대기열 시스템의 유형.

어느 정도 고급 인터넷 사용자는 SMO 및 SMM과 같은 용어를 반복적으로 접했습니다. 동수들이 쉽게 운영할 수 있지만, 대부분의 사람들은 SMO와 SMM이 실제로 무엇인지, 그리고 더욱이 그 차이점이 무엇인지에 대해 다소 모호한 개념을 가지고 있습니다.

먼저 SMO와 SMM이 동일한 것이 아니라는 점을 정의해 보겠습니다. SMO는 SMM의 일부라고 말할 수 있지만 모든 정보를 더 완벽하게 이해하려면 이러한 개념을 분리해야 합니다.

  • 이는 제품, 서비스를 홍보하고 서비스를 광고하고 이벤트를 다루기 위해 다른 사람의 플랫폼(포럼, 블로그, 웹사이트, 채팅방, 뉴스 리소스 등)에서 일련의 이벤트를 수행하는 것으로 구성된 소셜 미디어 마케팅입니다.
  • SMM은 공개광고가 아닙니다. 이는 타겟 고객을 판촉 제품으로 끌어들이는 숨겨진, 눈에 거슬리지 않는 광고입니다. 사용자는 제품이 공개적으로 제공된다는 사실을 이해해서는 안 됩니다. 제공된 정보로 인해 사용자 스스로 제품을 구매/서비스 주문을 원해야 합니다.
  • SMM은 SMM 공격의 대상이 되는 다른 사용자 및 대상 고객이 소셜 네트워크 또는 기타 리소스에 홍보 정보를 게시하도록 권장합니다. 정보가 더 적절하게 제공될수록 더 많은 사람들이 자신의 친구, 즉 잠재 구매자에게 이에 대해 알리고 싶어할 것입니다.
  • SMM은 리뷰, 사용자 간의 소통, 자신의 의견 공유 등의 형태로 타겟 고객에게 홍보된 제품에 대한 정보를 제공합니다.
  • SMM이 성공하려면 사용자 간의 신뢰 분위기를 조성하는 것이 중요합니다. 이는 눈에 띄지 않는 광고에 대한 신뢰 수준을 높이고 사용자는 제공된 조언과 권장 사항을 믿기 시작합니다.
  • 도발적인 헤드라인, 기발한 생각과 아이디어가 홍보 제품에 대한 청중의 관심을 끌고, 이로 인해 SMM은 청중의 관심을 사로잡습니다.
  • 주목을 받은 SMM은 청중을 하나로 묶는 일을 포함합니다. 이것이 바로 사용자가 경계심을 풀고 제품이 제공된다는 사실을 깨닫지 못하는 신뢰와 이해의 분위기를 조성하는 것입니다. 그들은 단지 그들과 공유된 개인적인 의견과 경험만을 듣습니다. 그리고 그들은 그것을 고맙게 생각합니다.
  • SMO는 소셜 미디어 최적화이지만 소셜 미디어 작업은 아닙니다. SMO는 이 사이트에 게시된 콘텐츠로 개인 웹사이트에서 작업합니다.
  • SMO의 목표는 소셜 네트워크 사용자에게 사이트를 매력적으로 만드는 것입니다. 사용자는 사이트를 방문하고 콘텐츠를 연구하는 데 관심을 가져야 합니다.
  • SMO는 소셜 네트워크 사용자가 홍보된 리소스에 대한 링크를 친구들과 공유하기를 원한다고 가정합니다.
  • SMO는 콘텐츠와 기술적 특성이 소셜 네트워크 사용자에게 흥미롭고 편리하도록 리소스를 변환하는 데 도움이 됩니다.
  • SMO의 중요한 부분은 웹사이트 전환입니다. 제안된 콘텐츠는 흥미로운 영상 자료와 텍스트를 위한 다채로운 일러스트레이션으로 채워져야 합니다. 모든 텍스트는 밝고 매력적이어야 합니다. 그래야만 소셜 네트워크 사용자가 이 사이트를 북마크에 추가하고 친구들에게 알리고 싶은 거부할 수 없는 욕구를 얻을 수 있습니다.
  • 흥미로운 콘텐츠가 SMO의 유일한 규칙은 아닙니다. 사이트가 기분 좋은 색상 구성, 사용자 친화적인 인터페이스, 잘 선택된 글꼴로 방문자를 맞이하는 것이 매우 중요합니다. 텍스트는 읽고 싶게 만들어야 하며 구조화되어 있어야 합니다. 구조화 없이 텍스트 "시트"를 읽는 사람은 거의 없으며 SMO 전문가는 이 사실을 알고 있습니다.
  • SMO는 웹사이트 인프라를 구축합니다. 콘텐츠는 이해하기 쉬워야 합니다. 소셜 네트워크 사용자는 편리하게 내보낼 수 있어야 합니다(소셜 네트워크의 "공유" 버튼, 이메일 뉴스레터 구독, 북마크에 사이트 추가, 텍스트 "평가", 프로모션에 대한 링크 배치 기능). 해당 리소스의 사이트).
  • SMO의 목표 중 하나는 사용자 이탈을 줄이는 것입니다. 사이트를 방문할 때 사용자는 처음 열린 페이지에서 해당 페이지를 닫지 않고 사이트의 다른 페이지를 계속 탐색합니다. 이는 고품질 콘텐츠와 사용자 친화적인 인터페이스 덕분에 가능합니다. 편안하게 위치한 공지사항을 통해 사용자는 사이트 페이지를 쉽게 탐색할 수 있어 관심을 끌 수 있습니다. 다른 페이지로의 전환 요청은 제외되지 않습니다.
  • 의견을 제시하고 의견을 교환하는 능력은 SMO의 특징입니다. 사용자는 사이트에서 진행되는 토론에 기꺼이 참여합니다. 이로 인해 트래픽이 증가하고 새로운 방문자가 유입됩니다. 사이트가 스팸 방지 보호 기능을 제공하고 최고의 해설자를 지원하면 사이트의 인기가 크게 높아집니다.

소개................................................. ....... .................................................. ............. ........ 삼

1 유한 개수의 상태와 이산 시간을 갖는 마르코프 체인 4

2 유한한 수의 상태와 연속 시간을 갖는 마르코프 체인 8

3 탄생과 죽음의 과정.................................................................. ....... ....................... 열하나

4 큐잉 시스템의 기본 개념과 분류... 14

5 오픈 큐잉 시스템의 주요 유형........................................................... 20

5.1 장애가 발생한 단일 채널 대기열 시스템.................................................. 20

5.2 장애가 발생한 다중 채널 대기열 시스템........................... 21

5.3 대기열 길이가 제한된 단일 채널 대기열 시스템.................................................. ...................................................... ................................................. 23

5.4 무제한 대기열을 갖춘 단일 채널 대기열 시스템.................................................. ........... ................................................. ..................................................... 26

5.5 대기열이 제한된 다중 채널 대기열 시스템.................................................. ........... ................................................. ........................................... 27

5.6 대기열이 무제한인 다중 채널 대기열 시스템.................................................. ........... ................................................. ................. ............................ 서른

5.7 제한된 대기열과 대기열에서의 대기 시간이 제한된 다중 채널 대기열 시스템................................. ......................................... 32

6 몬테카를로 방법.......................................................... ..................................................... 36

6.1 방법의 주요 아이디어.................................................. ........................................... 36

6.2 연속 확률변수 재생.................................................................. 36

6.3 지수분포를 갖는 확률변수.................................................. 38

7 큐잉 시스템 연구.................................................................. ........40

7.1 지수분포에 대한 가설 검정........................................................................... 40

7.2 대기열 시스템의 주요 지표 계산........................ 45

7.3 연구된 QS 운영에 대한 결론.................................................................. .......................... 50

8 수정된 SMO 연구.................................................................. ........... .......... 51

결론................................................. ................................................. ...... 53

사용된 소스 목록.................................................. ........................... 54

소개

내 논문의 주제는 큐잉 시스템에 대한 연구입니다. 초기 상태에서 내가 고려하고 있는 QS는 고전적인 경우 중 하나, 즉 승인된 Kendall 지정에 따른 M/M/2/5를 나타냅니다. 시스템을 연구한 후 운영이 비효율적이라는 결론이 내려졌습니다. QS의 작동을 최적화하기 위한 방법이 제안되었지만 이러한 변경으로 인해 시스템은 더 이상 고전적이지 않습니다. 큐잉 시스템을 연구할 때 가장 큰 문제는 실제로는 고전적인 큐잉 이론을 사용해서만 연구할 수 있다는 것입니다. 들어오고 나가는 요청의 흐름이 가장 단순하지 않을 수 있으므로 Kolmogorov 미분 방정식 시스템을 사용하여 상태의 제한 확률을 찾는 것이 불가능하고 시스템에 우선 순위 클래스가 포함될 수 있으며 QS의 주요 지표를 계산하는 것도 불가능합니다.

QS 운영을 최적화하기 위해 두 가지 우선 순위 시스템을 도입하고 서비스 채널 수를 늘렸습니다. 이 경우 Monte Carlo 방법과 같은 시뮬레이션 모델링 방법을 사용하는 것이 좋습니다. 이 방법의 주요 아이디어는 알려지지 않은 무작위 변수 대신 충분히 큰 일련의 테스트에서 수학적 기대치를 취한다는 것입니다. 처음에는 무작위 변수(이 경우 들어오고 나가는 흐름의 강도)가 균일하게 분포되어 재생됩니다. 그런 다음 균일 분포에서 지수 분포로의 전환은 전환 공식을 사용하여 수행됩니다. 이 메서드를 구현하는 프로그램은 VisualBasic으로 작성되었습니다.

1 유한한 수의 상태와 이산 시간을 갖는 마르코프 체인

일부 시스템 S가 가능한 상태의 유한(또는 셀 수 있는) 집합 S 1 , S 2 ,… t 1 , t 2 , t 3 단계라고 합니다.

시스템이 한 상태에서 다른 상태로 무작위로 전환되는 경우, 불연속적인 시간을 갖는 무작위 프로세스가 발생한다고 합니다.

임의의 상태 Si에서 임의의 상태 S j로의 전환 확률이 시스템 S가 상태 S i에 들어간 방법과 시기(즉, 시스템 S에 아무런 결과도 없는 경우)에 의존하지 않는 경우 무작위 프로세스를 Markov라고 합니다. 이 경우 그들은 시스템 S의 기능이 개별 마르코프 체인으로 설명된다고 말합니다.

상태 그래프(그림 1)를 사용하여 시스템 S의 다양한 상태로의 전환을 묘사하는 것이 편리합니다.

그림 1 - 레이블이 지정된 상태 그래프의 예

그래프 S 1, S 2, S 3의 꼭지점은 시스템의 가능한 상태를 나타냅니다. 정점 S i에서 정점 S j로 향하는 화살표는 전환을 나타냅니다. 화살표 옆의 숫자는 이 전환의 가능성을 나타냅니다. 그래프의 i번째 꼭지점에서 닫히는 화살표는 시스템이 화살표와 같은 확률로 상태 Si에 남아 있음을 의미합니다.

n개의 꼭지점을 포함하는 시스템 그래프는 NxN 행렬과 연관될 수 있으며, 그 요소는 그래프의 꼭지점 사이의 전환 확률 pij입니다. 예를 들어, 그림 1의 그래프. 1은 행렬 P로 설명됩니다.

전환 확률 행렬이라고 합니다. 행렬 p ij의 요소는 다음 조건을 충족합니다.

행렬 p ij의 요소는 시스템의 한 단계 전환 확률을 제공합니다. 이행

두 단계의 Si – S j는 Si에서 일부 중간 상태 Sk로의 첫 번째 단계와 Sk에서 Si로의 두 번째 단계에서 발생하는 것으로 간주할 수 있습니다. 따라서 두 단계에서 S i 에서 S j 로의 전이 확률 행렬 요소에 대해 다음을 얻습니다.

m 단계의 전환의 일반적인 경우 전환 확률 행렬의 요소에 대해 다음 공식이 유효합니다.


(3)

우리는 다음과 같은 두 가지 동등한 표현을 얻습니다.

시스템 S를 전이 확률 행렬 P로 설명하겠습니다.

m 단계에서 S i 에서 S j 로의 전환에 대한 pi 확률을 요소로 하는 행렬을 P(m)으로 표시하면 공식은 유효합니다.

여기서 행렬 Pm은 행렬 P에 그 자체를 m번 곱하여 얻습니다.

시스템의 초기 상태는 시스템 상태 벡터 Q(qi)(확률적 벡터라고도 함)로 특징지어집니다.


여기서 qj는 시스템의 초기 상태가 Sj 상태일 확률입니다. (1) 및 (2)와 유사하게 다음 관계가 성립합니다.

다음으로 나타내자

m 단계 이후 시스템 상태의 벡터. 여기서 qj 는 m 단계 이후 시스템이 S i 상태에 있을 확률입니다. 그럼 공식이 맞네요

전환 확률 P ij가 일정하게 유지되면 이러한 마르코프 체인을 고정이라고 합니다. 그렇지 않으면 Markov 체인을 Non-Stationary라고 합니다.

2. 유한한 수의 상태와 연속 시간을 갖는 마르코프 체인

시스템 S가 임의의 시점에 무작위로 다른 상태로 전환할 수 있다면 연속 시간을 갖는 무작위 프로세스에 대해 이야기합니다. 후유증이 없는 경우 이러한 과정을 연속 마르코프 체인(Continuous Markov Chain)이라고 합니다. 이 경우 언제든지 i와 j에 대한 전이 확률은 0과 같습니다(시간의 연속성으로 인해). 이러한 이유로 전환 확률 대신 수량(상태에서 상태로의 전환 확률 밀도, 한계로 정의됨)이 도입됩니다.

양이 t에 의존하지 않는 경우 마르코프 프로세스를 동종 프로세스라고 합니다. 시간 동안 시스템이 상태를 한 번만 변경할 수 있으면 무작위 프로세스가 일반적이라고 합니다. 양은 시스템이 S i에서 S j로 전환되는 강도라고 합니다. 시스템 상태 그래프에서는 그래프의 정점으로의 전환을 나타내는 화살표 옆에 숫자 값이 배치됩니다.

전환의 강도를 알면 p 1 (t), p 2 (t),..., p n (t) 값을 찾을 수 있습니다. 즉, 상태 S 1, S 2에서 시스템 S를 찾을 확률입니다. .., Sn, 각각. 이 경우 다음 조건이 만족됩니다.


벡터로 특성화할 수 있는 시스템 상태의 확률 분포 는 시간에 의존하지 않는 경우 고정이라고 합니다. 모든 벡터 구성요소는 상수입니다.

상태 Si와 Sj는 전환이 가능한 경우 통신이라고 합니다.

Si에서 도달할 수 있는 모든 S j가 Si와 통신하는 경우 Si 상태를 필수라고 합니다. 상태 Si가 필수적이지 않으면 중요하지 않다고 합니다.

시스템 상태의 확률이 제한적인 경우:

,

시스템의 초기 상태와는 별개로 시스템에 고정 체제가 확립될 때를 말합니다.

시스템 상태의 (최종) 확률이 제한적인 시스템을 에르고딕(Ergodic)이라고 하며, 그 안에서 발생하는 무작위 프로세스를 에르고딕(Ergodic)이라고 합니다.

정리 1. Si가 중요하지 않은 상태라면, 즉 시스템이 중요하지 않은 상태를 종료할 때.

정리 2. 유한한 수의 상태를 가진 시스템이 상태 확률의 고유한 제한 분포를 가지려면 모든 필수 상태가 서로 통신하는 것이 필요하고 충분합니다.

이산 상태를 갖는 시스템에서 발생하는 무작위 프로세스가 연속 마르코프 체인인 경우 확률 p 1 (t), p 2 (t), ..., p n (t)에 대해 선형 시스템을 구성하는 것이 가능합니다. Kolmogorov 방정식이라고 불리는 미분 방정식. 방정식을 작성할 때 시스템 상태 그래프를 사용하는 것이 편리합니다. 각각의 왼쪽에는 일부 (j-번째) 상태 확률의 미분 값이 있습니다. 오른쪽에는 해당 흐름의 강도에 따라 주어진 상태로의 전환이 가능한 모든 상태의 확률 곱의 합에서 시스템을 주어진 상태에서 벗어나게 하는 모든 흐름의 총 강도를 뺀 값입니다( j번째) 상태에 주어진 (j번째) 상태의 확률을 곱합니다.

3 탄생과 죽음의 과정

이는 시스템에서 발생하는 광범위한 무작위 프로세스 클래스의 이름으로, 레이블이 지정된 상태 그래프가 그림 1에 표시되어 있습니다. 삼.

그림 2 – 죽음과 번식 과정에 대한 상태 그래프

여기서 수량 , ,…, – 시스템이 왼쪽에서 오른쪽으로 상태에서 상태로 전환되는 강도는 시스템에서 탄생(청구의 출현) 강도로 해석될 수 있습니다. 마찬가지로, 값 ​,,..., – 상태에서 상태로 오른쪽에서 왼쪽으로 전환되는 강도는 시스템에서 죽음(명령 집행)의 강도로 해석될 수 있습니다.

모든 상태는 통신하고 필수적이므로 (정리 2에 따라) 상태의 제한된(최종) 확률 분포가 있습니다. 시스템 상태의 최종 확률에 대한 공식을 구해 보겠습니다.

정상 상태 조건에서 각 상태에 대해 이 상태로 들어가는 플럭스는 이 상태에서 나오는 플럭스와 동일해야 합니다. 따라서 우리는:

상태 S 0의 경우:

따라서:


상태 S 1의 경우:

따라서:

고려해 보면 :

(4)


, ,…, (5)

4. 대기열 시스템의 기본 개념 및 분류

응용 프로그램(또는 요구 사항)은 요구 사항(이하 요구 사항은 동일한 유형으로 간주됨)을 충족하기 위한 요구입니다. 요청을 이행하는 것을 요청 서비스라고 합니다.

큐잉 시스템(QS)은 무작위로 수신된 요청을 실행하는 시스템입니다.

QS가 애플리케이션을 수신하는 것을 이벤트라고 합니다. QS에 대한 애플리케이션 수신으로 구성된 일련의 이벤트를 애플리케이션 수신 흐름이라고 합니다. QS에서 주문 실행과 관련된 일련의 이벤트를 나가는 주문 흐름이라고 합니다.

다음 조건을 만족하는 경우 주문 흐름을 가장 단순하다고 합니다.

1) 후유증이 없다. 신청서는 서로 독립적으로 접수됩니다.

2) 정상성, 즉 임의의 시간 간격에서 주어진 수의 신청을 받을 확률은 이 간격의 값에만 의존하며 t 1의 값에는 의존하지 않습니다. 이는 단위 시간당 평균 신청 수 λ에 대해 이야기할 수 있게 해줍니다. 애플리케이션 흐름의 강도라고 합니다.

3) 평범함, 즉 언제든지 QS는 하나의 신청서만 접수하며 동시에 두 개 이상의 신청서를 접수하는 경우는 무시할 수 있습니다.

가장 간단한 흐름의 경우 시간 t 동안 QS에 도착하는 정확히 i개의 요청의 확률 p i (t)는 다음 공식으로 계산됩니다.

(6)


저것들. 확률은 매개변수 λt를 사용하여 포아송 법칙에 따라 분포됩니다. 이러한 이유로 가장 단순한 흐름을 포아송 흐름(Poisson flow)이라고도 합니다.

두 개의 연속 요청 사이의 임의 시간 간격 T의 분포 함수 F(t)는 정의에 따라 다음과 같습니다. . 그러나 시간 t가 경과한 후 마지막 요청 이후의 다음 요청이 QS에 도착할 확률은 어디에 있습니까? 시간 t 동안 QS는 단일 신청서를 수신하지 않습니다. 그러나 이 사건의 확률은 i = 0에서 (6)으로부터 구됩니다. 따라서:

확률 변수 T의 확률 밀도 f(t)는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

,

확률 변수 T의 수학적 기대값, 분산 및 표준 편차는 각각 동일합니다.

서비스 채널은 요청을 처리하는 QS의 장치입니다. 하나의 서비스 채널을 포함하는 QS를 단일 채널이라고 하며, 둘 이상의 서비스 채널을 포함하는 QS를 다중 채널이라고 합니다.

QS에 도착한 신청서가 서비스가 거부될 수 있고(모든 서비스 채널의 사용량으로 인해) 거부로 인해 QS를 떠나야 하는 경우 이러한 QS를 거부가 있는 QS라고 합니다.

서비스 거부가 발생하는 경우 요청이 대기열에 있을 수 있는 경우 이러한 QS를 대기열이 있는(또는 대기하는) QS라고 합니다. 이 경우 대기열이 제한된 QS와 무제한 대기열이 있는 QS가 구분됩니다. 좌석 수와 대기 시간 모두에서 대기열이 제한될 수 있습니다. 개방형 및 폐쇄형 QS 시스템이 있습니다. 개방형 QS에서는 애플리케이션의 흐름이 QS에 의존하지 않습니다. 폐쇄형 QS에서는 제한된 범위의 클라이언트에게 서비스가 제공되며 응용 프로그램 수는 QS 상태(예: 공장에서 기계를 수리하는 수리공 팀)에 따라 크게 달라질 수 있습니다.

CMO는 서비스 분야에서도 다를 수 있습니다.

QS에 우선순위가 없으면 다양한 규칙에 따라 대기열에서 채널로 애플리케이션이 선택됩니다.

· 선착순 (FCFS – First Came – First Served)

· 마지막 온 – 첫 번째 제공 (LCFS – 마지막 온 – 첫 번째 제공)

· 최단 서비스 시간으로 요구 사항에 대한 우선 서비스(SPT/SJE)

가장 짧은 처리 시간(SRPT)으로 요구 사항에 대한 우선 서비스 제공

· 평균 서비스 시간이 가장 짧은 요구 사항에 대한 우선 서비스(SEPT)

· 평균 재서비스 기간이 가장 짧은 요구사항에 대한 우선 서비스(SERPT)

우선순위에는 절대적 우선순위와 상대적 우선순위의 두 가지 유형이 있습니다.

서비스 중 요청이 채널에서 제거되고 더 높은 우선순위의 요청이 도착할 때 큐로 반환되거나 QS를 완전히 떠날 수 있는 경우 시스템은 절대 우선순위로 작동합니다. 채널에 있는 요청의 서비스를 중단할 수 없는 경우 QS는 상대적 우선순위로 작동합니다. 특정 규칙이나 규칙 집합을 통해 구현되는 우선순위도 있습니다. 예를 들어 시간이 지남에 따라 우선순위가 변경되는 경우가 있습니다.

QS는 시스템의 효율성을 특징짓는 특정 매개변수로 설명됩니다.

– QS의 채널 수;

– QS가 접수한 신청서의 강도;

– 서비스 요청의 강도;

– QS의 부하율;

- 대기열에 있는 자리 수

- QS가 접수한 신청서 서비스를 거부할 확률;

– QS가 수신한 요청을 서비스할 확률(QS의 상대적 용량)

여기서:

(8)

A - 단위 시간당 QS에서 처리되는 평균 요청 수(QS의 절대 처리량)

– QS의 평균 응용 프로그램 수

– 요청 서비스에 참여하는 QS의 평균 채널 수. 동시에 이는 단위 시간당 QS에서 제공되는 평균 애플리케이션 수입니다. 값은 서비스에 의해 점유된 n 채널의 임의 수에 대한 수학적 기대치로 정의됩니다.

, (10)

여기서 시스템이 S k 상태에 있을 확률은 어디입니까?

– 채널 점유율

– 대기열에 있는 애플리케이션의 평균 대기 시간

– 대기열을 떠나는 애플리케이션의 강도

– 대기열에 있는 평균 응용 프로그램 수입니다. 무작위 변수 m의 수학적 기대치로 정의됨 – 대기열에 있는 애플리케이션 수

(11)

다음은 i개의 애플리케이션이 대기열에 있을 확률입니다.

– QS에 대한 신청서의 평균 체류 시간

– 애플리케이션이 대기열에 머무르는 평균 시간

개방형 QS의 경우 다음 관계가 유효합니다.

(12)


이러한 관계를 Little의 공식이라고 하며 요청 및 서비스의 고정 흐름에만 적용됩니다.

몇 가지 특정 유형의 QS를 살펴보겠습니다. 이 경우 QS에서 연속되는 두 이벤트 사이의 시간 간격의 분포 밀도는 지수 분포(7)를 가지며 모든 흐름이 가장 단순하다고 가정합니다.

5. 오픈 큐잉 시스템의 주요 유형

5.1 오류가 있는 단일 채널 대기열 시스템

단일 채널 QS의 레이블이 지정된 상태 그래프가 그림 3에 나와 있습니다.

그림 3 - 단일 채널 QS의 상태 그래프

여기에 각각 애플리케이션 흐름과 애플리케이션 실행의 강도가 있습니다. 시스템 상태 S o는 채널이 사용 가능함을 의미하고, S 1은 채널이 요청을 처리 중임을 의미합니다.

이러한 QS에 대한 Kolmogorov 미분 방정식 시스템은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

여기서 p o (t)와 p 1 (t)는 각각 상태 So와 S1에서 QS를 찾을 확률입니다. 우리는 시스템의 처음 두 방정식의 도함수를 0으로 설정하여 최종 확률 p o 및 p 1 에 대한 방정식을 얻습니다. 결과적으로 우리는 다음을 얻습니다:

(14)


(15)

그 의미에서 확률 p 0은 채널이 비어 있기 때문에 요청 p obs를 서비스할 확률이고, 확률 p 1은 채널이 무료이기 때문에 QS에 도착하는 요청 p 공개에 대한 서비스를 거부할 확률입니다. 이전 요청을 처리 중입니다.

5.2 오류가 있는 다중 채널 대기열 시스템

QS에 n개의 채널이 포함되어 있고 들어오는 요청 흐름의 강도는 와 같고 각 채널의 요청 서비스 강도는 와 같습니다. 레이블이 지정된 시스템 상태 그래프가 그림 4에 나와 있습니다.

그림 4 - 오류가 발생한 다중 채널 QS의 상태 그래프

상태 S 0은 모든 채널이 사용 가능함을 의미하고, 상태 S k(k = 1, n)는 k 채널이 요청을 처리 중임을 의미합니다. 한 상태에서 오른쪽에 인접한 다른 상태로의 전환은 작동 채널 수(위쪽 화살표)에 관계없이 강도가 있는 들어오는 요청 흐름의 영향을 받아 갑자기 발생합니다. 시스템이 한 상태에서 인접한 왼쪽 상태로 전환하려면 어떤 채널이 해제되는지는 중요하지 않습니다. 이 값은 k 채널의 QS에서 작업할 때 요청 서비스 강도를 나타냅니다(아래쪽 화살표).

그림의 그래프를 비교해보자. 3과 그림에서. 5 실패가 있는 다중 채널 QS는 탄생과 죽음 시스템의 특별한 경우라는 것을 쉽게 알 수 있습니다.


(16)

이 경우 최종 확률을 찾으려면 공식 (4)와 (5)를 사용할 수 있습니다. (16)을 고려하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

(17)

(18)

식 (17)과 (18)은 큐잉 이론의 창시자인 얼랭(Erlang) 공식이라 불린다.

요청에 대한 서비스를 거부할 확률은 모든 채널이 사용 중일 확률과 같습니다. 시스템은 Sn 상태입니다. 따라서,

(19)

(8)과 (19)에서 QS의 상대적 용량을 찾습니다.

(20)

(9)와 (20)에서 절대 처리량을 찾습니다.

서비스가 점유하는 평균 채널 수는 공식 (10)을 사용하여 구할 수 있지만 더 간단하게 만들어 보겠습니다. 각 사용 중인 채널은 단위 시간당 평균 요청 수를 처리하므로 다음 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

5.3 대기열 길이가 제한된 단일 채널 대기열 시스템

대기열이 제한된 QS에서는 대기열에 있는 장소 m의 수가 제한됩니다. 결과적으로 대기열의 모든 자리가 점유된 시점에 접수된 신청서는 거부되고 QS를 떠납니다. 이러한 QS의 그래프는 그림 5에 나와 있습니다.

에스 0

그림 5 - 대기열이 제한된 단일 채널 QS의 상태 그래프

QS의 상태는 다음과 같이 표시됩니다.

S 0 – 서비스 채널은 무료입니다.

S 1 – 서비스 채널이 사용 중이지만 대기열이 없습니다.

S 2 – 서비스 채널이 사용 중이고 대기열에 하나의 요청이 있습니다.

S k +1 – 서비스 채널이 사용 중이고 대기열에 k개의 요청이 있습니다.

S m +1 – 서비스 채널이 사용 중이며 대기열의 m 자리가 모두 사용되었습니다.

필요한 공식을 얻으려면 그림 5의 QS가 그림 2에 제시된 출생 및 사망 시스템의 특별한 경우라는 사실을 사용할 수 있습니다.


(21)

고려된 QS 상태의 최종 확률에 대한 표현식은 (21)을 고려하여 (4)와 (5)에서 찾을 수 있습니다. 결과적으로 우리는 다음을 얻습니다:

p = 1인 경우 공식 (22), (23)은 다음과 같은 형식을 취합니다.

m = 0(큐 없음)인 경우 공식(22), (23)은 오류가 있는 단일 채널 QS에 대한 공식(14) 및 (15)로 변환됩니다.

QS가 S m +1 상태에 있는 경우, QS가 수신한 애플리케이션은 서비스가 거부됩니다. 애플리케이션 서비스 거부 확률은 다음과 같습니다.

QS의 상대 용량은 다음과 같습니다.

대기열 L och에 대기 중인 평균 지원자 수는 다음 공식으로 구합니다.


다음과 같이 작성할 수 있습니다.

(24)

공식(24)은 다음과 같은 형식을 취합니다.

– QS의 평균 지원자 수는 공식 (10)으로 구됩니다.

다음과 같이 작성할 수 있습니다.

(25)

에 대해 (25)로부터 우리는 다음을 얻습니다:

애플리케이션이 QS와 대기열에 머무르는 평균 시간은 각각 공식 (12)와 (13)을 사용하여 구합니다.

5.4 대기열이 무제한인 단일 채널 대기열 시스템

그러한 CMO의 예로는 조만간 자신의 역량 내에서 문제를 해결해야 하는 기업의 이사가 있을 수 있습니다. 예를 들어 계산원이 한 명 있는 빵집의 줄입니다. 이러한 QS의 그래프는 그림 6에 나와 있습니다.

그림 6 - 대기열이 무제한인 단일 채널 QS의 상태 그래프

이러한 QS의 모든 특성은 이전 섹션의 공식에서 얻을 수 있습니다. 이 경우에는 크게 다른 두 가지 경우를 구별할 필요가 있습니다. a) ; 비) . 첫 번째 경우, 식 (22), (23)에서 알 수 있듯이 p 0 = 0 및 p k = 0 (k의 모든 유한 값에 대해)입니다. 이는 대기열이 제한 없이 증가할 때를 의미합니다. 이 사건은 실질적인 관심이 없습니다.

때의 경우를 생각해 보자. 공식 (22)와 (23)은 다음과 같은 형식으로 작성됩니다.

QS의 대기열 길이에는 제한이 없으므로 모든 요청을 처리할 수 있습니다.


절대 처리량은 다음과 같습니다.

다음 공식(24)을 통해 대기열에 있는 평균 애플리케이션 수를 구합니다.

제공되는 평균 애플리케이션 수는 다음과 같습니다.

애플리케이션이 QS와 대기열에 머무르는 평균 시간은 공식 (12)와 (13)에 의해 결정됩니다.

5.5 대기열이 제한된 다중 채널 대기열 시스템

강도가 있는 요청의 포아송 흐름이 서비스 채널이 있는 QS의 입력에 도착하도록 합니다. 각 채널의 요청 서비스 강도는 와 같고 대기열의 최대 위치 수는 와 같습니다.

이러한 시스템의 그래프는 그림 7에 나와 있습니다.

그림 7 - 대기열이 제한된 다중 채널 QS의 상태 그래프

– 모든 채널은 무료이며 대기열이 없습니다.

- 바쁘다 엘채널( 엘= 1, n), 대기열 없음;

n개의 채널이 모두 사용 중입니다. 대기열이 있습니다. 나애플리케이션( 나= 1, m).

그림 2와 그림 7의 그래프를 비교하면 후자 시스템이 출생 및 사망 시스템의 특별한 경우라는 것을 알 수 있습니다(왼쪽 지정은 출생 및 사망 시스템을 나타냄).

최종 확률에 대한 표현식은 공식 (4)와 (5)에서 쉽게 찾을 수 있습니다. 결과적으로 우리는 다음을 얻습니다:

(26)


다음 요청이 QS에 도착하는 순간 모든 채널이 사용 중일 때 대기열이 형성됩니다. 시스템에는 n, (n+1),... 또는 (n + m– 1)개의 애플리케이션이 포함되어 있습니다. 왜냐하면 이러한 이벤트가 호환되지 않으면 대기열 형성 확률 p는 해당 확률의 합과 같습니다. :

(27)

상대 처리량은 다음과 같습니다.


대기열의 평균 애플리케이션 수는 공식 (11)에 의해 결정되며 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

(28)

CMO의 평균 지원자 수:

애플리케이션이 QS와 대기열에 머무르는 평균 시간은 공식 (12)와 (13)에 의해 결정됩니다.

5.6 대기열이 무제한인 다중 채널 대기열 시스템

이러한 QS의 그래프는 그림 8에 나와 있으며 에 대한 그림 7의 그래프에서 얻습니다.

그림 8 - 대기열이 무제한인 다중 채널 QS의 상태 그래프


최종 확률에 대한 공식은 에 대한 제한된 대기열이 있는 n채널 QS에 대한 공식에서 얻을 수 있습니다. 확률 p 0 = p 1 =...= p n = 0일 때, 즉 대기열은 무제한으로 늘어납니다. 따라서 이 사건은 실질적인 관심이 없고 아래에서는 그 사건에 대해서만 고찰한다. (26)으로부터 우리는 다음을 얻습니다:

나머지 확률에 대한 공식은 제한된 대기열이 있는 QS의 경우와 동일한 형식을 갖습니다.

(27)로부터 우리는 애플리케이션 큐의 형성 확률에 대한 표현식을 얻습니다.

대기열은 제한되지 않으므로 애플리케이션 서비스 거부 확률은 다음과 같습니다.


절대 처리량:

공식 (28)에서 대기열의 평균 애플리케이션 수에 대한 표현식을 얻습니다.

처리된 평균 요청 수는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

QS와 대기열에서 소요되는 평균 시간은 공식 (12)와 (13)에 의해 결정됩니다.

5.7 제한된 대기열과 대기열에서의 대기 시간이 제한된 다중 채널 대기열 시스템

이러한 QS와 하위 섹션 5.5에서 논의된 QS의 차이점은 애플리케이션이 대기열에 있을 때 서비스 대기 시간이 매개변수 를 갖는 지수 법칙에 따라 분포된 무작위 변수로 간주된다는 것입니다. 여기서 는 애플리케이션에 대한 평균 대기 시간입니다. - 큐에서 나가는 애플리케이션 흐름의 강도를 의미합니다. 이러한 QS의 그래프는 그림 9에 나와 있습니다.


그림 9 - 대기열이 제한되어 있고 대기열에서 대기 시간이 제한된 다중 채널 QS 그래프

나머지 명칭은 하위 섹션에서와 동일한 의미를 갖습니다.

그림의 그래프 비교. 도 3과 9는 후자의 시스템이 다음과 같이 대체되면 출생과 사망 시스템의 특별한 경우임을 보여줍니다(왼쪽 표기법은 출생과 사망 시스템을 나타냄).

최종 확률에 대한 표현식은 (29)를 고려하여 공식 (4)와 (5)에서 쉽게 찾을 수 있습니다. 결과적으로 우리는 다음을 얻습니다:

,

어디 . 대기열 형성 확률은 다음 공식에 의해 결정됩니다.


애플리케이션 서비스 거부는 대기열의 m개 위치가 모두 채워졌을 때 발생합니다. 서비스 거부 확률:

상대 대역폭:

절대 처리량:

대기열의 평균 애플리케이션 수는 공식 (11)에 의해 구되며 다음과 같습니다.

QS에서 제공되는 평균 애플리케이션 수는 공식(10)으로 구하며 다음과 같습니다.


애플리케이션이 QS에 머무르는 평균 시간은 대기열의 평균 대기 시간과 애플리케이션 서비스에 소요되는 평균 시간의 합입니다.

6. 몬테카를로 방법

6.1 방법의 주요 아이디어

몬테카를로 방법의 본질은 다음과 같습니다. 값을 찾아야 합니다. ㅏ일부 연구된 수량. 이를 수행하려면 수학적 기대값이 a와 동일한 확률 변수 X를 선택합니다. M(X)=a.

실제로 그들은 다음을 수행합니다. 그들은 n개의 테스트를 수행하고 그 결과 n개의 가능한 X 값을 얻습니다. 산술 평균을 계산하여 추정치로 사용합니다(대략적인 값). ㅏ * 원하는 숫자:

몬테카를로법은 많은 수의 검정이 필요하기 때문에 통계적 검정법이라고도 불린다.

6.2 연속확률변수 재생

밀도가 있는 구간에 분포된 확률 변수의 값을 구해야 한다고 가정합니다. 방정식에서 값을 찾을 수 있음을 증명해 보겠습니다.

여기서 는 구간에 걸쳐 균일하게 분포된 확률 변수입니다.

저것들. 다음 값을 선택했으면 방정식 (30)을 풀고 다음 값을 찾아야 합니다. 이를 증명하려면 다음 함수를 고려하십시오.

확률 밀도의 일반적인 속성은 다음과 같습니다.

(31)과 (32)로부터 다음과 같다. , 그리고 파생물 .

이는 함수가 0에서 1까지 단조롭게 증가한다는 것을 의미합니다. 그리고 임의의 선 은 단일 지점에서 함수 그래프와 교차하며 가로좌표는 입니다. 따라서 방정식 (30)에는 항상 단 하나의 해가 있습니다.

이제 에 포함된 임의의 간격을 선택해 보겠습니다. 이 간격의 점은 부등식을 만족하는 곡선의 좌표에 해당합니다. . 따라서 간격에 속하면

간격에 속하며 그 반대도 마찬가지입니다. 수단: . 왜냐하면 는 에 균일하게 분포됩니다.

, 이는 식 (30)의 근본인 확률변수가 확률밀도를 갖는다는 것을 의미할 뿐이다.

6.3 지수분포를 갖는 확률변수

가장 간단한 흐름(또는 포아송 흐름)은 두 개의 연속 요청 사이의 시간 간격이 밀도가 있는 간격에 걸쳐 분포된 무작위 변수일 때 요청의 흐름입니다.

수학적 기대값을 계산해 보겠습니다.

부품별로 통합하면 다음을 얻습니다.

.

매개변수는 애플리케이션 흐름의 강도입니다.

우리는 방정식 (30)으로부터 도면에 대한 공식을 얻습니다. 이 경우 다음과 같이 작성됩니다.

왼쪽의 적분을 계산하면 관계를 얻습니다. 여기에서 표현하면 다음을 얻습니다.

(33)

왜냐하면 수량은 다음과 같은 방식으로 분포되므로 식 (33)은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.



7 큐잉 시스템 연구

7.1 지수분포에 대한 가설 검증

제가 연구하고 있는 기업은 대기열이 제한된 2채널 대기열 시스템입니다. 입력은 강도가 λ인 요청의 포아송 흐름을 수신합니다. 각 채널의 서비스 요청 강도는 μ이고 대기열의 최대 위치 수는 m입니다.

초기 매개변수:

요청에 대한 서비스 시간은 다음과 같은 경험적 분포를 가지며 평균값은 입니다.

나는 이 CMO가 받은 신청서의 처리 시간에 대한 통제 측정을 수행했습니다. 연구를 시작하려면 이러한 측정을 기반으로 신청 처리 시간 분포 법칙을 확립해야 합니다.

표 6.1 – 처리 시간별 애플리케이션 그룹화


인구의 지수분포에 관한 가설이 제시되었습니다.

연속확률변수가 지수법칙에 따라 분포된다는 가설을 유의수준에서 검정하려면 다음이 필요합니다.

1) 주어진 경험적 분포에서 표본평균을 구합니다. 이를 위해 우리는 각 i 번째 간격을 중간으로 바꾸고 동일한 간격의 옵션과 해당 빈도의 시퀀스를 구성합니다.

2) 매개변수 추정값으로 사용 λ 지수 분포에서 표본의 역수는 다음을 의미합니다.

3) 다음 공식을 사용하여 X가 부분 구간에 포함될 확률을 구합니다.

4) 이론적 빈도를 계산합니다.

표본 크기는 어디에 있습니까?

5) 자유도 수를 취하는 Pearson 기준을 사용하여 경험적 빈도와 이론적 빈도를 비교합니다. 여기서 S는 초기 표본의 간격 수입니다.


표 6.2 – 평균 시간 간격을 사용하여 처리 시간별로 애플리케이션 그룹화

표본 평균을 찾아보겠습니다.

2) 지수 분포의 매개변수 λ의 추정치로 다음과 같은 값을 취하겠습니다. . 그 다음에:

()

3) 다음 공식을 사용하여 X가 각 구간에 포함될 확률을 구합니다.

첫 번째 간격의 경우:


두 번째 간격의 경우:

세 번째 간격의 경우:

네 번째 간격의 경우:

다섯 번째 간격의 경우:

여섯 번째 간격의 경우:

일곱 번째 간격의 경우:

여덟 번째 간격의 경우:

4) 이론적인 주파수를 계산해 봅시다:


계산 결과가 테이블에 입력됩니다. Pearson 기준을 사용하여 경험적 빈도와 이론적 빈도를 비교합니다.

이를 위해 차이, 제곱, 비율을 계산합니다. 마지막 열의 값을 합산하여 Pearson 기준의 관측값을 찾습니다. 유의수준 분포의 임계점 표와 자유도 표를 사용하여 임계점을 찾습니다.

표 6.3 - 계산 결과

나
1 22 0,285 34,77 -12,77 163,073 4,690
2 25 0,204 24,888 0,112 0,013 0,001
3 23 0,146 17,812 5,188 26,915 1,511
4 16 0,104 12,688 3,312 10,969 0,865
5 14 0,075 9,15 4,85 23,523 2,571
6 10 0,053 6,466 3,534 12,489 1,932
7 8 0,038 4,636 3,364 11,316 2,441
8 4 0,027 3,294 0,706 0,498 0,151
122

왜냐하면 , 그렇다면 지수법칙에 따른 X의 분포에 대한 가설을 기각할 이유가 없습니다. 즉, 관측 데이터는 이 가설과 일치합니다.

7.2 대기열 시스템의 주요 지표 계산

이 시스템은 죽음과 재생산 시스템의 특별한 경우이다.

이 시스템의 그래프:

그림 10 - 연구된 QS의 상태 그래프

모든 상태는 통신하고 필수적이므로 상태의 확률 분포는 제한적입니다. 정지 상태에서 주어진 상태로 들어가는 흐름은 주어진 상태에서 나가는 흐름과 동일해야 합니다.

(1)

상태 S 0의 경우:

따라서:

상태 S 1의 경우:


따라서:

고려해 보면 :

마찬가지로 시스템의 나머지 상태에 대한 방정식을 얻습니다. 결과적으로 우리는 방정식 시스템을 얻습니다.

이 시스템에 대한 솔루션은 다음과 같습니다.

; ; ; ; ;

; .


또는 (1)을 고려하면 다음과 같습니다.

서비스 부하율:

이를 고려하여 제한 확률을 다음 형식으로 다시 작성합니다.

가장 가능성이 높은 상태는 두 QS 채널이 모두 사용 중이고 대기열의 모든 위치가 점유되어 있는 것입니다.

대기열 형성 확률:

애플리케이션 서비스 거부는 대기열의 m개 자리가 모두 채워졌을 때 발생합니다. 즉, 다음과 같습니다.

상대 처리량은 다음과 같습니다.

새로 받은 애플리케이션이 서비스될 확률은 0.529이다.

절대 처리량:

QS는 분당 평균 0.13225개의 요청을 서비스합니다.

대기열에 있는 평균 애플리케이션 수:

대기열의 평균 요청 수가 최대 대기열 길이에 가깝습니다.

QS에서 제공되는 평균 애플리케이션 수는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

평균적으로 모든 QS 채널은 지속적으로 사용 중입니다.

CMO의 평균 지원자 수:

개방형 QS의 경우 Little의 공식이 유효합니다.

신청서가 CMO에 머무르는 평균 시간:

애플리케이션이 대기열에서 소비하는 평균 시간:

7.3 연구된 QS 운영에 대한 결론

이 QS의 가장 가능성 있는 상태는 대기열의 모든 채널과 위치가 점유되어 있다는 것입니다. 들어오는 모든 지원서의 약 절반이 CMO에게 서비스를 제공하지 않은 채 남겨집니다. 대기 시간의 약 66.5%가 줄을 서서 기다리며 소비됩니다. 두 채널 모두 지속적으로 사용 중입니다. 이 모든 것은 일반적으로 이 QS 체계가 만족스럽지 않음을 시사합니다.

채널의 부하를 줄이고 대기열의 대기 시간을 줄이고 거부 가능성을 줄이려면 채널 수를 늘리고 신청에 대한 우선 순위 시스템을 도입해야 합니다. 채널 수를 4개로 늘리는 것이 바람직하다. 서비스 규율을 FIFO에서 우선순위가 있는 시스템으로 바꾸는 것도 필요하다. 이제 모든 신청서는 두 가지 우선 순위 클래스 중 하나에 할당됩니다. 클래스 I의 지원은 클래스 II의 지원보다 상대적으로 우선순위가 높습니다. 수정된 QS의 주요 지표를 계산하려면 시뮬레이션 방법 중 하나를 사용하는 것이 좋습니다. Monte Carlo 메소드를 구현하는 VisualBasic 언어로 프로그램이 작성되었습니다.

8 수정된 SMO 연구

프로그램 작업 시 사용자는 흐름 강도, 채널 수, 우선 순위 클래스, 대기열 위치 등 QS의 기본 매개변수를 설정해야 합니다(대기열의 위치 수가 0이면 QS에 오류가 발생함). ), 변조 시간 간격 및 테스트 횟수도 표시됩니다. 프로그램은 생성된 난수를 공식(34)에 따라 변환하므로 사용자는 기하급수적으로 분포된 시간 간격 시퀀스를 수신합니다. 그런 다음 최소값을 가진 애플리케이션이 선택되어 우선순위에 따라 대기열에 배치됩니다. 동시에 대기열과 채널이 다시 계산됩니다. 그런 다음 처음에 설정된 변조 시간이 끝날 때까지 이 작업을 반복합니다. 프로그램 본문에는 QS의 주요 지표가 형성되는 판독값을 기반으로 하는 카운터가 포함되어 있습니다. 정확도를 높이기 위해 여러 테스트가 지정된 경우 최종 결과가 일련의 실험에 대한 점수로 사용됩니다. 이 프로그램은 매우 보편적인 것으로 판명되었으며, 이 프로그램의 도움으로 우선 순위 클래스 수에 관계없이 QS를 연구할 수 있거나 우선 순위가 전혀 없는 QS를 연구할 수 있습니다. 알고리즘의 정확성을 확인하기 위해 7장에서 연구한 기존 QS의 초기 데이터를 입력했으며, 프로그램은 큐잉 이론 방법을 사용하여 얻은 결과에 가까운 결과를 시뮬레이션했습니다(부록 B 참조). 시뮬레이션 중에 발생한 오류는 수행된 테스트 횟수가 충분하지 않다는 사실로 설명할 수 있습니다. 두 가지 우선 순위 클래스와 채널 수가 증가한 QS 프로그램을 사용하여 얻은 결과는 이러한 변경의 타당성을 보여줍니다(부록 B 참조). 더 빠른 지원서에 더 높은 우선순위가 부여되어 짧은 과제를 빠르게 검토할 수 있습니다. 시스템의 평균 대기열 길이가 줄어들고 그에 따라 대기열을 구성하는 수단도 최소화됩니다. 이 조직의 가장 큰 단점은 "긴" 지원서가 오랫동안 대기열에 남아 있거나 일반적으로 거부된다는 것입니다. 입력된 우선 순위는 QS에 대한 특정 유형의 응용 프로그램의 유용성을 평가한 후 다시 할당될 수 있습니다.

결론

본 연구에서는 큐잉 이론 방법을 사용하여 2채널 QS를 연구하고 그 작동을 특징짓는 주요 지표를 계산했습니다. QS의 이러한 작동 모드는 최적이 아니라는 결론이 내려졌으며 부하를 줄이고 시스템 처리량을 늘리는 방법이 제안되었습니다. 이러한 방법을 테스트하기 위해 몬테카를로 방법을 시뮬레이션하는 프로그램을 작성하여 원래 QS 모델의 계산 결과를 확인하고 수정된 모델의 주요 지표를 계산했습니다. 테스트 횟수를 늘려 알고리즘의 오류를 평가하고 줄일 수 있습니다. 프로그램의 다양성으로 인해 고전적인 QS를 포함하여 다양한 QS 연구에 사용할 수 있습니다.

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이전 강의에서 논의한 이산 상태와 연속 시간을 갖는 마르코프 무작위 프로세스는 큐잉 시스템(QS)에서 발생합니다.

대기열 시스템 – 이는 무작위로 서비스 요청을 수신하는 시스템이며, 수신된 요청은 시스템에서 사용 가능한 서비스 채널을 사용하여 서비스됩니다.

대기열 시스템의 예는 다음과 같습니다.

  • 은행 및 기업의 현금 결제 단위;
  • 특정 문제를 해결하기 위해 들어오는 응용 프로그램이나 요구 사항을 제공하는 개인용 컴퓨터
  • 자동차 서비스 스테이션; 주유소;
  • 감사 회사;
  • 기업의 현행 신고 접수 및 검증을 담당하는 세무 조사 부서;
  • 전화 교환 등

노드

요구사항

병원

질서

환자

생산

공항

활주로로 나가기

등록 포인트

승객

QS의 작동 다이어그램을 고려해 보겠습니다(그림 1). 시스템은 요청 생성기, 디스패처 및 서비스 장치, 오류 계산 장치(터미네이터, 주문 파괴자)로 구성됩니다. 일반적으로 서비스 노드에는 여러 서비스 채널이 있을 수 있습니다.

쌀. 1
  1. 애플리케이션 생성기 – 객체 생성 요청: 거리, 장치가 설치된 작업장. 입력은 신청의 흐름(매장으로의 고객 흐름, 수리를 위한 고장난 장치(기계, 기계)의 흐름, 옷장으로의 방문객 흐름, 주유소로의 자동차 흐름 등).
  2. 디스패처 – 애플리케이션으로 무엇을 해야 할지 알고 있는 사람 또는 장치. 서비스 채널에 대한 요청을 규제하고 지시하는 노드입니다. 발송자:
  • 신청서를 수락합니다.
  • 모든 채널이 사용 중이면 대기열을 형성합니다.
  • 무료 채널이 있는 경우 서비스 채널로 안내합니다.
  • 다양한 이유로 신청을 거부합니다.
  • 무료 채널에 관한 정보를 서비스 노드로부터 수신하고;
  • 시스템의 작동 시간을 모니터링합니다.
  1. 대기줄 – 애플리케이션 누산기. 대기열이 없을 수도 있습니다.
  2. 서비스 센터 유한한 수의 서비스 채널로 구성됩니다. 각 채널에는 한가함, 바쁨, 작동하지 않음의 3가지 상태가 있습니다. 모든 채널이 바쁜 경우 요청을 누구에게 전달할지에 대한 전략을 세울 수 있습니다.
  3. 거절 모든 채널이 사용 중인 경우(일부는 작동하지 않을 수 있음) 서비스 중단이 발생합니다.

QS의 이러한 기본 요소 외에도 일부 소스에서는 다음 구성 요소도 강조합니다.

터미네이터 – 거래 파괴자;

창고 – 자원 및 완제품 보관;

회계 계정 - "게시" 유형의 거래를 수행하기 위한 것입니다.

관리자 – 자원 관리자;

SMO의 분류

첫 번째 분할(대기열 존재 여부 기준):

  • 실패가 있는 QS;
  • 대기열이 있는 SMO.

안에 실패가 있는 QS모든 채널이 바쁜 시간에 접수된 신청은 거절되어 QS를 떠나 향후 서비스가 되지 않습니다.

안에 대기열이 있는 대기열모든 채널이 바쁜 시간에 도착한 애플리케이션은 떠나지 않고 대기열에 들어가서 기회가 제공될 때까지 기다립니다.

큐가 있는 QS대기열이 어떻게 구성되어 있는지에 따라 다양한 유형으로 나뉩니다. 제한되거나 무제한. 제한 사항은 대기열의 길이와 대기 시간, 즉 "서비스 규율"에 모두 관련될 수 있습니다.

예를 들어 다음 QS가 고려됩니다.

  • 성급한 요청을 하는 CMO(대기열 길이 및 서비스 시간이 제한됨)
  • 우선순위 서비스를 갖춘 QS, 즉 일부 요청은 순서대로 서비스됩니다.

대기열 제한 유형을 결합할 수 있습니다.

또 다른 분류는 응용 프로그램 소스에 따라 CMO를 나눕니다. 애플리케이션(요구사항)은 시스템 자체에서 생성되거나 시스템과 독립적으로 존재하는 일부 외부 환경에서 생성될 수 있습니다.

당연히 시스템 자체에서 생성된 요청의 흐름은 시스템과 해당 상태에 따라 달라집니다.

또한 SMO는 다음과 같이 나뉩니다. 열려 있는 CMO 및 닫은 SMO.

개방형 QS에서 애플리케이션 흐름의 특성은 QS 자체의 상태(점유된 채널 수)에 의존하지 않습니다. 폐쇄형 QS에서는 의존합니다. 예를 들어, 한 작업자가 때때로 조정이 필요한 기계 그룹을 서비스하는 경우 기계의 "요구" 흐름 강도는 이미 작동 중이고 조정을 기다리는 기계 수에 따라 달라집니다.

폐쇄형 시스템의 예: 기업에서 임금을 지급하는 계산원.

채널 수에 따라 QS는 다음과 같이 나뉩니다.

  • 단일 채널;
  • 다채널.

큐잉 시스템의 특징

모든 유형의 대기열 시스템의 주요 특징은 다음과 같습니다.

  • 들어오는 요구 사항 또는 서비스 요청의 입력 스트림
  • 대기열 규율;
  • 서비스 메커니즘.

입력 요구 사항 스트림

입력 스트림을 설명하려면 다음을 지정해야 합니다. 서비스 요청이 수신되는 순간의 순서를 결정하는 확률 법칙,그리고 각 후속 영수증에 해당 요구사항의 수를 표시합니다. 이 경우 원칙적으로 '요구사항 접수 시점의 확률적 분포'라는 개념으로 운영됩니다. 여기에서 그들은 다음을 할 수 있습니다: 개인 및 그룹 요구 사항 (각 정기 영수증에 있는 해당 요구사항의 수). 후자의 경우 일반적으로 병렬 그룹 서비스를 갖춘 대기열 시스템에 대해 이야기합니다.

나는– 요구 사항 간의 도착 시간 – 독립적이고 동일하게 분포된 무작위 변수

전자(A)– 평균(MO) 도착 시간

λ=1/E(A)- 요구사항 접수 강도;

입력 스트림 특성:

  1. 서비스 요청이 수신되는 순간의 순서를 결정하는 확률론적 법칙입니다.
  2. 그룹 흐름에 대한 각 다음 도착의 요청 수입니다.

대기열 규율

대기줄 – 서비스를 기다리는 일련의 요구사항.

대기열에는 이름이 있습니다.

대기열 규율 서빙 시스템의 입력에 도달하는 요구사항이 대기열에서 서비스 프로시저로 연결되는 원리를 정의합니다. 가장 일반적으로 사용되는 대기열 규칙은 다음 규칙으로 정의됩니다.

  • 선착순;

선입선출(FIFO)

가장 일반적인 유형의 대기열.

이러한 대기열을 설명하는 데 적합한 데이터 구조는 무엇입니까? 배열이 잘못되었습니다(제한적). LIST 구조를 사용할 수 있습니다.

목록에는 시작과 끝이 있습니다. 목록은 항목으로 구성됩니다. 레코드는 목록 셀입니다. 애플리케이션은 목록 끝에 도착하며 목록의 처음부터 서비스 대상으로 선택됩니다. 기록은 애플리케이션의 특성과 링크(누가 뒤에 있는지 표시)로 구성됩니다. 또한 대기열에 대기 시간 제한이 있는 경우 최대 대기 시간도 표시해야 합니다.

프로그래머로서 당신은 양방향, 단방향 목록을 만들 수 있어야 합니다.

목록 작업:

  • 꼬리에 삽입;
  • 처음부터 가져 가라.
  • 제한 시간이 만료되면 목록에서 제거하십시오.
  • 마지막 도착 - 가장 먼저 제공됨 LIFO(카트리지 클립, 기차역의 막다른 골목, 붐비는 차 안으로 걸어들어감).

STACK으로 알려진 구조입니다. 배열이나 목록 구조로 설명할 수 있습니다.

  • 응용 프로그램의 무작위 선택;
  • 우선순위 기준에 따라 애플리케이션을 선택합니다.

각 애플리케이션은 무엇보다도 우선순위 수준으로 특징지어지며, 수신 시 대기열의 끝이 아닌 우선순위 그룹의 끝에 배치됩니다. 디스패처는 우선순위에 따라 정렬합니다.

대기열 특성

  • 한정대기 시간서비스 순간("허용되는 대기열 길이" 개념과 관련된 서비스 대기 시간이 제한된 대기열이 있음)
  • 대기열 길이.

서비스 메커니즘

서비스 메커니즘 서비스 절차 자체의 특성과 서비스 시스템의 구조에 따라 결정됩니다. 유지보수 절차의 특징은 다음과 같습니다.

  • 서비스 채널 수( N);
  • 서비스 절차 기간(서비스 요구 사항에 대한 시간의 확률적 분포)
  • 각 절차의 결과로 충족된 요구 사항의 수(그룹 신청의 경우)
  • 서비스 채널 실패 확률;
  • 서비스 시스템의 구조.

서비스 절차의 특성을 분석적으로 설명하기 위해 “서비스 요구사항에 대한 시간의 확률적 분포”라는 개념이 사용됩니다.

나는– 서비스 시간 나-번째 요구 사항;

E(에스)– 평균 서비스 시간

μ=1/E(S)– 요청 처리 속도.

애플리케이션을 서비스하는 데 필요한 시간은 애플리케이션 자체의 성격이나 클라이언트의 요구 사항, 서비스 시스템의 상태 및 기능에 따라 달라집니다. 어떤 경우에는 고려해야 할 사항도 있습니다. 서비스 채널 실패 확률일정 기간이 지나면. 이 특성은 QS에 진입하고 다른 모든 요청보다 우선순위를 갖는 실패 스트림으로 모델링될 수 있습니다.

QS 활용률

N·μ – 모든 서비스 장치가 사용 중일 때 시스템의 서비스 속도입니다.

ρ=λ/( Nμ) – 호출됨 QS 활용 계수 , 시스템 리소스가 얼마나 사용되는지 보여줍니다.

서비스 시스템 구조

서비스 시스템의 구조는 서비스 채널(메커니즘, 장치 등)의 수와 상대적 위치에 따라 결정됩니다. 우선, 서비스 시스템은 하나 이상의 서비스 채널을 가질 수 있지만 여러 개를 가질 수 있다는 점을 강조해야 합니다. 이러한 유형의 시스템은 여러 요구 사항을 동시에 처리할 수 있습니다. 이 경우 모든 서비스 채널은 동일한 서비스를 제공하므로 다음과 같이 주장할 수 있습니다. 병행 서비스 .

예. 매장에 있는 금전 등록기.

서비스 시스템은 각 서비스 요구사항이 통과해야 하는 여러 가지 유형의 서비스 채널로 구성될 수 있습니다. 요구사항 서비스 절차가 일관되게 구현됩니다. . 서비스 메커니즘은 나가는(제공되는) 요청 흐름의 특성을 결정합니다.

예. 의료위원회.

결합 서비스 – 저축 은행 예금 관리: 먼저 관리자, 그다음 계산원. 원칙적으로 계산원 1인당 컨트롤러는 2명입니다.

그래서, 대기열 시스템의 기능은 다음과 같은 주요 요소에 의해 결정됩니다. :

  • 서비스 요청 접수 시점의 확률적 분포(단일 또는 그룹)
  • 요구사항 소스의 힘;
  • 서비스 지속 시간의 확률적 분포;
  • 서빙 시스템의 구성(병렬, 순차 또는 병렬 순차 서비스)
  • 서비스 채널의 수와 생산성;
  • 대기열 규율.

QS 기능의 효율성에 대한 주요 기준

처럼 대기열 시스템의 효율성에 대한 주요 기준 해결 중인 문제의 성격에 따라 다음이 나타날 수 있습니다.

  • 들어오는 애플리케이션이 즉시 서비스될 확률(P obsl = K obs / K post)
  • 들어오는 애플리케이션의 서비스 거부 확률(P 오픈 = K 오픈 / K 포스트)

분명히, P obsl + P open =1입니다.

흐름, 지연, 유지 관리. 폴라체크-킨친 공식

지연 – QS 서비스 기준 중 하나는 애플리케이션이 서비스를 기다리는 데 소요되는 시간입니다.

디– 요청 대기열의 지연 나;

W i =D i +S i– 시스템에서 필요한 시간 나.

(확률 1) – 대기열에 있는 요청의 설정된 평균 지연입니다.

(확률 1) – 요구사항이 QS(대기)에 있는 설정된 평균 시간입니다.

큐(티) –한 번에 대기열에 있는 요청 수 티;

엘(티)– 한 번에 시스템의 요구 사항 수 티(큐(티)한 번에 서비스되는 요구 사항 수 티.

그런 다음 표시기(존재하는 경우)

(확률 1) – 시간 경과에 따른 대기열의 정상 상태 평균 요청 수입니다.

(확률 1) - 시간 경과에 따른 시스템의 정상 상태 평균 수요 수입니다.

ρ에 주목하세요.<1 – обязательное условие существования 디, 승, Q그리고 엘큐잉 시스템에서.

ρ= λ/( Nμ), 신청서 접수 강도가 Nμ, ρ>1이고 시스템이 이러한 애플리케이션 흐름에 대처할 수 없는 것은 당연하므로 수량에 대해 말할 수 없습니다. 디, 승, Q그리고 엘.

대기열 시스템에 대한 가장 일반적이고 필요한 결과에는 보존 방정식이 포함됩니다.

위의 시스템 성능 평가 기준은 큐잉 시스템에 대해 분석적으로 계산될 수 있다는 점에 유의해야 합니다. 남/월/N(N>1), 즉 마르코프 요청 및 서비스 흐름이 있는 시스템입니다. 을 위한 M/G/ l 모든 배포판에 대해 G그리고 다른 시스템의 경우. 일반적으로 분석 솔루션이 가능하려면 도착 간 시간 분포, 서비스 시간 분포 또는 둘 다 지수적(또는 일종의 k차 지수 Erlang 분포)이어야 합니다.

또한 다음과 같은 특성에 대해서도 이야기할 수 있습니다.

  • 절대 시스템 용량 – А=Р obsl *λ;
  • 상대적인 시스템 용량 -

분석 솔루션의 또 다른 흥미롭고 예시적인 예 – 대기열 시스템에 대한 대기열의 정상 상태 평균 지연 계산 M/G/ 1 공식에 따르면:

.

러시아에서는 이 공식이 Pollacek 공식으로 알려져 있습니다. – Khinchin, 해외에서 이 공식은 Ross라는 이름과 연관되어 있습니다.

따라서 만약 E(에스)클수록 과부하가 발생합니다(이 경우 다음과 같이 측정됨). 디) 더 커질 것입니다. 이는 예상되는 것입니다. 또한 이 공식은 덜 분명한 사실도 드러냅니다. 평균 서비스 시간이 동일하더라도 서비스 시간 분포의 변동성이 증가하면 혼잡도 증가한다는 것입니다. 직관적으로 이는 다음과 같이 설명될 수 있습니다. 서비스 시간의 무작위 변수의 분산은 큰 값을 가질 수 있습니다(왜냐하면 이는 양수여야 하기 때문입니다). 대기열 증가.

큐잉 이론의 주제대기열 시스템의 기능과 운영 효율성을 결정하는 요소 간의 관계를 설정하는 것입니다. 대부분의 경우 큐잉 시스템을 설명하는 모든 매개변수는 확률 변수 또는 함수이므로 이러한 시스템은 확률론적 시스템에 속합니다.

응용 프로그램 흐름(요구 사항)의 무작위 특성과 일반적인 경우 서비스 기간으로 인해 대기열 시스템에서 무작위 프로세스가 발생한다는 사실이 발생합니다. 랜덤 프로세스의 특성상 큐잉 시스템(QS)에서 발생하는 것은 구별됩니다. Markovian 및 비Markovian 시스템 . Markov 시스템에서 들어오는 요구 사항 흐름과 서비스 요구 사항(애플리케이션)의 나가는 흐름은 포아송입니다. 포아송 흐름을 사용하면 대기열 시스템의 수학적 모델을 쉽게 설명하고 구성할 수 있습니다. 이러한 모델은 상당히 간단한 해법을 갖고 있으므로 큐잉 이론의 잘 알려진 응용 프로그램 중 대부분은 Markov 체계를 사용합니다. 비마르코프 프로세스의 경우 큐잉 시스템을 연구하는 문제가 훨씬 더 복잡해지고 컴퓨터를 사용한 통계 모델링 및 수치 방법을 사용해야 합니다.

운영을 연구할 때 유사한 문제를 해결할 때 재사용이 가능하도록 설계된 시스템을 자주 접하게 됩니다. 이 경우 발생하는 프로세스를 호출합니다. 서비스 프로세스및 시스템 - 큐잉 시스템(QS). 이러한 시스템의 예로는 전화 시스템, 수리점, 컴퓨터 단지, 매표소, 상점, 미용실 등이 있습니다.

각 QS는 특정 수의 서비스 단위(기기, 장치, 포인트, 스테이션)로 구성됩니다. 서비스 채널. 채널은 통신선, 작업 지점, 컴퓨터, 판매자 등이 될 수 있습니다. 채널 수에 따라 QS는 다음과 같이 구분됩니다. 단일 채널그리고 다중 채널.

신청서는 일반적으로 CMO에 의해 정기적으로 접수되지 않고 무작위로 접수됩니다. 무작위 애플리케이션 흐름(요구사항). 일반적으로 요청 서비스는 임의의 시간 동안 계속됩니다. 애플리케이션 흐름과 서비스 시간의 무작위적 특성으로 인해 QS가 불균일하게 로드된다는 사실이 발생합니다. 어떤 기간에는 매우 많은 수의 애플리케이션이 누적되고(대기열에 들어가거나 QS가 서비스되지 않은 상태로 남음) 다른 기간에는 QS는 저부하 또는 유휴 상태에서 작동합니다.

큐잉 이론의 주제 QS의 지정된 운영 조건(채널 수, 생산성, 요청 흐름의 성격 등)을 QS의 성능 지표와 연결하여 흐름에 대처하는 능력을 설명하는 수학적 모델을 구축하는 것입니다. 요청의.

처럼 QS 성과 지표사용됨: 단위 시간당 서비스되는 평균 애플리케이션 수 대기열에 있는 평균 응용 프로그램 수; 서비스 평균 대기 시간; 기다리지 않고 서비스를 거부할 가능성; 대기열에 있는 애플리케이션 수가 특정 값을 초과할 확률 등

QS는 두 가지 주요 유형(클래스)으로 나뉩니다. 실패가 있는 QS그리고 대기 중인 QS(큐). 거절이 있는 QS에서는 모든 채널이 바쁜 시간에 수신된 신청이 거절을 받고 QS를 떠나 추가 서비스 프로세스에 참여하지 않습니다(예: 모든 채널이 바쁜 시간에 전화 대화를 요청하는 경우) busy는 거절을 받고 QS를 서비스하지 않은 상태로 둡니다). 대기 중인 QS에서는 모든 채널이 바쁜 시간에 도착한 요청이 떠나지 않고 서비스 대기 상태가 됩니다.

대기 중인 대기열은 대기열 구성 방식에 따라 대기열 길이가 제한되거나 무제한인 경우, 대기 시간이 제한된 경우 등 다양한 유형으로 나뉩니다.

SMO 분류를 위해서는 다음이 중요합니다. 서비스 규율, 수신된 애플리케이션 중에서 애플리케이션을 선택하는 절차와 이를 무료 채널 간에 배포하는 절차를 결정합니다. 이를 바탕으로 애플리케이션 서비스는 "선착순", "마지막 도착-선착순" 원칙에 따라 구성될 수 있습니다. 예를 들어 서비스를 위해 창고에서 제품을 검색할 때 이 순서를 사용할 수 있습니다. 그 중 마지막 요청이 더 접근하기 쉬운 경우가 많음) 또는 우선 서비스(가장 중요한 요청이 먼저 처리되는 경우). 우선순위는 더 중요한 요청이 서비스의 일반 요청을 "대체"하는 경우 절대적일 수 있고(예: 긴급 상황 발생 시 긴급 상황이 제거될 때까지 수리 직원의 계획된 작업이 중단됨), 상대적일 수 있습니다. 더 중요한 요청은 "가장 좋은" 장소 대기열만 받습니다.

마르코프 랜덤 프로세스의 개념

QS의 업무 프로세스는 다음과 같습니다. 무작위 과정.

아래에 무작위(확률적 또는 확률적) 프로세스확률론적 법칙에 따라 시간이 지남에 따라 시스템의 상태가 변경되는 프로세스를 말합니다.

프로세스가 호출됩니다. 이산 상태의 프로세스, 가능한 상태인 경우 S_1,S_2,\ldots,S_n미리 나열할 수 있으며 시스템 상태에서 상태로의 전환이 즉시(점프에서) 발생합니다. 프로세스가 호출됩니다. 연속 시간 과정, 시스템이 상태에서 상태로 전환될 수 있는 순간이 미리 고정되어 있지 않고 무작위인 경우.

QS 작업 프로세스는 이산 상태와 연속 시간을 갖는 무작위 프로세스입니다. 이는 일부 이벤트(예: 새 요청 도착, 서비스 종료 등)가 발생할 때 임의의 순간에 QS 상태가 갑자기 변경된다는 것을 의미합니다.

QS 작업의 수학적 분석은 이 작업의 프로세스가 Markovian인 경우 상당히 단순화됩니다. 랜덤 프로세스가 호출됩니다. 마르코프식또는 결과가 없는 무작위 프로세스, 어떤 순간 t_0 동안 미래 프로세스의 확률적 특성은 주어진 순간 t_0의 상태에만 의존하고 시스템이 언제 어떻게 이 상태에 도달했는지에 의존하지 않는 경우.

Markov 프로세스의 예: 시스템 S는 택시 미터입니다. t 순간의 시스템 상태는 현재까지 자동차가 이동한 킬로미터(10분의 1킬로미터) 수로 특징지어집니다. 카운터가 시간 t_0에 S_0을 표시하도록 합니다. t>t_0 순간에 카운터가 이 숫자 또는 저 숫자(보다 정확하게는 해당 루블 수) S_1을 표시할 확률은 S_0에 따라 다르지만, 카운터 판독값이 이전에 변경된 시점에 의존하지 않습니다. 순간 t_0.

많은 프로세스가 대략적으로 Markovian으로 간주될 수 있습니다. 예를 들어, 체스를 두는 과정; 시스템 S는 체스 말 그룹입니다. 시스템 상태는 시간 t_0에 보드에 남아 있는 적 조각의 수로 특징지어집니다. t>t_0 순간에 물질적 이점이 상대방 중 한 사람의 편이 될 확률은 주로 t_0 순간의 시스템 상태에 따라 달라지며, 언제, 어떤 순서로 조각이 보드에서 사라졌는지에 달려 있지 않습니다. t_0 순간까지.

어떤 경우에는 고려 중인 프로세스의 선사시대를 무시하고 Markov 모델을 사용하여 이를 연구할 수 있습니다.

이산 상태의 무작위 프로세스를 분석할 때 소위 기하학적 체계를 사용하는 것이 편리합니다. 상태 그래프. 일반적으로 시스템 상태는 직사각형(원)으로 표시되며 상태 간 가능한 전환은 상태를 연결하는 화살표(방향이 지정된 호)로 표시됩니다.

예시 1.다음 무작위 프로세스의 상태 그래프를 구성합니다. 장치 S는 두 개의 노드로 구성되며, 각 노드는 임의의 순간에 실패할 수 있으며, 그 후 즉시 노드 복구를 시작하며 알 수 없는 무작위 시간 동안 계속됩니다.

해결책.가능한 시스템 상태: S_0 - 두 노드가 모두 작동 중입니다. S_1 - 첫 번째 장치가 수리 중이고 두 번째 장치가 작동 중입니다. S_2 - 두 번째 장치가 수리 중이고 첫 번째 장치가 작동 중입니다. S_3 - 두 장치 모두 수리 중입니다. 시스템 그래프는 그림 1에 나와 있습니다. 1.

예를 들어 S_0에서 S_1로 향하는 화살표는 첫 번째 노드가 실패하는 순간 시스템이 S_1에서 S_0으로 전환되는 것을 의미합니다. 이는 이 노드의 수리가 완료되는 순간의 전환입니다.

그래프에는 S_0에서 S_3, S_1에서 S_2까지의 화살표가 없습니다. 이는 노드 장애가 서로 독립적인 것으로 가정된다는 사실, 예를 들어 두 노드의 동시 장애(S_0에서 S_3으로 전환) 또는 두 노드의 수리가 동시에 완료될 확률(S_3에서 S_3으로 전환)로 설명됩니다. S_0)은 무시될 수 있습니다.

QS에 흐르는 이산 상태와 연속 시간을 갖는 마르코프 랜덤 프로세스에 대한 수학적 설명을 위해 확률 이론의 중요한 개념 중 하나인 사건 흐름의 개념을 알게 됩니다.

이벤트 스트림

아래에 이벤트의 흐름시간의 임의의 순간(예: 교환국에서의 통화 흐름, 컴퓨터 오류의 흐름, 고객의 흐름 등)에 차례로 이어지는 일련의 동질적인 이벤트로 이해됩니다.

흐름이 특징이다 강함\lambda - 이벤트 발생 빈도 또는 단위 시간당 QS에 들어가는 평균 이벤트 수입니다.

이벤트 스트림이 호출됩니다. 정기적인, 사건이 특정한 동일한 시간 간격으로 서로 이어지는 경우. 예를 들어, 조립 공장 조립 라인의 제품 흐름(일정한 속도)은 규칙적입니다.

이벤트 스트림이 호출됩니다. 변화 없는, 확률적 특성이 시간에 의존하지 않는 경우. 특히, 정지 흐름의 강도는 일정한 값입니다. \lambda(t)=\lambda. 예를 들어, 도시 도로의 자동차 흐름은 낮 동안 고정되어 있지 않지만, 이 흐름은 낮 동안, 예를 들어 출퇴근 시간 동안 고정된 것으로 간주될 수 있습니다. 후자의 경우 단위 시간(예: 분당)당 실제 통과하는 자동차 수는 서로 크게 다를 수 있지만 평균 수는 일정하며 시간에 의존하지 않습니다.

이벤트 스트림이 호출됩니다. 후유증 없이 흐르다, 겹치지 않는 두 기간 \tau_1 및 \tau_2에 대해 - 둘 중 하나에 해당하는 이벤트 수는 다른 기간에 해당하는 이벤트 수에 의존하지 않습니다. 예를 들어, 지하철에 진입하는 승객의 흐름은 사실상 후유증이 없습니다. 그리고 예를 들어, 구매를 하고 카운터를 떠나는 고객의 흐름은 이미 여파가 있습니다(개별 고객 간의 시간 간격이 각 고객의 최소 서비스 시간보다 작을 수 없기 때문에).

이벤트 스트림이 호출됩니다. 평범한, 작은(기본) 시간 간격 \Delta t에서 두 개 이상의 사건이 발생할 확률이 하나의 사건이 발생할 확률에 비해 무시할 수 있는 경우. 즉, 이벤트가 그룹으로 표시되지 않고 단독으로 표시되는 경우 이벤트의 흐름은 일반적인 것입니다. 예를 들어, 역에 접근하는 기차의 흐름은 평범하지만 자동차의 흐름은 평범하지 않습니다.

이벤트의 흐름을 가장 단순하다고 합니다(또는 고정식 푸아송), 동시에 정지되고 평범하며 후유증이 없는 경우."가장 단순한"이라는 이름은 가장 단순한 흐름을 가진 QS가 가장 간단한 수학적 설명을 갖는다는 사실로 설명됩니다. 일반 흐름은 여파가 있기 때문에 "가장 단순한" 흐름이 아닙니다. 이러한 흐름에서 이벤트가 발생하는 순간은 엄격하게 고정되어 있습니다.

가장 단순한 흐름은 확률 이론에서와 마찬가지로 자연스럽게 무작위 과정 이론에서도 한계로 나타납니다. 정규 분포는 무작위 변수의 합에 대한 한계로 나타납니다. 충분히 많은 수 n의 독립적이고 고정적이며 일반적인 흐름을 부과(중첩)합니다(강도가 서로 비교할 수 있음). \lambda_i~(i=1,2,\ldots,n)결과는 들어오는 흐름의 강도의 합과 동일한 강도 \lambda를 갖는 가장 단순한 흐름입니다. \textstyle(\lambda=\sum\limits_(i=1)^(n)\lambda_i). 시간 축 Ot(그림 1)에서 가장 단순한 이벤트 흐름을 무작위 지점의 무제한 시퀀스로 고려해 보겠습니다.

가장 간단한 흐름의 경우 임의의 시간 세그먼트 \tau에 속하는 이벤트(점)의 수 m이 분산되어 있음을 알 수 있습니다. 포아송의 법칙

P_(m)(\tau)= \frac((\lambda\tau)^m)(m\,e^{-\lambda\tau}, !}


확률 변수의 수학적 기대값은 분산과 동일합니다. a=\시그마^2=\람다\타우.

특히, \tau(m=0) 시간 동안 사건이 발생하지 않을 확률은 다음과 같습니다.

P_0(\tau)=e^(-\lambda\tau).

가장 단순한 흐름의 임의의 두 이웃 이벤트 사이의 시간 간격 T의 분포를 찾아보겠습니다.

(2)에 따르면, 길이 t의 기간 동안 후속 사건이 전혀 발생하지 않을 확률은 다음과 같습니다.

P(T\geqslant t)=e^(-\lambda t),


반대 사건의 확률, 즉 확률 변수 T의 분포 함수는 다음과 같습니다.

F(t)=P(티

랜덤 변수의 확률 밀도는 분포 함수(그림 3)의 미분입니다. 즉,

\varphi(t)=F"(t)=\lambda e^(-\lambda t).

확률밀도(5) 또는 분포함수(4)로 지정된 분포를 다음과 같이 부릅니다. 지시적(또는 지수). 따라서 인접한 두 임의 사건 사이의 시간 간격은 지수 분포를 가지며, 이에 대한 수학적 기대치는 무작위 변수의 표준 편차와 같습니다.

A=\sigma=\frac(1)(\lambda)

흐름 강도 \lambda에 따라 그 반대도 마찬가지입니다.

지수 분포의 가장 중요한 속성(지수 분포에만 내재됨)은 다음과 같습니다. 지수 법칙에 따라 분포된 기간이 이미 일정 시간 동안 지속된 경우 \tau는 분포에 어떤 식으로든 영향을 미치지 않습니다. 구간의 나머지 부분의 법칙(T-\tau): 전체 구간 T의 분포 법칙과 동일합니다.

즉, 지수 분포를 갖는 흐름의 연속된 두 인접 이벤트 사이의 시간 간격 T의 경우 이 간격이 발생한 시간에 대한 정보는 나머지 부분의 분포 법칙에 영향을 미치지 않습니다. 지수 법칙의 이러한 속성은 본질적으로 가장 단순한 흐름의 주요 속성인 "후유증 없음"에 대한 또 다른 공식입니다.

강도가 \lambda인 가장 단순한 흐름의 경우 타격 확률은 다음과 같습니다. 초등 (소)적어도 하나의 흐름 이벤트의 시간 간격 \Delta t는 (4)에 따라 동일합니다.

P_(\델타t)= P(T<\Delta t)= 1-e^{-\lambda\Delta t}\approx\lambda\Delta t.

(이 대략적인 공식은 함수를 대체하여 얻은 것입니다. e^(-\lambda\Delta t)\Delta t의 거듭제곱으로 확장된 처음 두 항만 더 작은 \Delta t)가 더 정확합니다.


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콜모고로프 방정식. 상태의 확률 제한 귀하의 브라우저에서 Javascript가 비활성화되어 있습니다.
계산을 수행하려면 ActiveX 컨트롤을 활성화해야 합니다!

다양한 수학적 방법을 형식화에 적용합니다. 예측할 수 없는 복잡한 시스템을 강조합니다. 담체불확실성은 사람입니다.

확률론적(무작위, 확률론적) 문제의 전형적인 예는 큐잉 시스템 모델입니다.

QS는 어디에나 존재합니다. 여기에는 전화 네트워크, 주유소, 소비자 서비스 시설, 매표소, 쇼핑 이벤트 등이 포함됩니다.

큐잉 프로세스를 모델링하는 관점에서 서비스에 대한 애플리케이션(요구사항) 큐가 형성되는 상황은 다음과 같이 발생합니다. 서비스 제공 시스템에 도달한 요청은 이전에 수신된 다른 요청의 대기열에 합류합니다. 서비스 채널은 서비스를 시작하기 위해 대기열에 있는 요청 중에서 요청을 선택합니다. 다음 요청 서비스 절차를 완료한 후 서비스 채널은 대기 블록에 요청이 있는 경우 다음 요청 서비스를 시작합니다. 이러한 종류의 QS 시스템의 작동 주기는 서비스 시스템의 전체 작동 기간 동안 여러 번 반복됩니다. 이전 요청 서비스가 완료된 후 다음 요청 서비스로의 시스템 전환은 무작위 시간에 즉각적으로 발생한다고 가정합니다.

CMO의 예는 다음과 같습니다.

    차량 정비소;

    자동차 수리소;

    감사회사 등

대기열 이론, 특히 대기열 이론의 창시자는 전화 교환기의 서비스 프로세스를 연구한 유명한 덴마크 과학자 A.K. Erlang(1878-1929)입니다.

서비스 프로세스가 이루어지는 시스템을 큐잉 시스템(QS)이라고 합니다.

대기열 시스템을 설명하려면 다음을 지정해야 합니다.

- 애플리케이션 입력 흐름

- 서비스 규율

- 서비스 시간

- 서비스 채널 수.

입력 스트림 요구사항(애플리케이션)은 확률론적으로 식별하여 설명됩니다. 유통법요구사항이 시스템에 입력되는 순간 요구 사항 수도착할 때마다.

설정시 서비스 분야(DO) 요청을 대기열에 추가하고 시스템에서 서비스하는 규칙을 설명하는 것이 필요합니다. 이 경우 대기열 길이는 제한되거나 무제한일 수 있습니다. 대기열 길이에 제한이 있는 경우 QS 입구에서 접수된 신청서는 거부됩니다. 가장 일반적으로 사용되는 DO는 다음 규칙에 따라 정의됩니다.

선착순;

    가장 늦게 도착하고 가장 먼저 음식을 받습니다. (테니스 공 상자, 기술 스택)

    응용 프로그램의 무작위 선택;

    우선순위 기준에 따라 애플리케이션을 선택합니다.

서비스 시간 QS에 대한 요청은 무작위 변수입니다. 가장 일반적인 분포법칙은 지수법칙입니다.  - 서비스 속도. =서비스 요청 수/단위. 시간.

서비스 채널, 병렬 또는 직렬로 배열할 수 있습니다. 채널을 순차적으로 배열하면 각 요청이 모든 채널에서 순차적으로 처리됩니다. 채널을 병렬로 배열하면 모든 채널을 사용할 수 있게 되면 동시에 모든 채널에 대해 유지 관리가 수행됩니다.

QS의 일반화된 구조는 그림 1에 나와 있습니다.

주제 큐잉 이론 QS의 기능과 기능의 효율성을 결정하는 요소 사이의 관계를 설정하는 것입니다.

QS 설계의 문제.

QS 구조의 특성을 결정하는 작업에는 서비스 채널 수(기본 요소(F)를 선택하는 작업이 포함됩니다. 나)), 채널 연결 방법(연결 요소 집합(Hj))을 결정하는 작업, 채널 용량을 결정하는 문제도 있습니다.

1). 구조의 선택. 채널이 병렬로 작동하는 경우 Str 선택의 문제는 QS의 작동성을 보장하는 조건에 따라 서빙 부분의 채널 수를 결정하는 것으로 귀결됩니다. (대기열이 무한히 커지지 않는 한)

병렬 배열의 경우 시스템 채널 수를 결정할 때 다음 사항을 준수해야 합니다. 시스템 운용성 조건. 다음을 표시해 보겠습니다. - 단위 시간당 수신된 평균 애플리케이션 수, 즉 입력 흐름 강도;  - 단위 시간당 충족된 평균 애플리케이션 수, 즉 서비스 강도; 에스 - 서비스 채널 수. 그런 다음 QS 작동 조건이 작성됩니다.

또는
. 이 조건을 충족하면 채널 수의 하한을 계산할 수 있습니다.

만약에
, 시스템이 대기열을 처리할 수 없습니다. 대기열은 끝없이 늘어납니다.

2). 운영효율의 기준을 정할 필요가 있다 QS는 애플리케이션 부분과 서비스 부분 모두에서 낭비되는 시간 비용을 고려합니다.

다음 세 가지 주요 지표 그룹은 QS 기능의 효율성을 나타내는 지표로 간주됩니다.

1. QS 사용 효과에 대한 지표.

    QS의 절대 용량은 단위 시간당 QS가 처리할 수 있는 평균 요청 수입니다.

    QS의 상대 용량은 이 시간 동안 수신된 평균 애플리케이션 수에 대한 단위 시간당 QS에서 제공하는 평균 애플리케이션 수의 비율입니다.

    CMO의 평균 고용 기간입니다.

    QS 활용률은 QS가 요청을 처리하는 데 소요되는 평균 시간 비율입니다.

2. 요청 서비스에 대한 품질 지표.

    대기열에 있는 애플리케이션의 평균 대기 시간입니다.

    애플리케이션이 CMO에 머무르는 평균 시간입니다.

    요청이 기다리지 않고 서비스가 거부될 확률입니다.

    접수된 신청서가 서비스에 즉시 승인될 확률입니다.

    대기열에 있는 애플리케이션의 대기 시간 분포 법칙.

    애플리케이션이 QS에 머무르는 시간의 분배 법칙입니다.

    대기열에 있는 평균 애플리케이션 수입니다.

    CMO의 평균 애플리케이션 수입니다.

3. "SMO-소비자"쌍의 기능 효율성에 대한 지표.

QS 운영 효율성에 대한 기준을 선택할 때 큐잉 시스템을 고려하는 이중 접근 방식을 고려할 필요가 있습니다. 예를 들어, 슈퍼마켓의 업무는 CMO처럼 반대편에서 볼 수 있습니다. 전통적으로 금전 등록기에서 줄을 서서 기다리는 구매자는 서비스 요청을 나타내고 계산원은 서비스 채널이 됩니다. 반면, 고객을 기다리고 있는 계산원은 서비스 요청으로 간주될 수 있으며, 구매자는 요청을 만족시킬 수 있는 서비스 장치, 즉 금전 등록기로 가서 계산원의 강제 가동 중지 시간을 중지하세요. (전통적으로 계산원보다 구매자 > 구매자보다 계산원이 구매자보다 많은 경우 구매자를 기다립니다.)

와 함께
이를 고려하여 QS의 두 부분을 동시에 최소화하는 것이 좋습니다.

이러한 이중 접근 방식의 사용은 효율성 기준을 형성할 때 위에 별도로 나열된 지표뿐만 아니라 서비스 및 서비스되는 QS 하위 시스템 모두의 이익을 반영하는 여러 지표를 동시에 고려할 필요가 있음을 전제로 합니다. 예를 들어 대기열 문제에서 가장 중요한 효율성 기준은 클라이언트가 대기열에서 소비하는 총 시간과 서비스 채널의 유휴 시간인 것으로 나타났습니다.

대기열 시스템의 분류

1. 서비스의 성격에 따라 다음과 같은 유형의 QS를 구분합니다.

1.1. 대기 시스템 또는 대기열 시스템. 시스템에 들어오고 서비스에 대해 즉시 수락되지 않는 요청은 대기열에 누적됩니다. 채널이 사용 가능하면 요청이 처리됩니다. 요청을 받은 시점에 모든 채널이 사용 중이면 이전 요청이 완료된 후 다음 요청이 처리됩니다. 이러한 시스템을 완전 액세스 가능(무제한 대기열 포함)이라고 합니다.

특정 시점에 유지 관리가 시작되는 자율 유지 관리 시스템이 있습니다.

      대기열이 제한된 시스템. (차고에서 수리)

      오류가 있는 시스템. 신청서가 접수된 시점에 도착하는 신청서는 모두 거부됩니다. (GTS)

      그룹 입력 흐름과 그룹 서비스를 갖춘 시스템. 이러한 시스템에서는 요청이 특정 시점에 그룹으로 도착하고 서비스도 그룹으로 발생합니다.

2. QS는 서비스 채널 수에 따라 다음과 같이 구분됩니다.

단일 채널 SMO.

다중채널 QS. 다음 요청의 서비스는 이전 요청의 서비스가 종료되기 전에 시작될 수 있습니다. 각 채널은 독립적인 서비스 장치로 작동합니다.

3. 서비스 대상의 범위에 따라 두 가지 유형으로 구분됩니다.

폐쇄된 QS.폐쇄형 대기열 시스템은 서비스된 요청이 시스템에 반환되고 서비스를 위해 다시 입력될 수 있는 대기열 시스템입니다. 폐쇄형 QS의 예로는 수리점과 저축은행이 있습니다.

SMO를 엽니다.

4. 서비스 단계 수에 따라 단상 및 다상 QS 시스템이 구분됩니다.

단상 QS는 동일한 서비스 작업을 수행하는 동종 시스템입니다.

다상 QS는 서비스 채널을 순차적으로 배열하여 다양한 서비스 동작을 수행하는 시스템이다. 다단계 QS의 예로는 자동차 서비스 스테이션이 있습니다.

주어진 QS 분류는 조건부입니다. 실제로 대부분의 QS는 혼합 시스템으로 작동합니다. 예를 들어, 요청은 특정 시점까지 서비스가 시작되기를 기다렸다가 그 이후에는 시스템이 장애가 있는 시스템으로 작동하기 시작합니다.



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