행렬의 유형은 무엇입니까? 역행렬의 존재조건에 대한 정리

19.10.2019

서비스의 목적. 매트릭스 계산기 3A-CB 2 또는 A -1 +B T 와 같은 행렬 표현식을 풀기 위해 설계되었습니다.

지침. 온라인 솔루션의 경우 행렬 표현식을 지정해야 합니다. 두 번째 단계에서는 행렬의 차원을 명확히 하는 것이 필요합니다.

유효한 연산: 곱셈(*), 더하기(+), 빼기(-), 역행렬 A^(-1), 지수화(A^2, B^3), 행렬 전치(A^T).

유효한 연산: 곱셈(*), 더하기(+), 빼기(-), 역행렬 A^(-1), 지수화(A^2, B^3), 행렬 전치(A^T).
작업 목록을 수행하려면 세미콜론(;) 구분 기호를 사용합니다. 예를 들어 세 가지 작업을 수행하려면 다음과 같이 하십시오.
가) 3A+4B
b) AB-VA
c) (A-B) -1
다음과 같이 작성해야 합니다: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

행렬은 m개의 행과 n개의 열로 구성된 직사각형 수치표이므로, 행렬을 개략적으로 직사각형으로 표현할 수 있습니다.
영행렬(널 행렬)는 요소가 모두 0이고 0으로 표시되는 행렬입니다.
단위 행렬다음 형식의 정사각 행렬이라고 합니다.

두 행렬 A와 B가 같습니다., 크기가 같고 해당 요소가 동일한 경우.
특이행렬행렬식은 0(Δ = 0)인 행렬입니다.

정의해보자 행렬에 대한 기본 연산.

매트릭스 추가

정의 . 동일한 크기의 두 행렬의 합은 동일한 차원의 행렬이며, 그 요소는 다음 공식에 따라 구됩니다.

. C = A+B로 표시됩니다.

실시예 6. .
행렬 덧셈의 연산은 임의 개수의 항의 경우까지 확장됩니다. 분명히 A+0=A 입니다.
동일한 크기의 행렬만 추가할 수 있다는 점을 다시 한 번 강조하겠습니다. 크기가 다른 행렬의 경우 추가 연산이 정의되지 않습니다.

행렬 빼기

정의 . 동일한 크기의 행렬 B와 A의 차이 B-A는 A+ C = B가 되는 행렬 C입니다.

행렬 곱셈

정의 . 행렬과 숫자 α의 곱은 A의 모든 요소에 α를 곱하여 얻은 행렬입니다.
정의 . 두 개의 행렬이 주어지자

및 , A의 열 수는 B의 행 수와 같습니다. A와 B의 곱은 다음 공식에 따라 요소를 구하는 행렬입니다.

.
C = A·B로 표시됩니다.
개략적으로, 행렬 곱셈의 연산은 다음과 같이 묘사될 수 있습니다:

제품의 요소 계산 규칙은 다음과 같습니다.

곱 A·B는 첫 번째 요소의 열 수가 두 번째 요소의 행 수와 같고 그 곱이 행 수와 동일한 행렬을 생성하는 경우에만 의미가 있음을 다시 한 번 강조하겠습니다. 첫 번째 요소의 행 수와 열 수는 두 번째 요소의 열 수와 같습니다. 특별한 온라인 계산기를 사용하여 곱셈 결과를 확인할 수 있습니다.

실시예 7. 주어진 행렬 그리고 . 행렬 C = A·B 및 D = B·A를 구합니다.
해결책. 우선, A의 열 개수와 B의 행 개수가 같기 때문에 곱 A·B가 존재한다는 점에 유의하세요.

일반적인 경우 A·B≠B·A, 즉 행렬의 곱은 반교환적입니다.
B·A(곱셈 가능)를 구해보자.

실시예 8. 행렬이 주어지면 . 3A 2 – 2A를 찾으세요.
해결책.

.
; .
.
다음과 같은 흥미로운 사실을 살펴보겠습니다.
아시다시피, 0이 아닌 두 숫자의 곱은 0이 아닙니다. 행렬의 경우 유사한 상황이 발생하지 않을 수 있습니다. 즉, 0이 아닌 행렬의 곱이 널 행렬과 같을 수 있습니다.

행렬은 수학에서 특별한 대상입니다. 특정 수의 행과 열로 구성된 직사각형 또는 정사각형 테이블 형태로 표시됩니다. 수학에는 크기나 내용이 다양한 다양한 유형의 행렬이 있습니다. 행과 열의 수를 순서라고 합니다. 이러한 개체는 수학에서 선형 방정식 시스템의 기록을 구성하고 해당 결과를 편리하게 검색하는 데 사용됩니다. 행렬을 사용하는 방정식은 Carl Gauss, Gabriel Cramer, 부전공 및 대수적 추가 방법 및 기타 여러 방법을 사용하여 해결됩니다. 행렬 작업 시 기본 기술은 표준 형식으로 축소하는 것입니다. 그러나 먼저 수학자들이 어떤 유형의 행렬을 구별하는지 알아 봅시다.

널 유형

이 유형의 행렬의 모든 구성 요소는 0입니다. 한편 행과 열의 수는 완전히 다릅니다.

정사각형 유형

이 유형의 행렬은 열과 행의 개수가 동일합니다. 즉, "사각형" 모양의 테이블입니다. 열(또는 행)의 수를 순서라고 합니다. 특별한 경우는 2차 행렬(2x2 행렬), 4차(4x4), 10차(10x10), 17차(17x17) 등의 존재로 간주됩니다.

열 벡터

이는 세 개의 숫자 값을 포함하는 하나의 열만 포함하는 가장 간단한 유형의 행렬 중 하나입니다. 선형 방정식 시스템에서 자유 항(변수와 무관한 수)의 수를 나타냅니다.

이전과 비슷한 모습입니다. 세 개의 숫자 요소로 구성되며 차례로 한 줄로 구성됩니다.

대각선 유형

행렬의 대각선 형태의 숫자 값은 주대각선(녹색으로 강조 표시)의 구성 요소만 사용합니다. 주 대각선은 오른쪽 상단 모서리에 있는 요소에서 시작하여 세 번째 행의 세 번째 열에 있는 숫자로 끝납니다. 나머지 구성 요소는 0과 같습니다. 대각 유형은 어떤 차수의 정사각 행렬일 뿐입니다. 대각 행렬 중에서 스칼라 행렬을 구별할 수 있습니다. 모든 구성 요소는 동일한 값을 갖습니다.

대각 행렬의 하위 유형입니다. 모든 수치는 단위입니다. 단일 유형의 행렬 테이블을 사용하여 기본 변환을 수행하거나 원래 행렬과 반대인 행렬을 찾습니다.

정식 유형

매트릭스의 표준 형식은 주요 형식 중 하나로 간주됩니다. 이를 줄이는 것이 업무에 필요한 경우가 많습니다. 표준 행렬의 행과 열 수는 다양하며 반드시 정사각형 유형에 속할 필요는 없습니다. 이는 단위 행렬과 다소 유사하지만 이 경우 주대각선의 모든 구성 요소가 1과 같은 값을 취하는 것은 아닙니다. 주대각선 단위는 2개 또는 4개가 있을 수 있습니다(모두 행렬의 길이와 너비에 따라 다름). 또는 단위가 전혀 없을 수도 있습니다(그러면 0으로 간주됩니다). 표준 유형의 나머지 구성 요소와 대각선 및 단위 요소는 0과 같습니다.

삼각형 유형

행렬식을 검색하거나 간단한 연산을 수행할 때 사용되는 가장 중요한 행렬 유형 중 하나입니다. 삼각형형은 대각선형에서 나오므로 행렬도 정사각형이다. 삼각행렬의 형태는 상부삼각행렬과 하부삼각행렬로 나누어진다.

상부 삼각 행렬(그림 1)에서는 주대각선 위에 있는 요소만 0과 같은 값을 갖습니다. 대각선 자체의 구성 요소와 그 아래에 있는 행렬 부분에는 숫자 값이 포함됩니다.

반대로 하부삼각행렬(그림 2)에서는 행렬의 하부에 위치한 요소들이 0과 같다.

이 유형은 행렬의 순위를 찾는 것뿐만 아니라 행렬에 대한 기본 연산(삼각형 유형과 함께)에도 필요합니다. 단계 행렬은 0의 특성 "단계"를 포함하기 때문에 그렇게 명명되었습니다(그림 참조). 단계 유형에서는 0의 대각선이 형성되고(주 대각선일 필요는 없음) 이 대각선 아래의 모든 요소도 0과 같은 값을 갖습니다. 전제 조건은 다음과 같습니다. 단계 행렬에 0 행이 있으면 그 아래의 나머지 행에도 숫자 값이 포함되어 있지 않습니다.

따라서 우리는 이를 사용하는 데 필요한 가장 중요한 유형의 행렬을 조사했습니다. 이제 행렬을 필요한 형식으로 변환하는 문제를 살펴보겠습니다.

삼각형 형태로 축소

행렬을 삼각형 형태로 만드는 방법은 무엇입니까? 대부분의 작업에서는 행렬식, 즉 행렬식을 찾기 위해 행렬을 삼각형 형태로 변환해야 합니다. 이 절차를 수행할 때 행렬의 주대각선을 "보존"하는 것이 매우 중요합니다. 왜냐하면 삼각 행렬의 행렬식은 주대각선 구성 요소의 곱과 동일하기 때문입니다. 행렬식을 찾는 다른 방법도 생각해 보겠습니다. 정사각형 유형의 행렬식은 특수 공식을 사용하여 찾습니다. 예를 들어 삼각형 방법을 사용할 수 있습니다. 다른 행렬의 경우 행, 열 또는 해당 요소별로 분해하는 방법이 사용됩니다. 부전공 및 대수 행렬 덧셈 방법을 사용할 수도 있습니다.

몇 가지 작업의 예를 사용하여 행렬을 삼각형 형태로 축소하는 과정을 자세히 분석해 보겠습니다.

연습 1

제시된 행렬을 삼각형 형태로 축소하는 방법을 이용하여 행렬식을 구하는 것이 필요하다.

우리에게 주어진 행렬은 3차 정방행렬이다. 따라서 이를 삼각형 모양으로 변환하려면 첫 번째 열의 두 구성 요소와 두 번째 열의 한 구성 요소를 0으로 만들어야 합니다.

이를 삼각형 형태로 만들기 위해 행렬의 왼쪽 하단 모서리(숫자 6)부터 변환을 시작합니다. 이를 0으로 바꾸려면 첫 번째 행에 3을 곱하고 마지막 행에서 뺍니다.

중요한! 맨 위 행은 변경되지 않지만 원래 행렬과 동일하게 유지됩니다. 원래 문자열보다 4배 더 큰 문자열을 작성할 필요가 없습니다. 그러나 구성 요소를 0으로 설정해야 하는 문자열의 값은 지속적으로 변경됩니다.

마지막 값(두 번째 열의 세 번째 행 요소)만 남습니다. 이것은 숫자 (-1)입니다. 0으로 바꾸려면 첫 번째 줄에서 두 번째 줄을 뺍니다.

점검 해보자:

detA = 2 x (-1) x 11 = -22.

이는 작업에 대한 답이 -22라는 것을 의미합니다.

작업 2

행렬을 삼각형 형태로 줄여서 행렬식을 찾는 것이 필요합니다.

제시된 행렬은 정방형에 속하며 4차 행렬이다. 이는 첫 번째 열의 세 가지 구성 요소, 두 번째 열의 두 가지 구성 요소, 세 번째 열의 한 가지 구성 요소를 0으로 바꿔야 함을 의미합니다.

왼쪽 하단에 있는 요소(숫자 4)를 사용하여 줄이기 시작하겠습니다. 이 숫자를 0으로 바꿔야 합니다. 가장 쉬운 방법은 윗줄에 4를 곱한 다음 네 번째 줄에서 빼는 것입니다. 첫 번째 변환 단계의 결과를 적어 보겠습니다.

따라서 네 번째 행 구성 요소는 0으로 설정됩니다. 세 번째 줄의 첫 번째 요소인 숫자 3으로 이동해 보겠습니다. 비슷한 작업을 수행합니다. 첫 번째 줄에 3을 곱하고 세 번째 줄에서 빼고 결과를 기록합니다.

우리는 변환이 필요하지 않은 주 대각선 요소인 숫자 1을 제외하고 이 정사각 행렬의 첫 번째 열의 모든 구성 요소를 0으로 만들었습니다. 이제 결과 0을 유지하는 것이 중요하므로 열이 아닌 행을 사용하여 변환을 수행하겠습니다. 제시된 매트릭스의 두 번째 열로 이동해 보겠습니다.

마지막 행의 두 번째 열 요소로 맨 아래에서 다시 시작하겠습니다. 이 숫자는 (-7)입니다. 그러나 이 경우 세 번째 행의 두 번째 열 요소인 숫자(-1)로 시작하는 것이 더 편리합니다. 0으로 바꾸려면 세 번째 줄에서 두 번째 줄을 뺍니다. 그런 다음 두 번째 줄에 7을 곱하고 네 번째 줄에서 뺍니다. 두 번째 열의 네 번째 행에 있는 요소 대신 0을 얻었습니다. 이제 세 번째 열로 넘어가겠습니다.

이 열에서는 숫자 하나만 0(4)으로 바꾸면 됩니다. 이 작업은 어렵지 않습니다. 마지막 줄에 세 번째 숫자를 추가하고 필요한 0을 확인하면 됩니다.

모든 변환이 완료된 후 제안된 행렬을 삼각형 형태로 가져왔습니다. 이제 행렬식을 찾으려면 주대각선의 결과 요소를 곱하기만 하면 됩니다. 우리는 다음을 얻습니다: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160.따라서 해는 160이다.

따라서 이제 행렬을 삼각형 형태로 줄이는 문제는 여러분을 괴롭히지 않을 것입니다.

계단식 형태로 축소

행렬에 대한 기본 연산의 경우 계단식 형식은 삼각형 형식보다 "수요"가 적습니다. 이는 행렬의 순위(즉, 0이 아닌 행의 수)를 찾거나 선형 종속 및 독립 행을 결정하는 데 가장 자주 사용됩니다. 그러나 계단식 매트릭스는 정사각형 유형뿐만 아니라 다른 모든 유형에도 적합하므로 더욱 보편적입니다.

행렬을 단계적 형태로 축소하려면 먼저 행렬식을 찾아야 합니다. 위의 방법이 이에 적합합니다. 행렬식을 찾는 목적은 이를 계단 행렬로 변환할 수 있는지 알아보는 것입니다. 행렬식이 0보다 크거나 작으면 작업을 안전하게 진행할 수 있습니다. 0과 같으면 행렬을 단계적 형식으로 축소할 수 없습니다. 이런 경우에는 녹음이나 매트릭스 변환에 오류가 있는지 확인해야 합니다. 그러한 부정확성이 없으면 작업을 해결할 수 없습니다.

여러 작업의 예를 사용하여 행렬을 단계적 형태로 축소하는 방법을 살펴보겠습니다.

연습 1.주어진 행렬 테이블의 순위를 찾습니다.

우리 앞에는 3차 정사각 행렬(3x3)이 있습니다. 순위를 찾으려면 순위를 단계적 형태로 줄여야 한다는 것을 알고 있습니다. 그러므로 먼저 행렬의 행렬식을 찾아야 합니다. 삼각형 방법을 사용해 보겠습니다. detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

행렬식 = 12. 0보다 크면 행렬이 단계적 형태로 축소될 수 있음을 의미합니다. 변환을 시작해 보겠습니다.

세 번째 줄의 왼쪽 열 요소인 숫자 2부터 시작하겠습니다. 맨 위 줄에 2를 곱하고 세 번째 줄에서 뺍니다. 이 작업 덕분에 필요한 요소와 세 번째 행의 두 번째 열 요소인 숫자 4가 모두 0으로 바뀌었습니다.

축소의 결과로 삼각형 행렬이 형성되었음을 알 수 있습니다. 우리의 경우 나머지 구성 요소를 0으로 줄일 수 없기 때문에 변환을 계속할 수 없습니다.

이는 이 행렬(또는 그 순위)에서 숫자 값을 포함하는 행의 수가 3이라고 결론을 내린다는 것을 의미합니다. 작업에 대한 답은 3입니다.

작업 2.이 행렬의 선형 독립 행 수를 결정합니다.

어떤 변환으로도 0으로 변환할 수 없는 문자열을 찾아야 합니다. 실제로 우리는 0이 아닌 행의 수나 제시된 행렬의 순위를 찾아야 합니다. 이를 위해 단순화시켜 보겠습니다.

정사각형 유형에 속하지 않는 행렬이 보입니다. 크기는 3x4입니다. 또한 왼쪽 하단 모서리의 요소인 숫자(-1)로 축소를 시작해 보겠습니다.

더 이상의 변형은 불가능합니다. 이는 선형적으로 독립된 선의 수와 작업에 대한 답이 3이라고 결론을 내린다는 것을 의미합니다.

이제 행렬을 계단식 형태로 줄이는 것이 불가능한 작업이 아닙니다.

이러한 작업의 예를 사용하여 행렬을 삼각형 형태와 계단형 형태로 축소하는 방법을 살펴보았습니다. 행렬 테이블의 원하는 값을 0으로 바꾸려면 어떤 경우에는 상상력을 발휘하여 열이나 행을 올바르게 변환해야 합니다. 수학과 행렬 작업에 행운을 빕니다!

>> 행렬

4.1.행렬. 행렬에 대한 연산

mxn 크기의 직사각형 행렬은 m개의 행과 n개의 열을 포함하는 직사각형 테이블 형태로 배열된 mxn개의 숫자 모음입니다. 형식으로 작성해보겠습니다.

또는 A = (ai j) (i = ; j = )로 축약되며 숫자 a i j를 해당 요소라고 합니다. 첫 번째 인덱스는 행 번호를 나타내고 두 번째 인덱스는 열 번호를 나타냅니다. 동일한 크기의 A = (ai j) 및 B = (bi j)는 동일한 위치에 있는 요소가 쌍으로 동일한 경우 동일하다고 합니다. 즉, a i j = b i j인 경우 A = B입니다.

하나의 행 또는 하나의 열로 구성된 행렬을 각각 행 벡터 또는 열 벡터라고 합니다. 열 벡터와 행 벡터를 간단히 벡터라고 합니다.

하나의 숫자로 구성된 행렬은 이 숫자로 식별됩니다. 모든 요소가 0인 mxn 크기의 A를 0이라고 하며 0으로 표시합니다. 동일한 인덱스를 가진 요소를 주대각선 요소라고 합니다. 행의 개수가 열의 개수와 같을 때, 즉 m = n이면, 이 행렬을 n차 정사각 행렬이라고 합니다. 주대각선의 요소만 0이 아닌 정사각 행렬을 대각행렬이라고 하며 다음과 같이 작성됩니다.

대각선의 모든 요소 a i i가 1이면 이를 단위라고 하며 문자 E로 표시합니다.

주대각선 위(또는 아래)의 모든 요소가 0인 경우 정사각형 행렬을 삼각형이라고 합니다. 전치는 숫자를 유지하면서 행과 열을 바꾸는 변환입니다. 조옮김은 상단에 T로 표시됩니다.

(4.1)의 행과 열을 재배열하면 다음과 같다.

이는 A에 대해 전치됩니다. 특히 열 벡터를 전치하면 행 벡터가 얻어지고 그 반대도 마찬가지입니다.

A와 숫자 b의 곱은 숫자 b를 곱하여 A의 해당 요소에서 요소를 얻은 행렬입니다. b A = (b a i j).

동일한 크기의 A = (ai j) 및 B = (bi j)의 합을 동일한 크기의 C = (ci j)라고 하며, 해당 요소는 공식 c i j = a i j + b i j에 의해 결정됩니다.

AB의 곱은 A의 열 개수와 B의 행 개수가 같다는 가정하에 결정됩니다.

A = (ai j) 및 B = (b j k)이고 i = , j= , k= 인 곱 AB는 특정 순서 AB로 주어지며 C = (c i k)라고 하며, 그 요소는 다음 식에 의해 결정됩니다. 다음 규칙:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)

즉, 곱 AB의 원소는 다음과 같이 정의된다. i번째 행과 k번째 열 C의 원소는 i번째 행 A와 a의 원소의 곱의 합과 같다. k 번째 열 B의 해당 요소.

예제 2.1. AB와 의 곱을 구합니다.

해결책. 크기가 2x3인 A, 크기가 3x3인 B, 그러면 제품 AB = C가 존재하고 C의 요소는 동일합니다.

11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7 ,

22 = 3×2 + 1 × 0 + 0 × 5 = 6, 13 = 1 × 3 + 2 × 1 + 1 × 4 = 9, 23 = 3 × 3 + 1 × 1 + 0 × 4 = 10 .

, 제품 BA가 존재하지 않습니다.

예제 2.2. 표에는 유제품 1과 2에서 매장 M 1, M 2, M 3으로 매일 배송되는 제품 단위 수와 각 유제품에서 매장 M 1로 제품 1단위 배송 비용이 50den인 것을 보여줍니다. 단위, M 2 저장소 - 70 및 M 3 - 130 den. 단위 각 공장의 일일 운송 비용을 계산합니다.

유제품 공장

해결책. 조건에서 우리에게 주어진 행렬을 A로 표시하고,
B - 제품 단위를 매장에 전달하는 비용을 특성화하는 매트릭스, 즉

그러면 운송 비용 매트릭스는 다음과 같습니다.

따라서 첫 번째 공장에서는 매일 운송에 4,750데니어를 소비합니다. 단위, 두 번째 - 3680 화폐 단위.

예제 2.3. 봉제 회사는 겨울 코트, 데미 시즌 코트, 비옷을 생산합니다. 10년 동안 계획된 출력은 벡터 X = (10, 15, 23)로 특징지어집니다. T 1, T 2, T 3, T 4의 네 가지 유형의 직물이 사용됩니다. 표에는 각 제품의 직물 소비율(미터)이 나와 있습니다. 벡터 C = (40, 35, 24, 16)은 각 유형의 직물 1미터 비용을 지정하고, 벡터 P = (5, 3, 2, 2)는 각 유형의 직물 1미터 운송 비용을 지정합니다.

	직물 소비

겨울 코트
데미시즌 코트

1. 계획을 완료하려면 각 유형의 직물에 몇 미터가 필요합니까?

2. 각 제품 유형을 재봉하는 데 사용된 직물 비용을 구합니다.

3. 계획을 완료하는 데 필요한 모든 패브릭의 비용을 결정합니다.

해결책. 조건에서 우리에게 주어진 행렬을 A로 표시하겠습니다. 즉,

그런 다음 계획을 완료하는 데 필요한 직물 미터 수를 찾으려면 벡터 X와 행렬 A를 곱해야 합니다.

행렬 A와 벡터 C T를 곱하여 각 유형의 제품 재봉에 사용된 직물 비용을 찾습니다.

계획을 완료하는 데 필요한 모든 직물의 비용은 다음 공식에 따라 결정됩니다.

마지막으로 운송 비용을 고려하면 전체 금액은 직물 비용, 즉 9472 den과 동일합니다. 단위, 플러스 값

XAPT =
.

따라서 X A C T + X A P T = 9472 + 1037 = 10509(화폐 단위)입니다.

매트릭스의 정의. 행렬 유형

크기가 m인 행렬× N세트라고 함 월·월직사각형 테이블에 배열된 숫자 중라인과 N열. 이 표는 일반적으로 괄호로 묶입니다. 예를 들어 행렬은 다음과 같습니다.

간결하게 하기 위해 행렬은 단일 대문자로 표시될 수 있습니다. 예를 들어 다음과 같습니다. ㅏ또는 안에.

일반적으로 크기 행렬은 중× N이렇게 써라

행렬을 구성하는 숫자를 호출합니다. 행렬 요소. 행렬 요소에 두 개의 인덱스를 제공하는 것이 편리합니다. 에이 ij: 첫 번째는 행 번호를 나타내고 두 번째는 열 번호를 나타냅니다. 예를 들어, 23– 요소는 두 번째 행, 세 번째 열에 있습니다.

행렬의 행 개수와 열 개수가 같은 경우 해당 행렬을 호출합니다. 정사각형, 행 또는 열의 수를 호출합니다. 순서대로행렬. 위의 예에서 두 번째 행렬은 정사각형입니다. 차수는 3이고 네 번째 행렬은 차수 1입니다.

행의 개수와 열의 개수가 같지 않은 행렬을 행렬이라고 합니다. 직사각형. 예제에서는 이것이 첫 번째 행렬이고 세 번째 행렬입니다.

행이나 열이 하나만 있는 행렬도 있습니다.

행이 하나만 있는 행렬을 호출합니다. 행렬 - 행(또는 문자열) 및 열이 하나만 있는 행렬 행렬 - 열.

요소가 모두 0인 행렬을 호출합니다. 없는(0) 또는 간단히 0으로 표시됩니다. 예를 들어,

주요 대각선정사각 행렬의 왼쪽 위에서 오른쪽 아래 모서리로 가는 대각선을 대각선이라고 합니다.

주대각선 아래의 모든 요소가 0인 정사각 행렬을 호출합니다. 삼각형의행렬.

주대각선의 요소를 제외한 모든 요소가 0인 정사각 행렬을 호출합니다. 대각선행렬. 예를 들어, 또는.

모든 대각선 요소가 1인 대각 행렬을 호출합니다. 하나의행렬이며 문자 E로 표시됩니다. 예를 들어, 3차 단위 행렬의 형식은 다음과 같습니다. .

행렬에 대한 작업

행렬 평등. 두 개의 행렬 ㅏ그리고 비행과 열의 개수가 같고 해당 요소가 동일하면 같다고 합니다. 에이 ij = 비 ij. 그래서 만약 그리고 , 저것 A=B, 만약에 a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21그리고 에 22 = 에 22.

바꾸어 놓다. 임의의 행렬을 고려해보세요 ㅏ~에서 중라인과 N열. 다음 행렬과 연관될 수 있습니다. 비~에서 N라인과 중각 행이 행렬 열인 열 ㅏ같은 숫자를 사용합니다(따라서 각 열은 행렬의 행입니다). ㅏ같은 번호로). 그래서 만약 , 저것 .

이 매트릭스 비~라고 불리는 전치된행렬 ㅏ, 그리고 ㅏ에게 B 조옮김.

따라서 전치는 행렬의 행과 열의 역할을 바꾸는 것입니다. 행렬로 전치된 행렬 ㅏ, 일반적으로 표시 에.

매트릭스 간 통신 ㅏ그리고 그것의 전치(transpose)는 다음과 같은 형태로 쓰여질 수 있습니다.

예를 들어.주어진 행렬을 전치한 행렬을 찾습니다.

매트릭스 추가.행렬을 보자 ㅏ그리고 비동일한 수의 행과 동일한 수의 열로 구성됩니다. 가지다 같은 크기. 그런 다음 행렬을 추가하려면 ㅏ그리고 비행렬 요소에 필요 ㅏ행렬 요소 추가 비같은 자리에 서 있는 것. 따라서 두 행렬의 합은 ㅏ그리고 비매트릭스라고 불리는 씨, 이는 규칙에 의해 결정됩니다. 예를 들어,

예.행렬의 합을 구합니다:

행렬 덧셈이 다음 법칙을 따르는지 확인하는 것은 쉽습니다. A+B=B+A및 연관( A+B)+씨=ㅏ+(B+C).

행렬에 숫자를 곱합니다.행렬을 곱하려면 ㅏ번호당 케이행렬의 모든 요소가 필요합니다 ㅏ이 숫자를 곱하세요. 따라서 매트릭스 제품은 ㅏ번호당 케이규칙에 의해 결정되는 새로운 행렬이 있습니다. 또는 .

모든 숫자에 대해 ㅏ그리고 비그리고 행렬 ㅏ그리고 비다음과 같은 평등이 유지됩니다:

예.

행렬 곱셈.이 작업은 특별한 법칙에 따라 수행됩니다. 우선, 요인 행렬의 크기가 일관되어야 한다는 점에 유의하세요. 첫 번째 행렬의 열 개수가 두 번째 행렬의 행 개수와 일치하는 행렬만 곱할 수 있습니다(즉, 첫 번째 행의 길이가 두 번째 열의 높이와 같습니다). 작품행렬 ㅏ매트릭스가 아니다 비새로운 매트릭스라고 불림 C=AB, 그 요소는 다음과 같이 구성됩니다.

따라서 예를 들어 제품을 얻으려면(즉, 매트릭스에서) 씨) 첫 번째 행과 세 번째 열에 있는 요소 13부터, 첫 번째 행렬의 첫 번째 행, 두 번째 행렬의 세 번째 열을 가져온 다음 행 요소에 해당 열 요소를 곱하고 결과 제품을 더해야 합니다. 그리고 곱 행렬의 다른 요소는 첫 번째 행렬의 행과 두 번째 행렬의 열의 유사한 곱을 사용하여 얻어집니다.

일반적으로 행렬을 곱하면 A = (aij)크기 중× N매트릭스로 B = (bij)크기 N× 피, 그러면 우리는 행렬을 얻습니다 씨크기 중× 피, 그 요소는 다음과 같이 계산됩니다. cij요소의 곱의 결과로 얻어집니다. 나행렬의 번째 행 ㅏ해당 요소에 제이번째 행렬 열 비그리고 그들의 추가.

이 규칙에 따르면 항상 동일한 차수의 두 정사각 행렬을 곱할 수 있으며 결과적으로 동일한 차수의 정사각 행렬을 얻을 수 있습니다. 특히, 정사각 행렬은 항상 그 자체로 곱해질 수 있습니다. 즉, 제곱해.

또 다른 중요한 경우는 행 행렬과 열 행렬을 곱하는 것입니다. 첫 번째 행렬의 너비는 두 번째 행렬의 높이와 같아야 하므로 1차 행렬(즉, 요소 1개)이 생성됩니다. 정말,

예.

따라서 이러한 간단한 예는 일반적으로 행렬이 서로 교환되지 않음을 보여줍니다. A·B ≠ B·A . 따라서 행렬을 곱할 때는 요인의 순서를 주의 깊게 모니터링해야 합니다.

행렬 곱셈은 결합법칙과 분배법칙을 따른다는 것을 확인할 수 있습니다. (AB)C=A(BC)그리고 (A+B)C=AC+BC.

정사각 행렬을 곱할 때 확인하는 것도 쉽습니다. ㅏ단위 행렬에 이자형동일한 순서로 다시 행렬을 얻습니다. ㅏ, 그리고 AE=EA=A.

다음과 같은 흥미로운 사실을 확인할 수 있습니다. 아시다시피, 0이 아닌 숫자 2개의 곱은 0이 아닙니다. 행렬의 경우 그렇지 않을 수도 있습니다. 2개의 0이 아닌 행렬의 곱은 0행렬과 같은 것으로 판명될 수 있습니다.

예를 들어, 만약에 , 저것

행렬식의 개념

2차 행렬(2개의 행과 2개의 열로 구성된 정사각 행렬)을 생각해 보겠습니다. .

2차 행렬식주어진 행렬에 해당하는 숫자는 다음과 같이 얻은 숫자입니다. 11 22 – 12 21.

행렬식은 기호로 표시됩니다. .

따라서 2차 행렬식을 찾으려면 주대각선 요소의 곱에서 두 번째 대각선 요소의 곱을 빼야 합니다.

예. 2차 행렬식을 계산합니다.

마찬가지로, 3차 행렬과 이에 대응하는 행렬식을 고려할 수 있습니다.

3차 행렬식주어진 3차 정사각 행렬에 해당하는 는 다음과 같이 표시되고 얻어지는 숫자입니다.

따라서 이 공식은 첫 번째 행의 요소 측면에서 3차 행렬식을 확장합니다. 11, 12, 13그리고 3차 행렬식의 계산을 2차 행렬식의 계산으로 줄입니다.

예. 3차 행렬식을 계산합니다.

마찬가지로 네 번째, 다섯 번째 등의 행렬식 개념을 도입할 수 있습니다. 용어의 "+" 및 "-" 기호가 번갈아 표시되는 첫 번째 행의 요소로 확장하여 순서를 낮춥니다.

따라서 숫자의 표인 행렬과 달리 행렬식은 특정 방식으로 행렬에 할당되는 숫자입니다.

행렬 차원은 행과 열을 포함하는 숫자 테이블입니다. 숫자는 이 행렬의 요소라고 하며, 행 번호는 이 요소가 교차하는 열 번호입니다. 행과 열을 포함하는 행렬의 형식은 다음과 같습니다. .

행렬 유형:

1) ~에 – 정사각형 , 그리고 그들은 전화한다 행렬 순서 ;

2) 대각선이 아닌 모든 요소가 0인 정사각 행렬

– 대각선 ;

3) 모든 대각선 요소가 동일한 대각 행렬

단위 - 하나의 로 표시되며 ;

4) ~에 – 직사각형 ;

5) 언제 - 행 행렬(행 벡터);

6) 언제 - 행렬 열(벡터 열);

7) 모두에 대해 – 제로 매트릭스.

정사각 행렬의 주요 수치 특성은 행렬식입니다. 1차 행렬에 해당하는 행렬식도 1차를 가집니다.

1차 행렬의 행렬식 전화번호.

2차 행렬의 행렬식 전화받은 번호 . (1.1)

3차 행렬의 행렬식 전화받은 번호 . (1.2)

추가 프레젠테이션에 필요한 정의를 제시하겠습니다.

마이너 M ij 요소 ㅏ ij 행렬 N-차수 A를 행렬의 행렬식이라고 합니다( n-1)-행렬 A에서 삭제하여 얻은 차수 나-번째 줄과 제이번째 열.

대수적 보완 A ij 요소 ㅏ ij 행렬 N- 순서 A의 기호는 이 요소의 부 요소입니다.

모든 차수의 행렬식에 내재된 행렬식의 기본 속성을 공식화하고 계산을 단순화합시다.

1. 행렬이 전치될 때 행렬식은 변하지 않습니다.

2. 행렬의 두 행(열)을 재배열하면 행렬식의 부호가 변경됩니다.

3. 두 개의 비례(동일) 행(열)을 갖는 행렬식은 0과 같습니다.

4. 행렬식의 모든 행 (열) 요소의 공통 인수는 행렬식의 부호에서 제거 될 수 있습니다.

5. 행렬식의 임의 행(열) 요소가 두 항의 합인 경우 행렬식은 해당하는 두 행렬식의 합으로 분해될 수 있습니다.

6. 이전에 임의의 숫자를 곱한 다른 행(열)의 해당 요소가 해당 행(열)의 요소에 추가되면 행렬식은 변경되지 않습니다.

7. 행렬의 행렬식은 행(열)의 요소와 이러한 요소의 대수적 보수의 곱의 합과 같습니다.

3차 행렬식의 예를 사용하여 이 속성을 설명하겠습니다. 이 경우 속성 7은 다음을 의미합니다. – 행렬식을 첫 번째 행의 요소로 분해합니다. 분해의 경우 분해의 해당 항이 0으로 바뀌므로 요소가 0인 행(열)을 선택합니다.

속성 7은 Laplace가 공식화한 행렬식 분해 정리입니다.

8. 행렬식의 임의 행(열) 요소와 다른 행(열)의 해당 요소의 대수적 보수의 곱의 합은 0과 같습니다.

마지막 속성은 흔히 행렬식의 의사 분해(pseudo-decomposition)라고 불립니다.

자가 테스트 질문.

1. 행렬이란 무엇입니까?

2. 정사각형이라고 불리는 행렬은 무엇입니까? 그 순서는 무엇을 의미합니까?

3. 대각선, 항등이라고 불리는 행렬은 무엇입니까?

4. 어떤 행렬을 행 행렬과 열 행렬이라고 하나요?

5. 정방행렬의 주요 수치적 특성은 무엇입니까?

6. 1차, 2차, 3차 행렬식이라고 불리는 숫자는 무엇입니까?

7. 행렬 요소의 소수 및 대수적 보수를 무엇이라고 합니까?

8. 행렬식의 주요 속성은 무엇입니까?

9. 어떤 속성을 사용하여 차수의 행렬식을 계산할 수 있습니까?

행렬에 대한 작업(도식 2)

일련의 행렬에 여러 가지 작업이 정의되어 있으며 주요 작업은 다음과 같습니다.

1) 전치 – 행렬 행을 열로, 열을 행으로 대체합니다.

2) 행렬에 숫자를 곱하는 것은 요소별로 수행됩니다. , 어디 , ;

3) 동일한 차원의 행렬에 대해서만 정의되는 행렬 추가;

4) 일치하는 행렬에 대해서만 정의되는 두 행렬의 곱셈.

두 행렬의 합(차) 이러한 결과 행렬이 호출되며, 각 요소는 행렬 명령의 해당 요소의 합(차이)과 같습니다.

두 행렬이 호출됩니다. 합의 , 첫 번째 열의 수가 다른 열의 수와 같은 경우. 두 개의 일치하는 행렬의 곱 이러한 결과 행렬을 호출합니다. , 무엇 , (1.4)

어디 , . 따라서 행렬의 세 번째 행과 열의 요소는 행렬의 세 번째 행 요소와 행렬의 세 번째 열 요소의 쌍별 곱의 합과 같습니다.

행렬의 곱은 가환적이지 않습니다. 즉, A . BB . A. 예를 들어 정사각형 행렬과 단위 A의 곱은 예외입니다. . E = E . ㅏ.

예제 1.1.다음과 같은 경우 행렬 A와 B를 곱합니다.

해결책.행렬은 일관성이 있으므로(행렬 열의 수는 행렬 행의 수와 동일함) 공식 (1.4)을 사용합니다.

자가 테스트 질문.

1. 행렬에서는 어떤 작업이 수행됩니까?

2. 두 행렬의 합(차)은 무엇입니까?

3. 두 행렬의 곱을 무엇이라고 합니까?

선형 대수 방정식의 2차 방정식을 풀기 위한 Cramer의 방법(도식 3)

몇 가지 필요한 정의를 제시해 보겠습니다.

선형 방정식 시스템이 호출됩니다. 이질적인 , 자유 용어 중 적어도 하나가 0과 다른 경우 동종의 , 모든 자유항이 0인 경우.

연립방정식 풀기 시스템의 변수를 대체할 때 각 방정식을 항등식으로 바꾸는 순서화된 숫자 집합입니다.

방정식 시스템은 다음과 같습니다. 관절 , 솔루션이 하나 이상 있는 경우 비관절 , 그녀에게 해결책이 없다면.

방정식의 연립 시스템을 호출합니다. 확실한 , 고유한 솔루션이 있는 경우 불확실한 , 둘 이상의 솔루션이 있는 경우.

다음과 같은 일반 형식을 갖는 선형 대수 방정식의 비균질 이차 시스템을 고려해 보겠습니다.

. (1.5) 시스템의 주요 매트릭스 선형 대수 방정식은 미지수와 관련된 계수로 구성된 행렬입니다. .

시스템의 주요 행렬의 결정자는 다음과 같습니다. 주요 결정 요인 지정되어 있습니다.

보조 행렬식은 주 행렬식에서 th번째 열을 자유 항의 열로 대체하여 얻습니다.

정리 1.1(크래머의 정리)선형 대수 방정식의 2차 시스템의 주요 결정자가 0이 아닌 경우 시스템은 다음 공식으로 계산된 고유한 해를 갖습니다.

주 행렬식이 이면 시스템은 무한한 수의 해를 가지거나(보조 행렬식이 모두 0인 경우) 전혀 해를 가지지 않습니다(보조 행렬식 중 하나 이상이 0과 다른 경우).

위의 정의에 비추어 Cramer의 정리는 다르게 공식화될 수 있습니다. 선형 대수 방정식 시스템의 주요 결정자가 0이 아닌 경우 시스템은 공동으로 정의되고 동시에 ; 주 행렬식이 0이면 시스템은 공동으로 불확실하거나(모두에 대해) 일관성이 없습니다(적어도 하나가 0과 다른 경우).

그런 다음 결과 솔루션을 확인해야 합니다.

예제 1.2. Cramer의 방법을 사용하여 시스템 풀기

해결책.시스템의 주요 결정 요인이기 때문에

0이 아닌 경우 시스템은 고유한 솔루션을 갖습니다. 보조 행렬식을 계산해 봅시다

Cramer의 공식(1.6)을 사용해 보겠습니다. , ,

자가 테스트 질문.

1. 연립방정식을 푸는 것이 무엇입니까?

2. 어떤 방정식 시스템을 호환 가능 또는 호환 불가능이라고 부르나요?

3. 어떤 방정식 시스템을 정적 또는 부정이라고 부르나요?

4. 방정식 시스템의 어떤 행렬을 주요 행렬이라고 부르나요?

5. 선형 대수 방정식 시스템의 보조 행렬식을 계산하는 방법은 무엇입니까?

6. 선형 대수 방정식 시스템을 해결하기 위한 Cramer 방법의 본질은 무엇입니까?

7. 주 행렬식이 0이라면 선형 대수 방정식 시스템은 어떻게 될까요?

역행렬 방법을 사용하여 선형 대수 방정식의 2차 시스템 풀기(도식 4)

0이 아닌 행렬식을 갖는 행렬을 다음이라고 합니다. 비퇴화 ; 행렬식이 0인 경우 – 퇴화하다 .

행렬을 역행렬이라고 합니다. 주어진 정사각형 행렬에 대해 오른쪽과 왼쪽 모두에서 행렬에 역행렬을 곱하면 단위 행렬이 얻어집니다. (1.7)

이 경우 행렬의 곱은 교환 가능하다는 점에 유의하세요.

정리 1.2.주어진 정방행렬에 대한 역행렬이 존재하기 위한 필요충분조건은 주어진 행렬의 행렬식이 0과 다르다는 것이다.

테스트 중에 시스템의 기본 행렬이 특이성으로 판명되면 이에 대한 역행렬이 없으며 고려 중인 방법을 적용할 수 없습니다.

주 행렬이 특이 행렬이 아닌 경우, 즉 행렬식이 0이면 다음 알고리즘을 사용하여 역행렬을 찾을 수 있습니다.

1. 모든 행렬 요소의 대수적 보수를 계산합니다.

2. 발견된 대수적 덧셈을 전치된 행렬에 씁니다.

3. 다음 공식을 사용하여 역행렬을 만듭니다. (1.8)

4. 공식 (1.7)에 따라 발견된 행렬 A-1의 정확성을 확인합니다. 이 점검은 시스템 솔루션 자체의 최종 점검에 포함될 수 있습니다.

선형 대수 방정식의 시스템(1.5)은 행렬 방정식으로 표현될 수 있습니다. 왼쪽의 이 방정식에 역행렬을 곱하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

역행렬의 정의에 따라 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다. 또는 . (1.9)

따라서 선형 대수 방정식의 2차 시스템을 풀려면 왼쪽의 자유 항 열에 시스템 주 행렬의 역행렬을 곱해야 합니다. 그런 다음 결과 솔루션을 확인해야 합니다.

예제 1.3.역행렬 방법을 사용하여 시스템 풀기

해결책.시스템의 주요 결정 요인을 계산해 보겠습니다.

. 결과적으로 해당 행렬은 비특이행렬이고 그 역행렬이 존재하게 됩니다.

기본 행렬의 모든 요소에 대한 대수적 보수를 찾아 보겠습니다.

행렬에 전치된 대수적 덧셈을 작성해 보겠습니다.

. 공식 (1.8)과 (1.9)를 사용하여 시스템에 대한 해를 찾아 보겠습니다.

자가 테스트 질문.

1. 단일 행렬, 비축퇴 행렬이라고 불리는 행렬은 무엇입니까?

2. 주어진 행렬의 역행렬은 무엇입니까? 그 존재조건은 무엇인가?

3. 주어진 역행렬을 찾는 알고리즘은 무엇입니까?

4. 선형 대수 방정식 시스템과 동일한 행렬 방정식은 무엇입니까?

5. 시스템의 주 행렬에 대한 역행렬을 사용하여 선형 대수 방정식 시스템을 어떻게 풀 수 있습니까?

선형 대수 방정식의 불균일 시스템 연구(도식 5)

선형 대수 방정식 시스템에 대한 연구는 가우스 방법에 의한 확장 행렬의 변환으로 시작됩니다. 시스템의 주 행렬의 차원을 와 같게 만듭니다.

행렬 확장이라고 함 시스템의 매트릭스 , 미지수의 계수와 함께 자유 항의 열이 포함되어 있는 경우. 따라서 차원은 입니다.

가우스 방법은 다음을 기반으로 합니다. 기본 변환 , 포함하고있는:

- 매트릭스 행의 재배열;

– 스티어링 휠과 다른 숫자를 행렬의 행에 곱합니다.

– 행렬 행의 요소별 추가;

– 제로 라인 삭제;

– 행렬 전치(이 경우 변환은 열별로 수행됩니다).

기본 변환은 원래 시스템을 그에 상응하는 시스템으로 이끈다. 시스템 동등하다고 불린다 , 동일한 솔루션 세트가 있는 경우.

매트릭스 순위 0이 아닌 마이너 중 가장 높은 차수라고 합니다. 기본 변환은 행렬의 순위를 변경하지 않습니다.

다음 정리는 불균일한 선형 방정식 시스템에 대한 해의 존재에 대한 질문에 답합니다.

정리 1.3(크로네커-카펠리 정리).선형 대수 방정식의 비균질 시스템은 시스템의 확장 행렬의 순위가 주 행렬의 순위와 동일한 경우에만 일관성이 있습니다.

가우시안 방법 이후 행렬에 남아 있는 행 수를 (따라서 시스템에 남아 있는 방정식 수)로 표시하겠습니다. 이것들 윤곽 행렬이 호출됩니다. 기초적인 .

이면 시스템에 고유한 솔루션(공동으로 정의됨)이 있고 해당 행렬은 기본 변환을 통해 삼각형 형태로 축소됩니다. 이러한 시스템은 Cramer 방법, 역행렬 또는 Universal Gauss 방법을 사용하여 풀 수 있습니다.

(시스템의 변수 수가 방정식보다 큰 경우) 행렬은 기본 변환을 통해 단계적 형태로 축소됩니다. 이러한 시스템에는 많은 솔루션이 있으며 공동으로 불확실합니다. 이 경우 시스템에 대한 솔루션을 찾으려면 여러 작업을 수행해야 합니다.

1. 방정식의 왼쪽에 미지수 시스템을 그대로 둡니다( 기본 변수 ), 나머지 미지수는 오른쪽으로 이동합니다( 자유 변수 ). 변수를 기본 변수와 자유 변수로 나눈 후 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다.

. (1.10)

2. 기본 변수의 계수에서 미성년자 ( 기본 부전공 ), 이는 0이 아니어야 합니다.

3. 시스템(1.10)의 기본 마이너가 0이면 기본 변수 중 하나를 자유 변수로 대체합니다. 결과 베이시스 마이너가 0이 아닌지 확인하세요.

4. Cramer 방법의 공식(1.6)을 적용하여 방정식의 우변을 자유 항으로 간주하고 일반 형식의 자유 항으로 기본 변수에 대한 표현을 찾습니다. 결과적으로 정렬된 시스템 변수 세트는 다음과 같습니다. 일반 결정 .

5. (1.10)의 자유변수에 임의의 값을 주어 기본변수의 대응값을 계산한다. 모든 변수의 결과로 정렬된 값 집합을 호출합니다. 프라이빗 솔루션 주어진 자유 변수 값에 해당하는 시스템. 시스템에는 무한한 수의 특정 솔루션이 있습니다.

6. 받기 기본 솔루션 시스템 - 자유 변수의 0 값에 대해 얻은 특정 솔루션입니다.

시스템(1.10)의 변수 기본 집합 수는 요소별 조합 수와 동일합니다. 각 기본 변수 집합에는 고유한 기본 솔루션이 있으므로 시스템에도 기본 솔루션이 있습니다.

균질 방정식 시스템은 적어도 하나의 – 0(사소한) 해를 갖기 때문에 항상 일관됩니다. 변수가 있는 선형 방정식의 균질 시스템이 0이 아닌 해를 가지려면 주요 행렬식이 0인 것이 필요하고 충분합니다. 이는 주 행렬의 순위가 미지수의 수보다 적음을 의미합니다. 이 경우 일반 해와 특정 해에 대한 동차 방정식 시스템 연구는 비동차 시스템 연구와 유사하게 수행됩니다. 동차 방정식 시스템의 해는 중요한 특성을 가지고 있습니다. 즉, 동차 선형 방정식 시스템에 대한 두 개의 서로 다른 해가 알려진 경우 해당 선형 조합도 이 시스템에 대한 해입니다. 다음 정리의 타당성을 검증하는 것은 쉽습니다.

정리 1.4.불균일 연립방정식의 일반해는 해당 동차 연립방정식의 일반해와 불균일 연립방정식의 일부 특정 해의 합입니다.

예제 1.4.

주어진 시스템을 탐색하고 하나의 특정 솔루션을 찾으십시오.