첫 번째 수준

함수의 파생물입니다. 얼티밋 가이드 (2019)

언덕이 많은 지역을 통과하는 직선 도로를 상상해 봅시다. 즉, 위아래로 움직이지만 오른쪽이나 왼쪽으로 돌아가지는 않습니다. 축이 도로를 따라 수평으로 그리고 수직으로 향하면 도로 선은 일부 연속 함수의 그래프와 매우 유사합니다.

축은 고도가 0인 특정 수준이며, 생활에서는 해수면을 그대로 사용합니다.

우리는 그러한 길을 따라 앞으로 나아가면서 위아래로 움직이기도 합니다. 인수가 변경되면(가로 축을 따라 이동) 함수 값도 변경됩니다(세로 축을 따라 이동)라고 말할 수도 있습니다. 이제 우리 도로의 "가파름"을 결정하는 방법에 대해 생각해 봅시다. 이것은 어떤 종류의 가치가 될 수 있습니까? 매우 간단합니다. 특정 거리를 앞으로 이동할 때 높이가 얼마나 변경되는지입니다. 실제로 도로의 다양한 구간에서 (x축을 따라) 1km 앞으로 이동하면 해수면(y축을 따라)을 기준으로 서로 다른 미터 수만큼 오르거나 내릴 것입니다.

진행 상황을 표시해 보겠습니다(“델타 x” 읽기).

그리스 문자(델타)는 수학에서 "변화"를 의미하는 접두사로 흔히 사용됩니다. 즉, 이것은 수량의 변화입니다. - 변화입니다. 그럼 뭔데요? 맞습니다, 규모의 변화입니다.

중요: 표현식은 하나의 전체, 하나의 변수입니다. “델타”를 “x” 또는 다른 문자와 분리하지 마십시오! 즉, 예를 들어 .

그래서 우리는 수평적으로 앞으로 나아갔습니다. 도로의 선을 함수 그래프와 비교하면 상승을 어떻게 표시합니까? 틀림없이, . 즉, 앞으로 나아갈수록 우리는 더 높이 올라갑니다.

값은 계산하기 쉽습니다. 처음에 우리가 높은 곳에 있었다면 이동한 후에 우리 자신이 높은 곳에 있다는 것을 알게 되었습니다. 끝점이 시작점보다 낮으면 음수가 됩니다. 이는 오름차순이 아니라 내림차순임을 의미합니다.

"가파름"으로 돌아가 보겠습니다. 이는 한 단위 거리를 앞으로 이동할 때 높이가 얼마나 (가파르게) 증가하는지를 나타내는 값입니다.

도로의 어떤 구간에서 1km 앞으로 나아갈 때 도로가 1km 올라간다고 가정해 보겠습니다. 그러면 이 곳의 경사는 같습니다. 그리고 도로가 m 단위로 전진하다가 km 단위로 떨어진다면? 그러면 기울기가 동일해집니다.

이제 언덕 꼭대기를 살펴보겠습니다. 정상 0.5km 전 구간의 시작 부분과 정상 뒤 0.5km 구간의 끝 부분을 비교해 보면 높이가 거의 같다는 것을 알 수 있습니다.

즉, 우리 논리에 따르면 여기의 기울기는 거의 0과 같으며 이는 분명히 사실이 아닙니다. 킬로미터만 지나면 많은 것이 바뀔 수 있습니다. 경사도를 보다 적절하고 정확하게 평가하려면 더 작은 영역을 고려해야 합니다. 예를 들어, 1미터를 이동할 때 높이의 변화를 측정하면 결과가 훨씬 더 정확해집니다. 그러나 이 정확도조차도 우리에게는 충분하지 않을 수 있습니다. 결국 도로 중앙에 기둥이 있으면 간단히 지나갈 수 있습니다. 그렇다면 우리는 어떤 거리를 선택해야 할까요? 센티미터? 밀리미터? 적을수록 좋습니다!

실제 생활에서는 밀리미터 단위까지 거리를 측정하는 것만으로도 충분합니다. 하지만 수학자들은 언제나 완벽함을 추구합니다. 그래서 컨셉이 탄생한거임 극소의즉, 절대값은 우리가 명명할 수 있는 어떤 숫자보다 작습니다. 예를 들어, 1조분의 1이라고 말합니다. 얼마나 적습니까? 그리고 이 숫자를 -로 나누면 훨씬 작아집니다. 등등. 양이 무한하다고 쓰고 싶다면 다음과 같이 씁니다: (“x는 0이 되는 경향이 있습니다”라고 읽습니다). 이해하는 것이 매우 중요합니다. 이 숫자는 0이 아닙니다!하지만 아주 가깝습니다. 즉, 나누어서 쓸 수 있다는 뜻입니다.

무한소의 반대 개념은 무한히 크다(). 부등식을 연구할 때 이미 이 숫자를 접했을 것입니다. 이 숫자는 당신이 생각할 수 있는 어떤 숫자보다 모듈로 더 큽니다. 가능한 가장 큰 숫자가 생각나면 그 숫자에 2를 곱하면 더 큰 숫자가 나옵니다. 그리고 무한대는 일어나는 일보다 훨씬 더 큽니다. 사실, 무한히 큰 것과 무한히 작은 것은 서로 반대입니다. 즉, at이고 그 반대도 마찬가지입니다.

이제 우리의 길로 돌아가자. 이상적으로 계산된 경사는 경로의 극소 세그먼트에 대해 계산된 경사입니다. 즉,

변위가 무한하면 높이 변화도 극소화됩니다. 그러나 무한소가 0과 같다는 의미는 아니라는 점을 상기시켜 드리겠습니다. 극소수를 서로 나누면, 예를 들어 와 같이 완전히 평범한 숫자를 얻을 수 있습니다. 즉, 하나의 작은 값은 다른 값보다 정확히 몇 배 더 클 수 있습니다.

이게 다 뭐죠? 길, 가파른... 우리는 자동차 랠리를 가는 것이 아니라 수학을 가르치고 있습니다. 그리고 수학에서는 모든 것이 정확히 동일하며 다르게 호출됩니다.

파생상품의 개념

함수의 도함수는 인수의 극소 증가에 대한 인수 증가에 대한 함수 증가의 비율입니다.

증분적으로수학에서는 변화라고 부릅니다. 인수()가 축을 따라 이동하면서 변경되는 정도를 이라고 합니다. 인수 증가축을 따라 거리만큼 전진할 때 함수(높이)가 얼마나 변했는지를 말합니다. 기능 증가그리고 지정됩니다.

따라서 함수의 미분은 언제에 대한 비율입니다. 함수와 동일한 문자로 도함수를 표시하고 오른쪽 상단에 소수만 표시합니다. 따라서 다음 표기법을 사용하여 미분 공식을 작성해 보겠습니다.

도로에 비유하듯이 여기서 함수가 증가하면 미분은 양수이고, 감소하면 음수입니다.

도함수가 0이 될 수 있나요? 틀림없이. 예를 들어 평평한 수평 도로를 운전하는 경우 경사도는 0입니다. 그리고 높이는 전혀 변하지 않는 것이 사실입니다. 도함수도 마찬가지입니다. 상수 함수(상수)의 도함수는 0과 같습니다.

그러한 함수의 증가는 어떤 경우에도 0과 같기 때문입니다.

언덕 위의 예를 기억해 봅시다. 끝의 높이가 동일해지는 방식, 즉 세그먼트가 축과 평행하도록 정점의 반대쪽에 세그먼트의 끝을 배열하는 것이 가능하다는 것이 밝혀졌습니다.

그러나 큰 부분은 측정이 부정확하다는 신호입니다. 세그먼트를 자체 평행하게 올리면 길이가 줄어듭니다.

결국 우리가 꼭대기에 무한히 가까워지면 세그먼트의 길이는 극소화됩니다. 그러나 동시에 축과 평행을 유지했습니다. 즉, 끝 부분의 높이 차이는 0과 같습니다 (경향은 없지만 같음). 그래서 파생어는

이것은 다음과 같이 이해될 수 있습니다. 우리가 맨 꼭대기에 서 있을 때 왼쪽이나 오른쪽으로 조금만 이동해도 높이가 무시할 만큼 변경됩니다.

순전히 대수적인 설명도 있습니다. 정점의 왼쪽에서는 함수가 증가하고 오른쪽에서는 감소합니다. 앞서 알아봤듯이, 함수가 증가하면 도함수는 양수이고, 감소하면 음수입니다. 그러나 점프없이 부드럽게 변합니다 (도로의 경사가 어디에서나 급격하게 변하지 않기 때문입니다). 따라서 음수 값과 양수 값 사이에 있어야 합니다. 정점에서 함수가 증가하지도 감소하지도 않는 곳이 됩니다.

최저점(왼쪽의 함수가 감소하고 오른쪽의 함수가 증가하는 영역)의 경우에도 마찬가지입니다.

증분에 대해 조금 더 자세히 설명합니다.

그래서 우리는 인수를 크기로 변경합니다. 우리는 어떤 가치로부터 변화하는가? 이제 그것(논쟁)은 어떻게 되었는가? 우리는 어느 지점이든 선택할 수 있으며 이제 그 지점에서 춤을 출 것입니다.

좌표가 있는 점을 생각해 보세요. 그 안에 있는 함수의 값은 동일합니다. 그런 다음 동일한 증분을 수행합니다. 좌표를 증가시킵니다. 지금 논쟁은 무엇입니까? 아주 쉽게: . 지금 함수의 가치는 얼마인가? 인수가 가는 곳에 함수도 있습니다: . 기능 증가는 어떻습니까? 새로운 것은 없습니다. 이는 여전히 함수가 변경된 양입니다.

증분 찾기를 연습하세요.

1. 인수의 증분이 다음과 같은 지점에서 함수의 증분을 구합니다.
2. 한 지점의 기능도 마찬가지입니다.

솔루션:

동일한 인수 증분이 있는 서로 다른 지점에서 함수 증분은 달라집니다. 이는 각 지점의 도함수가 다르다는 것을 의미합니다(우리는 맨 처음에 이에 대해 논의했습니다. 도로의 가파른 정도는 지점마다 다릅니다). 따라서 도함수를 작성할 때 다음과 같은 지점을 표시해야 합니다.

전원 기능.

거듭제곱 함수는 인수가 어느 정도(논리적이죠?)인 함수입니다.

게다가 - 어느 정도까지: .

가장 간단한 경우는 지수가 다음과 같은 경우입니다.

한 지점에서 그 파생물을 찾아봅시다. 파생상품의 정의를 떠올려보겠습니다.

따라서 인수는 에서 로 변경됩니다. 함수의 증가는 무엇입니까?

증분은 이렇습니다. 그러나 어떤 지점에서든 함수는 인수와 동일합니다. 그 이유는 다음과 같습니다.

파생 상품은 다음과 같습니다.

의 미분은 다음과 같습니다:

b) 이제 이차 함수()를 고려하십시오.

이제 그것을 기억해 봅시다. 이는 증가분의 값이 무시될 수 있음을 의미합니다. 왜냐하면 이는 무한소이고 따라서 다른 용어의 배경에 비해 중요하지 않기 때문입니다.

그래서 우리는 또 다른 규칙을 생각해냈습니다.

c) 우리는 논리 시리즈를 계속합니다: .

이 표현식은 다양한 방법으로 단순화될 수 있습니다. 합의 세제곱의 약식 곱셈 공식을 사용하여 첫 번째 괄호를 열거나 세제곱의 차이 공식을 사용하여 전체 표현식을 인수분해합니다. 제안된 방법 중 하나를 사용하여 직접 시도해 보세요.

그래서 나는 다음을 얻었습니다.

그리고 다시 한번 기억해 봅시다. 이는 다음을 포함하는 모든 용어를 무시할 수 있음을 의미합니다.

우리는 다음을 얻습니다: .

d) 큰 권력에 대해서도 비슷한 규칙을 얻을 수 있습니다.

e) 이 규칙은 정수가 아닌 임의의 지수를 갖는 거듭제곱 함수에 대해 일반화될 수 있는 것으로 나타났습니다.

(2)

규칙은 다음과 같이 공식화할 수 있습니다. "차수는 계수로 제시된 다음 로 감소됩니다."

우리는 이 규칙을 나중에 (거의 마지막에) 증명할 것입니다. 이제 몇 가지 예를 살펴보겠습니다. 함수의 미분을 찾으세요.

1. (두 가지 방법: 공식을 사용하고 미분 정의를 사용 - 함수의 증분을 계산하여)

1. . 믿거나 말거나, 이것은 거듭제곱 함수입니다. “이건 어때요?”와 같은 질문이 있는 경우 학위는 어디에 있습니까?”, “”라는 주제를 기억하십시오!
   예, 예, 루트도 도이며 분수입니다: .
   이는 우리의 제곱근이 단지 지수를 갖는 거듭제곱이라는 것을 의미합니다.
   .
   최근에 배운 공식을 사용하여 파생 상품을 찾습니다.

   이 시점에서 다시 불분명해지면 “”!!!라는 주제를 반복하세요. (음의 지수가 있는 정도)

2. . 이제 지수는 다음과 같습니다.

   이제 정의를 통해 (아직 잊으셨나요?):
   ;
   .
   이제 평소와 같이 다음을 포함하는 용어를 무시합니다.
   .

3. . 이전 사례의 조합: .

삼각 함수.

여기서 우리는 고등 수학에서 얻은 한 가지 사실을 사용할 것입니다.

표현력으로.

교육 기관의 첫 해에 증명을 배우게 됩니다(그리고 거기에 도달하려면 통합 상태 시험에 잘 통과해야 합니다). 이제 그래픽으로 보여드리겠습니다.

함수가 존재하지 않으면 그래프의 점이 잘려지는 것을 볼 수 있습니다. 하지만 값에 가까울수록 기능도 가까워지는 것이 바로 '목표'입니다.

또한 계산기를 사용하여 이 규칙을 확인할 수도 있습니다. 예, 예, 부끄러워하지 말고 계산기를 사용하세요. 아직 통합 상태 시험이 아닙니다.

자, 시도해 봅시다: ;

계산기를 라디안 모드로 전환하는 것을 잊지 마세요!

등. 비율이 작을수록 비율 값이 더 가까워지는 것을 알 수 있습니다.

a) 기능을 고려하십시오. 평소처럼 증가분을 찾아보겠습니다.

사인의 차이를 곱으로 바꿔보겠습니다. 이를 위해 우리는 공식을 사용합니다 (주제 ""를 기억하십시오): .

이제 파생물은 다음과 같습니다.

교체를 해보자: . 그런 다음 무한소의 경우에도 무한소입니다. 에 대한 표현식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

이제 우리는 그 표현을 통해 그것을 기억합니다. 그리고 또한 합(즉, at)에서 극미량의 양을 무시할 수 있다면 어떨까요?

따라서 우리는 다음과 같은 규칙을 얻습니다. 사인의 미분은 코사인과 같습니다:

이는 기본(“표 형식”) 파생 상품입니다. 여기 하나의 목록에 있습니다:

나중에 몇 가지를 더 추가할 예정이지만 가장 자주 사용되기 때문에 이것이 가장 중요합니다.

관행:

1. 한 지점에서 함수의 도함수를 찾습니다.
2. 함수의 미분을 찾아보세요.

솔루션:

1. 먼저 일반적인 형태의 도함수를 찾은 다음 그 값을 대체해 보겠습니다.
   ;
   .
2. 여기에는 거듭제곱 함수와 비슷한 것이 있습니다. 그녀를 데려오도록 노력하자
   일반 보기:
   .
   좋습니다. 이제 다음 공식을 사용할 수 있습니다.
   .
   .
3. . 에에에에에…..이게 뭐죠????

좋아요, 당신 말이 맞아요. 우리는 아직 그러한 파생 상품을 찾는 방법을 모릅니다. 여기에는 여러 유형의 기능이 조합되어 있습니다. 그들과 함께 일하려면 몇 가지 규칙을 더 배워야 합니다.

지수와 자연로그.

수학에는 임의의 값에 대한 도함수가 동시에 함수 자체의 값과 동일한 함수가 있습니다. 지수(exponential)라고 하며 지수함수이다.

이 함수의 기본(상수)은 무한 소수, 즉 무리수(예:)입니다. 이를 "오일러 수"라고 부르므로 문자로 표시됩니다.

따라서 규칙은 다음과 같습니다.

기억하기 매우 쉽습니다.

글쎄, 멀리 가지 말고 즉시 역함수를 고려해 봅시다. 지수 함수의 역함수는 무엇입니까? 로그:

우리의 경우 기본은 숫자입니다.

이러한 로그(즉, 밑이 있는 로그)를 "자연"이라고 하며 이에 대해 특별한 표기법을 사용합니다. 대신 씁니다.

그것은 무엇과 같습니까? 물론, .

자연로그의 미분도 매우 간단합니다.

예:

1. 함수의 미분을 찾아보세요.
2. 함수의 미분은 무엇입니까?

답변: 지수 및 자연 로그는 미분 관점에서 볼 때 독특하게 단순한 함수입니다. 다른 밑수를 사용하는 지수 함수와 로그 함수는 서로 다른 도함수를 갖게 되며, 이를 미분 규칙을 살펴본 후 나중에 분석할 것입니다.

차별화 규칙

무슨 규칙이요? 또 새로운 용어가 또?!...

분화파생상품을 찾는 과정입니다.

그게 다야. 이 과정을 한 단어로 뭐라고 부를 수 있을까요? 미분 아님... 수학자들은 미분을 함수의 동일한 증분이라고 부릅니다. 이 용어는 라틴어 Differentia(차이)에서 유래되었습니다. 여기.

이러한 모든 규칙을 도출할 때 예를 들어 and와 같은 두 가지 기능을 사용합니다. 또한 증분에 대한 수식이 필요합니다.

총 5가지 규칙이 있습니다.

상수는 도함수 기호에서 제외됩니다.

만약 - 어떤 상수(상수)라면.

분명히 이 규칙은 차이점에도 적용됩니다.

그것을 증명해 봅시다. 그대로 두거나 더 간단하게 하세요.

예.

함수의 도함수를 찾습니다:

1. 어느 시점에서;
2. 어느 시점에서;
3. 어느 시점에서;
4. 그 시점에.

솔루션:

1. (도함수는 선형 함수이기 때문에 모든 점에서 동일합니다. 기억하시나요?)

제품의 파생물

여기에서는 모든 것이 비슷합니다. 새로운 함수를 도입하고 그 증가분을 찾아보겠습니다.

유도체:

예:

1. 함수의 파생물을 찾아보세요.
2. 한 점에서 함수의 도함수를 구합니다.

솔루션:

지수 함수의 파생

이제 당신의 지식은 지수뿐만 아니라 모든 지수 함수의 도함수를 찾는 방법을 배우기에 충분합니다. (아직 잊어버렸나요?)

그렇다면 어떤 숫자는 어디에 있습니까?

우리는 이미 함수의 도함수를 알고 있으므로 함수를 새로운 기반으로 줄여보겠습니다.

이를 위해 간단한 규칙을 사용합니다: . 그 다음에:

글쎄, 그것은 효과가 있었다. 이제 도함수를 구해 보세요. 이 함수가 복잡하다는 사실을 잊지 마세요.

일어난?

여기에서 직접 확인해 보세요.

공식은 지수의 미분과 매우 유사한 것으로 밝혀졌습니다. 그대로 유지되었으며 변수가 아닌 숫자일 뿐인 요소만 나타났습니다.

예:
함수의 도함수를 찾습니다:

답변:

이것은 계산기 없이는 계산할 수 없는 숫자일 뿐입니다. 즉, 더 간단한 형식으로 적을 수 없습니다. 그러므로 답변에는 이런 형태로 남겨둡니다.

로그 함수의 파생

여기에서도 비슷합니다. 여러분은 이미 자연 로그의 미분을 알고 있습니다.

따라서 밑이 다른 임의의 로그를 찾으려면 다음과 같이 하십시오.

우리는 이 로그를 밑수로 줄여야 합니다. 로그의 밑을 어떻게 바꾸나요? 다음 공식을 기억하시기 바랍니다.

이제 대신 다음과 같이 작성하겠습니다.

분모는 단순히 상수(변수가 없는 상수)입니다. 파생 상품은 매우 간단하게 얻습니다.

지수 함수와 로그 함수의 미분은 통합 상태 시험에서는 거의 발견되지 않지만 이를 아는 것이 불필요한 것은 아닙니다.

복잡한 함수의 파생물입니다.

"복잡한 기능"이란 무엇입니까? 아니요, 이것은 로그도 아니고 아크탄젠트도 아닙니다. 이러한 함수는 이해하기 어려울 수 있습니다(로그가 어렵다고 생각되면 "로그" 주제를 읽으면 괜찮을 것입니다). 그러나 수학적 관점에서 "복소수"라는 단어는 "어렵다"를 의미하지 않습니다.

작은 컨베이어 벨트를 상상해 보십시오. 두 사람이 앉아서 어떤 물건을 가지고 어떤 행동을 하고 있습니다. 예를 들어, 첫 번째는 초콜릿 바를 포장지로 감싸고, 두 번째는 리본으로 묶습니다. 그 결과는 리본으로 포장되고 묶인 초콜릿 바인 복합 개체입니다. 초콜릿 바를 먹으려면 반대 단계를 역순으로 수행해야 합니다.

유사한 수학적 파이프라인을 만들어 보겠습니다. 먼저 숫자의 코사인을 찾은 다음 결과 숫자를 제곱합니다. 그래서 우리에게 숫자(초콜릿)가 주어지고, 나는 그것의 코사인(포장지)을 찾은 다음, 내가 얻은 것을 제곱합니다(리본으로 묶습니다). 무슨 일이에요? 기능. 이것은 복잡한 함수의 예입니다. 값을 찾기 위해 변수를 사용하여 직접 첫 번째 작업을 수행한 다음 첫 번째 결과로 두 번째 작업을 수행합니다.

동일한 단계를 역순으로 쉽게 수행할 수 있습니다. 먼저 제곱을 한 다음 결과 숫자의 코사인을 찾습니다. 결과가 거의 항상 다를 것이라고 추측하기 쉽습니다. 복잡한 기능의 중요한 특징: 작업 순서가 변경되면 기능도 변경됩니다.

다시 말해서, 복잡한 함수는 인수가 다른 함수인 함수입니다.: .

첫 번째 예에서는 .

두 번째 예: (같은 것). .

우리가 마지막으로 수행하는 작업이 호출됩니다. "외부" 기능, 그리고 먼저 수행된 작업 - 그에 따라 "내부" 기능(비공식적인 이름입니다. 자료를 간단한 언어로 설명하기 위해서만 사용합니다.)

어떤 기능이 외부 기능이고 어떤 기능이 내부 기능인지 스스로 결정해 보세요.

답변:내부 함수와 외부 함수를 분리하는 것은 변수를 변경하는 것과 매우 유사합니다. 예를 들어 함수에서

1. 우리는 어떤 행동을 먼저 수행할 것인가? 먼저 사인을 계산한 다음 이를 세제곱해 봅시다. 이는 내부 기능이지만 외부 기능임을 의미합니다.
   그리고 원래 기능은 구성입니다.
2. 내부: ; 외부: .
   시험: .
3. 내부: ; 외부: .
   시험: .
4. 내부: ; 외부: .
   시험: .
5. 내부: ; 외부: .
   시험: .

변수를 변경하고 함수를 얻습니다.

자, 이제 초콜릿 바를 추출하고 파생 상품을 찾아보겠습니다. 절차는 항상 반대입니다. 먼저 외부 함수의 도함수를 찾은 다음 결과에 내부 함수의 도함수를 곱합니다. 원래 예와 관련하여 다음과 같습니다.

다른 예시:

이제 공식 규칙을 공식화해 보겠습니다.

복잡한 함수의 도함수를 찾는 알고리즘:

간단해 보이죠?

예를 들어 확인해 보겠습니다.

솔루션:

1) 내부: ;

외부: ;

2) 내부: ;

(지금쯤 잘라내려고 하지 마세요! 코사인 아래에서는 아무 것도 나오지 않습니다. 기억하시나요?)

3) 내부: ;

외부: ;

이것이 3단계 복합 함수라는 것이 즉시 분명해집니다. 결국 이것은 그 자체로 이미 복잡한 함수이고 우리는 또한 그것에서 루트를 추출합니다. 즉, 세 번째 작업을 수행합니다(초콜릿을 포장지와 서류 가방에 리본 포함). 하지만 두려워할 이유가 없습니다. 우리는 이 기능을 평소와 같은 순서로 끝부터 "풀기"할 것입니다.

즉, 먼저 루트를 구별한 다음 코사인을 구별하고 괄호 안의 표현식만 구별합니다. 그런 다음 우리는 그것을 모두 곱합니다.

이러한 경우에는 작업에 번호를 매기는 것이 편리합니다. 즉, 우리가 아는 것을 상상해 봅시다. 이 표현식의 값을 계산하기 위해 작업을 어떤 순서로 수행합니까? 예를 살펴보겠습니다:

작업이 나중에 수행될수록 해당 기능은 더 "외부"가 됩니다. 일련의 작업은 이전과 동일합니다.

여기서 중첩은 일반적으로 4레벨입니다. 행동 과정을 결정합시다.

1. 과격한 표현. .

2. 루트. .

3. 사인. .

4. 광장. .

5. 종합해보면:

유도체. 주요 사항에 대해 간략하게

함수의 파생- 인수의 극소 증가에 대한 인수 증가에 대한 함수 증가의 비율:

기본 파생상품:

차별화 규칙:

상수는 도함수 기호에서 제외됩니다.

합계의 미분:

제품의 파생 상품:

몫의 파생물:

복잡한 함수의 파생:

복잡한 함수의 도함수를 찾는 알고리즘:

1. 우리는 "내부" 함수를 정의하고 그 파생물을 찾습니다.
2. 우리는 "외부" 함수를 정의하고 그 파생물을 찾습니다.
3. 첫 번째 점과 두 번째 점의 결과를 곱합니다.

복합 유형의 함수가 복합 함수의 정의에 항상 맞는 것은 아닙니다. y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 형식의 함수가 있는 경우 y = sin 2 x와 달리 복소수로 간주할 수 없습니다.

이 기사에서는 복잡한 기능의 개념과 그 식별을 보여줍니다. 결론에 나오는 해법의 예를 통해 도함수를 찾기 위한 공식을 사용해 보겠습니다. 도함수표와 미분법칙을 사용하면 도함수를 찾는 시간이 크게 단축됩니다.

Yandex.RTB R-A-339285-1

기본 정의

정의 1

복합 함수는 인수가 함수이기도 한 함수입니다.

f(g(x))로 표시됩니다. 함수 g(x)는 인수 f(g(x))로 간주됩니다.

정의 2

함수 f가 있고 그것이 코탄젠트 함수인 경우 g(x) = ln x는 자연 로그 함수입니다. 우리는 복소 함수 f(g(x))가 arctg(lnx)로 작성된다는 것을 알았습니다. 또는 g (x) = x 2 + 2 x - 3이 전체 유리 함수로 간주되는 4승 함수인 함수 f를 사용하면 f (g (x)) = (x 2 + 2x - 3) 4 .

분명히 g(x)는 복소수일 수 있습니다. y = sin 2 x + 1 x 3 - 5의 예에서 g 값이 분수의 세제곱근을 갖는다는 것이 분명합니다. 이 표현식은 y = f(f 1 (f 2 (x)))로 표시될 수 있습니다. 여기서 f는 사인 함수이고, f 1은 제곱근 아래에 있는 함수이고, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5는 분수 유리 함수입니다.

정의 3

중첩 정도는 임의의 자연수에 의해 결정되며 y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) 로 작성됩니다.

정의 4

함수 합성의 개념은 문제의 조건에 따라 중첩된 함수의 수를 의미합니다. 해결하려면 다음 형식의 복잡한 함수의 미분을 찾는 공식을 사용하십시오.

(f(g(x)))" = f"(g(x))g"(x)

예

실시예 1

y = (2 x + 1) 2 형태의 복소 함수의 도함수를 구합니다.

해결책

조건은 f가 제곱 함수이고 g(x) = 2 x + 1이 선형 함수로 간주됨을 보여줍니다.

복잡한 함수에 미분 공식을 적용하고 다음과 같이 작성해 보겠습니다.

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g "(x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

함수의 원래 형태를 단순화한 도함수를 찾는 것이 필요합니다. 우리는 다음을 얻습니다:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

여기에서 우리는 그것을 가지고 있습니다

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

결과는 동일했습니다.

이러한 유형의 문제를 풀 때 f 및 g(x) 형식의 함수가 위치하는 위치를 이해하는 것이 중요합니다.

실시예 2

y = sin 2 x 및 y = sin x 2 형식의 복소 함수의 도함수를 찾아야 합니다.

해결책

첫 번째 함수 표기법에 따르면 f는 제곱 함수이고 g(x)는 사인 함수입니다. 그러면 우리는 그것을 얻습니다

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

두 번째 항목은 f가 사인 함수이고 g(x) = x 2가 거듭제곱 함수를 나타냄을 보여줍니다. 우리는 복잡한 함수의 곱을 다음과 같이 작성합니다.

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

도함수 y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))의 공식은 y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . . ( f n (x))))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2 " (f 3 (. . . (f n (x)) )) )) · . . . fn "(엑스)

실시예 3

함수 y = sin(ln 3 a r c t g (2 x))의 도함수를 구합니다.

해결책

이 예는 함수의 위치를 ​​작성하고 결정하는 것이 어렵다는 것을 보여줍니다. 그러면 y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))))는 f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x)가 사인 함수임을 나타냅니다. 3도까지, 로그와 밑 e를 갖는 함수, 아크탄젠트 및 선형 함수.

복잡한 함수를 정의하는 공식으로부터 우리는 다음을 얻습니다:

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 "(f 4 (x)) f 4 "(x)

우리는 찾아야 할 것을 얻습니다.

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) 도함수 표에 따른 사인의 도함수로 f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))를 거듭제곱 함수의 미분으로 계산하면 f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x)))를 대수 도함수로 계산하면 f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) 입니다.
4. f 3 " (f 4 (x))를 아크탄젠트의 미분으로 계산하면 f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2입니다.
5. 도함수 f 4 (x) = 2 x를 찾을 때 지수가 1인 거듭제곱 함수의 도함수 공식을 사용하여 도함수의 부호에서 2를 제거한 다음 f 4 "(x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

우리는 중간 결과를 결합하여 다음을 얻습니다.

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

이러한 기능에 대한 분석은 중첩 인형을 연상시킵니다. 파생 테이블을 사용하여 차별화 규칙을 항상 명시적으로 적용할 수는 없습니다. 복잡한 함수의 도함수를 찾기 위해 공식을 사용해야 하는 경우가 종종 있습니다.

복잡한 외관과 복잡한 기능에는 약간의 차이가 있습니다. 이를 구별할 수 있는 명확한 능력이 있으면 파생 상품을 찾는 것이 특히 쉬울 것입니다.

실시예 4

그러한 예를 드는 것을 고려할 필요가 있다. y = t g 2 x + 3 t g x + 1 형식의 함수가 있는 경우 g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 형식의 복소 함수로 간주할 수 있습니다. . 분명히, 복소 도함수에 대한 공식을 사용해야 합니다:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

y = t g x 2 + 3 t g x + 1 형식의 함수는 t g x 2, 3 t g x 및 1의 합을 갖기 때문에 복소수로 간주되지 않습니다. 그러나 t g x 2는 복소 함수로 간주되므로 g(x) = x 2 형식의 거듭제곱 함수와 탄젠트 함수인 f를 얻습니다. 이렇게하려면 금액별로 차별화하십시오. 우리는 그것을 얻습니다

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3코사인 2x

복잡한 함수 (t g x 2) "의 미분을 찾는 것으로 넘어 갑시다.

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

우리는 y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x를 얻습니다.

복합 유형의 함수는 복합 함수에 포함될 수 있으며, 복합 함수 자체는 복합 유형 기능의 구성 요소가 될 수 있습니다.

실시예 5

예를 들어, y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) 형식의 복소 함수를 생각해 보세요.

이 함수는 y = f(g(x))로 표시될 수 있습니다. 여기서 f의 값은 밑이 3인 로그의 함수이고 g(x)는 h(x) = 형식의 두 함수의 합으로 간주됩니다. x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 및 k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . 분명히, y = f(h(x) + k(x))입니다.

함수 h(x)를 생각해 보세요. 이것은 l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 대 m (x) = e x 2 + 3 3의 비율입니다.

l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x)는 두 함수 n (x) = x 2 + 7과 p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , 여기서 p(x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x)))은 수치 계수 3을 갖는 복소 함수이고, p 1은 세제곱 함수이고, 코사인 함수로 p 2, 선형 함수로 p 3 (x) = 2 x + 1.

우리는 m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x)가 두 함수 q (x) = e x 2와 r (x) = 3 3의 합이라는 것을 알았습니다. 여기서 q (x) = q 1 (q 2 (x))는 복소 함수이고, q 1은 지수 함수이고, q 2 (x) = x 2는 거듭제곱 함수입니다.

이는 h(x) = l(x) m(x) = n(x) + p(x) q(x) + r(x) = n(x) + 3p1(p2(p3)을 나타냅니다. (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x) 형식의 표현식으로 이동하면 함수가 복소수 s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)), 유리수 t (x) = x 2 + 1, 여기서 s 1은 제곱 함수이고 s 2 (x) = ln x는 로그입니다. 베이스 마.

따라서 표현식은 k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x) 형식을 취합니다.

그러면 우리는 그것을 얻습니다

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

함수의 구조를 바탕으로 미분할 때 표현을 단순화하기 위해 어떤 수식을 어떻게 사용해야 하는지 명확해졌습니다. 이러한 문제와 그 해법의 개념에 익숙해지기 위해서는 함수를 미분하는 지점, 즉 함수의 파생물을 찾는 지점으로 전환할 필요가 있습니다.

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정의.함수 \(y = f(x) \)가 그 자체 내에 점 \(x_0\)을 포함하는 특정 간격으로 정의된다고 가정합니다. 이 간격을 벗어나지 않도록 인수에 \(\Delta x \) 증분을 부여해 보겠습니다. \(\Delta y \) 함수(점 \(x_0 \)에서 점 \(x_0 + \Delta x \)로 이동할 때)의 해당 증분을 찾고 관계식 \(\frac(\Delta)을 구성해 보겠습니다. y)(\델타x)\). \(\Delta x \rightarrow 0\)에서 이 비율에 대한 제한이 있는 경우 지정된 제한이 호출됩니다. 함수의 미분\(x_0\) 지점에서 \(y=f(x)\)를 지정하고 \(f"(x_0)\)를 나타냅니다.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

기호 y는 종종 도함수를 나타내는 데 사용됩니다. y" = f(x)는 새로운 함수이지만 자연스럽게 위 극한이 존재하는 모든 점 x에서 정의되는 함수 y = f(x)와 관련이 있습니다. 이 함수는 다음과 같이 호출됩니다. 함수 y = f(x)의 도함수.

미분의 기하학적 의미다음과 같다. y축과 평행하지 않은 가로좌표 x=a인 점에서 함수 y = f(x)의 그래프에 접선을 그릴 수 있는 경우 f(a)는 접선의 기울기를 나타냅니다. :
\(k = f"(a)\)

\(k = tg(a) \)이므로 \(f"(a) = tan(a) \) 등식은 참입니다.

이제 근사 평등의 관점에서 미분의 정의를 해석해 보겠습니다. 함수 \(y = f(x)\)가 특정 점 \(x\)에서 도함수를 갖는다고 가정합니다.
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
이는 점 x 근처에서 대략적인 동등성 \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \about f"(x)\), 즉 \(\Delta y \about f"(x) \cdot\를 의미합니다. 델타 x\). 결과 근사 평등의 의미는 다음과 같습니다. 함수의 증가는 인수의 증가에 "거의 비례"하고 비례 계수는 주어진 지점 x에서의 도함수 값입니다. 예를 들어, \(y = x^2\) 함수의 경우 대략적인 동등성 \(\Delta y \about 2x \cdot \Delta x \)가 유효합니다. 도함수의 정의를 주의 깊게 분석해 보면, 도함수를 찾는 알고리즘이 포함되어 있음을 알 수 있습니다.

그것을 공식화합시다.

함수 y = f(x)의 도함수를 찾는 방법은 무엇입니까?

1. \(x\)의 값을 수정하고 \(f(x)\)를 찾습니다.
2. 인수 \(x\)에 \(\Delta x\) 증분을 제공하고 새 점 \(x+ \Delta x \)으로 이동하여 \(f(x+ \Delta x) \)를 찾습니다.
3. 함수의 증분을 구합니다: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \) 관계를 생성합니다.
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$를 계산합니다.
이 극한은 점 x에서의 함수의 미분입니다.

함수 y = f(x)가 점 x에서 도함수를 갖는 경우 이를 점 x에서 미분 가능하다고 합니다. 함수 y = f(x)의 도함수를 찾는 절차는 다음과 같습니다. 분화함수 y = f(x).

다음 질문에 대해 논의해 보겠습니다. 서로 관련된 지점에서 함수의 연속성과 미분성은 어떻게 됩니까?

함수 y = f(x)가 점 x에서 미분 가능하다고 가정합니다. 그런 다음 점 M(x; f(x))에서 함수 그래프에 접선을 그릴 수 있으며, 접선의 각도 계수는 f "(x)와 같습니다. 이러한 그래프는 "깨질" 수 없습니다. 점 M에서, 즉 함수는 점 x에서 연속이어야 합니다.

이것은 "실제" 주장이었습니다. 좀 더 엄밀한 추론을 해보자. 함수 y = f(x)가 점 x에서 미분 가능하면 대략적인 등식 \(\Delta y \about f"(x) \cdot \Delta x \)이 유지됩니다. 이 등식에서 \(\Delta x \)는 0이 되는 경향이 있고, 그러면 \(\Delta y \)는 0이 되는 경향이 있으며, 이것이 한 점에서 함수의 연속성에 대한 조건입니다.

그래서, 함수가 점 x에서 미분 가능하면 그 점에서 연속입니다..

반대 진술은 사실이 아닙니다. 예: 함수 y = |x| 는 특히 x = 0 지점에서 모든 곳에서 연속이지만 "접합점"(0; 0)에서 함수 그래프에 대한 접선은 존재하지 않습니다. 어떤 지점에서 함수 그래프에 접선을 그릴 수 없으면 해당 지점에는 도함수가 존재하지 않습니다.

또 하나의 예입니다. 함수 \(y=\sqrt(x)\)는 x = 0 점을 포함하여 전체 수직선에서 연속입니다. 그리고 함수 그래프의 접선은 x = 0 점을 포함하여 모든 점에 존재합니다. 그러나 이 지점에서 접선은 y축과 일치합니다. 즉, 가로축에 수직이며 방정식의 형식은 x = 0입니다. 이러한 직선에는 각도 계수가 없습니다. 즉, \(f "(0)\)이 존재하지 않습니다.

그래서 우리는 함수의 새로운 속성인 미분 가능성에 대해 알게 되었습니다. 함수의 그래프로부터 그것이 미분 가능하다는 결론을 어떻게 내릴 수 있습니까?

대답은 실제로 위에 나와 있습니다. 어떤 지점에서 가로축에 수직이 아닌 함수 그래프에 접선을 그리는 것이 가능하다면 이 지점에서 함수는 미분 가능합니다. 어떤 지점에서 함수 그래프에 대한 접선이 존재하지 않거나 가로축에 수직인 경우 이 지점에서 함수는 미분 가능하지 않습니다.

차별화 규칙

미분을 찾는 작업을 호출합니다. 분화. 이 연산을 수행할 때 몫, 합계, 함수 곱은 물론 "함수의 함수", 즉 복잡한 함수를 사용하여 작업해야 하는 경우가 많습니다. 미분의 정의를 기반으로 이 작업을 더 쉽게 만드는 미분 규칙을 도출할 수 있습니다. C가 상수이고 f=f(x), g=g(x)가 일부 미분 함수이면 다음은 참입니다. 차별화 규칙:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ 복잡한 함수의 파생:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

일부 함수의 파생물 표

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

복소 함수의 도함수에 대한 공식을 사용하여 도함수를 계산하는 예가 제공됩니다.

여기서는 다음 함수의 도함수를 계산하는 예를 제공합니다.
; ; ; ; .

함수가 다음 형식의 복합 함수로 표현될 수 있는 경우:
,
그 파생물은 다음 공식에 의해 결정됩니다.
.
아래 예에서는 이 수식을 다음과 같이 작성합니다.
.
어디 .
여기서 미분 기호 아래에 있는 아래 첨자 또는 는 미분을 수행하는 변수를 나타냅니다.

일반적으로 파생물 표에는 변수 x의 함수 파생물이 제공됩니다. 그러나 x는 형식 매개변수입니다. 변수 x는 다른 변수로 대체될 수 있습니다. 따라서 함수와 변수를 구별할 때 도함수 표에서 변수 x를 변수 u로 간단히 변경하면 됩니다.

간단한 예

실시예 1

복잡한 함수의 도함수 찾기
.

해결책

주어진 함수를 동등한 형식으로 작성해 보겠습니다.
.
파생 상품 표에서 다음을 찾을 수 있습니다.
;
.

복소 함수의 미분 공식에 따르면 다음과 같습니다.
.
여기 .

답변

실시예 2

파생 상품 찾기
.

해결책

우리는 도함수 기호와 도함수 표에서 상수 5를 가져옵니다.
.

.
여기 .

답변

실시예 3

파생 상품 찾기
.

해결책

우리는 상수를 꺼냅니다 -1 도함수의 부호와 도함수 표에서 우리는 다음을 찾습니다:
;
파생상품 표에서 다음을 찾을 수 있습니다.
.

복잡한 함수의 미분 공식을 적용합니다.
.
여기 .

답변

더 복잡한 예

더 복잡한 예에서는 복잡한 함수를 미분하는 규칙을 여러 번 적용합니다. 이 경우 끝에서부터 미분을 계산합니다. 즉, 함수를 구성 요소 부분으로 나누고 다음을 사용하여 가장 간단한 부분의 도함수를 찾습니다. 파생 상품 테이블. 우리는 또한 사용합니다 합계를 구별하는 규칙, 제품 및 분수. 그런 다음 대체를 수행하고 복잡한 함수의 미분 공식을 적용합니다.

실시예 4

파생 상품 찾기
.

해결책

공식의 가장 간단한 부분을 선택하고 그 파생물을 찾아 보겠습니다. .

.
여기서는 표기법을 사용했습니다.
.

얻은 결과를 사용하여 원래 함수의 다음 부분의 도함수를 찾습니다. 합계를 구별하는 규칙을 적용합니다.
.

다시 한번 우리는 복잡한 함수의 미분 규칙을 적용합니다.

.
여기 .

답변

실시예 5

함수의 도함수 찾기
.

해결책

공식의 가장 간단한 부분을 선택하고 미분 표에서 미분을 찾아 보겠습니다. .

우리는 복잡한 기능의 차별화 규칙을 적용합니다.
.
여기
.

정의를 따르면 한 지점에서 함수의 미분은 함수 Δ 증분 비율의 한계입니다. 와이인수 증분 Δ 엑스:

모든 것이 명확한 것 같습니다. 하지만 이 공식을 사용하여 함수의 도함수를 계산해 보세요. 에프(엑스) = 엑스 2 + (2엑스+ 3) · 이자형 엑스죄 엑스. 정의에 따라 모든 작업을 수행하면 몇 페이지의 계산 후에는 잠들게됩니다. 따라서 더 간단하고 효과적인 방법이 있습니다.

우선, 우리는 다양한 기능 중에서 소위 기본 기능을 구별할 수 있다는 점에 주목합니다. 이는 상대적으로 간단한 표현으로, 그 파생어가 오랫동안 계산되고 표로 작성되었습니다. 이러한 함수는 파생 함수와 함께 기억하기 매우 쉽습니다.

기본 함수의 도함수

기본 기능은 아래 나열된 모든 기능입니다. 이러한 함수의 파생어는 암기해야 합니다. 게다가 암기하는 것도 전혀 어렵지 않습니다. 그래서 초등학생입니다.

따라서 기본 함수의 파생물은 다음과 같습니다.

이름	기능	유도체
끊임없는	에프(엑스) = 씨, 씨 ∈ 아르 자형	0(예, 0입니다!)
유리수 지수를 사용한 거듭제곱	에프(엑스) = 엑스 N	N · 엑스 N − 1
공동	에프(엑스) = 죄 엑스	코사인 엑스
코사인	에프(엑스) = 왜냐하면 엑스	-죄 엑스(마이너스 사인)
접선	에프(엑스) = TG 엑스	1/코사인 2 엑스
코탄젠트	에프(엑스) = CTG 엑스	- 1/죄 2 엑스
자연로그	에프(엑스) = 로그 엑스	1/엑스
임의 로그	에프(엑스) = 로그 ㅏ 엑스	1/(엑스에 ㅏ)
지수 함수	에프(엑스) = 이자형 엑스	이자형 엑스(아무것도 바뀌지 않았다)

기본 함수에 임의의 상수를 곱하면 새 함수의 도함수도 쉽게 계산됩니다.

(씨 · 에프)’ = 씨 · 에프 ’.

일반적으로 상수는 도함수의 부호에서 제외될 수 있습니다. 예를 들어:

(2엑스 3)' = 2 · ( 엑스 3)' = 2 3 엑스 2 = 6엑스 2 .

분명히 기본 기능을 서로 추가하고, 곱하고, 나누는 등 훨씬 더 많은 기능을 수행할 수 있습니다. 이것이 더 이상 특별히 기본적이지는 않지만 특정 규칙에 따라 차별화되는 새로운 기능이 나타나는 방식입니다. 이러한 규칙은 아래에서 설명됩니다.

합과 차이의 미분

기능을 부여하자 에프(엑스) 그리고 g(엑스), 그 파생물이 우리에게 알려져 있습니다. 예를 들어 위에서 설명한 기본 기능을 사용할 수 있습니다. 그러면 다음 함수의 합과 차의 미분을 찾을 수 있습니다.

1. (에프 + g)’ = 에프 ’ + g ’
2. (에프 − g)’ = 에프 ’ − g ’

따라서 두 함수의 합(차)의 도함수는 도함수의 합(차)과 같습니다. 더 많은 용어가 있을 수 있습니다. 예를 들어, ( 에프 + g + 시간)’ = 에프 ’ + g ’ + 시간 ’.

엄밀히 말하면 대수학에는 '뺄셈'이라는 개념이 없습니다. '부정적 요소'라는 개념이 있습니다. 그러므로 차이점은 에프 − g합계로 다시 쓸 수 있습니다. 에프+ (−1) g, 그러면 합계의 미분 공식 하나만 남습니다.

에프(엑스) = 엑스 2 + 죄 x; g(엑스) = 엑스 4 + 2엑스 2 − 3.

기능 에프(엑스)는 두 가지 기본 함수의 합이므로 다음과 같습니다.

에프 ’(엑스) = (엑스 2 + 죄 엑스)’ = (엑스 2)' + (죄 엑스)’ = 2엑스+ 왜냐하면 x;

우리는 함수에 대해서도 비슷하게 추론합니다. g(엑스). (대수학의 관점에서) 이미 세 가지 용어가 있습니다.

g ’(엑스) = (엑스 4 + 2엑스 2 − 3)’ = (엑스 4 + 2엑스 2 + (−3))’ = (엑스 4)’ + (2엑스 2)’ + (−3)’ = 4엑스 3 + 4엑스 + 0 = 4엑스 · ( 엑스 2 + 1).

답변:
에프 ’(엑스) = 2엑스+ 왜냐하면 x;
g ’(엑스) = 4엑스 · ( 엑스 2 + 1).

제품의 파생물

수학은 논리 과학이므로 많은 사람들은 합계의 도함수가 도함수의 합과 같으면 곱의 도함수는 다음과 같다고 믿습니다. 스트라이크">파생상품의 곱과 동일합니다. 하지만 망할! 제품의 파생상품은 완전히 다른 공식을 사용하여 계산됩니다. 즉:

(에프 · g) ’ = 에프 ’ · g + 에프 · g ’

공식은 간단하지만 종종 잊어버립니다. 그리고 학생뿐만 아니라 학생도 마찬가지입니다. 결과적으로 문제가 잘못 해결되었습니다.

일. 함수의 도함수 찾기: 에프(엑스) = 엑스 3코사인 x; g(엑스) = (엑스 2 + 7엑스- 7) · 이자형 엑스 .

기능 에프(엑스)는 두 가지 기본 함수의 산물이므로 모든 것이 간단합니다.

에프 ’(엑스) = (엑스 3코 엑스)’ = (엑스 3)' 왜냐하면 엑스 + 엑스 3 (cos 엑스)’ = 3엑스 2코 엑스 + 엑스 3 (− 죄 엑스) = 엑스 2 (3cos 엑스 − 엑스죄 엑스)

기능 g(엑스) 첫 번째 승수는 조금 더 복잡하지만 일반적인 구성표는 변경되지 않습니다. 분명히, 함수의 첫 번째 요소는 g(엑스)는 다항식이고 그 도함수는 합의 도함수입니다. 우리는:

g ’(엑스) = ((엑스 2 + 7엑스- 7) · 이자형 엑스)’ = (엑스 2 + 7엑스- 7)' · 이자형 엑스 + (엑스 2 + 7엑스− 7) · ( 이자형 엑스)’ = (2엑스+ 7) · 이자형 엑스 + (엑스 2 + 7엑스- 7) · 이자형 엑스 = 이자형 엑스· (2 엑스 + 7 + 엑스 2 + 7엑스 −7) = (엑스 2 + 9엑스) · 이자형 엑스 = 엑스(엑스+ 9) · 이자형 엑스 .

답변:
에프 ’(엑스) = 엑스 2 (3cos 엑스 − 엑스죄 엑스);
g ’(엑스) = 엑스(엑스+ 9) · 이자형 엑스 .

마지막 단계에서 도함수는 인수분해됩니다. 공식적으로는 이를 수행할 필요가 없지만 대부분의 도함수는 자체적으로 계산되지 않고 함수를 검사하기 위해 수행됩니다. 즉, 도함수는 0과 동일해지고 부호가 결정되는 등의 작업이 수행됩니다. 그러한 경우에는 표현식을 인수분해하는 것이 더 좋습니다.

두 가지 기능이 있는 경우 에프(엑스) 그리고 g(엑스), 그리고 g(엑스) ≠ 0 관심 있는 집합에 대해 새로운 함수를 정의할 수 있습니다. 시간(엑스) = 에프(엑스)/g(엑스). 이러한 함수의 경우 파생물을 찾을 수도 있습니다.

약하지 않죠? 마이너스는 어디에서 왔습니까? 왜 g 2? 그리고 이렇게! 이것은 가장 복잡한 공식 중 하나입니다. 병 없이는 알아낼 수 없습니다. 그러므로 구체적인 예를 들어 공부하는 것이 좋습니다.

일. 함수의 도함수 찾기:

각 분수의 분자와 분모에는 기본 함수가 포함되어 있으므로 몫의 도함수에 대한 공식만 있으면 됩니다.

전통에 따르면 분자를 인수분해해 보겠습니다. 이렇게 하면 답이 크게 단순화됩니다.

복잡한 함수가 반드시 0.5km 길이의 공식일 필요는 없습니다. 예를 들어, 다음 기능을 수행하는 것으로 충분합니다. 에프(엑스) = 죄 엑스그리고 변수를 교체하세요 엑스, 말하자면, 에 엑스 2 + ln 엑스. 그것은 잘 될 것이다 에프(엑스) = 죄 ( 엑스 2 + ln 엑스) - 이것은 복잡한 기능입니다. 파생 상품도 있지만 위에서 설명한 규칙을 사용하여 찾는 것은 불가능합니다.

어떻게 해야 하나요? 이러한 경우 복잡한 함수의 도함수에 대한 변수와 공식을 바꾸는 것이 도움이 됩니다.

에프 ’(엑스) = 에프 ’(티) · 티', 만약에 엑스로 대체됩니다 티(엑스).

일반적으로 이 공식을 이해하는 상황은 몫의 미분보다 훨씬 더 슬프습니다. 따라서 각 단계에 대한 자세한 설명과 함께 구체적인 예를 들어 설명하는 것이 더 좋습니다.

일. 함수의 도함수 찾기: 에프(엑스) = 이자형 2엑스 + 3 ; g(엑스) = 죄 ( 엑스 2 + ln 엑스)

함수에 있는 경우 에프(엑스) 표현식 2 대신 엑스+ 3은 쉬울 거예요 엑스, 그러면 우리는 기본 함수를 얻습니다. 에프(엑스) = 이자형 엑스. 그러므로 우리는 교체를 합니다: let 2 엑스 + 3 = 티, 에프(엑스) = 에프(티) = 이자형 티. 다음 공식을 사용하여 복잡한 함수의 미분을 찾습니다.

에프 ’(엑스) = 에프 ’(티) · 티 ’ = (이자형 티)’ · 티 ’ = 이자형 티 · 티 ’

그리고 지금 - 주의! 역 교체를 수행합니다. 티 = 2엑스+ 3. 우리는 다음을 얻습니다:

에프 ’(엑스) = 이자형 티 · 티 ’ = 이자형 2엑스+ 3 (2 엑스 + 3)’ = 이자형 2엑스+ 3 2 = 2 이자형 2엑스 + 3

이제 기능을 살펴보자 g(엑스). 당연히 교체해야죠 엑스 2 + ln 엑스 = 티. 우리는:

g ’(엑스) = g ’(티) · 티’ = (죄 티)’ · 티’ = 왜냐하면 티 · 티 ’

역방향 교체: 티 = 엑스 2 + ln 엑스. 그 다음에:

g ’(엑스) = 왜냐하면 ( 엑스 2 + ln 엑스) · ( 엑스 2 + ln 엑스)' = cos ( 엑스 2 + ln 엑스) · (2 엑스 + 1/엑스).

그게 다야! 마지막 표현식에서 볼 수 있듯이 전체 문제는 미분합 계산으로 축소되었습니다.

답변:
에프 ’(엑스) = 2 · 이자형 2엑스 + 3 ;
g ’(엑스) = (2엑스 + 1/엑스) 왜냐하면 ( 엑스 2 + ln 엑스).

나는 수업에서 “파생상품”이라는 용어 대신 “소수”라는 단어를 자주 사용합니다. 예를 들어, 합의 획은 획의 합과 같습니다. 그게 더 명확해? 글쎄요.

따라서 미분 계산은 위에서 설명한 규칙에 따라 동일한 스트로크를 제거하는 것으로 귀결됩니다. 마지막 예로, 유리수 지수를 사용하여 도함수로 돌아가 보겠습니다.

(엑스 N)’ = N · 엑스 N − 1

그 역할을 아는 사람은 거의 없습니다. N분수일 수도 있습니다. 예를 들어 루트는 다음과 같습니다. 엑스 0.5. 뿌리 아래에 멋진 것이 있다면 어떨까요? 다시 말하지만 결과는 복잡한 기능이 될 것입니다. 그들은 테스트와 시험에서 그러한 구성을 제공하는 것을 좋아합니다.

일. 함수의 도함수를 구합니다:

먼저, 유리수 지수를 갖는 거듭제곱으로 근을 다시 작성해 보겠습니다.

에프(엑스) = (엑스 2 + 8엑스 − 7) 0,5 .

이제 교체 작업을 수행합니다. 엑스 2 + 8엑스 − 7 = 티. 다음 공식을 사용하여 파생 상품을 찾습니다.

에프 ’(엑스) = 에프 ’(티) · 티 ’ = (티 0.5)' · 티’ = 0.5 · 티−0.5 · 티 ’.

역 교체를 해보겠습니다. 티 = 엑스 2 + 8엑스− 7. 우리는:

에프 ’(엑스) = 0.5 · ( 엑스 2 + 8엑스− 7) −0.5 · ( 엑스 2 + 8엑스− 7)' = 0.5 · (2 엑스+ 8) ( 엑스 2 + 8엑스 − 7) −0,5 .

마지막으로, 뿌리로 돌아가서: