유리 방정식 이론. 정수 및 분수 유리 방정식 풀기
\(\bullet\) 유리 방정식은 \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] 형식으로 표현되는 방정식입니다. 여기서 \(P(x), \Q(x)\ ) - 다항식(다양한 거듭제곱의 "X"의 합에 다양한 숫자를 곱함).
방정식의 좌변에 있는 식을 유리식이라고 합니다.
유리방정식의 EA(허용값의 범위)는 분모가 사라지지 않는 \(x\)의 모든 값, 즉 \(Q(x)\ne 0\) 입니다.
\(\bullet\) 예를 들어, 방정식 \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\]유리 방정식입니다.
첫 번째 방정식에서 ODZ는 모두 \(x\)이므로 \(x\ne 3\)입니다(쓰기) \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)); 두 번째 방정식에서 – 이것들은 모두 \(x\)이므로 \(x\ne -1; x\ne 1\)입니다(쓰기) \(x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)\)); 세 번째 방정식에서는 ODZ에 대한 제한이 없습니다. 즉, ODZ는 모두 \(x\)입니다(\(x\in\mathbb(R)\)라고 씁니다). \(\bullet\) 정리:
1) 두 요소의 곱은 그 중 하나가 0이고 다른 하나가 의미를 잃지 않는 경우에만 0과 같습니다. 따라서 방정식 \(f(x)\cdot g(x)=0\ )는 시스템과 동일합니다. \[\begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(aligned) \end(gathered) \right.\\ \ 텍스트(ODZ 방정식)\end(케이스)\] 2) 분수는 분자가 0이고 분모가 0이 아닌 경우에만 0과 같습니다. 따라서 방정식 \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ )는 방정식 시스템과 동일합니다. \[\begin(케이스) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end(케이스)\]\(\bullet\) 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
1) 방정식 \(x+1=\dfrac 2x\) 을 푼다. 이 방정식의 ODZ를 찾아보겠습니다. 이는 \(x\ne 0\)입니다(\(x\)가 분모에 있으므로).
이는 ODZ가 다음과 같이 작성될 수 있음을 의미합니다.
모든 용어를 하나의 부분으로 이동하여 공통 분모로 가져옵니다. \[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin( 건수) x^2+x-2=0\\x\ne 0\end(건수)\]시스템의 첫 번째 방정식에 대한 해는 \(x=-2, x=1\) 입니다. 우리는 두 근이 모두 0이 아니라는 것을 알 수 있습니다. 따라서 답은 \(x\in \(-2;1\)\) 입니다.
2) 방정식을 푼다 \(\왼쪽(\dfrac4x - 2\오른쪽)\cdot(x^2-x)=0\). 이 방정식의 ODZ를 찾아봅시다. 왼쪽이 의미가 없는 \(x\)의 유일한 값은 \(x=0\) 이라는 것을 알 수 있습니다. 따라서 ODZ는 다음과 같이 작성할 수 있습니다. \(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
따라서 이 방정식은 다음 시스템과 동일합니다.
\[\begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(aligned) \end(gathered) \right. \\ x\ne 0 \end(케이스) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(케이스) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \end(정렬됨) \end(수집됨) \right.\\ x\ne 0 \end(케이스) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(케이스) \left[ \begin(수집됨)\begin(정렬됨) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(정렬됨) \end(수집됨) \right.\\ x\ne 0 \end(건수) \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin(수집됨) \begin(정렬) &x=2\\ &x=1 \end(정렬) \end(수집) \right.\]실제로 \(x=0\)이 두 번째 요인의 근이라는 사실에도 불구하고 \(x=0\)을 원래 방정식에 대입하면 의미가 없습니다. 왜냐하면 표현식 \(\dfrac 40\)이 정의되지 않았습니다.
따라서 이 방정식의 해는 \(x\in \(1;2\)\) 입니다.
3) 방정식을 푼다 \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\]방정식 \(4x^2-1\ne 0\) 에서 \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) , 즉 \(x\ne -\frac12; \frac12 \) .
모든 용어를 왼쪽으로 이동하여 공통 분모로 가져옵니다.
\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \quad \Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow \quad \begin(케이스) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(케이스) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(케이스) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(케이스) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(케이스) \left[ \begin(gathered) \begin( 정렬됨) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end(정렬됨)\end(수집됨) \right.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(케이스) \quad \ 왼쪽 오른쪽 화살표 \quad x=-3\)
답: \(x\in \(-3\)\) .
논평. 답이 유한한 숫자 집합으로 구성된 경우 이전 예에서 표시된 것처럼 중괄호 안에 세미콜론으로 구분하여 작성할 수 있습니다.
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우리는 이미 이차 방정식을 푸는 방법을 배웠습니다. 이제 연구된 방법을 유리 방정식으로 확장해 보겠습니다.
합리적인 표현이란 무엇입니까? 우리는 이미 이 개념을 접했습니다. 유리식숫자, 변수, 그 거듭제곱, 수학 연산 기호로 구성된 표현입니다.
따라서 유리 방정식은 다음 형식의 방정식입니다. 
- 합리적인 표현.
이전에는 선형 방정식으로 축소될 수 있는 유리 방정식만 고려했습니다. 이제 이차 방정식으로 축소될 수 있는 유리 방정식을 살펴보겠습니다.
실시예 1
방정식을 푼다: .
해결책:
분수는 분자가 0이고 분모가 0이 아닌 경우에만 0과 같습니다.
우리는 다음과 같은 시스템을 얻습니다.
시스템의 첫 번째 방정식은 이차 방정식입니다. 이를 풀기 전에 모든 계수를 3으로 나누어 보겠습니다. 우리는 다음을 얻습니다.
우리는 두 개의 뿌리를 얻습니다: ; .
2는 0이 될 수 없으므로 두 가지 조건이 충족되어야 합니다. 
. 위에서 구한 방정식의 근 중 어느 것도 두 번째 부등식을 풀 때 구한 변수의 유효하지 않은 값과 일치하지 않으므로 둘 다 이 방정식의 해입니다.
답변:.
이제 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘을 공식화해 보겠습니다.
1. 오른쪽이 0이 되도록 모든 항을 왼쪽으로 이동합니다.
2. 좌변을 변환하고 단순화하여 모든 분수를 공통 분모로 가져옵니다.
3. 다음 알고리즘을 사용하여 결과 분수를 0과 동일시합니다. 
.
4. 첫 번째 방정식에서 얻은 근을 적고 답에서 두 번째 부등식을 만족시킵니다.
또 다른 예를 살펴보겠습니다.
실시예 2
방정식을 푼다: 
.
해결책
처음에는 0이 오른쪽에 남도록 모든 항을 왼쪽으로 이동합니다. 우리는 다음을 얻습니다.
이제 방정식의 왼쪽을 공통 분모로 가져오겠습니다.
이 방정식은 다음 시스템과 동일합니다.
시스템의 첫 번째 방정식은 이차 방정식입니다.
이 방정식의 계수: . 판별식을 계산합니다.
우리는 두 개의 뿌리를 얻습니다: ; .
이제 두 번째 부등식을 풀어 보겠습니다. 요소 중 어느 것도 0이 아닌 경우에만 요소의 곱은 0과 같지 않습니다.
두 가지 조건이 충족되어야 합니다. 
. 우리는 첫 번째 방정식의 두 근 중 하나만 적합하다는 것을 알았습니다 - 3.
답변:.
이번 수업에서는 유리식이 무엇인지 기억하고 유리방정식을 풀어 이차방정식으로 바꾸는 방법도 배웠습니다.
다음 강의에서 우리는 실제 상황의 모델로서 유리 방정식을 살펴보고 운동 문제도 살펴볼 것입니다.
서지
- Bashmakov M.I. 대수학, 8학년. - M .: 교육, 2004.
- Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. 및 기타 대수학, 8. 5판. - M .: 교육, 2010.
- Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. 대수학, 8학년. 일반 교육 기관용 교과서. - M .: 교육, 2006.
- 교육적 아이디어 축제 "공개 수업"().
- School.xvatit.com ().
- Rudocs.exdat.com ().
숙제
§ 1 정수 및 분수 유리 방정식
이번 강의에서는 유리수식, 유리수식, 전체식, 분수식 등의 개념을 살펴보겠습니다. 유리 방정식을 푸는 것을 고려해 봅시다.
유리방정식은 좌변과 우변이 유리식인 방정식이다.
유리식은 다음과 같습니다.
분수.
정수 표현식은 0이 아닌 숫자로 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기를 사용하는 숫자, 변수, 정수 거듭제곱으로 구성됩니다.
예를 들어:
분수 표현에는 변수로 나누기 또는 변수가 있는 표현식이 포함됩니다. 예를 들어:
분수 표현은 그 안에 포함된 변수의 모든 값에 대해 의미가 없습니다. 예를 들어, 다음 표현식은
x = -9에서는 분모가 0이 되기 때문에 x = -9에서는 의미가 없습니다.
이는 유리 방정식이 정수 또는 분수가 될 수 있음을 의미합니다.
전체 유리방정식은 좌변과 우변이 전체 표현식인 유리방정식이다.
예를 들어:
분수 유리 방정식은 왼쪽이나 오른쪽이 분수 표현식인 유리 방정식입니다.
예를 들어:
§ 2 전체 유리 방정식의 해
전체 유리 방정식의 해를 고려해 봅시다.
예를 들어:
방정식의 양쪽에 포함된 분수의 분모의 최소 공통 분모를 곱해 봅시다.
이를 위해:
1. 분모 2, 3, 6의 공통분모를 찾습니다. 이는 6과 같습니다.
2. 각 분수에 대한 추가 요인을 찾으십시오. 이렇게 하려면 공통분모 6을 각 분모로 나눕니다.
분수에 대한 추가 요소
분수에 대한 추가 요소
3. 분수의 분자에 해당 추가 요소를 곱합니다. 따라서 우리는 방정식을 얻습니다.
이는 주어진 방정식과 동일합니다
왼쪽의 괄호를 열고 오른쪽 부분을 왼쪽으로 이동하여 반대쪽으로 옮길 때 용어의 부호를 변경해 보겠습니다.
다항식의 비슷한 항을 가져와서
우리는 방정식이 선형임을 알 수 있습니다.
이를 풀면 x = 0.5라는 것을 알 수 있습니다.
§ 3 분수 유리 방정식의 해
분수 유리 방정식을 푸는 것을 고려해 봅시다.
예를 들어:
1. 방정식의 양쪽에 방정식에 포함된 유리수 분모의 최소 공통 분모를 곱합니다.
분모 x + 7과 x - 1의 공통분모를 찾아봅시다.
이는 그들의 곱(x + 7)(x - 1)과 같습니다.
2. 각 유리분수에 대한 추가인수를 찾아봅시다.
이렇게 하려면 공통 분모 (x + 7)(x - 1)를 각 분모로 나눕니다. 분수에 대한 추가 인수
x - 1과 같고,
분수에 대한 추가 요소
x+7과 같습니다.
3. 분수의 분자에 해당 추가 요소를 곱합니다.
우리는 방정식 (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7)을 얻습니다. 이는 이 방정식과 같습니다.
4.좌우의 이항식에 이항식을 곱하여 다음 방정식을 얻습니다.
5. 반대쪽으로 옮길 때 각 용어의 부호를 변경하여 오른쪽을 왼쪽으로 이동합니다.
6. 다항식의 유사한 용어를 제시해 보겠습니다.
7. 양변은 -1로 나눌 수 있습니다. 우리는 이차 방정식을 얻습니다.
8. 문제를 해결하면 뿌리를 찾을 수 있습니다
방정식에서 이후.
왼쪽과 오른쪽은 분수식인데, 분수식에서는 변수의 일부 값에 대해 분모가 0이 될 수 있는데, 그러면 x1과 x2를 찾았을 때 공통분모가 0이 되지 않는지 확인이 필요하다. .
x = -27에서 공통분모 (x + 7)(x - 1)는 사라지지 않으며, x = -1에서 공통분모도 0이 아닙니다.
따라서 근 -27과 -1은 모두 방정식의 근입니다.
분수 유리 방정식을 풀 때 허용되는 값의 범위를 즉시 표시하는 것이 좋습니다. 공통분모가 0이 되는 값을 제거합니다.
분수 유리 방정식을 푸는 또 다른 예를 고려해 봅시다.
예를 들어 방정식을 풀어 봅시다.
방정식 오른쪽에 있는 분수의 분모를 인수분해합니다.
우리는 방정식을 얻습니다
분모 (x - 5), x, x(x - 5)의 공통분모를 찾아봅시다.
이는 x(x - 5) 표현식이 됩니다.
이제 방정식의 허용 가능한 값 범위를 찾아 보겠습니다.
이를 위해 공통분모를 0 x(x - 5) = 0으로 동일시합니다.
우리는 x = 0 또는 x = 5에서 공통 분모가 0이 된다는 것을 찾는 방정식을 얻습니다.
이는 x = 0 또는 x = 5가 방정식의 근이 될 수 없음을 의미합니다.
이제 추가 승수를 찾을 수 있습니다.
유리 분수에 대한 추가 인수
분수에 대한 추가 요소
(x - 5)가 될 것입니다.
그리고 분수의 추가 요소
분자에 해당 추가 요소를 곱합니다.
방정식 x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5)를 얻습니다.
왼쪽과 오른쪽의 괄호를 열어 보겠습니다. x2 - 3x + x - 5 = x + 5.
이전된 용어의 부호를 변경하여 용어를 오른쪽에서 왼쪽으로 이동해 보겠습니다.
X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0
그리고 비슷한 항을 가져온 후 이차 방정식 x2 - 3x - 10 = 0을 얻습니다. 이를 풀면 근 x1 = -2를 찾습니다. x2 = 5.
그러나 우리는 x = 5에서 공통분모 x(x - 5)가 0이 된다는 것을 이미 알아냈습니다. 그러므로 우리 방정식의 근본은
x = -2가 됩니다.
§ 4 수업의 간략한 요약
기억해야 할 중요 사항:
분수 유리 방정식을 풀 때 다음과 같이 진행하십시오.
1. 방정식에 포함된 분수의 공통분모를 찾으세요. 또한, 분수의 분모를 인수분해할 수 있으면 이를 인수분해한 다음 공통분모를 찾으세요.
2. 방정식의 양쪽에 공통 분모를 곱합니다. 추가 요소를 찾고 분자에 추가 요소를 곱합니다.
3. 결과 전체 방정식을 풀어보세요.
4. 공통분모를 사라지게 만드는 것들을 뿌리부터 제거하라.
사용된 문헌 목록:
- Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / 편집자: Telyakovsky S.A. 대수학 : 교과서. 8학년용. 일반 교육 기관. - M .: 교육, 2013.
- 모르드코비치 A.G. 대수학. 8학년: 두 부분으로 구성됩니다. 1부: 교과서. 일반 교육용 기관. -M .: Mnemosyne.
- 루루킨 A.N. 대수학 수업 개발: 8학년 - M.: VAKO, 2010.
- 대수학 8학년: Yu.N.의 교과서를 바탕으로 한 수업 계획. 마카리체바, N.G. 민덕, K.I. 네쉬코바, S.B. Suvorova / Auth.-comp. T.L. 아파나시예바, LA 타필리나. -볼고그라드: 교사, 2005.
분수 유리 방정식 풀기
참조 가이드
유리방정식은 좌변과 우변이 모두 유리식인 방정식이다.
(기억하세요: 유리수식은 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 연산을 포함하여 근수가 없는 정수 및 분수식입니다. 예: 6x; (m – n)2; x/3y 등)
분수 유리 방정식은 일반적으로 다음 형식으로 축소됩니다.
어디 피(엑스) 그리고 큐(엑스)는 다항식입니다.
이러한 방정식을 풀려면 방정식의 양쪽에 Q(x)를 곱하면 외부 근이 나타날 수 있습니다. 따라서 분수 유리 방정식을 풀 때는 찾은 근을 확인하는 것이 필요합니다.
유리 방정식이 변수를 포함하는 표현식으로 나누어지지 않으면 전체 또는 대수 방정식이라고 합니다.
전체 유리 방정식의 예:
5x – 10 = 3(10 – x)
3배
- = 2x – 10
4
유리 방정식에 변수(x)를 포함하는 표현식으로 나누기가 있는 경우 방정식을 분수 유리라고 합니다.
분수 유리 방정식의 예:
15
x + - = 5x – 17
엑스
분수 유리 방정식은 일반적으로 다음과 같이 해결됩니다.
1) 분수의 공통 분모를 찾아 방정식의 양쪽에 이를 곱합니다.
2) 결과 전체 방정식을 푼다.
3) 분수의 공통 분모를 0으로 줄이는 것을 뿌리에서 제외합니다.
정수 및 분수 유리 방정식을 푸는 예.
예 1. 전체 방정식을 풀어 봅시다
x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6
해결책:
최소 공통 분모를 찾는 것입니다. 이것은 6입니다. 6을 분모로 나누고 결과 결과에 각 분수의 분자를 곱합니다. 우리는 다음과 같은 방정식을 얻습니다.
3(x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6
좌변과 우변의 분모가 같으므로 생략할 수 있습니다. 그러면 우리는 더 간단한 방정식을 얻습니다.
3(x – 1) + 4x = 5x.
괄호를 열고 비슷한 용어를 결합하여 문제를 해결합니다.
3x – 3 + 4x = 5x
3배 + 4배 – 5배 = 3
예제가 해결되었습니다.
예 2. 분수 유리 방정식 풀기
x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x(x – 5)
공통분모를 찾아보세요. 이것은 x(x – 5)입니다. 그래서:
x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)
이제 분모는 모든 표현에 동일하므로 다시 제거합니다. 유사한 용어를 줄이고 방정식을 0으로 동일시하고 이차 방정식을 얻습니다.
x 2 – 3x + x – 5 = x + 5
x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0
x 2 – 3x – 10 = 0.
이차 방정식을 풀면 -2와 5의 근을 찾습니다.
이 숫자가 원래 방정식의 근인지 확인해 봅시다.
x = –2에서 공통분모 x(x – 5)는 사라지지 않습니다. 이는 -2가 원래 방정식의 근임을 의미합니다.
x = 5에서 공통분모는 0이 되고 3개의 표현식 중 2개는 의미가 없게 됩니다. 이는 숫자 5가 원래 방정식의 근이 아니라는 것을 의미합니다.
답: x = -2
더 많은 예시
예시 1.
x 1 =6, x 2 = - 2.2.
답: -2,2;6.
예시 2.
이번 글에서는 보여드리겠습니다 7가지 유형의 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘, 이는 변수를 변경하여 2차로 줄일 수 있습니다. 대부분의 경우 교체로 이어지는 변형은 매우 사소하지 않으며 스스로 추측하기가 매우 어렵습니다.
각 방정식 유형에 대해 변수를 변경하는 방법을 설명한 다음 해당 비디오 튜토리얼에서 자세한 솔루션을 보여 드리겠습니다.
방정식을 계속해서 직접 풀 수 있는 기회가 주어지며, 비디오 강의를 통해 해법을 확인할 수 있습니다.
그럼 시작해 보겠습니다.
1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40
방정식의 왼쪽에는 4개의 괄호의 곱이 있고 오른쪽에는 숫자가 있습니다.
1. 자유 항의 합이 동일하도록 괄호를 2개로 그룹화해 보겠습니다.
2. 그것들을 곱하세요.
3. 변수의 변화를 소개해보자.
방정식에서 (-1)+(-4)=(-7)+2이므로 첫 번째 대괄호를 세 번째 대괄호로, 두 번째 대괄호를 네 번째 대괄호로 그룹화합니다.
이 시점에서 변수 대체가 명확해집니다.
우리는 방정식을 얻습니다 
답변: 
2 .
이 유형의 방정식은 한 가지 차이점을 제외하고 이전 방정식과 유사합니다. 방정식의 오른쪽에는 숫자와 의 곱이 있습니다. 그리고 이는 완전히 다른 방식으로 해결됩니다.
1. 자유 조건의 곱이 동일하도록 괄호를 두 개로 그룹화합니다.
2. 각 괄호 쌍을 곱합니다.
3. 각 요인에서 x를 빼냅니다.
4. 방정식의 양변을 로 나눕니다.
5. 변수의 변화를 소개합니다.
이 방정식에서는 첫 번째 대괄호를 네 번째 대괄호로, 두 번째 대괄호를 세 번째 대괄호로 그룹화합니다. 그 이유는 다음과 같습니다.
각 괄호에서 계수와 자유 항은 동일합니다. 각 괄호에서 요소를 추출해 보겠습니다.
x=0은 원래 방정식의 근이 아니므로 방정식의 양변을 로 나눕니다. 우리는 다음을 얻습니다:
우리는 방정식을 얻습니다. 
답변: 
3
. 
두 분수의 분모에는 최고차 계수와 자유 항이 동일한 2차 삼항식이 포함되어 있습니다. 두 번째 유형의 방정식에서와 같이 괄호에서 x를 제거해 보겠습니다. 우리는 다음을 얻습니다:
각 분수의 분자와 분모를 x로 나눕니다.
이제 변수 대체를 도입할 수 있습니다.
변수 t에 대한 방정식을 얻습니다.
4 .
방정식의 계수는 중앙 계수에 대해 대칭입니다. 이 방정식은 반품 가능 .
그것을 해결하려면,
1. 방정식의 양변을 다음과 같이 나눕니다. (x=0이 방정식의 근이 아니기 때문에 이렇게 할 수 있습니다.) 다음을 얻습니다.
2. 다음과 같이 용어를 그룹화해 보겠습니다.
3. 각 그룹에서 괄호 안의 공통인수를 빼봅시다.
4. 대체품을 소개하겠습니다.
5. t를 통해 다음 표현식을 표현합니다.
여기에서 
우리는 t에 대한 방정식을 얻습니다.
답변:
5. 동차 방정식.
지수방정식, 대수방정식, 삼각방정식을 풀 때 동질적인 구조를 갖는 방정식을 만날 수 있으므로 이를 인식할 수 있어야 합니다.
동종 방정식의 구조는 다음과 같습니다.
이 등식에서 A, B, C는 숫자이고 사각형과 원은 동일한 표현을 나타냅니다. 즉, 동차방정식의 좌변에는 같은 차수의 단항식의 합(이 경우 단항식의 차수는 2)이 있고, 자유항은 존재하지 않습니다.
동차 방정식을 풀려면 양변을 다음으로 나눕니다.
주목! 미지수가 포함된 식으로 방정식의 우변과 좌변을 나누면 근을 잃을 수 있습니다. 그러므로 방정식의 양변을 나누는 식의 근이 원래 방정식의 근인지 확인하는 것이 필요하다.
첫 번째 길로 갑시다. 우리는 방정식을 얻습니다.
이제 변수 교체를 소개합니다.
표현식을 단순화하고 t에 대한 2차 방정식을 구해 보겠습니다.
답변:또는
7
. 
이 방정식의 구조는 다음과 같습니다.
이를 해결하려면 방정식의 왼쪽에서 완전한 정사각형을 선택해야 합니다.
완전한 정사각형을 선택하려면 곱의 두 배를 더하거나 빼야 합니다. 그런 다음 합계 또는 차이의 제곱을 얻습니다. 이는 성공적인 변수 교체에 매우 중요합니다.
제품을 두 번 찾는 것부터 시작하겠습니다. 이것이 변수 교체의 핵심이 될 것입니다. 우리 방정식에서 곱의 두 배는 다음과 같습니다.
이제 합의 제곱 또는 차이 중 무엇이 더 편리한지 알아봅시다. 먼저 표현식의 합을 고려해 보겠습니다.
엄청난! 이 표현은 곱의 두 배와 정확히 같습니다. 그런 다음 괄호 안의 합계의 제곱을 얻으려면 이중 곱을 더하고 빼야 합니다.
