두 개의 미지수를 갖는 다항식을 인수분해합니다. 다항식

27.09.2019

n차 대수 다항식은 다음 형식의 n-선형 인자와 최고 차수 x에서의 다항식의 계수인 상수의 곱으로 표현될 수 있습니다.

어디 - 다항식의 근입니다.

다항식의 근은 다항식을 사라지게 만드는 숫자(실수 또는 복소수)입니다. 다항식의 근은 실수 근이거나 복소수 켤레 근일 수 있으며, 다항식은 다음 형식으로 표현될 수 있습니다:

"n"차 다항식을 1차 및 2차 인수의 곱으로 분해하는 방법을 고려해 보겠습니다.

방법 1번.미정 계수 방법.

이러한 변환된 표현식의 계수는 부정 계수 방법에 의해 결정됩니다. 이 방법의 핵심은 주어진 다항식이 분해되는 요인의 유형을 미리 알고 있다는 것입니다. 불확실한 계수 방법을 사용하는 경우 다음 설명이 참입니다.

P.1. x의 동일한 거듭제곱에 대해 계수가 동일하면 두 다항식은 동일하게 같습니다.

P.2. 3차 다항식은 선형 및 2차 인수의 곱으로 분해됩니다.

P.3. 모든 4차 다항식은 두 개의 2차 다항식의 곱으로 분해될 수 있습니다.

예제 1.1. 3차 표현식을 인수분해해야 합니다.

P.1. 허용된 진술에 따르면 삼차 표현에 대해서도 동일한 동등성이 유지됩니다.

P.2. 식의 우변은 다음과 같은 항으로 표현될 수 있다.

P.3. 우리는 삼차 표현의 해당 거듭제곱에서 계수의 동일 조건으로부터 방정식 시스템을 구성합니다.

이 연립방정식은 계수를 선택하여 풀거나(간단한 학문적 문제인 경우) 비선형 연립방정식을 해결하는 방법을 사용할 수 있습니다. 이 방정식 시스템을 풀면 불확실한 계수가 다음과 같이 결정된다는 것을 알 수 있습니다.

따라서 원래 표현식은 다음 형식으로 인수분해됩니다.

이 방법은 분석 계산과 컴퓨터 프로그래밍 모두에서 방정식의 근을 찾는 과정을 자동화하는 데 사용할 수 있습니다.

방법 번호 2.비에타 공식

비에타의 공식은 n차 대수 방정식의 계수와 그 근을 연결하는 공식입니다. 이 공식은 프랑스 수학자 프랑수아 비에타(1540~1603)의 작품에 암묵적으로 제시되었습니다. Vieth는 양의 실근만 고려했기 때문에 이러한 공식을 일반적인 명시적 형식으로 작성할 기회가 없었습니다.

n-실수 근을 갖는 n차 대수 다항식의 경우,

다항식의 근을 해당 계수와 연결하는 다음 관계가 유효합니다.

Vieta의 공식은 다항식의 근을 찾는 정확성을 확인하고 주어진 근에서 다항식을 구성하는 데 사용하는 것이 편리합니다.

예제 2.1.삼차 방정식의 예를 사용하여 다항식의 근이 계수와 어떻게 관련되어 있는지 고려해 보겠습니다.

Vieta의 공식에 따르면 다항식의 근과 계수 사이의 관계는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

n차 다항식에 대해서도 유사한 관계를 만들 수 있습니다.

방법 번호 3. 유리근을 사용하여 이차 방정식 인수분해하기

Vieta의 마지막 공식에 따르면 다항식의 근은 자유 항과 최고차 계수의 제수입니다. 이와 관련하여, 문제 설명이 정수 계수를 갖는 n차 다항식을 지정하는 경우

그러면 이 다항식은 유리수 근(기약 분수)을 가지며, 여기서 p는 자유항의 제수이고 q는 최고차 계수의 제수입니다. 이 경우 n차 다항식은 다음과 같이 표현될 수 있습니다(베주의 정리).

차수가 초기 다항식의 차수보다 1 작은 다항식은 예를 들어 Horner의 방식을 사용하거나 가장 간단한 방법인 "열"을 사용하여 n차 다항식을 나누어 결정됩니다.

예제 3.1.다항식을 인수분해하는 것이 필요합니다

P.1. 가장 높은 항의 계수가 1과 같다는 사실 때문에 이 다항식의 유리수 근은 표현식의 자유 항의 제수입니다. 정수일 수 있습니다 . 제시된 각 숫자를 원래 표현식에 대입하고 제시된 다항식의 근이 와 같음을 찾습니다.

원래 다항식을 이항식으로 나누어 보겠습니다.

Horner의 계획을 사용해보자

원래 다항식의 계수는 위쪽 줄에 설정되고 위쪽 줄의 첫 번째 셀은 비어 있습니다.

두 번째 줄의 첫 번째 셀에는 찾은 루트가 기록되고 (고려중인 예에서는 숫자 "2"가 기록됨) 셀의 다음 값이 특정 방식으로 계산되어 계수입니다. 다항식을 이항식으로 나누어 얻은 다항식입니다. 알려지지 않은 계수는 다음과 같이 결정됩니다.

첫 번째 행의 해당 셀의 값이 두 번째 행의 두 번째 셀로 전송됩니다(고려 중인 예에서는 숫자 "1"이 기록됨).

두 번째 행의 세 번째 셀에는 첫 번째 셀과 두 번째 행의 두 번째 셀의 곱 값에 첫 번째 행의 세 번째 셀의 값을 더한 값이 포함됩니다(고려 중인 예에서는 2 ∙ 1 -5 = -3 ).

두 번째 행의 네 번째 셀에는 첫 번째 셀과 두 번째 행의 세 번째 셀의 곱에 첫 번째 행의 네 번째 셀의 값을 더한 값이 포함됩니다(고려 중인 예에서는 2 ∙ (-3) +7 = 1).

따라서 원래 다항식은 인수분해됩니다.

방법 번호 4.약식 곱셈 공식 사용

축약된 곱셈 공식은 계산을 단순화하고 다항식을 인수분해하는 데 사용됩니다. 축약된 곱셈 공식을 사용하면 개별 문제의 해결을 단순화할 수 있습니다.

인수분해에 사용되는 공식

방정식을 인수분해하는 것은 곱할 때 초기 방정식으로 이어지는 항이나 표현식을 찾는 과정입니다. 인수분해는 기본 대수학 문제를 해결하는 데 유용한 기술이며 이차 방정식 및 기타 다항식을 사용할 때 거의 필수적입니다. 인수분해는 대수 방정식을 단순화하여 더 쉽게 풀 수 있도록 하는 데 사용됩니다. 인수분해는 방정식을 직접 푸는 것보다 더 빨리 특정 답을 제거하는 데 도움이 됩니다.

단계

인수분해와 기본 대수식

숫자를 인수분해합니다.인수분해의 개념은 간단하지만 실제로는 인수분해가 어려울 수 있습니다(복잡한 방정식이 제공되는 경우). 그럼 먼저 숫자를 예로 들어 인수분해의 개념을 살펴보고, 간단한 방정식으로 이어가고, 이어서 복잡한 방정식으로 넘어가겠습니다. 주어진 숫자의 약수는 곱할 때 원래 숫자가 되는 숫자입니다. 예를 들어, 숫자 12의 약수는 1, 12, 2, 6, 3, 4입니다. 왜냐하면 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12이기 때문입니다.
- 마찬가지로, 숫자의 약수를 약수, 즉 숫자를 나눌 수 있는 숫자로 생각할 수 있습니다.
- 숫자 60의 모든 인수를 찾아보세요. 우리는 종종 숫자 60(예: 1시간에 60분, 1분에 60초 등)을 사용하며 이 숫자에는 꽤 많은 인수가 포함됩니다.
  - 60개의 승수: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 및 60.
기억하다:계수(숫자)와 변수를 포함하는 표현식의 항도 인수분해할 수 있습니다. 이를 수행하려면 변수에 대한 계수 인자를 찾으십시오. 방정식의 항을 인수분해하는 방법을 알면 이 방정식을 쉽게 단순화할 수 있습니다.
- 예를 들어, 12x라는 용어는 12와 x의 곱으로 쓸 수 있습니다. 12x를 3(4x), 2(6x) 등으로 쓸 수도 있고, 12를 자신에게 가장 적합한 요소로 나눌 수도 있습니다.
  - 연속으로 12x를 여러 번 처리할 수 있습니다. 즉, 3(4x) 또는 2(6x)에서 멈춰서는 안 됩니다. 확장을 계속하세요: 3(2(2x)) 또는 2(3(2x)) (분명히 3(4x)=3(2(2x)) 등)
곱셈의 분배 속성을 인수 대수 방정식에 적용합니다.숫자와 표현식 항(변수가 있는 계수)을 인수분해하는 방법을 알면 숫자와 표현식 항의 공통인수를 찾아 간단한 대수 방정식을 단순화할 수 있습니다. 일반적으로 방정식을 단순화하려면 최대공약수(GCD)를 찾아야 합니다. 이러한 단순화는 곱셈의 분배 속성으로 인해 가능합니다. 모든 숫자 a, b, c에 대해 평등 a(b+c) = ab+ac는 참입니다.
- 예. 방정식 12x + 6을 인수분해합니다. 먼저 12x와 6의 gcd를 구합니다. 6은 12x와 6을 모두 나누는 가장 큰 수이므로 이 방정식을 6(2x+1)으로 인수분해할 수 있습니다.
- 이 프로세스는 음수 및 분수 항이 있는 방정식에도 적용됩니다. 예를 들어, x/2+4는 1/2(x+8)로 인수분해될 수 있습니다. 예를 들어, -7x+(-21)은 -7(x+3)으로 인수분해될 수 있습니다.
이차 방정식 인수분해하기
1. 방정식이 2차 형식(ax 2 + bx + c = 0)으로 제공되는지 확인하세요.이차 방정식의 형식은 ax 2 + bx + c = 0입니다. 여기서 a, b, c는 0이 아닌 수치 계수입니다. 하나의 변수(x)가 있는 방정식이 주어지고 이 방정식에 하나 이상의 항이 있는 경우 2차 변수를 사용하면 방정식의 모든 항을 방정식의 한쪽으로 이동하여 0으로 설정할 수 있습니다.
  - 예를 들어 방정식이 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18이라고 가정합니다. 이는 2차 방정식인 x 2 + 6x + 9 = 0 방정식으로 변환될 수 있습니다.
  - x 3, x 4 등과 같이 큰 차수의 변수 x가 있는 방정식 이차 방정식이 아닙니다. 이는 삼차 방정식, 4차 방정식 등입니다(이러한 방정식은 변수 x를 2승한 이차 방정식으로 단순화할 수 없는 경우).
2. a = 1인 이차 방정식은 (x+d)(x+e)로 확장됩니다. 여기서 d*e=c 및 d+e=b입니다.제공된 2차 방정식의 형식이 x 2 + bx + c = 0(즉, x 2의 계수가 1임)인 경우 이러한 방정식은 위의 요소로 확장될 수 있지만 보장되지는 않습니다. 이렇게하려면 곱하면 "c"가되고 더하면 "b"가되는 두 개의 숫자를 찾아야합니다. 이 두 숫자(d와 e)를 찾으면 이를 다음 표현식으로 대체하십시오: (x+d)(x+e), 괄호를 열면 원래 방정식이 나타납니다.
  - 예를 들어, 2차 방정식 x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 및 3+2=5가 주어지면 이 방정식을 (x+3)(x+2)로 인수분해할 수 있습니다.
  - 음수 항의 경우 인수분해 프로세스를 다음과 같이 약간 변경합니다.
    - 2차 방정식의 형식이 x 2 -bx+c인 경우 이는 (x-_)(x-_)로 확장됩니다.
    - 2차 방정식의 형식이 x 2 -bx-c인 경우 이는 (x+_)(x-_)로 확장됩니다.
  - 참고: 공백은 분수나 소수로 대체될 수 있습니다. 예를 들어 방정식 x 2 + (21/2)x + 5 = 0은 (x+10)(x+1/2)로 확장됩니다.
3. 시행착오를 통한 인수분해.올바른 해를 찾을 때까지 가능한 해에 숫자를 대입하면 간단한 이차 방정식을 인수분해할 수 있습니다. 방정식의 형식이 ax 2 +bx+c인 경우(a>1) 가능한 해는 (dx +/- _)(ex +/- _) 형식으로 작성됩니다. 여기서 d와 e는 0이 아닌 수치 계수입니다. , 곱하면 a가 됩니다. d 또는 e(또는 두 계수 모두)는 1과 같을 수 있습니다. 두 계수가 모두 1과 같으면 위에 설명된 방법을 사용하십시오.
  - 예를 들어 방정식 3x 2 - 8x + 4가 있다고 가정합니다. 여기서 3에는 두 개의 인수(3과 1)만 있으므로 가능한 해는 (3x +/- _)(x +/- _)로 작성됩니다. 이 경우 공백을 -2로 대체하면 정답을 찾을 수 있습니다: -2*3x=-6x 및 -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x 및 -2*-2=4, 즉 괄호를 열 때 이러한 확장은 원래 방정식의 항으로 이어집니다.

대수학에서 "다항식"과 "다항식의 인수분해" 개념은 매우 자주 접하게 됩니다. 왜냐하면 큰 여러 자리 숫자로 계산을 쉽게 수행하려면 이 개념을 알아야 하기 때문입니다. 이 기사에서는 여러 분해 방법을 설명합니다. 이들 모두는 사용하기 매우 쉬우므로 각 특정 사례에 맞는 것을 선택하기만 하면 됩니다.

다항식의 개념

다항식은 단항식의 합, 즉 곱셈 연산만 포함하는 표현식입니다.

예를 들어, 2 * x * y는 단항식이지만 2 * x * y + 25는 2개의 단항식(2 * x * y 및 25)으로 구성된 다항식입니다. 이러한 다항식을 이항식이라고 합니다.

때로는 다중 값이 포함된 예제를 쉽게 풀기 위해 표현식을 특정 수의 요소, 즉 곱셈 작업이 수행되는 숫자 또는 표현식으로 분해하는 등의 변환이 필요합니다. 다항식을 인수분해하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 초등학교에서 사용되는 가장 원시적 인 것부터 시작하여 고려해 볼 가치가 있습니다.

그룹화(일반 형식으로 기록)

일반적으로 그룹화 방법을 사용하여 다항식을 인수분해하는 공식은 다음과 같습니다.

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

각 그룹이 공통 인수를 갖도록 단항식을 그룹화하는 것이 필요합니다. 첫 번째 괄호에서 이것은 요소 c이고 두 번째 괄호에서는 d입니다. 브래킷 밖으로 이동하여 계산을 단순화하려면 이 작업을 수행해야 합니다.

특정 예제를 이용한 분해 알고리즘

그룹화 방법을 사용하여 다항식을 인수분해하는 가장 간단한 예는 다음과 같습니다.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

첫 번째 괄호에서는 공통 요소 a를 사용하고 두 번째 괄호에서는 요소 b를 사용하여 용어를 가져와야 합니다. 완성된 표현식의 + 및 - 기호에 주의하세요. 우리는 초기 표현식에 있던 기호를 단항식 앞에 놓습니다. 즉, 표현식 25a가 아닌 표현식 -25로 작업해야 합니다. 빼기 기호는 그 뒤에 있는 표현식에 "붙어 있는" 것처럼 보이며 계산할 때 항상 고려됩니다.

다음 단계에서는 대괄호에서 일반적인 승수를 가져와야 합니다. 이것이 바로 그룹화의 목적입니다. 괄호 밖에 넣는다는 것은 괄호 안의 모든 항에서 정확하게 반복되는 모든 요소를 괄호 앞에 쓴다는 뜻입니다(곱하기 기호 생략). 괄호 안에 항이 2개가 아닌 3개 이상 있을 경우 각각의 공통인수는 반드시 포함되어야 하며, 그렇지 않으면 괄호에서 빼낼 수 없습니다.

우리의 경우에는 괄호 안에 용어가 2개만 있습니다. 전체 승수는 즉시 표시됩니다. 첫 번째 괄호에서는 a이고 두 번째 괄호에서는 b입니다. 여기서는 디지털 계수에 주의를 기울여야 합니다. 첫 번째 괄호에서 두 계수(10과 25)는 모두 5의 배수입니다. 이는 a뿐만 아니라 5a도 괄호에서 꺼낼 수 있음을 의미합니다. 괄호 앞에 5a를 쓴 다음 괄호 안의 각 항을 빼낸 공통 인수로 나누고 + 및 - 기호를 잊지 않고 괄호 안에 몫을 적습니다. 두 번째 괄호에도 동일하게 수행하십시오. 7b 외에 14와 35의 7배수도 있습니다.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5).

우리는 5a(2c - 5)와 7b(2c - 5)라는 2개의 항을 얻었습니다. 각각은 공통 요소를 포함합니다 (괄호 안의 전체 표현은 여기에서 동일하므로 공통 요소임을 의미합니다) : 2c - 5. 또한 괄호에서 제거해야합니다. 즉, 용어 5a와 7b는 그대로 유지됩니다 두 번째 괄호:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

따라서 전체 표현은 다음과 같습니다.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

따라서 다항식 10ac + 14bc - 25a - 35b는 (2c - 5) 및 (5a + 7b)의 2가지 인수로 분해됩니다. 둘 사이의 곱셈 기호는 쓸 때 생략할 수 있습니다.

때로는 5a 2 + 50a 3과 같은 유형의 표현이 있습니다. 여기서는 a 또는 5a뿐만 아니라 5a 2도 대괄호로 묶을 수 있습니다. 항상 괄호 안에 가장 큰 공통인수를 넣으려고 노력해야 합니다. 우리의 경우 각 항을 공통인수로 나누면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(동일한 밑을 가진 여러 거듭제곱의 몫을 계산할 때 밑은 보존되고 지수는 뺍니다.) 따라서 단위는 괄호 안에 남아 있습니다(어떤 경우에도 괄호에서 용어 중 하나를 빼면 하나를 쓰는 것을 잊지 마세요). 나눗셈 몫: 10a. 다음과 같이 밝혀졌습니다.

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

정사각형 공식

계산의 용이성을 위해 몇 가지 공식이 도출되었습니다. 이를 약식 곱셈 공식이라고 하며 꽤 자주 사용됩니다. 이 공식은 거듭제곱을 포함하는 다항식을 인수분해하는 데 도움이 됩니다. 이것은 인수분해하는 또 다른 효과적인 방법입니다. 그래서 여기 있습니다:

a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 -"합의 제곱"이라는 공식은 제곱으로 분해된 결과 괄호로 묶인 숫자의 합이 취해지기 때문입니다. 즉, 이 합계의 값에 2를 곱하므로 다음과 같습니다. 승수.
a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - 차이의 제곱에 대한 공식은 이전 공식과 유사합니다. 결과는 제곱 거듭제곱에 포함된 괄호 안에 있는 차이입니다.
a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)-처음에 다항식은 숫자 또는 표현식의 2개의 제곱으로 구성되며 그 사이에서 뺄셈이 수행되므로 이것은 제곱의 차이에 대한 공식입니다. 아마도 언급된 세 가지 중에서 가장 자주 사용되는 것 같습니다.

제곱 공식을 사용한 계산의 예

이에 대한 계산은 매우 간단합니다. 예를 들어:

25x2 + 20xy + 4y 2 - "합의 제곱" 공식을 사용합니다.
25x2는 5x의 제곱입니다. 20xy는 2*(5x*2y)의 곱이고, 4y 2는 2y의 제곱입니다.
따라서 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y)입니다.이 다항식은 2개의 인수로 분해됩니다( 인수가 동일하므로 제곱승을 갖는 수식으로 작성합니다).

제곱 차이 공식을 사용하는 작업은 이와 유사하게 수행됩니다. 나머지 공식은 제곱의 차이입니다. 이 공식의 예는 다른 표현식 중에서 정의하고 찾기가 매우 쉽습니다. 예를 들어:

25a 2 - 400 = (5a - 20)(5a + 20). 25a 2 = (5a) 2이고 400 = 20 2이므로
36x 2 - 25년 2 = (6x - 5년) (6x + 5년). 36x 2 = (6x) 2이고 25y 2 = (5y 2)이므로
c 2 - 169b 2 = (c - 13b)(c + 13b). 169b 2 = (13b) 2 이후

각 항이 어떤 표현의 제곱이라는 것이 중요합니다. 그런 다음 이 다항식은 제곱의 차이 공식을 사용하여 인수분해되어야 합니다. 이를 위해 2도가 숫자보다 높을 필요는 없습니다. 큰 차수를 포함하지만 여전히 이러한 공식에 맞는 다항식이 있습니다.

8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

이 예에서 a 8은 (a 4) 2, 즉 특정 수식의 제곱으로 표현될 수 있습니다. 25는 5 2이고, 10a는 4입니다. - 이는 2 * a 4 * 5 항의 이중곱입니다. 즉, 이 표현은 지수가 큰 차수의 존재에도 불구하고 나중에 작업하기 위해 2개의 요소로 분해될 수 있습니다.

큐브 수식

큐브를 포함하는 다항식을 인수분해하는 데에도 동일한 공식이 존재합니다. 사각형이 있는 것보다 조금 더 복잡합니다.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)- 이 공식을 큐브의 합이라고 합니다. 초기 형태에서 다항식은 큐브에 포함된 두 표현식 또는 숫자의 합이기 때문입니다.
a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2) -이전 공식과 동일한 공식이 큐브의 차이로 지정됩니다.
a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - 합계의 큐브, 계산 결과 숫자 또는 표현식의 합계는 괄호로 묶이고 자체적으로 3번 곱해집니다. 즉, 큐브에 위치합니다.
a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 -수학 연산의 일부 기호(플러스 및 마이너스)만 변경하여 이전 공식과 유사하게 컴파일된 공식을 "차이 큐브"라고 합니다.

마지막 두 공식은 복잡하기 때문에 실제로 다항식을 인수분해할 목적으로 사용되지 않으며, 이 공식을 사용하여 인수분해할 수 있도록 이 구조와 완전히 일치하는 다항식을 찾는 경우는 매우 드뭅니다. 그러나 반대 방향으로 작업할 때, 즉 괄호를 열 때 필요하기 때문에 여전히 알아야 합니다.

큐브 수식의 예

예를 살펴보겠습니다: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

여기에는 매우 간단한 숫자가 사용되므로 64a 3은 (4a) 3이고 8b 3은 (2b) 3이라는 것을 즉시 알 수 있습니다. 따라서 이 다항식은 세제곱의 공식 차이에 따라 2개의 요소로 확장됩니다. 큐브 합계 공식을 사용하는 작업은 유사하게 수행됩니다.

모든 다항식이 적어도 한 가지 방법으로 확장될 수는 없다는 점을 이해하는 것이 중요합니다. 하지만 정사각형이나 정육면체보다 더 큰 거듭제곱을 포함하는 표현이 있지만 이를 축약된 곱셈 형태로 확장할 수도 있습니다. 예: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

이 예에는 12도까지 포함되어 있습니다. 그러나 세제곱합 공식을 사용하여 인수분해할 수도 있습니다. 이렇게 하려면 x 12를 (x 4) 3, 즉 일부 표현의 큐브로 상상해야 합니다. 이제 a 대신에 이를 공식에 대체해야 합니다. 음, 125y 3이라는 표현은 5y의 세제곱입니다. 다음으로 공식을 사용하여 제품을 구성하고 계산을 수행해야 합니다.

처음에 또는 의심스러운 경우 언제든지 역곱셈을 통해 확인할 수 있습니다. 결과 표현식에서 괄호를 열고 유사한 용어로 작업을 수행하기만 하면 됩니다. 이 방법은 나열된 모든 축소 방법(공통 인수 및 그룹화 작업, 세제곱 및 2차 거듭제곱 공식 작업 모두)에 적용됩니다.

다항식을 인수분해합니다. 1 부

채권 차압 통고복잡한 방정식과 부등식을 해결하는 데 도움이 되는 보편적인 기술입니다. 우변이 0인 방정식과 부등식을 풀 때 가장 먼저 떠오르는 생각은 좌변을 인수분해하는 것입니다.

주요 내용을 나열해보자 다항식을 인수분해하는 방법:

괄호 안에 공통인수 넣기
단축된 곱셈 공식을 사용하여
이차 삼항식을 인수분해하는 공식을 사용하여
그룹화 방법
다항식을 이항식으로 나누기
불확실한 계수 방법

이 기사에서는 처음 세 가지 방법에 대해 자세히 설명하고 나머지 기사에서는 나머지 부분을 고려할 것입니다.

1. 괄호에서 공통인수를 빼냅니다.

괄호에서 공통인수를 꺼내려면 먼저 그것을 찾아야 합니다. 공통 승수 인자모든 계수의 최대 공약수와 같습니다.

문자 부분공통 인수는 가장 작은 지수를 갖는 각 항에 포함된 표현식의 곱과 같습니다.

공통 승수를 할당하는 방식은 다음과 같습니다.

주목!
괄호 안의 항 수는 원래 표현식의 항 수와 같습니다. 용어 중 하나가 공통 요소와 일치하면 이를 공통 요소로 나누면 하나를 얻습니다.

예시 1.

다항식을 인수분해합니다.

괄호에서 공통인수를 빼봅시다. 이를 위해 우리는 먼저 그것을 찾을 것입니다.

1. 다항식의 모든 계수의 최대 공약수를 찾습니다. 즉, 숫자 20, 35, 15. 5와 같습니다.

2. 변수가 모든 항에 포함되고 가장 작은 지수가 2임을 확인합니다. 변수는 모든 항에 포함되고 가장 작은 지수는 3입니다.

변수는 두 번째 항에만 포함되므로 공약수의 일부가 아닙니다.

따라서 전체 요소는 다음과 같습니다.

3. 위에 제공된 다이어그램을 사용하여 괄호에서 승수를 꺼냅니다.

예시 2.방정식을 푼다:

해결책. 방정식의 좌변을 인수분해해 봅시다. 괄호에서 요소를 제거해 보겠습니다.

그래서 우리는 방정식을 얻습니다.

각 요소를 0으로 동일시해 보겠습니다.

우리는 첫 번째 방정식의 근을 얻습니다.

뿌리:

답: -1, 2, 4

2. 축약된 곱셈 공식을 사용한 인수분해.

인수분해할 다항식의 항 수가 3보다 작거나 같으면 축약된 곱셈 공식을 적용하려고 합니다.

1. 다항식은 다음과 같습니다.두 용어의 차이, 그런 다음 신청을 시도합니다 제곱 차이 공식:

또는 큐브의 차이 공식:

여기 편지가 있습니다 숫자나 대수적 표현을 나타냅니다.

2. 다항식이 두 항의 합인 경우 다음을 사용하여 인수분해할 수 있습니다. 큐브의 합 공식:

3. 다항식이 세 항으로 구성되어 있으면 다음을 적용하려고 합니다. 제곱합 공식:

또는 제곱 차이 공식:

아니면 다음과 같이 인수분해하려고 합니다. 이차 삼항식을 인수분해하는 공식:

여기에 이차 방정식의 뿌리가 있습니다.

예시 3.표현식을 인수분해합니다.

해결책. 우리 앞에는 두 용어의 합이 있습니다. 세제곱합 공식을 적용해 보겠습니다. 이렇게 하려면 먼저 각 항을 일부 표현식의 큐브로 표현한 다음 큐브 합계에 대한 공식을 적용해야 합니다.

예시 4.표현식을 인수분해합니다.

결정. 여기서 우리는 두 표현의 제곱의 차이를 볼 수 있습니다. 첫 번째 표현식: , 두 번째 표현식:

제곱의 차이에 대한 공식을 적용해 보겠습니다.

괄호를 열고 비슷한 용어를 추가해 보겠습니다.

이 단원에서는 이전에 연구한 다항식 인수분해 방법을 모두 기억하고 그 적용 예를 고려할 것입니다. 또한 새로운 방법, 즉 완전한 제곱을 분리하는 방법을 연구하고 다양한 문제를 해결하는 데 이를 사용하는 방법을 배웁니다. .

주제:다항식 인수분해

수업:다항식을 인수분해합니다. 완전한 정사각형을 선택하는 방법. 방법의 조합

이전에 연구한 다항식을 인수분해하는 기본 방법을 떠올려 보겠습니다.

공통인수, 즉 다항식의 모든 항에 존재하는 인수를 괄호 안에 넣는 방법. 예를 살펴보겠습니다:

단항식은 거듭제곱과 숫자의 곱이라는 것을 기억하세요. 이 예에서는 두 용어 모두 공통적이고 동일한 요소를 가지고 있습니다.

따라서 괄호에서 공통 인수를 제거해 보겠습니다.

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빼낸 인자에 괄호를 곱하면 빼낸 인자의 정확성을 확인할 수 있다는 점을 기억하세요.

그룹화 방법. 다항식에서 공통인수를 추출하는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다. 이 경우 각 그룹에서 공통 요소를 꺼내어 그룹의 요소를 제거한 후 공통 요소가 다음 그룹에 나타나도록 그룹을 나누어야 합니다. 전체 표현식을 분석하고 분해를 계속할 수 있습니다. 예를 살펴보겠습니다:

첫 번째 용어를 네 번째 용어로, 두 번째 용어를 다섯 번째 용어로, 세 번째 용어를 여섯 번째 용어로 그룹화해 보겠습니다.

그룹의 공통 요소를 살펴 보겠습니다.

이제 표현식에는 공통 인수가 있습니다. 그것을 꺼내자:

약식 곱셈 공식을 적용합니다. 예를 살펴보겠습니다:

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표현식을 자세히 작성해 보겠습니다.

분명히 우리 앞에는 차이 제곱에 대한 공식이 있습니다. 이는 두 표현식의 제곱의 합이고 그 이중 곱을 빼기 때문입니다. 다음 공식을 사용해 보겠습니다.

오늘 우리는 또 다른 방법, 즉 완전한 정사각형을 선택하는 방법을 배울 것입니다. 이는 합의 제곱과 차이의 제곱 공식을 기반으로 합니다. 그들에게 상기시켜 봅시다:

합의 제곱(차이)에 대한 공식

이 공식의 특징은 두 표현식의 제곱과 이중 곱을 포함한다는 것입니다. 예를 살펴보겠습니다:

표현을 적어보자:

따라서 첫 번째 표현식은 이고, 두 번째 표현식은 입니다.

합이나 차이의 제곱에 대한 공식을 만들려면 표현식의 곱의 두 배만으로는 충분하지 않습니다. 더하고 빼야 합니다.

합의 제곱을 완성해 봅시다:

결과 표현식을 변환해 보겠습니다.

제곱의 차이에 대한 공식을 적용해 보겠습니다. 두 표현의 제곱의 차이는 차이의 곱과 합이라는 점을 기억하세요.

따라서 이 방법은 우선 제곱된 표현식 a와 b를 식별하는 것, 즉 이 예에서 어떤 표현식이 제곱되었는지 결정하는 것으로 구성됩니다. 그런 다음 이중 곱이 있는지 확인하고, 없으면 더하고 빼면 예제의 의미가 바뀌지 않지만 다항식은 제곱의 공식을 사용하여 인수분해할 수 있습니다. 가능하다면 제곱의 합 또는 차이와 차이.

예제 해결로 넘어 갑시다.

예 1 - 인수분해:

제곱된 표현식을 찾아보겠습니다.

이중 곱이 무엇인지 적어 보겠습니다.

곱의 두 배를 더하고 빼자:

합의 제곱을 완성하고 비슷한 값을 제시해 봅시다:

제곱의 차이 공식을 사용하여 작성해 보겠습니다.

예 2 - 방정식 풀기:

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