세 점을 통과하는 평면에 대한 방정식을 작성하세요. 평면 방정식

본 자료에서는 같은 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점의 좌표를 알면 평면의 방정식을 구하는 방법을 살펴보겠습니다. 이를 위해서는 3차원 공간에서 직교좌표계가 무엇인지 기억해야 합니다. 먼저 이 방정식의 기본 원리를 소개하고 이를 사용하여 특정 문제를 해결하는 방법을 정확하게 보여 드리겠습니다.

Yandex.RTB R-A-339285-1

먼저, 우리는 다음과 같은 한 가지 원칙을 기억해야 합니다.

정의 1

세 점이 서로 일치하지 않고 같은 선 위에 있지 않으면 3차원 공간에서는 한 평면만 통과합니다.

즉, 좌표가 일치하지 않고 직선으로 연결할 수 없는 세 개의 서로 다른 점이 있으면 이를 통과하는 평면을 결정할 수 있습니다.

직사각형 좌표계가 있다고 가정해 보겠습니다. 그것을 O x y z로 표시합시다. 여기에는 좌표 M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3)이 있는 세 개의 점 M이 포함되어 있으며 연결할 수 없습니다. 일직선. 이러한 조건을 바탕으로 필요한 평면의 방정식을 작성할 수 있습니다. 이 문제를 해결하는 데는 두 가지 접근 방식이 있습니다.

1. 첫 번째 접근법은 일반 평면 방정식을 사용합니다. 문자 형태로는 A(x - x 1) + B(y - y 1) + C(z - z 1) = 0으로 씁니다. 도움을 받으면 직교 좌표계에서 첫 번째 주어진 점 M 1 (x 1, y 1, z 1)을 통과하는 특정 알파 평면을 정의할 수 있습니다. 평면 α의 법선 벡터는 좌표 A, B, C를 갖습니다.

N의 정의

법선 벡터의 좌표와 평면이 통과하는 점의 좌표를 알면 이 평면의 일반 방정식을 작성할 수 있습니다.

이것이 앞으로 우리가 진행할 일입니다.

따라서 문제의 조건에 따라 비행기가 통과하는 원하는 지점(심지어 3개)의 좌표를 갖게 됩니다. 방정식을 찾으려면 법선 벡터의 좌표를 계산해야 합니다. n → 로 표시해 봅시다.

규칙을 기억해 봅시다. 주어진 평면의 0이 아닌 벡터는 동일한 평면의 법선 벡터에 수직입니다. 그러면 n →는 원래 점 M 1 M 2 → 및 M 1 M 3 → 로 구성된 벡터에 수직이 될 것입니다. 그런 다음 n →를 M 1 M 2 → · M 1 M 3 → 형식의 벡터 곱으로 표시할 수 있습니다.

M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) 및 M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (이러한 동등성에 대한 증거는 점 좌표에서 벡터 좌표를 계산하는 데 관한 기사에 나와 있습니다.) 그러면 다음이 밝혀집니다.

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

행렬식을 계산하면 필요한 법선 벡터 n → 좌표를 얻을 수 있습니다. 이제 우리는 주어진 세 점을 통과하는 평면에 필요한 방정식을 작성할 수 있습니다.

2. M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3)을 통과하는 방정식을 찾는 두 번째 접근 방식, 벡터의 동일 평면성과 같은 개념을 기반으로 합니다.

점 M (x, y, z) 세트가 있는 경우 직교 좌표계에서 주어진 점 M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2)에 대한 평면을 정의합니다. , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) 벡터 M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2 → = ( ​​x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) 및 M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1)은 동일 평면에 있습니다. .

다이어그램에서는 다음과 같이 표시됩니다.

이는 벡터 M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 →의 혼합 곱이 0과 동일함을 의미합니다. M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , 이것이 동일 평면성의 주요 조건이기 때문에: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) 및 M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

결과 방정식을 좌표 형식으로 작성해 보겠습니다.

행렬식을 계산한 후에는 동일한 직선 위에 있지 않은 세 점에 대해 필요한 평면 방정식을 얻을 수 있습니다. M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2 ), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) .

문제의 조건에 따라 필요한 경우 결과 방정식에서 세그먼트 단위의 평면 방정식으로 이동하거나 평면의 일반 방정식으로 이동할 수 있습니다.

다음 단락에서는 우리가 지적한 접근법이 실제로 어떻게 구현되는지에 대한 예를 제시할 것입니다.

세 점을 지나는 평면의 방정식을 구성하는 문제의 예

이전에 우리는 원하는 방정식을 찾는 데 사용할 수 있는 두 가지 접근 방식을 식별했습니다. 문제를 해결하는 데 어떻게 사용되는지, 그리고 각 옵션을 언제 선택해야 하는지 살펴보겠습니다.

실시예 1

좌표가 M 1(-3, 2, - 1), M 2(-1, 2, 4), M 3(3, 3, - 1)인 동일한 선 위에 있지 않은 세 개의 점이 있습니다. 그들을 통과하는 평면에 대한 방정식을 작성하십시오.

해결책

우리는 두 가지 방법을 번갈아 사용합니다.

1. 필요한 두 벡터의 좌표를 찾습니다. M 1 M 2 →, M 1 M 3 →:

M 1 M 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2 , 0 , 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ 남 1 남 3 → = 6 , 1 , 0

이제 벡터 곱을 계산해 보겠습니다. 행렬식의 계산은 설명하지 않습니다.

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

세 개의 필수 점을 통과하는 평면의 법선 벡터가 있습니다: n → = (- 5, 30, 2) . 다음으로 점 중 하나(예: M 1 (- 3, 2, - 1))를 선택하고 벡터 n → = (- 5, 30, 2)를 사용하여 평면에 대한 방정식을 작성해야 합니다. 우리는 다음을 얻습니다: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

이것은 세 점을 통과하는 평면에 필요한 방정식입니다.

2. 다른 접근 방식을 취해보자. 세 점 M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3)이 있는 평면에 대한 방정식을 작성해 보겠습니다. 다음 형식:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

여기에서 문제 설명의 데이터를 대체할 수 있습니다. x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1이므로, 결과적으로 우리는 다음을 얻습니다:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

우리는 필요한 방정식을 얻었습니다.

답변:- 5 x + 30 y + 2 z - 73 .

하지만 주어진 점이 여전히 같은 선 위에 있고 그에 대한 평면 방정식을 만들어야 한다면 어떻게 될까요? 여기서는 이 조건이 완전히 정확하지 않을 것이라는 점을 즉시 말해야 합니다. 무한한 수의 평면이 이러한 지점을 통과할 수 있으므로 단일 답을 계산하는 것은 불가능합니다. 그러한 질문 공식화의 부정확성을 증명하기 위해 그러한 문제를 고려해 보겠습니다.

실시예 2

우리는 3차원 공간에서 직각 좌표계를 가지고 있으며, 여기에 세 개의 점이 좌표 M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1)로 배치되어 있습니다. , 1) . 그것을 통과하는 평면에 대한 방정식을 작성하는 것이 필요합니다.

해결책

첫 번째 방법을 사용하여 두 벡터 M 1 M 2 → 및 M 1 M 3 →의 좌표를 계산하는 것부터 시작하겠습니다. 좌표를 계산해 보겠습니다. M 1 M 2 → = (-4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.

교차곱은 다음과 같습니다.

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 →이므로 벡터는 동일선상에 있습니다(이 개념의 정의를 잊어버린 경우 해당 기사를 다시 읽으십시오). 따라서 초기점 M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1)은 같은 선상에 있고 우리 문제는 무한히 많습니다. 옵션 답변.

두 번째 방법을 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ‚ 0

결과 동등성으로부터 주어진 점 M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1)이 동일한 선에 있습니다.

무한한 옵션 중에서 이 문제에 대한 답을 하나 이상 찾으려면 다음 단계를 수행해야 합니다.

1. M 1 M 2, M 1 M 3 또는 M 2 M 3 라인의 방정식을 적습니다(필요한 경우 이 작업에 대한 자료를 참조하십시오).

2. 직선 M 1 M 2 위에 있지 않은 점 M 4 (x 4, y 4, z 4)를 선택합니다.

3. 같은 선 위에 있지 않은 세 개의 다른 점 M1, M2, M4를 지나는 평면의 방정식을 적어보세요.

텍스트에 오류가 있으면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르세요.

다양한 방법으로 지정할 수 있습니다(점 1개와 벡터, 점 2개와 벡터, 점 3개 등). 이를 염두에 두고 평면 방정식은 다양한 형태를 가질 수 있습니다. 또한 특정 조건에 따라 평면은 평행, 수직, 교차 등이 될 수 있습니다. 이 기사에서 이에 대해 이야기하겠습니다. 평면의 일반 방정식을 만드는 방법 등을 배우게 됩니다.

방정식의 정규형

직사각형 XYZ 좌표계를 갖는 공간 R 3이 있다고 가정해 보겠습니다. 초기 점 O에서 해제될 벡터 α를 정의하겠습니다. 벡터 α의 끝을 통해 벡터에 수직인 평면 P를 그립니다.

P 위의 임의의 점을 Q = (x, y, z)로 표시하겠습니다. 점 Q의 반지름 벡터를 문자 p로 표시해 보겠습니다. 이 경우 벡터 α의 길이는 р=IαI 및 τ=(cosα,cosβ,cosγ)와 같습니다.

이는 벡터 α와 마찬가지로 측면을 향하는 단위 벡터입니다. α, β 및 γ는 각각 벡터 τ와 공간 축 x, y, z의 양의 방향 사이에 형성되는 각도입니다. 임의의 점 QϵП를 벡터 τ에 투영하는 것은 p와 동일한 상수 값입니다: (p,ϵ) = p(p≥0).

위 방정식은 p=0일 때 의미가 있습니다. 유일한 것은 이 경우 평면 P가 좌표 원점인 점 O(α=0)와 교차하고 점 O에서 방출된 단위 벡터 τ는 방향에도 불구하고 P에 수직이라는 것입니다. 는 벡터 τ가 부호에 정확하게 결정된다는 것을 의미합니다. 이전 방정식은 벡터 형식으로 표현된 평면 P의 방정식입니다. 하지만 좌표로 보면 다음과 같습니다.

여기서 P는 0보다 크거나 같습니다. 우리는 공간에서 평면의 방정식을 정규 형식으로 찾았습니다.

일반 방정식

좌표의 방정식에 0이 아닌 임의의 숫자를 곱하면 바로 그 평면을 정의하는 이와 동등한 방정식을 얻습니다. 다음과 같이 보일 것입니다:

여기서 A, B, C는 동시에 0이 아닌 숫자입니다. 이 방정식을 일반 평면 방정식이라고 합니다.

비행기의 방정식. 특수한 상황들

일반적인 형태의 방정식은 추가 조건이 있는 경우 수정될 수 있습니다. 그 중 일부를 살펴보겠습니다.

계수 A가 0이라고 가정합니다. 이는 이 평면이 주어진 Ox 축과 평행하다는 것을 의미합니다. 이 경우 방정식의 형식은 Ву+Cz+D=0으로 변경됩니다.

마찬가지로 방정식의 형식은 다음 조건에서 변경됩니다.

  • 첫째, B = 0이면 방정식은 Ax + Cz + D = 0으로 변경되며 이는 Oy 축에 대한 평행성을 나타냅니다.
  • 둘째, C=0이면 방정식은 Ax+By+D=0으로 변환되며 이는 주어진 Oz 축에 대한 평행성을 나타냅니다.
  • 세 번째로, D=0이면 방정식은 Ax+By+Cz=0처럼 보일 것입니다. 이는 평면이 O(원점)와 교차한다는 것을 의미합니다.
  • 넷째, A=B=0이면 방정식은 Cz+D=0으로 변경되어 Oxy와 평행하다는 것이 입증됩니다.
  • 다섯째, B=C=0이면 방정식은 Ax+D=0이 되며, 이는 Oyz에 대한 평면이 평행하다는 것을 의미합니다.
  • 여섯째, A=C=0이면 방정식은 Ву+D=0 형식을 취합니다. 즉, Oxz에 병렬성을 보고합니다.

세그먼트의 방정식 유형

숫자 A, B, C, D가 0이 아닌 경우 방정식 (0)의 형식은 다음과 같습니다.

x/a + y/b + z/c = 1,

여기서 a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C입니다.

결과를 얻습니다. 이 평면은 좌표가 (a,0,0), Oy - (0,b,0) 및 Oz - (0,0,c인 지점에서 Ox 축과 교차한다는 점에 주목할 가치가 있습니다. ).

방정식 x/a + y/b + z/c = 1을 고려하면 주어진 좌표계를 기준으로 평면의 배치를 시각적으로 상상하는 것이 어렵지 않습니다.

법선 벡터 좌표

평면 P에 대한 법선 벡터 n은 이 평면의 일반 방정식의 계수인 좌표, 즉 n(A, B, C)를 갖습니다.

법선 n의 좌표를 결정하려면 주어진 평면의 일반 방정식을 아는 것으로 충분합니다.

x/a + y/b + z/c = 1 형식의 세그먼트 방정식을 사용할 때와 일반 방정식을 사용할 때 주어진 평면의 법선 벡터의 좌표를 쓸 수 있습니다. (1 /a + 1/b + 1/ 와 함께).

법선 벡터가 다양한 문제를 해결하는 데 도움이 된다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 가장 일반적인 문제로는 평면의 수직성이나 평행성을 증명하는 문제, 평면 사이의 각도 또는 평면과 직선 사이의 각도를 찾는 문제가 있습니다.

점의 좌표와 법선벡터에 따른 평면방정식의 종류

주어진 평면에 수직인 0이 아닌 벡터 n을 주어진 평면에 대한 법선이라고 합니다.

좌표 공간(직각 좌표계)에서 Oxyz가 다음과 같이 주어진다고 가정해 보겠습니다.

  • 좌표가 있는 Mₒ 지점(xₒ,yₒ,zₒ);
  • 영 벡터 n=A*i+B*j+C*k.

법선 n에 수직인 점 Mₒ를 통과하는 평면에 대한 방정식을 작성해야 합니다.

공간에서 임의의 점을 선택하고 이를 M(x y, z)로 표시합니다. 임의의 점 M (x,y,z)의 반경 벡터를 r=x*i+y*j+z*k로 하고 점 Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ*의 반경 벡터를 지정합니다. i+yₒ *j+zₒ*k. 벡터 MₒM이 벡터 n에 수직인 경우 점 M은 주어진 평면에 속합니다. 스칼라 곱을 사용하여 직교성 조건을 작성해 보겠습니다.

[MₒM, n] = 0.

MₒM = r-rₒ이므로 평면의 벡터 방정식은 다음과 같습니다.

이 방정식은 다른 형태를 가질 수 있습니다. 이를 위해 스칼라 곱의 속성을 사용하고 방정식의 왼쪽을 변환합니다. = - . 이를 c로 표시하면 다음 방정식을 얻습니다. - c = 0 또는 = c는 평면에 속하는 주어진 점의 반경 벡터의 법선 벡터에 대한 투영의 불변성을 나타냅니다.

이제 평면 = 0의 벡터 방정식을 작성하는 좌표 형식을 얻을 수 있습니다. r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k이고 n =이기 때문입니다. A*i+B *j+С*k, 다음과 같습니다.

법선 n에 수직인 점을 통과하는 평면에 대한 방정식이 있음이 밝혀졌습니다.

A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

두 점의 좌표와 평면에 동일선상에 있는 벡터에 따른 평면 방정식의 유형

임의의 두 점 M' (x',y',z') 및 M″ (x″,y″,z″)와 벡터 a (a′,a″,a‴)를 정의해 보겠습니다.

이제 기존 점 M' 및 M″뿐만 아니라 주어진 벡터 a에 평행한 좌표 (x, y, z)를 가진 모든 점 M을 통과하는 주어진 평면에 대한 방정식을 만들 수 있습니다.

이 경우 벡터 M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) 및 M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′)는 벡터와 동일 평면에 있어야 합니다. a=(a′,a″,a‴), 이는 (M′M, M″M, a)=0을 의미합니다.

따라서 우주에서의 평면 방정식은 다음과 같습니다.

세 점을 교차하는 평면의 방정식 유형

같은 선에 속하지 않는 (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴)라는 세 개의 점이 있다고 가정해 보겠습니다. 주어진 세 점을 통과하는 평면의 방정식을 작성하는 것이 필요합니다. 기하학 이론에서는 이런 종류의 평면이 실제로 존재한다고 주장하지만 이는 유일하고 독특한 평면입니다. 이 평면은 점 (x′,y′,z′)과 교차하므로 방정식의 형식은 다음과 같습니다.

여기서 A, B, C는 동시에 0과 다릅니다. 또한 주어진 평면은 (x″,y″,z″) 및 (x‴,y‴,z‴)라는 두 개의 점을 더 교차합니다. 이와 관련하여 다음 조건이 충족되어야 합니다.

이제 우리는 미지수 u, v, w를 사용하여 동종 시스템을 만들 수 있습니다.

우리의 경우 x, y, z는 식 (1)을 만족하는 임의의 점이다. 방정식 (1)과 방정식 (2) 및 (3)의 시스템이 주어지면 위 그림에 표시된 방정식 시스템은 벡터 N (A,B,C)에 의해 충족되며 이는 중요합니다. 이것이 바로 이 시스템의 행렬식이 0인 이유입니다.

우리가 얻은 식 (1)은 평면의 방정식이다. 정확히 3개 지점을 통과하는데, 이를 확인하기 쉽습니다. 이를 위해서는 행렬식을 첫 번째 행의 요소로 확장해야 합니다. 행렬식의 기존 속성에 따르면 평면은 처음에 주어진 세 점 (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴)과 동시에 교차합니다. . 즉, 우리에게 할당된 과제를 해결했습니다.

평면 사이의 이면각

2면각은 하나의 직선에서 나오는 두 개의 반면으로 형성된 공간 기하학적 도형입니다. 즉, 이는 이러한 반면에 의해 제한되는 공간의 일부입니다.

다음 방정식을 사용하는 두 개의 평면이 있다고 가정해 보겠습니다.

우리는 벡터 N=(A,B,C) 및 N1=(A1,B1,C1)이 주어진 평면에 따라 수직이라는 것을 알고 있습니다. 이와 관련하여 벡터 N과 N1 사이의 각도 Φ는 이들 평면 사이에 위치한 각도(2면체)와 같습니다. 스칼라 곱의 형식은 다음과 같습니다.

NN1=|N||N1|cos ψ,

바로 왜냐하면

cosΦ= NN1/|N||N1|=(AA1+BB1+CC1)/((√(A²+B²+C²))*(√(A1)²+(B1)²+(C1)²)).

0≤Φ≤π라는 점을 고려하면 충분합니다.

실제로 교차하는 두 평면은 두 개의 각도(2면체), 즉 Ø 1 및 Ø 2를 형성합니다. 그 합은 π(Φ 1 + Φ 2 = π)와 같습니다. 코사인의 경우 절대 값은 동일하지만 부호가 다릅니다. 즉 cos Φ 1 = -cos Φ 2입니다. 방정식 (0)에서 A, B 및 C를 각각 숫자 -A, -B 및 -C로 바꾸면 우리가 얻는 방정식은 동일한 평면, 유일한 평면, 방정식 cos의 각도 ψ를 결정합니다. Φ= NN 1 /| N||N 1 | π-ψ로 대체됩니다.

수직면의 방정식

사이의 각도가 90도인 평면을 수직이라고 합니다. 위에 제시된 자료를 사용하여 다른 평면에 수직인 평면의 방정식을 찾을 수 있습니다. 두 개의 평면(Ax+By+Cz+D=0 및 A1x+B1y+C1z+D=0)이 있다고 가정해 보겠습니다. cosΦ=0이면 수직이라고 말할 수 있습니다. 이는 NN1=AA1+BB1+CC1=0을 의미합니다.

평행 평면 방정식

공통점을 포함하지 않는 두 평면을 평행이라고 합니다.

조건(그 방정식은 이전 단락과 동일)에 수직인 벡터 N과 N1이 동일선상에 있다는 것입니다. 이는 다음과 같은 비례 조건이 충족됨을 의미합니다.

A/A1=B/B1=C/C1.

비례 조건을 확장하면 - A/A1=B/B1=C/C1=DD1,

이는 이들 평면이 일치함을 나타냅니다. 이는 방정식 Ax+By+Cz+D=0 및 A1x+B1y+C1z+D1=0이 하나의 평면을 설명함을 의미합니다.

점에서 평면까지의 거리

방정식 (0)으로 주어지는 평면 P가 있다고 가정해 보겠습니다. 좌표가 (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ인 점에서 그 점까지의 거리를 구해야 합니다. 이렇게 하려면 평면 P의 방정식을 정규 형식으로 가져와야 합니다.

(ρ,v)=р(р≥0).

이 경우, ρ(x,y,z)는 P에 위치한 점 Q의 반경 벡터이고, p는 영점에서 벗어난 수직 P의 길이이며, v는 단위 벡터입니다. 방향 가.

P에 속하는 어떤 점 Q = (x, y, z)의 차이 ρ-ρ° 반경 벡터와 주어진 점 Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ)의 반경 벡터는 다음과 같은 벡터입니다. v에 대한 투영의 절대값은 Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ)에서 P까지 찾아야 하는 거리 d와 같습니다.

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, 그러나

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

그래서 그것은 밝혀졌습니다

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

따라서 결과 표현식의 절대 값, 즉 원하는 d를 찾습니다.

매개변수 언어를 사용하면 다음과 같은 분명한 사실을 얻을 수 있습니다.

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

주어진 점 Q 0이 좌표 원점과 같이 평면 P의 반대편에 있는 경우 벡터 ρ-ρ 0과 v 사이에는 다음이 있습니다.

d=-(ρ-ρ0,v)=(ρ0,v)-р>0.

좌표 원점과 함께 점 Q 0이 P의 같은 쪽에 위치하는 경우 생성된 각도는 예각입니다.

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

그 결과, 첫 번째 경우에는 (ρ 0 ,v)>р, 두 번째 경우에는 (ρ 0 ,v)<р.

접평면과 그 방정식

접촉점 M°에서 표면에 대한 접선 평면은 표면의 이 점을 통해 그려진 곡선에 대한 가능한 모든 접선을 포함하는 평면입니다.

이러한 유형의 표면 방정식 F(x,y,z)=0을 사용하면 접점 Mº(xº,yº,zº)에서 접평면의 방정식은 다음과 같습니다.

F x (x°,y°,z°)(x- x°)+ F x (x°, y°, z°)(y- y°)+ F x (x°, y°,z°)(z-z°)=0.

z=f(x,y) 형식으로 표면을 지정하면 접평면은 다음 방정식으로 설명됩니다.

z-z° =f(x°, y°)(x- x°)+f(x°, y°)(y- y°).

두 평면의 교차점

좌표계(직사각형)에는 Oxyz가 위치하며 교차하고 일치하지 않는 두 개의 평면 П′ 및 П″가 제공됩니다. 직각 좌표계에 위치한 모든 평면은 일반 방정식에 의해 결정되므로 P' 및 P″는 방정식 A′x+B′y+C′z+D′=0 및 A″x로 제공된다고 가정합니다. +B″y+ С″z+D″=0. 이 경우 평면 P'의 법선 n'(A',B',C')과 평면 P'의 법선 n"(A",B",C")이 있습니다. 평면이 평행하지 않고 일치하지 않기 때문에 이러한 벡터는 동일선상에 있지 않습니다. 수학이라는 언어를 사용하면 이 조건을 다음과 같이 쓸 수 있습니다: n′≠ n″ ← (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. P′와 P″의 교차점에 있는 직선을 문자 a로 표시합니다. 이 경우 a = P′ ∩ P″입니다.

a는 (공통) 평면 P' 및 P″의 모든 점 집합으로 구성된 직선입니다. 이는 선 a에 속하는 모든 점의 좌표가 방정식 A′x+B′y+C′z+D′=0 및 A″x+B″y+C″z+D″=0을 동시에 충족해야 함을 의미합니다. . 이는 점의 좌표가 다음 방정식 시스템의 부분 솔루션이 됨을 의미합니다.

결과적으로, 이 방정식 시스템의 (일반) 해는 P'와 P''의 교차점 역할을 하는 선의 각 점의 좌표를 결정하고 직선을 결정하는 것으로 나타났습니다. a 공간의 Oxyz(직사각형) 좌표계.

이번 강의에서는 행렬식을 사용하여 행렬식을 생성하는 방법을 살펴보겠습니다. 평면 방정식. 행렬식이 무엇인지 모른다면, 수업의 첫 부분인 "행렬과 행렬식"으로 가세요. 그렇지 않으면 오늘의 내용을 아무것도 이해하지 못할 위험이 있습니다.

세 점을 사용한 평면의 방정식

왜 평면 방정식이 필요한가요? 간단합니다. 이를 알면 문제 C2에서 각도, 거리 및 기타 헛소리를 쉽게 계산할 수 있습니다. 일반적으로 이 방정식 없이는 할 수 없습니다. 따라서 우리는 문제를 공식화합니다.

일. 같은 선상에 있지 않은 공간에 세 개의 점이 주어집니다. 좌표:

M = (x1, y1, z1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x3, y3, z3);

이 세 점을 통과하는 평면에 대한 방정식을 만들어야 합니다. 또한 방정식은 다음과 같아야 합니다.

도끼 + By + Cz + D = 0

여기서 숫자 A, B, C 및 D는 실제로 찾아야 하는 계수입니다.

그렇다면 점의 좌표만 알면 어떻게 평면의 방정식을 구할 수 있을까요? 가장 쉬운 방법은 좌표를 방정식 Ax + By + Cz + D = 0으로 대체하는 것입니다. 쉽게 풀 수 있는 세 가지 방정식의 시스템을 얻게 됩니다.

많은 학생들은 이 솔루션이 매우 지루하고 신뢰할 수 없다고 생각합니다. 지난해 수학통합고시에서는 계산 오류를 범할 확률이 정말 높다는 사실이 드러났다.

따라서 가장 뛰어난 교사들은 더 간단하고 우아한 솔루션을 찾기 시작했습니다. 그리고 그들은 그것을 발견했습니다! 사실, 얻은 기술은 오히려 더 높은 수학과 관련이 있습니다. 개인적으로 저는 우리가 어떤 정당성이나 증거 없이 이 기술을 사용할 권리가 있는지 확인하기 위해 전체 연방 교과서 목록을 뒤져야 했습니다.

행렬식을 통한 평면의 방정식

가사는 충분하고 본론으로 들어가겠습니다. 우선, 행렬식과 평면 방정식이 어떻게 관련되어 있는지에 대한 정리입니다.

정리. 평면을 그려야 하는 세 점의 좌표를 다음과 같이 지정합니다. M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x3, y3, z3). 그런 다음 이 평면의 방정식은 행렬식을 통해 작성할 수 있습니다.

예를 들어 문제 C2에서 실제로 발생하는 한 쌍의 평면을 찾아보겠습니다. 모든 것이 얼마나 빨리 계산되는지 확인하세요.

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

우리는 행렬식을 구성하고 이를 0과 동일시합니다.


행렬식을 확장합니다.

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

보시다시피, 숫자 d를 계산할 때 변수 x, y 및 z가 올바른 순서가 되도록 방정식을 약간 "빗질"했습니다. 그게 다야! 평면 방정식이 준비되었습니다!

일. 점을 통과하는 평면에 대한 방정식을 작성하십시오.

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

우리는 즉시 점의 좌표를 행렬식으로 대체합니다.

행렬식을 다시 확장합니다.

a = 11 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

그래서 평면의 방정식이 다시 얻어집니다! 다시 말하지만, 마지막 단계에서 우리는 더 "아름다운" 공식을 얻기 위해 기호를 변경해야 했습니다. 이 솔루션에서는 이 작업을 수행할 필요가 전혀 없지만 문제의 추가 솔루션을 단순화하기 위해 여전히 권장됩니다.

보시다시피 이제 평면의 방정식을 구성하는 것이 훨씬 쉬워졌습니다. 점을 행렬에 대입하고 행렬식을 계산하면 방정식이 준비됩니다.

이로 인해 수업이 종료될 수 있습니다. 그러나 많은 학생들은 행렬식 안에 무엇이 있는지 끊임없이 잊어버립니다. 예를 들어, 어느 줄에 x 2 또는 x 3이 포함되어 있는지, 어느 줄에 x만 포함되어 있는지 등이 있습니다. 실제로 이 문제를 해결하기 위해 각 숫자의 출처를 살펴보겠습니다.

행렬식을 포함한 공식은 어디에서 왔나요?

그렇다면 행렬식을 포함한 이러한 가혹한 방정식이 어디서 나오는지 알아봅시다. 이를 기억하고 성공적으로 적용하는 데 도움이 될 것입니다.

문제 C2에 나타나는 모든 평면은 세 개의 점으로 정의됩니다. 이러한 점은 항상 도면에 표시되거나 문제 텍스트에 직접 표시됩니다. 어쨌든 방정식을 만들려면 좌표를 적어야 합니다.

M = (x1, y1, z1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x3, y3, z3).

임의의 좌표가 있는 평면의 또 다른 점을 고려해 보겠습니다.

T = (x, y, z)

처음 세 점(예: 점 M)에서 임의의 점을 선택하고 이 점에서 나머지 세 점 각각에 벡터를 그립니다. 우리는 세 개의 벡터를 얻습니다:

MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 );
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1 );
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 ).

이제 이 벡터로부터 정사각 행렬을 구성하고 행렬식을 0으로 동일시해 보겠습니다. 벡터의 좌표는 행렬의 행이 되며 정리에 표시된 행렬식을 얻게 됩니다.

이 공식은 벡터 MN, MK 및 MT를 기반으로 만들어진 평행육면체의 부피가 0과 같음을 의미합니다. 따라서 세 벡터는 모두 같은 평면에 있습니다. 특히, 임의의 점 T = (x, y, z)가 바로 우리가 찾던 것입니다.

행렬식의 점과 선 바꾸기

행렬식에는 훨씬 더 쉽게 만드는 몇 가지 훌륭한 속성이 있습니다. 문제 C2에 대한 해결책. 예를 들어, 어느 지점에서 벡터를 그리는지는 중요하지 않습니다. 따라서 다음 행렬식은 위와 동일한 평면 방정식을 제공합니다.

행렬식의 직선을 바꿀 수도 있습니다. 방정식은 변경되지 않습니다. 예를 들어, 많은 사람들은 점 T = (x; y; z)의 좌표를 맨 위에 두고 선을 작성하는 것을 좋아합니다. 귀하에게 편리한 경우 다음을 수행하십시오.

어떤 사람들은 선 중 하나에 점을 대체해도 사라지지 않는 변수 x, y 및 z가 포함되어 있다는 사실로 인해 혼란스러워합니다. 하지만 사라져서는 안 됩니다! 숫자를 행렬식에 대입하면 다음과 같은 구성을 얻게 됩니다.

그런 다음 수업 시작 부분에 제공된 다이어그램에 따라 행렬식을 확장하고 평면의 표준 방정식을 얻습니다.

도끼 + By + Cz + D = 0

예를 살펴보십시오. 오늘 수업의 마지막 수업입니다. 답이 평면과 동일한 방정식을 제공하는지 확인하기 위해 의도적으로 선을 바꿀 것입니다.

일. 점을 통과하는 평면에 대한 방정식을 작성하십시오.

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).

따라서 우리는 4가지 사항을 고려합니다.

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

먼저 표준 행렬식을 만들고 이를 0과 동일시해 보겠습니다.

행렬식을 확장합니다.

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

그게 다입니다. 우리는 x + y + z − 2 = 0이라는 답을 얻었습니다.

이제 행렬식의 두 줄을 재배열하고 무슨 일이 일어나는지 살펴보겠습니다. 예를 들어 변수 x, y, z가 맨 아래가 아닌 맨 위에 있는 줄을 작성해 보겠습니다.

결과 행렬식을 다시 확장합니다.

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

우리는 x + y + z − 2 = 0과 똑같은 평면 방정식을 얻었습니다. 이는 실제로 행의 순서에 의존하지 않는다는 것을 의미합니다. 남은 것은 답을 적는 것뿐입니다.

따라서 우리는 평면의 방정식이 선의 순서에 의존하지 않는다고 확신합니다. 비슷한 계산을 수행하여 평면의 방정식이 다른 점에서 좌표를 뺀 점에 의존하지 않는다는 것을 증명할 수 있습니다.

위에서 고려한 문제에서는 점 B 1 = (1, 0, 1)을 사용했지만 C = (1, 1, 0) 또는 D 1 = (0, 1, 1)을 취하는 것이 상당히 가능했습니다. 일반적으로 알려진 좌표가 있는 모든 점은 원하는 평면에 있습니다.

같은 선상에 있지 않은 세 개의 주어진 점을 통과하는 평면의 방정식을 찾아야 한다고 가정해 보겠습니다. 반경 벡터를 로 표시하고 현재 반경 벡터를 로 표시하면 필요한 방정식을 벡터 형식으로 쉽게 얻을 수 있습니다. 실제로 벡터는 동일 평면에 있어야 합니다(모두 원하는 평면에 위치함). 따라서 이러한 벡터의 벡터-스칼라 곱은 0과 같아야 합니다.

이것은 주어진 세 점을 통과하는 평면의 방정식을 벡터 형식으로 표현한 것입니다.

좌표로 이동하여 좌표로 방정식을 얻습니다.

세 개의 주어진 점이 같은 선 위에 있으면 벡터는 동일선상에 있습니다. 따라서 방정식 (18)에서 행렬식의 마지막 두 줄에 해당하는 요소는 비례하고 행렬식은 동일하게 0이 됩니다. 결과적으로 방정식 (18)은 x, y 및 z의 모든 값에 대해 동일해집니다. 기하학적으로 이것은 공간의 각 점을 통과하여 주어진 세 점이 놓여 있는 평면을 통과한다는 것을 의미합니다.

참고 1. 벡터를 사용하지 않고도 동일한 문제를 해결할 수 있습니다.

주어진 세 점의 좌표를 각각 표시하여 첫 번째 점을 통과하는 평면의 방정식을 작성합니다.

원하는 평면의 방정식을 얻으려면 방정식 (17)이 다른 두 점의 좌표로 충족되어야 합니다.

방정식 (19)에서 두 계수와 세 번째 계수의 비율을 결정하고 찾은 값을 방정식 (17)에 입력해야합니다.

예 1. 점을 통과하는 평면에 대한 방정식을 작성합니다.

이들 점 중 첫 번째 점을 통과하는 평면의 방정식은 다음과 같습니다.

평면(17)이 다른 두 점과 첫 번째 점을 통과하는 조건은 다음과 같습니다.

두 번째 방정식을 첫 번째 방정식에 추가하면 다음을 찾을 수 있습니다.

두 번째 방정식을 대체하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

A, B, C 각각 1, 5, -4(이들에 비례하는 숫자) 대신 방정식(17)을 대체하면 다음을 얻습니다.

예 2. 점 (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2)을 통과하는 평면에 대한 방정식을 작성하십시오.

점 (0, 0, 0)을 통과하는 평면의 방정식은 다음과 같습니다]

점 (1, 1, 1)과 (2, 2, 2)를 통과하는 이 평면의 통과 조건은 다음과 같습니다.

두 번째 방정식을 2로 줄이면 두 개의 미지수를 결정하기 위해 다음과 같은 방정식이 하나 있다는 것을 알 수 있습니다.

여기에서 우리는 . 이제 평면의 값을 방정식에 대입하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

이것은 원하는 평면의 방정식입니다. 그것은 임의의 것에 달려있다

양 B, C(즉, 관계식에서 즉, 주어진 세 점을 통과하는 무한한 수의 평면이 있습니다(주어진 세 점은 동일한 직선 위에 있습니다).

비고 2. 같은 선상에 있지 않은 세 개의 주어진 점을 통해 평면을 그리는 문제는 행렬식을 사용하면 일반적인 형태로 쉽게 풀 수 있습니다. 실제로 방정식 (17)과 (19)에서 계수 A, B, C는 동시에 0과 같을 수 없으므로 이러한 방정식을 세 가지 미지수 A, B, C가 있는 균질 시스템으로 간주하여 필요하고 충분합니다. 0이 아닌 이 시스템의 해가 존재하기 위한 조건(1부, VI장, § 6):

이 행렬식을 첫 번째 행의 요소로 확장하면 현재 좌표에 대한 1차 방정식을 얻습니다. 이는 특히 주어진 세 점의 좌표로 충족됩니다.

대신에 이러한 점의 좌표를 대체하여 후자를 직접 확인할 수도 있습니다. 왼쪽에는 첫 번째 행의 요소가 0이거나 두 개의 동일한 행이 있는 행렬식을 얻습니다. 따라서 구성된 방정식은 주어진 세 점을 통과하는 평면을 나타냅니다.

13.평면 사이의 각도, 점에서 평면까지의 거리.

평면 α와 β가 직선 c를 따라 교차한다고 가정합니다.
평면 사이의 각도는 이러한 평면에 그려진 교차선에 대한 수직선 사이의 각도입니다.

즉, α 평면에서 c에 수직인 직선 a를 그렸습니다. β 평면에서 - 직선 b는 c에도 수직입니다. 평면 α와 β 사이의 각도는 직선 a와 b 사이의 각도와 같습니다.

두 평면이 교차하면 실제로 네 개의 각도가 형성됩니다. 사진에서 그것들이 보이시나요? 우리가 취하는 평면 사이의 각도로 매운모서리.

평면 사이의 각도가 90도이면 평면은 수직,

이것이 평면의 수직성의 정의입니다. 입체 측정 문제를 해결할 때 우리는 또한 다음을 사용합니다. 평면의 직각도 표시:

평면 α가 평면 β에 수직인 평면을 통과하면 평면 α와 β는 수직입니다..

점에서 평면까지의 거리

좌표로 정의된 점 T를 생각해 보세요.

T = (x 0 , y 0 , z 0)

또한 다음 방정식으로 주어진 평면 α를 고려합니다.

도끼 + By + Cz + D = 0

그런 다음 점 T에서 평면 α까지의 거리 L은 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

즉, 점의 좌표를 평면 방정식에 대입한 다음 이 방정식을 평면에 대한 법선 벡터 n의 길이로 나눕니다.

결과 숫자는 거리입니다. 이 정리가 실제로 어떻게 작동하는지 살펴보겠습니다.


우리는 이미 평면상의 직선의 매개변수 방정식을 도출해 냈으니, 3차원 공간의 직교좌표계에서 정의되는 직선의 매개변수 방정식을 구해보자.

직교좌표계를 3차원 공간에 고정시키자 옥시즈. 그 안에 직선을 정의해보자 ㅏ(공간에서 선을 정의하는 방법에 대한 섹션 참조) 선의 방향 벡터를 나타냅니다. 그리고 선 위의 어떤 점의 좌표 . 공간에서 직선의 매개변수 방정식을 그릴 때 이러한 데이터로부터 시작하겠습니다.

3차원 공간의 임의의 점이라고 하자. 점의 좌표에서 빼면 중대응점 좌표 남 1, 그런 다음 벡터의 좌표를 얻습니다 (끝과 시작 지점의 좌표에서 벡터의 좌표를 찾는 기사 참조). .

분명히 점들의 집합은 선을 정의합니다. ㅏ벡터와 가 동일선상에 있는 경우에만 가능합니다.

벡터의 공선성의 필요충분조건을 적어보자 그리고 : , 실수는 어디에 있습니까? 결과 방정식은 다음과 같습니다. 선의 벡터 매개변수 방정식직각 좌표계에서 옥시즈 3차원 공간에서. 좌표 형태의 직선의 벡터 매개변수 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. 그리고 대표한다 선의 매개변수 방정식 ㅏ. "파라메트릭"이라는 이름은 우연이 아닙니다. 선에 있는 모든 점의 좌표가 매개변수를 사용하여 지정되기 때문입니다.

직교 좌표계에서 직선의 매개 변수 방정식의 예를 들어 보겠습니다. 옥시즈우주에서: . 여기


15.직선과 평면 사이의 각도. 평면과 선의 교차점.

좌표에 관한 모든 1차 방정식 x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0(3.1)

평면을 정의하고 그 반대도 마찬가지입니다. 모든 평면은 방정식 (3.1)으로 표현될 수 있습니다. 평면 방정식.

벡터 N평면에 직교하는 (A, B, C)를 호출합니다. 법선 벡터비행기. 방정식 (3.1)에서 계수 A, B, C는 동시에 0이 아닙니다.

방정식 (3.1)의 특별한 경우:

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - 평면이 원점을 통과합니다.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - 평면은 Oz 축과 평행합니다.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - 평면이 Oz 축을 통과합니다.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - 평면은 Oyz 평면과 평행합니다.

좌표 평면의 방정식: x = 0, y = 0, z = 0.

공간의 직선을 지정할 수 있습니다.

1) 두 평면의 교차선, 즉 방정식 시스템:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) 두 점 M 1 (x 1, y 1, z 1)과 M 2 (x 2, y 2, z 2)를 통해 이를 통과하는 직선은 다음 방정식으로 제공됩니다.

3) 그것에 속하는 점 M 1 (x 1, y 1, z 1) 및 벡터 ㅏ(m, n, p)와 동일선상에 있습니다. 그런 다음 직선은 방정식에 의해 결정됩니다.

. (3.4)

방정식 (3.4)이 호출됩니다. 직선의 표준 방정식.

벡터 ㅏ~라고 불리는 방향 벡터 직선.

우리는 각 관계(3.4)를 매개변수 t와 동일시하여 선의 매개변수 방정식을 얻습니다.

x = x 1 +mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + rt. (3.5)

미지수에 대한 선형 방정식 시스템으로서의 풀이 시스템(3.2) 엑스그리고 와이, 우리는 라인의 방정식에 도달 투영또는 주어진 직선 방정식:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

방정식 (3.6)에서 우리는 표준 방정식으로 이동하여 다음을 찾을 수 있습니다. 지각 방정식에서 결과 값을 동일시합니다.

.

일반 방정식(3.2)에서 이 선과 해당 방향 벡터에서 임의의 점을 찾으면 다른 방법으로 표준 방정식으로 이동할 수 있습니다. N= [N 1 , N 2 ], 여기서 N 1(A1, B1, C1) 및 N 2 (A 2 , B 2 , C 2 ) - 주어진 평면의 법선 벡터. 분모 중 하나라면 남, 엔또는 아르 자형방정식 (3.4)에서 0과 같으면 해당 분수의 분자는 0으로 설정되어야 합니다. 즉 체계

시스템과 동등하다 ; 이러한 직선은 Ox 축에 수직입니다.

체계 x = x 1, y = y 1 시스템과 동일합니다. 직선은 오즈 축과 평행합니다.

예제 1.15. 점 A(1,-1,3)이 원점에서 이 평면에 그려진 수직선의 밑변 역할을 한다는 것을 알고 평면에 대한 방정식을 작성하십시오.

해결책.문제 조건에 따라 벡터는 OA(1,-1,3)은 평면의 법선 벡터이고 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
x-y+3z+D=0. 평면에 속하는 점 A(1,-1,3)의 좌표를 대입하면 D: 1-(-1)+3×3+D = 0 Þ D = -11이 됩니다. 따라서 x-y+3z-11=0입니다.

예제 1.16. Oz 축을 통과하고 2x+y-z-7=0 평면과 60°의 각도를 이루는 평면에 대한 방정식을 쓰십시오.

해결책. Oz 축을 통과하는 평면은 Ax+By=0 방정식으로 주어지며, 여기서 A와 B는 동시에 사라지지 않습니다. B는 하지 말자
0과 같습니다. A/Bx+y=0입니다. 두 평면 사이의 각도에 대한 코사인 공식 사용

.

이차 방정식 3m 2 + 8m - 3 = 0을 풀면 그 뿌리를 찾을 수 있습니다
m 1 = 1/3, m 2 = -3, 여기서 우리는 1/3x+y = 0 및 -3x+y = 0이라는 두 평면을 얻습니다.

예제 1.17.라인의 표준 방정식을 작성하십시오.
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

해결책.선의 표준 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

어디 m, n, p- 직선의 방향 벡터의 좌표, x 1 , y 1 , z 1- 선에 속하는 모든 점의 좌표. 직선은 두 평면의 교차선으로 정의됩니다. 선에 속하는 점을 찾으려면 좌표 중 하나를 고정하고(가장 쉬운 방법은 x=0으로 설정하는 것입니다) 결과 시스템은 두 개의 미지수를 갖는 선형 방정식 시스템으로 해결됩니다. 따라서 x=0이라고 하면 y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0이므로 y=-1, z=1입니다. 우리는 이 선 M (0,-1,1)에 속하는 점 M(x 1, y 1, z 1)의 좌표를 찾았습니다. 직선의 방향 벡터는 원래 평면의 법선 벡터를 알면 쉽게 찾을 수 있습니다. N 1 (5,1,1) 및 N 2 (2,3,-2). 그 다음에

선의 표준 방정식의 형식은 다음과 같습니다. x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

예제 1.18. 평면 2x-y+5z-3=0 및 x+y+2z+1=0으로 정의된 빔에서 두 개의 수직 평면을 찾습니다. 그 중 하나는 점 M(1,0,1)을 통과합니다.

해결책.이들 평면에 의해 정의된 빔의 방정식은 u(2x-y+5z-3) + v(x+y+2z+1)=0 형식을 가지며, 여기서 u와 v는 동시에 사라지지 않습니다. 빔 방정식을 다음과 같이 다시 작성해 보겠습니다.

(2u +v)x + (-u + v)y + (5u +2v)z - 3u + v = 0.

점 M을 통과하는 보에서 평면을 선택하기 위해 점 M의 좌표를 보의 방정식에 대입합니다. 우리는 다음을 얻습니다:

(2u+v)×1 + (-u + v)×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v =0, 또는 v = - u.

그런 다음 v = - u를 빔 방정식에 대입하여 M을 포함하는 평면의 방정식을 찾습니다.

u(2x-y +5z - 3) - u (x + y +2z +1) = 0.

왜냐하면 u10(그렇지 않으면 v=0, 이는 빔의 정의와 모순됨)이면 평면 x-2y+3z-4=0의 방정식을 얻습니다. 보에 속하는 두 번째 평면은 보에 수직이어야 합니다. 평면의 직교성에 대한 조건을 적어 보겠습니다.

(2u+ v)×1 + (v - u)×(-2) + (5u +2v)×3 = 0, 또는 v = - 19/5u.

이는 두 번째 평면의 방정식이 다음과 같은 형식을 갖는다는 것을 의미합니다.

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 또는 9x +24y + 13z + 34 = 0



유사한 기사