수식 입력에 대한 일반 규칙입니다. 수학 공식
이 페이지에는 시험 통과, 독립 작업, 대수학, 기하학, 삼각법, 입체법 및 기타 수학 분야 시험에 필요한 모든 공식이 포함되어 있습니다.
여기에서 모든 기본 삼각법 공식, 원 면적 공식, 약식 곱셈 공식, 원주 공식, 축소 공식 및 기타 여러 공식을 다운로드하거나 온라인으로 볼 수 있습니다.
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산술 공식:
대수학 공식:
기하학적 공식:
산술 공식:
숫자 연산의 법칙덧셈의 교환법칙: a + b = b + a.
덧셈의 결합 법칙: (a + b) + c = a + (b + c).
교환 곱셈 법칙: ab = 바.
곱셈의 조합법칙: (ab)c = a(bc).
덧셈에 대한 곱셈의 분포 법칙: (a + b)c = ac + bc.
뺄셈에 대한 곱셈의 분포 법칙: (a - b)c = ac - bc.
일부 수학적 표기법 및 약어:
분열의 징후
"2"로 나누어지는 징후
나머지 없이 "2"로 나누어지는 숫자를 호출합니다. 심지어, 비핵분열성 – 이상한. 숫자의 마지막 숫자가 짝수(2, 4, 6, 8)이거나 0이면 나머지 없이 "2"로 나눌 수 있습니다."4"로 나누어지는 징후
마지막 두 자리 숫자가 0이거나 그 합이 나머지 없이 "4"로 나누어지는 숫자가 되는 경우 숫자는 나머지 없이 "4"로 나누어집니다."8"에 의한 나눗셈의 징후
숫자의 마지막 세 자리가 0이거나 합계가 나머지 없이 "8"로 나누어지는 숫자를 형성하는 경우 숫자는 나머지 없이 "8"로 나누어집니다. (예: 1,000은 마지막 세 자리 "00"이고, 1,000을 8로 나누면 125가 됩니다. 104 - "12"의 마지막 두 자리는 4로 나누고, 112를 4로 나누면 28이 됩니다. 등.)"3"과 "9"로 나누어지는 기호
자릿수의 합이 나머지 없이 "3"으로 나누어지는 숫자만 "3"으로 나누어집니다. "9"로 - 자릿수의 합이 나머지 없이 "9"로 나누어지는 것만"5"로 나누어지는 징후
마지막 숫자가 "0" 또는 "5"인 숫자는 나머지 없이 "5"로 나뉩니다."25"로 나누어지는 징후
숫자는 나머지 없이 "25"로 나뉩니다. 마지막 두 자리는 0이거나 그 합은 나머지 없이 "25"로 나눌 수 있는 숫자를 형성합니다(예: "00", "25", "50으로 끝나는 숫자). ", "75" »"10", "100" 및 "1,000"으로 나누어지는 기호
마지막 자리가 0인 숫자만 '10'으로 나누고, 마지막 두 자리가 0인 숫자만 '100'으로 나누고, 마지막 세 자리가 0인 숫자만 '1000'으로 나눕니다."11"에 의한 나눗셈의 징후
홀수 자리에 있는 자릿수의 합이 짝수 자리에 있는 자릿수의 합과 같거나 "11"로 나누어지는 숫자만큼 다른 수만 나머지 없이 "11"로 나누어집니다.절대값 - 공식(계수)
|아| ? 0, 그리고 |아| = 0인 경우에만 a = 0; |-a|=|a| |a2|=|a|2=a2 |ab|=|a|*|b| |a/b|=|a|/|b|, b는 어때? 0; |a+b|?|a|+|b| |a-b|?|a|-|b|
분수를 이용한 공식 동작
최종 소수를 유리 분수로 변환하는 공식은 다음과 같습니다.
크기
두 개의 동일한 비율이 형성됩니다. 비율:
비율의 기본 속성비율의 조건 찾기
크기, 동등한 크기 :유도체 비율- 이것의 결과 크기~처럼
평균값
평균
두 가지 크기: N수량:기하평균(비례평균)
두 가지 크기: N수량:평균 제곱
두 가지 크기:N수량:
고조파 평균
두 가지 크기: N수량:일부 유한수 계열
수치적 부등식의 속성
1) 만일 ㅏ< b , 그런 다음 씨: 에이 + 씨< b + с .
2) 경우 ㅏ< b 그리고 c > 0, 저것 교류< bс .
3) 만일 ㅏ< b 그리고 씨< 0 , 저것 AC > Bс.
4) 만일 ㅏ< b , ㅏ그리고 비그럼 신호 하나 1/a > 1/b.
5) 만일 ㅏ< b 그리고 씨< d , 저것 에이 + 씨< b + d , 기원 후< b — c .
6) 만일 ㅏ< b , 씨< d , 에이 > 0, 비 > 0, c > 0, d > 0, 저것 교류< bd .
7) 만일 ㅏ< b , 에이 > 0, 비 > 0, 저것
8) 그렇다면
진행 공식:
유도체
- 로그:
- 좌표와 벡터
1. 점 A1(x1;y1)과 A2(x2;y2) 사이의 거리는 다음 공식으로 구합니다.
2. 끝이 A1(x1;y1) 및 A2(x2;y2)인 세그먼트 중간의 좌표(x;y)는 다음 공식을 사용하여 구합니다.
3. 각도 계수와 초기 세로 좌표가 있는 직선 방정식의 형식은 다음과 같습니다.
각도계수 k는 Ox축의 양의 방향과 직선이 이루는 각도의 탄젠트 값이고, 초기 세로축 q는 직선과 Oy축의 교점의 세로좌표 값이다.
4. 직선의 일반 방정식의 형식은 ax + by + c = 0입니다.
5. 각각 Oy 및 Ox 축에 평행한 선의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
Ax + by + c = 0.
6. 선 y1=kx1+q1 및 y2=kx2+q2의 평행성과 직각성에 대한 조건은 각각 다음과 같은 형식을 갖습니다.
7. 점 O(0;0)과 C(xo;yo)에서 각각 반경 R과 중심을 갖는 원 방정식의 형식은 다음과 같습니다.
8. 방정식:
는 가로좌표가 다음인 점에 꼭지점이 있는 포물선의 방정식입니다.
- 공간의 직사각형 직교 좌표계
1. 점 A1(x1;y1;z1)과 A2(x2;y2;z2) 사이의 거리는 다음 공식으로 구합니다.
2. 끝이 A1(x1;y1;z1) 및 A2(x2;y2;z2)인 세그먼트 중간의 좌표(x;y;z)는 다음 공식으로 구합니다.
3. 좌표로 지정된 벡터의 계수는 다음 공식으로 구합니다.
4. 벡터를 추가하면 해당 좌표가 추가되고 벡터에 숫자를 곱하면 모든 좌표에 이 숫자가 곱해집니다. 다음 수식이 유효합니다.
5. 벡터와 같은 방향의 단위 벡터는 다음 공식으로 구합니다.
6. 벡터의 스칼라 곱은 다음과 같습니다.
벡터 사이의 각도는 어디에 있습니까?
7. 벡터의 내적
8. 벡터 사이의 각도의 코사인은 다음 공식으로 구합니다.
9. 벡터의 직각성에 대한 필요 충분 조건은 다음과 같은 형식을 갖습니다. 10. 벡터에 수직인 평면의 일반 방정식의 형식은 다음과 같습니다.
Ax + by + cz + d = 0.
11. 벡터에 수직이고 점(xo;yo;zo)을 통과하는 평면의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
A(x - xo) + b(y - yo) + c(z - zo) = 0.
12. 중심이 O(0;0;0)인 구의 방정식은 다음과 같은 형식으로 작성됩니다.
4.1. 수학 공식
현대 과학 출판물은 수학적 증명 방법으로 가득 차 있습니다. 과학자들은 텍스트에 수많은 공식과 기호를 입력합니다. 수학 공식의 독특한 특징은 큰 의미적 집중, 그 안에 포함된 자료의 높은 수준의 추상화, 수학 언어의 특수성입니다. 이는 어느 정도 독자의 텍스트 인식을 복잡하게 만들고 편집자에게 많은 문제를 야기합니다.
수학 공식은 진술(문장, 판단)을 상징적으로 표현한 것입니다. 공식은 복잡한 언어 표현과 다양한 연산을 텍스트의 양적 표시로 대체하는 데 도움이 됩니다. 이를 위해 특수 지정이 사용됩니다 - 기호는 세 그룹으로 나눌 수 있습니다.
– 수학적, 물리적, 기술적 양의 전통적인 문자 지정;
– 수량 측정 단위의 기호;
– 수학적 기호.
편집자는 수식이 없는 텍스트보다 수식이 많은 텍스트로 작업하는 것이 훨씬 쉽다는 의견이 있습니다. 이것은 잘못된 것입니다. 왜냐하면 공식은 텍스트보다 훨씬 더 많이 변형을 겪을 수 있고 다양한 쓰기 형식을 가질 수 있으며 각 특정 판의 각 특정 공식에 대해 최적의 형식을 선택해야 하기 때문입니다. 동시에, 오류, 모호함 또는 가독성을 피하기 위해 책이 의도된 독자층과 각 공식의 특징을 고려합니다. 하나의 수식을 작성하는 예를 사용하여 이를 살펴보겠습니다.
1. 차량 운행 속도
Tn - 옷을 입는 시간.
이 형식에서는 예를 들어 대학 교과서의 경우 공식이 편리합니다.
2. 차량 운행 속도
여기서 L은 근무 중(직장에서) 자동차가 이동한 거리입니다.
Tn - 옷을 입는 시간.
예를 들어, 독자가 이미 어느 정도 준비가 되어 있는 코스 설계 교과서의 경우 이러한 기록은 상당히 수용 가능하며 이 부분은 일부 계산 방법론의 일부입니다.
3. 엔지니어링 및 기술 작업자를 위한 생산 출판물에 있는 동일한 공식이 선택에 포함될 수 있습니다.
자동차의 작동 속도 v e =L/T n, 여기서 L은 주행 거리입니다. Tn - 옷을 입는 시간.
4. 초등학생과 전문학교 학생을 위한 교과서에서는 이 공식의 형식이 달라야 합니다.
일반적으로 표시되는 작동 속도는 근무 중 (작업 중) 전체 시간 동안 철도 차량의 조건부 평균 속도를 특성화하며 근무 시간에 대한 마일리지의 비율, 즉
여기서 L은 차량이 운행되는 동안 차량이 이동한 거리입니다.
Tn - 옷을 입는 시간.
이러한 기록을 통해 학생은 초기 매개변수가 결과에 어떻게 영향을 미치는지 명확하게 확인할 수 있습니다. 어떤 매개변수가 최종 결과에 정비례로 영향을 미치는지 이해하고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 공식을 기억하고 물리적 의존성에 대한 "고전적인" 형태의 수학적 표기법을 배우는 것은 쉽습니다.
5. 일반 독자를 위한 대중 과학 문헌에서는 책 전체에 걸쳐 하나 또는 두 개의 공식이 있는 경우 수학적 형식으로 쓰는 것은 부적절해 보입니다. 그러니 이런 식으로 하는 것이 더 좋습니다.
“차량 작동의 가장 중요한 지표 중 하나인 차량 작동 속도는 계산에 의해 결정됩니다.
6. 예를 들어, 독자가 자동차 사용 지표 계산과 직접적인 관련이 없는 일부 현상을 설명하기 위한 참고용으로만 이 공식이 필요한 과학 출판물에서 전통적인 형식의 공식은 완전히 생략될 수 있으며, “주행거리를 근무 시간으로 나눈 몫으로 정의되는 차량의 작동 속도는 최적의 차량 구조를 구성할 때 고려해야 하는 가장 중요한 지표 중 하나입니다. 운송 협회의 함대.”
이제 위의 옵션을 평가하면 인식의 용이성, 구성의 소형화 및 출판의 노동 강도가 눈에 띄게 다르다는 것을 알 수 있습니다. 여기서는 편집, 정형화된 원본 재인쇄, "노동 집약적 출판" 개념 읽기 등의 노동 강도를 조건부로 포함하겠습니다. 각 옵션에는 다른 옵션과 다른 인식 지표, 소형화 및 노동 강도가 있습니다.
가장 간단한 수식을 작성하기 위한 옵션이 고려되었지만 더 복잡한 것으로 판명되면 인덱스 작성 형식을 변경하고 매개 변수의 기능 그룹을 강조하는 가능성과 관련된 다른 옵션이 나타날 것이라고 상상하기 쉽습니다. 공식은 하나의 복잡한 공식을 여러 개의 단순 공식으로 나누고 반대로 공식 전체와 그 구성 요소의 "층 수"를 변경하여 만듭니다.
수학 공식 편집에 대한 논의를 계속하기 전에 공식에서 불변으로 간주되는 것과 변형될 수 있는 것이 무엇인지 규정하는 것이 필요합니다. 특수 문헌에는 다음과 같이 명확하고 모호하지 않게 명시되어 있습니다. 수학 공식은 표준에 의해 설정되거나 업계에서 일반적으로 허용되는 기호를 사용해야 합니다.
이것은 확실히 사실입니다. 그러나 우리는 표준에 의해 규제되는 기호의 극히 일부만 지적하며, 한 주제에 대한 전문 문헌을 분석할 때 "일반적으로 허용되는" 기호가 업계에서는 아닌 "일반적으로 허용되는" 것으로 판명되는 경우가 많습니다. 하지만 한 조직 내에서는요. 이는 특히 인덱스의 경우에 해당됩니다.
한 과학 분야에서만 필요한 많은 수량은 다른 과학 분야의 유사한 수량 지정과 다른 고유한 지정을 가져야 합니다. 이 문제를 해결하려면, 즉 기호를 개별화하려면 색인을 사용하십시오. 특정 의미를 나타내는 색인이 주요 문자 지정에 추가됩니다. 따라서 라틴 문자 L 또는 l은 가장 자주 길이, 간격, 범위, 범위, 기간 등을 나타냅니다. 특정 길이 개념을 지정해야 하는 경우 일반 기호에 명확한 색인이 추가됩니다. 예를 들어:
L k – 보트 선미 부분의 길이;
L pr – 이동 거리;
l e – 에일러론 스팬;
l ск - 전단 부분의 길이.
색인 작성의 주요 자료는 러시아 알파벳의 소문자입니다. 라틴 알파벳 문자는 훨씬 덜 자주 사용되며 그리스어, 특히 고딕 문자는 거의 사용되지 않습니다. 색인에는 아라비아 숫자와 수학 기호가 사용되는 경우가 많습니다. 문자 지정에서의 위치에 따라 인덱스는 하위 인덱스와 상위 인덱스로 구분되며, 낮은 인덱스가 바람직합니다. 오른쪽 위 첨자는 지수 위치이므로 사용하지 않는 것이 좋습니다. 대부분의 경우 획은 위 첨자로 사용됩니다. 시간?; 시간??.
때로는 완전히 동일한 모양을 가진 명칭을 구별해야 하는 경우와 명칭에 이미 일부 지수와 각도가 장착되어 있는 경우에는 지수가 왼쪽 상단에 위치할 수 있습니다. 예를 들어, 힘의 적용 지점에 따라 첨자 1, 2, 3과 스트로크 ?, ??, ???가 제공되는 로드 Q의 회전 각도에 대한 지정이 있습니다. ... - 힘 적용의 다양성에 따라(즉, Q1? - 지점 1에 첫 번째 힘 적용, Q 1 ?? - 지점 1에 두 번째 힘 적용 등). 회전 각도(로드 노드의 왼쪽 또는 오른쪽)도 선택해야 하는 경우 왼쪽 상단 인덱스를 사용합니다. – 노드 왼쪽의 각도를 나타냅니다. p - 노드 오른쪽의 각도를 나타냅니다. 그렇다면 색인이 있는 문자 지정은 무엇입니까? Q 1 – 노드를 왼쪽으로 돌릴 때 지점 1에 힘이 처음으로 적용됩니다.
지수인 0은 문자 지정에 무게 중심과 관련된 "계산된", "초기", "초기"의 의미를 부여하며 "물질의 표준 상태"라는 의미로도 사용될 수 있습니다. 예, 엘 0 – 설계 길이, t 0 – 초기 온도.
여러 단어로 구성된 색인은 초기 문자와 특성 문자로 축약됩니다. 또한 색인이 두세 개의 약어로 구성된 경우 마지막 단어를 제외하고 각 단어 뒤에 점을 찍습니다(예: S). 도랑– 엘리베이터 구역.
이제 공식에 대한 인식에 대해 직접적으로 설명합니다. 잘 이해된 공식은 이해하고 기억하기 쉬운 공식이라는 것이 일반적으로 받아들여지고 있습니다. 두 가지 추가 요구사항을 추가해 보겠습니다.
1. 다른 조건이 동일하다면 서면(손으로)으로 쉽고 명확하게 재현할 수 있는 공식의 기호를 선호해야 합니다. 우선, 이것은 교과서, 교사가 칠판에 쓰는 공식, 학생이 메모에 쓰는 등에 적용됩니다. 여기서 어려움은 일반적으로 서로 다른 알파벳의 유사한 문자 디자인과 색인의 부당한 복잡성으로 인해 발생합니다. 따라서 R g.ts는 쉽게 쓰고 읽을 수 있습니다. 이제 항목을 읽어 볼까요? 예를 들어 겉보기에 표현적인 이 표기법에는 100개(!) 이상의 읽기 옵션이 있습니다. s에 대한 6가지 옵션(“ro” 소문자 및 대문자, “pe” 소문자 및 대문자, “er” 소문자 및 대문자)이 있기 때문입니다. e에 대한 네 가지 옵션("e" 및 "el", 온라인 및 색인); g에 대한 6가지 옵션(“de” 및 “zhe”, 줄의 1도 및 2도 인덱스). 또한 전체 항목은 "?"로 읽을 수 있습니다. 로그."
2. 공식은 좋은 그래픽 디자인을 가지고 있어야 합니다. 예를 들어, 요소 중간에 있는 숫자(앞에 두는 것이 좋습니다), 복잡한 지수와 지수, 다단계 지수, 압축된 형태로 축소된 복잡한 공식은 잘 인식되지 않습니다.
수식의 "외관"을 더욱 악화시키는 특별한 유형의 그래픽 왜곡은 입력 규칙 위반입니다. 단순화하기 위해 때로는 상위 지수가 하위 지수에 비해 이동합니다(K av tkm). 인덱스의 점은 종종 제자리에서 벗어나 곱셈 기호처럼 보입니다(D 비.피). 경험이 부족한 식자공은 색인의 수식 뒤에 쉼표를 입력합니다(A = BC 에게). 연결을 위한 포인트 크기를 선택하는 규칙을 따르지 않아 공식과 설명이 서로 달라집니다. 색인에서 서로 다른 알파벳의 문자가 발견되면 정렬이 잘못되는 경우가 많습니다(“댄스”). 나누기 기호 "슬래시"는 피제수 및 제수 높이가 낮은 경우가 많습니다(포인트 크기보다 작음).
공식에 대한 좋은 인식을 위한 주요 조건(이해 및 암기 촉진)과 관련하여 다음 권장 사항을 고려해야 합니다.
– 다른 조건이 동일할 경우 암호화된 단어의 첫 글자인 러시아어 문자가 인식됩니다. 라틴어나 그리스어보다 더 잘 이해되고 기억됩니다.
– 약어를 기호로 사용하는 것은 작품으로 인식되기 때문에 바람직하지 않습니다.
– 색인은 가능하다면 암호화된 단어나 문구를 최대한 명확하게 반영해야 합니다.
이 공식은 이해하고 기억하기 쉽기 때문에 매개변수 변경의 성격에 대한 계산 결과의 의존성을 명확하게 반영합니다.
물리량의 단위는 최종 결과를 얻을 때 수량의 수치 값을 공식에 대입하고 중간 계산을 수행한 후에만 배치해야 합니다. 예를 들어:
잘못된:
s = KTm/s = 1.4 · 290 · 300m/s = 350m/s;
오른쪽:
s = CT = 1.4 · 290 · 300 = 350m/s.
수학 기호는 수학적 개념, 문장, 계산을 기록하는 데 사용되는 기호로 정의됩니다. 따라서 "원의 지름에 대한 원주 비율"을 기호 형태로 씁니다.
수학 기호는 세 그룹으로 나뉩니다.
1) 수학적 대상(점, 선, 평면)의 기호는 일반적으로 문자(A, B, C...; a, b, c...; ?, ?, ?)로 지정됩니다. ... );
2) 덧셈(+) 및 뺄셈(-) 기호; a를 권력으로 끌어올리다 2 , ㅏ 3 등.; 루트 V; 삼각함수 log, sin, cos, tg 등의 표시; 계승!; 차동 및 적분 dx, ddx,…, ?ydx, 모듈 | 엑스 |;
3) 관계의 표시 (= – 평등, > – 더 많은 것,< – меньше, || – параллельность, ? – перпендикулярность, ? – тождествен–ность, ? – приблизительное равенство).
객체 기호를 제외한 모든 기호는 수식에만 사용되며 해당 의미의 단어 대신 텍스트에서 사용하는 것은 금지되어 있습니다. 텍스트의 개체 기호는 다음과 같은 단어와 함께 사용할 수 있습니다. 지점 A, 평면 a, 각도 x에서.
종종 공식 뒤에는 공식에 포함된 기호를 해독하는 설명이 있습니다. 해당 요소는 공식에서 기호를 읽는 순서대로 배열됩니다. 동일한 문자를 서로 다른 인덱스로 그룹화하는 것이 좋습니다. 분수 수식을 해독할 때 먼저 분자의 문자 지정을 설명한 다음 분모를 설명합니다.
방정식 왼쪽에 있는 기호의 의미를 해독해야 하는 경우 문장 부분의 이전 공식에서 이를 수행하는 것이 좋습니다. 불행하게도 이 권장 사항이 항상 지켜지는 것은 아닙니다.
잡지 "Military Economic Bulletin"(2002. No. 12)의 예를 들어 보겠습니다.
무기 및 장비 운송 비용은 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.
W p.e.t. = p.v.t에서? p.v.t로? 디피(29)
어디 W p.e.t.– 동일한 유형의 무기 및 장비 운송 비용, 문지름; p.v.t에서.- 해당 유형의 운송 무기(장비) 수량, 단위 p.v.t에서.– 1km당 무기(장비) 1개 운송 비용(루블 기준) 디 피– 무기(장비) 운송 범위, km.
각 무기(장비) 유형별로 계산이 이루어집니다.
또한 운반된 무기와 장비를 플랫폼에 고정하기 위해 와이어, 못, 스테이플, 목재 빔 또는 특수 고정 장치와 같은 고정 재료가 사용됩니다. 구매하려면 돈도 필요합니다. 고정 재료 구매 비용은 공식을 사용하여 계산됩니다.
Wkm = V p.v.t? Ts k.k.m, (30)
여기서 Z km – 고정 재료 구매 비용, 문지름; p.v.t – 운송된 무기 및 장비, 유닛의 수량; Ts k.k.m – 고정 재료 1세트 가격(장비 단위당), 문지름.
고정 재료(고정 장치) 구매 비용은 무기 및 장비 운송 가격에 포함되지 않은 경우에만 별도로 계산됩니다.
다양한 유형의 운송을 통해 훈련 중 인원을 운송하는 비용은 공식에 의해 결정됩니다.
Z p.l.s = V hp? p.h로? Dp, (31)
여기서 Z p.l.s – 특정 유형의 운송 수단으로 인력을 운송하는 비용, 문지름; HP에서-특정 유형의 운송 수단으로 운송되는 인원 수, 단위; C p.h - 특정 운송 유형으로 1km당 한 사람을 운송하는 비용, 문지름; D p – 인원 수송 범위, km.
그리고 첫 번째, 두 번째, 세 번째 수식에서는 수식 왼쪽의 기호를 수식 앞의 텍스트에서 해독해야 합니다. 어디에서나 기호 B는 수송된 무기 또는 인력, 유닛의 수량을 나타냅니다. 기호 C – 1km당 1인, 무기 1개를 운송하는 비용입니다. D – 무기 및 인력 운송 거리, km. 각 공식 다음에 기호를 반복하지 않고 기호를 한 번만 해독해야 합니다.
공식 다음에는 설명 앞에 쉼표를 넣고 설명은 where라는 단어로 시작하고 첫 번째 수량 지정 및 디코딩 등이 이어집니다. 각 성적표 끝에는 세미콜론을, 마지막 성적표 끝에는 마침표를 두는 것이 좋습니다. 디코딩에서 물리량 단위 지정은 쉼표로 텍스트와 구분됩니다. 예를 들어:
다층 코일의 인덕턴스는 공식에 의해 결정됩니다
어디? – 회전 수; D – 평균 권선 직경, mm; l – 권선 길이, mm; h – 권선 높이, mm.
공식에 대한 설명은 표준이 아닙니다. 과학 문헌에서는 하나의 공식과 여러 가지 공식과 관련된 가장 단순한 것부터 복잡한 것까지 다양한 버전을 찾을 수 있습니다. 문장의 수식을 텍스트로 분리하는 경우 해당 수식에 대한 일반적인 설명을 독립된 문장으로 분리하는 것이 좋습니다. 예를 들어:
벡터 형식에서 이러한 방정식은 다음과 같이 표현될 수 있습니다. 질량 중심의 운동 방정식
그리고 질량 중심에 대한 항공기의 운동 방정식
이 방정식에는 다음 표기법이 채택됩니다. V – 관성 공간에 대한 항공기 이동 속도의 벡터;
R은 항공기에 작용하는 외부 힘의 벡터입니다. G - 중력의 벡터;
M은 항공기의 질량 중심에 대한 외부 힘의 순간 벡터입니다.
과학, 참고문헌, 백과사전 출판물에서는 종이를 보다 경제적으로 사용하기 위해 설명을 선택 항목에 배치할 수 있습니다.
본문에 나오는 공식과 기호를 주의 깊게 확인하고 올바르게 처리하려면 편집자의 많은 주의가 필요합니다. 모든 지정 및 수치 표시의 정확성과 정확성을 보장하는 것뿐만 아니라 모호함이나 다른 해석 가능성을 피하기 위해 설계의 최대 명확성과 명확성을 달성하는 것도 필요합니다.
주어진 데이터의 정확성에 대한 전적인 책임은 저자에게 있다는 것이 일반적으로 인정되지만, 출판사의 편집자는 공식에 대한 완전하거나 선택적인 제어 점검을 수행할 의무가 있습니다. 교과서와 교구의 문제를 철저하게 테스트합니다. 해당 값을 대입하여 등식을 확인할 수 있습니다.
공식 텍스트를 능숙하게 편집하려면 공식의 수학적 구성, 기호 사용 등에 대한 지식만으로는 충분하지 않습니다. 또한 공식의 인쇄 요구 사항을 아는 것도 필요합니다. 이를 준수하면 공식을 이해하기 쉽고 표현력이 풍부하며 간결하게 만드는 데 도움이 되기 때문입니다.
편집자는 수식을 가장 잘 배열하는 방법, 한 줄에 맞지 않을 경우 이동하는 방법, 어떤 수식에 번호를 매겨야 하는지 등을 알아야 합니다.
수식에는 텍스트 줄 내부와 조판 형식 중간에 별도의 줄로 두 가지 유형이 있습니다. 선택 항목에 수식을 배치하면 많은 공간을 절약하는 데 도움이 됩니다. 따라서 짧고 간단한 수식이 독립적인 의미를 갖지 않고 번호가 매겨지지 않고 별도의 줄에 포함된 경우 텍스트와 함께 선택 항목으로 정렬될 수 있습니다. 예를 들어:
우리가 찾은 연속 조건으로부터
이 텍스트는 다음과 같이 배열될 수 있습니다.
이 기술은 큰 조판 형식에 특히 효과적이지만(영역의 최대 70-80%를 절약할 수 있음) 수식이 여러 줄 또는 여러 줄인 경우에는 이 기술을 사용하지 않는 것이 좋습니다.
동일하거나 유사한 수량을 계산하는 행에 배치된 여러 공식은 정렬되거나 등호를 사용합니다.
피xx= ?아르 자형+ ?div? + 2?? 1 ;
r yy= ?아르 자형+ ?div? + 2?? 2 ;
피 zz= ?아르 자형+ ?div? + 2?? 삼;
또는 비교의 기초가 되는 규모에 따라:
150°? ? ?210°;
330°? ? ?360°.
수식이 변환되고 수식 자체가 여러 줄인 경우 변환 진행 상황을 더 잘 볼 수 있도록 중간 그룹을 다른 그룹 아래에 배치해야 합니다. 예를 들어:
수식 번호 매기기. 수식이 있는 위치뿐만 아니라 이전 또는 후속 프레젠테이션에서도 수식을 사용하여 작업해야 하는 경우가 매우 많습니다. 공식을 참조할 때마다 전체 인용을 피하기 위해 공식에 번호가 매겨져 있습니다. 일반적으로 연속 번호 매기기는 제한된 수의 가장 중요한 수식에 사용됩니다. 모든 수식에 연속으로 번호를 매기면 책이 복잡해집니다.
대규모 저작물(교과서, 단행본)에서는 장별 수식의 순차적인 번호 매기기, 소위 이중 번호 매기기가 때때로 사용됩니다. 이 경우 번호가 매겨진 수식의 첫 번째 숫자는 장 번호와 일치해야 하며, 두 번째 숫자는 해당 장 내 수식의 일련 번호와 일치해야 합니다. 예를 들어 2장의 12번째 수식은 번호가 매겨져 있으며(2.12), 5번째 수식은 3장은 (3.5) 등이다. 예외적인 경우, 다음 공식이 이전에 제공된 기본 공식의 변형인 경우 아라비아 숫자와 러시아 알파벳의 소문자 직선 문자를 사용하여 공식에 문자 번호 매기기가 허용됩니다. 숫자와 문자는 함께 작성되며 쉼표로 구분되지 않습니다(예: 17a, 17b 등).
모든 공식의 일련번호는 공식에서 해당 번호까지 벗어나지 않도록 페이지 오른쪽 가장자리에 괄호 안에 아라비아 숫자(로마 숫자는 번호 매기기 공식에 사용되지 않음)로 표기해야 합니다.
공식(4.15)은 다음을 보여줍니다...
하나의 일련 번호를 사용하여 일련 번호를 갖는 공식 그룹 또는 방정식 시스템에 번호를 매기는 경우, 괄호로 묶인 이 번호는 결합된 공식 그룹 또는 방정식 시스템의 중간 레벨의 오른쪽 가장자리에 배치됩니다. 페이지. 이 경우 괄호(중괄호)가 사용됩니다.
전송 시 배합표의 일련번호는 마지막 줄에 표시됩니다. 예를 들어:
방정식 (2.17)을 한 번 적분하면 다음을 얻습니다.
수식에 곱셈 기호를 입력합니다. 공식의 계수와 기호는 원칙적으로 기호로 구분되지 않고 함께 작성됩니다. 중심선에 의한 곱셈의 표시인 점은 알파벳 기호 앞과 사이, 괄호 앞, 괄호 안의 요소 사이, 수평 막대를 통해 쓰여진 분수식의 앞과 뒤에 배치되지 않습니다. 예를 들어:
곱셈 기호로 중간선에 점은 예외적인 경우에만 배치됩니다.
– 수치적 요소 사이: 18 · 242.5 · 8;
– 삼각 함수의 인수 뒤에 문자 지정이 올 때: Jtg c · a sin b;
– 다음과 관련된 표현에서 요소를 분리합니다.
근호, 적분, 로그 등의 기호:
일반적으로 표현 cos? 티? 저것또는
일반적으로 형식으로 표시됩니다. 저것코사인? 티또는
이전 결론이나 수학적 분석의 조화를 방해하지 않기 위해 특정 순서로 요소를 작성하는 특별한 목적이 없는 한.
곱셈 기호로 비스듬한 십자(?)가 공식에 사용됩니다.
– 치수를 지정할 때: 방 면적 4 ? 3m;
– 벡터의 벡터 곱을 작성할 때: 응? 비;
– 곱셈 기호에서 한 줄에서 다른 줄로 수식을 이동할 때.
수식 전송. 원고에 제공된 공식이 너무 길어 출판 페이지의 한 줄에 맞지 않는 경우(하이픈 없이) 일반적으로 저자는 하이픈을 넣을 수 있는 위치를 설명해야 합니다. 먼저 수학적 관계의 기호에 대해 전송을 수행하는 것이 바람직합니다. = ? , ?, ?,?, ?, >, <, >> 등
이 기호를 사용하여 수식을 선으로 나눌 수 없는 경우에는 + 또는 - 연산 기호를 사용하여 나누어야 합니다. 덜 바람직하지만 허용 가능하지만 ± 및 곱셈 기호를 사용하여 수식을 선으로 나누는 것입니다. 구분 기호(두 개의 점)에서 선을 나누는 것은 관례가 아닙니다. 수식을 곱하기 기호로 나누면 점이 아닌 비스듬한 십자(?)로 표시됩니다.
오른쪽 또는 왼쪽 부분이 긴 분자와 분모가 있는 분수의 형태로 표시되거나 번거로운 급진적 표현으로 표시되는 방정식을 이전하는 문제에 특히 주의를 기울입니다. 이러한 방정식은 변환되어 전송에 편리한 형식으로 가져와야 합니다.
분수는 긴 분자와 짧은 분모로 표현하여 분자는 괄호 안에 다항식으로 쓰고, 분모로 나눈 단위는 괄호 밖에 두는 것이 좋습니다. 예를 들어, 방정식
쉽게 떠올랐다
분자가 짧고 분모가 긴 경우 개별 복잡한 요소를 단순화된 표기법으로 바꾸는 것이 좋습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
공식에 긴 분자와 긴 분모가 있는 분수가 포함된 경우 전송을 위해 권장되는 변환 방법을 모두 사용하거나 가로 분수 막대를 나누기 기호(두 개의 점)로 바꿉니다. 후자의 경우 수식은 다음과 같습니다.
(ㅏ 1 엑스+ ㅏ 2 와이+ ... + ㅏ나 시간) : (비 1 엑스+ 비 2 와이+ ... + 비 나는 h).
다음과 같이 작성할 수 있습니다.
(ㅏ 1 엑스+ 비 1 엑스 2 + ... + nxn) 1/2 .
전송이 이루어지는 표시는 첫 번째 줄의 끝과 전송된 부분의 시작 부분에 두 번 배치됩니다. 예를 들어:
수식이 악센트에서 중단되면 다음 줄의 시작 부분에서도 반복됩니다. 등호가 빼기 기호 앞에 오면 등호에서 변환이 수행됩니다. 수식에 괄호 안에 여러 표현식이 포함되어 있는 경우 괄호 앞의 + 또는 - 기호를 그대로 사용하는 것이 좋습니다.
편집자와 교정자의 모든 노력에도 불구하고 공식이 포함된 텍스트의 오류는 여전히 남아 있습니다. 수식을 전달할 때 흔히 저지르는 실수는 인수를 함수에서 분리하는 것입니다. 예를 들어:
물론 식자에게 f(x - y) 유형의 레코드를 차등 평가하도록 요구할 수는 없습니다. 문맥 없이는 그것이 의미하는 바를 말할 수 없습니다: 두 함수 f와 (x - y)의 곱 또는 종속성 인수 (x - y)에 대한 함수 f의. 그러나 인수가 없는 삼각함수는 의미가 없는 것으로 알려져 있으므로 인수 없이는 사용되지 않습니다. 그리고 함수와 인수 사이에 곱셈 기호를 배치하는 것은 심각한 실수입니다.
주어진 예에서 편집자는 실수를 예측할 수 없었습니다. 첫 번째 경우에는 수식을 두 줄로 쪼갤 때 식자업자의 실수로 수식을 옮기게 되었고, 두 번째 경우에는 수식이 본문 자체에 있어서 도중에 이곳에서 옮겨지는 것을 예측하는 것이 거의 불가능했다. 편집. 그러나 레이아웃에서 편집자는 이 오류를 수정해야 했습니다.
공식이 포함된 인쇄된 시트의 용량은 인쇄된 텍스트 시트의 용량보다 2~3배 적으므로 출판 비용이 증가합니다. 출판 실무에는 실질적인 경제적 효과를 제공하는 공식을 제시하는 합리적인 방법이 있습니다. 수식은 원칙적으로 상단과 하단에 패딩이 있는 빨간색 선으로 입력됩니다. 이로 인해 종이 소비가 증가하고 수식을 입력하고 설치하는 비용이 증가합니다.
두 가지 경우에는 형식 중간에 공식을 포함하는 것이 좋습니다. a) 공식에 강조가 필요합니다. b) 복잡하고 번거로워서 수식을 텍스트와 함께 입력할 수 없습니다. 주의를 기울여야 할 공식에는 일반적으로 번호가 매겨져 있습니다. 그러나 수식은 불필요하게 해제되는 경우가 많습니다.
예를 들어 텍스트
한 줄에 배치할 수 있습니다.
공식 번호 매기기로 인해 이것이 방지되는 것처럼 보일 때에도 세트의 상당한 압축이 달성될 수 있습니다. 예를 들어:
이러한 공식 배열을 사용하면 그 수를 찾는 것이 어렵지 않습니다.
이러한 경우 모든 수식을 하나의 숫자 아래 한 줄에 배치할 수 있습니다.
링크를 변경하는 것은 쉽습니다. 예를 들어, 좌표를 표현하기 위해 공식을 참조해야 하는 경우 "두 번째 공식 (3)에 따라"라고 쓸 수 있습니다.
수식 자체의 특성에 내재된 변환 방법을 사용하면 복잡한 거의 모든 수식을 입력하기 편리한 형식으로 표현할 수 있습니다. 가장 간단한 분수
입력이 불편한 것으로 나타났습니다. 하지만 슬래시 1/2, 소수점 이하 0.5, 2의 거듭제곱으로 쓸 수 있습니다. -1 . 모든 옵션은 동일하지만 첫 번째 옵션이 가장 널리 사용됩니다.
과학 문헌의 판에서는 모든 분수를 다음과 같은 한 줄 표현으로 변환할 수 있다고 믿어집니다. (a + b)/c; (A + B)/(c + d) 등 종이 소비에는 분명한 이점이 있습니다. 다층 분수를 변환하는 것이 특히 유용합니다. 예를 들어 분수
(a/b + c/d)/(e/f + g/h) 형식으로 변환할 수 있습니다. -1 .
종이를 절약하기 위해 컴팩트함에 많은 관심을 기울였습니다. 그러나 여기에는 약간의 과잉이있었습니다. 눈에 띄지 않는 거대한 공식과 모호한 해석의 공식이 언론에 나타나기 시작했습니다.
이해할 수 없는 공식은 때때로 "슬래시" 기호와 음수 지수를 사용하여 복잡한 2층 및 3층 공식을 한 줄 공식으로 무분별하게 번역한 결과입니다.
슬래시 뒤의 분모에 제품이 포함되어 있는 경우 모호한 해석의 공식이 얻어집니다.
"슬래시" 기호를 부주의하게 취급한 놀라운 예는 OST 29.115-88 "저자와 텍스트 출판 원본의 부록 1에 있습니다. 일반적인 기술 요구사항'을 참조하세요. 표준 작성자는 가능한 공식을 고려합니다.
다음과 같이 변환하십시오 :
이는 어떤 기호가 분자에 있고 어떤 기호가 분모에 있는지 명확하지 않기 때문에 잘못된 것입니다. 이 모호함이 제거되면(추가 괄호를 사용하여) 공식의 인식이 훨씬 어려워집니다. 이 옵션은 아마도 의미에 대해 생각하지 않고 숫자를 대체하고 결과를 얻을 수 있도록 공식이 제공되는 일부 특수 컴팩트 출판에만 적합할 것입니다.
또 다른 "교과서" 예를 살펴보겠습니다.
간단히 수평 슬래시를 슬래시로 바꾸면 다음과 같습니다.
A = B/CX 및 A = B/CX,
저것들. 다른 공식이 동일해졌습니다.
이런 일이 발생하지 않도록 하려면 첫 번째 수식에서는 제품을 괄호 안에 분모에 넣어야 하고, 두 번째 수식에서는 X를 앞으로 이동하거나 괄호 안에 B/C를 써야 합니다.
A = B/(CX) 및 A = XB/C = (B/C) X.
많은 사람들은 옵션 A = B/ CX의 두 번째 공식을 변경하지 않고 그대로 둘 수 있다고 믿습니다. 왜냐하면 산술 규칙에 따라 여기서 작업은 부호 순서대로 수행되기 때문입니다. 기술 문헌에서는 슬래시 뒤의 표현을 하나의 전체로 인식하는 고정관념이 오랫동안 존재해 왔기 때문에 우리는 이에 동의할 수 없습니다. 예를 들어 특정 연료 소비량은 항상 g/kWh로 지정됩니다. 여기서 "h(as)"는 산술 규칙에 따라 분자에 있지만 실제로는 분모에 있습니다.
A = B/ CX 표현식에서 슬래시가 구분 기호(점 2개)로 대체되는 경우에도 좋지 않습니다. 왜냐하면 C와 X는 공백 없이 입력되어 많은 사람들이 제품(A = B: CX).
합의된 바와 같이, 공식의 노동 강도(비용 효율성)에는 타이핑뿐만 아니라 원래 공식을 편집하고 재인쇄하고 읽는 노동 강도도 포함됩니다. 공평하게 말하면, 작성자가 레이아웃에서 수식을 확인하는 수고로움도 포함되어야 합니다. 때로는 편집 후 인식할 수 없는 수식을 확인하는 데 몇 시간을 소비해야 할 때도 있습니다. 예를 들어, 첫 번째 공식보다 두 번째 공식을 확인하는 것이 얼마나 더 어려운지는 분명합니다.
변환 전
변환 후? = 4( ㅏ/씨):[(1+ㅏ/씨) 2 +비 2 /씨(?/?r ??r /?) 2 ].
물론 공식의 복잡성이 일반적으로 세트 비용으로만 귀결된다는 사실은 어느 정도 이해할 수 있습니다. 세트 비용은 출판 원본 준비에 대한 정량적 및 외부 지표입니다. 노동 강도의 나머지 지표는 계산되지 않으며 출판사 내부에 있습니다.
편집 작업의 노동 강도를 최소화하려면 저자가 다음 요구 사항을 충족하는 자료를 제공하는지 확인해야 합니다.
– 수식은 손으로 블록체로 깔끔하고 명확하게 작성합니다(저자가 컴퓨터 타이핑을 할 수 없는 경우).
– 복잡한 수식의 나눗셈 기호는 가로 막대처럼 보입니다. 이러한 공식은 확인, 분석 및 결정이 쉬우며, 물론 공식을 보다 간결한 형식으로 제공하는 편의성에 대해 저자와 동의합니다.
– 수식이 표시됩니다.
– 여백에 필요한 설명이 포함되어 있습니다(“e”는 “el”이 아닙니다. 등).
– 여백에 추가 설명이 필요한 문자 및 기호의 수는 수식에서 최소한으로 줄였습니다.
수학적 연산 및 계산에 대한 자세한 프레젠테이션을 위해 많은 추가 종이가 사용됩니다. 이러한 경우 수식 수를 줄일 수 있습니다. 기본적으로 모든 중간 변환을 제공하는 것이 항상 필요한 것은 아닙니다. 예를 들어, 수식의 전체 일련의 변환 대신
충분히 쓸만해요
수식을 그룹화하여 종이를 절약할 수도 있습니다. 그래서, 수식
?엑스= ?? + 2Gex;
?와이= ?? + 2게 y;
?지= ?? + 2게 z;
?y z= ??y z;
?xz= ??xz;
?xy= ??xy;
더 간결하게 그룹화할 수 있습니다.
?엑스= ?? + 2Gex; ?yz= ??yz;
?와이= ?? + 2게 y; ?xz= ??xz;
?지= ?? + 2게 z; ?xy= ??xy.
수식이 포함된 텍스트의 구두점은 아직 충분히 체계화되지 않았습니다. 수식은 종종 독립적인 부분으로 간주되어 인위적으로 문장에 삽입되기 때문입니다. 공식과 개별 기호를 문장의 구성원으로 간주하면 비체계성과 불일치를 쉽게 제거할 수 있습니다. 이러한 입장에서 각 수식은 문장에 포함된 구문 단위로 간주되어야 하며 그에 따라 구두점을 배치해야 합니다.
이미 언급한 바와 같이 수식은 텍스트 줄 안에 있거나 입력 형식 중간에 꺼집니다. 텍스트 내부에 공식 표현이 있는 경우 구두점을 배열할 때 수학 연산의 기호는 코퓰러가 생략된 복합 명사 술어의 명목 부분으로 간주되어야 합니다. 예를 들어:
만약에? Z,C< ?X,C, 저것 중(y, z, s) = 무?x, s.
구두점은 수학 기호가 있다는 사실을 고려하여 배치됩니다.< (меньше), = (равно) являются именной частью ска–зуемого. Связка «есть» опущена, так как сказуемое имеет значение настоящего времени.
별도의 줄에 강조 표시된 공식이 있는 문장에 구두점을 배치하는 것이 더 어렵습니다. 특히 논란의 여지가 있는 것은 공식 앞에 기호를 배치하는 것입니다.
가장 일반적인 경우를 살펴보겠습니다. 다음 유형의 공식 텍스트(그림 2), 공식 앞, 여러 공식 사이, 공식 뒤 및 공식 후 텍스트에서 구두점을 고려합니다.
쌀. 2. 공식 텍스트의 일반적인 경우
수식 앞에 기호가 없어도 되며 쉼표나 콜론이 있을 수 있습니다. 수식 앞의 텍스트 뒤에는 수식이 문장의 구성원인 경우 일반적으로 구두점이 표시되지 않습니다. 구두점 규칙에 따라 구두점으로 선행 단어와 구분되어서는 안 됩니다. 예를 들어:
우리는 채널의 효율성을 가치로 특성화합니다.
사전 수식 텍스트가 소개 단어로 끝나면 일반적으로 수식 앞에 쉼표가 배치됩니다. 예: 그러나 VNA 격자의 경우 항상 1 = 0이므로,
디 2 = ?? ?나 p+ G피 = 에프(?, 티?) 그리고 G피 = 에프(?, 티 ?) ? 에프(디 2).
종속절, 분사, 부사구가 수식 앞에 끝나는 경우에도 쉼표가 표시됩니다.
이제 만약에 아르 자형전과 전자 이자형둘 다 0과 같습니다.
식(36)으로부터 유량 계수를 도입하여 다음을 얻습니다.
수식이 포함된 텍스트에서 구두점에 대한 가장 논란이 되는 문제는 수식 앞에 콜론을 배치하는 것입니다. 러시아어에서는 일반화 단어 뒤, 비결합 복합 문장, 직접 연설 및 인용문 사용에서 문장의 동종 구성원 앞에 콜론이 배치됩니다.
다음과 같은 경우에는 수식 앞에 콜론을 넣을 수 있습니다.
1. 여러 수식 앞에 일반화하는 단어가 있는 경우 콜론이 없는 경우, 뒤에 오는 내용이 여러 공식 목록임을 독자에게 경고할 필요가 있는 경우에만 여러 공식 앞에 콜론을 배치해야 합니다.
방정식 (8.32)에 중첩 정리를 적용하면 두 가지 유형의 컨볼루션 적분 또는 Duhamel 적분을 얻을 수 있습니다.
방정식 (3)으로부터 우리는 다음을 얻습니다:
2. 공식 텍스트가 두 번째 부분인 공식이 첫 번째 부분의 의미를 설명하거나(즉, 단어의 정신적 공식화가 가능함) 이유를 포함하는 비결합 복합 문장으로 간주될 수 있는 경우 또는 첫 번째 부분에서 말한 내용에 대한 정당화(왜냐하면, 이후, 이후라는 단어를 정신적으로 공식화하는 것이 가능함).
B의 공식에 식 (3.57)을 대입해 보겠습니다. 0 :
우리는 다음과 같이 가정합니다. 그와 함께, 선형 함수가 있습니다.
수식 사이에는 작업 전반에 사용되는 기호에 따라 세미콜론이나 쉼표를 넣는 것이 일반적입니다.
괄호로 묶인 방정식 시스템에서는 시스템을 문장의 단일 구성원으로 간주하여 구두점을 생략할 수 있습니다. 예: 방정식 시스템에서
상수 계수의 값을 결정하는 것이 가능합니다.
방정식 시스템이 문장을 끝내거나 시스템 뒤에 설명이 제공되는 경우 이러한 시스템은 공식 목록으로 간주되며 해당 기호로 서로 구분됩니다.
때로는 두 개의 공식이 접속사 or로 연결되는 경우도 있습니다. 접속사 or는 러시아어에서 두 가지 의미, 즉 나누는 의미와 명확하게 하는 의미로 사용됩니다. 나누는 접속사 또는 (단일 또는 반복)은 동종 구성원으로 표현되는 개념 중 하나를 선택하고 서로를 제외하거나 대체해야 함을 나타냅니다. 단일 분리 접속사 앞에는 쉼표나 쉼표가 없습니다.
접속사 or가 명확한 의미를 갖고 있는 경우, 단일 접속사 앞에 쉼표가 필요합니다.
편집자는 저자가 접속사 또는 공식 사이를 어떤 의미로 사용했는지 판단해야 합니다. 때로는 접속사 or로 결합된 두 번째 공식이 단순히 변형된 첫 번째 공식이므로 쉼표가 필요하다는 것을 이해하는 것이 어렵지 않습니다. 이는 문자 지정 대신 숫자 값이 동일한 공식으로 대체되는 경우에 발생합니다. 예를 들어:
...우리는 방정식 (2)를 적용하고 항을 재배열한 후 다음을 얻습니다.
이런 디자인은 흔치 않습니다. 따라서 공식의 동일성을 확인하기 위해 편집자는 몇 가지 수학적 변환을 수행해야 합니다. 이 작업은 초급 수준이며(고등학교 과정을 넘지 않음) 어떤 편집자라도 수행할 수 있습니다. 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
삼각법 과정에서 우리는 2 sin ? 2 cos ? 2가 사인의 이중 각도에 대한 공식이라는 것을 알고 있습니다. 2 죄?2 cos?2 = 죄 2?2. 결과적으로 두 번째 공식에서는 2 sin ∅2 cos ∅2가 sin 2∅2로 대체되는데, 이는 두 공식이 동일하므로 쉼표를 삽입해야 함을 의미합니다.
여기서 첫 번째 방정식의 우변은 cos ∅2만큼 감소됩니다. 수식도 동일하며 쉼표가 필요합니다.
접속사 앞에 쉼표를 두는 경우나 이 경우에는 설명이 필요하지 않습니다.
이와 관련하여 우리는 "자료의 내용과 동화에 해를 끼치 지 않고 수식 수를 줄이거 나 작성을 단순화하고 작성을 단순화 할 수 있도록 수학적 텍스트, 특히 수식 처리에 대한 권장 사항을 고려할 것입니다. 책에서 차지하는 공간입니다.”
때로는 추가 설명 없이 독자에게 그 성격이 명확한 수학적 변환의 결과로 일관되게 얻어지는 일련의 공식을 강조 표시할 필요가 있습니다. 일반적으로 이러한 모든 수식은 스트립 형식 중간에 꺼지고 수식 자체는 단어 또는 즉, from 등으로 연결되며 각 단어는 별도의 줄을 차지합니다. 그러나 연결 단어를 제거하고(세미콜론으로 대체) 수식을 더 간결하게 배열하면 동일한 텍스트가 훨씬 더 작은 영역을 차지하게 됩니다.
예를 들어:
선택 항목에 수식을 배열하면 자연스럽게 종이가 절약됩니다. 그러나 저자는 명확한 접속사와 단어를 제거하고 공식을 세미콜론으로 서로 구분하여 수학적 의미를 위반할 것을 동시에 제안합니다. 첫 번째 예에서 우리는 하나의 공식을 다른 형식으로 변환하는 것을 다루고 있습니다. 마지막 공식은 첫 번째 공식을 연속적으로 변환하여 얻은 것입니다. 두 번째 예에서 세미콜론은 다른 수식과 의미가 관련되지 않은 여러 개의 독립적인 수식이 있음을 나타냅니다. 보시다시피 작성자의 추천으로 인해 오류가 발생했습니다.
수식 뒤에는 의미에 필요한 구두점이 있어야 합니다.
일부 구두점 사용에는 제한이 있습니다. 공식, 기호, 기호, 수학 용어, 측정 단위 등에 직접 연결됩니다. 수학 기호로 사용되거나 이와 유사한 구두점은 인접할 수 없습니다.
따라서 대시(-)는 뺄셈 연산의 수학적 기호(-), 콜론(:) - 나누기 기호(:), 느낌표(!) - 계승 기호(!)와 철자법에서 일치합니다. .
선택 항목에 입력된 두 수식(첫 번째 수식은 숫자로 끝나고 두 번째 수식은 숫자로 시작함) 사이에 쉼표를 넣을 수 없습니다. 또한 아라비아 숫자로 표시되는 나열된 수량 사이에는 실수할 수 있으므로 쉼표를 넣을 수 없습니다. 소수 구분 기호의 경우. 이러한 경우에는 쉼표를 세미콜론으로 바꿔야 합니다.
크고 긴 아래 첨자가 있는 텍스트의 공식 또는 개별 문자 기호는 의미에 쉼표가 필요한 경우에도 세미콜론으로 구분해야 합니다. 그렇지 않으면 특히 퍼지 인쇄의 경우 쉼표가 색인에 포함된 기호로 오해됩니다.
예를 들어:
엘?e1; 엘?22; 엘?y+1.
수학 기호 및 문자 기호를 입력할 때 발생할 수 있는 오류를 없애려면 조판자가 특정 문자가 소문자인지 대문자인지에 관계없이 어떤 알파벳에 속하는지 빠르고 정확하게 결정하는 데 도움이 되는 모든 기호, 표시 및 비문에 대한 정확한 편집기 표시가 필요합니다. , 직선 또는 이탤릭체, 굵게 또는 가늘게 등.
러시아어와 라틴 알파벳에는 필기와 타자 모두에서 서로 정확히 동일하거나 매우 유사한 문자와 기호가 있지만 인쇄 재현이 다르기 때문에 표시가 필요합니다. 따라서 손글씨를 쓸 때, 특히 손으로 빠르게 쓸 때 C와 s, K와 k, O와 o, P와 r, S와 s, V와 v, W와 w의 대문자와 소문자의 차이가 거의 없다. , Z 및 z, y 및 y, x 및 x. 문자 O와 0(영) 및 각도 기호 °는 철자가 비슷합니다. 러시아 문자 Z 및 숫자 3; 로마자 I 및 아랍어 1(단위); 러시아 문자 x(ha), 라틴어 x(ix) 및 곱셈 기호(x) 등
명확한 개요 외에도 서로 유사한 모든 문자와 기호는 특수 교정 표시를 사용하여 원고에 적절하게 표시해야 합니다. 예를 들어 대문자는 아래에 두 획(X)으로 밑줄이 그어져 있고, 소문자 - 위에 두 획( 엑스). 글자의 윤곽이 편집자나 조판자 사이에서 의심을 불러일으킬 수 있는 모든 경우에는 원고의 여백이나 줄 사이의 글자 바로 옆(문자, 숫자, 0, 기호)에 설명을 기재해야 합니다. 학위, 서명. 곱셈, el, not el 등.
수학 공식의 라틴 알파벳 문자는 이탤릭체로 입력되고 원고에는 물결 모양의 밑줄이 그어져 있습니다. 그리스 문자는 빨간색 원으로 표시되고 독일어 고딕 문자는 녹색 원으로 표시됩니다.
일부 물리 및 수학적 양과 표기법은 일반적으로 로마 알파벳으로 입력됩니다(예: 마하 수 M, 레이놀즈 수 Re, Prindtl Pr 등, 삼각 함수, 쌍곡선 함수, 역원형 및 역쌍곡선 함수, 온도 눈금 이름 °C). , °Ra, °K, °F, 일반적으로 허용되는 최대 및 최소의 조건부 수학적 약어(max, min), 양의 최적 값(opt), 양의 불변성(const), 제한 기호(lim), 소수, 자연 및 기타 로그(lg, log, Log, In, Zn), 행렬식(det) 등
세트의 기술 규칙에 따른 공식 및 해당 부분의 배열에는 다음이 적용됩니다.
– 한 줄과 분수 부분으로 구성된 수식에서 주선과 구분선의 기호와 기호는 수식의 중간 선을 따라 위치합니다. 또한, 수식에 명확하게 정의된 중심선이 없는 경우에는 수식의 높이 중앙을 통과하는 수평선으로 간주됩니다.
– 괄호로 묶인 유사한 공식 및 공식 그룹은 등호 또는 다른 관계 부호로 동일시됩니다.
– 구분선 중앙에서 분자와 분모가 꺼집니다.
– 너비가 다른 수식 행렬식 열에서는 열 형식의 중앙에서 꺼집니다.
일련의 수학 공식에는 다음을 요구하는 규칙이 적용됩니다.
– 본문의 글꼴과 동일한 서체 및 크기의 글꼴로 한 줄 수식을 입력하고, 분수 부분은 크기가 2포인트 더 작은 글꼴로 입력합니다.
– 수학적 기호와 숫자로 구분되지 않는 기호를 서로 분리하지 마십시오(12ab).
– 앞의 요소와 분리하지 마십시오. a) 여는 괄호에서 괄호 안의 표현; b) 기호 또는 숫자의 색인 및 지수(기호 또는 숫자에 상위 및 하위 색인이 모두 있는 경우 상위 색인은 하위 색인 뒤에 배치될 수 있습니다. 즉, 하위 색인의 너비에 대한 공간이 있어야 합니다)
c) 근수 기호의 근수 표현; d) 구두점(앞의 요소가 한 줄인 경우) e) 대괄호로 묶인 표현식에서 닫는 대괄호; f) 계승;
– 후속 요소와 분리하지 마십시오: a) 다음 함수 지정 또는 인수의 미분 부호: dX; b) 다음 적분 부호의 적분 부호: JJ; c) 괄호 안을 포함하여 함수 또는 인수의 다음 지정으로부터 증가 부호: D/(x); d) 그 다음에 나오는 근수 표현의 근수 기호; e) 대괄호로 묶인 표현식에서 열리는 괄호; f) 대괄호 안의 것을 포함하여 다음 함수 지정 또는 인수로부터 함수 부호: / (x);
– 이전 및 후속 요소에서 2점 차이로 승리: a) 단일 및 이중 수직 눈금자 | a + b | ? | | + | 비 |; 엑스 || ||; b) 함수 또는 인수의 지정과 분리되지 않은 다음과 함께 미분 기호; c) 함수 또는 인수의 지정과 분리되지 않은 다음과 함께 적분 기호;
d) 지수(sin 2?)와 함께 수학적 표기법(sin, lg 등) e) 함수 또는 인수에 대한 다음 표기법과 함께 증분 기호 e) 부착된 표지판(표지판에 대한 연결이 너비보다 큰 경우 공간은 12포인트로 늘어날 수 있음) g) 근수 표현과 함께 근수 기호;
h) 괄호 안에 표현이 포함되어 있고 지수나 색인으로 닫는 괄호와 구분되지 않습니다.
i) 관계 기호(=,<, ~ и т.д.);
– 이전 요소에서 2포인트 차이: 구분선의 구두점;
– 도서 출판물에서 물리량 단위 지정 시 이전 요소에서 3포인트 이동합니다(15km/h).
– 후속 요소에서 수식 3포인트 안에 쉼표를 설정합니다.
- 수평으로 두들겨 치지 마십시오 : a) 분모의 지수가 구분선에 밀접하게 인접한 경우와 분모와 분자를 모두 1-2로 설정하는 것이 허용되는 경우를 제외하고 구분선의 분모 그것에서 포인트; b) 기호의 위 첨자 또는 아래 첨자 표시; c) 이러한 표지판의 추가 표지판에 대한 연결; d) 하위 인덱스가 구분선에 밀접하게 인접하고 분자와 분모를 모두 1-2포인트만큼 오프셋할 수 있는 경우를 제외하고 구분선의 분자.
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정보 보안 책에서. 강의 코스 저자 Artemov A.V.10강 정보보안 확보를 위한 수학적 모델 연구문제:1. 자동화 제어 시스템의 정보 보안을 보장하기 위한 수학적 모델의 목적.2. 보안 수학적 모델의 비교 분석 및 기본 정의
원칙적으로 수식에는 변수(하나 이상)가 포함되며 수식 자체는 단순한 표현이 아니라 일종의 판단입니다. 그러한 판단은 변수에 대해 뭔가를 주장할 수도 있고 관련된 작업에 대해 뭔가를 주장할 수도 있습니다. 수식의 정확한 의미는 문맥을 통해 암시되는 경우가 많으며, 겉모습으로는 직접적으로 이해할 수 없습니다. 세 가지 일반적인 경우가 있습니다.
방정식
방정식은 외부(상부) 연결이 이진 동등 관계인 공식입니다. 그러나 방정식의 중요한 특징은 방정식에 포함된 기호가 변수와 옵션(그러나 후자의 존재가 반드시 필요한 것은 아닙니다). 예를 들어, x 2 = 1 (\displaystyle x^(2)=1) x가 변수인 방정식입니다. 동등성이 참인 변수의 값을 방정식의 근이라고 합니다. 이 경우 두 숫자와 -1입니다. 일반적으로 한 변수에 대한 방정식이 항등식이 아닌 경우(아래 참조) 방정식의 근은 이산 집합, 가장 흔히 유한한(아마도 비어 있는) 집합을 나타냅니다.
방정식에 매개변수가 포함된 경우 그 의미는 주어진 매개변수(즉, 동일성이 참인 변수의 값)에 대한 근을 찾는 것입니다. 때때로 이는 매개변수에 대한 변수의 암시적 종속성을 찾는 것으로 공식화될 수 있습니다. 예를 들어 x 2 = a (\displaystyle x^(2)=a) x의 방정식으로 이해됩니다(이것은 y, z 및 t와 함께 변수를 나타내는 일반적인 문자입니다). 방정식의 근은 a의 제곱근입니다(다른 부호의 두 가지가 있다고 믿어집니다). 그러한 공식은 그 자체로 x와 a 사이의 이진 관계만을 지정하며 x에 대한 a의 방정식으로 반대 방향으로 이해될 수 있다는 점에 유의해야 합니다. 이 기본 사례에서는 a부터 x까지 정의하는 방법에 대해 더 자세히 이야기할 수 있습니다. a = x 2 (\displaystyle a=x^(2)).
신원
정체성은 다음과 같은 경우에 참인 명제이다. 어느변수의 값. 일반적으로 정체성이란 동일하고 진정한 평등을 의미하지만, 정체성 외부에는 불평등이나 다른 관계가 있을 수도 있습니다. 많은 경우에 신원은 여기에 사용되는 작업의 특정 속성으로 이해될 수 있습니다. a + b = b + a (\displaystyle a+b=b+a)덧셈은 교환 가능하다고 주장합니다.
수학 공식의 도움으로 매우 복잡한 문장을 간결하고 편리한 형식으로 작성할 수 있습니다. 변수가 특정 도메인의 특정 객체로 대체될 때마다 참이 되는 공식을 해당 도메인에서는 동일하게 참이라고 합니다. 예를 들면 다음과 같습니다. “어떤 a와 b에 대해서도 동등성은 성립합니다. (a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 (\displaystyle (a+b)^(2)=a^(2)+2ab+b^(2))" 이 항등식은 교환 고리의 덧셈과 곱셈의 공리에서 파생될 수 있으며, 이 공리 자체도 항등식의 형태를 갖습니다.
항등식은 변수를 포함하지 않을 수 있으며 다음과 같은 산술(또는 기타) 등식일 수 있습니다. 6 3 = 3 3 + 4 3 + 5 3 (\displaystyle 6^(3)=3^(3)+4^(3)+5^(3)).
대략적인 평등
예를 들어: x (x) (\displaystyle x\about \sin(x))- 작은 것에 대한 대략적인 평등 x (\디스플레이스타일 x);
불평등
불평등 공식은 섹션 시작 부분에 설명된 두 가지 의미로 이해될 수 있습니다. 즉 항등식(예: Cauchy-Bunyakovsky 부등식) 또는 방정식과 같이 집합(또는 오히려 하위 집합을 찾는 작업)으로 이해될 수 있습니다. 정의 영역) 변수 또는 변수가 속할 수 있습니다.
사용된 작업
이 섹션에서는 대수학에서 사용되는 연산과 미적분학에서 일반적으로 사용되는 일부 함수를 나열합니다.
덧셈과 뺄셈
지수화
기본 기능
절대값, 부호 등
연산 우선순위 및 괄호
연산 또는 연산자의 우선 순위, 순위 또는 서열은 해당 순서에 대한 명시적인(괄호 사용) 표시가 없는 경우 여러 다른 연산자가 포함된 표현식에서 실행 순서에 영향을 미치는 연산자/연산의 형식적 속성입니다. 평가. 예를 들어 곱셈 연산은 일반적으로 덧셈 연산보다 우선순위가 높으므로 표현식은 먼저 y와 z의 곱을 구한 다음 합계를 구합니다.
예
예를 들어:
2 + 2 = 7 (\displaystyle 2+2=7)
- 값이 "false"인 수식의 예Y = ln (x) + sin (x) (\displaystyle y=\ln(x)+\sin(x))
- 하나의 실제 인수의 기능;Z = y 3 y 2 + x 2 (\displaystyle z=(\frac (y^(3))(y^(2)+x^(2))))
- 여러 인수의 함수(가장 주목할만한 곡선 중 하나인 Agnesi versière의 그래프)Y = 1 - | 1 - x | (\displaystyle y=1-|1-x|)
- 한 점에서 미분 불가능한 함수 x = 1 (\표시스타일 x=1)(연속적인 파선에는 접선이 없습니다);X 3 + y 3 = 3 a x y (\displaystyle x^(3)+y^(3)=3axy)- 방정식, 즉 암시적 함수(곡선 그래프 "
지수화
기본 기능
절대값, 부호 등
연산 우선순위 및 괄호
연산 또는 연산자의 우선 순위, 순위 또는 서열은 해당 순서에 대한 명시적인(괄호 사용) 표시가 없는 경우 여러 다른 연산자가 포함된 표현식에서 실행 순서에 영향을 미치는 연산자/연산의 형식적 속성입니다. 평가. 예를 들어 곱셈 연산은 일반적으로 덧셈 연산보다 우선순위가 높으므로 표현식은 먼저 y와 z의 곱을 구한 다음 합계를 구합니다.
예
예를 들어:
2 + 2 = 7 (\displaystyle 2+2=7)- 값이 "false"인 수식의 예
Y = ln (x) + sin (x) (\displaystyle y=\ln(x)+\sin(x))- 하나의 실수 인수 또는 모호하지 않은 함수의 함수;
Z = y 3 y 2 + x 2 (\displaystyle z=(\frac (y^(3))(y^(2)+x^(2))))- 여러 인수 또는 다중 값 함수의 함수(가장 주목할만한 곡선 중 하나의 그래프 - Agnesi의 Versière)
Y = 1 - | 1 - x | (\displaystyle y=1-|1-x|)- 한 점에서 미분 불가능한 함수 x = 1 (\표시스타일 x=1)(연속적인 파선에는 접선이 없습니다);
X 3 + y 3 = 3 a x y (\displaystyle x^(3)+y^(3)=3axy)- 방정식, 즉 암시적 함수("데카르트 시트" 곡선의 그래프) - 이상한 함수;
F (P) = x 2 + y 2 + z 2 (\displaystyle f(P)=(\sqrt (x^(2)+y^(2)+z^(2))))- 점의 기능, 점에서 (직교) 좌표 원점까지의 거리;
Y = 1 x − 3 (\displaystyle y=(\frac (1)(x-3)))- 한 점에서의 불연속 함수 x = 3 (\displaystyle x=3);
X = a [t − sin (t) ] ; y = a [ 1 − cos (t) ] (\displaystyle x=a\,;\ y=a)- 매개변수적으로 지정된 함수(사이클로이드 그래프)
Y = ln (x) , x = e y (\displaystyle y=\ln(x),\ x=e^(y))- 직접 및 역함수;
F(x) = ∫ − 무한 x | 에프(티) | d t (\displaystyle f(x)=\int \limits _(-\infty )^(x)|f(t)|\,dt)- 적분 방정식.
수학자 앙리 푸앵카레는 자신의 저서 '과학과 방법'에서 이렇게 썼습니다. “자연이 아름답지 않다면 알 가치가 없고 인생도 경험할 가치가 없을 것입니다. 물론 여기서 말하는 것은 눈길을 끄는 아름다움이 아니라 ... 부분의 조화에서 드러나는 더 깊은 아름다움, 마음으로 만 이해하는 것을 의미합니다. 토양을 만들고, 우리의 감각을 애무하는 눈에 보이는 색상의 놀이를 위한 틀을 만드는 것은 바로 그녀이며, 이러한 지원이 없으면 덧없는 인상의 아름다움은 모든 것이 불분명하고 일시적인 것처럼 불완전할 것입니다. 오히려 지적인 아름다움은 그 자체로 만족을 준다.”
P.A.M. Dirac은 다음과 같이 썼습니다: "이론 물리학에는 또 다른 올바른 발전 경로가 있습니다. 자연에는 가장 기본적인 물리 법칙이 수학적 이론으로 설명되는 근본적인 특징이 있으며, 그 장치는 놀라운 힘과 아름다움을 가지고 있습니다. 이 이론을 이해하려면 다음이 필요합니다. 당신은 "자연이 왜 이런 식으로 구조화되어 있는지 물을 수 있습니다. 이에 대한 대답은 단 하나입니다. 우리의 현대 지식에 따르면 자연은 이런 식으로 구조화되어 있고 그렇지 않은 방식으로 구조화되어 있지 않습니다."
7년 전, 우크라이나의 물리학자이자 예술가인 Natalia Kondratieva는 세계 최고의 수학자들에게 "가장 아름답다고 생각하는 세 가지 수학 공식은 무엇이라고 생각합니까?"라는 질문을 했습니다.
수학 공식의 아름다움에 대한 대화에는 영국의 Michael Atiyah 경과 David Elvarsi, 미국의 Yakov Sinai와 Alexander Kirillov, 독일의 Friedrich Herzebruch와 Yuri Manin, 프랑스의 David Ruel, 러시아의 Anatoly Vershik 및 Robert Minlos가 참석했습니다. 다른 나라의 다른 수학자 우크라이나인 중에는 NASU Vladimir Korolyuk의 학자와 Anatoly Skorokhod가 토론에 참여했습니다. 이런 방식으로 얻은 자료 중 일부는 Natalya Kondratyeva가 출판한 과학 작품 "가장 아름다운 세 가지 수학 공식"의 기초가 되었습니다.
— 수학자에게 아름다운 공식에 대해 물었을 때 당신의 목표는 무엇이었나요?
— 매 세기마다 과학적 패러다임이 갱신됩니다. 세기 초에 우리가 새로운 과학의 문턱에 서 있다는 느낌, 즉 인간 사회의 삶에서 과학의 새로운 역할을 느끼면서 나는 수학자에게 수학 기호 뒤에 숨은 아이디어의 아름다움에 대한 질문을 던졌습니다. 즉. 수학 공식의 아름다움에 대해.
이제 우리는 새로운 과학의 몇 가지 특징을 확인할 수 있습니다. 20세기 과학에서 수학과 물리학의 '우정'이 매우 중요한 역할을 했다면, 이제 수학은 생물학, 유전학, 사회학, 경제학과 효과적으로 협력합니다... 결과적으로 과학은 대응점을 탐구하게 될 것입니다. 수학적 구조는 다양한 영역과 평면의 요소 상호 작용 간의 대응을 탐구합니다. 그리고 우리가 이전에 철학적 진술로 믿음을 가졌던 많은 것들이 과학에 의해 구체적인 지식으로 확인될 것입니다.
이 과정은 이미 20세기에 시작되었습니다. 따라서 Kolmogorov는 가능성은 없지만 매우 큰 복잡성이 있음을 수학적으로 보여주었습니다. 프랙탈 기하학은 다양성 등의 통일성 원리를 확인했습니다.
— 가장 아름다운 공식은 무엇입니까?
— 공식 대회를 조직하려는 목표가 없었다고 바로 말씀 드리겠습니다. 나는 수학자들에게 보낸 편지에서 이렇게 썼습니다. “세상을 지배하는 법칙이 무엇인지 알고 싶은 사람들은 세상의 조화를 찾는 길을 택합니다. 이 길은 무한대로 이어지지만(움직임은 영원하기 때문이다) 사람들은 여전히 그 길을 따른다. 왜냐하면... 또 다른 아이디어나 아이디어를 만나는 데에는 특별한 기쁨이 있습니다. 아름다운 공식에 대한 질문에 대한 답변에서 세상의 아름다움의 새로운 측면을 종합하는 것이 가능할 수도 있습니다. 또한 이 작품은 이러한 아름다움을 찾는 방법으로 세계와 수학의 위대한 조화에 대한 아이디어로서 미래의 과학자들에게 유용할 수 있습니다.”
그럼에도 불구하고 공식 중에는 피타고라스 공식과 오일러 공식이 가장 선호되는 공식이 있었습니다.
그 뒤를 이어 20세기에 세계에 대한 우리의 이해를 변화시킨 수학적 공식보다는 물리적 공식이 등장했습니다. 즉 맥스웰, 슈뢰딩거, 아인슈타인이었습니다.
또한 가장 아름다운 공식 중에는 예를 들어 물리적 진공 방정식과 같이 아직 논의 단계에 있는 공식도 있습니다. 다른 아름다운 수학 공식도 언급되었습니다.
— 두 번째와 세 번째 천년의 전환기에 피타고라스 공식이 가장 아름다운 공식 중 하나로 선정된 이유는 무엇이라고 생각하시나요?
— 피타고라스 시대에 이 공식은 우주 진화의 원리를 표현한 것으로 인식되었습니다. 두 개의 반대 원리(두 개의 사각형이 직각으로 닿는 것)는 그 합과 동일한 3분의 1을 생성합니다. 기하학적으로 매우 아름다운 해석이 가능합니다.
아마도 "수학"이라는 개념이 "과학"을 의미하고 산수, 회화, 음악, 철학이 종합적으로 연구되었던 시대에 대한 일종의 무의식적이고 유전적인 기억이 있을 것입니다.
Rafail Khasminsky는 학교에서 피타고라스 공식의 아름다움에 놀랐으며 이것이 수학자로서의 그의 운명을 크게 결정했다고 편지에 썼습니다.
— 오일러의 공식에 대해 무엇을 말할 수 있나요?
— 일부 수학자들은 "모두가 모였다"는 사실에 주목했습니다. 가장 놀라운 수학적 숫자가 모두 있고 하나는 무한대로 가득 차 있습니다! -이것은 깊은 철학적 의미를 가지고 있습니다.
오일러가 이 공식을 발견한 것은 당연합니다. 위대한 수학자는 과학에 아름다움을 도입하기 위해 많은 노력을 기울였으며 심지어 수학에 "아름다움의 정도"라는 개념을 도입했습니다. 보다 정확하게는 그는 이 개념을 수학의 일부로 간주한 음악 이론에 도입했습니다.
오일러는 미적 감각이 발달할 수 있으며 이러한 느낌은 과학자에게 필요하다고 믿었습니다.
권위자들을 언급하겠습니다... Grothendieck: "수학에서 특정한 것을 이해하는 것은 그 아름다움을 느끼는 것만큼 완벽합니다."
푸앵카레: “수학에는 느낌이 있다.” 그는 수학의 미적 느낌을 필터와 비교했습니다. 필터는 가능한 많은 솔루션 중에서 가장 조화로운 솔루션을 선택하며 일반적으로 올바른 솔루션을 선택합니다. 아름다움과 조화는 동의어이며 조화의 가장 높은 표현은 세계 균형의 법칙입니다. 수학은 존재의 다양한 평면과 다양한 측면에서 이 법칙을 탐구합니다. 모든 수학 공식에 등호가 포함되어 있는 것은 아무것도 아닙니다.
인간의 최고의 조화는 생각과 감정의 조화라고 생각합니다. 그래서 아인슈타인은 작가 도스토옙스키가 수학자 가우스보다 자신에게 더 많은 것을 주었다고 말했습니다.
나는 도스토옙스키의 “아름다움이 세상을 구할 것이다”라는 공식을 수학의 아름다움에 관한 내 연구의 비문으로 삼았습니다. 그리고 수학자들도 이에 대해 논의했습니다.
- 그 사람들도 이 말에 동의했나요?
— 수학자들은 이 진술을 확인하거나 반박하지 않았습니다. 그들은 “아름다움에 대한 인식이 세상을 구할 것”이라고 분명히 밝혔습니다. 여기서 나는 거의 50년 전에 그가 쓴 양자 측정에서 의식의 역할에 대한 Eugene Wigner의 작업을 즉시 기억했습니다. 위그너는 이 작품에서 인간의 의식이 환경에 영향을 미친다는 사실, 즉 우리가 외부로부터 정보를 받을 뿐만 아니라 그에 대한 반응으로 우리의 생각과 감정을 보낸다는 사실을 보여주었다. 이 작업은 여전히 관련이 있으며 지지자와 반대자가 모두 있습니다. 나는 21세기 과학이 아름다움에 대한 인식이 세계의 조화에 기여한다는 것을 증명할 것이라고 진심으로 희망합니다.
1. 오일러의 공식. 많은 사람들은 이 공식에서 모든 수학의 통일성의 상징을 보았습니다. 왜냐하면 "-1은 산술, i - 대수학, π - 기하학 및 e - 분석을 나타냅니다."
2. 이 간단한 동일성은 0.999(무한대 등) 값이 1과 동일하다는 것을 보여줍니다. 극한 이론에 기초한 몇 가지 증거가 있지만 많은 사람들은 이것이 사실일 수 있다고 믿지 않습니다. 그러나 평등은 무한의 원리를 보여줍니다. 
3. 이 방정식은 아인슈타인이 1915년 일반 상대성 이론의 선구적인 이론의 일부로 공식화했습니다. 이 방정식의 오른쪽은 우리 우주에 포함된 에너지("암흑 에너지" 포함)를 설명합니다. 왼쪽은 시공간의 기하학을 설명합니다. 평등은 아인슈타인의 일반 상대성 이론에서 질량과 에너지가 기하학을 결정하고 동시에 중력의 표현인 곡률을 결정한다는 사실을 반영합니다. 아인슈타인은 중력장을 담고 있는 일반상대성이론의 중력방정식의 왼쪽은 마치 대리석을 깎아 만든 것처럼 아름다운 반면, 물질을 설명하는 오른쪽의 방정식은 여전히 추악하다고 말했다. 일반 나무로 만들어졌습니다. 
4. 또 다른 지배적인 물리학 이론인 표준 모델은 모든 기본 입자의 전자기적, 약하고 강한 상호 작용을 설명합니다. 일부 물리학자들은 암흑 물질, 암흑 에너지를 제외하고 중력을 포함하지 않고 우주에서 발생하는 모든 과정을 반영한다고 믿습니다. 작년까지 파악하기 어려웠던 힉스 보존(Higgs boson)도 표준 모델에 적합하지만 모든 전문가가 그 존재를 확신하는 것은 아닙니다. 
5. 피타고라스 정리는 유클리드 기하학의 기본 정리 중 하나이며 직각 삼각형의 변 사이의 관계를 설정합니다. 우리는 학교에서 그것을 기억하고 정리의 저자가 피타고라스라고 믿습니다. 사실, 이 공식은 고대 이집트에서 피라미드를 건설하는 동안 사용되었습니다. 
6. 오일러의 정리. 이 정리는 수학의 새로운 분야인 위상수학의 토대를 마련했습니다. 방정식은 구와 위상적으로 동일한 다면체의 꼭지점, 모서리 및 면 수 사이의 관계를 설정합니다. 
7. 특수 상대성 이론은 빛의 속도에 가까운 것을 포함하여 진공에서 빛의 속도보다 낮은 임의의 운동 속도에서의 운동, 역학 법칙 및 시공간 관계를 설명합니다. 아인슈타인은 시간과 공간이 절대적인 개념이 아니라 관찰자의 속도에 따라 상대적인 개념임을 설명하는 공식을 만들었습니다. 방정식은 사람이 움직이는 방법과 위치에 따라 시간이 어떻게 확장되거나 느려지는지 보여줍니다. 
8. 이 방정식은 1750년대 오일러와 라그랑주가 등시론 문제를 풀면서 도출되었습니다. 이는 시작점에 상관없이 일정한 시간 내에 무거운 입자를 고정점까지 이동시키는 곡선을 구하는 문제입니다. 일반적으로 시스템에 대칭이 있으면 해당 대칭 보존 법칙이 있습니다. 
9. Callan-Symanzik 방정식. 이론이 정의되는 에너지 척도가 변화함에 따라 n-상관 함수의 진화를 설명하는 미분방정식으로 이론의 베타 함수와 변칙적 차원을 포함합니다. 이 방정식은 양자물리학을 더 잘 이해하는 데 도움이 되었습니다. 
10. 최소 표면 방정식. 이 평등은 비누 거품의 형성을 설명합니다. 
11. 오일러의 직선. 오일러의 정리는 1765년에 증명되었습니다. 그는 삼각형의 변의 중점과 높이의 밑변이 같은 원 위에 있다는 것을 발견했습니다. 
12. 1928년 P.A.M. Dirac은 A. Einstein의 이론에 해당하는 Schrödinger 방정식의 자신의 버전을 제안했습니다. 과학계는 충격을 받았습니다. Dirac은 스피너라고 알려진 더 높은 수학적 물체에 대한 순전히 수학적 조작을 통해 전자에 대한 방정식을 발견했습니다. 그리고 그것은 센세이션이었습니다. 지금까지 물리학의 모든 위대한 발견은 실험 데이터의 견고한 기반 위에 세워져야 했습니다. 그러나 Dirac은 순수 수학이 충분히 아름답다면 결론의 정확성에 대한 신뢰할 수 있는 기준이 될 것이라고 믿었습니다. “방정식의 아름다움은 실험 데이터와의 일치보다 더 중요합니다. … 방정식의 아름다움을 얻고 건강한 직관을 가지려고 노력한다면 올바른 길로 가고 있는 것 같습니다.” 반전자인 양전자가 발견된 것은 그의 계산 덕분이었고, 그는 전자의 “스핀”, 즉 기본 입자의 회전이 존재할 것을 예측했습니다. 
13. J. Maxwell은 전기, 자기 및 광학의 모든 현상을 통합하는 놀라운 방정식을 얻었습니다. 통계 물리학의 창시자 중 한 명인 독일의 뛰어난 물리학자 루트비히 볼츠만(Ludwig Boltzmann)은 맥스웰 방정식에 대해 이렇게 말했습니다. "신이 이 글자를 쓰지 않았나요?" 
14. 슈뢰딩거 방정식(Schrödinger Equation) 해밀턴 양자계에서 파동함수로 규정되는 순수상태의 공간과 시간의 변화를 기술하는 방정식. 고전역학에서 뉴턴의 제2법칙 방정식과 마찬가지로 양자역학에서도 중요한 역할을 합니다. 
