Пример игры по теории игр. Теория игр

  • Смешанная стратегия игроков . Найти смешанную стратегию игроков.
  • Моделирование игровой схемы в теории игр . Предприятие имеет возможность самостоятельно планировать объемы выпуска сезонной продукции П 1 , П 2 , П 3 .

    • Решение матричной игры с использованием графического метода

    Решение матричной игры с использованием методов линейного программирования

    1. Матричная игра. Использование симплексного метода . Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(a i) = 2, которая указывает на максимальную чистую стратегию A 1 .
    2. Пример решения матричной игры методом линейного программирования . Решить матричную игру методом линейного программирования.

    Дайте графическое представление, приведите к нормальной форме и найдите точное решение позиционной игры со следующей функцией выигрышей:
    1-й ход делает игрок А: он выбирает число x из множества двух чисел.
    2-й ход делает игрок В: не зная о выборе игрока А на 1-м ходе, он выбирает число y из множества двух чисел.
    3-й ход делает игрок А: он выбирает число z из множества двух чисел, зная значения y, выбранное игроком В на 2-м ходе, но не помня собственного выбора x на 1-м ходе.

    Игры с природой

    1. Статистические игры
      Сельскохозяйственное предприятие может реализовать некоторую продукцию:
      А1) сразу после уборки;
      А2) в зимние месяцы;
      А3) в весенние месяцы.
      Прибыль зависит от цены реализации в данный период времени, затратами на хранение и возможных потерь. Размер прибыли, рассчитанный для разных состояний-соотношений дохода и издержек (S1, S2 и S3), в течение всего периода реализации, представлен в виде матрицы (млн.руб.)
    2. Фирма производит платья и костюмы, реализация которых зависит от состояния погоды . Затраты фирмы в течение апреля-мая на единицу продукции составят...
    3. Решение задачи про запасы сырья . За некоторый период времени на предприятии потребление исходного сырья в зависимости от его качества составляет в 1 , в 2 , в 3 и в 4 .
    4. Стратегии крайнего пессимизма, крайнего оптимизма и оптимизма-пессимизма

    Биматричные игры

    Дерево решений в теории игр (пример решения задачи).

    см. также сборник решений по теории игр (решение матричных игр), типовые задачи по ЭММ (линейное программирование, теория игр).

    В городе работают три телекомпании: АВС, СВS и NВС . Эти компании могут начинать программу вечерних новостей в 6.30 или в 7.00. 60% телезрителей предпочитают смотреть вечерние новости в 6.30, а 40% — в 7.00. Наиболее популярна программа вечерних новостей у компании АВС , наименьшей популярностью пользуются новости, подготовленные компанией NВС . Доля телезрителей вечерних новостных программ представлена в таблице (NBС, СВS , АВС)

    АВС: 6.30

    N ВС

    СВ S

    АВС: 7.00

    NB С

    СВ S

    Найти оптимальные стратегии компаний по времени показа новостных программ

    Указание к решению: в игре существует доминируемая стратегия

    Возникшая в сороковых годах XX века математическая теория игр чаще всего применяется именно в экономике. Но как с помощью концепции игр смоделировать поведение людей в обществе? Зачем экономисты изучают, в какой угол чаще бьют пенальти футболисты, и как выиграть в «Камень, ножницы, бумагу» в своей лекции рассказал старший преподаватель кафедры микроэкономического анализа ВШЭ Данил Федоровых.

    Джон Нэш и блондинка в баре

    Игра - это любая ситуация, в которой прибыль агента зависит не только от его собственных действий, но и от поведения остальных участников. Если вы раскладываете дома пасьянс, с точки зрения экономиста и теории игр, это не игра. Она подразумевает обязательное наличие столкновения интересов.

    В фильме «Игры разума» о Джоне Нэше, нобелевском лауреате по экономике, есть сцена с блондинкой в баре. В ней показана идея, за которую ученый и получил премию, - это идея равновесия по Нэшу, которое он сам называл управляющей динамикой.

    Игра - любая ситуация, в которой выигрыши агентов зависят друг от друга.

    Стратегия - описание действий игрока во всех возможных ситуациях.

    Исход - комбинация выбранных стратегий.

    Итак, с точки зрения теории, игроками в этой ситуации являются только мужчины, то есть те, кто принимает решение. Их предпочтения просты: блондинка лучше брюнетки, а брюнетка лучше, чем ничего. Действовать можно двумя способами: пойти к блондинке или к «своей» брюнетке. Игра состоит из единственного хода, решения принимаются одновременно (то есть нельзя посмотреть, куда пошли остальные, и после походить самому). Если какая-то девушка отвергает мужчину, игра заканчивается: невозможно вернуться к ней или выбрать другую.

    Каков вероятный финал этой игровой ситуации? То есть какова ее устойчивая конфигурация, из которой все поймут, что сделали лучший выбор? Во-первых, как правильно замечает Нэш, если все пойдут к блондинке, ничем хорошим это не кончится. Поэтому дальше ученый предполагает, что всем нужно пойти к брюнеткам. Но тогда, если известно, что все пойдут к брюнеткам, ему следует идти к блондинке, ведь она лучше.

    В этом и заключается настоящее равновесие - исход, в котором один идет к блондинке, а остальные - к брюнеткам. Может показаться, что это несправедливо. Но в ситуации равновесия никто не может пожалеть о своем выборе: те, кто пойдут к брюнеткам, понимают, что от блондинки они все равно ничего б не получили. Таким образом, равновесие по Нэшу - это конфигурация, при которой никто по отдельности не хочет менять выбранную всеми стратегию. То есть, рефлексируя в конце игры, каждый участник понимает, что даже зная, как походят другие, он сделал бы то же самое. По-другому можно назвать это исходом, где каждый участник оптимальным образом отвечает на действия остальных.

    «Камень, ножницы, бумага»

    Рассмотрим другие игры на предмет равновесия. Например, в «Камне, ножницах, бумаге» нет равновесия по Нэшу: во всех ее вероятных исходах нет варианта, в котором оба участника были бы довольны своим выбором. Тем не менее, существует Чемпионат мира и World Rock Paper Scissors Society, собирающее игровую статистику. Очевидно, что вы можете повысить свои шансы на победу, если будете что-то знать об обычном поведении людей в этой игре.

    Чистая стратегия в игре - это такая стратегия, при которой человек всегда играет одинаково, выбирая одни и те же ходы.

    По данным World RPS Society, камень является самым часто выбираемым ходом (37,8%). Бумагу ставят 32,6%, ножницы - 29,6%. Теперь вы знаете, что нужно выбирать бумагу. Однако, если вы играете с тем, кто тоже это знает, вам уже не надо выбирать бумагу, потому что от вас ожидается то же самое. Есть знаменитый случай: в 2005 году два аукционных дома Sotheby“s и Christie”s решали, кому достанется очень крупный лот - коллекция Пикассо и Ван Гога со стартовой ценой в 20 миллионов долларов. Собственник предложил им сыграть в «Камень, ножницы, бумагу», и представители домов отправили ему свои варианты по электронной почте. Sotheby“s, как они позже рассказали, особо не задумываясь, выбрали бумагу. Выиграл Christie”s. Принимая решение, они обратились к эксперту - 11-летней дочери одного из топ-менеджеров. Она сказала: «Камень кажется самым сильным, поэтому большинство людей его выбирают. Но если мы играем не с совсем глупым новичком, он камень не выбросит, будет ожидать, что это сделаем мы, и сам выбросит бумагу. Но мы будем думать на ход вперед, и выбросим ножницы».

    Таким образом, вы можете думать на ход вперед, но это не обязательно приведет вас к победе, ведь вы можете не знать о компетенции вашего соперника. Поэтому иногда вместо чистых стратегий правильнее выбирать смешанные, то есть принимать решения случайно. Так, в «Камне, ножницах, бумаге» равновесие, которое мы до этого не нашли, находится как раз в смешанных стратегиях: выбирать каждый из трех вариантов хода с вероятностью в одну третью. Если вы будете выбирать камень чаще, соперник скорректирует свой выбор. Зная это, вы скорректируете свой, и равновесия не выйдет. Но никто из вас не начнет менять поведение, если каждый просто будет выбирать камень, ножницы или бумагу с одинаковой вероятностью. Все потому что в смешанных стратегиях по предыдущим действиям невозможно предугадать ваш следующий ход.

    Смешанные стратегии и спорт

    Более серьезных примеров смешанных стратегий очень много. Например, куда подавать в теннисе или бить/принимать пенальти в футболе. Если вы ничего не знаете о вашем сопернике или просто постоянно играете против разных, лучшей стратегией будет поступать более-менее случайно. Профессор Лондонской школы экономики Игнасио Паласиос-Уэрта в 2003 году опубликовал в American Economic Review работу, суть которой заключалась в поиске равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях. Предметом исследования Паласиос-Уэрта выбрал футбол и в связи с этим просмотрел более 1400 ударов пенальти. Разумеется, в спорте все устроено хитрее, чем в «Камне, ножницах, бумаге»: там учитывается сильная нога спортсмена, попадания в разные углы при ударе со всей силы и тому подобное. Равновесие по Нэшу здесь заключается в расчете вариантов, то есть, к примеру, определении углов ворот, в которые надо бить, чтобы выиграть с большей вероятностью, зная свои слабые и сильные стороны. Статистика по каждому футболисту и найденное в ней равновесие в смешанных стратегиях, показало, что футболисты поступают примерно так, как предсказывают экономисты. Вряд ли стоит утверждать, что люди, которые бьют пенальти, читали учебники по теории игр и занимались довольно непростой математикой. Скорее всего, есть разные способы научиться оптимально себя вести: можно быть гениальным футболистом, и чувствовать, что делать, а можно - экономистом, и искать равновесие в смешанных стратегиях.

    В 2008 году профессор Игнасио Паласиос-Уэрта познакомился с Авраамом Грантом, тренером «Челси», который играл тогда в финале Лиги чемпионов в Москве. Ученый написал записку тренеру с рекомендациями по серии пенальти, которые касались поведения вратаря соперника - Эдвина ван дер Сара из «Манчестер Юнайтед». Например, по статистике, он почти всегда отбивал удары на среднем уровне и чаще бросался в естественную для пробивающего пенальти сторону. Как мы определили выше, правильнее все-таки рандомизировать свое поведение с учетом знаний о сопернике. Когда счет по пенальти был уже 6:5, Николя Анелька, нападающий «Челси», должен был забивать. Показывая перед ударом в правый угол, ван дер Сар будто спросил у Анелька, не собирается ли он бить туда.

    Суть в том, что все предыдущие удары «Челси» были нанесены именно в правый от пробивающего угол. Мы не знаем точно почему, может быть, из-за консультации экономиста бить в неестественную для них сторону, ведь по статистике к этому менее готов ван дер Сар. Большинство футболистов «Челси» были правшами: ударяя в неестественный для себя правый угол, все они, кроме Терри, забивали. Видимо, стратегия была в том, чтобы Анелька пробил туда же. Но ван дер Сар, похоже, это понял. Он поступил гениально: показал в левый угол дескать «туда собрался бить?», от чего Анелька, наверное, пришел в ужас, ведь его разгадали. В последний момент он принял решение действовать по-другому, ударил в естественную для себя сторону, что и было нужно ван дер Сару, который взял этот удар и обеспечил «Манчестеру» победу. Эта ситуация учит случайному выбору, ведь в ином случае ваше решение может быть просчитано, и вы проиграете.

    «Дилемма заключенного»

    Наверное, самая известная игра, с которой начинаются университетские курсы о теории игр, - это «Дилемма заключенного». По легенде двух подозреваемых в серьезном преступлении поймали и заперли в разные камеры. Есть доказательство, что они хранили оружие, и это позволяет посадить их на какой-то небольшой срок. Однако доказательств, что они совершили это страшное преступление, нет. Каждому по отдельности следователь рассказывает об условиях игры. Если оба преступника сознаются, оба же сядут на три года. Если сознается один, а подельник будет молчать, сознавшийся выйдет сразу, а второго посадят на пять лет. Если, наоборот, первый не сознается, а второй его сдаст, первый сядет на пять лет, а второй выйдет сразу. Если же не сознается никто, оба сядут на год за хранение оружия.

    Равновесие по Нэшу здесь заключается в первой комбинации, когда оба подозреваемых не молчат и оба садятся на три года. Рассуждения каждого таковы: «если я буду говорить, я сяду на три года, если молчать - на пять лет. Если второй будет молчать, мне тоже лучше говорить: не сесть лучше, чем сесть на год». Это доминирующая стратегия: говорить выгодно, независимо от того, что делает другой. Однако в ней есть проблема - наличие варианта получше, ведь сесть на три года хуже, чем сесть на год (если рассматривать историю только с точки зрения участников и не учитывать вопросы морали). Но сесть на год невозможно, ведь, как мы поняли выше, молчать обоим преступникам невыгодно.

    Улучшение по Парето

    Есть известная метафора про невидимую руку рынка, принадлежащая Адаму Смиту. Он говорил, что если мясник будет сам для себя стараться заработать деньги, от этого будет лучше всем: он сделает вкусное мясо, которое купит булочник на деньги от продажи булок, которые он, в свою очередь, тоже должен будет делать вкусными, чтобы они продавались. Но оказывается, эта невидимая рука не всегда работает, и таких ситуаций, когда каждый действует за себя, а всем плохо, очень много.

    Поэтому иногда экономисты и специалисты по теории игр думают не об оптимальном поведении каждого игрока, то есть не о равновесии по Нэшу, а об исходе, при котором будет лучше всему обществу (в «Дилемме» общество состоит из двух преступников). С этой точки зрения, исход эффективен, когда в нем нет улучшения по Парето, то есть невозможно сделать кому-то лучше, не сделав при этом хуже другим. Если люди просто меняются товарами и услугами, это Парето-улучшение: они делают это добровольно, и вряд ли кому-то от этого плохо. Но иногда, если просто дать людям взаимодействовать и даже не вмешиваться, то, к чему они придут, не будет оптимальным по Парето. Это и происходит в «Дилемме заключенного». В ней, если мы даем каждому действовать так, как им выгодно, оказывается, что всем от этого плохо. Всем было бы лучше, если бы каждый действовал не оптимально для себя, то есть молчал.

    Трагедия общины

    «Дилемма заключенного» - это игрушечная стилизованная история. Вряд ли вы ожидаете оказаться в подобной ситуации, но похожие эффекты есть везде вокруг нас. Рассмотрим «Дилемму» с большим количеством игроков, ее иногда называют трагедией общины. Например, на дорогах - пробки, и я решаю, как ехать на работу: на машине или на автобусе. Это же делают остальные. Если я поеду на машине, и все решат сделать то же самое, будет пробка, но мы доедем с комфортом. Если я поеду на автобусе, пробка-то все равно будет, но ехать я буду некомфортно и не особо быстрее, поэтому такой исход еще хуже. Если же в среднем все ездят на автобусе, то я, сделав то же самое, довольно быстро доеду без пробки. Но если при таких условиях поехать на машине, я тоже доеду быстро, но еще и с комфортом. Итак, наличие пробки не зависит от моих действий. Равновесие по Нэшу здесь - в ситуации, когда все выбирают ехать на машине. Что бы не делали остальные, мне лучше выбрать машину, потому что будет там пробка или нет, неизвестно, но я в любом случае доеду с комфортом. Это доминирующая стратегия, поэтому в итоге все едут на машине, и мы имеем то, что имеем. Задача государства - сделать поездку на автобусе лучшим вариантом хотя бы для некоторых, поэтому появляются платные въезды в центр, парковки и так далее.

    Другая классическая история - рациональное незнание избирателя. Представьте, что вы не знаете исход выборов заранее. Вы можете изучить программу всех кандидатов, послушать дебаты и после проголосовать за самого лучшего. Вторая стратегия - прийти на участок и проголосовать как попало или за того, кого чаще показывали по телевизору. Какое поведение оптимально, если от моего голоса никогда не зависит, кто выиграет (а в 140-миллионной стране один голос никогда ничего не решит)? Конечно, я хочу, чтобы в стране был хороший президент, но я же знаю, что никто больше не будет изучать программы кандидатов внимательно. Поэтому не тратить на это время - доминирующая стратегия поведения.

    Когда вас призывают прийти на субботник, ни от кого в отдельности не будет зависеть, станет двор чистым или нет: если я выйду один, я не смогу убрать все, или, если выйдут все, то не выйду я, потому что все и без меня уберут. Другой пример - перевозка грузов в Китае, о котором я узнал в замечательной книге Стивена Ландсбурга «Экономист на диване». 100-150 лет назад в Китае был распространен способ перевозки грузов: все складывалось в большой кузов, который тащили семь человек. Заказчики платили, если груз доставлялся вовремя. Представьте, что вы - один из этих шести. Вы можете прилагать усилия, и тянуть изо всех сил, и если все будут так делать, груз доедет вовремя. Если кто-нибудь один так делать не будет, все тоже доедут вовремя. Каждый думает: «Если все остальные тянут как следует, зачем это делать мне, а если все остальные тянут не со всей силы, то я ничего не смогу изменить». В итоге, со временем доставки все было очень плохо, и сами грузчики нашли выход: они стали нанимать седьмого и платить ему деньги за то, чтобы он стегал лентяев плетью. Само наличие такого человека заставляло всех работать изо всех сил, потому что иначе все попадали в плохое равновесие, из которого никому в отдельности с выгодой не выйти.

    Такой же пример можно наблюдать в природе. Дерево, растущее в саду, отличается от того, что растет в лесу, своей кроной. В первом случае она окружает весь ствол, во втором - находится только вверху. В лесу это является равновесием по Нэшу. Если бы все деревья договорились и выросли одинаково, они бы поровну распределили количество фотонов, и всем было бы лучше. Но никому в отдельности так делать невыгодно. Поэтому каждое дерево хочет вырасти немного выше окружающих.

    Сommitment device

    Во многих ситуациях одному из участников игры может понадобиться инструмент, который убедит остальных, что тот не блефует. Он называется commitment device. Например, закон некоторых стран запрещает платить выкуп похитителям людей, чтобы снизить мотивацию преступников. Однако это законодательство часто не работает. Если вашего родственника захватили, и у вас есть возможность спасти его, обойдя закон, вы это сделаете. Представим ситуацию, что закон можно обойти, но родственники оказались бедными и выкуп им платить нечем. У преступника в этой ситуации два пути: отпустить или убить жертву. Убивать он не любит, но тюрьму он не любит больше. Отпущенный пострадавший, в свою очередь, может либо дать показания, чтобы похититель был наказан, либо молчать. Самый лучший исход для преступника: отпустить жертву, которая его не сдаст. Жертва же хочет быть отпущенной и дать показания.

    Равновесие здесь в том, что террорист не хочет быть пойманным, а значит, жертва погибает. Но это не равновесие по Парето, потому что существует вариант, при котором всем лучше - жертва на свободе хранит молчание. Но для этого надо сделать так, чтобы молчать ей было выгодно. Где-то я прочитал вариант, когда она может попросить террориста устроить эротическую фотосессию. Если преступника посадят, его подельники выложат фотографии в интернет. Теперь, если похититель останется на свободе - это плохо, но фотографии в открытом доступе - еще хуже, поэтому получается равновесие. Для жертвы это способ остаться в живых.

    Другие примеры игр:

    Модель Бертрана

    Раз уж мы говорим об экономике, рассмотрим экономический пример. В модели Бертрана два магазина продают один и тот же товар, покупая его у производителя по одной цене. Если цены в магазинах одинаковы, то примерно одинакова и их прибыль, ведь тогда покупатели выбирают магазин случайно. Единственное равновесие по Нэшу здесь - продавать товар по себестоимости. Но магазины хотят зарабатывать. Поэтому если один поставит цену 10 рублей, второй снизит ее на копейку, увеличив тем самым свою выручку вдвое, так как к нему уйдут все покупатели. Поэтому участникам рынка выгодно снижать цены, распределяя тем самым прибыль между собой.

    Разъезд на узкой дороге

    Рассмотрим примеры выбора между двумя возможными равновесиями. Представьте, что Петя и Маша едут навстречу друг другу по узкой дороге. Дорога настолько узкая, что им обоим нужно съехать на обочину. Если они решат повернуть налево или направо от себя, они просто разъедутся. Если же один повернет направо, а другой налево от себя, или наоборот, случится авария. Как выбрать, куда съехать? Чтобы помогать искать равновесие в подобных играх, существуют, например, правила дорожного движения. В России каждому нужно повернуть направо.

    В забаве Chiken, когда два человека едут на большой скорости навстречу друг другу, тоже есть два равновесия. Если оба сворачивают на обочину, возникает ситуация, которая называется Chiken out, если оба не сворачивают, то погибают в страшной аварии. Если я знаю, что мой соперник едет прямо, мне выгодно съехать, чтобы выжить. Если я знаю, что мой соперник съедет, то мне выгодно ехать прямо, чтобы после получить 100 долларов. Сложно предсказать, что случится на самом деле, однако, у каждого из игроков есть свой метод выиграть. Представьте, что я закрепил руль так, что его нельзя повернуть, и показал это своему сопернику. Зная, что у меня нет выбора, соперник отскочит.

    QWERTY-эффект

    Иногда бывает очень сложно перейти из одного равновесия в другое, даже если оно означает пользу для всех. Раскладка QWERTY была создана, чтобы замедлить скорость печати. Поскольку если бы все печатали слишком быстро, головки печатной машинки, которые бьют по бумаге, цеплялись бы друг за друга. Поэтому Кристофер Шоулз разместил часто стоящие рядом буквы на максимально далеком расстоянии. Если вы зайдете в настройки клавиатуры на своем компьютере, вы сможете выбрать там раскладку Dvorak и печатать гораздо быстрее, так как сейчас нет проблемы аналоговых печатных машин. Дворак рассчитывал, что мир перейдет на его клавиатуру, но мы по-прежнему живем с QWERTY. Конечно, если бы мы перешли на раскладку Дворака, будущее поколение было бы нам благодарно. Все мы приложили бы усилия и переучились, в результате вышло бы равновесие, в котором все печатают быстро. Сейчас мы тоже в равновесии - в плохом. Но никому не выгодно быть единственным, кто переучится, потому что за любым компьютером, кроме личного, работать будет неудобно.

    Заметьте! Решение вашей конкретной задачи будет выглядеть аналогично данному примеру, включая все таблицы, поясняющие тексты и рисунки, представленные ниже, но с учетом ваших исходных данных…

    Задача:
    Матричная игра задана следующей платежной матрицей:

    Стратегии "B"
    Стратегии "A" B 1 B 2
    A 1 3 5
    A 2 6
    3
    2

    Найти решение матричной игры, а именно:
    - найти верхнюю цену игры;
    - нижнюю цену игры;
    - чистую цену игры;
    - указать оптимальные стратегии игроков;
    - привести графическое решение (геометрическую интерпретацию), при необходимости.

    Шаг:1

    Определим нижнюю цену игры - α

    Нижняя цена игры α - это максимальный выигрыш, который мы можем гарантировать себе, в игре против разумного противника, если на протяжении всей игры будем использовать одну и только одну стратегию (такая стратегия называется "чистой").

    Найдем в каждой строке платежной матрицы минимальный элемент и запишем его в дополнительный столбец (Выделен желтым цветом см. Табл.1).

    Затем найдем максимальный элемент дополнительного столбца (отмечен звездочкой), это и будет нижняя цена игры.

    Таблица 1

    Стратегии "B"
    Стратегии "A" B 1 B 2 Минимумы строк
    A 1 3 5 3 *
    A 2 6
    3
    2
    3
    2

    В нашем случае нижняя цена игры равна: α = 3 , и для того чтобы гарантировать себе выигрыш не хуже чем 3 мы должны придерживаться стратегии A 1

    Шаг:2

    Определим верхнюю цену игры - β

    Верхняя цена игры β - это минимальный проигрыш, который может гарантировать себе игрок "В", в игре против разумного противника, если на протяжении всей игры он будет использовать одну и только одну стратегию.

    Найдем в каждом столбце платежной матрицы максимальный элемент и запишем его в дополнительную строку снизу (Выделена желтым цветом см. Табл.2).

    Затем найдем минимальный элемент дополнительной строки (отмечен плюсом), это и будет верхняя цена игры.

    Таблица 2

    Стратегии "B"
    Стратегии "A" B 1 B 2 Минимумы строк
    A 1 3 5 3 *
    A 2 6
    3
    2

    В нашем случае верхняя цена игры равна: β = 5 , и для того чтобы гарантировать себе проигрыш не хуже чем 5 противник (игрок "B") должен придерживаться стратегии B 2

    Шаг:3
    Сравним нижнюю и верхнюю цены игры, в данной задаче они различаются, т.е. α ≠ β , платежная матрица не содержит седловой точки. Это значит, что игра не имеет решения в чистых минимаксных стратегиях, но она всегда имеет решение в смешанных стратегиях.

    Смешанная стратегия , это чередуемые случайным образом чистые стратегии, с определенными вероятностями (частотами).

    Смешанную стратегию игрока "А" будем обозначать

    S A =

    где B 1 , B 2 - стратегии игрока "B", а q 1 , q 2 - соответственно вероятности, с которыми эти стратегии применяются, причем q 1 + q 2 = 1.

    Оптимальная смешанная стратегия для игрока "А" та, которая обеспечивает ему максимальный выигрыш. Соответственно для "B" - минимальный проигрыш. Обозначаются эти стратегии S A * и S B * соответственно. Пара оптимальных стратегий образует решение игры.

    В общем случае в оптимальную стратегию игрока могут входить не все исходные стратегии, а только некоторые из них. Такие стратегии называются активными стратегиями .

    Шаг:4


    где: p 1 , p 2 - вероятности (частоты) с которыми применяются соответственно стратегии A 1 и A 2

    Из теории игр известно, что если игрок "А" использует свою оптимальную стратегию, а игрок "B" остается в рамках своих активных стратегий, то средний выигрыш остается неизменным и равным цене игры v независимо от того как игрок "В" использует свои активные стратегии. А в нашем случае обе стратегии активные, иначе игра бы имела решение в чистых стратегиях. Поэтому если предположить, что игрок "В" будет пользоваться чистой стратегией B 1 , то средний выигрыш v составит:

    k 11 p 1 + k 21 p 2 = v (1)

    где: k ij - элементы платежной матрицы.

    C другой стороны, если предположить, что игрок "В" будет пользоваться чистой стратегией B 2 , то средний выигрыш составит:

    k 12 p 1 + k 22 p 2 = v (2)

    Приравняв левые части уравнений (1) и (2) получим:

    k 11 p 1 + k 21 p 2 = k 12 p 1 + k 22 p 2

    А с учетом того, что p 1 + p 2 = 1 имеем:

    k 11 p 1 + k 21 (1 - p 1 ) = k 12 p 1 + k 22 (1 - p 1 )


    Откуда несложно найти оптимальную частоту стратегии A 1 :
    p 1 =
    k 22 - k 21
    k 11 + k 22 - k 12 - k 21
    		(3)

    В данной задаче:

    p 1 =
    3
    2
    		- 6
    3 +
    3
    2
    		- 5 - 6
    		=
    9
    13

    Вероятность р 2 найдем вычитанием р 1 из единицы:
    p 2 = 1 - p 1 = 1 -
    9
    13
    		= + 6 ·

    где: q 1 , q 2 - вероятности (частоты) с которыми применяются соответственно стратегии B 1 и B 2

    Из теории игр известно, что если игрок "B" использует свою оптимальную стратегию, а игрок "A" остается в рамках своих активных стратегий, то средний выигрыш остается неизменным и равным цене игры v независимо от того как игрок "А" использует свои активные стратегии. Поэтому если предположить, что игрок "A" будет пользоваться чистой стратегией A 1 , то средний выигрыш v составит:

    k 11 q 1 + k 12 q 2 = v (4)


    Поскольку цена игры v нам уже известна и учитывая, что q 1 + q 2 = 1 , то оптимальная частота стратегии B 1 может быть найдена как:
    q 1 =
    v - k 12
    k 11 - k 12
    		(5)

    В данной задаче:

    q 1 =
    51
    13
    		- 5
    3 - 5
    		=
    7
    13

    Вероятность q 2 найдем вычитанием q 1 из единицы:
    q 2 = 1 - q 1 = 1 -
    7
    13
    		=
    6
    13

    Ответ:

    Нижняя цена игры: α = 3
    Верхняя цена игры: β = 5
    Цена игры: v =
    51
    13
    Оптимальная стратегия игрока "А" :
    S A * =
    A 1 A 2
    9
    13
    4
    13

    Оптимальная стратегия игрока "B" :
    S B * =
    B 1 B 2
    7
    13
    6
    13

    Геометрическая интерпретация (графическое решение):

    Дадим геометрическую интерпретацию рассмотренной игре. Возьмем участок оси абсцисс единичной длины и проведем через его концы вертикальные прямые a 1 и a 2 соответствующие нашим стратегиям A 1 и A 2 . Предположим теперь, что игрок "B" будет пользоваться стратегией B 1 в чистом виде. Тогда, если мы (игрок "A") будем использовать чистую стратегию A 1 , то наш выигрыш составит 3.Отметим соответствующую ему точку на оси a 1 .
    Если же мы будем использовать чистую стратегию A 2 , то наш выигрыш составит 6. Отметим соответствующую ему точку на оси a 2
    (см. Рис. 1). Очевидно, если мы будем применять, смешивая в различных пропорциях стратегии A 1 и A 2 , наш выигрыш будет меняться по прямой проходящей через точки с координатами (0 , 3) и (1 , 6), назовем ее линией стратегии B 1 (на Рис.1 показана красным цветом). Абсцисса любой точки на данной прямой равна вероятности p 2 (частоте), с которой мы применяем стратегию A 2 , а ордината - получаемому при этом выигрышу k (см. Рис.1).

    Рисунок 1.
    График зависимости выигрыша k от частоты р 2 , при использовании противником стратегии B 1 .

    Предположим теперь, что игрок "B" будет пользоваться стратегией B 2 в чистом виде. Тогда, если мы (игрок "A") будем использовать чистую стратегию A 1 , то наш выигрыш составит 5.Если же мы будем использовать чистую стратегию A 2 , то наш выигрыш составит 3/2 (см. Рис. 2). Аналогично, если мы будем смешивать в различных пропорциях стратегии A 1 и A 2 , наш выигрыш будет меняться по прямой проходящей через точки с координатами (0 , 5) и (1 , 3/2), назовем ее линией стратегии B 2 . Как и в предыдущем случае, абсцисса любой точки на этой прямой равна вероятности, с которой мы применяем стратегию A 2 , а ордината - получаемому при этом выигрышу, но только для стратегии B 2 (см. Рис. 2).

    Рисунок 2.
    v и оптимальной частоты р 2 для игрока "А" .

    В реальной игре, когда разумный игрок "В" пользуется всеми своими стратегиями, наш выигрыш будет изменяться по ломаной линии, показанной на Рис.2 красным цветом. Эта линия определяет так называемую нижнюю границу выигрыша . Очевидно, что самая высокая точка этой ломанной соответствует нашей оптимальной стратегии. В данном случае, это точка пересечения линий стратегий B 1 и B 2 . Обратите внимание, что если выбрать частоту p 2 равной ее абсциссе, то наш выигрыш будет оставаться неизменным и равным v при любой стратегии игрока "B", кроме того он будет максимальным который мы можем себе гарантировать. Частота (вероятность) p 2 , в этом случае, есть соответствующая частота нашей оптимальной смешанной стратегии. Кстати из рисунка 2 видна и частота p 1 , нашей оптимальной смешанной стратегии, это длина отрезка [p 2 ; 1] на оси абсцисс. (Это потому, что p 1 + p 2 = 1 )

    Совершенно аналогично рассуждая, можно найти и частоты оптимальной стратегии для игрока "В", что иллюстрируется на рисунке 3.

    Рисунок 3.
    Графическое определение цены игры v и оптимальной частоты q 2 для игрока "В" .

    Только для него следует построить так называемую верхнюю границу проигрыша (красная ломаная линия) и искать на ней самую низкую точку, т.к. для игрока "В" цель, это минимизация проигрыша. Аналогично значение частоты q 1 , это длина отрезка [q 2 ; 1] на оси абсцисс.

    Называется игра двух лиц с нулевой суммой, в которой в распоряжении каждого из них имеется конечное множество стратегий. Правила матричной игры определяет платёжная матрица, элементы которой - выигрыши первого игрока, которые являются также проигрышами второго игрока.

    Матричная игра является антагонистической игрой. Первый игрок получает максимальный гарантированный (не зависящий от поведения второго игрока) выигрыш, равный цене игры, аналогично, второй игрок добивается минимального гарантированного проигрыша.

    Под стратегией понимается совокупность правил (принципов), определяющих выбор варианта действий при каждом личном ходе игрока в зависимости от сложившейся ситуации.

    Теперь обо всём по порядку и подробно.

    Платёжная матрица, чистые стратегии, цена игры

    В матричной игре её правила определяет платёжная матрица .

    Рассмотрим игру, в которой имеются два участника: первый игрок и второй игрок. Пусть в распоряжении первого игрока имеется m чистых стратегий, а в распоряжении второго игрока - n чистых стратегий. Поскольку рассматривается игра, естественно, что в этой игре есть выигрыши и есть проигрыши.

    В платёжной матрице элементами являются числа, выражающие выигрыши и проигрыши игроков. Выигрыши и проигрыши могут выражаться в пунктах, количестве денег или в других единицах.

    Составим платёжную матрицу:

    Если первый игрок выбирает i -ю чистую стратегию, а второй игрок - j -ю чистую стратегию, то выигрыш первого игрока составит a ij единиц, а проигрыш второго игрока - также a ij единиц.

    Так как a ij + (- a ij ) = 0 , то описанная игра является матричной игрой с нулевой суммой.

    Простейшим примером матричной игры может служить бросание монеты. Правила игры следующие. Первый и второй игроки бросают монету и в результате выпадает "орёл" или "решка". Если одновременно выпали "орёл" и "орёл" или "решка" или "решка", то первый игрок выиграет одну единицу, а в других случаях он же проиграет одну единицу (второй игрок выиграет одну единицу). Такие же две стратегии и в распоряжении второго игрока. Соответствующая платёжная матрица будет следующей:

    Задача теории игр - определить выбор стратегии первого игрока, которая гарантировала бы ему максимальный средний выигрыш, а также выбор стратегии второго игрока, которая гарантировала бы ему максимальный средний проигрыш.

    Как происходит выбор стратегии в матричной игре?

    Вновь посмотрим на платёжную матрицу:

    Сначала определим величину выигрыша первого игрока, если он использует i -ю чистую стратегию. Если первый игрок использует i -ю чистую стратегию, то логично предположить, что второй игрок будет использовать такую чистую стратегию, благодаря которой выигрыш первого игрока был бы минимальным. В свою очередь первый игрок будет использовать такую чистую стратегию, которая бы обеспечила ему максимальный выигрыш. Исходя из этих условий выигрыш первого игрока, который обозначим как v 1 , называется максиминным выигрышем или нижней ценой игры .

    При для этих величин у первого игрока следует поступать следующим образом. Из каждой строки выписать значение минимального элемента и уже из них выбрать максимальный. Таким образом, выигрыш первого игрока будет максимальным из минимальных. Отсюда и название - максиминный выигрыш. Номер строки этого элемента и будет номером чистой стратегии, которую выбирает первый игрок.

    Теперь определим величину проигрыша второго игрока, если он использует j -ю стратегию. В этом случае первый игрок использует такую свою чистую стратегию, при которой проигрыш второго игрока был бы максимальным. Второй игрок должен выбрать такую чистую стратегию, при которой его проигрыш был бы минимальным. Проигрыш второго игрока, который обозначим как v 2 , называется минимаксным проигрышем или верхней ценой игры .

    При решении задач на цену игры и определение стратегии для определения этих величин у второго игрока следует поступать следующим образом. Из каждого столбца выписать значение максимального элемента и уже из них выбрать минимальный. Таким образом, проигрыш второго игрока будет минимальным из максимальных. Отсюда и название - минимаксный выигрыш. Номер столбца этого элемента и будет номером чистой стратегии, которую выбирает второй игрок. Если второй игрок использует "минимакс", то независимо от выбора стратегии первым игроком, он проиграет не более v 2 единиц.

    Пример 1.

    .

    Наибольший из наименьших элементов строк - 2, это нижняя цена игры, ей соответствует первая строка, следовательно, максиминная стратегия первого игрока первая. Наименьший из наибольших элементов столбцов - 5, это верхняя цена игры, ей соответствует второй столбец, следовательно, минимаксная стратегия второго игрока - вторая.

    Теперь, когда мы научились находить нижнюю и верхнюю цену игры, максиминную и минимаксную стратегии, пришло время научиться обозначать эти понятия формально.

    Итак, гарантированный выигрыш первого игрока:

    Первый игрок должен выбрать чистую стратегию, которая обеспечивала бы ему максимальный из минимальных выигрышей. Этот выигрыш (максимин) обозначается так:

    .

    Первый игрок использует такую свою чистую стратегию, чтобы проигрыш второго игрока был максимальным. Этот проигрыш обозначается так:

    Второй игрок должен выбрать свою чистую стратегию так, чтобы его проигрыш был минимальным. Этот проигрыш (минимакс) обозначается так:

    .

    Ещё пример из этой же серии.

    Пример 2. Дана матричная игра с платёжной матрицей

    .

    Определить максиминную стратегию первого игрока, минимаксную стратегию второго игрока, нижнюю и верхнюю цену игры.

    Решение. Справа от платёжной матрицы выпишем наименьшие элементы в её строках и отметим максимальный из них, а снизу от матрицы - наибольшие элементы в столбцах и выберем минимальный из них:

    Наибольший из наименьших элементов строк - 3, это нижняя цена игры, ей соответствует вторая строка, следовательно, максиминная стратегия первого игрока вторая. Наименьший из наибольших элементов столбцов - 5, это верхняя цена игры, ей соответствует первый столбец, следовательно, минимаксная стратегия второго игрока - первая.

    Седловая точка в матричных играх

    Если верхняя и нижняя цена игры одинаковая, то считается, что матричная игра имеет седловую точку. Верно и обратное утверждение: если матричная игра имеет седловую точку, то верхняя и нижняя цены матричной игры одинаковы. Соответствующий элемент одновременно является наименьшим в строке и наибольшим в столбце и равен цене игры.

    Таким образом, если , то - оптимальная чистая стратегия первого игрока, а - оптимальная чистая стратегия второго игрока. То есть равные между собой нижняя и верхняя цены игры достигаются на одной и той же паре стратегий.

    В этом случае матричная игра имеет решение в чистых стратегиях .

    Пример 3. Дана матричная игра с платёжной матрицей

    .

    Решение. Справа от платёжной матрицы выпишем наименьшие элементы в её строках и отметим максимальный из них, а снизу от матрицы - наибольшие элементы в столбцах и выберем минимальный из них:

    Нижняя цена игры совпадает с верхней ценой игры. Таким образом, цена игры равна 5. То есть . Цена игры равна значению седловой точки . Максиминная стратегия первого игрока - вторая чистая стратегия, а минимаксная стратегия второго игрока - третья чистая стратегия. Данная матричная игра имеет решение в чистых стратегиях.

    Решить задачу на матричную игру самостоятельно, а затем посмотреть решение

    Пример 4. Дана матричная игра с платёжной матрицей

    .

    Найти нижнюю и верхнюю цену игры. Имеет ли данная матричная игра седловую точку?

    Матричные игры с оптимальной смешанной стратегией

    В большинстве случаев матричная игра не имеет седловой точки, поэтому соответствующая матричная игра не имеет решений в чистых стратегиях.

    Но она имеет решение в оптимальных смешанных стратегиях. Для их нахождения нужно принять, что игра повторяется достаточное число раз, чтобы на основании опыта можно было предположить, какая стратегия является более предпочтительной. Поэтому решение связывается с понятием вероятности и среднего (математического ожидания). В окончательном же решении есть и аналог седловой точки (то есть равенства нижней и верхней цены игры), и аналог соответствующих им стратегий.

    Итак, чтобы чтобы первый игрок получил максимальный средний выигрыш и чтобы средний проигрыш второго игрока был минимальным, чистые стратегии следует использовать с определённой вероятностью.

    Если первый игрок использует чистые стратегии с вероятностями , то вектор называется смешанной стратегией первого игрока. Иначе говоря, это "смесь" чистых стратегий. При этом сумма этих вероятностей равна единице:

    .

    Если второй игрок использует чистые стратегии с вероятностями , то вектор называется смешанной стратегией второго игрока. При этом сумма этих вероятностей равна единице:

    .

    Если первый игрок использует смешанную стратегию p , а второй игрок - смешанную стратегию q , то имеет смысл математическое ожидание выигрыша первого игрока (проигрыша второго игрока). Чтобы его найти, нужно перемножить вектор смешанной стратении первого игрока (который будет матрицей из одной строки), платёжную матрицу и вектор смешанной стратегии второго игрока (который будет матрицей из одного столбца):

    .

    Пример 5. Дана матричная игра с платёжной матрицей

    .

    Определить математическое ожидание выигрыша первого игрока (проигрыша второго игрока), если смешанная стратегия первого игрока , а смешанная стратегия второго игрока .

    Решение. Согласно формуле математического ожидания выигрыша первого игрока (проигрыша второго игрока) оно равно произведению вектора смешанной стратегии первого игрока, платёжной матрицы и вектора смешанной стратегии второго игрока:

    первого игрока называется такая смешанная стратегия , которая обеспечивала бы ему максимальный средний выигрыш , если игра повторяется достаточное число раз.

    Оптимальной смешанной стратегией второго игрока называется такая смешанная стратегия , которая обеспечивала бы ему минимальный средний проигрыш , если игра повторяется достаточное число раз.

    По аналогии с обозначениями максимина и минимакса в случах чистых стратегий оптимальные смешанные стратегии обозначаются так (и увязываются с математическим ожиданием, то есть средним, выигрыша первого игрока и проигрыша второго игрока):

    ,

    .

    В таком случае для функции E существует седловая точка , что означает равенство .

    Для того, чтобы найти оптимальные смешанные стратегии и седловую точку, то есть решить матричную игру в смешанных стратегиях , нужно свести матричную игру к задаче линейного программирования, то есть к оптимизационной задаче, и решить соответствующую задачу линейного программирования.

    Сведение матричной игры к задаче линейного программирования

    Для того, чтобы решить матричную игру в смешанных стратегиях, нужно составить прямую задачу линейного программирования и двойственную ей задачу . В двойственной задаче расширенная матрица, в которой хранятся коэффициенты при переменных в системе ограничений, свободные члены и коэффициенты при переменных в функции цели, транспонируется. При этом минимуму функции цели исходной задачи ставится в соответствие максимум в двойственной задаче.

    Функция цели в прямой задаче линейного программирования:

    .

    Система ограничений в прямой задаче линейного программирования:

    Функция цели в двойственной задаче:

    .

    Система ограничений в двойственной задаче:

    Оптимальный план прямой задачи линейного программирования обозначим

    ,

    а оптимальный план двойственной задачи обозначим

    Линейные формы для соответствующих оптимальных планов обозначим и ,

    а находить их нужно как суммы соответствующих координат оптимальных планов.

    В соответствии определениям предыдущего параграфа и координатами оптимальных планов, в силе следующие смешанные стратегии первого и второго игроков:

    .

    Математики-теоретики доказали, что цена игры следующим образом выражается через линейные формы оптимальных планов:

    ,

    то есть является величиной, обратной суммам координат оптимальных планов.

    Нам, практикам, остаётся лишь использовать эту формулу для решения матричных игр в смешанных стратегиях. Как и формулы для нахождения оптимальных смешанных стратегий соответственно первого и второго игроков:

    в которых вторые сомножители - векторы. Оптимальные смешанные стратегии также, как мы уже определили в предыдущем параграфе, являются векторами. Поэтому, умножив число (цену игры) на вектор (с координатами оптимальных планов) получим также вектор.

    Пример 6. Дана матричная игра с платёжной матрицей

    .

    Найти цену игры V и оптимальные смешанные стратегии и .

    Решение. Составляем соответствующую данной матричной игре задачу линейного программирования:

    Получаем решение прямой задачи:

    .

    Находим линейную форму оптимальных планов как сумму найденных координат.

    Если имеется несколько конфликтующих сторон (лиц), каждая из которых принимает некоторое решение, определяемое заданным набором правил, и каждому из лиц известно конечное состояние конфликтной ситуации с заранее определенными для каждой из сторон платежами, то говорят, что имеет место игра.

    Задача теории игр состоит в выборе такой линии поведения данного игрока, отклонение от которой может лишь уменьшить его выигрыш.

    Некоторые определения игры

    Количественная оценка результатов игры называется платежом.

    Парная игра (два лица) называется игрой с нулевой суммой, если сумма платежей равна нулю, т.е. если проигрыш одного игрока равен выигрышу другого.

    Однозначное описание выбора игрока в каждой из возможной ситуаций, при которой он должен сделать личный ход, называется стратегией игрока .

    Стратегия игрока называется оптимальной, если при многократном повторении игры она обеспечивает игроку максимально возможный средний выигрыш (или, что - то же самое, минимально возможный средний выигрыш).

    Игра, определяемая матрицей А , имеющейm строк иn столбцов, называется конечной парной игрой размерностиm * n ;

    где i =
    - стратегия первого игрока, имеющегоmстратегий; j =- стратегия второго игрока, имеющегоnстратегий; ij – выигрыш первого игрока поi -й стратегии при использовании вторымj -й стратегии (или, что то же самое, проигрыш второго по своейj -й стратегии, при использовании первымi -й);

    А =  ij – платежная матрица игры.

    1.1 Игра с чистыми стратегиями

    Нижняя цена игры (для игрока первого)

    = max (min ij ). (1.2)

    i j

    Верхняя цена игры (для второго игрока):

    = min (max ij ) . (1.3)

    J i

    Если = , игра называется с седловой точкой (1.4), или игра с чистыми стратегиями. При этомV = = называют ценной игры (V - цена игры).

    Пример. Дана платежная матрица игры 2 лиц А. Определить оптимальные стратегии для каждого из игроков и цену игры:

    (1.4)

    max 10 9 12 6

    i

    min 6

    j

    - стратегия первого игрока (строки).

    Стратегия второго игрока (столбцы).

    - цена игры.

    Таким образом, игра имеет седловую точку. Стратегия j = 4 – оптимальная для второго игрока, стратегияi =2 - для первого. Имеем игру с чистыми стратегиями.

    1.2 Игры со смешанными стратегиями

    Если платежная матрица не имеет седловой точки, т.е.
    , и ни один из участников игры не может выбрать один план в качестве своей оптимальной стратегии, игроки переходят на «смешанные стратегии». При этом каждый из игроков использует в процессе игры несколько раз каждую из своих стратегий.

    Вектор, каждая из компонент которого показывает относительную частоту использования игроком соответствующей чистой стратегии, называется смешанной стратегией данного игрока.

    Х = (х 1 …х i …х m ) – смешанная стратегия первого игрока.

    У = (у 1 …у j …у n ) – смешанная стратегия второго игрока.

    x i , у j – относительные частоты (вероятности) использования игроками своих стратегий.

    Условия использования смешанных стратегий

    . (1.5)

    Если Х * = (х 1 * ….х i * …х m *) – оптимальная стратегия, выбранная первым игроком;Y * = (у 1 * …у j * …у n *) – оптимальная стратегия, выбранная вторым игроком, то число является ценой игры.

    (1.6)

    Для того чтобы число V было ценой игры, ах * иу * - оптимальными стратегиями, необходимо и достаточно выполнение неравенств

    (1.7)

    Если один из игроков применяет оптимальную смешанную стратегию, то его выигрыш равен цене игры V вне зависимости от того, с какими частотами будет применять второй игрок стратегии, вошедшие в оптимальную, в том числе и чистые стратегии.

    Сведения задач теории игр к задачам линейного программирования.

    Пример . Найти решение игры, определяемой платежной матрицейА .

    А = (1.8)

    y 1 y 2 y 3

    Решение:

    Составим двойственную пару задач линейного программирования.

    Для первого игрока

    (1.9)

    у 1 +у 2 +у 3 = 1 (1.10)

    Освобождаясь от переменной V (цена игры), разделим левую и правую часть выражений (1.9), (1.10) наV . Приняву j /V за новую переменнуюz i , получим новую систему ограничений (1.11) и целевую функцию (1.12)

    (1.11)

    . (1.12)

    Аналогично получим модель игры для второго игрока:

    (1.13)

    х 1 +х 2 +х 3 = 1 . (1.14)

    Приведя модель (1.13), (1.14) к форме без переменной V , получим

    (1.15)

    , (1.16)

    где
    .

    Если нам необходимо определить стратегию поведения первого игрока, т.е. относительную частоту использования его стратегий (х 1 ….х i …х m ), мы будем использовать модель второго игрока, т.к. эти переменные находятся в его модели выигрыша (1.13), (1.14).

    Приведем (1.15), (1.16) к канонической форме

    (1.17)



    Похожие статьи