복합 분수의 예와 솔루션. 분수, 분수를 이용한 연산

24.09.2019

분자와 나누는 것이 분모입니다.

분수를 쓰려면 먼저 분자를 쓴 다음 숫자 아래에 수평선을 그리고 그 선 아래에 분모를 씁니다. 분자와 분모를 구분하는 수평선을 분수선이라고 합니다. 때로는 비스듬한 "/"나 "∕"로 표시되기도 합니다. 이 경우 분자는 줄 왼쪽에, 분모는 오른쪽에 씁니다. 예를 들어 분수 "2/3"는 2/3로 표시됩니다. 명확성을 위해 분자는 일반적으로 줄 상단에 작성되고 분모는 하단에 기록됩니다. 즉, 2/3 대신 ⅔를 찾을 수 있습니다.

분수의 곱을 계산하려면 먼저 분자에 1을 곱하세요. 분수분자에 따라 다릅니다. 새로운 분자에 결과를 쓰세요 분수. 그런 다음 분모를 곱하십시오. 새 항목에 총 금액을 입력하세요. 분수. 예를 들어 1/3? 1/5 = 1/15(1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

한 분수를 다른 분수로 나누려면 먼저 첫 번째 분수의 분자에 두 번째 분수의 분모를 곱하세요. 두 번째 분수(제수)에도 동일한 작업을 수행합니다. 또는 모든 작업을 수행하기 전에 먼저 제수를 "뒤집는" 것이 더 편리하다면 분모가 분자 자리에 나타나야 합니다. 그런 다음 피제수의 분모에 제수의 새 분모를 곱하고 분자를 곱합니다. 예를 들어 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3(1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3)입니다.

출처:

기본 분수 문제

분수를 사용하면 수량의 정확한 값을 다양한 형식으로 표현할 수 있습니다. 정수에서와 마찬가지로 분수에서도 뺄셈, 덧셈, 곱셈, 나눗셈 등 동일한 수학 연산을 수행할 수 있습니다. 결정하는 법을 배우려면 분수, 우리는 그들의 기능 중 일부를 기억해야 합니다. 유형에 따라 다릅니다. 분수, 공통 분모인 정수 부분의 존재. 일부 산술 연산에서는 실행 후 결과의 소수 부분을 줄여야 합니다.

필요할 것이예요

- 계산기

지침

숫자를 자세히 살펴보세요. 분수 중에 소수와 불규칙 분수가 있는 경우에는 먼저 소수로 연산을 수행한 다음 불규칙 형식으로 변환하는 것이 더 편리할 때도 있습니다. 번역할 수 있나요 분수이 형식에서는 처음에는 분자에 소수점 이하의 값을 쓰고 분모에 10을 넣는다. 필요한 경우 위와 아래의 숫자를 하나의 제수로 나누어 분수를 줄이세요. 전체 부분이 분리된 분수는 분모를 곱하고 그 결과에 분자를 더하여 잘못된 형태로 변환해야 합니다. 이 값이 새 분자가 됩니다. 분수. 처음에 잘못된 부품에서 전체 부품을 선택하려면 분수, 분자를 분모로 나누어야 합니다. 전체 결과를 쓰세요. 분수. 그리고 나눗셈의 나머지 부분은 새로운 분자, 분모가 될 것입니다 분수그것은 변하지 않습니다. 정수 부분이 있는 분수의 경우 먼저 정수 부분에 대해 다음으로 분수 부분에 대해 작업을 별도로 수행하는 것이 가능합니다. 예를 들어, 1 2/3과 2 3/4의 합은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.
- 분수를 잘못된 형식으로 변환:
- 1 2/3 + 2 3/4 = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- 용어의 정수 및 분수 부분을 별도로 합산:
- 1 2/3 + 2 3/4 = (1+2) + (2/3 + 3/4) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

":" 구분 기호를 사용하여 다시 작성하고 일반 나누기를 계속합니다.

최종 결과를 얻으려면 분자와 분모를 하나의 정수(이 경우 가능한 가장 큰 숫자)로 나누어 결과 분수를 줄이십시오. 이 경우 줄 위와 아래에 정수가 있어야 합니다.

메모

분모가 다른 분수로 연산을 수행하지 마십시오. 각 분수의 분자와 분모에 곱하면 두 분수의 분모가 같은 숫자를 선택하세요.

유용한 조언

분수를 쓸 때 배당금은 줄 위에 쓰여집니다. 이 수량은 분수의 분자로 지정됩니다. 분수의 제수 또는 분모는 선 아래에 기록됩니다. 예를 들어, 쌀 1.5kg을 분수로 표현하면 쌀 1½kg입니다. 분수의 분모가 10인 경우 그 분수를 소수라고 합니다. 이 경우 분자(배당)는 전체 부분의 오른쪽에 쉼표로 구분되어 작성됩니다(쌀 1.5kg). 계산을 쉽게 하기 위해 이러한 분수는 항상 잘못된 형식(감자 1 2/10kg)으로 작성될 수 있습니다. 단순화하기 위해 분자와 분모 값을 하나의 정수로 나누어서 줄일 수 있습니다. 이 예에서는 2로 나눌 수 있습니다. 결과는 감자 1 1/5kg입니다. 산술 연산을 수행할 숫자가 동일한 형식으로 표시되는지 확인하세요.

이제 개별 분수를 더하고 곱하는 방법을 배웠으므로 더 복잡한 구조를 볼 수 있습니다. 예를 들어, 동일한 문제에 분수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈이 포함되어 있다면 어떻게 될까요?

우선, 모든 분수를 가분수로 변환해야 합니다. 그런 다음 일반 숫자와 동일한 순서로 필요한 작업을 순차적으로 수행합니다. 즉:

지수화가 먼저 수행됩니다. 지수가 포함된 모든 표현식을 제거합니다.
그런 다음 - 나눗셈과 곱셈;
마지막 단계는 덧셈과 뺄셈입니다.

물론 표현식에 괄호가 있으면 연산 순서가 변경됩니다. 즉, 괄호 안에 있는 모든 항목이 먼저 계산되어야 합니다. 그리고 가분수에 대해 기억하세요. 다른 모든 작업이 이미 완료된 경우에만 전체 부분을 강조 표시해야 합니다.

첫 번째 표현식의 모든 분수를 가분수로 변환한 후 다음 단계를 수행해 보겠습니다.

이제 두 번째 표현식의 값을 찾아보겠습니다. 정수 부분이 있는 분수는 없지만 괄호가 있으므로 먼저 덧셈을 수행한 다음 나눗셈을 수행합니다. 14 = 7·2라는 점에 유의하세요. 그 다음에:

마지막으로 세 번째 예를 살펴보겠습니다. 여기에는 괄호와 학위가 있습니다. 별도로 계산하는 것이 좋습니다. 9 = 3 3을 고려하면 다음과 같습니다.

마지막 예에 주목하세요. 분수를 거듭제곱하려면 분자와 분모를 별도로 거듭제곱해야 합니다.

다르게 결정할 수 있습니다. 학위의 정의를 떠올려 보면 문제는 일반적인 분수의 곱셈으로 축소됩니다.

다층 분수

지금까지 우리는 분자와 분모가 일반 숫자인 "순수" 분수만 고려했습니다. 이것은 첫 번째 수업에서 주어진 분수의 정의와 상당히 일치합니다.

그런데 분자나 분모에 더 복잡한 객체를 넣으면 어떻게 될까요? 예를 들어, 또 다른 분수? 이러한 구성은 특히 긴 표현을 사용할 때 자주 발생합니다. 다음은 몇 가지 예입니다.

다단계 분수 작업에는 단 하나의 규칙이 있습니다. 즉시 제거해야 합니다. 슬래시가 표준 분할 작업을 의미한다는 점을 기억한다면 "추가" 층을 제거하는 것은 매우 간단합니다. 따라서 모든 분수는 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

이 사실을 이용하고 절차에 따라 다층 건물을 일반 건물로 쉽게 줄일 수 있습니다. 예시를 살펴보세요:

일. 다층 분수를 일반 분수로 변환:

각각의 경우에 분할선을 분할 기호로 대체하여 주요 분수를 다시 작성합니다. 또한 모든 정수는 분모가 1인 분수로 표현될 수 있다는 점을 기억하세요. 12 = 12/1; 3 = 3/1. 우리는 다음을 얻습니다:

마지막 예에서는 최종 곱셈 전에 분수가 취소되었습니다.

다단계 분수 작업의 세부 사항

다단계 분수에는 항상 기억해야 할 미묘한 점이 하나 있습니다. 그렇지 않으면 모든 계산이 정확하더라도 잘못된 답을 얻을 수 있습니다. 구경하다:

분자에는 단일 숫자 7이 포함되고 분모에는 분수 12/5가 포함됩니다.
분자에는 분수 7/12가 포함되고 분모에는 별도의 숫자 5가 포함됩니다.

그래서 한 번의 녹음에 대해 우리는 완전히 다른 두 가지 해석을 얻었습니다. 세어 보면 대답도 달라집니다.

레코드를 항상 명확하게 읽으려면 간단한 규칙을 사용하십시오. 주 분수의 구분선은 중첩 분수의 선보다 길어야 합니다. 바람직하게는 여러 번.

이 규칙을 따르면 위의 분수는 다음과 같이 작성되어야 합니다.

예, 아마도 보기에도 좋지 않고 너무 많은 공간을 차지할 것입니다. 하지만 당신은 정확하게 계산할 것입니다. 마지막으로 다층 분수가 실제로 발생하는 몇 가지 예는 다음과 같습니다.

일. 표현의 의미를 찾으십시오.

이제 첫 번째 예를 살펴보겠습니다. 모든 분수를 가분수로 변환한 다음 덧셈과 나눗셈 연산을 수행해 보겠습니다.

두 번째 예에서도 동일한 작업을 수행해 보겠습니다. 모든 분수를 가분수로 변환하고 필요한 연산을 수행해 봅시다. 독자를 지루하게 하지 않기 위해 몇 가지 명백한 계산은 생략하겠습니다. 우리는:

기본 분수의 분자와 분모에는 합계가 포함되어 있기 때문에 다층 분수 작성 규칙이 자동으로 준수됩니다. 또한 마지막 예에서는 나눗셈을 수행하기 위해 의도적으로 46/1을 분수 형태로 남겨두었습니다.

또한 두 예 모두에서 분수 막대가 실제로 괄호를 대체한다는 점에 유의할 것입니다. 먼저 합계를 찾은 다음 몫을 찾았습니다.

어떤 사람들은 두 번째 예에서 가분수로의 전환이 명백히 중복되었다고 말할 것입니다. 아마도 이것이 사실일 것이다. 하지만 이렇게 하면 다음번에는 예제가 훨씬 더 복잡해질 수 있으므로 실수로부터 자신을 보호할 수 있습니다. 속도와 신뢰성 중 더 중요한 것을 스스로 선택하십시오.

지침

공통분모로의 축소.

분수 a/b와 c/d가 주어집니다.

첫 번째 분수의 분자와 분모에 LCM/b를 곱합니다.

두 번째 분수의 분자와 분모에 LCM/d를 곱합니다.

그림에 예가 나와 있습니다.

분수를 비교하려면 공통 분모에 분수를 더한 다음 분자를 비교해야 합니다. 예를 들어 3/4< 4/5, см. .

분수를 더하고 뺍니다.

두 개의 일반 분수의 합을 찾으려면 공통 분모로 가져온 다음 분모를 변경하지 않고 분자를 더해야 합니다. 분수 1/2과 1/3을 추가하는 예가 그림에 나와 있습니다.

분수의 차이는 비슷한 방식으로 발견됩니다. 공통 분모를 찾은 후 분수의 분자를 뺍니다. 그림을 참조하세요.

일반 분수를 곱할 때는 분자와 분모를 함께 곱합니다.

두 분수를 나누기 위해서는 두 번째 분수의 분수가 필요합니다. 즉, 분자와 분모를 변경한 다음 결과 분수를 곱합니다.

주제에 관한 비디오

출처:

예제를 사용하여 분수 등급 5
기본 분수 문제

기준 치수표현식의 절대값을 나타냅니다. 직선 괄호는 모듈을 표시하는 데 사용됩니다. 여기에 포함된 값은 모듈로로 간주됩니다. 모듈 해결은 특정 규칙에 따라 괄호를 열고 표현식 값 세트를 찾는 것으로 구성됩니다. 대부분의 경우 모듈은 하위 모듈 표현식이 0 값을 포함하여 여러 양수 및 음수 값을 받는 방식으로 확장됩니다. 모듈의 이러한 속성을 기반으로 원래 표현식의 추가 방정식과 부등식이 컴파일되고 해결됩니다.

지침

를 사용하여 원래 방정식을 작성합니다. 이렇게 하려면 모듈을 엽니다. 각 하위 모듈 식을 고려하십시오. 모듈러 괄호 안의 표현이 0이 되는 미지 수량의 값을 결정합니다.

이를 수행하려면 하위 모듈식을 0으로 동일시하고 결과 방정식을 찾으십시오. 찾은 값을 적어보세요. 같은 방법으로 주어진 방정식에서 각 모듈에 대한 미지 변수의 값을 결정합니다.

수직선을 그리고 그 위에 결과 값을 그립니다. 제로 모듈의 변수 값은 모듈러 방정식을 풀 때 제약 조건 역할을 합니다.

원래 방정식에서는 변수 값이 수직선에 표시된 값과 일치하도록 부호를 변경하여 모듈식 방정식을 확장해야 합니다. 결과 방정식을 푼다. 모듈에서 지정한 제약 조건에 대해 발견된 변수 값을 확인합니다. 해가 조건을 만족하면 참입니다. 제한 사항을 충족하지 않는 루트는 폐기되어야 합니다.

마찬가지로, 부호를 고려하여 원래 표현식의 모듈을 확장하고 결과 방정식의 근을 계산합니다. 제약 조건 부등식을 충족하는 모든 결과 근을 기록합니다.

필요할 것이예요

- 계산기

지침

선 아래 값의 경우 공통 분모를 찾으십시오. 예를 들어 5/9와 7/12의 경우 공통 분모는 36이 됩니다. 이를 위해 첫 번째의 분자와 분모는 분수 4를 곱해야하고 (28/36을 얻음) 두 번째에 3을 곱해야합니다 (15/36을 얻습니다). 이제 계산을 수행할 수 있습니다.

분수의 합이나 차를 계산하려면 먼저 찾은 공통 분모를 줄 아래에 쓰세요. 분자 사이에 필요한 작업을 수행하고 결과를 새 줄 위에 씁니다. 분수. 따라서 새 분자는 원래 분수의 분자의 차이 또는 합이 됩니다.

분수의 곱을 계산하려면 분수의 분자를 곱하고 그 결과를 최종의 분자 자리에 씁니다. 분수. 분모에도 동일한 작업을 수행합니다. 하나를 나눌 때 분수한 분수를 다른 분수에 적고 그 분자에 두 번째 분수를 곱합니다. 이 경우 첫 번째의 분모는 분수이에 따라 두 번째 분자를 곱합니다. 이 경우 일종의 혁명이 일어난다. 분수(제수). 최종 분수는 두 분수의 분자와 분모를 곱한 결과입니다. 배우기는 어렵지 않아요 분수, “4층” 형태로 조건부로 작성 분수. 두 개로 나누어지면 분수, ":" 구분 기호를 사용하여 다시 작성하고 일반 나누기를 계속합니다.

메모

분모가 다른 분수로 연산을 수행하지 마십시오. 각 분수의 분자와 분모에 곱하면 두 분수의 분모가 같은 숫자를 선택하세요.

유용한 조언

지침

"삽입" 메뉴 항목을 한 번 클릭한 다음 "기호"를 선택합니다. 삽입하는 가장 쉬운 방법 중 하나입니다. 분수텍스트에. 그것은 다음과 같이 구성됩니다. 기성 기호 세트에는 다음이 포함됩니다. 분수. 일반적으로 그 수는 작지만 텍스트에 1/2가 아닌 ½을 써야 하는 경우 이 옵션이 가장 적합합니다. 또한 분수 문자 수는 글꼴에 따라 달라질 수 있습니다. 예를 들어 Times New Roman 글꼴의 경우 동일한 Arial보다 분수 수가 약간 적습니다. 다양한 글꼴을 사용하여 가장 적합한 글꼴을 찾으세요. 최선의 선택, 간단한 표현의 경우.

"삽입" 메뉴 항목을 클릭하고 "개체" 하위 항목을 선택합니다. 삽입할 수 있는 개체 목록이 포함된 창이 나타납니다. Microsoft Equation 3.0 중에서 선택하세요. 이 앱은 당신이 입력하는 데 도움이 될 것입니다 분수. 뿐만 아니라 분수, 다양한 삼각 함수 및 기타 요소를 포함하는 복잡한 수학적 표현도 있습니다. 마우스 왼쪽 버튼으로 이 개체를 두 번 클릭합니다. 많은 기호가 포함된 창이 여러분 앞에 나타날 것입니다.

분수를 인쇄하려면 분자와 분모가 비어 있는 분수를 나타내는 기호를 선택하세요. 마우스 왼쪽 버튼으로 한 번 클릭하십시오. 구성표 자체를 명확히 설명하는 추가 메뉴가 나타납니다. 분수. 여러 가지 옵션이 있을 수 있습니다. 가장 적합한 것을 선택하고 마우스 왼쪽 버튼으로 한 번 클릭하십시오.

496. 찾다 엑스, 만약에:

497. 1) 모르는 숫자의 3/10에 10 1/2을 더하면 13 1/2이 됩니다. 모르는 번호를 찾아보세요.

2) 알 수 없는 숫자의 7/10에서 10 1/2을 빼면 15 2/5가 됩니다. 모르는 번호를 찾아보세요.

498 *. 알 수 없는 숫자의 3/4에서 10을 빼고 그 차이에 5를 곱하면 100이 됩니다. 숫자를 찾으세요.

499 *. 알 수 없는 숫자를 2/3만큼 늘리면 60이 됩니다. 이것은 무슨 숫자인가요?

500 *. 알 수 없는 숫자에 같은 양을 더하고 20 1/3도 더하면 105 2/5가 됩니다. 모르는 번호를 찾아보세요.

501. 1) 사각형 재배의 경우 감자 수확량은 헥타르당 평균 150센트이고, 일반 재배의 경우 이 양의 3/5입니다. 사각 클러스터 방식으로 감자를 심으면 15헥타르의 면적에서 얼마나 더 많은 감자를 수확할 수 있나요?

2) 숙련된 작업자는 1시간에 18개의 부품을 생산하고, 미경험 작업자는 이 양의 2/3를 생산합니다. 숙련된 작업자가 하루 7시간 동안 얼마나 더 많은 부품을 생산할 수 있습니까?

502. 1) 개척자들은 3일에 걸쳐 56kg의 다양한 씨앗을 수집했습니다. 첫날에는 총액의 14분의 3을 모았고, 둘째 날에는 1.5배를 더 모았으며, 셋째 날에는 남은 곡식을 모았습니다. 개척자들은 셋째 날에 몇 킬로그램의 씨앗을 수집했습니까?

2) 밀을 분쇄했을 때 결과는 밀가루 전체 밀 양의 4/5, 세 몰리나-밀가루보다 40 배 적고 나머지는 밀기울입니다. 밀 3톤을 분쇄할 때 밀가루, 양질의 거친 밀가루, 밀기울이 각각 얼마나 생산되었습니까?

503. 1) 차고 3개에는 차량 460대를 수용할 수 있습니다. 첫 번째 차고에 들어갈 수 있는 자동차 수는 두 번째 차고에 들어갈 수 있는 자동차 수의 3/4이고, 세 번째 차고에는 첫 번째 차고에 들어갈 수 있는 자동차 수의 1 1/2배입니다. 각 차고에 몇 대의 자동차가 들어갈 수 있습니까?

2) 3개의 작업장을 갖춘 공장에서는 6,000명의 근로자를 고용하고 있습니다. 두 번째 작업장에는 첫 번째 작업장보다 작업자 수가 1 1/2배 적고, 세 번째 작업장의 작업자 수는 두 번째 작업장 작업자 수의 5/6입니다. 각 작업장에는 몇 명의 작업자가 있습니까?

504. 1) 등유가 담긴 탱크에서 처음에는 등유의 2/5, 다음에는 전체 등유의 1/3을 부었고 그 이후에는 등유 8 톤이 탱크에 남았습니다. 처음에 탱크에 등유가 얼마나 있었습니까?

2) 자전거 타는 사람들은 3일 동안 경주를 했습니다. 첫날에는 전체 여행의 4/15, 두 번째에는 2/5, 셋째 날에는 나머지 100km를 주행했습니다. 자전거 타는 사람들은 3일 동안 얼마나 멀리 여행했습니까?

505. 1) 쇄빙선은 3일 동안 빙원을 뚫고 나아갔다. 첫날에는 전체 거리의 1/2을 걸었고, 둘째 날에는 남은 거리의 3/5을 걸었고, 셋째 날에는 남은 24km를 걸었습니다. 3일 동안 쇄빙선이 덮은 경로의 길이를 구하십시오.

2) 세 그룹의 학생들이 마을을 녹색으로 만들기 위해 나무를 심었습니다. 첫 번째 파견대는 전체 나무의 7/20, 두 번째 파견대는 남은 나무의 5/8, 세 번째 파견대는 나머지 195그루를 심었습니다. 세 팀이 총 몇 그루의 나무를 심었나요?

506. 1) 콤바인 수확기는 3일 만에 한 농장에서 밀을 수확했습니다. 첫날에는 전체 부지의 5/18에서 수확하고, 둘째 날에는 남은 면적의 7/13에서, 셋째 날에는 나머지 면적에서 30 1/2을 수확했습니다. 헥타르. 평균적으로 헥타르당 20센트의 밀이 수확되었습니다. 전체 지역에서 수확된 밀의 양은 얼마나 됩니까?

2) 첫날에는 전체 코스의 3/11, 둘째 날에는 남은 코스의 7/20, 셋째 날에는 새로운 남은 코스의 5/13, 넷째 날에는 남은 코스를 참가자들이 주행했습니다. 320km. 집회 경로는 얼마나 되나요?

507. 1) 첫날에는 전체 거리의 3/8을 주행했고, 둘째 날에는 첫날의 15/17을 주행했으며, 셋째 날에는 나머지 200km를 주행했습니다. 자동차가 10km 동안 1 3/5kg의 휘발유를 소비한다면 휘발유는 얼마나 소비됩니까?

2) 도시는 4개의 구역으로 구성되어 있다. 그리고 도시 전체 주민의 4/13이 첫 번째 구역에 살고, 첫 번째 구역 주민의 5/6이 두 번째 구역에 살고, 첫 번째 구역 주민의 4/11이 세 번째 구역에 살고 있습니다. 2개 구역을 합쳐서 4번째 구역에는 18,000명이 살고 있습니다. 한 사람이 하루 평균 500g을 소비한다면 도시 전체 인구가 3일 동안 필요한 빵의 양은 얼마입니까?

508. 1) 관광객은 전체 여정의 첫날 10/31에 걸었고, 둘째 날에는 첫날 걸었던 거리의 9/10을 걸었고, 셋째 날에는 나머지 길을 걸었고, 셋째 날에는 12를 걸었습니다. 둘째 날보다 km 더 늘어났습니다. 관광객은 3일 동안 각각 몇 킬로미터를 걸었습니까?

2) 자동차는 A 도시에서 B 도시까지 3일 만에 전 노선을 주행했습니다. 첫날에는 전체 거리의 7/20을 주행했고, 두 번째에는 남은 거리의 8/13을 주행했으며, 셋째 날에는 첫날보다 72km를 덜 주행했습니다. 도시 A와 B 사이의 거리는 얼마입니까?

509. 1) 집행위원회는 정원 부지를 위해 3개 공장의 근로자에게 토지를 할당했습니다. 첫 번째 공장에는 전체 플롯 수의 9/25가 할당되었고, 두 번째 공장에는 첫 번째 할당된 플롯 수의 5/9가 할당되었으며, 세 번째 플랜트에는 나머지 플롯이 할당되었습니다. 첫 번째 공장이 세 번째 공장보다 50개 적은 필지를 할당받았다면 세 공장의 근로자에게 할당된 총 필지는 몇 개입니까?

2) 비행기는 3일 만에 모스크바에서 겨울 근무 교대근무자들을 극지 역으로 배달했습니다. 첫날에는 전체 거리의 2/5를 비행했고, 두 번째 날에는 첫날에 이동한 거리의 5/6을 비행했으며, 세 번째 날에는 둘째 날보다 500km 적게 비행했습니다. 비행기는 3일 동안 얼마나 멀리 날아갔나요?

510. 1) 공장에는 3개의 작업장이 있었습니다. 첫 번째 작업장의 근로자 수는 공장 전체 근로자의 2/5입니다. 두 번째 작업장에는 첫 번째 작업장보다 작업자 수가 1 1/2배 적고, 세 번째 작업장에는 두 번째 작업장보다 작업자가 100명 더 많습니다. 공장에는 몇 명의 근로자가 있나요?

2) 집단농장에는 인근 3개 마을 주민들이 참여한다. 첫 번째 마을의 가구 수는 집단 농장의 모든 가구의 3/10입니다. 두 번째 마을의 가족 수는 첫 번째 마을보다 1 1/2배 더 많고, 세 번째 마을의 가족 수는 두 번째 마을보다 420가구가 적습니다. 집단 농장에는 몇 가족이 있습니까?

511. 1) artel은 첫 주에 원자재 재고의 1/3을 사용하고 두 번째 주에는 나머지 1/3을 사용했습니다. 첫 주에 원자재 소비량이 두 번째 주보다 3/5톤 더 많았다면 아르텔에 얼마나 많은 원자재가 남아 있습니까?

2) 수입한 석탄 중 첫 달에는 1/6을 난방비로 쓰고, 두 번째 달에는 나머지 3/8을 썼다. 첫 달보다 두 번째 달에 1 3/4을 더 사용했다면 집을 난방하는 데 석탄이 얼마나 남았습니까?

512. 집단농장 전체 토지의 3/5는 곡물 파종에 할당되고, 나머지 13/36은 채소밭과 초원, 나머지 토지는 산림, 집단농장의 파종면적은 삼림 면적보다 217헥타르 더 크며, 곡물 파종에 할당된 토지의 1/3은 호밀이고 나머지는 밀입니다. 집단 농장은 밀을 몇 헥타르에, 호밀을 몇 헥타르에 심었습니까?

513. 1) 트램 노선의 길이는 14 3/8km입니다. 이 경로를 따라 트램은 18개의 정류장을 운행하며 정류장당 평균 최대 1 1/6분을 소요합니다. 전체 경로를 따라 트램의 평균 속도는 시간당 12 1/2km입니다. 트램이 한 번 운행하는 데 얼마나 걸리나요?

2) 버스 노선 16km. 이 경로를 따라 버스는 각각 3/4분씩 36개의 정류장을 운행합니다. 평균적으로 각각. 버스의 평균 속도는 시속 30km이다. 한 노선에 버스가 얼마나 걸리나요?

514*. 1) 지금은 6시예요. 저녁. 과거로부터 하루의 남은 부분은 무엇이고, 남은 하루의 부분은 무엇입니까?

2) 증기선은 조류를 따라 두 도시 사이의 거리를 3일 만에 이동합니다. 그리고 4일 만에 같은 거리를 돌아왔습니다. 뗏목이 한 도시에서 다른 도시로 하류에 떠다니는 데 며칠이 소요됩니까?

515. 1) 각 보드의 길이가 6 2/3m이고 너비가 3/3인 경우 길이가 6 2/3m, 너비가 5 1/4m인 방에 바닥을 깔는 데 몇 개의 보드를 사용합니까? 길이가 80?

2) 직사각형 플랫폼의 길이는 45 1/2m이고 너비는 길이의 5/13입니다. 이 지역은 폭 4/5m의 길로 둘러싸여 있습니다. 길의 면적을 찾으세요.

516. 숫자의 산술 평균을 구합니다.

517. 1) 두 숫자의 산술 평균은 6 1/6입니다. 숫자 중 하나는 3 3/4입니다. 다른 번호를 찾아보세요.

2) 두 숫자의 산술 평균은 14 1/4입니다. 이 숫자 중 하나는 15 5/6입니다. 다른 번호를 찾아보세요.

518. 1) 화물열차는 3시간 동안 도로 위에 있었습니다. 첫 번째 시간에는 36 1/2km, 두 번째 40km, 세 번째 39 3/4km를 주행했습니다. 열차의 평균 속도를 구해 보세요.

2) 자동차는 처음 2시간 동안 81 1/2km를 주행했고, 다음 2시간 30분 동안 95km를 주행했습니다. 그는 시간당 평균 몇 킬로미터를 걸었나요?

519. 1) 트랙터 운전사는 3일 만에 땅을 갈아엎는 일을 마쳤습니다. 그는 첫날에 12 1/2헥타르, 둘째 날에 15 3/4헥타르, 셋째 날에 14 1/2헥타르를 경작했습니다. 트랙터 운전자가 하루 평균 몇 헥타르의 땅을 쟁기질했습니까?

2) 3일간의 관광 여행을 하는 학생 그룹은 첫날 6시간 30분, 둘째 날 7시간 동안 도로에 있었습니다. 셋째 날 - 4 2/3시간. 학생들은 매일 평균 몇 시간을 여행합니까?

520. 1) 이 집에는 세 가족이 살고 있습니다. 첫 번째 가족은 아파트를 밝힐 전구 3개를 가지고 있고, 두 번째 가족은 4개, 세 번째 가족은 5개의 전구를 가지고 있습니다. 모든 램프가 동일하고 (집 전체에 대한) 총 전기 요금이 7 1/5 루블인 경우 각 가족은 전기 요금을 얼마를 지불해야 합니까?

2) 세 가족이 살고 있는 아파트에서 연마공이 바닥을 닦고 있었습니다. 첫 번째 가족의 생활 공간은 36 1/2 평방 미터였습니다. m, 두 번째는 24 1/2 sq입니다. m, 세 번째 - 43 평방 미터. m. 모든 작업에 대해 2 루블이 지급되었습니다. 08 캅. 각 가족은 얼마를 지불했습니까?

521. 1) 정원 플롯에서 감자는 50개 덤불에서 덤불당 1 1/10kg, 70개 덤불에서 덤불당 4/5kg, 80개 덤불에서 덤불당 9/10kg으로 수집되었습니다. 각 덤불에서 평균 몇 킬로그램의 감자가 수확됩니까?

2) 300헥타르 지역의 현장 직원은 1헥타르당 20 1/2퀸탈, 80헥타르에서 1헥타르당 24퀸탈, 20헥타르에서 28 1/2퀸탈의 겨울 밀을 수확했습니다. 1헥타르 1헥타르 규모의 여단의 평균 수확량은 얼마입니까?

522. 1) 두 숫자의 합은 7 1/2입니다. 한 숫자는 다른 숫자보다 4 4/5 더 큽니다. 이 숫자를 찾아보세요.

2) 타타르 해협과 케르치 해협의 폭을 나타내는 숫자를 더하면 11 7/10km가 됩니다. 타타르 해협은 케르치 해협보다 3 1/10km 더 넓습니다. 각 해협의 너비는 얼마입니까?

523. 1) 세 수의 합은 35 2 / 3입니다. 첫 번째 숫자는 두 번째 숫자보다 5 1/3 크고 세 번째 숫자보다 3 5/6 더 큽니다. 이 숫자를 찾아보세요.

2) Novaya Zemlya, Sakhalin 및 Severnaya Zemlya 섬은 함께 196 7/10,000m2의 면적을 차지합니다. km. Novaya Zemlya의 면적은 44 1/10,000m2입니다. Severnaya Zemlya 면적보다 5km 더 크고 5 1/5 천 평방 미터입니다. 사할린 면적보다 ㎞ 더 넓다. 나열된 각 섬의 면적은 얼마입니까?

524. 1) 아파트는 방 3개로 구성되어 있습니다. 첫 번째 방의 면적은 24 3/8 평방 미터입니다. m이며 아파트 전체 면적의 13/36입니다. 두 번째 방의 면적은 8 1/8 평방 미터입니다. m은 세 번째 영역보다 더 큽니다. 두 번째 방의 면적은 얼마입니까?

2) 첫날 3일간의 경기에서 사이클리스트는 3시간 30분 동안 도로를 주행했는데, 이는 전체 이동 시간의 13/43에 해당합니다. 둘째 날에는 셋째 날보다 1시간 30분 더 많이 탔습니다. 대회 둘째 날 사이클 선수는 몇 시간을 이동했습니까?

525. 쇠 세 개를 합치면 무게가 17 1/4kg입니다. 첫 번째 수하물의 무게가 1 1/2kg 감소하고 두 번째 수하물의 무게가 2 1/4kg 감소하면 세 수하물 모두 동일한 무게를 갖게 됩니다. 쇠 한 조각의 무게는 얼마였습니까?

526. 1) 두 숫자의 합은 15 1/5입니다. 첫 번째 숫자가 3 1/10으로 줄어들고 두 번째 숫자가 3 1/10으로 증가하면 이 숫자는 동일해집니다. 각 숫자는 무엇입니까?

2) 두 상자에 시리얼 38 1/4kg이 들어 있었습니다. 한 상자에서 다른 상자로 4 3/4kg의 시리얼을 부으면 두 상자에 동일한 양의 시리얼이 들어있게 됩니다. 각 상자에 시리얼이 얼마나 들어있나요?

527 . 1) 두 숫자의 합은 17 17 / 30입니다. 첫 번째 숫자에서 5 1/2을 빼고 두 번째 숫자에 더하면 첫 번째 숫자는 여전히 두 번째 숫자보다 2 17/30만큼 커집니다. 두 숫자를 모두 찾으세요.

2) 두 상자에 사과 24 1/4kg이 들어있습니다. 첫 번째 상자에서 두 번째 상자로 3 1/2kg을 옮기면 첫 번째 상자에는 두 번째 상자보다 사과가 여전히 3/5kg 더 많습니다. 각 상자에는 몇 킬로그램의 사과가 들어있나요?

528 *. 1) 두 숫자의 합은 8 11/14이고 그 차이는 2 3/7입니다. 이 숫자를 찾아보세요.

2) 보트는 시속 15 1/2km의 속도로 강을 따라 이동했고, 시속 8 1/4km의 속도로 조류를 거슬러 이동했습니다. 강의 흐름 속도는 얼마입니까?

529. 1) 두 개의 차고에 110대의 자동차가 있고, 그 중 하나에는 다른 차고보다 1 1/5배 더 많습니다. 각 차고에는 몇 대의 자동차가 있습니까?

2) 방 2개로 구성된 아파트의 거실 면적은 47 1/2㎡입니다. m. 한 방의 면적은 다른 방 면적의 8/11입니다. 각 방의 면적을 찾아보세요.

530. 1) 구리와 은으로 구성된 합금의 무게는 330g이며, 이 합금에 포함된 구리의 무게는 은 무게의 5/28입니다. 합금에 은과 구리가 얼마나 들어있나요?

2) 두 수의 합은 6 3/4이고, 몫은 3 1/2입니다. 이 숫자를 찾아보세요.

531. 세 숫자의 합은 22 1/2입니다. 두 번째 숫자는 3 1/2배이고, 세 번째 숫자는 첫 번째 숫자의 2 1/4배입니다. 이 숫자를 찾아보세요.

532. 1) 두 숫자의 차이는 7입니다. 큰 수를 작은 수로 나눈 몫은 5 2/3입니다. 이 숫자를 찾아보세요.

2) 두 숫자의 차이는 29 3/8이고 배수 비율은 8 5/6입니다. 이 숫자를 찾아보세요.

533. 한 수업에서 결석 학생 수는 출석 학생 수의 3/13입니다. 출석자가 결석자보다 20명 더 많다면 목록에 따르면 수업에 참여하는 학생은 몇 명입니까?

534. 1) 두 숫자의 차이는 3 1/5입니다. 한 숫자는 다른 숫자의 5/7입니다. 이 숫자를 찾아보세요.

2) 아버지는 아들보다 24살 더 많습니다. 아들의 나이는 아버지의 나이의 5/13과 같습니다. 아버지는 몇 살이고 아들은 몇 살입니까?

535. 분수의 분모는 분자보다 11단위 더 큽니다. 분모가 분자의 3 3/4배인 경우 분수의 값은 얼마입니까?

536 - 537 구두.

536. 1) 첫 번째 숫자는 두 번째 숫자의 1/2입니다. 두 번째 숫자가 첫 번째 숫자보다 몇 배 더 큰가요?

2) 첫 번째 숫자는 두 번째 숫자의 3/2입니다. 첫 번째 숫자의 어느 부분이 두 번째 숫자인가요?

537. 1) 첫 번째 숫자의 1/2은 두 번째 숫자의 1/3과 같습니다. 첫 번째 숫자의 어느 부분이 두 번째 숫자인가요?

2) 첫 번째 숫자의 2/3는 두 번째 숫자의 3/4과 같습니다. 첫 번째 숫자의 어느 부분이 두 번째 숫자인가요? 두 번째 숫자의 첫 번째 부분은 무엇입니까?

538. 1) 두 숫자의 합은 16입니다. 두 번째 숫자의 1/3이 첫 번째 숫자의 1/5과 같을 때 이 숫자를 구하세요.

2) 두 숫자의 합은 38입니다. 첫 번째 숫자의 2/3이 두 번째 숫자의 3/5와 같을 때 이 숫자를 구하세요.

539 *. 1) 두 소년이 함께 버섯 100개를 모았습니다. 첫 번째 소년이 수집한 버섯 수의 3/8은 두 번째 소년이 수집한 버섯 수의 1/4과 수치적으로 동일합니다. 각 소년은 몇 개의 버섯을 수집했습니까?

2) 해당 기관의 직원은 27명입니다. 전체 남성의 2/5가 전체 여성의 3/5와 같다면 몇 명의 남성이 일하고 얼마나 많은 여성이 일합니까?

540 *. 세 명의 소년이 배구공을 샀습니다. 첫 번째 소년의 기여도의 1/2이 두 번째 소년의 기여도의 1/3, 세 번째 소년의 기여도의 1/4과 같고, 세 번째 소년의 기여도가 같다는 것을 알고 각 소년의 기여도를 결정합니다. 소년은 첫 번째 기여보다 64 코펙이 더 많습니다.

541 *. 1) 한 숫자는 다른 숫자보다 6이 더 많습니다. 한 숫자의 2/5가 다른 숫자의 2/3과 같을 때 이 숫자를 찾으세요.

2) 두 숫자의 차이는 35입니다. 첫 번째 숫자의 1/3이 두 번째 숫자의 3/4과 같을 때 이 숫자를 구하세요.

542. 1) 첫 번째 팀은 36일 안에 일부 작업을 완료할 수 있고, 두 번째 팀은 45일 안에 완료할 수 있습니다. 두 팀이 협력하여 며칠 내에 이 작업을 완료합니까?

2) 여객열차는 두 도시 사이의 거리를 10시간 안에 주파하고, 화물열차는 15시간 안에 이 거리를 주파한다. 두 열차는 동시에 서로를 향해 이 도시를 떠났습니다. 몇 시간 후에 만날까요?

543. 1) 고속열차는 두 도시 간 거리를 6시간 30분 안에, 여객열차는 7시간 30분 안에 주파합니다. 두 도시를 동시에 출발하여 서로를 향해 출발한다면 이 열차는 몇 시간 후에 만나게 될까요? (1시간 단위로 반올림하여 답변해 드립니다.)

2) 두 명의 오토바이 운전자가 두 도시에서 서로를 향해 동시에 출발했습니다. 오토바이 운전자 한 명은 이들 도시 간 전체 거리를 6시간 안에 이동할 수 있고, 다른 운전자는 5시간 안에 이동할 수 있습니다. 출발 후 몇 시간 후에 오토바이 운전자들이 모일까요? (1시간 단위로 반올림하여 답변해 드립니다.)

544. 1) 운반 능력이 서로 다른 세 대의 차량은 일부 화물을 개별적으로 운송할 수 있습니다. 첫 번째 차량은 10시간, 두 번째 차량은 12시간이 소요됩니다. 세 번째는 15시간입니다. 두 사람이 함께 일하면서 동일한 화물을 몇 시간 동안 운송할 수 있습니까?

2) 두 대의 열차가 서로를 향해 동시에 두 역을 출발합니다. 첫 번째 열차는 두 역 사이의 거리를 12 1/2시간 안에, 두 번째 열차는 18 3/4시간 안에 이동합니다. 출발 후 몇 시간 후에 기차가 모이나요?

545. 1) 욕조에는 수도꼭지 2개가 연결되어 있습니다. 그 중 하나를 사용하면 욕조를 12분 안에 채울 수 있고, 다른 하나를 사용하면 1 1/2배 더 빠르게 욕조를 채울 수 있습니다. 두 개의 수도꼭지를 동시에 열면 욕조 전체의 5/6을 채우는 데 몇 분이 걸립니까?

2) 두 명의 타이피스트가 원고를 다시 타자해야 합니다. 첫 번째 운전자는 이 작업을 3 1/3일 안에 완료할 수 있고, 두 번째 운전자는 1 1/2배 더 빨리 완료할 수 있습니다. 두 명의 타이피스트가 동시에 작업한다면 작업을 완료하는 데 며칠이 걸릴까요?

546. 1) 첫 번째 파이프는 5시간 만에 수영장을 채우고, 두 번째 파이프를 통과하면 6시간 만에 비울 수 있는데, 두 파이프를 동시에 열면 몇 시간 뒤에 수영장 전체가 채워지나요?

메모. 한 시간 안에 수영장은 용량의 1/5 - 1/6까지 채워집니다.

2) 두 대의 트랙터가 6시간 만에 밭을 갈았습니다. 혼자 일하는 첫 번째 트랙터는 15시간 안에 이 밭을 갈 수 있는데, 혼자 일하는 두 번째 트랙터는 이 밭을 가는 데 몇 시간이 걸릴까요?

547 *. 두 대의 열차가 서로를 향해 동시에 두 역을 떠나 18시간 후에 만납니다. 그의 석방 후. 첫 번째 열차가 1일 21시간 안에 이 거리를 운행한다면 두 번째 열차가 역 사이의 거리를 운행하는 데 얼마나 걸리나요?

548 *. 수영장은 두 개의 파이프로 채워져 있습니다. 먼저 첫 번째 파이프를 열었고, 3시간 30분 후에 수영장의 절반이 채워졌을 때 두 번째 파이프를 열었습니다. 2시간 30분 동안 함께 일한 후에 수영장은 가득 찼습니다. 두 번째 파이프를 통해 시간당 200개의 물통을 부을 경우 수영장의 용량을 결정합니다.

549. 1) 택배 열차는 레닌그라드에서 모스크바로 출발하여 3/4분 만에 1km를 이동합니다. 이 열차가 모스크바를 떠난 지 1시간 30분 후에 고속열차가 모스크바를 떠나 레닌그라드로 향했는데, 그 속도는 급행열차 속도의 3/4에 달했습니다. 모스크바와 레닌그라드 사이의 거리가 650km라면 택배 열차가 출발한 후 2시간 30분 후에 열차는 서로 얼마나 떨어져 있습니까?

2) 집단농장에서 시내까지 24km. 트럭이 집단농장을 떠나 2분 30초 만에 1km를 이동합니다. 15분 후. 이 차가 도시를 떠난 후 자전거 타는 사람이 트럭 속도의 절반 속도로 집단 농장으로 운전했습니다. 자전거 운전자는 떠난 후 얼마 후에 트럭을 만나나요?

550. 1) 한 마을에서 보행자가 나왔습니다. 보행자가 떠난 지 4시간 30분 후에 같은 방향으로 보행자 속도의 2 1/2배인 자전거 운전자가 탔습니다. 보행자가 떠난 지 몇 시간 후에 자전거 운전자가 그를 따라잡을 것인가?

2) 고속열차는 3시간에 187 1/2km를 이동하고, 화물열차는 6시간에 288km를 이동합니다. 화물 열차가 출발한 지 7 1/4시간 후에 구급차가 같은 방향으로 출발합니다. 고속열차가 화물열차를 따라잡으려면 얼마나 걸릴까요?

551. 1) 지역중심으로 가는 길목에 있는 두 개의 집단농장에서 두 명의 집단농민이 동시에 말을 타고 지역으로 나갔다. 첫 번째는 시속 8 3/4km를 이동했고 두 번째는 첫 번째보다 1 1/7배 더 많이 이동했습니다. 두 번째 집단 농부는 3 4/5시간 후에 첫 번째 집단 농부를 따라잡았습니다. 집단 농장 사이의 거리를 결정하십시오.

2) 평균 속도가 시속 60km인 모스크바-블라디보스토크 열차가 출발한 지 26시간 30분 후, TU-104 비행기가 같은 방향으로 속도의 14 1/6배 속도로 이륙했습니다. 기차의. 출발 후 몇 시간 후에 비행기가 기차를 따라잡나요?

552. 1) 강을 따라 도시 간 거리는 264km입니다. 증기선은 18시간 만에 이 거리를 하류로 이동했으며 이 시간의 1/12을 정지하는 데 소비했습니다. 강의 속도는 시속 1 1/2km입니다. 증기선이 잔잔한 물 속에서 멈추지 않고 87km를 여행하려면 얼마나 걸릴까요?

2) 모터 보트는 13시간 30분 만에 강을 따라 207km를 이동했으며, 이 시간의 1/9을 정차하는 데 소비했습니다. 강의 속도는 시속 1 3/4km입니다. 이 보트는 2시간 30분 동안 잔잔한 물 속에서 몇 킬로미터를 이동할 수 있습니까?

553. 보트는 3시간 15분 동안 멈추지 않고 저수지를 가로질러 52km의 거리를 이동했습니다. 또한, 시속 1 3/4km의 속도로 강을 따라 이동하면서 이 보트는 2 1/4시간 만에 28 1/2km를 이동하여 동일한 시간 동안 3번 정차했습니다. 보트는 각 정류장에서 몇 분 동안 기다렸습니까?

554. 레닌그라드에서 크론슈타트까지 12시. 증기선은 오후에 출발하여 1시간 30분 만에 이 도시들 사이의 전체 거리를 이동했습니다. 도중에 그는 오후 12시 18분에 크론슈타트를 떠나 레닌그라드로 향하는 또 다른 배를 만났습니다. 첫 번째 속도의 1 1/4배로 걷는다. 두 배는 언제 만났습니까?

555. 열차는 14시간 동안 630km의 거리를 주행해야 했습니다. 이 거리의 2/3를 이동한 후 그는 1시간 10분 동안 구금되었습니다. 지체 없이 목적지에 도달하려면 어떤 속도로 여행을 계속해야 합니까?

556. 오전 4시 20분 아침에 화물 열차는 평균 속도 시속 31 1/5km로 키예프에서 오데사로 향했습니다. 얼마 후, 그를 만나기 위해 오데사에서 우편 열차가 나왔고, 그 속도는 화물 열차의 속도보다 1 17/39배 더 빨랐고, 출발 후 6 1/2시간 만에 화물 열차를 만났습니다. 키예프와 오데사 사이의 거리가 663km라면 우편 열차는 언제 오데사를 떠났습니까?

557*. 시계는 정오를 가리킨다. 시침과 분침이 일치하는 데 얼마나 걸리나요?

558. 1) 공장에는 3개의 작업장이 있습니다. 첫 번째 작업장의 근로자 수는 공장 전체 근로자의 9/20이고, 두 번째 작업장의 근로자는 첫 번째 작업장보다 1 1/2배 적으며, 세 번째 작업장의 근로자는 공장 전체 근로자의 300명 적습니다. 두번째. 공장에는 몇 명의 근로자가 있나요?

2) 이 도시에는 3개의 중등학교가 있습니다. 첫 번째 학교의 학생 수는 이 세 학교 전체 학생의 3/10입니다. 두 번째 학교에는 첫 번째 학교보다 학생 수가 1 1/2배 더 많고, 세 번째 학교에는 두 번째 학교보다 학생 수가 420명 적습니다. 세 학교에 학생 수는 몇 명입니까?

559. 1) 두 명의 콤바인 운영자가 같은 지역에서 근무했습니다. 한 결합기가 전체 부지의 9/16을 수확하고 동일한 부지의 두 번째 3/8을 수확한 후 첫 번째 결합기가 두 번째 결합기보다 97 1/2헥타르 더 많이 수확한 것으로 나타났습니다. 평균적으로 32 1/2 5분의 1의 곡물이 각 헥타르에서 타작되었습니다. 각 콤바인 운영자는 몇 센트의 곡물을 타작했습니까?

2) 두 형제가 카메라를 샀습니다. 하나는 카메라 비용의 5/8, 두 번째는 4/7, 첫 번째는 2 루블 상당이었습니다. 코펙 25개 두 번째 것보다 더. 모두가 장치 비용의 절반을 지불했습니다. 다들 돈이 얼마나 남았나요?

560. 1) 승용차가 A 도시에서 B 도시로 이동하며, 두 차량 사이의 거리는 시속 50km의 속도로 215km입니다. 동시에 트럭 한 대가 B 도시를 떠나 A 도시로 향했습니다. 트럭의 시간당 속도가 승용차 속도의 18/25라면 승용차는 트럭을 만나기 전에 몇 킬로미터를 이동했습니까?

2) 도시 A와 B 사이 210km. 승용차 한 대가 A 도시를 떠나 B 도시로 향했습니다. 동시에 트럭 한 대가 B 도시를 떠나 A 도시로 향했습니다. 승용차가 시속 48km의 속도로 주행하고 있고, 시속 트럭의 속도가 승용차 속도의 3/4이라면, 트럭은 승용차를 만나기 전에 몇 킬로미터를 이동하였습니까?

561. 집단 농장에서는 밀과 호밀을 수확했습니다. 호밀보다 밀을 20헥타르 더 많이 심었습니다. 총 호밀 수확량은 전체 밀 수확량의 5/6에 달했으며 밀과 호밀 모두 1ha당 20c의 수확량을 기록했습니다. 집단 농장은 전체 밀과 호밀 수확량의 7/11을 주에 판매하고 나머지 곡물은 필요를 충족시키기 위해 남겨 두었습니다. 주에 판매된 빵을 옮기기 위해 2톤 트럭이 몇 번이나 이동해야 하였습니까?

562. 호밀과 밀가루를 빵집으로 가져 왔습니다. 밀가루의 무게는 호밀가루 무게의 3/5로 하였고, 밀가루보다 호밀가루를 4톤 더 많이 가져왔습니다. 구운 식품이 전체 밀가루의 2/5를 차지한다면 빵집에서는 이 밀가루로 얼마나 많은 밀과 호밀빵을 굽을까요?

563. 3일 만에 노동자 팀은 두 집단농장 사이의 고속도로를 수리하는 전체 작업의 3/4을 완료했습니다. 첫날에는 이 고속도로의 2 2/5km가 수리되었고, 둘째 날에는 첫날보다 1 1/2배 더 많이 수리되었으며, 셋째 날에는 처음 이틀 동안 수리된 양의 5/8이 수리되었습니다. 집단농장 사이의 고속도로 길이를 찾아보세요.

564. 표의 빈 공간을 채우십시오. 여기서 S는 직사각형의 면적이고, ㅏ- 직사각형의 밑면, 시간- 직사각형의 높이(너비).

565. 1) 직사각형 토지의 길이는 120m이고, 토지의 너비는 길이의 2/5입니다. 사이트의 둘레와 면적을 찾으십시오.

2) 직사각형 단면의 폭은 250m이고, 길이는 폭의 1 1/2배이다. 사이트의 둘레와 면적을 찾으십시오.

566. 1) 직사각형의 둘레는 6 1/2인치이고 밑변은 높이보다 1/4인치 더 큽니다. 이 직사각형의 면적을 찾으십시오.

2) 직사각형의 둘레는 18cm이고 높이는 밑면보다 2 1/2cm 작습니다. 직사각형의 면적을 찾으십시오.

567. 그림 30에 표시된 그림을 직사각형으로 나누고 측정을 통해 직사각형의 치수를 구하여 면적을 계산합니다.

568. 1) 석고 시트의 치수가 2m x l 1/2m인 경우 길이가 4 1/2m, 너비가 4m인 방의 천장을 덮는 데 몇 장의 마른 석고가 필요합니까?

2) 길이 4 1/2m, 너비 3 1/2m의 바닥을 깔려면 길이 4 1/2m, 너비 1/4m의 판자가 몇 개 필요합니까?

569. 1) 길이 560m, 너비의 3/4인 직사각형 부지에 콩을 뿌렸습니다. 1헥타르당 1센트를 뿌렸다면 그 땅에 몇 개의 씨앗을 심어야 합니까?

2) 직사각형 밭에서 헥타르당 25퀸탈의 밀 수확량이 수집되었습니다. 밭의 길이가 800m이고 너비가 길이의 3/8이라면 전체 밭에서 수확된 밀의 양은 얼마나 됩니까?

570 . 1) 길이 78 3/4m, 너비 56 4/5m의 직사각형 부지가 건축되어 면적의 4/5가 건물로 채워집니다. 건물 아래의 토지 면적을 결정하십시오.

2) 길이가 9/20km, 너비가 길이의 4/9인 직사각형 토지에 집단 농장은 정원을 배치할 계획입니다. 나무 한 그루당 평균 36㎡의 면적이 필요하다면 이 정원에는 몇 그루의 나무를 심을까요?

571. 1) 실내의 일반적인 일광 조명을 위해서는 모든 창문의 면적이 바닥 면적의 최소 1/5 이상이어야 합니다. 길이가 5 1/2m, 너비가 4m인 방에 빛이 충분한지 확인합니다. 방에 1 1/2m x 2m 크기의 창문이 1개 있습니까?

2) 이전 문제의 조건을 이용하여 교실에 빛이 충분한지 알아보세요.

572. 1) 헛간의 크기는 5 1/2 m x 4 1/2 m x 2 1/2 m입니다. 이 헛간을 높이의 3/4로 채우고 1 cu인 경우 이 헛간에 얼마나 많은 건초(무게 기준)가 들어갈 수 있습니까? . m 건초의 무게는 82kg입니까?

2) 나무더미는 직육면체 모양이며 크기는 2 1/2m x 3 1/2m x 1 1/2m이며 1입방이면 나무더미의 무게는 얼마입니까? m 장작의 무게는 600kg입니까?

573. 1) 직사각형 수족관에는 높이의 3/5까지 물로 채워져 있습니다. 수족관의 길이는 1 1/2m, 너비 4/5m, 높이 3/4m입니다. 수족관에 몇 리터의 물을 붓습니까?

2) 직육면체 모양의 웅덩이는 길이가 6 1/2m, 너비가 4m, 높이가 2m이며 높이의 3/4까지 물로 채워져 있습니다. 수영장에 부은 물의 양을 계산해 보세요.

574. 길이 75m, 너비 45m의 직사각형 땅 주위에 울타리를 건설해야 합니다. 보드의 두께가 2 1/2cm이고 울타리의 높이가 2 1/4m라면 건축에 몇 입방미터의 보드가 들어가야 합니까?

575. 1) 13시 방향의 분침과 시침 사이의 각도는 얼마입니까? 15시에? 17시에? 21시에? 23시 30분?

2) 시침은 2시간 동안 몇 도 회전합니까? 5시? 8시? 30 분.?

3) 원의 절반에 해당하는 호는 몇 도를 포함합니까? 1/4 원? 원의 1/24? 5/24 서클?

576. 1) 각도기를 사용하여 다음을 그립니다. a) 직각; b) 30°의 각도; c) 60°의 각도; d) 150° 각도; e) 55°의 각도.

2) 각도기를 사용하여 도형의 각도를 측정하고 각 도형의 모든 각도의 합을 구합니다(그림 31).

577. 다음과 같이하세요:

578. 1) 반원은 두 개의 호로 나누어지며, 그 중 하나는 다른 것보다 100° 더 큽니다. 각 호의 크기를 찾아보세요.

2) 반원은 두 개의 호로 나뉘는데, 그 중 하나는 다른 것보다 15° 작습니다. 각 호의 크기를 찾아보세요.

3) 반원은 두 개의 호로 나뉘는데, 그 중 하나는 다른 것보다 두 배 더 큽니다. 각 호의 크기를 찾아보세요.

4) 반원은 두 개의 호로 나뉘는데, 그 중 하나는 다른 것보다 5배 더 작습니다. 각 호의 크기를 찾아보세요.

579. 1) "소련의 인구 문해력"(그림 32) 다이어그램은 인구 100명당 글을 읽을 수 있는 사람의 수를 보여줍니다. 다이어그램의 데이터와 그 규모를 기반으로 표시된 각 연도의 읽고 쓰는 남성과 여성의 수를 결정하십시오.

결과를 표에 쓰십시오:

2) "소련의 우주 특사"(그림 33) 다이어그램의 데이터를 사용하여 작업을 생성합니다.

580. 1) 파이 차트 "5학년 학생의 일상"(그림 34)에 따라 표를 작성하고 질문에 답하십시오. 하루 중 어느 부분이 수면에 할당됩니까? 숙제 때문에? 학교에?

2) 당신의 하루 일과에 대한 원형 차트를 만들어 보세요.

이 문서에서는 분수에 대한 연산을 검토합니다. A B 형식의 분수에 대한 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 또는 지수화 규칙이 형성되고 정당화됩니다. 여기서 A와 B는 숫자, 숫자 표현 또는 변수가 있는 표현일 수 있습니다. 결론적으로 자세한 설명이 포함된 솔루션의 예가 고려됩니다.

Yandex.RTB R-A-339285-1

일반 숫자 분수로 작업을 수행하는 규칙

일반 분수에는 자연수나 수치식을 포함하는 분자와 분모가 있습니다. 3 5, 2, 8 4, 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2, 3 - 0, 8, 1 2 2, π 1 - 2 3 + π와 같은 분수를 고려하면, 2 0, 5 ln 3이면 분자와 분모가 숫자뿐만 아니라 다양한 유형의 표현을 가질 수 있음이 분명합니다.

정의 1

일반 분수를 사용한 연산을 수행하는 규칙이 있습니다. 일반 분수에도 적합합니다.

분모가 유사한 분수를 뺄 때 분자만 추가되고 분모는 동일하게 유지됩니다. 즉, a d ± c d = a ± c d, 값 a, c 및 d ≠ 0은 일부 숫자 또는 수치 표현입니다.
분모가 다른 분수를 더하거나 뺄 때는 공통 분모로 줄인 다음 동일한 지수를 가진 결과 분수를 더하거나 빼는 것이 필요합니다. 말 그대로 다음과 같습니다: a b ± c d = a · p ± c · r s, 여기서 값 a, b ≠ 0, c, d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0은 실수입니다. 그리고 b · p = d · r = s 입니다. p = d이고 r = b이면 a b ± c d = a · d ± c · d b · d입니다.
분수를 곱할 때 동작은 분자로 수행되고 그 후에 분모로 a b · c d = a · c b · d를 얻습니다. 여기서 a, b ≠ 0, c, d ≠ 0은 실수로 작동합니다.
분수를 분수로 나눌 때 첫 번째 분수에 두 번째 역수를 곱합니다. 즉, 분자와 분모를 바꿉니다. a b: c d = a b · d c.

규칙의 이론적 근거

정의 2

계산할 때 의존해야 하는 수학적 요점은 다음과 같습니다.

슬래시는 나누기 기호를 의미합니다.
숫자로 나누는 것은 그 역수에 의한 곱셈으로 처리됩니다.
실수를 이용한 연산 속성의 적용;
분수의 기본 속성과 수치 부등식을 적용합니다.

도움을 받아 다음 형식의 변환을 수행할 수 있습니다.

a d ± c d = a · d - 1 ± c · d - 1 = a ± c · d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a · p b · p ± c · r d · r = a · p s ± c · e s = a · p ± c · r s; a b · c d = a · d b · d · b · c b · d = a · d · a · d - 1 · b · c · b · d - 1 = = a · d · b · c · b · d - 1 · b · d - 1 = a · d · b · c b · d · b · d - 1 = = (a · c) · (b · d) - 1 = a · c b · d

예

이전 단락에서는 분수 연산에 대해 설명했습니다. 그 이후에는 분수를 단순화해야 합니다. 이 주제는 분수 변환에 관한 단락에서 자세히 논의되었습니다.

먼저, 같은 분모를 가진 분수의 덧셈과 뺄셈의 예를 살펴보겠습니다.

실시예 1

분수 8 2, 7과 1 2, 7이 주어지면 규칙에 따라 분자를 더하고 분모를 다시 써야 합니다.

해결책

그런 다음 8 + 1 2, 7 형식의 분수를 얻습니다. 덧셈을 수행한 후 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3 형식의 분수를 얻습니다. 따라서 8 2, 7 + 1 2, 7 = 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3입니다.

답변: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

또 다른 해결책이 있습니다. 우선 일반 분수 형식으로 전환한 후 단순화를 수행합니다. 다음과 같습니다.

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

실시예 2

1 - 2 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 에서 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 형식의 분수를 빼겠습니다.

동일한 분모가 주어지므로 동일한 분모를 가진 분수를 계산한다는 의미입니다. 우리는 그것을 얻습니다

1 - 2 3 로그 2 3 로그 2 5 + 1 - 2 3 3 로그 2 3 로그 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 로그 2 3 로그 2 5 + 1

분모가 다른 분수를 계산하는 예가 있습니다. 중요한 점은 공통분모로의 축소이다. 이것이 없으면 더 이상 분수 작업을 수행할 수 없습니다.

이 과정은 공통분모로의 축소를 막연하게 연상시킵니다. 즉, 분모의 최소 공약수를 찾은 후 누락된 요소를 분수에 추가합니다.

더해지는 분수에 공통 인수가 없으면 그 곱은 하나가 될 수 있습니다.

실시예 3

분수 2 3 5 + 1과 1 2를 더하는 예를 살펴보겠습니다.

해결책

이 경우 공통분모는 분모의 곱입니다. 그러면 우리는 2 · 3 5 + 1을 얻습니다. 그런 다음 추가 요소를 설정할 때 첫 번째 분수는 2이고 두 번째 분수는 3 5 + 1입니다. 곱셈 후에 분수는 4 2 · 3 5 + 1 형식으로 줄어듭니다. 1 2의 일반적인 감소는 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1입니다. 결과 분수 표현식을 더하고 다음을 얻습니다.

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

답변: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

일반 분수를 다룰 때 일반적으로 최소 공통 분모에 대해서는 이야기하지 않습니다. 분자의 곱을 분모로 삼는 것은 수익성이 없습니다. 먼저 제품보다 가치가 낮은 숫자가 있는지 확인해야 합니다.

실시예 4

1 6 · 2 1 5와 1 4 · 2 3 5의 곱이 6 · 2 1 5 · 4 · 2 3 5 = 24 · 2 4 5인 경우를 생각해 봅시다. 그런 다음 12 · 2 3 5 를 공통분모로 사용합니다.

일반 분수의 곱셈의 예를 살펴 보겠습니다.

실시예 5

이렇게 하려면 2 + 1 6과 2 · 5 3 · 2 + 1을 곱해야 합니다.

해결책

규칙에 따라 분자의 곱을 분모로 다시 쓰고 써야 합니다. 우리는 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1을 얻습니다. 분수를 곱한 후에는 축소하여 단순화할 수 있습니다. 그러면 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10.

역분수에 의한 나눗셈에서 곱셈으로의 전환 규칙을 사용하여 주어진 분수의 역수인 분수를 얻습니다. 이를 위해 분자와 분모가 바뀌었습니다. 예를 살펴보겠습니다:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

그런 다음 결과 분수를 곱하고 단순화해야 합니다. 필요한 경우 분모의 비합리성을 제거하십시오. 우리는 그것을 얻습니다

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

답변: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

이 단락은 숫자 또는 수치 표현이 분모가 1인 분수로 표현될 수 있을 때 적용 가능하며, 그러한 분수를 사용한 연산은 별도의 단락으로 간주됩니다. 예를 들어, 1 6 · 7 4 - 1 · 3이라는 표현은 3의 근이 다른 3 1 표현으로 대체될 수 있음을 보여줍니다. 그러면 이 항목은 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1 형식의 두 분수를 곱하는 것처럼 보일 것입니다.

변수가 포함된 분수에 대한 연산 수행

첫 번째 기사에서 설명한 규칙은 변수가 포함된 분수 연산에 적용 가능합니다. 분모가 같을 때 뺄셈의 법칙을 생각해 보세요.

A, C 및 D(D는 0이 아님)가 임의의 표현식일 수 있으며 A D ± C D = A ± C D 등식은 허용되는 값 범위와 동일하다는 것을 증명해야 합니다.

ODZ 변수 세트를 가져와야 합니다. 그러면 A, C, D는 해당 값 a 0 , c 0 및 디 0. A D ± C D 형식을 대체하면 a 0 d 0 ± c 0 d 0 형식의 차이가 발생하며, 여기서 덧셈 규칙을 사용하여 a 0 ± c 0 d 0 형식의 공식을 얻습니다. A ± C D라는 표현을 대체하면 a 0 ± c 0 d 0 형식의 동일한 분수를 얻습니다. 여기에서 우리는 ODZ, A ± C D 및 A D ± C D를 만족하는 선택된 값이 동일한 것으로 간주된다는 결론을 내립니다.

변수의 모든 값에 대해 이러한 표현식은 동일합니다. 즉, 동일하게 동일하다고 합니다. 이는 이 표현이 A D ± C D = A ± C D 형식의 증명 가능한 동등성으로 간주된다는 것을 의미합니다.

변수를 사용하여 분수를 더하고 빼는 예

분모가 같으면 분자만 더하거나 빼면 됩니다. 이 분수는 단순화될 수 있습니다. 때로는 동일하게 동일한 분수로 작업해야 하지만 일부 변환을 수행해야 하기 때문에 언뜻 보기에는 눈에 띄지 않습니다. 예를 들어, x 2 3 x 1 3 + 1 및 x 1 3 + 1 2 또는 1 2 sin 2 α 및 sin a cos a. 대부분의 경우 동일한 분모를 보려면 원래 표현식을 단순화해야 합니다.

실시예 6

계산: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

해결책

계산을 하려면 분모가 같은 분수를 빼야 합니다. 그런 다음 x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 를 얻습니다. 그런 다음 대괄호를 확장하고 유사한 용어를 추가할 수 있습니다. 우리는 x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2를 얻습니다.
분모는 동일하므로 남은 것은 분모를 남기고 분자를 더하는 것뿐입니다: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
추가가 완료되었습니다. 분수를 줄일 수 있음을 알 수 있다. 분자는 합의 제곱 공식을 사용하여 접을 수 있으며, 그러면 (l g x + 2) 2를 얻습니다. 약식 곱셈 공식에서. 그러면 우리는 그것을 얻습니다
l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
분모가 다른 x - 1 x - 1 + x x + 1 형태의 분수가 주어집니다. 변환 후에는 추가로 넘어갈 수 있습니다.

두 가지 해결책을 고려해 보겠습니다.

첫 번째 방법은 첫 번째 분수의 분모를 제곱을 사용하여 인수분해한 후 이를 축소하는 것입니다. 우리는 형식의 일부를 얻습니다.

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

따라서 x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 입니다.

이 경우 분모의 불합리성을 제거할 필요가 있다.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

두 번째 방법은 두 번째 분수의 분자와 분모에 x - 1이라는 표현식을 곱하는 것입니다. 따라서 우리는 비합리성을 제거하고 동일한 분모를 가진 분수를 추가하는 것으로 넘어갑니다. 그 다음에

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x · x - x x - 1

답변: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x · x - x x - 1 .

마지막 예에서 우리는 공통 분모로의 축소가 불가피하다는 것을 발견했습니다. 이렇게 하려면 분수를 단순화해야 합니다. 더하거나 뺄 때 항상 공통분모를 찾아야 합니다. 이는 분자에 요소를 더한 분모의 곱과 같습니다.

실시예 7

분수의 값을 계산합니다: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) (2 x - 4) , 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

해결책

분모에는 복잡한 계산이 필요하지 않으므로 3 x 7 + 2 · 2 형식의 곱을 선택한 다음 추가 요소로 첫 번째 분수에 x 7 + 2 · 2를 선택하고 두 번째 분수에 3을 선택해야 합니다. 곱하면 x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 형식의 분수를 얻습니다. x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
분모가 곱의 형태로 제시되어 있음을 알 수 있는데, 이는 추가적인 변형이 불필요함을 의미한다. 공통 분모는 x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 형식의 곱으로 간주됩니다. 따라서 x 4 는 첫 번째 분수에 대한 추가 요소이고 ln(x + 1) 두 번째로. 그런 다음 빼서 다음을 얻습니다.
x + 1 x · ln 2 (x + 1) · 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x + 1 · x 4 x 5 · ln 2 (x + 1 ) · 2 x - 4 - 죄 x · ln x + 1 x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 x - 4) = = x + 1 · x 4 - 죄 x · ln (x + 1 ) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 x - 4) = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2x - 4 )
이 예는 분수 분모를 사용할 때 적합합니다. 제곱의 차이와 합의 제곱에 대한 공식을 적용해야 합니다. 이를 통해 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x) 2. 분수가 공통분모로 축소되는 것을 볼 수 있습니다. 우리는 cos x - x · cos x + x 2 를 얻습니다.

그러면 우리는 그것을 얻습니다

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x 2

답변:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4) , 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 · cos x · x + x = 2 · cos x cos x - x · cos x + x 2 .

분수에 변수를 곱하는 예

분수를 곱할 때는 분자에 분자를 곱하고 분모에 분모를 곱합니다. 그런 다음 감소 속성을 적용할 수 있습니다.

실시예 8

분수 x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1과 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin 2 · x - x를 곱합니다.

해결책

곱셈을 해야 합니다. 우리는 그것을 얻습니다

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 사인(2 x - x)

계산의 편의를 위해 숫자 3을 첫 번째 자리로 옮기고 분수를 x 2만큼 줄이면 다음과 같은 형식의 표현을 얻습니다.

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 사인 (2 x - x)

답변: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · 죄 (2 · x - x) .

분할

분수의 나눗셈은 첫 번째 분수에 두 번째 역수를 곱하므로 곱셈과 유사합니다. 예를 들어 분수 x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1을 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x로 나누면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1: 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x) , 그런 다음 x + 2 · x x 형식의 곱으로 바꿉니다. 2 · ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x)

지수화

지수 연산을 사용하는 일반 분수 연산을 고려해 보겠습니다. 자연 지수를 갖는 거듭제곱이 있는 경우 해당 동작은 동일한 분수의 곱셈으로 간주됩니다. 그러나 학위의 속성에 기초한 일반적인 접근 방식을 사용하는 것이 좋습니다. C가 0과 동일하지 않은 모든 표현식 A 및 C와 A C r 형식의 표현식에 대한 ODZ의 실수 r은 A C r = A r C r이 유효합니다. 결과는 분수의 거듭제곱입니다. 예를 들어 다음을 고려하십시오.

x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2, 5 = = x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 2, 5 x + 1 2, 5

분수 연산을 수행하는 절차

분수에 대한 연산은 특정 규칙에 따라 수행됩니다. 실제로 우리는 표현식에 여러 분수 또는 분수 표현식이 포함될 수 있음을 알 수 있습니다. 그런 다음 모든 작업을 엄격한 순서로 수행해야 합니다. 거듭제곱하고, 곱하고, 나누고, 더하고 빼는 것입니다. 괄호가 있으면 그 안에서 첫 번째 작업이 수행됩니다.

실시예 9

1 - x cos x - 1 cos x · 1 + 1 x 를 계산합니다.

해결책

분모가 같으므로 1 - x cos x 및 1 co s x이지만 규칙에 따라 뺄셈을 수행할 수 없으며 먼저 괄호 안의 동작을 수행한 다음 곱셈, 덧셈을 수행합니다. 그러면 계산할 때 우리는 그것을 얻습니다.

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

식을 원래 식에 대입하면 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x가 됩니다. 분수를 곱하면 다음과 같습니다: 1 cos x · x + 1 x = x + 1 cos x · x. 모든 대체를 수행하면 1 - x cos x - x + 1 cos x · x를 얻습니다. 이제 분모가 다른 분수를 다루어야 합니다. 우리는 다음을 얻습니다:

x · 1 - x cos x · x - x + 1 cos x · x = x · 1 - x - 1 + x cos x · x = = x - x - x - 1 cos x · x = - x + 1 cos x x

답변: 1 - x cos x - 1 cos x · 1 + 1 x = - x + 1 cos x · x .

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