Odz 예제를 사용한 방정식. 허용 가능한 값의 범위: 이론 및 실제

24.09.2019

먼저 찾는 방법을 알아볼까요? 함수합의 정의 영역. 그러한 함수는 합계를 구성하는 모든 함수가 의미가 있는 변수의 모든 값에 대해 의미가 있음이 분명합니다. 그러므로 다음 진술의 타당성에 대해서는 의심의 여지가 없습니다.

함수 f가 n 함수 f 1, f 2, …, f n의 합인 경우, 즉 함수 f는 공식 y=f 1 (x)+f 2 (x)+…+f n (x)으로 제공됩니다. ), 함수 f의 정의 영역은 함수 f 1, f 2, ..., f n의 정의 영역의 교차점입니다. 이것을 로 쓰자.

마지막 항목과 유사한 항목을 계속 사용하는 데 동의합니다. 이는 중괄호 안에 작성되거나 모든 조건의 동시 충족을 의미합니다. 이는 편리하고 시스템의 의미와 매우 자연스럽게 공감합니다.

예.

함수 y=x 7 +x+5+tgx가 주어지며, 우리는 함수의 정의 영역을 찾아야 합니다.

해결책.

함수 f는 f 1 - 지수 7의 거듭제곱 함수, f 2 - 지수 1의 거듭제곱 함수, f 3 - 상수 함수 및 f 4 - 접선 함수의 네 가지 함수의 합으로 표시됩니다.

기본 기본 함수의 정의 영역 표를 살펴보면 D(f 1)=(−무한대, +무한), D(f 2)=(−무한대, +무한), D(f 3)= (-무한대, +무한대), 탄젠트 정의 영역은 숫자를 제외한 모든 실수의 집합입니다. .

함수 f의 정의 영역은 함수 f 1, f 2, f 3 및 f 4의 정의 영역의 교차점입니다. 이것은 숫자를 제외한 모든 실수의 집합이라는 것이 매우 분명합니다. .

답변:

제외한 모든 실수의 집합 .

찾기로 넘어 갑시다 함수 곱의 정의 영역. 이 경우에도 유사한 규칙이 적용됩니다.

함수 f가 n 함수 f 1, f 2, ..., f n의 곱인 경우, 즉 함수 f는 다음 공식으로 제공됩니다. y=f1(x)f2(x)…fn(x), 그러면 함수 f의 정의 영역은 함수 f 1, f 2, ..., f n의 정의 영역의 교차점입니다. 그래서, .

이는 표시된 영역에 모든 제품 기능이 정의되어 있으므로 이해할 수 있습니다. 따라서 기능 f 자체가 정의됩니다.

예.

Y=3·arctgx·lnx .

해결책.

함수를 정의하는 공식의 우변의 구조는 f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x)로 간주될 수 있습니다. 여기서 f 1은 상수 함수이고, f 2는 아크탄젠트 함수이며, f 3은 e를 밑으로 하는 로그 함수입니다.

우리는 D(f 1)=(−무한대, +무한) , D(f 2)=(−무한대, +무한) 그리고 D(f 3)=(0, +무한) 을 알고 있습니다. 그 다음에 .

답변:

함수 y=3·arctgx·lnx의 정의 영역은 모든 실수 양수의 집합입니다.

C는 실수인 공식 y=C·f(x)로 주어진 함수 정의 영역을 찾는 데 별도로 집중하겠습니다. 이 함수의 정의 영역과 함수 f의 정의 영역이 일치한다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 실제로 함수 y=C·f(x)는 상수 함수와 함수 f의 곱입니다. 상수 함수의 정의역은 모든 실수의 집합이고, 함수 f의 정의역은 D(f) 입니다. 그러면 함수 y=C f(x)의 정의 영역은 다음과 같습니다. , 이것이 표시되어야 하는 것입니다.

따라서 함수 y=f(x)와 y=C·f(x)(여기서 C는 실수임)의 정의 영역이 일치합니다. 예를 들어 근의 정의역은 이며, D(f)는 f 2 (x)가 함수 f 1의 정의역에 포함되는 함수 f 2의 정의역에서 모든 x의 집합이라는 것이 분명해집니다.

따라서, 복잡한 함수의 정의 영역 y=f 1 (f 2 (x))는 두 세트의 교집합입니다: x∈D(f 2)인 모든 x의 집합과 f 2 (x)∈D(f인 모든 x의 집합 1) . 즉, 우리가 채택한 표기법에서 (이것은 본질적으로 불평등의 시스템입니다).

몇 가지 예시 솔루션을 살펴보겠습니다. 자세한 과정은 이 글의 범위를 벗어나므로 자세히 설명하지 않겠습니다.

예.

함수 y=lnx 2 의 정의 영역을 구합니다.

해결책.

원래 함수는 y=f 1 (f 2 (x))로 표현될 수 있습니다. 여기서 f 1은 밑이 e인 로그이고, f 2는 지수 2인 거듭제곱 함수입니다.

주요 기본 함수 정의의 알려진 영역으로 전환하면 D(f 1)=(0, +) 및 D(f 2)=(−, +)이 있습니다.

그 다음에

그래서 우리는 우리가 필요로 하는 함수의 정의 영역을 찾았습니다. 그것은 0을 제외한 모든 실수의 집합입니다.

답변:

(−∞, 0)∪(0, +∞) .

예.

함수의 영역은 무엇입니까 ?

해결책.

이 함수는 복잡합니다. y=f 1 (f 2 (x))로 간주할 수 있습니다. 여기서 f 1은 지수가 있는 거듭제곱 함수이고 f 2는 아크사인 함수이므로 정의 영역을 찾아야 합니다.

우리가 알고 있는 내용을 살펴보겠습니다: D(f 1)=(0, +) 및 D(f 2)=[−1, 1] . x∈D(f 2) 및 f 2 (x)∈D(f 1)과 같은 x 값 세트의 교차점을 찾는 것이 남아 있습니다.

arcsinx>0이 되도록 하려면 arcsine 함수의 속성을 기억하십시오. 아크사인은 [−1, 1] 정의 영역 전체에 걸쳐 증가하고 x=0에서 0이 됩니다. 따라서 간격 (0, 1]의 모든 x에 대해 arcsinx>0입니다.

시스템으로 돌아가 보겠습니다.

따라서 함수 정의에 필요한 영역은 절반 구간(0, 1]입니다.

답변:

(0, 1] .

이제 일반 형식 y=f 1 (f 2 (...f n (x))))의 복잡한 함수로 넘어가겠습니다. 이 경우 함수 f의 정의 영역은 다음과 같이 구됩니다. .

예.

함수의 영역 찾기 .

해결책.

주어진 복소 함수는 y=f 1 (f 2 (f 3 (x)))로 작성할 수 있습니다. 여기서 f 1 – sin, f 2 – 4차 근 함수, f 3 – log입니다.

우리는 D(f 1)=(−무한대, +무한) , D(f 2)=\)

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어떻게 ?
솔루션의 예

어딘가에 뭔가가 빠져 있다면, 어딘가에 뭔가가 있다는 뜻입니다

우리는 "함수와 그래프" 섹션을 계속해서 연구하고 있으며, 우리 여행의 다음 단계는 다음과 같습니다. 이 개념에 대한 활발한 논의는 세트에 관한 기사에서 시작되어 세트에 대한 첫 번째 강의에서 계속되었습니다. 함수 그래프, 여기서 나는 기본 기능, 특히 정의 영역을 살펴보았습니다. 따라서 몇 가지 기본 사항을 다시 다루지 않을 것이므로 인형은 주제의 기본부터 시작하는 것이 좋습니다.

독자가 선형, 2차, 3차 함수, 다항식, 지수, 사인, 코사인 함수의 정의 영역을 알고 있다고 가정합니다. 그들은 다음에 정의되어 있습니다 (모든 실수의 집합). 접선, 아크사인의 경우 용서합니다 =) - 더 희귀한 그래프는 즉시 기억되지 않습니다.

정의의 범위는 단순한 것으로 보이며 논리적인 질문이 제기됩니다. 기사의 내용은 무엇입니까? 이번 단원에서는 함수의 정의역을 찾는 일반적인 문제를 살펴보겠습니다. 게다가, 우리는 반복합니다 변수가 하나인 부등식, 고등 수학의 다른 문제에도 해결 기술이 필요합니다. 그런데 자료는 모두 학교 자료이므로 학생뿐만 아니라 학생들에게도 유용할 것입니다. 물론 정보는 백과사전적인 척하지 않지만 여기에는 터무니없는 "죽은"예가 아니라 실제 실제 작업에서 가져온 구운 밤이 있습니다.

주제에 대해 빠르게 살펴보겠습니다. 주요 사항에 대해 간략히 설명합니다. 우리는 하나의 변수 기능에 대해 이야기하고 있습니다. 정의 영역은 다음과 같습니다. "x"의 다양한 의미, 이를 위해 존재하다"플레이어"의 의미. 가상의 예를 살펴보겠습니다.

이 함수의 정의 영역은 간격의 합집합입니다.
(잊으신 분들을 위해: - 통일 아이콘). 즉, 간격 , , 또는 에서 "x" 값을 취하면 각 "x"에 대해 "y" 값이 있게 됩니다.

대략적으로 정의 영역이 있는 곳에 함수 그래프가 있습니다. 그러나 반구간과 "tse" 지점은 정의 영역에 포함되지 않으며 그래프도 없습니다.

함수의 도메인을 찾는 방법은 무엇입니까? 많은 사람들이 "가위, 바위, 보"라는 동요를 기억합니다. 이 경우에는 "근, 분수, 로그"라고 안전하게 바꿔 쓸 수 있습니다. 따라서 인생의 길에서 분수, 근 또는 로그를 발견한다면 즉시 매우 조심해야 합니다! 탄젠트, 코탄젠트, 아크사인, 아크코사인은 훨씬 덜 일반적이며 이에 대해서도 이야기하겠습니다. 하지만 먼저 개미의 삶을 스케치합니다.

분수를 포함하는 함수의 영역

일부 분수를 포함하는 함수가 주어졌다고 가정해 보겠습니다. 아시다시피, 0으로 나눌 수 없습니다: 분모를 0으로 바꾸는 "X" 값은 이 함수의 범위에 포함되지 않습니다..

다음과 같은 가장 간단한 기능에 대해서는 다루지 않겠습니다. 등, 모든 사람이 자신의 정의 영역에 포함되지 않은 점을 완벽하게 볼 수 있기 때문입니다. 좀 더 의미 있는 분수를 살펴보겠습니다.

실시예 1

함수의 영역 찾기

해결책: 분자에는 특별한 것이 없으나, 분모는 0이 아니어야 합니다. 이를 0으로 설정하고 "나쁜" 점을 찾아보겠습니다.

결과 방정식에는 두 가지 근이 있습니다. . 데이터 값 기능 범위에 속하지 않습니다.. 실제로 함수에 또는 를 대입하면 분모가 0이 되는 것을 볼 수 있습니다.

답변: 도메인:

항목은 다음과 같습니다. “정의 영역은 값으로 구성된 집합을 제외한 모든 실수입니다. " 수학에서 백슬래시 기호는 논리적 뺄셈을 나타내고 중괄호는 집합을 나타냅니다. 답은 세 간격의 합집합으로 동일하게 작성할 수 있습니다.

누구든지 그것을 좋아합니다.

포인트에서 기능은 허용 끝없는 휴식, 그리고 방정식에 의해 주어진 직선 ~이다 수직 점근선이 함수의 그래프를 위해. 그러나 이것은 약간 다른 주제이므로 이에 대해서는 더 이상 관심을 기울이지 않을 것입니다.

실시예 2

함수의 영역 찾기

이 작업은 본질적으로 구두로 이루어지며 많은 사람들이 거의 즉시 정의 영역을 찾을 것입니다. 답은 강의 마지막 부분에 있습니다.

분수는 항상 "나쁜" 것인가요? 아니요. 예를 들어 수직선 전체에 함수가 정의되어 있습니다. "x"의 값이 무엇이든 관계없이 분모는 0이 되지 않으며, 더욱이 항상 양수입니다. 따라서 이 기능의 범위는 다음과 같습니다.

다음과 같은 모든 기능 정의하고 마디 없는에 .

분모가 이차 삼항식으로 채워지면 상황은 좀 더 복잡해집니다.

실시예 3

함수의 영역 찾기

해결책: 분모가 0이 되는 점을 찾아봅시다. 이를 위해 우리는 결정할 것입니다 이차 방정식:

판별식은 음수로 판명되었습니다. 즉, 실수 근이 없으며 함수가 전체 숫자 축에서 정의된다는 의미입니다.

답변: 도메인:

실시예 4

함수의 영역 찾기

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 정답과 정답은 강의 마지막에 있습니다. 더 많은 예를 들면 오해가 쌓일 것이기 때문에 간단한 문제로 게으르지 말 것을 권합니다.

루트가 있는 함수의 도메인

제곱근 함수는 다음과 같은 경우 "x" 값에 대해서만 정의됩니다. 급진적인 표현은 음수가 아니다: . 근이 분모에 있는 경우 조건은 분명히 강화됩니다. 양의 짝수 근에 대해서도 유사한 계산이 유효합니다. 그러나 루트는 이미 4차입니다. 기능 연구기억이 나지 않습니다.

실시예 5

함수의 영역 찾기

해결책: 근호 표현은 음수가 아니어야 합니다.

해결책을 계속하기 전에, 학교에서 알려진 불평등 문제에 대한 기본 규칙을 상기시켜 드리겠습니다.

나는 특별한주의를 기울입니다!이제 우리는 불평등을 고려하고 있습니다 하나의 변수로- 즉, 우리에게는 오직 축을 따라 1차원. 혼동하지 마십시오. 두 변수의 부등식, 전체 좌표 평면이 기하학적으로 관련되어 있습니다. 그러나 즐거운 우연의 일치도 있습니다! 따라서 불평등의 경우 다음 변환은 동일합니다.

1) 약관은 (약관)을 변경함으로써 부분에서 부분으로 이전될 수 있습니다. 표지판.

2) 부등식의 양쪽에 양수를 곱할 수 있습니다.

3) 부등식의 양변에 다음을 곱하면 부정적인번호를 변경해야 합니다. 불평등 그 자체의 신호. 예를 들어, "더 많은 것"이 있었다면 "더 적은 것"이 됩니다. "작거나 같음"이면 "크거나 같음"이 됩니다.

부등식에서는 부호를 변경하여 "3"을 오른쪽으로 이동합니다(규칙 1번).

부등식의 양변에 –1을 곱해 봅시다(규칙 3번):

부등식의 양변에 다음을 곱해 봅시다(규칙 2번):

답변: 도메인:

대답은 "함수는 에 정의되어 있습니다."라는 동등한 문구로 작성할 수도 있습니다.
기하학적으로 정의 영역은 가로축에 해당 간격을 음영 처리하여 표시됩니다. 이 경우:

다시 한번 정의 영역의 기하학적 의미, 즉 함수 그래프를 상기시켜드립니다. 음영처리된 영역에만 존재하며 에는 존재하지 않습니다.

대부분의 경우 정의 영역을 순수하게 분석적으로 결정하는 것이 적합하지만 기능이 매우 복잡한 경우 축을 그리고 메모해야 합니다.

실시예 6

함수의 영역 찾기

이것은 스스로 해결하는 예입니다.

제곱근 아래에 제곱이항식이나 삼항식이 있으면 상황은 좀 더 복잡해지며, 이제 풀이법을 자세히 분석하겠습니다.

실시예 7

함수의 영역 찾기

해결책: 급진적 표현은 엄격하게 긍정적이어야 합니다. 즉, 불평등을 해결해야 합니다. 첫 번째 단계에서 우리는 이차 삼항식을 인수분해하려고 합니다:

판별식은 양수이므로 근을 찾고 있습니다.

그래서 포물선은 는 두 지점에서 가로축과 교차합니다. 이는 포물선의 일부가 축(부등식) 아래에 위치하고 포물선의 일부가 축(필요한 부등식) 위에 위치함을 의미합니다.

계수가 이므로 포물선의 가지가 위쪽을 향합니다. 위에서부터 부등식은 간격(포물선의 가지가 무한대로 위쪽으로 이동)에서 충족되고 포물선의 꼭지점은 부등식에 해당하는 x축 아래 간격에 위치합니다.

! 메모: 설명이 완전히 이해되지 않으면 두 번째 축과 전체 포물선을 그려주세요! 기사와 매뉴얼로 돌아가는 것이 좋습니다 학교 수학 과정을 위한 인기 공식.

불평등이 엄격하기 때문에 포인트 자체가 제거되었습니다(솔루션에 포함되지 않음).

답변: 도메인:

일반적으로 많은 불평등(고려된 불평등 포함)은 보편법칙에 의해 해결됩니다. 간격 방법, 학교 커리큘럼에서 다시 알려져 있습니다. 하지만 제 생각에는 제곱 이항식과 삼항식의 경우 축을 기준으로 포물선의 위치를 분석하는 것이 훨씬 더 편리하고 빠릅니다. 그리고 우리는 기사에서 주요 방법인 간격 방법을 자세히 분석할 것입니다. 함수 0. 불변성 간격.

실시예 8

함수의 영역 찾기

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 샘플은 추론 논리 + 두 번째 해결 방법 및 불평등의 또 다른 중요한 변형에 대해 자세히 설명합니다. 학생이 한쪽 다리를 절뚝거리게 될 것이라는 사실을 알지 못한 채..., ...흠... 아마도 흥분했을 것입니다. 다리에 대해, 한쪽 발가락에 더 가능성이 높습니다. 무지.

전체 수직선에 대해 제곱근 함수를 정의할 수 있나요? 틀림없이. 모든 친숙한 얼굴: . 또는 지수가 포함된 유사한 합계: . 실제로 "x" 및 "ka" 값의 경우: , 따라서 및 .

덜 분명한 예는 다음과 같습니다. . 여기서 판별식은 음수이고(포물선은 x축과 교차하지 않음) 포물선의 가지가 위쪽을 향하므로 정의 영역은 다음과 같습니다.

반대 질문: 함수 정의 영역은 다음과 같을 수 있습니까? 비어 있는? 예, 원시적 예가 즉시 제안됩니다. , 여기서 근호 표현은 "x" 값에 대해 음수이고 정의 영역은 다음과 같습니다(빈 집합 아이콘). 이러한 함수는 전혀 정의되어 있지 않습니다(물론 그래프도 환상입니다).

이상한 뿌리를 가지고 등. 모든 것이 훨씬 나아졌습니다 - 여기 급진적인 표현은 부정적일 수 있다. 예를 들어 수직선 전체에 함수가 정의되어 있습니다. 그러나 함수에는 분모가 0으로 설정되어 있기 때문에 여전히 정의 영역에 포함되지 않는 단일 점이 있습니다. 기능도 같은 이유로 포인트는 제외됩니다.

로그가 있는 함수의 영역

세 번째 공통함수는 로그입니다. 예를 들어, 100개 중 약 99개에서 발생하는 자연 로그를 그릴 것입니다. 특정 함수에 로그가 포함되어 있으면 해당 정의 영역에는 부등식을 만족하는 "x" 값만 포함되어야 합니다. 로그가 분모에 있는 경우: 추가적으로(부터) 조건이 부과됩니다.

실시예 9

함수의 영역 찾기

해결책: 위의 내용에 따라 시스템을 구성하고 해결합니다.

인형용 그래픽 솔루션:

답변: 도메인:

기술적인 점을 한 가지 더 말씀드리겠습니다. 눈금이 표시되지 않고 축을 따라 구분선이 표시되지 않습니다. 문제가 발생합니다. 체크 무늬 종이에 노트북에 그러한 그림을 만드는 방법은 무엇입니까? 점 사이의 거리는 척도에 따라 엄격하게 셀 단위로 측정되어야 합니까? 물론 규모가 더 표준적이고 엄격하지만 상황을 근본적으로 반영하는 개략도도 상당히 허용됩니다.

실시예 10

함수의 영역 찾기

문제를 해결하려면 이전 단락의 방법을 사용하여 포물선이 x축을 기준으로 어떻게 위치하는지 분석할 수 있습니다. 답은 강의 마지막 부분에 있습니다.

보시다시피, 로그 영역에서는 모든 것이 제곱근의 상황과 매우 유사합니다. (예제 7의 제곱 삼항식)은 간격에 대해 정의되며 함수는 (예제 6의 제곱 이항식) 구간에서 . 타입 함수가 수직선 전체에 정의되어 있다고 말하기도 어색합니다.

유용한 정보 : 일반적인 함수는 흥미롭습니다. 점을 제외한 수직선 전체에 정의되어 있습니다. 로그의 속성에 따라 "2"는 로그 외부에서 곱해질 수 있지만 함수가 변경되지 않도록 하려면 "x"를 모듈러스 기호로 묶어야 합니다. . 다음은 모듈의 또 다른 "실용적 적용"입니다 =). 철거할 때 대부분 이렇게 해야 합니다. 심지어학위, 예를 들면 다음과 같습니다. . 예를 들어, 정도의 밑이 분명히 양수인 경우 모듈러스 기호가 필요하지 않으며 괄호를 사용하는 것으로 충분합니다.

반복을 피하기 위해 작업을 복잡하게 만들어 보겠습니다.

실시예 11

함수의 영역 찾기

해결책: 이 함수에는 근과 로그가 모두 있습니다.

근호 표현식은 음수가 아니어야 하며, 로그 기호 아래의 표현식은 엄격히 양수여야 합니다: . 따라서 시스템을 해결해야 합니다.

많은 분들이 시스템 솔루션이 다음을 충족해야 한다는 것을 잘 알고 있거나 직관적으로 추측하고 계십니다. 각자에게상태.

축을 기준으로 포물선의 위치를 조사함으로써 우리는 부등식이 간격(파란색 음영)에 의해 충족된다는 결론에 도달했습니다.

불평등은 분명히 "빨간색" 절반 간격에 해당합니다.

두 가지 조건을 모두 충족해야 하므로 동시에이면 시스템에 대한 해는 이러한 간격의 교차점입니다. "공통 관심사"는 하프타임에 충족됩니다.

답변: 도메인:

예제 8에서 볼 수 있듯이 전형적인 부등식은 분석적으로 해결하기 어렵지 않습니다.

발견된 도메인은 "유사한 기능"에 대해 변경되지 않습니다. 또는 . 예를 들어 다음과 같이 일부 연속 함수를 추가할 수도 있습니다. , 또는 심지어 다음과 같습니다: . 그들이 말했듯이 근과 로그는 완고한 것입니다. 유일한 것은 함수 중 하나가 분모로 "재설정"되면 정의 영역이 변경된다는 것입니다(일반적인 경우 항상 그렇지는 않지만). 음, 이 동사에 대한 마탄 이론에는... 아... 정리가 있습니다.