무한한 기하학적 진행의 합을 구합니다. 예제를 사용한 기하학적 진행

24.09.2019

주제에 대한 수업 “무한히 감소하는 기하수열”(대수학, 10학년)

수업의 목적:학생들에게 새로운 유형의 수열, 즉 무한히 감소하는 기하학적 수열을 소개합니다.

장비:프로젝터 스크린.

수업 유형:수업 - 새로운 주제를 학습합니다.

수업 중

나 . 조직 순간. 수업의 주제와 목적을 설명합니다.

II . 학생들의 지식을 업데이트합니다.

9학년 때 산술수열과 기하수열을 공부했습니다.

질문

1. 산술진행의 정의. (산술 수열은 두 번째부터 시작하는 각 요소가 같은 숫자에 추가된 이전 요소와 동일한 순서입니다.)

2. 공식 N등차수열의 번째 항(
)

3. 첫 번째 합계의 공식 N산술 진행의 용어.

(
또는
)

4. 기하학적 진행의 정의. (기하수열은 0이 아닌 숫자의 시퀀스로, 각 항은 두 번째부터 시작하여 이전 항에 동일한 숫자를 곱한 값과 같습니다.)

5. 공식 N기하수열의 번째 항(

)

6. 첫 번째 합계의 공식 N기하학적 진행의 구성원. (
)

7. 당신이 알고 있는 다른 공식은 무엇입니까?

(
, 어디
;
;
;
,
)

5. 기하학적 진행의 경우
다섯번째 항을 찾아보세요.

6. 기하학적 진행의 경우
찾다 N번째 회원.

7. 기하급수적으로 비 3 = 8 그리고 비 5 = 2 . 찾다 비 4 . (4)

8. 기하급수적으로 비 3 = 8 그리고 비 5 = 2 . 찾다 비 1 그리고 큐 .

9. 기하급수적으로 비 3 = 8 그리고 비 5 = 2 . 찾다 에스 5 . (62)

III . 새로운 주제 학습(프레젠테이션 시연).

변이 1인 정사각형을 생각해 보세요. 변이 첫 번째 정사각형 크기의 절반인 또 다른 정사각형을 그리고 그 변이 두 번째 정사각형의 절반인 또 다른 정사각형, 그 다음 다음 정사각형 등을 그려 봅시다. 매번 새로운 정사각형의 변은 이전 정사각형의 절반과 같습니다.

결과적으로 우리는 일련의 정사각형 변을 받았습니다. 분모를 사용하여 기하학적 진행을 형성합니다.

그리고 매우 중요한 것은 그러한 사각형을 더 많이 만들수록 사각형의 측면이 더 작아진다는 것입니다. 예를 들어,

저것들. 숫자 n이 증가함에 따라 진행 조건은 0에 가까워집니다.

이 그림을 사용하여 다른 시퀀스를 고려할 수 있습니다.

예를 들어, 정사각형 영역의 순서는 다음과 같습니다.

. 그리고 또 만약에 N무한정 증가하면 원하는 만큼 영역이 0에 가까워집니다.

또 다른 예를 살펴보겠습니다. 한 변의 길이가 1cm인 정삼각형입니다. 삼각형의 중간선에 관한 정리에 따라 첫 번째 삼각형의 변의 중간점에 있는 꼭지점을 사용하여 다음 삼각형을 구성해 보겠습니다. 두 번째 변은 첫 번째 변의 절반, 세 번째 변은 같습니다. 2번째 변의 절반과 같습니다. 다시 우리는 삼각형 변의 길이 시퀀스를 얻습니다.

~에
.

음의 분모를 갖는 기하학적 수열을 고려한다면.

그러다가 또 숫자가 늘어나면서 N진행 측면에서 0에 접근합니다.

이 시퀀스의 분모에 주목해 봅시다. 모든 곳에서 분모의 절대값이 1보다 작았습니다.

결론을 내릴 수 있습니다. 분모의 계수가 1보다 작으면 기하학적 수열은 무한히 감소합니다.

정의:

기하수열은 분모의 계수가 1보다 작으면 무한히 감소한다고 합니다.
.

정의를 사용하면 기하학적 진행이 무한히 감소하는지 여부를 결정할 수 있습니다.

일

수열이 다음 공식으로 주어지면 무한히 감소하는 기하학적 수열입니까?

;
.

해결책:

. 우리는 찾을 것이다 큐 .

;
;
;
.

이 기하학적 진행은 무한히 감소합니다.

비)이 수열은 무한히 감소하는 기하학적 수열이 아닙니다.

한 변이 1인 정사각형을 생각해 보세요. 그것을 반으로 나누고, 반쪽 중 하나를 반으로 나누는 식으로요. 결과로 생성되는 모든 직사각형의 영역은 무한히 감소하는 기하학적 진행을 형성합니다.

이 방법으로 얻은 모든 직사각형의 면적의 합은 첫 번째 정사각형의 면적과 같고 1과 같습니다.

모든 자연수에 대해 N 실수와 일치 앤 , 그런 다음 그들은 그것이 주어 졌다고 말합니다 번호 순서 :

ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3 , . . . , 앤 , . . . .

따라서 숫자 순서는 자연 인수의 함수입니다.

숫자 ㅏ 1 ~라고 불리는 수열의 첫 번째 항 , 숫자 ㅏ 2 — 수열의 두 번째 항 , 숫자 ㅏ 3 — 제삼 등등. 숫자 앤 ~라고 불리는 시퀀스의 n번째 멤버 , 그리고 자연수 N — 그의 전화번호 .

인접한 두 멤버로부터 앤 그리고 앤 +1 시퀀스 멤버 앤 +1 ~라고 불리는 후속 (쪽으로 앤 ), ㅏ 앤 — 이전의 (쪽으로 앤 +1 ).

시퀀스를 정의하려면 임의의 숫자로 시퀀스의 멤버를 찾을 수 있는 방법을 지정해야 합니다.

종종 시퀀스는 다음을 사용하여 지정됩니다. n번째 항 공식 , 즉 번호로 시퀀스의 멤버를 결정할 수 있는 공식입니다.

예를 들어,

양의 홀수 시퀀스는 다음 공식으로 주어질 수 있습니다.

앤= 2N- 1,

그리고 교대하는 순서 1 그리고 -1 - 공식

비 N = (-1)N +1 . ◄

순서를 정할 수 있다 반복 공식, 즉, 일부부터 시작하여 이전(하나 이상의) 멤버까지 시퀀스의 모든 멤버를 표현하는 공식입니다.

예를 들어,

만약에 ㅏ 1 = 1 , ㅏ 앤 +1 = 앤 + 5

ㅏ 1 = 1,

ㅏ 2 = ㅏ 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ㅏ 3 = ㅏ 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ㅏ 4 = ㅏ 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ㅏ 5 = ㅏ 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

만약에 1= 1, 2 = 1, 앤 +2 = 앤 + 앤 +1 , 그러면 숫자 순서의 처음 7개 항은 다음과 같이 설정됩니다.

1 = 1,

2 = 1,

3 = 1 + 2 = 1 + 1 = 2,

4 = 2 + 3 = 1 + 2 = 3,

5 = 3 + 4 = 2 + 3 = 5,

ㅏ 6 = ㅏ 4 + ㅏ 5 = 3 + 5 = 8,

ㅏ 7 = ㅏ 5 + ㅏ 6 = 5 + 8 = 13. ◄

시퀀스는 다음과 같습니다. 결정적인 그리고 끝없는 .

시퀀스가 호출됩니다. 궁극적인 , 회원 수가 한정된 경우. 시퀀스가 호출됩니다. 끝없는 , 멤버가 무한히 많은 경우.

예를 들어,

두 자리 자연수의 수열:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

결정적인.

소수의 수열:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

끝없는. ◄

시퀀스가 호출됩니다. 증가 , 두 번째부터 시작하여 각 멤버가 이전 멤버보다 큰 경우.

시퀀스가 호출됩니다. 감소하는 , 두 번째부터 시작하여 각 멤버가 이전 멤버보다 작은 경우.

예를 들어,

2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . - 증가하는 순서;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . - 감소하는 순서. ◄

숫자가 증가해도 요소가 감소하지 않거나 반대로 증가하지 않는 수열을 호출합니다. 단조로운 순서 .

특히 단조 수열은 증가 수열과 감소 수열입니다.

산술 진행

산술 진행 두 번째부터 시작하여 각 멤버가 이전 멤버와 동일하고 동일한 번호가 추가되는 시퀀스입니다.

ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3 , . . . , 앤, . . .

임의의 자연수에 대한 산술진열이다. N 조건이 충족됩니다:

앤 +1 = 앤 + 디,

어디 디 - 특정 숫자.

따라서 주어진 산술 수열의 후속 항과 이전 항 사이의 차이는 항상 일정합니다.

2 - ㅏ 1 = 3 - ㅏ 2 = . . . = 앤 +1 - 앤 = 디.

숫자 디 ~라고 불리는 산술진행의 차이.

산술 수열을 정의하려면 첫 번째 항과 차이를 나타내는 것으로 충분합니다.

예를 들어,

만약에 ㅏ 1 = 3, 디 = 4 , 그러면 다음과 같이 수열의 처음 5개 항을 찾습니다.

1 =3,

2 = 1 + 디 = 3 + 4 = 7,

3 = 2 + 디= 7 + 4 = 11,

4 = 3 + 디= 11 + 4 = 15,

ㅏ 5 = ㅏ 4 + 디= 15 + 4 = 19. ◄

첫 번째 항을 사용한 산술 진행의 경우 ㅏ 1 그리고 차이점 디 그녀의 N

앤 = 1 + (N- 1)디.

예를 들어,

산술수열의 30번째 항을 구하다

1, 4, 7, 10, . . .

1 =1, 디 = 3,

30 = 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = 1 + (N- 2)디,

앤= 1 + (N- 1)디,

앤 +1 = ㅏ 1 + nd,

그렇다면 분명히

앤=	n-1 + n+1
	2

두 번째부터 시작하는 산술 수열의 각 구성원은 이전 및 후속 구성원의 산술 평균과 같습니다.

숫자 a, b 및 c는 그 중 하나가 다른 두 개의 산술 평균과 동일한 경우에만 일부 산술 수열의 연속 항입니다.

예를 들어,

앤 = 2N- 7 는 산술진행이다.

위의 구문을 사용해 보겠습니다. 우리는:

앤 = 2N- 7,

n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,

n+1 = 2(아니오 1) - 7 = 2N- 5.

따라서,

n+1 + n-1	=	2N- 5 + 2N- 9	= 2N- 7 = 앤,
2		2

◄

참고하세요 N 등차수열의 제번째 항은 다음을 통해서만 구할 수 있는 것이 아닙니다. ㅏ 1 , 뿐만 아니라 이전의 에이 케이

앤 = 에이 케이 + (N- 케이)디.

예를 들어,

을 위한 ㅏ 5 적어둘 수 있다

5 = 1 + 4디,

5 = 2 + 3디,

5 = 3 + 2디,

5 = 4 + 디. ◄

앤 = n-k + kd,

앤 = n+k - kd,

그렇다면 분명히

앤=	ㅏ n-k + 에 n+k
	2

두 번째부터 시작하는 산술 수열의 모든 구성원은 이 산술 수열의 동일한 간격 구성원의 합의 절반과 같습니다.

또한 모든 산술 수열에 대해 다음과 같은 등식이 성립합니다.

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

예를 들어,

산술 진행에서

1) ㅏ 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ㅏ 9 + ㅏ 11 )/2;

2) 28 = 10 = 3 + 7디= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) 2 + 12 = 5 + 9, 왜냐하면

2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

Sn= 1 + 2 + 3 + . . .+ 앤,

첫 번째 N 산술 수열의 항은 극단 항의 합의 절반과 항의 개수를 곱한 것과 같습니다.

특히 여기에서 용어를 합산해야 한다면 다음과 같습니다.

에이 케이, 에이 케이 +1 , . . . , 앤,

그러면 이전 공식의 구조가 유지됩니다.

예를 들어,

산술 진행에서 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

에스 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = 에스 10 - 에스 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

산술 수열이 주어지면 양은 다음과 같습니다. ㅏ 1 , 앤, 디, N그리고에스 N 두 가지 공식으로 연결됩니다.

따라서 이들 수량 중 세 가지 값이 주어지면 나머지 두 수량의 해당 값은 두 개의 미지수가 있는 두 방정식의 시스템으로 결합된 이 공식에서 결정됩니다.

산술수열은 단조수열이다. 여기서:

만약에 디 > 0 , 그러면 증가하고 있습니다.
만약에 디 < 0 , 그러면 감소하고 있습니다.
만약에 디 = 0 이면 시퀀스는 고정됩니다.

기하학적 진행

기하학적 진행 두 번째부터 시작하는 각 멤버가 이전 멤버와 동일한 숫자를 곱한 시퀀스입니다.

비 1 , 비 2 , 비 3 , . . . , 비엔, . . .

임의의 자연수에 대한 기하수열이다 N 조건이 충족됩니다:

비엔 +1 = 비엔 · 큐,

어디 큐 ≠ 0 - 특정 숫자.

따라서 주어진 기하학적 수열의 후속 항과 이전 항의 비율은 상수입니다.

비 2 / 비 1 = 비 3 / 비 2 = . . . = 비엔 +1 / 비엔 = 큐.

숫자 큐 ~라고 불리는 기하학적 진행의 분모.

기하학적 수열을 정의하려면 첫 번째 항과 분모를 나타내는 것으로 충분합니다.

예를 들어,

만약에 비 1 = 1, 큐 = -3 , 그러면 다음과 같이 수열의 처음 5개 항을 찾습니다.

비 1 = 1,

비 2 = 비 1 · 큐 = 1 · (-3) = -3,

비 3 = 비 2 · 큐= -3 · (-3) = 9,

비 4 = 비 3 · 큐= 9 · (-3) = -27,

비 5 = 비 4 · 큐= -27 · (-3) = 81. ◄

비 1 분모 큐 그녀의 N 번째 항은 다음 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

비엔 = 비 1 · qn -1 .

예를 들어,

기하학적 수열의 일곱 번째 항을 찾아보세요 1, 2, 4, . . .

비 1 = 1, 큐 = 2,

비 7 = 비 1 · 큐 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = 비 1 · qn -2 ,

비엔 = 비 1 · qn -1 ,

비엔 +1 = 비 1 · qn,

그렇다면 분명히

비엔 2 = 비엔 -1 · 비엔 +1 ,

두 번째부터 시작하는 기하 수열의 각 구성원은 이전 및 후속 구성원의 기하 평균(비례)과 같습니다.

그 반대도 참이므로 다음 진술이 유지됩니다.

숫자 a, b 및 c는 그 중 하나의 제곱이 다른 두 숫자의 곱과 동일한 경우에만, 즉 숫자 중 하나가 다른 두 숫자의 기하 평균인 경우에만 일부 기하학적 수열의 연속 항입니다.

예를 들어,

공식에 의해 주어진 수열을 증명해보자 비엔= -3 2 N 는 기하학적 진행이다. 위의 구문을 사용해 보겠습니다. 우리는:

비엔= -3 2 N,

비엔 -1 = -3 2 N -1 ,

비엔 +1 = -3 2 N +1 .

따라서,

비엔 2 = (-3 2 N) 2 = (-3 2 N -1 ) · (-3 · 2 N +1 ) = 비엔 -1 · 비엔 +1 ,

이는 원하는 진술을 증명합니다. ◄

참고하세요 N 기하수열의 번째 항은 다음을 통해서만 찾을 수 있는 것이 아닙니다. 비 1 , 이전 회원도 마찬가지입니다. ㄴㅋ , 공식을 사용하면 충분합니다.

비엔 = ㄴㅋ · qn - 케이.

예를 들어,

을 위한 비 5 적어둘 수 있다

비 5 = 비 1 · 큐 4 ,

비 5 = 비 2 · q 3,

비 5 = 비 3 · q 2,

비 5 = 비 4 · 큐. ◄

비엔 = ㄴㅋ · qn - 케이,

비엔 = 비엔 - 케이 · qk,

그렇다면 분명히

비엔 2 = 비엔 - 케이· 비엔 + 케이

두 번째부터 시작하는 기하수열의 임의 항의 제곱은 그로부터 등거리에 있는 이 수열 항의 곱과 같습니다.

또한 모든 기하학적 수열의 경우 동등성이 적용됩니다.

비엠· 비엔= ㄴㅋ· b l,

중+ N= 케이+ 엘.

예를 들어,

기하학적 진행으로

1) 비 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = 비 5 · 비 7 ;

2) 1024 = 비 11 = 비 6 · 큐 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) 비 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = 비 4 · 비 8 ;

4) 비 2 · 비 7 = 비 4 · 비 5 , 왜냐하면

비 2 · 비 7 = 2 · 64 = 128,

비 4 · 비 5 = 8 · 16 = 128. ◄

Sn= 비 1 + 비 2 + 비 3 + . . . + 비엔

첫 번째 N 분모가 있는 기하학적 수열의 구성원 큐 ≠ 0 다음 공식으로 계산됩니다.

그리고 언제 큐 = 1 - 공식에 따르면

Sn= 주의 1

조건을 합산해야 하는 경우 참고하세요.

ㄴㅋ, ㄴㅋ +1 , . . . , 비엔,

그런 다음 공식이 사용됩니다.

Sn- SK -1 = ㄴㅋ + ㄴㅋ +1 + . . . + 비엔 = ㄴㅋ ·	1 - qn - 케이 +1	.
	1 - 큐

예를 들어,

기하학적 진행으로 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

에스 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = 에스 10 - 에스 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

기하수열이 주어지면 양은 비 1 , 비엔, 큐, N그리고 Sn 두 가지 공식으로 연결됩니다.

첫 번째 항이 있는 기하수열의 경우 비 1 분모 큐 다음과 같은 일이 일어난다 단조성의 성질 :

다음 조건 중 하나가 충족되면 진행이 증가합니다.

비 1 > 0 그리고 큐> 1;

비 1 < 0 그리고 0 < 큐< 1;

다음 조건 중 하나가 충족되면 진행이 감소합니다.

비 1 > 0 그리고 0 < 큐< 1;

비 1 < 0 그리고 큐> 1.

만약에 큐< 0 이면 기하수열이 번갈아 나타납니다. 즉, 홀수 항은 첫 번째 항과 동일한 부호를 가지며, 짝수 항은 반대 부호를 갖습니다. 교대 기하학적 수열은 단조롭지 않다는 것이 분명합니다.

첫 번째 제품 N 기하학적 진행의 항은 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

Pn= 비 1 · 비 2 · 비 3 · . . . · 비엔 = (비 1 · 비엔) N / 2 .

예를 들어,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

무한히 감소하는 기하학적 진행

무한히 감소하는 기하학적 진행 분모 계수가 더 작은 무한 기하학적 수열이라고 합니다. 1 , 그건

|큐| < 1 .

무한히 감소하는 기하학적 수열은 감소하는 수열이 아닐 수도 있습니다. 상황에 딱 맞아요

1 < 큐< 0 .

이러한 분모를 사용하면 시퀀스가 번갈아 나타납니다. 예를 들어,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

무한히 감소하는 기하학적 수열의 합 첫 번째 것의 합이 제한 없이 접근하는 숫자의 이름을 지정하십시오. N 숫자가 무제한으로 증가하는 진행 멤버 N . 이 숫자는 항상 유한하며 다음 공식으로 표현됩니다.

에스= 비 1 + 비 2 + 비 3 + . . . =	비 1	.
	1 - 큐

예를 들어,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

산술수열과 기하수열의 관계

산술 및 기하 수열은 밀접하게 관련되어 있습니다. 두 가지 예만 살펴보겠습니다.

ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3 , . . . 디 , 저것

ㄴ 1 , ㄴ 2 , ㄴ 3 , . . . ㄴ디 .

예를 들어,

1, 3, 5, . . . - 차이가 있는 산술 진행 2 그리고

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - 분모를 사용한 기하학적 진행 7 2 . ◄

비 1 , 비 2 , 비 3 , . . . - 분모를 사용한 기하학적 진행 큐 , 저것

ab1을 기록하다, ab2를 기록하다, ab3를 기록하다, . . . - 차이가 있는 산술 진행 로그큐 .

예를 들어,

2, 12, 72, . . . - 분모를 사용한 기하학적 진행 6 그리고

LG 2, LG 12, LG 72, . . . - 차이가 있는 산술 진행 LG 6 . ◄

이제 무한한 기하학적 수열을 합하는 문제를 고려해 보겠습니다. 주어진 무한 수열의 부분합을 첫 번째 항의 합이라고 부르자. 부분합을 기호로 나타내자

모든 무한 진행에 대해

부분합의 (또한 무한한) 시퀀스를 구성할 수 있습니다.

무제한으로 증가하는 시퀀스에 제한이 있도록 하세요.

이 경우, 수열의 부분합의 극한인 수 S를 무한수열의 합이라 한다. 우리는 무한 감소하는 기하 수열에는 항상 합이 있음을 증명하고 이 합에 대한 공식을 유도할 것입니다(무한 수열에 합이 없으면 존재하지 않는다는 것도 보여줄 수도 있습니다).

부분합에 대한 표현식을 공식 (91.1)을 사용하여 수열 항의 합으로 작성하고 다음에서 부분합의 극한을 고려해 보겠습니다.

정리 89로부터 감소하는 수열에 대해 다음이 알려져 있습니다. 따라서 차이 극한 정리를 적용하면 다음을 찾을 수 있습니다.

(여기서 규칙도 사용됩니다. 상수 요소는 극한 기호를 넘어서는 것입니다). 존재가 입증되고 동시에 무한히 감소하는 기하학적 수열의 합에 대한 공식이 얻어집니다.

평등(92.1)은 다음 형식으로 작성할 수도 있습니다.

여기서 무한한 수의 항의 합에 매우 명확한 유한 값이 할당된다는 것이 역설적으로 보일 수 있습니다.

이 상황을 설명하기 위해 명확한 예를 제시할 수 있습니다. 한 변이 1인 정사각형을 생각해 보세요(그림 72). 이 사각형을 수평선으로 나누어 두 개의 동일한 부분으로 나누고 위쪽 부분을 아래쪽 부분에 부착하여 직사각형이 변 2 및 으로 형성되도록 합니다. 그런 다음 이 직사각형의 오른쪽 절반을 다시 수평선으로 반으로 나누고 위쪽 부분을 아래쪽 부분에 연결합니다(그림 72 참조). 이 과정을 계속하면서 면적이 1인 원래 정사각형을 동일한 크기의 도형으로 계속해서 변환합니다(얇아지는 계단의 형태를 취함).

이 과정이 무한히 계속됨에 따라 정사각형의 전체 면적은 밑변이 1이고 높이가 동일한 직사각형의 무한한 수의 항으로 분해됩니다. 직사각형의 면적은 정확하게 무한 감소하는 진행을 형성하며 그 합은

즉, 예상대로 정사각형의 면적과 같습니다.

예. 다음 무한 진행의 합을 구합니다.

해결책, a) 우리는 이 진행을 알아차렸습니다. 따라서 공식(92.2)을 사용하여 다음을 찾습니다.

b) 여기서는 동일한 공식(92.2)을 사용하여 다음을 의미합니다.

c) 따라서 우리는 이 수열에 합이 없다는 것을 알게 됩니다.

단락 5에서는 주기 소수 분수를 일반 분수로 변환하기 위해 무한히 감소하는 수열의 항의 합에 대한 공식을 적용하는 것이 표시되었습니다.

수업 과정

1. 무한히 감소하는 기하수열의 합은 3/5이고 처음 네 항의 합은 13/27입니다. 진행의 첫 번째 항과 분모를 찾으세요.

2. 두 번째 항이 첫 번째 항보다 35만큼 작고 세 번째 항이 네 번째 항보다 560만큼 큰 교대 기하학적 수열을 형성하는 4개의 숫자를 찾습니다.

3. 순서가 다음과 같다는 것을 보여주세요.

무한히 감소하는 기하학적 수열을 형성한 다음 수열

어쨌든 그것은 무한히 감소하는 기하학적 진행을 형성합니다. 다음 경우에 이 말이 사실이 될까요?

기하수열 항의 곱에 대한 공식을 도출하세요.

수학이란 무엇인가인간은 자연과 자신을 통제합니다.

소련 수학자, 학자 A.N. 콜모고로프

기하학적 진행.

산술 수열 문제와 함께 기하 수열 개념과 관련된 문제도 수학 입시 시험에서 흔히 볼 수 있습니다. 이러한 문제를 성공적으로 해결하려면 기하학적 수열의 속성을 알아야 하고 이를 사용하는 데 능숙해야 합니다.

이 기사는 기하학적 진행의 기본 속성을 제시하는 데 전념합니다. 일반적인 문제를 해결하는 예도 여기에 제공됩니다., 수학 입학 시험 과제에서 빌린 것입니다.

먼저 기하학적 수열의 기본 속성을 살펴보고 가장 중요한 공식과 설명을 기억해 보겠습니다., 이 개념과 관련이 있습니다.

정의.두 번째부터 시작하는 각 숫자가 이전 숫자와 같고 동일한 숫자를 곱한 경우 숫자 시퀀스를 기하학적 수열이라고 합니다. 이 숫자를 기하학적 수열의 분모라고 합니다.

기하학적 진행을 위해수식이 유효하다

, (1)

어디 . 식 (1)은 기하수열의 일반항의 공식이라고 하며, 식 (2)는 기하수열의 주요 속성을 나타냅니다. 수열의 각 항은 이웃 항의 기하 평균과 일치합니다.

메모, 문제의 진행을 "기하학적"이라고 부르는 것은 바로 이러한 속성 때문입니다.

위의 식 (1)과 (2)는 다음과 같이 일반화됩니다.

, (3)

금액을 계산하려면첫 번째 기하학적 진행의 구성원공식이 적용됩니다

로 표시하면

어디 . 이므로 식(6)은 식(5)를 일반화한 것이다.

언제와 같은 경우에 기하학적 진행무한히 감소하고 있습니다. 금액을 계산하려면무한히 감소하는 기하학적 수열의 모든 항에 대해 다음 공식이 사용됩니다.

. (7)

예를 들어 , 공식 (7)을 사용하여 우리는 보여줄 수 있습니다, 무엇

어디 . 이러한 동등성은 ,(첫 번째 동등성) 및 ,(두 번째 동등성)이라는 조건 하에서 식(7)에서 얻습니다.

정리.그렇다면

증거. 그렇다면

정리가 입증되었습니다.

"기하학적 진행"이라는 주제에 대한 문제 해결의 예를 고려해 보겠습니다.

예시 1.주어진 값: , 및 . 찾다 .

해결책.식 (5)를 적용하면

답변: .

예시 2.순리에 맡기다. 찾다 .

해결책.이후 및 , 우리는 공식 (5), (6)을 사용하고 방정식 시스템을 얻습니다.

시스템 (9)의 두 번째 방정식을 첫 번째로 나누면, 그런 다음 또는 . 이것으로부터 다음과 같은 결과가 나온다. . 두 가지 경우를 고려해 보겠습니다.

1. 만일, 그런 다음 시스템의 첫 번째 방정식 (9)에서 우리는.

2. 그렇다면 .

예시 3., 그리고 . 찾다 .

해결책.공식 (2)로부터 다음과 같습니다. 또는 . 이후 , 그때 또는 .

조건에 따라 . 그러나 그러므로. 이후와 그러면 여기에 방정식 시스템이 있습니다

시스템의 두 번째 방정식을 첫 번째 방정식으로 나누면 또는 입니다.

이후 방정식에는 고유한 적합한 근이 있습니다. 이 경우 시스템의 첫 번째 방정식을 따릅니다.

공식 (7)을 고려하면, 우리는 얻습니다.

답변: .

예시 4.주어진 값: 그리고 . 찾다 .

해결책.그때부터.

이후 , 그때 또는

공식 (2)에 따르면 . 이와 관련하여 평등 (10)으로부터 우리는 또는 를 얻습니다.

그러나 조건에 따라.

실시예 5.. 찾다 .

해결책. 정리에 따르면 우리에게는 두 가지 평등이 있습니다

이후 , 그때 또는 . 왜냐면 .

답변: .

실시예 6.주어진 값: 그리고 . 찾다 .

해결책.공식 (5)를 고려하면,

그때부터. , 그리고 , 이후 .

실시예 7.순리에 맡기다. 찾다 .

해결책.공식 (1)에 따르면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

그러므로 우리는 또는 . 과 , 그러므로 과 .

답변: .

실시예 8.다음과 같은 경우 무한 감소 기하수열의 분모를 구합니다.

그리고 .

해결책. 식 (7)로부터 다음과 같다그리고 . 여기와 문제의 조건으로부터 우리는 방정식 시스템을 얻습니다.

시스템의 첫 번째 방정식을 제곱하면, 그런 다음 결과 방정식을 두 번째 방정식으로 나눕니다., 그러면 우리는 얻는다

또는 .

답변: .

실시예 9.수열 , 가 기하수열인 모든 값을 찾습니다.

해결책., 그리고 . 기하학적 수열의 주요 속성을 정의하는 공식 (2)에 따르면 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 또는 .

여기에서 우리는 이차방정식을 얻습니다., 누구의 뿌리인가그리고 .

확인해 보자: 만약, 다음 , 및 ; 만약 , 그렇다면 , 그리고 .

첫 번째 경우에는그리고 , 그리고 두 번째 – 그리고 .

답변: , .

실시예 10.방정식을 풀어보세요

, (11)

어디서 그리고 .

해결책. 방정식 (11)의 왼쪽은 무한하게 감소하는 기하 수열의 합이며, 와 는 다음과 같습니다.

식 (7)로부터 다음과 같다, 무엇 . 이와 관련하여 방정식 (11)은 다음과 같은 형식을 취합니다.또는 . 적합한 루트 이차 방정식은

답변: .

실시예 11.피 양수의 시퀀스산술급수를 형성한다, ㅏ – 기하학적 진행, 그것이 와 무슨 관련이 있습니까? 찾다 .

해결책.왜냐하면 산술 수열, 저것 (산술 진행의 주요 속성). 왜냐하면, 그런 다음 또는 . 이는 다음을 의미합니다. 기하학적 진행은 다음과 같은 형태를 갖는다는 것. 공식 (2)에 따르면, 그런 다음 그것을 적어둡니다.

이후 및 , 다음 . 이 경우 표현식은또는 형식을 취합니다. 조건에 따라, 그래서 Eq.우리는 고려 중인 문제에 대한 고유한 해결책을 얻습니다., 즉. .

답변: .

실시예 12.합계 계산

. (12)

해결책. 등식(12)의 양변에 5를 곱하고 다음을 얻습니다.

결과 표현식에서 (12)를 빼면, 저것

또는 .

계산을 위해 값을 공식 (7)에 대입하고 . 그때부터.

답변: .

여기에 제시된 문제 해결 사례는 지원자가 입학 시험을 준비할 때 유용할 것입니다. 문제 해결 방법에 대한 더 깊은 연구를 위해, 기하학적 진행과 관련된, 추천 문헌 목록에서 튜토리얼을 사용할 수 있습니다.

1. 대학 지원자를 위한 수학 문제 모음 / Ed. 미. 스카나비. – M.: Mir and Education, 2013. – 608 p.

2. 수프런 V.P. 고등학생을 위한 수학: 학교 커리큘럼의 추가 섹션. – M.: 레넌드 / URSS, 2014. – 216p.

3. Medynsky M.M. 문제와 연습 문제를 다루는 초등 수학의 전체 과정입니다. 책 2: 번호 순서 및 진행. – M.: 에디투스, 2015. – 208p.

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기하학적 진행산술에 비해 수학에서는 덜 중요하지 않습니다. 기하수열은 일련의 숫자 b1, b2,..., b[n]이며, 각 다음 항은 이전 항에 상수를 곱하여 얻습니다. 성장 속도 또는 진행 감소를 나타내는 이 숫자를 다음과 같이 부릅니다. 기하학적 진행의 분모그리고 표시하다

기하학적 수열을 완전히 지정하려면 분모 외에 첫 번째 항을 알거나 결정하는 것이 필요합니다. 분모의 양수 값의 경우 진행은 단조 수열이며, 이 수열이 단조 감소하는 경우와 단조 증가하는 경우입니다. 분모가 1과 같은 경우는 실제로 고려되지 않습니다. 왜냐하면 우리는 동일한 숫자의 시퀀스를 가지고 있고 그 합은 실질적인 관심이 없기 때문입니다.

기하학적 진행의 일반 용어공식으로 계산

기하수열의 처음 n 항의 합공식에 의해 결정됨

고전적인 기하학적 수열 문제에 대한 해결책을 살펴보겠습니다. 이해하기 가장 간단한 것부터 시작해 보겠습니다.

예 1. 기하수열의 첫 번째 항은 27이고 분모는 1/3입니다. 기하수열의 처음 6개 항을 구합니다.

해결책: 문제 상황을 형식으로 작성해 보겠습니다.

계산을 위해 기하수열의 n번째 항에 대한 공식을 사용합니다.

이를 바탕으로 우리는 진행의 알려지지 않은 용어를 찾습니다.