역행렬 열을 찾는 방법. 역행렬을 찾는 방법
역행렬
역행렬주어진 행렬을 오른쪽과 왼쪽 모두에 곱하면 단위 행렬이 되는 행렬입니다.
행렬의 역행렬을 나타내자 ㅏ를 통해 정의에 따르면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
어디 이자형- 단위 행렬.
정사각형 행렬~라고 불리는 특별하지 않은 (비퇴화) 행렬식이 0이 아닌 경우. 그렇지 않으면 호출됩니다. 특별한 (퇴화하다) 또는 단수형.
정리는 다음과 같습니다. 모든 비특이 행렬에는 역행렬이 있습니다.
역행렬을 찾는 연산을 이라고 합니다. 항소행렬. 행렬 반전 알고리즘을 고려해 봅시다. 비특이 행렬(non-singular 행렬)이 주어지도록 합시다. N-번째 주문:
여기서 Δ = 데트 ㅏ ≠ 0.
요소의 대수적 추가행렬 N-번째 주문 ㅏ특정 부호를 갖는 행렬의 행렬식이라고 합니다( N–1)삭제하여 획득한 2차 주문 나-번째 줄과 제이번째 행렬 열 ㅏ:
소위를 만들어 봅시다. 첨부된행렬:
행렬의 해당 요소에 대한 대수적 보수는 어디에 있습니까? ㅏ.
행렬 행 요소의 대수적 추가에 유의하세요. ㅏ행렬의 해당 열에 배치됩니다. Ã
즉, 행렬이 동시에 전치됩니다.
행렬의 모든 요소를 나누어서 Ã
Δ - 행렬 행렬식의 값 ㅏ, 결과적으로 역행렬을 얻습니다.
역행렬의 여러 가지 특별한 속성을 살펴보겠습니다.
1) 주어진 행렬에 대해 ㅏ역행렬
유일한 사람입니다.
2) 역행렬이 있는 경우 오른쪽 반대그리고 왼쪽 반전행렬이 일치합니다.
3) 특이(단수) 정사각 행렬에는 역행렬이 없습니다.
역행렬의 기본 속성:
1) 역행렬의 행렬식과 원래 행렬의 행렬식은 역수입니다.
2) 정사각 행렬 곱의 역행렬은 역순으로 취한 인자의 역행렬 곱과 같습니다.
3) 전치된 역행렬은 주어진 전치행렬의 역행렬과 같습니다:
예 주어진 행렬의 역함수를 계산합니다.
n차 정사각 행렬이 있다고 가정합니다.
행렬 A -1이 호출됩니다. 역행렬행렬 A와 관련하여 A*A -1 = E인 경우, 여기서 E는 n차 단위 행렬입니다.
단위 행렬- 왼쪽 위 모서리에서 오른쪽 아래 모서리까지 전달하는 주 대각선을 따라 모든 요소가 1이고 나머지는 0인 정사각 행렬입니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
역행렬존재할 수도 있다 정사각 행렬에만 해당저것들. 행과 열의 수가 일치하는 행렬의 경우.
역행렬의 존재조건에 대한 정리
행렬이 역행렬을 갖기 위해서는 비특이행렬(non-singular)이 필요하고 충분합니다.
행렬 A = (A1, A2,...A n)은 다음과 같이 호출됩니다. 비퇴화, 열 벡터가 선형 독립인 경우. 행렬의 선형독립인 열 벡터의 개수를 행렬의 랭크라고 합니다. 따라서 역행렬이 존재하기 위해서는 행렬의 순위가 차원과 같아야 하는 것이 필요하고 충분하다고 말할 수 있습니다. r = n.
역행렬을 찾는 알고리즘
- 가우스 방법을 사용하여 방정식 시스템을 풀기 위해 표에 행렬 A를 쓰고 오른쪽(방정식의 오른쪽 대신)에 행렬 E를 할당합니다.
- 조던 변환을 사용하여 행렬 A를 단위 열로 구성된 행렬로 줄입니다. 이 경우 행렬 E를 동시에 변환해야 합니다.
- 필요한 경우 원래 테이블의 행렬 A 아래에서 단위 행렬 E를 얻을 수 있도록 마지막 테이블의 행(방정식)을 다시 정렬합니다.
- 원래 테이블의 행렬 E 아래 마지막 테이블에 있는 역행렬 A -1을 적어보세요.
행렬 A에 대해 역행렬 A -1을 구합니다.
해결 방법: 행렬 A를 작성하고 단위 행렬 E를 오른쪽에 할당합니다. 조던 변환을 사용하여 행렬 A를 단위 행렬 E로 줄입니다. 계산은 표 31.1에 나와 있습니다.
원래 행렬 A와 역행렬 A -1을 곱하여 계산의 정확성을 확인해 보겠습니다.
행렬 곱셈의 결과로 단위 행렬이 얻어졌습니다. 따라서 계산이 올바르게 수행되었습니다.
답변: 
행렬 방정식 풀기
행렬 방정식은 다음과 같습니다.
AX = B, HA = B, AXB = C,
여기서 A, B, C는 지정된 행렬이고 X는 원하는 행렬입니다.
행렬 방정식은 방정식에 역행렬을 곱하여 해결됩니다.
예를 들어 방정식에서 행렬을 찾으려면 이 방정식에 왼쪽의 를 곱해야 합니다.
따라서 방정식의 해를 구하려면 역행렬을 구하고 방정식 우변의 행렬을 곱하면 됩니다.
다른 방정식도 비슷하게 해결됩니다.
방정식 AX = B를 푸십시오. 
해결책: 역행렬은 다음과 같으므로 (예제 1 참조)
경제 분석의 매트릭스 방법
다른 것들과 함께, 그들은 또한 사용됩니다 매트릭스 방법. 이러한 방법은 선형 및 벡터 행렬 대수를 기반으로 합니다. 이러한 방법은 복잡하고 다차원적인 경제 현상을 분석하는 목적으로 사용됩니다. 대부분 이러한 방법은 조직의 기능과 구조적 부서를 비교 평가해야 할 때 사용됩니다.
매트릭스 분석 방법을 적용하는 과정에서는 여러 단계로 구분할 수 있습니다.
첫 번째 단계에서경제 지표 시스템이 형성되고 있으며 이를 기반으로 시스템 번호가 개별 행에 표시되는 표인 초기 데이터 매트릭스가 작성됩니다. (i = 1,2,....,n)및 수직 열 - 표시기 수 (j = 1,2,...,m).
두 번째 단계에서는각 수직 열에 대해 사용 가능한 표시기 값 중 가장 큰 값이 식별되어 하나로 간주됩니다.
그 후, 이 열에 반영된 모든 금액을 가장 큰 값으로 나누고 표준화된 계수 행렬이 형성됩니다.
세 번째 단계에서는행렬의 모든 구성 요소는 제곱됩니다. 유의성이 다른 경우 각 행렬 표시기에 특정 가중치 계수가 할당됩니다. 케이. 후자의 가치는 전문가의 의견에 따라 결정됩니다.
마지막에는 네 번째 단계발견된 평가 값 RJ증가 또는 감소하는 순서대로 그룹화됩니다.
예를 들어, 설명된 매트릭스 방법은 다양한 투자 프로젝트의 비교 분석은 물론 조직 활동의 기타 경제 지표를 평가하는 데에도 사용되어야 합니다.
역행렬 찾기- 종종 두 가지 방법으로 해결되는 문제:
- 행렬식을 찾고 행렬을 전치해야 하는 대수적 덧셈 방법;
- 행렬의 기본 변환(행 추가, 행에 동일한 숫자 곱하기 등)을 수행해야 하는 미지수를 제거하는 가우스 방법입니다.
특히 궁금한 사람들을 위해 선형 변환 방법과 같은 다른 방법이 있습니다. 이번 단원에서는 언급된 세 가지 방법과 이러한 방법을 사용하여 역행렬을 찾는 알고리즘을 분석합니다.
역행렬 ㅏ, 이러한 행렬을 호출합니다.
ㅏ
. (1)
역행렬 , 주어진 정사각 행렬에 대해 찾아야 합니다. ㅏ, 이러한 행렬을 호출합니다.
매트릭스의 제품 ㅏ오른쪽에는 단위 행렬이 있습니다. 즉
. (1)
단위 행렬은 모든 대각선 요소가 1인 대각 행렬입니다.
정리.모든 비특이(비퇴화, 비특이) 정사각 행렬에 대해 역행렬을 찾을 수 있으며 단 하나만 찾을 수 있습니다. 특수(퇴화, 특이) 정사각 행렬의 경우 역행렬이 존재하지 않습니다.
정사각 행렬은 다음과 같이 불립니다. 특별하지 않은(또는 비퇴화, 비단수), 행렬식이 0이 아닌 경우 특별한(또는 퇴화하다, 단수형) 행렬식이 0인 경우.
행렬의 역행렬은 정방행렬에서만 찾을 수 있습니다. 당연히 역행렬도 정사각형이 되며 주어진 행렬과 동일한 차수를 갖습니다. 역행렬을 구할 수 있는 행렬을 역행렬(invertible 행렬)이라고 합니다.
을 위한 역행렬 숫자의 역수와 관련된 비유가 있습니다. 모든 번호에 대해 ㅏ, 0이 아닙니다. 그런 숫자가 있습니다. 비그 일은 ㅏ그리고 비 1과 같습니다: ab= 1 . 숫자 비숫자의 역수라고 함 비. 예를 들어, 숫자 7의 경우 7*1/7=1이므로 역수는 1/7입니다.
대수적 덧셈 방법을 사용하여 역행렬 구하기(동일행렬)
비특이 정사각 행렬의 경우 ㅏ그 반대는 행렬이다
행렬식은 어디에 있나요? ㅏ, a는 행렬과 관련된 행렬입니다. ㅏ.
정사각형 매트릭스와 결합 ㅏ는 동일한 차수의 행렬이며, 그 요소는 행렬 A에 대해 전치된 행렬식의 해당 요소에 대한 대수적 보수입니다. 따라서,
저것 
그리고 
대수적 덧셈 방법을 사용하여 역행렬을 찾는 알고리즘
1. 이 행렬의 행렬식을 구합니다. ㅏ. 행렬식이 0이면 역행렬 찾기는 중단됩니다. 행렬은 특이 행렬이고 그 역행렬은 존재하지 않기 때문입니다.
2. 다음과 관련하여 전치된 행렬을 찾습니다. ㅏ.
3. 합집합 행렬의 요소를 2단계에서 찾은 마리츠의 대수적 보수로 계산합니다.
4. 공식 (2) 적용: 행렬식의 역수를 곱합니다. ㅏ, 4단계에서 찾은 합집합 행렬로 이동합니다.
5. 이 행렬을 곱하여 4단계에서 얻은 결과를 확인합니다. ㅏ역행렬로. 이러한 행렬의 곱이 단위 행렬과 같으면 역행렬이 올바르게 발견된 것입니다. 그렇지 않으면 솔루션 프로세스를 다시 시작하십시오.
예시 1.매트릭스의 경우
역행렬을 찾아보세요.
해결책. 역행렬을 찾으려면 행렬의 행렬식을 찾아야 합니다. ㅏ. 우리는 삼각형의 법칙에 따라 다음을 찾습니다.
따라서 매트릭스 ㅏ– 비단수(non-degenerate, non-singular)와 이에 대한 반대가 있습니다.
이 행렬과 관련된 행렬을 찾아봅시다. ㅏ.
행렬에 대해 전치된 행렬을 찾아봅시다 ㅏ:
행렬에 대해 전치된 행렬의 대수적 보수로 연합 행렬의 요소를 계산합니다. ㅏ:
따라서 매트릭스와 결합된 매트릭스는 ㅏ, 형태를 갖는다
논평.요소가 계산되고 행렬이 전치되는 순서는 다를 수 있습니다. 먼저 행렬의 대수적 보수를 계산할 수 있습니다. ㅏ, 대수적 보수 행렬을 전치합니다. 결과는 합집합 행렬의 요소와 동일해야 합니다.
공식 (2)를 적용하면 행렬의 역행렬을 찾을 수 있습니다. ㅏ:
가우스 미지수 제거법을 사용하여 역행렬 찾기
가우스 소거법을 사용하여 행렬의 역행렬을 찾는 첫 번째 단계는 행렬에 할당하는 것입니다. ㅏ동일한 순서의 단위 행렬을 수직 막대로 구분합니다. 우리는 이중 행렬을 얻을 것입니다. 이 행렬의 양변에 을 곱하면 다음을 얻습니다.
,
가우스 미지수 제거법을 사용하여 역행렬을 찾는 알고리즘
1. 매트릭스로 ㅏ동일한 차수의 단위 행렬을 할당합니다.
2. 결과 이중 행렬을 변환하여 왼쪽에 단위 행렬을 얻은 다음 오른쪽에 단위 행렬 대신 자동으로 역행렬을 얻습니다. 행렬 ㅏ왼쪽의 는 기본 행렬 변환을 통해 단위 행렬로 변환됩니다.
2. 행렬 변환 과정에 있는 경우 ㅏ단위 행렬의 모든 행이나 열에는 0만 있고 행렬의 행렬식은 0과 같으며 결과적으로 행렬은 ㅏ특이성이고 역행렬이 없습니다. 이 경우 역행렬의 추가 결정이 중지됩니다.
예시 2.매트릭스의 경우
역행렬을 찾아보세요.
그리고 이를 변환하여 왼쪽에서 단위 행렬을 얻습니다. 우리는 변화를 시작합니다.
왼쪽 및 오른쪽 행렬의 첫 번째 행에 (-3)을 곱하고 두 번째 행에 더한 다음 첫 번째 행에 (-4)를 곱하고 세 번째 행에 더하면 다음과 같이 됩니다.
.
후속 변환에 분수가 없도록 하려면 먼저 이중 행렬의 왼쪽에 있는 두 번째 행에 단위를 생성해 보겠습니다. 이렇게 하려면 두 번째 줄에 2를 곱하고 세 번째 줄을 빼면 다음과 같습니다.
.
첫 번째 줄을 두 번째 줄과 더한 다음 두 번째 줄에 (-9)를 곱하고 세 번째 줄을 더해 보겠습니다. 그러면 우리는 얻는다
.
세 번째 줄을 8로 나눈 다음
.
세 번째 줄에 2를 곱하고 두 번째 줄에 추가합니다. 그것은 밝혀:
.
두 번째와 세 번째 줄을 바꾸면 마침내 다음과 같은 결과를 얻습니다.
.
왼쪽에는 단위 행렬이 있으므로 오른쪽에는 역행렬이 있습니다. 따라서:
.
원래 행렬에 찾은 역행렬을 곱하여 계산의 정확성을 확인할 수 있습니다.
결과는 역행렬이어야 합니다.
예시 3.매트릭스의 경우
역행렬을 찾아보세요.
해결책. 이중 행렬 컴파일하기
우리는 그것을 변화시킬 것입니다.
첫 번째 줄에 3을 곱하고 두 번째 줄에 2를 곱하고 두 번째 줄에서 뺍니다. 그런 다음 첫 번째 줄에 5를 곱하고 세 번째 줄에 2를 곱하고 세 번째 줄에서 뺍니다.
.
첫 번째 줄에 2를 곱하고 두 번째 줄에 더한 다음 세 번째 줄에서 두 번째 줄을 뺍니다.
.
왼쪽 세 번째 줄에서 모든 요소가 0과 같다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 이 행렬은 특이행렬이고 역행렬이 없습니다. 우리는 역 마리츠를 찾는 것을 더 이상 중단합니다.
정의 1:행렬식이 0이면 행렬을 특이 행렬이라고 합니다.
정의 2:행렬식이 0이 아닌 경우 행렬을 비특이 행렬이라고 합니다.
행렬 "A"가 호출됩니다. 역행렬, 조건 A*A-1 = A-1 *A = E(단위 행렬)가 만족되면.
정사각 행렬은 비특이 행렬인 경우에만 역행렬이 가능합니다.
역행렬 계산 방식:
1) 다음과 같은 경우 행렬 "A"의 행렬식을 계산합니다. ∆ A = 0이면 역행렬이 존재하지 않습니다.
2) 행렬 "A"의 모든 대수적 보수를 찾으십시오.
3) 대수적 덧셈 행렬 생성(Aij)
4) 대수적 보수 행렬(Aij )T를 전치합니다.
5) 전치된 행렬에 이 행렬의 행렬식의 역수를 곱합니다.
6) 점검 수행:
언뜻 보면 복잡해 보일 수도 있지만 사실 모든 것이 매우 간단합니다. 모든 솔루션은 간단한 산술 연산을 기반으로 하며, 해결 시 가장 중요한 것은 "-" 및 "+" 기호를 혼동하지 않고 잃지 않는 것입니다.
이제 역행렬을 계산하여 실제적인 작업을 함께 해결해 보겠습니다.
작업: 아래 그림에 표시된 역행렬 "A"를 찾으세요.
1. 가장 먼저 해야 할 일은 행렬 "A"의 행렬식을 찾는 것입니다.
설명:
우리는 기본 기능을 사용하여 행렬식을 단순화했습니다. 먼저 두 번째와 세 번째 줄에 첫 번째 줄의 요소를 하나의 숫자로 곱한 값으로 추가했습니다.
둘째, 행렬식의 2번째와 3번째 열을 변경하고, 그 속성에 따라 앞의 부호를 변경했습니다.
세 번째로 두 번째 줄의 공통인수(-1)를 빼서 다시 부호를 바꾸니 양수가 되었습니다. 또한 예제 시작 부분과 동일한 방식으로 3행을 단순화했습니다.
대각선 아래의 요소가 0과 같은 삼각형 행렬식이 있고 속성 7에 따라 대각선 요소의 곱과 같습니다. 결국 우리는 얻었습니다 ∆ A = 26이므로 역행렬이 존재합니다.
A11 = 1*(3+1) = 4
A12 = -1*(9+2) = -11
A13 = 1*1 = 1
A21 = -1*(-6) = 6
A22 = 1*(3-0) = 3
A23 = -1*(1+4) = -5
A31 = 1*2 = 2
A32 = -1*(-1) = -1
A33 = 1+(1+6) = 7
3. 다음 단계는 결과 추가로부터 행렬을 컴파일하는 것입니다.
5. 이 행렬에 행렬식의 역수, 즉 1/26을 곱합니다.
6. 이제 다음 사항을 확인하면 됩니다.
테스트 중에 단위 행렬을 받았으므로 솔루션이 완전히 올바르게 수행되었습니다.
역행렬을 계산하는 두 가지 방법.
1. 기본 행렬 변환
2. 기본 변환기를 통한 역행렬.
기본 행렬 변환에는 다음이 포함됩니다.
1. 문자열에 0이 아닌 숫자를 곱합니다.
2. 어떤 줄에 숫자를 곱한 다른 줄을 추가합니다.
3. 행렬의 행을 바꿉니다.
4. 일련의 기본 변환을 적용하여 또 다른 행렬을 얻습니다.
ㅏ -1 = ?
1. (A|E) ~ (E|A -1 )
2.A -1 * A = E
실수를 사용한 실제 예를 사용하여 이를 살펴보겠습니다.
운동:역행렬을 구합니다.
해결책:
점검 해보자:
솔루션에 대한 약간의 설명:
먼저 행렬의 행 1과 2를 재배열한 다음 첫 번째 행에 (-1)을 곱했습니다.
그런 다음 첫 번째 행에 (-2)를 곱하고 이를 행렬의 두 번째 행에 추가했습니다. 그런 다음 2행에 1/4을 곱했습니다.
변환의 마지막 단계는 두 번째 줄에 2를 곱하고 첫 번째 줄에 더하는 것이었습니다. 결과적으로 왼쪽에 단위 행렬이 있으므로 역행렬은 오른쪽 행렬이 됩니다.
확인한 결과 우리는 그 결정이 옳았다는 것을 확신했습니다.
보시다시피 역행렬을 계산하는 것은 매우 간단합니다.
이번 강의를 마치면서 나는 그러한 행렬의 특성에 대해서도 잠시 시간을 할애하고 싶습니다.
A*A -1 = E인 경우 행렬 A -1을 행렬 A에 대한 역행렬이라고 합니다. 여기서 E는 n차 단위 행렬입니다. 역행렬은 정방행렬에만 존재할 수 있습니다.
서비스의 목적. 이 서비스를 온라인으로 사용하면 대수적 보수, 전치 행렬 A T, 연합 행렬 및 역행렬을 찾을 수 있습니다. 결정은 웹사이트(온라인)에서 직접 이루어지며 비용은 무료입니다. 계산 결과는 Word 및 Excel 형식의 보고서로 표시됩니다. 즉, 솔루션 확인이 가능합니다. 디자인 예를 참조하세요.
지침. 해를 구하려면 행렬의 차원을 지정해야 합니다. 다음으로 새 대화 상자에서 행렬 A를 채웁니다.
Jordano-Gauss 방법을 사용한 역행렬도 참조하세요.
역행렬을 찾는 알고리즘
- 전치행렬 A T 를 구합니다.
- 대수적 보완의 정의. 행렬의 각 요소를 대수적 보수로 바꿉니다.
- 대수적 덧셈에서 역행렬 컴파일: 결과 행렬의 각 요소는 원래 행렬의 행렬식으로 나뉩니다. 결과 행렬은 원래 행렬의 역행렬입니다.
- 행렬이 정사각형인지 확인합니다. 그렇지 않은 경우 역행렬이 없습니다.
- 행렬 A의 행렬식 계산 0이 아니면 해를 계속합니다. 그렇지 않으면 역행렬이 존재하지 않습니다.
- 대수적 보완의 정의.
- 합집합(상호, 인접) 행렬 C를 작성합니다.
- 대수적 덧셈에서 역행렬 컴파일: 수반 행렬 C의 각 요소는 원래 행렬의 행렬식으로 나뉩니다. 결과 행렬은 원래 행렬의 역행렬입니다.
- 그들은 검사를 합니다: 원본과 결과 행렬을 곱합니다. 결과는 단위 행렬이어야 합니다.
예 1. 행렬을 다음과 같은 형식으로 작성해 보겠습니다.
대수적 추가.
| 1,1 = (-1) 1+1 |
|
∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
| 1,2 = (-1) 1+2 |
|
∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
| 1.3 = (-1) 1+3 |
|
∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
| 2,1 = (-1) 2+1 |
|
∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7
| 2,2 = (-1) 2+2 |
|
∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
| 2,3 = (-1) 2+3 |
|
∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
| 3.1 = (-1) 3+1 |
|
∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
| 3.2 = (-1) 3+2 |
|
∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
| 3.3 = (-1) 3+3 |
|
∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
그 다음에 역행렬다음과 같이 쓸 수 있습니다:
| A -1 = 1/10 |
|
| A -1 = |
|
역행렬을 찾는 또 다른 알고리즘
역행렬을 찾는 또 다른 방식을 제시해 보겠습니다.- 주어진 정사각 행렬 A의 행렬식을 구합니다.
- 우리는 행렬 A의 모든 요소에 대한 대수적 보수를 찾습니다.
- 행 요소를 열에 대한 대수적 추가(전치)를 작성합니다.
- 결과 행렬의 각 요소를 행렬 A의 행렬식으로 나눕니다.
특별한 경우: 단위 행렬 E의 역행렬은 단위 행렬 E입니다.
