유리 방정식을 푸는 방법. 유리 방정식을 푸는 방법

24.09.2019

\(\bullet\) 유리 방정식은 \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] 형식으로 표현되는 방정식입니다. 여기서 \(P(x), \Q(x)\ ) - 다항식(다양한 거듭제곱의 "X"의 합에 다양한 숫자를 곱함).
방정식의 좌변에 있는 식을 유리식이라고 합니다.
유리방정식의 EA(허용값의 범위)는 분모가 사라지지 않는 \(x\)의 모든 값, 즉 \(Q(x)\ne 0\)입니다.
\(\bullet\) 예를 들어, 방정식 \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\]유리 방정식입니다.
첫 번째 방정식에서 ODZ는 모두 \(x\)이므로 \(x\ne 3\)입니다(쓰기) \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)); 두 번째 방정식에서 – 이들은 모두 \(x\)이므로 \(x\ne -1; x\ne 1\)입니다(쓰기) \(x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)\)); 세 번째 방정식에서는 ODZ에 대한 제한이 없습니다. 즉, ODZ는 모두 \(x\)입니다(\(x\in\mathbb(R)\)라고 씁니다). \(\bullet\) 정리:
1) 두 요소의 곱은 그 중 하나가 0이고 다른 하나가 의미를 잃지 않는 경우에만 0과 같습니다. 따라서 방정식 \(f(x)\cdot g(x)=0\ )는 시스템과 동일합니다. \[\begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(aligned) \end(gathered) \right.\\ \ 텍스트(ODZ 방정식)\end(케이스)\] 2) 분수는 분자가 0이고 분모가 0이 아닌 경우에만 0과 같습니다. 따라서 방정식 \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ )는 방정식 시스템과 동일합니다. \[\begin(케이스) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end(케이스)\]\(\bullet\) 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

1) 방정식 \(x+1=\dfrac 2x\) 을 푼다. 이 방정식의 ODZ를 찾아보겠습니다. 이는 \(x\ne 0\)입니다(\(x\)가 분모에 있으므로).
이는 ODZ가 다음과 같이 작성될 수 있음을 의미합니다.
모든 용어를 하나의 부분으로 이동하여 공통 분모로 가져옵니다. \[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin( 건수) x^2+x-2=0\\x\ne 0\end(건수)\]시스템의 첫 번째 방정식에 대한 해는 \(x=-2, x=1\) 입니다. 우리는 두 근이 모두 0이 아니라는 것을 알 수 있습니다. 따라서 답은 \(x\in \(-2;1\)\) 입니다.

2) 방정식을 푼다 \(\왼쪽(\dfrac4x - 2\오른쪽)\cdot(x^2-x)=0\). 이 방정식의 ODZ를 찾아봅시다. 왼쪽이 의미가 없는 \(x\)의 유일한 값은 \(x=0\) 이라는 것을 알 수 있습니다. 따라서 ODZ는 다음과 같이 작성할 수 있습니다. \(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
따라서 이 방정식은 다음 시스템과 동일합니다.

\[\begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(aligned) \end(gathered) \right. \\ x\ne 0 \end(케이스) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(케이스) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \end(정렬됨) \end(수집됨) \right.\\ x\ne 0 \end(케이스) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(케이스) \left[ \begin(수집됨)\begin(정렬됨) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(정렬됨) \end(수집됨) \right.\\ x\ne 0 \end(건수) \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin(수집됨) \begin(정렬) &x=2\\ &x=1 \end(정렬) \end(수집) \right.\]실제로 \(x=0\)이 두 번째 요인의 근이라는 사실에도 불구하고 \(x=0\)을 원래 방정식에 대입하면 의미가 없습니다. 왜냐하면 표현식 \(\dfrac 40\)이 정의되지 않았습니다.
따라서 이 방정식의 해는 \(x\in \(1;2\)\) 입니다.

3) 방정식을 푼다 \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\]방정식 \(4x^2-1\ne 0\) 에서 \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) , 즉 \(x\ne -\frac12; \frac12 \) .
모든 용어를 왼쪽으로 이동하여 공통 분모로 가져옵니다.

\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \quad \Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow \quad \begin(케이스) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(케이스) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(케이스) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(케이스) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(케이스) \left[ \begin(gathered) \begin( 정렬됨) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end(정렬됨)\end(수집됨) \right.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(케이스) \quad \ 왼쪽 오른쪽 화살표 \quad x=-3\)

답: \(x\in \(-3\)\) .

논평. 답이 유한한 숫자 집합으로 구성된 경우 이전 예에서 표시된 것처럼 중괄호 안에 세미콜론으로 구분하여 작성할 수 있습니다.

유리 방정식을 푸는 데 필요한 문제는 매년 수학 통합 국가 시험에서 발생하므로 인증 시험 합격을 준비할 때 졸업생은 반드시 이 주제에 대한 이론을 스스로 반복해야 합니다. 기본 및 전문 수준의 시험을 모두 치르는 졸업생은 이러한 작업에 대처할 수 있어야 합니다. 이론을 숙지하고 "유리 방정식"이라는 주제에 대한 실제 연습을 처리한 학생들은 다양한 행동으로 문제를 해결할 수 있으며 통합 국가 시험에서 경쟁력 있는 점수를 받을 수 있습니다.

Shkolkovo 교육 포털을 사용하여 시험을 준비하는 방법은 무엇입니까?

때로는 수학적 문제를 해결하기 위한 기본 이론을 완벽하게 제시하는 소스를 찾는 것이 매우 어려운 경우가 있습니다. 교과서가 가까이 있지 않을 수도 있습니다. 그리고 인터넷에서도 필요한 공식을 찾는 것이 때로는 상당히 어려울 수 있습니다.

Shkolkovo 교육 포털은 필요한 자료를 검색할 필요성을 덜어주고 인증 시험 통과를 잘 준비하는 데 도움을 줍니다.

우리 전문가들은 "유리 방정식"이라는 주제에 대해 필요한 모든 이론을 가장 접근하기 쉬운 형식으로 준비하고 제시했습니다. 제시된 정보를 연구한 후 학생들은 지식의 공백을 채울 수 있습니다.

통합 상태 시험을 성공적으로 준비하려면 졸업생은 "유리 방정식"이라는 주제에 대한 기본 이론 자료에 대한 기억을 되새길 뿐만 아니라 특정 예를 사용하여 작업 완료를 연습해야 합니다. "카탈로그" 섹션에는 다양한 작업 선택이 표시됩니다.

사이트의 각 연습에 대해 전문가가 솔루션 알고리즘을 작성하고 정답을 표시했습니다. 학생들은 자신의 기술 수준에 따라 다양한 난이도의 문제 해결을 연습할 수 있습니다. 해당 섹션의 작업 목록은 지속적으로 보완되고 업데이트됩니다.

온라인으로 통합 상태 시험 시험에 포함된 것과 유사한 "유리 방정식" 주제에 대한 문제를 해결하는 데 필요한 이론적 자료를 공부하고 기술을 연마할 수 있습니다. 필요한 경우 제시된 작업을 "즐겨찾기" 섹션에 추가할 수 있습니다. 고등학생은 "유리 방정식"이라는 주제에 대한 기본 이론을 다시 한 번 반복한 후 앞으로 문제로 돌아가서 대수 수업에서 교사와 해결 과정을 논의할 수 있습니다.

수업 목표:

교육적인:

분수 유리 방정식의 개념 형성;
분수 유리 방정식을 풀기 위한 다양한 방법을 고려합니다.
분수가 0이라는 조건을 포함하여 분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘을 고려합니다.
알고리즘을 사용하여 분수 유리 방정식을 푸는 방법을 가르칩니다.
테스트를 통해 주제의 숙달 정도를 확인합니다.

발달:

습득한 지식으로 올바르게 작동하고 논리적으로 사고하는 능력을 개발합니다.
지적 기술 및 정신적 작업 개발 - 분석, 종합, 비교 및 일반화;
주도력 개발, 결정을 내리는 능력, 그리고 거기서 멈추지 않습니다.
비판적 사고의 발달;
연구 능력 개발.

교육:

주제에 대한 인지적 관심을 키우는 것;
교육 문제 해결에 있어서 독립성을 키우는 것;
최종 결과를 달성하기 위한 의지와 인내를 키우는 것입니다.

수업 유형: 수업 - 새로운 자료에 대한 설명입니다.

수업 중에는

1. 조직적인 순간.

안녕하세요 여러분! 칠판에 방정식이 적혀 있으니 잘 살펴보세요. 이 방정식을 모두 풀 수 있나요? 그렇지 않은 것은 무엇이며 그 이유는 무엇입니까?

좌변과 우변이 분수 유리식인 방정식을 분수 유리 방정식이라고 합니다. 오늘 수업시간에 우리가 무엇을 공부할 것 같나요? 공과의 주제를 공식화하십시오. 따라서 공책을 열고 "분수 유리 방정식 풀기" 수업의 주제를 적어보세요.

2. 지식 업데이트. 정면 조사, 학급에서의 구두 작업.

이제 새로운 주제를 연구하는 데 필요한 주요 이론적 자료를 반복하겠습니다. 다음 질문에 답해 주십시오.

방정식이란 무엇입니까? ( 변수 또는 변수와의 동등성.)
방정식 번호 1의 이름은 무엇입니까? ( 선의.) 선형 방정식을 푸는 방법. ( 미지수가 있는 모든 것을 방정식의 왼쪽으로, 모든 숫자를 오른쪽으로 옮깁니다. 비슷한 용어를 사용하세요. 알려지지 않은 요소 찾기).
방정식 번호 3의 이름은 무엇입니까? ( 정사각형.) 이차 방정식을 푸는 방법. ( 비에타의 정리와 추론을 사용한 공식을 사용하여 완전한 정사각형 분리.)
비율이란 무엇입니까? ( 두 비율의 동등성.) 비율의 주요 속성. ( 비율이 정확하면 극단 항의 곱은 중간 항의 곱과 같습니다..)
방정식을 풀 때 어떤 속성이 사용됩니까? ( 1. 방정식의 항을 한 부분에서 다른 부분으로 이동하여 부호를 변경하면 주어진 것과 동일한 방정식을 얻게 됩니다. 2. 방정식의 양쪽에 0이 아닌 동일한 숫자를 곱하거나 나누면 주어진 것과 동일한 방정식을 얻습니다..)
분수는 언제 0이 되나요? ( 분수는 분자가 0이고 분모가 0이 아닌 경우 0과 같습니다..)

3. 신소재에 대한 설명.

노트와 칠판에 있는 방정식 2번을 풀어보세요.

답변: 10.

비례의 기본 속성을 사용하여 어떤 분수 유리 방정식을 풀 수 있나요? (5 번).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

노트와 칠판에 있는 방정식 4번을 풀어보세요.

답변: 1,5.

방정식의 양변에 분모를 곱하여 풀 수 있는 분수 유리 방정식은 무엇입니까? (6 번).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

답변: 3;4.

이제 다음 방법 중 하나를 사용하여 방정식 7을 풀어보세요.


(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 =0 x 2 =5 D=49
엑스 3 =5 엑스 4 =-2			엑스 3 =5 엑스 4 =-2
답변: 0;5;-2.			답변: 5;-2.

왜 이런 일이 일어났는지 설명해 보세요. 왜 한 경우에는 세 개의 뿌리가 있고 다른 경우에는 두 개가 있습니까? 이 분수 유리 방정식의 근은 어떤 숫자입니까?

지금까지 학생들은 외래근이라는 개념을 접한 적이 없었기 때문에 이런 일이 발생한 이유를 이해하는 것이 실제로 매우 어렵습니다. 수업 중 누구도 이 상황에 대해 명확하게 설명할 수 없으면 교사는 유도 질문을 합니다.

방정식 번호 2와 4는 방정식 번호 5,6,7과 어떻게 다른가요? ( 방정식 2번과 4번은 분모에 숫자가 있고, 5~7번은 변수가 있는 수식이다..)
방정식의 근은 무엇입니까? ( 방정식이 참이 되는 변수의 값.)
숫자가 방정식의 근인지 확인하는 방법은 무엇입니까? ( 확인해보세요.)

테스트할 때 일부 학생들은 0으로 나누어야 한다는 것을 알아차립니다. 그들은 숫자 0과 5가 이 방정식의 근이 아니라는 결론을 내렸습니다. 질문이 생깁니다: 이 오류를 제거할 수 있는 분수 유리 방정식을 풀 수 있는 방법이 있습니까? 예, 이 방법은 분수가 0이라는 조건을 기반으로 합니다.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 =-2.

x=5이면 x(x-5)=0입니다. 이는 5가 외부 근임을 의미합니다.

x=-2이면 x(x-5)≠0입니다.

답변: -2.

이런 식으로 분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘을 공식화해 보겠습니다. 아이들은 알고리즘을 스스로 공식화합니다.

분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘:

모든 것을 왼쪽으로 옮깁니다.
분수를 공통 분모로 줄이세요.
시스템을 만듭니다. 분자가 0이고 분모가 0이 아닌 경우 분수는 0과 같습니다.
방정식을 풀어보세요.
외부 뿌리를 제외하려면 부등식을 확인하세요.
답을 적어보세요.

토론: 비율의 기본 속성을 사용하고 방정식의 양쪽에 공통 분모를 곱하는 경우 솔루션을 공식화하는 방법. (해법에 추가: 공통 분모를 사라지게 만드는 것을 뿌리에서 제외하십시오).

4. 새로운 자료에 대한 초기 이해.

쌍으로 일하십시오. 학생들은 방정식의 유형에 따라 방정식을 푸는 방법을 스스로 선택합니다. 교과서 "대수 8"의 과제, Yu.N. Makarychev, 2007: No. 600(b,c,i); 601(a,e,g)호. 교사는 과제 완료를 모니터링하고, 발생하는 모든 질문에 답변하며, 성적이 낮은 학생에게 도움을 제공합니다. 자가 테스트: 답은 칠판에 적혀 있습니다.

b) 2 – 외부 뿌리. 답: 3.

c) 2 – 외부 뿌리. 답: 1.5.

a) 답: -12.5.

g) 답: 1;1.5.

5. 숙제 설정.

교과서의 단락 25를 읽고 예 1-3을 분석하십시오.
분수 유리 방정식을 푸는 알고리즘을 알아보세요.
노트 번호 600(a, d, e)에서 해결하세요. 번호 601(g,h).
696(a)번(선택 사항)을 풀어보세요.

6. 연구 주제에 대한 제어 작업을 완료합니다.

작업은 종이 조각으로 이루어집니다.

예시 작업:

A) 어떤 방정식이 분수 유리합니까?

B) 분자가 ______________________이고 분모가 _______________________이면 분수는 0과 같습니다.

Q) 숫자 -3이 방정식 6의 근본인가요?

D) 방정식 7번을 푼다.

과제 평가 기준:

학생이 과제의 90% 이상을 올바르게 완료한 경우 "5"가 주어집니다.
"4" - 75%-89%
"3" - 50%-74%
“2”는 과제를 50% 미만 완료한 학생에게 주어집니다.
저널에는 2등급이 주어지지 않으며, 3등급은 선택사항입니다.

7. 반성.

독립 워크시트에 다음을 적습니다:

1 – 수업이 흥미롭고 이해하기 쉬웠는지 여부
2 – 흥미롭지만 명확하지 않습니다.
3 – 흥미롭지는 않지만 이해할 수 있습니다.
4 – 흥미롭지 않고 명확하지 않습니다.

8. 수업을 요약합니다.

그래서 오늘 수업에서 우리는 분수 유리 방정식에 대해 알게되었고 이러한 방정식을 다양한 방법으로 해결하는 방법을 배웠으며 독립적인 교육 활동의 도움으로 지식을 테스트했습니다. 다음 수업에서는 독립적인 작업의 결과를 배우고 집에서 지식을 통합할 기회를 갖게 됩니다.

분수 유리 방정식을 푸는 방법 중 어떤 방법이 더 쉽고, 더 접근하기 쉽고, 더 합리적이라고 생각하시나요? 분수 유리 방정식을 푸는 방법에 관계없이 무엇을 기억해야 합니까? 분수 유리 방정식의 "교활함"은 무엇입니까?

모두들 감사합니다, 수업이 끝났습니다.

§ 1 정수 및 분수 유리 방정식

이번 강의에서는 유리수식, 유리수식, 전체식, 분수식 등의 개념을 살펴보겠습니다. 유리 방정식을 푸는 것을 고려해 봅시다.

유리방정식은 좌변과 우변이 유리식인 방정식이다.

유리식은 다음과 같습니다.

분수.

정수 표현식은 0이 아닌 숫자로 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기 연산을 사용하여 숫자, 변수, 정수 거듭제곱으로 구성됩니다.

예를 들어:

분수 표현에는 변수로 나누기 또는 변수가 있는 표현식이 포함됩니다. 예를 들어:

분수 표현은 그 안에 포함된 변수의 모든 값에 대해 의미가 없습니다. 예를 들어, 다음 표현식은

x = -9에서는 분모가 0이 되기 때문에 x = -9에서는 의미가 없습니다.

이는 유리 방정식이 정수 또는 분수가 될 수 있음을 의미합니다.

전체 유리방정식은 좌변과 우변이 전체 표현식인 유리방정식이다.

예를 들어:

분수 유리 방정식은 왼쪽이나 오른쪽이 분수 표현식인 유리 방정식입니다.

예를 들어:

§ 2 전체 유리 방정식의 해

전체 유리 방정식의 해를 고려해 봅시다.

예를 들어:

방정식의 양쪽에 포함된 분수의 분모의 최소 공통 분모를 곱해 봅시다.

이를 위해:

1. 분모 2, 3, 6의 공통분모를 찾습니다. 이는 6과 같습니다.

2. 각 분수에 대한 추가 요인을 찾으십시오. 이렇게 하려면 공통분모 6을 각 분모로 나눕니다.

분수에 대한 추가 요소

3. 분수의 분자에 해당 추가 요소를 곱합니다. 따라서 우리는 방정식을 얻습니다.

이는 주어진 방정식과 동일합니다

왼쪽의 괄호를 열고 오른쪽 부분을 왼쪽으로 이동하여 반대쪽으로 옮길 때 용어의 부호를 변경해 보겠습니다.

다항식의 비슷한 항을 가져와서

우리는 방정식이 선형임을 알 수 있습니다.

이를 풀면 x = 0.5라는 것을 알 수 있습니다.

§ 3 분수 유리 방정식의 해

분수 유리 방정식을 푸는 것을 고려해 봅시다.

예를 들어:

1. 방정식의 양쪽에 방정식에 포함된 유리수 분모의 최소 공통 분모를 곱합니다.

분모 x + 7과 x - 1의 공통분모를 찾아봅시다.

이는 그들의 곱(x + 7)(x - 1)과 같습니다.

2. 각 유리분수에 대한 추가인수를 찾아봅시다.

이렇게 하려면 공통 분모 (x + 7)(x - 1)를 각 분모로 나눕니다. 분수에 대한 추가 인수

x - 1과 같고,

분수에 대한 추가 요소

x+7과 같습니다.

3. 분수의 분자에 해당 추가 요소를 곱합니다.

우리는 방정식 (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7)을 얻습니다. 이는 이 방정식과 같습니다.

4.좌우의 이항식에 이항식을 곱하여 다음 방정식을 얻습니다.

5. 반대쪽으로 옮길 때 각 용어의 부호를 변경하여 오른쪽을 왼쪽으로 이동합니다.

6. 다항식의 유사한 용어를 제시해 보겠습니다.

7. 양변은 -1로 나눌 수 있습니다. 우리는 이차 방정식을 얻습니다.

8. 문제를 해결하면 뿌리를 찾을 수 있습니다

방정식에서 이후.

왼쪽과 오른쪽이 분수식인데, 분수식에서는 변수의 일부 값에 대해 분모가 0이 될 수 있는데, 그러면 x1과 x2를 찾았을 때 공통분모가 0이 되지 않는지 확인이 필요하다. .

x = -27에서 공통분모 (x + 7)(x - 1)는 사라지지 않으며, x = -1에서 공통분모도 0이 아닙니다.

따라서 근 -27과 -1은 모두 방정식의 근입니다.

분수 유리 방정식을 풀 때 허용되는 값의 범위를 즉시 표시하는 것이 좋습니다. 공통분모가 0이 되는 값을 제거합니다.

분수 유리 방정식을 푸는 또 다른 예를 고려해 봅시다.

예를 들어 방정식을 풀어 봅시다.

방정식 오른쪽에 있는 분수의 분모를 인수분해합니다.

우리는 방정식을 얻습니다

분모 (x - 5), x, x(x - 5)의 공통분모를 찾아봅시다.

이는 x(x - 5) 표현식이 됩니다.

이제 방정식의 허용 가능한 값 범위를 찾아 보겠습니다.

이를 위해 공통분모를 0 x(x - 5) = 0으로 동일시합니다.

우리는 x = 0 또는 x = 5에서 공통 분모가 0이 된다는 것을 찾는 방정식을 얻습니다.

이는 x = 0 또는 x = 5가 방정식의 근이 될 수 없음을 의미합니다.

이제 추가 승수를 찾을 수 있습니다.

유리 분수에 대한 추가 인수

분수에 대한 추가 요소

(x - 5)가 될 것입니다.

그리고 분수의 추가 요소

분자에 해당 추가 요소를 곱합니다.

방정식 x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5)를 얻습니다.

왼쪽과 오른쪽의 괄호를 열어 보겠습니다. x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

이전된 용어의 부호를 변경하여 용어를 오른쪽에서 왼쪽으로 이동해 보겠습니다.

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

그리고 비슷한 항을 가져온 후 이차 방정식 x2 - 3x - 10 = 0을 얻습니다. 이를 풀면 근 x1 = -2를 찾습니다. x2 = 5.

그러나 우리는 x = 5에서 공통분모 x(x - 5)가 0이 된다는 것을 이미 알아냈습니다. 그러므로 우리 방정식의 근본은

x = -2가 됩니다.

§ 4 수업의 간략한 요약

기억해야 할 중요 사항:

분수 유리 방정식을 풀 때 다음과 같이 진행하십시오.

1. 방정식에 포함된 분수의 공통분모를 찾으세요. 또한, 분수의 분모를 인수분해할 수 있으면 이를 인수분해한 다음 공통분모를 찾으세요.

2. 방정식의 양쪽에 공통 분모를 곱합니다. 추가 요소를 찾고 분자에 추가 요소를 곱합니다.

3. 결과 전체 방정식을 풀어보세요.

4. 공통분모를 사라지게 만드는 것들을 뿌리부터 제거하라.

사용된 문헌 목록:

Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / 편집자: Telyakovsky S.A. 대수학 : 교과서. 8학년용. 일반 교육 기관. - M .: 교육, 2013.
모르드코비치 A.G. 대수학. 8학년: 두 부분으로 구성됩니다. 1부: 교과서. 일반 교육용 기관. -M .: Mnemosyne.
루루킨 A.N. 대수학 수업 개발: 8학년 - M.: VAKO, 2010.
대수학 8학년: Yu.N.의 교과서를 바탕으로 한 수업 계획. 마카리체바, N.G. 민덕, K.I. 네쉬코바, S.B. Suvorova / Auth.-comp. T.L. 아파나시예바, LA 타필리나. -볼고그라드: 교사, 2005.

"분수 유리 방정식 풀기"

수업 목표:

교육적인:

분수 유리 방정식의 개념 형성; 분수 유리 방정식을 풀기 위한 다양한 방법을 고려합니다. 분수가 0이라는 조건을 포함하여 분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘을 고려합니다. 알고리즘을 사용하여 분수 유리 방정식을 푸는 방법을 가르칩니다. 테스트를 통해 주제의 숙달 정도를 확인합니다.

발달:

습득한 지식으로 올바르게 작동하고 논리적으로 사고하는 능력을 개발합니다. 지적 기술 및 정신적 작업 개발 - 분석, 종합, 비교 및 일반화; 주도력 개발, 결정을 내리는 능력, 그리고 거기서 멈추지 않습니다. 비판적 사고의 발달; 연구 능력 개발.

교육:

주제에 대한 인지적 관심을 키우는 것; 교육 문제 해결에 있어서 독립성을 키우는 것; 최종 결과를 달성하기 위한 의지와 인내를 키우는 것입니다.

수업 유형: 수업 - 새로운 자료에 대한 설명입니다.

수업 중에는

1. 조직적인 순간.

안녕하세요 여러분! 칠판에 방정식이 적혀 있으니 잘 살펴보세요. 이 방정식을 모두 풀 수 있나요? 그렇지 않은 것은 무엇이며 그 이유는 무엇입니까?

2. 지식 업데이트. 정면 조사, 학급에서의 구두 작업.

이제 새로운 주제를 연구하는 데 필요한 주요 이론적 자료를 반복하겠습니다. 다음 질문에 답해 주십시오.

1. 방정식이란 무엇입니까? ( 변수 또는 변수와의 동등성.)

2. 1번 방정식의 이름은 무엇입니까? ( 선의.) 선형 방정식을 푸는 방법. ( 미지수가 있는 모든 것을 방정식의 왼쪽으로, 모든 숫자를 오른쪽으로 옮깁니다. 비슷한 용어를 사용하세요. 알려지지 않은 요소 찾기).

3. 3번 방정식의 이름은 무엇입니까? ( 정사각형.) 이차 방정식을 푸는 방법. ( 비에타의 정리와 추론을 사용한 공식을 사용하여 완전한 정사각형 분리.)

4. 비율이란 무엇입니까? ( 두 비율의 동등성.) 비율의 주요 속성. ( 비율이 정확하면 극단 항의 곱은 중간 항의 곱과 같습니다..)

5. 방정식을 풀 때 어떤 속성이 사용됩니까? ( 1. 방정식의 항을 한 부분에서 다른 부분으로 이동하여 부호를 변경하면 주어진 것과 동일한 방정식을 얻게 됩니다. 2. 방정식의 양쪽에 0이 아닌 동일한 숫자를 곱하거나 나누면 주어진 것과 동일한 방정식을 얻습니다..)

6. 분수는 언제 0이 되나요? ( 분수는 분자가 0이고 분모가 0이 아닌 경우 0과 같습니다..)

3. 신소재에 대한 설명.

노트와 칠판에 있는 방정식 2번을 풀어보세요.

답변: 10.

비례의 기본 속성을 사용하여 어떤 분수 유리 방정식을 풀 수 있나요? (5 번).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

노트와 칠판에 있는 방정식 4번을 풀어보세요.

답변: 1,5.

방정식의 양변에 분모를 곱하여 풀 수 있는 분수 유리 방정식은 무엇입니까? (6 번).

D=1>0, x1=3, x2=4.

답변: 3;4.

이제 다음 방법 중 하나를 사용하여 방정식 7을 풀어보세요.


(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49

답변: 0;5;-2.			답변: 5;-2.

방정식 2번과 4번은 분모에 숫자가 있고, 5~7번은 변수가 있는 수식이다.

방정식이 참이 되는 변수의 값

확인해보세요

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

x=5이면 x(x-5)=0입니다. 이는 5가 외부 근임을 의미합니다.

x=-2이면 x(x-5)≠0입니다.

답변: -2.

이런 식으로 분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘을 공식화해 보겠습니다. 아이들은 알고리즘을 스스로 공식화합니다.

분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘:

1. 모든 것을 왼쪽으로 이동합니다.

2. 분수를 공통 분모로 줄이세요.

3. 시스템을 만듭니다. 분자가 0이고 분모가 0이 아닌 경우 분수는 0과 같습니다.

4. 방정식을 푼다.

5. 부등식을 확인하여 외부 뿌리를 제외합니다.

6. 답을 적어보세요.

4. 새로운 자료에 대한 초기 이해.

쌍으로 일하십시오. 학생들은 방정식의 유형에 따라 방정식을 푸는 방법을 스스로 선택합니다. 2007년 교과서 “대수학 8”의 과제: No. 000 (b, c, i); 번호 000(a, d, g). 교사는 과제 완료를 모니터링하고, 발생하는 모든 질문에 답변하며, 성적이 낮은 학생에게 도움을 제공합니다. 자가 테스트: 답은 칠판에 적혀 있습니다.

b) 2 – 외부 뿌리. 답: 3.

c) 2 – 외부 뿌리. 답: 1.5.

a) 답: -12.5.