기본 기능을 차별화하는 공식. 미분, 미분의 규칙 및 공식

미분은 미분을 계산하는 것입니다.

1. 미분 공식.

주요 차별화 공식은 표에 나와 있습니다. 그것들은 기억될 필요가 없습니다. 일부 패턴을 이해하면 일부 공식에서 다른 패턴을 독립적으로 파생시킬 수 있습니다.

1) 공식부터 시작하겠습니다 (k 엑스+ m)' = k.
특별한 경우는 공식입니다. 엑스' = 1이고 C' = 0입니다.

y = kx + m 형식의 모든 함수에서 도함수는 기울기 k와 같습니다.

예를 들어, 함수 y = 2가 주어지면 엑스+ 4. 어느 지점에서나 그 파생물은 2와 같습니다.

(2 x + 4)' = 2 .

함수의 파생 ~에 = 9 엑스어느 지점에서든 + 5는 다음과 같습니다. 9 . 등.

함수 y = 5의 미분을 구해 봅시다 엑스. 이를 위해 5를 상상해 봅시다. 엑스형태로 (5 엑스+ 0). 이전과 비슷한 표현을 받았습니다. 수단:

(5엑스)' = (5 엑스+ 0)' = 5.

마지막으로, 그것이 무엇과 같은지 알아봅시다. 엑스′.
이전 예의 기술을 적용해 보겠습니다. 엑스 1로 엑스+ 0. 그러면 우리는 다음을 얻습니다:

엑스' = (1 엑스+ 0)' = 1.

따라서 우리는 표에서 공식을 독립적으로 도출했습니다.

(0 · 엑스+ m)' = 0.

그러나 m′도 0과 같다는 것이 밝혀졌습니다. m = C라고 가정합니다. 여기서 C는 임의의 상수입니다. 그런 다음 우리는 또 다른 진실에 도달합니다. 상수의 미분은 0과 같습니다. 즉, 우리는 표에서 또 다른 공식을 얻습니다.

미분 문제를 풀 때, 다양한 클래스의 함수의 파생물을 찾아야 합니다. 이번 글에서는 주요 내용을 살펴보겠습니다. 차별화 규칙, 파생상품을 찾을 때 지속적으로 사용할 것입니다. 우리는 함수의 도함수 정의를 기반으로 이러한 모든 규칙을 증명할 것이며 적용 원리를 이해하기 위해 예제의 자세한 솔루션에 대해 확실히 설명할 것입니다.

미분 규칙을 증명할 때 함수 f(x)와 g(x)가 어떤 구간 X에서 미분 가능하다고 가정합니다.

즉, 모든 경우에 해당 기능의 증분은 어디에 있습니까?

다른 게시물에서.

차별화의 기본 규칙은 다음과 같습니다.

도함수의 부호를 넘어서는 상수 인자를 수행합니다.

공식을 증명해 봅시다. 파생상품의 정의에 따르면 다음과 같습니다.

임의의 인자는 극한까지의 통과 부호를 넘어 취해질 수 있습니다(이는 극한의 속성에서 알 수 있습니다).

이것으로 미분의 첫 번째 법칙 증명이 완료되었습니다.

도함수 표와 도함수를 찾는 규칙을 사용하려면 먼저 미분 함수의 형태를 단순화해야 하는 경우가 종종 있습니다. 다음 예는 이를 명확하게 확인합니다.

예.

기능 차별화 수행 .

해결책.

로그 함수의 속성을 기반으로 표기법으로 이동할 수 있습니다. 로그 함수의 미분을 기억하고 상수 요소를 추가하는 것이 남아 있습니다.

예.

해결책.

원래 함수를 변형해 봅시다 .

승수를 도함수의 부호 외부에 배치하는 규칙을 적용하고 표에서 지수 함수의 도함수를 가져옵니다.

합계의 파생, 차이의 파생.

미분의 두 번째 규칙을 증명하기 위해 도함수의 정의와 연속 함수의 극한 속성을 사용합니다.

비슷한 방식으로, n 함수의 합(차)의 도함수가 n 도함수의 합(차)과 동일하다는 것을 증명할 수 있습니다.

예.

함수의 도함수 찾기 .

해결책.

원래 함수의 형태를 단순화해 보겠습니다.

우리는 미분 합(차이) 규칙을 사용합니다.

이전 단락에서 우리는 상수 요소가 도함수의 부호에서 제거될 수 있음을 증명했습니다.

남은 것은 파생상품표를 사용하는 것뿐입니다.

함수의 파생물입니다.

두 함수의 곱을 미분하는 규칙을 증명해 보겠습니다.

인수 증가에 대한 함수 곱의 증가 비율의 한계를 적어 보겠습니다. 우리는 그것을 고려할 것입니다 (인수의 증가가 0이 되는 경향이 있으므로 함수의 증가도 0이 되는 경향이 있습니다).

Q.E.D.

예.

차별화 기능 .

해결책.

이 예에서는. 우리는 제품 파생 규칙을 적용합니다.

우리는 기본 기본 함수의 미분 표를 살펴보고 답을 얻습니다.

예.

함수의 미분을 찾아보세요.

해결책.

이 예에서는 . 따라서,

세 가지 함수의 곱의 미분을 구하는 경우를 살펴보겠습니다. 원칙적으로 동일한 시스템을 사용하여 4개, 5개, 25개 기능의 제품을 차별화하는 것이 가능합니다.

예.

함수의 미분을 수행합니다.

해결책.

우리는 두 기능의 곱을 미분하는 규칙으로부터 나아갈 것입니다. 함수 f(x)로서 (1+x)sinx의 곱을 고려하고, g(x)로서 lnx를 취합니다:

찾다 다시 제품 파생 규칙을 적용합니다.

우리는 미분 합계 규칙과 미분 테이블을 사용합니다.

결과를 대체해 보겠습니다.

보시다시피 때로는 하나의 예에 여러 미분 규칙을 적용해야 하는 경우가 있습니다. 이것에 대해 복잡한 것은 없습니다. 가장 중요한 것은 일관되게 행동하고 모든 것을 함께 섞지 않는 것입니다.

예.

함수의 미분을 찾아보세요.

해결책.

함수는 표현식과 의 차이를 나타냅니다.

첫 번째 표현에서는 도함수 기호에서 두 개를 취하고, 두 번째 표현에서는 곱을 구별하는 규칙을 적용합니다.

두 함수의 몫을 파생합니다(분수 파생).

두 함수(분수)의 몫을 미분하는 규칙을 증명해 보겠습니다. . 구간 X의 모든 x에 대해 g(x)가 사라지지 않는다는 점은 언급할 가치가 있습니다.

비디오 코스 "Get an A"에는 60-65점으로 수학 통합 상태 시험에 성공적으로 합격하는 데 필요한 모든 주제가 포함되어 있습니다. 수학 프로필 통합 상태 시험의 모든 작업 1-13을 완료했습니다. 수학 기본 통합 상태 시험에 합격하는 데에도 적합합니다. 90~100점으로 통합 상태 시험에 합격하려면 파트 1을 30분 안에 실수 없이 풀어야 합니다!

10~11학년과 교사를 위한 통합 국가 시험 준비 과정입니다. 수학 통합 상태 시험 파트 1(처음 12개 문제)과 문제 13(삼각법)을 해결하는 데 필요한 모든 것입니다. 그리고 이것은 통합 상태 시험에서 70점이 넘으며, 100점 학생도 인문학 학생도 그것 없이는 할 수 없습니다.

필요한 모든 이론. 통합 상태 시험의 빠른 솔루션, 함정 및 비밀. FIPI Task Bank 파트 1의 모든 현재 작업이 분석되었습니다. 이 과정은 Unified State Exam 2018의 요구 사항을 완전히 준수합니다.

이 과정에는 5개의 큰 주제가 포함되어 있으며 각 주제는 2.5시간입니다. 각 주제는 처음부터 간단하고 명확하게 제공됩니다.

수백 개의 통합 상태 시험 과제. 단어 문제와 확률 이론. 문제 해결을 위한 간단하고 기억하기 쉬운 알고리즘입니다. 기하학. 모든 유형의 통합 상태 시험 작업에 대한 이론, 참고 자료, 분석. 입체 측정. 까다로운 솔루션, 유용한 치트 시트, 공간적 상상력 개발. 처음부터 삼각법 문제 13. 벼락치기 대신 이해하기. 복잡한 개념에 대한 명확한 설명. 대수학. 근, 거듭제곱, 로그, 함수 및 도함수. 통합 국가 시험 파트 2의 복잡한 문제를 해결하기 위한 기초입니다.

2. 차별화의 기본 규칙

만약에 와 함께은 상수이고 u = u(x), v = v(x)는 일부 미분 함수인 경우 다음 미분 규칙이 유효합니다.

1) (c) " = 0, (cu) " = cu";

2) (u+v)" = u"+v";

3) (uv)" = u"v+v"u;

4) (u/v)" = (u"v-v"u)/v 2;

예시 1.함수의 도함수 찾기

해결책. 검정력 함수를 미분하기 위해 규칙 (5), (8) 및 공식 (4)를 적용하면 다음을 얻습니다.

예시 2.함수의 도함수 찾기

해결책. 곱을 미분하는 규칙 (7)을 적용한 다음, 예 4와 같은 방식으로 요인의 도함수를 구해 보겠습니다. 그러면 다음을 얻습니다.

예시 3.함수 y =의 도함수를 구합니다.

해결책. 몫을 미분하기 위해 규칙 (10)을 적용해 보겠습니다.

그런 다음 위와 같이 분자의 도함수를 계산합니다. 우리는

작업 텍스트:

옵션 1

1. 함수의 도함수 찾기 .

2. 함수의 도함수 찾기 .

가로좌표에 , .

티

옵션 2

1. 함수의 도함수 찾기 .

2. 함수의 도함수 찾기 .

3. 함수 그래프에 대한 접선 방정식을 작성하십시오. 가로좌표에 , .

4. 중요한 점은 법에 따라 움직입니다. . 순간의 속도와 가속도를 구하라 티=5초 (변위는 미터 단위로 측정됩니다.)

옵션 3

1. 함수의 도함수 찾기 .

2. 함수의 도함수 찾기 .

3. 함수 그래프에 대한 접선 방정식을 작성하십시오. 가로좌표에 , .

4. 중요한 점은 법에 따라 움직입니다. . 순간의 속도와 가속도를 구하라 티=5초 (변위는 미터 단위로 측정됩니다.)

옵션 4

1. 함수의 도함수 찾기 .

2. 함수의 도함수 찾기 .

3. 함수 그래프에 대한 접선 방정식을 작성하십시오. 가로좌표에 , .

4. 중요한 점은 법에 따라 움직입니다. . 순간의 속도와 가속도를 구하라 티=5초 (변위는 미터 단위로 측정됩니다.)

옵션 5

1. 함수의 도함수 찾기 .

2. 함수의 도함수 찾기 .

3. 함수 그래프에 대한 접선 방정식을 작성하십시오. 가로좌표에 , .

4. 중요한 점은 법에 따라 움직입니다. . 순간의 속도와 가속도를 구하라 티=5초 (변위는 미터 단위로 측정됩니다.)

옵션 6

1. 함수의 도함수 찾기 .

2. 함수의 도함수 찾기 .

3. 함수 그래프에 대한 접선 방정식을 작성하십시오. 가로좌표에 , .

4. 중요한 점은 법에 따라 움직입니다. . 순간의 속도와 가속도를 구하라 티=5초 (변위는 미터 단위로 측정됩니다.)

실무 16호

주제: 함수 연구 및 그래프 작성에 미분 적용

작업의 목표: 주제를 마스터하는 데있어 학생들의 지식과 기술을 통합하고 파생 장치를 적용하는 기술을 개발합니다.

이론적 배경:

함수를 연구하고 그래프를 구성하는 방식

I. 함수 정의 영역을 찾아보세요.
II. 함수 그래프와 좌표축의 교차점을 찾습니다.
III. 점근선을 찾으세요.
IV. 가능한 극점을 찾아보세요.
V. 중요한 점을 찾으십시오.
6. 보조 그림을 사용하여 1차 도함수의 부호를 탐색합니다. 함수가 증가하고 감소하는 영역, 극한점을 결정합니다.
Ⅶ. 단락 1-6에서 수행된 연구를 고려하여 그래프를 구성하십시오.

아래의 모든 수식에서 문자는 유그리고 V독립 변수의 미분 기능이 표시됩니다. 엑스: , , 그리고 편지로 ㅏ, 씨, 엔- 끊임없는:

1.

3.

4.

6.

나머지 공식은 독립 변수의 함수와 복잡한 함수 모두에 대해 작성되었습니다.

7.

8.

10.

11.

12.

13.

15.

17.

7a.

10a.

12a.

13a.

14a.

15a.

16a.

17a.

아래 예시를 풀면서 자세한 메모를 작성했습니다. 그러나 중간 항목 없이 구별하는 방법을 배워야 합니다.

예시 1.함수의 도함수 찾기 .

해결책. 이 함수는 함수의 대수적 합입니다. 공식 3, 5, 7, 8을 사용하여 이를 차별화합니다.

예시 2.함수의 도함수 찾기

해결책. 공식 6, 3, 7 및 1을 적용하면 다음을 얻습니다.

예시 3.함수의 도함수 찾기 그리고 그 값을 다음과 같이 계산합니다.

해결책. 이는 중간 인수가 있는 복잡한 함수입니다. 공식 7a와 10을 사용하면

다음에서 파생상품의 값을 계산해 보겠습니다. :

.

예시 4.함수의 도함수 찾기 .

해결책. 이는 중간 인수가 있는 복잡한 함수입니다. 공식 3, 5, 7a, 11, 16a를 적용하면

실시예 5.함수의 도함수 찾기 .

해결책. 공식 6, 12, 3 및 1을 사용하여 이 함수를 차별화합니다.

실시예 6.

해결책. 먼저 로그의 속성을 사용하여 함수를 변환합니다.

이제 공식 3, 16a, 7 및 1을 사용하여 차별화합니다.

.

의 미분값을 계산해 봅시다.

실시예 7.함수의 도함수를 구하고 에서 그 값을 계산합니다.

해결책. 우리는 공식 6, 3, 14a, 9a, 5 및 1을 사용합니다.

.

다음에서 파생 상품의 값을 계산해 보겠습니다.

.

파생어의 기하학적 의미.

함수의 미분은 간단하고 중요한 기하학적 해석을 가지고 있습니다.

기능의 경우 시점에서 구별 가능 엑스이면 이 함수의 그래프는 해당 지점에서 접선을 가지며 접선의 기울기는 해당 지점의 도함수 값과 같습니다.

함수 그래프에 그려진 접선의 기울기 지점에서 ( 엑스 0 , ~에 0)은 다음에서 함수의 도함수 값과 같습니다. x = x 0, 즉 .

이 탄젠트의 방정식은 다음과 같습니다.

실시예 8. 함수 그래프의 접선에 대한 방정식을 작성하세요. 지점 A(3.6)에서.

해결책. 접선의 기울기를 찾기 위해 다음 함수의 미분을 찾습니다.

.

엑스= 3:

접선 방정식의 형식은 다음과 같습니다.

또는 , 즉.

실시예 9.함수 그래프에 그려진 탄젠트에 대한 방정식을 작성하세요. 가로좌표에 x=2.

해결책. 먼저 접선점의 세로 좌표를 찾습니다. . 점 A가 곡선 위에 있기 때문에 그 좌표는 곡선의 방정식을 만족합니다. 즉,

; .

한 점에서 곡선에 그려진 접선 방정식 , 형태를 갖는다 . 접선의 기울기를 찾기 위해 다음과 같은 미분을 찾습니다.

.

접선의 기울기는 다음에서 함수의 미분 값과 같습니다. 엑스= 2:

탄젠트 방정식은 다음과 같습니다.

, , 즉.

파생어의 물리적 의미.법칙에 따라 신체가 직선으로 움직이는 경우 s=s(t), 그리고 일정 기간 동안(그 순간부터 티그 순간까지 ) 어느 정도 거리를 이동할 것입니다. 그런 다음 일정 기간 동안의 평균 이동 속도가 있습니다.

속도특정 순간의 신체 움직임 티시간 증가가 0이 되는 경향이 있을 때 시간 증가에 대한 경로 비율의 한계라고 합니다.

.

따라서 경로 s의 시간 미분은 티주어진 시간에 신체의 직선 운동 속도와 같습니다.

.

물리적, 화학적 및 기타 프로세스의 속도도 파생물을 사용하여 표현됩니다.

함수의 파생 주어진 인수 값에 대한 이 함수의 변화율과 같습니다. 엑스:

실시예 10.직선상의 한 점의 운동 법칙은 다음 공식으로 표현됩니다. (s - 미터, t - 초). 첫 번째 초가 끝날 때 지점의 속도를 구합니다.

해결책. 주어진 시간에 한 지점의 속도는 경로의 미분과 같습니다. 에스시간에 따라 티:

,

따라서 첫 번째 1초가 끝날 때 지점의 속도는 9m/s입니다.

실시예 11.수직으로 위로 던져진 몸은 법칙에 따라 움직인다 , 어디 V 0 - 초기 속도, g- 신체의 자유 낙하 가속. 특정 순간에 대한 이 움직임의 속도를 구하십시오. 티. 몸이 올라가는 데 시간이 얼마나 걸리며, 다음과 같은 경우 높이가 어느 정도까지 올라가나요? v 0= 40m/초?

해결책. 특정 순간에 한 지점의 이동 속도 티경로의 파생물과 동일 에스시간에 따라 티:

.

상승의 가장 높은 지점에서 신체의 속도는 0입니다.

, , , , 와 함께.

40세 이상/ g몇 초 동안 몸이 높이 올라간다.

, 중.

2차 미분.

함수의 파생 일반적인 경우에는 다음의 함수가 있습니다. 엑스. 이 함수의 도함수를 계산하면 함수의 2차 도함수 또는 2차 도함수를 얻습니다. .

2차 미분기능 를 1차 도함수의 도함수라고 합니다. .

함수의 2차 도함수는 - 기호 중 하나로 표시됩니다. , . 따라서, .

모든 차수의 파생 상품은 유사하게 정의되고 표시됩니다. 예를 들어, 3차 도함수는 다음과 같습니다.

또는 ,

실시예 12. .

해결책. 먼저 1차 도함수를 구해보자

실시예 13.함수의 2차 도함수 찾기 그리고 그 값을 다음과 같이 계산합니다. x=2.

해결책. 먼저, 첫 번째 도함수를 구해 봅시다:

다시 미분하면 2차 도함수를 찾을 수 있습니다.

2차 미분 값을 계산해 보겠습니다. x=2; 우리는

2차 도함수의 물리적 의미.

법칙에 따라 신체가 직선으로 움직이는 경우 s = s(t), 경로의 2차 도함수 에스시간에 따라 티주어진 순간에 신체의 가속도와 같습니다. 티:

따라서 1차 미분은 특정 프로세스의 속도를 나타내고, 2차 미분은 동일한 프로세스의 가속을 나타냅니다.

실시예 14.점은 법칙에 따라 직선으로 움직입니다. 운동의 속도와 가속도 찾기 .

해결책. 주어진 시간에 신체의 이동 속도는 경로의 미분과 같습니다. 에스시간에 따라 티,가속도는 경로의 2차 미분입니다. 에스시간에 따라 티. 우리는 찾는다:

; 그 다음에 ;

; 그 다음에

실시예 15.직선 운동의 속도는 이동 거리의 제곱근에 비례합니다(예: 자유 낙하). 이 운동은 일정한 힘의 영향을 받아 발생함을 증명하십시오.

해결책. 뉴턴의 법칙에 따르면 운동을 일으키는 힘 F는 가속도에 비례합니다.

또는

조건에 따르면, . 이 평등을 차별화하면 다음을 찾을 수 있습니다.

그러므로 작용력은 .

함수 연구에 도함수 적용.

1) 기능 증가 조건: 미분 가능 함수 y = f(x)는 도함수가 0보다 큰 경우에만 구간 X에서 단조롭게 증가합니다. 즉, y = f(x) f'(x) > 0. 이 조건은 기하학적으로 이 함수의 그래프에 대한 접선이 oX 축에 대해 양의 방향으로 예각을 형성한다는 것을 의미합니다.

2) 기능이 저하되는 조건: 미분 가능 함수 y = f(x)는 도함수가 0보다 작은 경우에만 구간 X에서 단조롭게 감소합니다. 즉,

y = f(x)↓ f'(x) 이 조건은 기하학적으로 이 함수 그래프의 접선이 oX 축의 양의 방향과 둔각을 형성한다는 것을 의미합니다.

3) 함수의 불변성을 위한 조건:미분 가능 함수 y = f(x)는 도함수가 0인 경우에만 구간 X에서 일정합니다. 즉, y = f(x) - 상수 f'(x) = 0 .이 조건은 기하학적으로 이 함수의 그래프에 대한 접선이 oX 축과 평행함을 의미합니다(예: α = 0).

함수의 극값.

정의 1: 점 x = x 0이 호출됩니다. 최소 포인트함수 y = f(x), 이 점이 모든 점(점 자체 제외)이 부등식을 충족하는 이웃을 갖는 경우 f(x)> f(x 0)

정의 2:점 x = x 0이 호출됩니다. 최대 포인트함수 y = f(x), 이 점이 모든 점(점 자체 제외)이 부등식 f(x)를 충족하는 이웃을 갖는 경우< f(x 0).

정의 3: 함수의 최소점 또는 최대점을 점이라고 합니다. 극한의. 이 시점에서 함수의 값을 극단이라고 합니다.

노트: 1. 최대(최소)는 반드시 함수의 가장 큰(가장 작은) 값은 아닙니다.

2. 함수에는 여러 개의 최대값 또는 최소값이 있을 수 있습니다.

3. 세그먼트에 정의된 기능은 이 세그먼트의 내부 지점에서만 극값에 도달할 수 있습니다.

5) 극한의 필요조건:함수 y = f(x)가 x = x 0 지점에서 극값을 갖는 경우 이 지점에서 도함수는 0이거나 존재하지 않습니다. 이러한 점을 호출합니다. 1종의 임계점.

6) 함수의 극값이 존재하기 위한 충분한 조건:함수 y = f(x)가 구간 X에서 연속이고 이 구간 내에 제1종 임계점 x = x 0을 갖는다고 가정하면 다음과 같습니다.

a) 이 점이 x에 대해 다음과 같은 이웃을 갖고 있는 경우< х 0 f’(x) < 0, а при x>x 0 f'(x) > 0이면 x = x 0은 점입니다. 최저한의함수 y = f(x);

b) 이 점이 x에 대해 다음과 같은 이웃을 갖는 경우< х 0 f’(x) >0이고 x> x 0인 경우

에프'(엑스)< 0, то х = х 0 является точкой 최고함수 y = f(x);

c) 이 지점에 x 0 지점의 오른쪽과 왼쪽 모두에서 도함수의 부호가 동일한 이웃이 있는 경우 x 0 지점에는 극값이 없습니다.

함수가 감소하거나 증가하는 간격을 간격이라고 합니다. 단음.

정의1:곡선 y = f(x)가 호출됩니다. 볼록한 아래쪽간격 a에서< х <в, если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка и кривая у = f(x) называется 위로 볼록하다간격 a에서< х <в, если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

정의 2:함수의 그래프가 위쪽 또는 아래쪽으로 볼록해지는 구간을 호출합니다. 볼록 간격기능 그래픽.

곡선의 볼록성에 대한 충분조건.미분 가능 함수 Y = f(x)의 그래프는 다음과 같습니다. 위로 볼록하다간격 a에서< х <в, если f”(x) < 0 и 볼록한 아래쪽, f”(x) > 0인 경우.

정의 1: 2차 도함수가 0이거나 존재하지 않는 점을 호출합니다. 두 번째 종류의 임계점.

정의 2:이 그래프의 반대 방향의 볼록성 간격을 분리하는 함수 Y = f(x)의 그래프 위의 점을 점이라고 합니다. 굴절

변곡점

예: 함수 y = x 3 - 2x 2 + 6x - 4가 주어지면 단조성과 극점의 간격에 대한 함수를 조사합니다. 볼록한 방향과 변곡점을 결정합니다.

해결 방법: 1. 함수 정의 영역을 찾습니다. D(y) = ;

2. 1차 도함수를 구해 봅시다: y' = 3x 2 - 4x+ 6;

3. 방정식을 풀어 봅시다: y' = 0, 3x 2 - 4x+ 6 = 0, D 0, 그러면 이 방정식에는 해가 없으므로 극점이 없습니다. y'이면 함수는 전체 정의 영역에 걸쳐 증가합니다.

4. 2차 ​​도함수를 구합니다: y” = 6x - 4;

5. 방정식을 푼다: y” = 0, 6x - 4 = 0, x =

답: ( ; - ) - 변곡점, 함수는 x에서 위쪽으로 볼록하고 x에서 위쪽으로 볼록합니다.

점근선.

1. 정의: 곡선의 점근선은 주어진 함수의 그래프가 무한히 접근하는 직선입니다.

2. 점근선의 종류:

1) 수직 점근선. 함수 y = f(x)의 그래프는 다음과 같은 경우 수직 점근선을 갖습니다. 수직 점근선의 방정식은 x = a 형식을 갖습니다.

2) 수평 점근선. 함수 y = f(x)의 그래프는 다음과 같은 경우 수평 점근선을 갖습니다. 수평 점근 방정식은 y = b 형식을 갖습니다.

예 1: 함수 y =에 대해 점근선을 찾습니다.

3) 경사 점근선.직선 y = kx + b는 함수 y = f(x)의 그래프의 경사 점근선이라고 합니다. k와 b의 값은 다음 공식을 사용하여 계산됩니다. k = ; b = .

해결책: , y = 0 - 수평 점근선;

(x - 3 ≠ 0, x ≠3이므로) x = 3은 수직 점근선입니다. ,티. 즉, k = 0이면 곡선에 경사 점근선이 없습니다.

예 2: 함수 y =에 대해 점근선을 찾습니다.

해법: x ≠ ± 5인 경우 x 2 - 25 ≠ 0이면 x = 5 및 x = - 5는 수평 점근선입니다.

와이 = 이면 곡선에는 수직 점근선이 없습니다.

k = ; b = , 즉 y = 5x - 경사 점근선.

플로팅 함수의 예.

예시 1.

함수를 탐색하고 함수 y = x 3 - 6x 2 + 9x - 3의 그래프를 작성합니다.

1. 함수 정의 영역 찾기: D(y) = R

y(-x) = (-x) 3 - 6·(-x) 2 + 9·(-x) - 3 = - x 3 - 6x 2 - 9x - 3 = - (x 3 + 6x 2 + 9x + 3), 즉

(y = x 5 - x 3 - 홀수, y = x 4 + x 2 - 짝수)

3. 주기적이지 않습니다.

4. 좌표축과의 교차점을 찾습니다. x = 0이면 y = - 3 (0; - 3)

Y = 0이면 x를 찾기가 어렵습니다.

5. 함수 그래프의 점근선을 찾아봅시다. 수직 점근선은 없습니다. 왜냐하면 함수가 불확정적인 x 값은 없습니다. y = , 즉 수평 점근선이 없습니다.

k = , 즉 경사 점근선이 없습니다.

6. 우리는 단조성 간격과 그 극값에 대한 함수를 연구합니다: y' = 3x 2 - 12x + 9,

y'= 0. 3x 2 - 12x + 9 = 0 x 1 = 1; x 2 = 3 - 1종 임계점.

도함수의 부호를 결정해 봅시다: y'(0) = 9 > 0; y'(2) = - 3< 0; y’(4) = 9 > 0

y max = y(1) = 1, (1;1) - 최대점; y min = y(3) = - 3, (3; - 3) - 최소점, x와 y에 대한 함수 y .

7. 볼록성과 변곡점의 간격에 대한 함수를 조사합니다.

y" = (y')' = (3x 2 - 12x + 9)' = 6x - 12, y" = 0, 6x - 12 = 0 x = 2 - 1종 임계점.

2차 도함수의 부호를 결정합시다: y”(0) = - 12< 0; y”(3) = 6 > 0

Y(2) = - 1 (2; - 1) - 변곡점, 함수는 x에서 위쪽으로 볼록하고 x에서 아래쪽으로 볼록합니다.

8. 추가 사항:

엑스	- 1
~에	- 19

9. 함수의 그래프를 작성해 보겠습니다.

함수를 탐색하고 함수 y =의 그래프를 작성합니다.

1. 함수 정의 영역을 찾아봅시다: 1 - x ≠ 0, x ≠ 1, D(y) = .

2. 이 함수가 짝수인지 홀수인지 알아보세요. ,

y(- x) ≠ y(x) - 짝수가 아니며 y(- x) ≠ - y(x) - 홀수가 아닙니다.

3. 주기적이지 않습니다.

4. 좌표축과의 교차점을 찾습니다. x = 0, y = - 2; y = 0이면 , 즉 (0; - 2); ().

5. 함수 그래프의 점근선을 찾아봅시다: 왜냐하면 x ≠ 1이면 직선 x = 1은 수직 점근선입니다.