복소수 로그의 속성. 거듭제곱을 빼는 공식

원시 수준 대수학의 요소 중 하나는 로그입니다. 이름은 "숫자" 또는 "힘"이라는 단어에서 유래한 그리스어에서 유래되었으며 최종 숫자를 찾기 위해 밑수에 있는 숫자를 올려야 하는 힘을 의미합니다.

로그의 유형

• log a b – 밑수 a에 대한 숫자 b의 로그(a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• log b – 십진 로그(밑이 10인 로그, a = 10);
• ln b – 자연 로그(밑 e에 대한 로그, a = e).

로그를 푸는 방법?

밑수 a에 대한 b의 로그는 b를 밑수 a로 올려야 하는 지수입니다. 얻은 결과는 다음과 같이 발음됩니다. "밑수 a에 대한 b의 로그". 로그 문제에 대한 해결책은 지정된 숫자에서 숫자로 주어진 거듭제곱을 결정해야 한다는 것입니다. 표기법 자체를 변환하는 것뿐만 아니라 로그를 결정하거나 풀기 위한 몇 가지 기본 규칙이 있습니다. 이를 사용하여 로그 방정식을 풀고, 도함수를 구하고, 적분을 풀고, 기타 여러 작업을 수행합니다. 기본적으로 로그 자체에 대한 해법은 단순화된 표기법입니다. 다음은 기본 공식과 속성입니다.

어떤 경우에는 ; a > 0; a ≠ 1이고 모든 x에 대해; 와이 > 0.

• a log a b = b – 기본 로그 항등
• 로그 1 = 0
• 로가 a = 1
• 로그 a (x y) = 로그 a x + 로그 a y
• 로그 x/y = 로그 x – 로그 a y
• 1/x 로그 = -log a x
• 로그 a x p = p 로그 a x
• log a k x = 1/k log a x , k ≠ 0인 경우
• 로그 a x = 로그 a c x c
• log a x = log b x/ log b a – 새로운 밑수로 이동하는 공식
• 로그 x = 1/로그 x a

로그를 푸는 방법 - 해결을 위한 단계별 지침

• 먼저, 필요한 방정식을 적어보세요.

참고: 기본 로그가 10이면 항목이 단축되어 소수 로그가 됩니다. 자연수 e가 있으면 이를 적어 자연 로그로 줄입니다. 이는 모든 로그의 결과가 숫자 b를 얻기 위해 밑수를 올리는 거듭제곱이라는 것을 의미합니다.

직접적으로 해결책은 이 정도를 계산하는 데 있습니다. 로그로 표현식을 풀기 전에 공식을 사용하여 규칙에 따라 단순화해야 합니다. 기사를 조금 뒤로 돌아가면 주요 정체성을 찾을 수 있습니다.

두 개의 다른 숫자를 사용하지만 밑이 동일한 로그를 더하고 뺄 때 각각 숫자 b와 c의 곱이나 나눗셈을 사용하여 하나의 로그로 바꿉니다. 이 경우 다른 거점으로 이동하는 공식을 적용할 수 있습니다(위 참조).

표현식을 사용하여 로그를 단순화하는 경우 고려해야 할 몇 가지 제한 사항이 있습니다. 즉, 로그 a의 밑은 양수일 뿐이고 1과 같지 않습니다. 숫자 b는 a와 마찬가지로 0보다 커야 합니다.

식을 단순화하면 로그를 수치적으로 계산할 수 없는 경우가 있습니다. 많은 거듭제곱이 무리수이기 때문에 그러한 표현이 의미가 없는 경우가 있습니다. 이 조건에서 숫자의 거듭제곱을 로그로 둡니다.

로그란 무엇입니까?

주목!
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특별 조항 555의 자료.
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그리고 "아주 많이…"라고 하시는 분들을 위해)

로그란 무엇입니까? 로그를 푸는 방법? 이러한 질문은 많은 졸업생을 혼란스럽게 합니다. 전통적으로 로그라는 주제는 복잡하고 이해하기 어렵고 무서운 것으로 간주되었습니다. 특히 로그가 포함된 방정식.

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지침

주어진 대수식을 쓰시오. 표현식에서 10의 로그를 사용하는 경우 해당 표기법은 단축되어 다음과 같이 표시됩니다. lg b는 십진 로그입니다. 로그의 밑이 e인 경우 다음과 같은 표현식을 작성합니다: ln b – 자연 로그. any의 결과는 숫자 b를 얻기 위해 밑수를 올려야 하는 거듭제곱으로 이해됩니다.

두 함수의 합을 구하려면 간단히 함수를 하나씩 미분하고 결과를 더하면 됩니다. (u+v)" = u"+v";

두 함수의 곱의 도함수를 찾을 때 첫 번째 함수의 도함수에 두 번째 함수를 곱하고 두 번째 함수의 도함수에 첫 번째 함수를 곱한 값을 더해야 합니다. (u*v)" = u"*v +v"*u;

두 함수의 몫의 도함수를 찾으려면 피제수 함수를 곱한 피제수 도함수의 곱에서 피제수 함수를 곱한 제수 도함수의 곱을 빼고 나누어야 합니다. 이 모든 것은 제수 함수의 제곱에 의한 것입니다. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

복잡한 함수가 주어지면 내부 함수의 도함수와 외부 함수의 도함수를 곱해야 합니다. y=u(v(x))라고 하면 y"(x)=y"(u)*v"(x)입니다.

위에서 얻은 결과를 사용하면 거의 모든 기능을 구별할 수 있습니다. 그럼 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *엑스));
한 지점에서 도함수를 계산하는 것과 관련된 문제도 있습니다. 함수 y=e^(x^2+6x+5)가 주어지면 x=1 지점에서 함수의 값을 찾아야 합니다.
1) 함수의 도함수를 구합니다: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) 주어진 지점에서 함수의 값을 계산합니다 y"(1)=8*e^0=8

주제에 관한 비디오

유용한 조언

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출처:

• 상수의 미분

그렇다면 비합리적인 방정식과 합리적인 방정식의 차이점은 무엇입니까? 알 수 없는 변수가 제곱근 기호 아래에 있으면 방정식은 비합리적인 것으로 간주됩니다.

지침

이러한 방정식을 푸는 주요 방법은 양변을 구성하는 방법입니다. 방정식광장으로. 하지만. 이것은 자연스러운 일입니다. 가장 먼저 해야 할 일은 표지판을 제거하는 것입니다. 이 방법은 기술적으로 어렵지는 않지만 때로는 문제가 발생할 수 있습니다. 예를 들어 방정식은 v(2x-5)=v(4x-7)입니다. 양변을 제곱하면 2x-5=4x-7이 됩니다. 그러한 방정식을 푸는 것은 어렵지 않습니다. x=1. 하지만 1등은 주어지지 않을 것이다. 방정식. 왜? 방정식에 x 값 대신 1을 대입하면 오른쪽과 왼쪽에는 의미가 없는 표현식이 포함됩니다. 이 값은 제곱근에는 유효하지 않습니다. 따라서 1은 외부 근이므로 이 방정식에는 근이 없습니다.

따라서 비합리 방정식은 양 변을 제곱하는 방법을 사용하여 해결됩니다. 그리고 방정식을 풀고 나면 불필요한 뿌리를 잘라낼 필요가 있습니다. 이렇게 하려면 찾은 근을 원래 방정식으로 대체하십시오.

다른 것을 고려해보세요.
2х+vх-3=0
물론 이 방정식은 이전 방정식과 동일한 방정식을 사용하여 풀 수 있습니다. 화합물 이동 방정식를 제곱근이 없는 값으로 오른쪽으로 이동시킨 다음 제곱법을 사용합니다. 결과 유리 방정식과 근을 푼다. 하지만 또 다른 더 우아한 것도 있습니다. 새 변수를 입력하세요. vх=y. 따라서 2y2+y-3=0 형식의 방정식을 받게 됩니다. 즉, 일반적인 이차 방정식입니다. 그 뿌리를 찾아보세요; y1=1 및 y2=-3/2. 다음으로 두 가지를 해결하세요. 방정식 vх=1; vх=-3/2. 두 번째 방정식에는 근이 없습니다. 첫 번째 방정식에서 x=1이라는 것을 알 수 있습니다. 뿌리를 확인하는 것을 잊지 마십시오.

신원을 해결하는 것은 매우 간단합니다. 이를 위해서는 설정된 목표가 달성될 때까지 동일한 변환을 수행해야 합니다. 따라서 간단한 산술 연산을 통해 문제가 해결될 것입니다.

필요할 것이예요

• - 종이;
• - 펜.

지침

이러한 변환 중 가장 간단한 것은 대수적 약식 곱셈(예: 합의 제곱(차이), 제곱의 차이, 합의(차이), 합의 세제곱(차이))입니다. 또한 본질적으로 동일한 항등식인 삼각법 공식이 많이 있습니다.

실제로 두 항의 합의 제곱은 첫 번째 항의 제곱에 두 번째 항의 곱의 두 배를 더하고 두 번째 항의 제곱을 더한 것과 같습니다. 즉, (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

둘 다 단순화

솔루션의 일반 원칙

정적분이 무엇인지 수학적 분석이나 고등 수학에 관한 교과서에서 반복하세요. 알려진 바와 같이, 정적분의 해는 도함수가 피적분 함수를 제공하는 함수입니다. 이 함수를 역도함수라고 합니다. 이 원리를 바탕으로 주요 적분이 구성됩니다.
이 경우에 적합한 테이블 적분 중 어느 것이 피적분 함수의 유형인지 결정하십시오. 이를 즉시 결정하는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다. 피적분 함수를 단순화하기 위해 여러 번 변환한 후에만 표 형식이 눈에 띄는 경우가 많습니다.

변수 교체 방법

피적분 함수가 인수가 다항식인 삼각 함수인 경우 변수 변경 방법을 사용해 보세요. 이를 수행하려면 피적분 인수의 다항식을 새로운 변수로 바꾸십시오. 새 변수와 기존 변수 간의 관계를 기반으로 새로운 통합 한계를 결정합니다. 이 식을 미분하여 에서 새로운 미분을 구합니다. 따라서 이전 적분의 새로운 형태, 가깝거나 일부 표 형식에 해당하는 형태를 얻게 됩니다.

제2종 적분 풀기

적분이 두 번째 종류의 적분, 즉 적분의 벡터 형식인 경우 이러한 적분에서 스칼라 적분으로 전환하기 위한 규칙을 사용해야 합니다. 그러한 규칙 중 하나는 Ostrogradsky-Gauss 관계입니다. 이 법칙을 통해 특정 벡터 함수의 회전자 자속에서 주어진 벡터장의 발산에 대한 삼중 적분으로 이동할 수 있습니다.

적분 한계 대체

역도함수를 찾은 후에는 적분의 한계를 대체해야 합니다. 먼저, 역도함수 식에 상한값을 대입합니다. 당신은 어떤 번호를 얻을 것입니다. 다음으로, 결과 숫자에서 하한에서 얻은 다른 숫자를 역도함수로 뺍니다. 적분의 극한 중 하나가 무한대라면 이를 역도함수에 대입할 때 극한까지 가서 표현의 경향을 찾아야 합니다.
적분이 2차원이거나 3차원인 경우 적분을 평가하는 방법을 이해하려면 적분의 한계를 기하학적으로 표현해야 합니다. 실제로, 3차원 적분의 경우 적분의 한계는 적분되는 부피를 제한하는 전체 평면일 수 있습니다.

사회가 발전하고 생산이 더욱 복잡해지면서 수학도 발전했습니다. 단순한 것에서 복잡한 것으로의 이동. 덧셈과 뺄셈의 방법을 사용하는 일반적인 회계에서 반복되는 반복을 통해 우리는 곱셈과 나눗셈의 개념에 도달했습니다. 곱셈의 반복 연산을 줄이는 것이 지수의 개념이 되었습니다. 밑수에 대한 숫자 의존성과 지수화 수에 대한 첫 번째 표는 인도 수학자 Varasena에 의해 8세기에 편집되었습니다. 그들로부터 로그 발생 시간을 계산할 수 있습니다.

역사적 스케치

16세기 유럽의 부흥 역시 기계의 발전을 자극했다. 티 많은 양의 계산이 필요함여러 자리 수의 곱셈과 나눗셈에 관한 것입니다. 고대 테이블은 훌륭한 서비스를 제공했습니다. 복잡한 연산을 더 간단한 연산, 즉 덧셈과 뺄셈으로 대체하는 것이 가능해졌습니다. 큰 진전은 1544년에 출판된 수학자 Michael Stiefel의 작업으로, 그는 많은 수학자들의 아이디어를 실현했습니다. 이로 인해 소수 형태의 거듭제곱뿐만 아니라 임의의 유리수에 대한 테이블도 사용할 수 있게 되었습니다.

1614년에 스코틀랜드인 존 네이피어(John Napier)는 이러한 아이디어를 발전시키면서 처음으로 "수의 로그(logarithm of a number)"라는 새로운 용어를 도입했습니다. 사인과 코사인의 로그와 탄젠트를 계산하기 위해 새로운 복잡한 테이블이 작성되었습니다. 이로 인해 천문학자들의 작업이 크게 줄어들었습니다.

3세기 동안 과학자들이 성공적으로 사용했던 새로운 테이블이 나타나기 시작했습니다. 새로운 대수학 연산이 완성된 형태를 갖추기까지는 많은 시간이 걸렸습니다. 로그의 정의가 주어지고 그 특성이 연구되었습니다.

20세기가 되어서야 계산기와 컴퓨터가 등장하면서 인류는 13세기 내내 성공적으로 작동했던 고대 탁자를 버렸습니다.

오늘날 우리는 a를 밑으로 하는 b의 로그를 b를 만드는 a의 거듭제곱인 x라고 부릅니다. 이는 다음 공식으로 작성됩니다: x = log a(b).

예를 들어 log 3(9)는 2와 같습니다. 정의를 따르면 이는 분명합니다. 3을 2제곱하면 9가 됩니다.

따라서 공식화된 정의에서는 단 하나의 제한 사항만 설정합니다. 즉, 숫자 a와 b는 실수여야 합니다.

로그의 유형

고전적인 정의는 실수 로그(real logarithm)라고 불리며 실제로 방정식 a x = b의 해입니다. 옵션 a = 1은 경계선에 있으며 관심이 없습니다. 주의: 1의 거듭제곱은 1과 같습니다.

로그의 실수값밑과 인수가 0보다 크고 밑이 1이 아니어야 하는 경우에만 정의됩니다.

수학 분야의 특별한 장소밑의 크기에 따라 이름이 지정되는 로그를 재생합니다.

규칙 및 제한사항

로그의 기본 속성은 규칙입니다. 곱의 로그는 로그 합계와 같습니다. 로그 abp = 로그 a(b) + 로그 a(p).

이 명령문의 변형으로 다음과 같은 것이 있습니다: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), 몫 함수는 함수의 차이와 같습니다.

이전 두 규칙에서 다음을 쉽게 알 수 있습니다. log a(b p) = p * log a(b).

기타 속성은 다음과 같습니다.

논평. 일반적인 실수를 할 필요가 없습니다. 합계의 로그는 로그의 합계와 같지 않습니다.

수세기 동안 로그를 찾는 작업은 시간이 많이 걸리는 작업이었습니다. 수학자들은 다항식 확장의 로그 이론의 잘 알려진 공식을 사용했습니다.

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), 여기서 n은 1보다 큰 자연수이며, 이는 계산의 정확성을 결정합니다.

다른 염기와의 로그는 한 염기에서 다른 염기로의 전이에 대한 정리와 생성물의 로그 특성을 사용하여 계산되었습니다.

이 방법은 매우 노동집약적이며, 현실적인 문제를 풀 때구현하기 어려웠기 때문에 사전 컴파일된 로그 테이블을 사용하여 모든 작업 속도를 크게 높였습니다.

어떤 경우에는 특별히 편집된 로그 그래프가 사용되어 정확도가 떨어지지만 원하는 값 검색 속도가 크게 향상되었습니다. 여러 점에 걸쳐 구성된 함수 y = log a(x)의 곡선을 사용하면 일반 눈금자를 사용하여 다른 점에서 함수 값을 찾을 수 있습니다. 오랫동안 엔지니어들은 이러한 목적으로 소위 그래프 용지를 사용했습니다.

17세기에 최초의 보조 아날로그 컴퓨팅 조건이 등장했고, 19세기에 완전한 형태를 갖추게 되었습니다. 가장 성공적인 장치는 슬라이드 자라고 불렸습니다. 장치의 단순성에도 불구하고 그 외관으로 인해 모든 엔지니어링 계산 프로세스가 크게 가속화되었으며 이는 과대평가하기 어렵습니다. 현재 이 장치에 대해 잘 아는 사람은 거의 없습니다.

계산기와 컴퓨터의 출현으로 인해 다른 장치를 사용할 수 없게 되었습니다.

방정식과 부등식

로그를 사용하여 다양한 방정식과 부등식을 풀기 위해 다음 공식이 사용됩니다.

• 한 염기에서 다른 염기로 이동: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• 이전 옵션의 결과: log a(b) = 1 / log b(a).

불평등을 해결하려면 다음 사항을 아는 것이 유용합니다.

• 로그 값은 밑수와 인수가 모두 1보다 크거나 작은 경우에만 양수입니다. 하나 이상의 조건이 위반되면 로그 값은 음수가 됩니다.
• 로그 함수가 부등식의 오른쪽과 왼쪽에 적용되고 로그의 밑이 1보다 크면 부등식의 부호가 유지됩니다. 그렇지 않으면 변경됩니다.

샘플 문제

로그와 그 속성을 사용하기 위한 몇 가지 옵션을 고려해 보겠습니다. 방정식 풀이의 예:

로그를 거듭제곱하는 옵션을 고려해보세요.

• 문제 3. 25^log 5(3)을 계산하라. 해결 방법: 문제가 발생한 상황에서 항목은 다음 (5^2)^log5(3) 또는 5^(2 * log 5(3))과 유사합니다. 다르게 적어봅시다: 5^log 5(3*2), 또는 함수 인수로서의 숫자의 제곱은 함수 자체의 제곱(5^log 5(3))^2으로 쓸 수 있습니다. 로그의 속성을 사용하면 이 표현식은 3^2와 같습니다. 답: 계산 결과 9를 얻습니다.

실제 사용

순전히 수학적 도구이기 때문에 로그가 갑자기 현실 세계의 물체를 설명하는 데 큰 중요성을 갖게 된 것은 실제 생활과는 거리가 먼 것 같습니다. 그것이 사용되지 않는 과학을 찾는 것은 어렵습니다. 이는 자연 지식뿐만 아니라 인도주의 지식 분야에도 완전히 적용됩니다.

대수 종속성

다음은 수치 종속성의 몇 가지 예입니다.

역학 및 물리학

역사적으로 역학과 물리학은 항상 수학적 연구 방법을 사용하여 발전해 왔으며 동시에 로그를 포함한 수학 발전의 인센티브 역할을 해왔습니다. 대부분의 물리 법칙 이론은 수학 언어로 작성되었습니다. 로그를 사용하여 물리 법칙을 설명하는 두 가지 예만 들어 보겠습니다.

로켓의 속도와 같은 복잡한 양을 계산하는 문제는 우주 탐사 이론의 기초가 된 Tsiolkovsky 공식을 사용하여 해결할 수 있습니다.

V = I * ln(M1/M2), 여기서

• V는 항공기의 최종 속도입니다.
• I – 엔진의 특정 충동.
• M 1 – 로켓의 초기 질량.
• M 2 – 최종 질량.

또 다른 중요한 예- 이것은 열역학의 평형 상태를 평가하는 데 사용되는 또 다른 위대한 과학자 Max Planck의 공식에 사용됩니다.

S = k * ln(Ω), 여기서

• S – 열역학적 특성.
• k – 볼츠만 상수.
• Ω은 다양한 상태의 통계적 가중치입니다.

화학

덜 분명한 것은 로그의 비율을 포함하는 화학 공식의 사용입니다. 두 가지 예만 들어보겠습니다.

• Nernst 방정식은 물질의 활성 및 평형 상수와 관련된 매체의 산화환원 전위 조건입니다.
• 자기 분해 지수 및 용액의 산도와 같은 상수 계산도 우리 기능 없이는 수행할 수 없습니다.

심리학과 생물학

그리고 심리학이 그것과 어떤 관련이 있는지는 전혀 명확하지 않습니다. 감각의 강도는 이 함수에 의해 자극 강도 값과 낮은 강도 값의 역비로 잘 설명되는 것으로 나타났습니다.

위의 예를 보면 로그라는 주제가 생물학에서 널리 사용된다는 것은 더 이상 놀라운 일이 아닙니다. 로그 나선에 해당하는 생물학적 형태에 대해 전체 책을 쓸 수 있습니다.

다른 지역들

이 기능과 연결되지 않으면 세상의 존재는 불가능한 것처럼 보이며 모든 법칙을 지배합니다. 특히 자연법칙이 기하학적 진행과 연관되어 있는 경우에는 더욱 그렇습니다. MatProfi 웹사이트를 방문할 가치가 있으며 다음과 같은 활동 영역에 그러한 예가 많이 있습니다.

목록은 끝이 없을 수 있습니다. 이 기능의 기본 원리를 익히면 무한한 지혜의 세계로 뛰어들 수 있습니다.

우리는 계속해서 로그를 연구합니다. 이 기사에서 우리는 로그 계산, 이 프로세스를 로그. 먼저 우리는 정의에 따라 로그 계산을 이해합니다. 다음으로 로그의 값을 해당 속성을 사용하여 찾는 방법을 살펴보겠습니다. 이후에는 다른 로그의 초기 지정된 값을 통해 로그를 계산하는 방법을 중점적으로 다루겠습니다. 마지막으로 로그표를 활용하는 방법을 알아보겠습니다. 전체 이론에는 상세한 솔루션과 함께 예제가 제공됩니다.

페이지 탐색.

정의에 따른 로그 계산

가장 간단한 경우에는 매우 빠르고 쉽게 수행할 수 있습니다. 정의에 따라 로그 찾기. 이 과정이 어떻게 진행되는지 자세히 살펴보겠습니다.

그 본질은 숫자 b를 a c 형식으로 표현하는 것입니다. 여기서 로그 정의에 따라 숫자 c는 로그 값입니다. 즉, 정의에 따르면 다음 등식 체인은 로그를 찾는 것과 일치합니다: log a b=log a a c =c.

따라서 정의에 따라 로그를 계산하면 a c = b가 되는 숫자 c를 찾는 것이 되며 숫자 c 자체가 원하는 로그 값이 됩니다.

이전 단락의 정보를 고려하면 로그 기호 아래의 숫자가 로그 밑의 특정 거듭제곱으로 주어지면 로그가 무엇인지 즉시 나타낼 수 있습니다. 이는 지수와 같습니다. 예제에 대한 솔루션을 보여드리겠습니다.

예.

log 2 2 −3을 찾고 숫자 e 5,3의 자연 로그도 계산합니다.

해결책.

로그의 정의를 통해 우리는 즉시 log 2 2 −3 =−3이라고 말할 수 있습니다. 실제로, 로그 기호 아래의 숫자는 밑수 2의 -3승과 같습니다.

마찬가지로 두 번째 로그는 lne 5.3 =5.3입니다.

답변:

log 2 2 −3 =−3 및 lne 5,3 =5,3.

로그 기호 아래의 숫자 b가 로그 밑의 거듭제곱으로 지정되지 않은 경우 숫자 b를 a c 형식으로 표현하는 것이 가능한지 주의 깊게 살펴봐야 합니다. 종종 이 표현은 꽤 분명합니다. 특히 로그 기호 아래의 숫자가 1, 2, 3의 밑수와 같을 때 더욱 그렇습니다.

예.

로그 log 5 25 및 를 계산합니다.

해결책.

25=5 2라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 이를 통해 첫 번째 로그를 계산할 수 있습니다: log 5 25=log 5 5 2 =2.

두 번째 로그 계산으로 넘어 갑시다. 숫자는 7의 거듭제곱으로 표현될 수 있습니다. (필요한 경우 참조). 따라서, .

세 번째 로그를 다음 형식으로 다시 작성해 보겠습니다. 이제 당신은 그것을 볼 수 있습니다 , 그로부터 우리는 다음과 같은 결론을 내립니다. . 따라서 로그의 정의에 의해 .

간단히 말해서 솔루션은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

답변:

로그 5 25=2 , 그리고 .

로그 기호 아래에 충분히 큰 자연수가 있는 경우 이를 소인수로 인수분해해도 문제가 되지 않습니다. 이러한 숫자를 로그 밑의 거듭제곱으로 표현하는 것이 도움이 되므로 정의에 따라 이 로그를 계산합니다.

예.

로그의 값을 구합니다.

해결책.

로그의 일부 속성을 사용하면 로그 값을 즉시 지정할 수 있습니다. 이러한 속성에는 1의 로그 속성과 밑수와 동일한 숫자의 로그 속성이 포함됩니다. log 1 1=log a a 0 =0 및 log a a=log a a 1 =1. 즉, 로그 부호 아래에 숫자 1 또는 로그 밑과 같은 숫자 a가 있으면 이 경우 로그는 각각 0과 1과 같습니다.

예.

로그와 log10은 무엇입니까?

해결책.

이후 로그의 정의로부터 다음과 같습니다. .

두 번째 예에서는 로그 기호 아래의 숫자 10이 밑수와 일치하므로 10의 십진 로그는 1, 즉 lg10=lg10 1 =1과 같습니다.

답변:

그리고 LG10=1 .

정의에 따른 로그 계산(이전 단락에서 논의한)은 로그의 속성 중 하나인 상등 로그 a a p =p의 사용을 의미합니다.

실제로 로그 기호 아래의 숫자와 로그의 밑이 특정 숫자의 거듭제곱으로 쉽게 표현될 때 다음 공식을 사용하는 것이 매우 편리합니다. , 이는 로그의 속성 중 하나에 해당합니다. 이 공식의 사용법을 보여주는 로그를 찾는 예를 살펴보겠습니다.

예.

로그를 계산합니다.

해결책.

답변:

.

위에서 언급하지 않은 로그의 속성도 계산에 사용되지만 이에 대해서는 다음 단락에서 설명하겠습니다.

다른 알려진 로그를 통해 로그 찾기

이 단락의 정보는 로그를 계산할 때 로그의 속성을 사용하는 주제를 계속합니다. 그러나 여기서 주요 차이점은 로그의 속성이 원래 로그를 다른 로그로 표현하는 데 사용되며 그 값이 알려져 있다는 것입니다. 설명을 위해 예를 들어 보겠습니다. log 2 3≒1.584963을 알고 있다고 가정하면, 예를 들어 로그의 속성을 사용하여 약간의 변환을 수행하여 log 2 6을 찾을 수 있습니다. 로그 2 6=로그 2 (2 3)=로그 2 2+로그 2 3≒ 1+1,584963=2,584963 .

위의 예에서는 곱의 로그 속성을 사용하는 것만으로도 충분했습니다. 그러나 주어진 로그를 통해 원래 로그를 계산하려면 더 넓은 로그 속성 무기고를 사용해야 하는 경우가 훨씬 더 많습니다.

예.

log 60 2=a와 log 60 5=b를 안다면 밑이 60인 27의 로그를 계산하세요.

해결책.

따라서 우리는 log 60 27 을 찾아야 합니다. 27 = 3 3 임을 쉽게 알 수 있으며, 거듭제곱의 로그 특성으로 인해 원래 로그는 3·log 60 3 으로 다시 쓸 수 있습니다.

이제 log 60 3 을 알려진 로그로 표현하는 방법을 살펴보겠습니다. 밑수와 동일한 숫자의 로그 속성을 사용하면 등호 로그 60 60=1을 쓸 수 있습니다. 반면, log 60 60=log60(2 2 3 5)= 로그 60 2 2 +로그 60 3+로그 60 5= 2·로그 60 2+로그 60 3+로그 60 5 . 따라서, 2 로그 60 2+로그 60 3+로그 60 5=1. 따라서, 로그 60 3=1−2·로그 60 2−로그 60 5=1−2·a−b.

마지막으로 원래 로그를 계산합니다. log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

답변:

로그 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

별도로, 형식 로그의 새로운 밑으로 전환하기 위한 공식의 의미를 언급할 가치가 있습니다. . 이를 통해 밑이 있는 로그에서 특정 밑이 있는 로그로 이동할 수 있으며 그 값은 알려져 있거나 찾을 수 있습니다. 일반적으로 원래 로그에서 전이 공식을 사용하여 밑수 2, e 또는 10 중 하나의 로그로 이동합니다. 왜냐하면 이러한 밑수에는 해당 값을 특정 수준으로 계산할 수 있는 로그 테이블이 있기 때문입니다. 정확성. 다음 단락에서는 이것이 어떻게 수행되는지 보여줄 것입니다.

로그 테이블과 그 용도

로그 값의 대략적인 계산을 위해 사용할 수 있습니다 로그 테이블. 가장 일반적으로 사용되는 밑이 2인 로그표, 자연로그표, 십진로그표입니다. 십진수 시스템에서 작업할 때 10진법을 기반으로 한 로그 표를 사용하는 것이 편리합니다. 그것의 도움으로 우리는 로그의 값을 찾는 법을 배울 것입니다.

제시된 표를 사용하면 1/10000의 정확도로 1,000에서 9,999(소수점 세 자리)까지의 숫자의 십진 로그 값을 찾을 수 있습니다. 구체적인 예를 사용하여 십진 로그 테이블을 사용하여 로그 값을 찾는 원리를 분석할 것입니다. 이 방법이 더 명확합니다. log1.256을 찾아보자.

십진 로그 표의 왼쪽 열에서 숫자 1.256의 처음 두 자리, 즉 1.2를 찾습니다(이 숫자는 명확성을 위해 파란색 원으로 표시됨). 숫자 1.256(숫자 5)의 세 번째 숫자는 이중선 왼쪽의 첫 번째 또는 마지막 줄에 있습니다(이 숫자는 빨간색 원으로 표시되어 있음). 원래 숫자 1.256(숫자 6)의 네 번째 숫자는 이중선 오른쪽의 첫 번째 또는 마지막 줄에 있습니다(이 숫자는 녹색 선으로 둘러싸여 있습니다). 이제 표시된 행과 표시된 열의 교차점에 있는 로그 테이블의 셀에서 숫자를 찾습니다(이 숫자는 주황색으로 강조 표시됨). 표시된 숫자의 합은 소수점 네 번째 자리까지 정확한 십진 로그의 원하는 값, 즉, 로그1.236≒0.0969+0.0021=0.0990.

위의 표를 이용하여 소수점 이하 3자리 이상의 숫자와 1부터 9.999까지의 범위를 벗어나는 숫자의 십진 로그 값을 찾는 것이 가능한가요? 그래 넌 할수있어. 예제를 통해 이것이 어떻게 수행되는지 살펴보겠습니다.

lg102.76332를 계산해 보겠습니다. 먼저 적어야합니다 표준 형식의 숫자: 102.76332=1.0276332·10 2. 그 후, 가수는 소수점 세 번째 자리로 반올림되어야 합니다. 1.0276332 10 2 ≒1.028 10 2, 원래의 십진 로그는 결과 숫자의 로그와 대략 동일하지만, 즉 log102.76332≒lg1.028·10 2를 취합니다. 이제 로그의 속성을 적용합니다. lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. 마지막으로 십진 로그 표 lg1.028≒0.0086+0.0034=0.012에서 로그 lg1.028의 값을 찾습니다. 결과적으로 로그를 계산하는 전체 프로세스는 다음과 같습니다. log102.76332=log1.0276332 10 2 ≒lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≒0.012+2=2.012.

결론적으로, 십진 로그 테이블을 사용하면 모든 로그의 대략적인 값을 계산할 수 있다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 이렇게 하려면 전환 공식을 사용하여 십진 로그로 이동하고 테이블에서 해당 값을 찾은 다음 나머지 계산을 수행하면 충분합니다.

예를 들어 log 2 3 을 계산해 보겠습니다. 로그의 새로운 밑으로의 전환 공식에 따르면 다음과 같습니다. 십진 로그 표에서 log3≒0.4771과 log2≒0.3010을 찾습니다. 따라서, .

서지.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. 및 기타 대수학 및 분석의 시작: 일반 교육 기관의 10~11학년을 위한 교과서.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. 수학(전문학교 입학을 위한 매뉴얼).