간격에서 함수의 길이를 찾는 방법. 기능 증가 및 감소의 충분한 징후
함수의 극값
정의 2
이 이웃의 모든 $x$에 대해 불평등 $f(x)\le f(x_0)이 되는 이 점의 이웃이 있는 경우 점 $x_0$을 함수 $f(x)$의 최대점이라고 합니다. $ 보유합니다.
정의 3
이 이웃의 모든 $x$에 대해 불평등 $f(x)\ge f(x_0)이 되는 이 점의 이웃이 있는 경우 점 $x_0$을 함수 $f(x)$의 최대점이라고 합니다. $ 보유합니다.
함수의 극점 개념은 함수의 임계점 개념과 밀접한 관련이 있습니다. 그 정의를 소개해보자.
정의 4
$x_0$은 다음과 같은 경우 $f(x)$ 함수의 임계점이라고 합니다.
1) $x_0$ - 정의 영역의 내부 지점.
2) $f"\left(x_0\right)=0$ 또는 존재하지 않습니다.
극한 개념의 경우, 우리는 그 존재를 위한 충분조건과 필요조건에 대한 정리를 공식화할 수 있습니다.
정리 2
극한의 충분조건
$x_0$ 점이 $y=f(x)$ 함수에 중요하고 $(a,b)$ 구간에 있다고 가정합니다. 각 구간 $\left(a,x_0\right)\ 및\ (x_0,b)$에서 도함수 $f"(x)$가 존재하고 상수 부호를 유지한다고 가정합니다. 그런 다음:
1) $(a,x_0)$ 구간에서 도함수는 $f"\left(x\right)>0$이고, $(x_0,b)$ 구간에서 도함수는 $f"\left( x\오른쪽)
2) $(a,x_0)$ 구간에서 도함수 $f"\left(x\right)0$인 경우 $x_0$ 점은 이 함수의 최소 점입니다.
3) $(a,x_0)$ 구간과 $(x_0,b)$ 구간 모두에서 도함수 $f"\left(x\right) >0$ 또는 도함수 $f"\left(x \오른쪽)
이 정리는 그림 1에 설명되어 있습니다.
그림 1. 극한값이 존재하기 위한 충분조건
극단의 예(그림 2).
그림 2. 극단점의 예
극값에 대한 함수를 연구하기 위한 규칙
2) 도함수 $f"(x)$를 구합니다.
7) 정리 2를 사용하여 각 구간에서 최대값과 최소값의 존재에 대한 결론을 도출합니다.
증가 및 감소 기능
먼저 증가함수와 감소함수의 정의를 소개하겠습니다.
정의 5
$X$ 간격에 정의된 $y=f(x)$ 함수는 $x_1에서 X$의 임의의 점 $x_1,x_2\에 대해 증가한다고 합니다.
정의 6
$X$ 간격에 정의된 $y=f(x)$ 함수는 $x_1f(x_2)$에 대해 X$의 모든 점 $x_1,x_2\에 대해 감소한다고 합니다.
증가 및 감소에 대한 함수 연구
도함수를 사용하여 증가함수와 감소함수를 연구할 수 있습니다.
증가 및 감소 간격에 대한 함수를 검사하려면 다음을 수행해야 합니다.
1) $f(x)$ 함수의 정의 영역을 찾습니다.
2) 도함수 $f"(x)$를 구합니다.
3) $f"\left(x\right)=0$이 성립하는 점을 찾습니다.
4) $f"(x)$가 존재하지 않는 지점을 찾으십시오.
5) 발견된 모든 점과 이 기능의 정의 영역을 좌표선에 표시합니다.
6) 각 결과 구간에서 도함수 $f"(x)$의 부호를 결정합니다.
7) 결론을 도출합니다. $f"\left(x\right)0$ 간격에서 함수가 증가합니다.
증가, 감소 및 극한점 존재에 대한 함수를 연구하는 문제의 예
실시예 1
증가 및 감소 함수와 최대점 및 최소점의 존재 여부를 조사합니다. $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$
처음 6개 항목은 동일하므로 먼저 실행해 보겠습니다.
1) 정의 영역 - 모든 실수;
2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;
3) $f"\왼쪽(x\오른쪽)=0$;
\ \ \
4) $f"(x)$는 정의 영역의 모든 지점에 존재합니다.
5) 좌표선:
그림 3.
6) 각 구간에서 도함수 $f"(x)$의 부호를 결정합니다.
\ \; .
세그먼트 끝 부분의 함수 값의 부호를 결정해 보겠습니다.
에프(0) = 3, 에프(0) > 0
에프(10) = , 에프(10) < 0.
세그먼트에서 함수가 감소하고 함수 값의 부호가 변경되므로 이 세그먼트에는 함수의 0이 하나 있습니다.
답: 함수 f(x)는 간격에 따라 증가합니다: (-무한대; 0]; ;
간격에 따라 함수는 하나의 함수 0을 갖습니다.
2. 함수의 극점: 최대점과 최소점. 함수의 극한이 존재하기 위한 필요조건과 충분조건. 극값에 대한 함수를 연구하기 위한 규칙 .
정의 1:도함수가 0과 같은 지점을 임계 또는 고정 지점이라고 합니다.
정의 2. 이 지점의 함수 값이 함수의 가장 가까운 값보다 작은(큰) 경우 해당 지점을 함수의 최소(최대) 지점이라고 합니다.
이 경우 최대값과 최소값은 로컬이라는 점을 명심해야 합니다.
그림에서. 1. 국소 최대값과 최소값이 표시됩니다.
함수의 최대값과 최소값은 함수의 극값이라는 공통 이름으로 통합됩니다.정리 1.(함수의 극값이 존재한다는 필수 신호). 한 점에서 미분 가능한 함수가 이 점에서 최대값 또는 최소값을 가지면 그 도함수는 사라집니다.
정리 2.(함수의 극값이 존재한다는 충분한 신호입니다). 연속 함수가 임계점(이 점 자체를 제외하고)을 포함하는 일부 간격의 모든 점에서 도함수를 갖는 경우 도함수가 임계점을 통해 왼쪽에서 오른쪽으로 지나갈 때 부호가 플러스에서 마이너스로 변경되면 이 지점의 함수는 최대값을 가지며 부호가 마이너스에서 플러스로 변경되면 최소값을 갖습니다.
