두 표시합니다(한 번에 기호 사용).

좌표축 오른쪽에 플러스가 있는데, 왜냐하면 기능은 다음과 같습니다

에프(x) = x(2x + 8)(x − 3)

그리고 무한대(예: 10억)를 대체하면 세 개의 양수 괄호가 표시됩니다. 원래 표현식은 0보다 커야 하므로 우리는 양수에만 관심이 있습니다. 남은 것은 답을 작성하는 것뿐입니다.

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +무한대)

구조상 방정식과 유사하고 독특한 특징을 갖는 불평등을 해결하는 방법을 모든 사람이 아는 것은 아닙니다. 방정식은 두 부분으로 구성된 연습이며, 그 사이에는 등호가 있고 부등식 부분 사이에는 "초과" 또는 "미만" 기호가 있을 수 있습니다. 따라서 특정 부등식에 대한 해결책을 찾기 전에 양쪽에 표현식을 곱해야 하는 경우 숫자의 부호(양수 또는 음수)를 고려하는 것이 가치가 있음을 이해해야 합니다. 제곱은 곱셈을 통해 수행되므로 부등식을 해결하기 위해 제곱이 필요한 경우 동일한 사실을 고려해야 합니다.

불평등 시스템을 해결하는 방법

불평등 시스템을 해결하는 것은 일반적인 불평등보다 훨씬 더 어렵습니다. 구체적인 예를 사용하여 9학년의 불평등을 해결하는 방법을 살펴보겠습니다. 2차 부등식(시스템)이나 다른 부등식 시스템을 해결하기 전에 각 부등식을 개별적으로 해결한 다음 비교해야 한다는 점을 이해해야 합니다. 불평등 시스템에 대한 해결책은 긍정적이거나 부정적인 대답(시스템에 해결책이 있든 없든)이 될 것입니다.

임무는 일련의 불평등을 해결하는 것입니다.

각 불평등을 개별적으로 해결해 보겠습니다.

우리는 일련의 솔루션을 묘사하는 수직선을 만듭니다.

집합은 해 집합의 합집합이므로 수직선의 이 집합에는 적어도 한 줄에 밑줄이 그어져야 합니다.

모듈러스로 부등식 풀기

이 예에서는 모듈러스를 사용하여 부등식을 해결하는 방법을 보여줍니다. 그래서 우리는 다음과 같은 정의를 가지고 있습니다:

우리는 불평등을 해결해야 합니다:

이러한 부등식을 해결하기 전에 모듈러스(부호)를 제거해야 합니다.

정의 데이터를 기반으로 다음과 같이 작성해 보겠습니다.

이제 각 시스템을 개별적으로 해결해야 합니다.

솔루션 세트를 묘사하는 하나의 수직선을 구성해 보겠습니다.

그 결과, 우리는 다양한 솔루션을 결합한 컬렉션을 보유하게 되었습니다.

2차 부등식 풀기

수직선을 사용하여 이차 부등식을 푸는 예를 살펴보겠습니다. 불평등이 있습니다.

우리는 이차 삼항식의 그래프가 포물선이라는 것을 알고 있습니다. 또한 a>0이면 포물선의 가지가 위쪽을 향한다는 것도 알고 있습니다.

x 2 -3x-4< 0

Vieta의 정리를 사용하여 근 x 1 = - 1을 찾습니다. x 2 = 4

포물선 또는 오히려 그 스케치를 그려 봅시다.

따라서 우리는 2차 삼항식의 값이 -1에서 4까지의 구간에서 0보다 작다는 것을 알아냈습니다.

많은 사람들이 g(x)와 같은 이중 불평등을 풀 때 질문을 합니다.< f(x) < q(x). Перед тем, как решать двойные неравенства, необходимо их раскладывать на простые, и каждое простое неравенство решать по отдельности. Например, разложив наш пример, получим в результате систему неравенств g(x) < f(x) и f(x) < q(x), которую следует и решать.

실제로 불평등을 해결하는 방법에는 여러 가지가 있으므로 그래픽 방법을 사용하여 복잡한 불평등을 해결할 수 있습니다.

분수 부등식 풀기

분수 부등식에는 더욱 신중한 접근이 필요합니다. 이는 일부 분수 부등식을 해결하는 과정에서 부호가 변경될 수 있기 때문입니다. 분수 부등식을 풀기 전에, 이를 해결하기 위해 간격 방법이 사용된다는 것을 알아야 합니다. 분수 부등식은 부호의 한 쪽이 분수 유리식처럼 보이고 다른 쪽은 “-0”처럼 보이도록 표시되어야 합니다. 이러한 방식으로 부등식을 변환하면 결과적으로 f(x)/g(x) > (.

간격 방법을 사용하여 부등식 풀기

간격 기법은 완전 귀납법을 기반으로 합니다. 즉, 불평등에 대한 해결책을 찾기 위해 가능한 모든 옵션을 거쳐야 합니다. 이 해결 방법은 8학년 학생들에게는 간단한 연습인 8학년 불평등을 해결하는 방법을 알아야 하기 때문에 필요하지 않을 수 있습니다. 그러나 고학년의 경우 이 방법은 부분 불평등을 해결하는 데 도움이 되므로 반드시 필요합니다. 이 기술을 사용하여 부등식을 해결하는 것은 0으로 바뀌는 값 사이의 부호를 유지하는 연속 함수의 속성을 기반으로 합니다.

다항식의 그래프를 만들어 봅시다. 이는 값 0을 3번 취하는 연속 함수입니다. 즉, f(x)는 다항식의 근인 x 1, x 2 및 x 3 지점에서 0과 같습니다. 이 점 사이의 간격에서는 함수의 부호가 유지됩니다.

부등식 f(x)>0을 풀려면 함수의 부호가 필요하므로 그래프를 떠나 좌표선으로 이동합니다.

x(x 1 ; x 2) 및 x(x 3 ;)의 경우 f(x)>0

f(x)x(- ; x 1) 및 x (x 2 ; x 3)

그래프는 부등식 f(x)f(x)>0에 대한 해를 명확하게 보여줍니다(첫 번째 부등식에 대한 해는 파란색으로, 두 번째 부등식에 대한 해는 빨간색으로 표시됨). 구간에서 함수의 부호를 결정하려면 점 중 하나에서 함수의 부호를 아는 것으로 충분합니다. 이 기술을 사용하면 좌변이 인수분해되는 부등식을 신속하게 해결할 수 있습니다. 왜냐하면 이러한 부등식에서는 근을 찾는 것이 매우 쉽기 때문입니다.

불평등과 불평등 체계는 고등학교 대수학에서 다루는 주제 중 하나입니다. 난이도 측면에서는 간단한 규칙이 있기 때문에 가장 어렵지는 않습니다(조금 나중에 자세히 설명합니다). 일반적으로 학생들은 불평등 시스템을 아주 쉽게 해결하는 방법을 배웁니다. 이는 또한 교사가 이 주제에 대해 학생들을 단순히 "훈련"한다는 사실 때문이기도 합니다. 그리고 그들은 이것을 할 수밖에 없습니다. 왜냐하면 그것은 미래에 다른 수학적 수량을 사용하여 연구되고 통합 상태 시험과 통합 상태 시험에서도 테스트되기 때문입니다. 학교 교과서에는 불평등과 불평등 시스템에 대한 주제가 매우 자세하게 다루어져 있으므로, 공부할 예정이라면 그에 의지하는 것이 가장 좋습니다. 이 글은 더 큰 내용만을 요약한 것이므로 일부 누락된 내용이 있을 수 있습니다.

불평등 시스템의 개념

과학적 언어로 전환하면 "불평등 시스템"이라는 개념을 정의할 수 있습니다. 이것은 여러 불평등을 나타내는 수학적 모델입니다. 물론 이 모델에는 솔루션이 필요하며 이는 작업에서 제안된 시스템의 모든 불평등에 대한 일반적인 대답이 될 것입니다(일반적으로 다음과 같이 작성됩니다. "불평등 시스템 4 x + 1 > 2 및 30 - x > 6... "). 그러나 솔루션의 유형과 방법으로 넘어가기 전에 다른 것을 이해해야 합니다.

부등식 및 방정식 시스템

새로운 주제를 배울 때 종종 오해가 발생합니다. 한편으로는 모든 것이 명확하고 가능한 한 빨리 작업 해결을 시작하고 싶지만 다른 한편으로는 일부 순간이 "그림자"에 남아 완전히 이해되지 않습니다. 또한 이미 습득한 지식의 일부 요소가 새로운 지식과 얽힐 수도 있습니다. 이러한 "겹침"으로 인해 오류가 자주 발생합니다.

따라서 주제 분석을 시작하기 전에 방정식과 부등식 및 해당 시스템의 차이점을 기억해야 합니다. 이를 위해서는 이러한 수학적 개념이 무엇을 나타내는지 다시 한 번 설명할 필요가 있습니다. 방정식은 항상 동일하며 항상 무언가와 동일합니다(수학에서 이 단어는 "=" 기호로 표시됨). 불평등은 한 값이 다른 값보다 크거나 작거나 동일하지 않다는 진술을 포함하는 모델입니다. 따라서 첫 번째 경우에는 평등에 대해 이야기하는 것이 적절하고 두 번째 경우에는 이름 자체에서 아무리 분명하게 들리더라도 초기 데이터의 불평등에 대해 이야기하는 것이 적절합니다. 방정식과 부등식의 체계는 실질적으로 서로 다르지 않으며 이를 해결하는 방법도 동일합니다. 유일한 차이점은 첫 번째 경우에는 평등이 사용되고 두 번째 경우에는 불평등이 사용된다는 것입니다.

불평등의 유형

부등식에는 수치적 부등식과 변수를 알 수 없는 부등식의 두 가지 유형이 있습니다. 첫 번째 유형은 서로 동일하지 않은 제공된 수량(숫자)을 나타냅니다(예: 8 > 10). 두 번째 유형은 알 수 없는 변수(라틴 알파벳 문자, 대부분 X로 표시됨)를 포함하는 부등식입니다. 이 변수를 찾아야 합니다. 수학적 모델은 얼마나 많은지에 따라 하나의 불평등(하나의 변수로 불평등 시스템을 구성함) 또는 여러 변수(여러 변수로 불평등 시스템을 구성함)를 구별합니다.

마지막 두 가지 유형은 구성 정도와 솔루션의 복잡성 수준에 따라 단순 유형과 복합 유형으로 구분됩니다. 단순한 것은 선형 불평등이라고도 합니다. 차례로 엄격한 것과 엄격하지 않은 것으로 나뉩니다. 엄격한 사람들은 특히 한 양이 반드시 더 적거나 많아야 한다고 "말"하므로 이는 순수한 불평등입니다. 몇 가지 예가 주어질 수 있습니다: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 등. 엄격하지 않은 것에는 동등성도 포함됩니다. 즉, 한 값은 다른 값보다 크거나 같거나("≥" 기호) 다른 값보다 작거나 같을 수 있습니다("≤" 기호). 선형 부등식에서도 변수는 근, 제곱 또는 어떤 것으로도 나누어지지 않습니다. 이것이 바로 "단순"이라고 불리는 이유입니다. 복잡한 변수에는 찾기 위해 더 많은 수학이 필요한 알 수 없는 변수가 포함됩니다. 그들은 종종 정사각형, 입방체 또는 루트 아래에 위치하며 모듈식, 로그, 분수 등이 될 수 있습니다. 그러나 우리의 임무는 불평등 시스템의 솔루션을 이해해야하기 때문에 선형 불평등 시스템에 대해 이야기하겠습니다. . 그러나 그 전에 해당 속성에 대해 몇 마디 말해야 합니다.

불평등의 속성

불평등의 속성은 다음과 같습니다.

1. 변의 순서를 변경하기 위해 연산을 사용하는 경우 부등호가 반전됩니다(예: t 1 ≤ t 2이면 t 2 ≥ t 1).
2. 부등식의 양쪽을 사용하면 자신에게 동일한 숫자를 추가할 수 있습니다(예를 들어 t 1 ≤ t 2인 경우 t 1 + 숫자 ≤ t 2 + 숫자).
3. 동일한 방향의 부호가 있는 두 개 이상의 부등식을 사용하면 왼쪽과 오른쪽이 추가될 수 있습니다(예를 들어 t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4인 경우 t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4). .
4. 부등식의 두 부분 모두 동일한 양수로 곱하거나 나눌 수 있습니다(예를 들어 t 1 ≤ t 2이고 숫자 ≤ 0인 경우 숫자 · t 1 ≥ 숫자 · t 2).
5. 양의 항과 동일한 방향의 부호를 갖는 두 개 이상의 부등식은 서로 곱할 수 있습니다(예: t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t인 경우) 4 ≥ 0이면 t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
6. 부등식의 두 부분 모두 동일한 음수를 곱하거나 나눌 수 있지만 이 경우 부등식의 부호가 변경됩니다(예를 들어, t 1 ≤ t 2이고 숫자 ≤ 0이면 숫자 · t 1 ≥ 숫자 · t 2).
7. 모든 부등식은 이행성의 특성을 갖습니다(예를 들어, t 1 ≤ t 2이고 t 2 ≤ t 3이면 t 1 ≤ t 3입니다).

이제 불평등과 관련된 이론의 기본 원리를 연구한 후 시스템 해결 규칙을 직접 고려할 수 있습니다.

불평등 시스템을 해결합니다. 일반 정보. 솔루션

위에서 언급했듯이 솔루션은 주어진 시스템의 모든 부등식에 적합한 변수 값입니다. 불평등 시스템을 해결하는 것은 궁극적으로 전체 시스템에 대한 솔루션으로 이어지거나 시스템에 솔루션이 없음을 증명하는 수학적 연산을 구현하는 것입니다. 이 경우 변수는 빈 숫자 집합에 속한다고 합니다(다음과 같이 작성됨: 변수를 나타내는 문자∈("속함" 기호) ø("빈 집합" 기호), 예를 들어 x ∈ ø(읽기: "변수 "x"는 빈 집합에 속합니다"). 불평등 시스템을 해결하는 방법에는 그래픽, 대수, 대체 방법 등 여러 가지가 있습니다. 여러 가지 알려지지 않은 변수가 있는 수학적 모델을 참조한다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 하나만 있는 경우 간격 방법이 적합합니다.

그래픽 방식

여러 알 수 없는 양(2개 이상)이 있는 부등식 시스템을 풀 수 있습니다. 이 방법 덕분에 선형 부등식 시스템을 매우 쉽고 빠르게 풀 수 있어 가장 일반적인 방법입니다. 이는 그래프를 그리면 수학 연산 작성량이 줄어들기 때문입니다. 많은 작업이 완료되었고 약간의 다양성을 원할 때 펜에서 잠시 휴식을 취하고 자로 연필을 들고 도움을 받아 추가 작업을 시작하는 것이 특히 즐겁습니다. 그러나 일부 사람들은 작업에서 벗어나 정신 활동을 그림 그리기로 전환해야 하기 때문에 이 방법을 좋아하지 않습니다. 그러나 이것은 매우 효과적인 방법입니다.

그래픽 방법을 사용하여 부등식 시스템을 풀려면 각 부등식의 모든 항을 왼쪽으로 옮겨야 합니다. 부호가 반전되어 오른쪽에 0을 써야 하며, 각 부등식은 별도로 써야 합니다. 결과적으로, 부등식으로부터 함수를 얻게 됩니다. 그런 다음 연필과 자를 꺼낼 수 있습니다. 이제 얻은 각 기능에 대한 그래프를 그려야 합니다. 교차점 간격에 있는 전체 숫자 집합은 불평등 시스템에 대한 솔루션이 될 것입니다.

대수적 방법

두 개의 알려지지 않은 변수가 있는 부등식 시스템을 풀 수 있습니다. 또한 부등식은 동일한 부등 기호를 가져야 합니다. 즉, "보다 큼" 기호만 포함하거나 "보다 작음" 기호만 포함해야 합니다. 이러한 제한에도 불구하고 이 방법은 더 복잡합니다. 2단계로 적용됩니다.

첫 번째는 알려지지 않은 변수 중 하나를 제거하는 작업과 관련됩니다. 먼저 이를 선택한 다음 이 변수 ​​앞에 숫자가 있는지 확인해야 합니다. 거기에 없으면 (변수는 단일 문자처럼 보일 것입니다) 아무것도 변경하지 않습니다. 변수가 있으면 (변수 유형은 예를 들어 5y 또는 12y입니다) 다음을 만들어야합니다. 각 부등식에서 선택한 변수 앞의 숫자가 동일한지 확인하세요. 이렇게 하려면 부등식의 각 항에 공통 인수를 곱해야 합니다. 예를 들어 첫 번째 부등식에 3y를 쓰고 두 번째 부등식에 5y를 쓴 경우 첫 번째 부등식의 모든 항에 5를 곱해야 합니다. , 두 번째는 3입니다. 결과는 각각 15y와 15y입니다.

솔루션의 두 번째 단계. 각 부등식의 왼쪽을 오른쪽으로 옮기고 각 항의 부호를 반대쪽으로 변경하고 오른쪽에 0을 써야 합니다. 그런 다음에는 부등식을 추가하면서 선택한 변수를 제거(또는 "축소"라고도 함)하는 재미있는 부분이 있습니다. 이로 인해 해결해야 할 하나의 변수가 있는 불평등이 발생합니다. 그 후에는 다른 알려지지 않은 변수에 대해서만 동일한 작업을 수행해야 합니다. 얻은 결과는 시스템의 솔루션이 됩니다.

대체방법

새로운 변수를 도입할 수 있는 경우 불평등 시스템을 해결할 수 있습니다. 일반적으로 이 방법은 부등식의 한 항에서 알 수 없는 변수를 4제곱하고 다른 항에서는 이를 제곱할 때 사용됩니다. 따라서 이 방법은 시스템의 불평등 정도를 줄이는 것을 목표로 합니다. 표본 불평등 x 4 - x 2 - 1 ≤ 0은 이런 방식으로 해결됩니다. 예를 들어 t와 같은 새로운 변수가 도입되었습니다. 그들은 "Let t = x 2"라고 쓰고 모델은 새로운 형식으로 다시 작성됩니다. 우리의 경우에는 t 2 - t - 1 ≤0을 얻습니다. 이 부등식은 간격 방법(조금 나중에 자세히 설명)을 사용하여 해결한 다음 변수 X로 돌아가서 다른 부등식에 대해서도 동일한 작업을 수행해야 합니다. 받은 답변은 시스템의 솔루션이 될 것입니다.

간격 방법

이는 불평등 시스템을 해결하는 가장 간단한 방법인 동시에 보편적이고 널리 퍼져 있습니다. 중등학교는 물론 고등학교에서도 사용됩니다. 그 본질은 학생이 공책에 그려진 수직선(그래프가 아니라 숫자가 있는 일반 선)에서 불평등 간격을 찾는다는 사실에 있습니다. 불평등의 간격이 교차하는 곳에서 시스템에 대한 해가 발견됩니다. 간격 방법을 사용하려면 다음 단계를 수행해야 합니다.

1. 각 부등식의 모든 항은 부호가 반대 방향으로 바뀌면서 왼쪽으로 이동됩니다(오른쪽에 0이 기록됨).
2. 불평등은 별도로 작성되고 각각에 대한 해결책이 결정됩니다.
3. 수직선에서 부등식의 교차점이 발견됩니다. 이 교차점에 있는 모든 숫자가 해결책이 될 것입니다.

어떤 방법을 사용해야 합니까?

분명히 가장 쉽고 편리해 보이지만 작업에 특정 방법이 필요한 경우가 있습니다. 대부분 그래프나 간격 방법을 사용하여 문제를 풀어야 한다고 말합니다. 대수적 방법과 치환은 상당히 복잡하고 혼란스럽기 때문에 극히 드물게 사용되거나 전혀 사용되지 않으며, 게다가 부등식보다는 방정식 시스템을 푸는 데 더 많이 사용되므로 그래프와 간격을 그리는 데 의존해야 합니다. 이는 수학 연산의 효율적이고 빠른 실행에 기여할 수밖에 없는 명확성을 제공합니다.

문제가 해결되지 않으면

대수학의 특정 주제를 공부하는 동안 당연히 이해에 문제가 발생할 수 있습니다. 그리고 이것은 정상적인 현상입니다. 왜냐하면 우리의 뇌는 복잡한 자료를 한 번에 이해할 수 없도록 설계되었기 때문입니다. 단락을 다시 읽거나, 교사의 도움을 받거나, 표준 과제 해결을 연습해야 하는 경우가 많습니다. 우리의 경우 예를 들어 다음과 같이 보입니다. "부등식 시스템 3 x + 1 ≥ 0 및 2 x - 1 > 3을 해결합니다." 따라서 개인적인 욕구, 외부인의 도움 및 실습은 복잡한 주제를 이해하는 데 도움이 됩니다.

해결사?

솔루션 북도 매우 적합하지만 숙제 복사에는 적합하지 않지만 자조에는 적합합니다. 여기에서 솔루션과 불평등 시스템을 찾고, 템플릿으로 살펴보고, 솔루션 작성자가 작업에 어떻게 대처했는지 정확히 이해하려고 노력한 다음 스스로 동일한 작업을 수행해 볼 수 있습니다.

결론

대수학은 학교에서 가장 어려운 과목 중 하나입니다. 글쎄, 당신은 무엇을 할 수 있습니까? 수학은 항상 이랬습니다. 어떤 사람에게는 쉽지만 다른 사람에게는 어렵습니다. 그러나 어쨌든 일반 교육 프로그램은 모든 학생이 대처할 수 있도록 구성되어 있음을 기억해야합니다. 또한 엄청난 수의 조수를 염두에 두어야합니다. 그 중 일부는 위에서 언급되었습니다.

예를 들어 부등식은 \(x>5\) 표현식입니다.

불평등의 유형:

\(a\)와 \(b\)가 숫자 또는 이면 부등식을 호출합니다. 숫자. 실제로는 두 숫자를 비교하는 것뿐입니다. 이러한 불평등은 다음과 같이 나뉩니다. 충실한그리고 불성실한.

예를 들어:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\)는 \(17+3=20\)이고 \(20\)이 \(115\)보다 작으며 그보다 크거나 같지 않기 때문에 잘못된 수치 부등식입니다. .

\(a\)와 \(b\)가 변수를 포함하는 표현식이면 다음과 같습니다. 변수가 있는 부등식. 이러한 불평등은 내용에 따라 유형으로 구분됩니다.

\(2x+1\geq4(5-x)\)				1차 거듭제곱까지만 가변
\(3x^2-x+5>0\)				2차 제곱(사각형)에는 변수가 있지만 더 높은 제곱(3차, 4차 등)은 없습니다.
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... 등등.

불평등의 해결책은 무엇인가?

변수 대신 숫자를 부등식으로 대체하면 숫자로 변합니다.

x에 대해 주어진 값이 원래 부등식을 실제 수치 부등식으로 바꾸면 이를 호출합니다. 불평등에 대한 해결책. 그렇지 않은 경우 이 값은 해결책이 아닙니다. 그리고 불평등을 해결하다– 모든 해결책을 찾아야 합니다(또는 해결책이 없음을 보여주어야 합니다).

예를 들어,숫자 \(7\)을 선형 부등식 \(x+6>10\)에 대입하면 올바른 수치 부등식인 \(13>10\)을 얻습니다. 그리고 \(2\)를 대체하면 잘못된 수치 부등식 \(8>10\)이 발생합니다. 즉, \(7\)은 원래 부등식의 해이지만 \(2\)는 그렇지 않습니다.

그러나 부등식 \(x+6>10\)에는 다른 해법이 있습니다. 실제로 \(5\), \(12\), \(138\)을 대입하면 올바른 수치적 부등식을 얻을 수 있습니다. 그리고 가능한 모든 솔루션을 어떻게 찾을 수 있습니까? 이를 위해 그들은 다음을 사용합니다. 우리의 경우에는 다음이 있습니다.

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

즉, 4보다 큰 숫자는 우리에게 적합합니다. 이제 답을 적어야 합니다. 부등식에 대한 해는 일반적으로 숫자로 작성되며 추가로 숫자 축에 음영으로 표시됩니다. 우리의 경우에는 다음이 있습니다.

답변: \(x\in(4;+\infty)\)

부등식의 부호는 언제 바뀌나요?

불평등에는 학생들이 정말 빠지기를 “좋아하는” 큰 함정이 하나 있습니다.

부등식을 음수로 곱하거나 나누면 역순으로 표시됩니다(“더 많은”은 “더 적은”으로, “더 많거나 같음”은 “작거나 같음”으로 등).

왜 이런 일이 발생합니까? 이를 이해하기 위해 수치적 부등식 \(3>1\)의 변환을 살펴보겠습니다. 맞습니다. 3은 실제로 1보다 큽니다. 먼저, 여기에 임의의 양수(예: 2)를 곱해 보겠습니다.

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

보시다시피, 곱셈 후에도 불평등은 그대로 유지됩니다. 그리고 어떤 양수를 곱하더라도 우리는 항상 올바른 부등식을 얻게 됩니다. 이제 음수(예: 마이너스 3)를 곱해 보겠습니다.

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

결과는 잘못된 부등식입니다. 왜냐하면 -9가 -3보다 작기 때문입니다! 즉, 부등식이 참이 되려면(따라서 음수에 의한 곱셈의 변환이 "합법적"이었습니다) 다음과 같이 비교 부호를 뒤집어야 합니다: \(−9<− 3\).
나누기를 사용하면 동일한 방식으로 작동하므로 직접 확인할 수 있습니다.

위에 쓰여진 규칙은 수치적 불평등뿐만 아니라 모든 유형의 불평등에 적용됩니다.

예: 부등식 풀기 \(2(x+1)-1<7+8x\)
해결책:

\(2x+2-1<7+8x\)	부호를 바꾸는 것을 잊지 말고 \(8x\)를 왼쪽으로, \(2\)와 \(-1\)을 오른쪽으로 이동해 봅시다.
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	부등식의 양변을 \(-6\)으로 나누고, "적음"을 "더 많은"으로 변경하는 것을 잊지 마세요.
	축에 숫자 간격을 표시해 보겠습니다. 불평등, 따라서 우리는 \(-1\) 값 자체를 "찔러서" 답으로 받아들이지 않습니다.
	답을 간격으로 쓰자

답변: \(x\in(-1;\infty)\)

불평등과 장애

방정식과 마찬가지로 부등식도 , 즉 x 값에 제한을 둘 수 있습니다. 따라서 DZ에 따라 허용되지 않는 값은 솔루션 범위에서 제외되어야 합니다.

예: 부등식 \(\sqrt(x+1) 풀기<3\)

해결책: 좌변이 \(3\)보다 작으려면 근호 표현이 \(9\)보다 작아야 한다는 것이 분명합니다(결국 \(9\)에서 \(3\)만 가능). 우리는 다음을 얻습니다:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(엑스<8\)

모두? \(8\)보다 작은 x 값이 적합할까요? 아니요! 예를 들어 요구 사항에 맞는 것으로 보이는 \(-5\) 값을 취하면 음수의 근을 계산하게 되므로 원래 부등식에 대한 해결책이 될 수 없기 때문입니다.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

따라서 X 값에 대한 제한 사항도 고려해야 합니다. 루트 아래에 음수가 있을 수는 없습니다. 따라서 x에 대한 두 번째 요구 사항은 다음과 같습니다.

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

그리고 x가 최종 해가 되려면 두 가지 요구 사항을 동시에 충족해야 합니다. \(8\)보다 작아야 하고(해가 되려면) \(-1\)보다 커야 합니다(원칙적으로 허용됨). 이를 수직선에 그려보면 최종 답은 다음과 같습니다.

답변: \(\왼쪽[-1;8\오른쪽)\)