График функции. Возрастание и убывание функции; периодичность, четность, нечетность
Функция y=f(x)
убывает на интервале X
, если для любых и 
выполняется неравенство 
. Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
| 17) Функция у = х n , где n - натуральное число, называется степенной функцией с натуральным показателем. При n = 1 получаем функцию у = х. При n = 2 получаем функцию у = х 2 . Заметим, что для натуральных n степенная функция определена на всей числовой оси. Для произвольных вещественных n это невозможно, поэтому степенная функция с вещественным показателем определена только для положительных x . Функция у = х 2 . Перечислим свойства функции у = х 2 . 1) Область определения функции - вся числовая прямая. 2) у = х 2 - четная функция (f (- х) = (- х) 2 = х 2 = f (x)). 3) На промежутке функция убывает (если x 1 < x 2 ≤ 0, то х 1 2 > х 2 2 , а это и означает убывание функции). Графиком функции у = х 2 является парабола (см. рис). |
 |
| ри n = 3 получаем функцию у = х 3 . Функция у = х 3 . Перечислим свойства функции у = х 3 . 1) Область определения функции - вся числовая прямая. 2) у = х 3 - нечетная функция (f (- х) = (- х) 3 = - х 3 = - f (x)) 3) Функция у = х 3 возрастает на всей числовой прямой. График функции у = х 3 изображен на рисунке. Он называется кубической параболой. |
17)Показательная функция, ее свойства и график
· Функцию вида y=a x , где а>0, a≠1, х – любое число, называют показательной функцией.
· Область определения показательной функции: D (y)=R –множество всех действительных чисел.
· Область значений показательной функции: E (y)=R + - множество всех положительных чисел.
· Показательная функция y=a x возрастает при a>1.
· Показательная функция y=a x убывает при 0  |
18)Функцию вида y = log a (x), где a любое положительное число не равное единице, называют логарифмической функцией с основанием а . Здесь и далее для обозначения логарифма мы будем использовать следующую нотацию: log a (b) - данная запись будет обозначать логарифм b по основанию а.
Основные свойства логарифмической функции:
1. Областью определения логарифмической функции будет являться все множество положительных вещественных чисел. Для краткости его еще обозначают R+ . Очевидное свойство, так как каждое положительное число имеет логарифм по основанию а.
2. Областью значения логарифмической функции будет являться все множество вещественных чисел.
3. Если основание логарифмической функции a>1, то на всей области определения функции возрастает. Если для основания логарифмической функции выполняется следующее неравенство 0 4. График логарифмической функции всегда проходит через точку (1;0). 5. Возрастающая логарифмическая функция, будет положительной при x>1, и отрицательной при 0<х<1. На следующем рисунке представлен график убывающей логарифмической функции - (0 7. Функция не является четной или нечетной. Логарифмическая функция – функция общего вид. 8. Функция не имеет точек максимума и минимума. Функция синус
Функция косинус
Функция тангенс
Множество значений функции
- вся числовая прямая, т.е. тангенс - функция неограниченная
. Функция нечетная:
tg(−x)=−tg x Функция периодическая
с наименьшим положительным периодом π
, т.е. tg(x+π·
k
) = tg x, k
∈ Z
для всех х из области определения. Функция котангенс
Множество значений функции
- вся числовая прямая, т.е. котангенс - функция неограниченная
. Функция нечетная:
ctg(−x)=−ctg x для всех х из области определения. Функция периодическая
с наименьшим положительным периодом π
, т.е. ctg(x+π·
k
)=ctg x, k
∈ Z
для всех х из области определения. 21)) Совокупность чисел, каждое из которых снабжено своим номером п
(п
= 1, 2, 3, ...), называется числовой последовательностью. Отдельные числа последовательности называются ее членами и обозначаются обычно так: первый член a
1 , второй a
2 , .... п
-й член a
n
и т. д. Вся числовая последовательность обозначается a
1 , a
2 , a
3 , ... , a
n
, ... или {a
n
}. 22)Арифметическая прогрессия.
Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом d
,называется арифметической прогрессией
. Число d
называется разностью прогрессии
. Любой член арифметической прогрессии вычисляется по формуле: a n = a
1 + d (n –
1) .
Сумма n первых членов арифметической прогрессии
вычисляется как: Геометрическая прогрессия.
Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число q
, называется геометрической
прогрессией
. Число q
называется знаменателем прогрессии
. Любой член геометрической прогрессии вычисляется по формуле: b n = b
1 q n -
1 .
Сумма n первых членов геометрической прогрессии
вычисляется как: Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называется бесконечная геометрическая прогрессия, знаменатель которой удовлетворяет условию . При неограниченном возрастании сумма ) Производная функции f(x), f′(x) , сама является функцией. Значит, можно найти eё производную.Назовём f′(x) производной функции f(x)первого порядка.Производная от производной функции f(x) называется производной второго порядка (или второй производной). Геометрический смысл производной.
Производная в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y
= f
(x
) в этой точке. Уравнение касательной к графику функции: y = f(a) + f "(a)(x – a) y = f(a) + f "(a)(x – a) Физический смысл производной.
Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки: 24)) Производная суммы (разности) функций
Производная алгебраической суммы функций выражается следующей теоремой. Производная суммы (разности)
двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций: Производная конечной алгебраической суммы дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных слагаемых. Например, Монотонность
Очень важным свойством функции является ее монотонность. Зная это свойство различных специальных функций, можно определить поведение различных физических, экономических, социальных и многих других процессов. Выделяют следующие виды монотонности функций:
1) функция
возрастает
, если на некотором интервале, если для любых двух точек и этого интервала таких, что выполнено, что . Т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции; 2) функция
убывает
, если на некотором интервале, если для любых двух точек и этого интервала таких, что выполнено, что . Т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции; 3) функция
неубывает
, если на некотором интервале, если для любых двух точек и этого интервала таких, что выполнено, что ; 4) функция
невозрастает
, если на некотором интервале, если для любых двух точек и этого интервала таких, что выполнено, что . 2. Для первых двух случаев еще применяют термин «строгая монотонность». 3. Два последних случая являются специфическими и задаются обычно в виде композиции из нескольких функций. 4. Отдельно отметим, что рассматривать возрастание и убывание графика функции следует именно слева-направо и никак иначе. 2. Четность/нечетность.
Функция называется нечетной
, если при изменении знака аргумента, она меняет свое значение на противоположное. Формульная запись этого выглядит так Примерами нечетных функций являются и др. Например, график действительно обладает симметричностью относительно начала координат: Функция называется четной
, если при изменении знака аргумента, она не меняет свое значение. Формульная запись этого выглядит так . Это значит, что после подстановки в функцию на место всех иксов значений «минус икс», функция в результате не изменится. График такой функции симметричен относительно оси . Примерами четных функций являются и др. К примеру, покажем симметричность графика относительно оси : Если функция не относится ни к одному из указанных видов, то ее называют ни четной ни нечетной или функцией общего вида
. У таких функций нет симметрии. Такой функцией, например, является недавно рассмотренная нами линейная функция с графиком: 3. Особым свойством функций является периодичность.
Дело в том, что периодичными функциями, которые рассматриваются в стандартной школьной программе, являются только тригонометрические функции. Мы уже подробно о них говорили при изучении соответствующей темы. Периодичная функция
– это функция, которая не меняет свои значения при добавлении к аргументу определенного постоянного ненулевого числа. Такое минимальное число называют периодом функции
и обозначают буквой . Формульная запись этого выглядит следующим образом: Посмотрим на это свойство на примере графика синуса: Вспомним, что периодом функций и является , а периодом и – . Как мы уже знаем, для тригонометрических функций со сложным аргументом может быть нестандартный период. Речь идет о функциях вида: У них период равен . И о функциях: У них период равен . Как видим, для вычисления нового периода стандартный период просто делится на множитель при аргументе. От остальных видоизменений функции он не зависит. Ограниченность.
Функцию
y=f(x)называют ограниченной снизу на множестве Х⊂D(f), если существует такое число а, что для любых хϵХ выполняется неравенство f(x) < a.
Функцию
y=f(x)называют ограниченной сверху на множестве Х⊂D(f), если существует такое число а, что для любых хϵХ выполняется неравенство f(x) < a.
Если промежуток Х не указывается, то считают, что функция ограничена на всей области определения. Функция ограниченная и сверху, и снизу называется ограниченной.
Ограниченность функции легко читается по графику. Можно провести некоторую прямую у=а, и если функция выше этой прямой, то ограниченность снизу. Если ниже, то соответственно сверху. Ниже представлен график ограниченной снизу функции. График ограниченной функции, ребята, попробуйте нарисовать сами. Тема: Свойства функций: промежутки возрастания и убывания; наибольшее и наименьшее значения; точки экстремума (локального максимума и минимума), выпуклость функции.
Промежутки возрастания и убывания.
На основании достаточных условий (признаков) возрастания и убывания функции находятся промежутки возрастания и убывания функции. Вот формулировки признаков возрастания и убывания функции на интервале:
· если производная функции y=f(x)
положительна для любого x
из интервала X
, то функция возрастает на X
; · если производная функции y=f(x)
отрицательна для любого x
из интервала X
, то функция убывает на X
. Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:
· найти область определения функции; · найти производную функции; · решить неравенства и на области определения; Определение
возрастающей функции.
Функция y=f(x)
возрастает
на интервале X
,
если для любых и Определение
убывающей функции.
Функция y=f(x)
убывает
на интервале X
,
если для любых и ЗАМЕЧАНИЕ:
если функция определена и непрерывна
в концах интервала возрастания или
убывания (a;b)
,
то есть при x=a
и x=b
,
то эти точки включаются в промежуток
возрастания или убывания. Это не
противоречит определениям возрастающей
и убывающей функции на промежутке X
. К
примеру, из свойств основных элементарных
функций мы знаем, что y=sinx
определена
и непрерывна для всех действительных
значений аргумента. Поэтому, из возрастания
функции синуса на интервале мы
можем утверждать о возрастании на
отрезке . Точку называют точкой
максимума
функции y=f(x)
,
если для всех x
из
ее окрестности справедливо неравенство .
Значение функции в точке максимума
называютмаксимумом
функции
и
обозначают . Точку называют точкой
минимума
функции y=f(x)
,
если для всех x
из
ее окрестности справедливо неравенство .
Значение функции в точке минимума
называютминимумом
функции
и
обозначают . Под
окрестностью точки понимают
интервал Точки
минимума и максимума называют точками
экстремума
,
а значения функции, соответствующие
точкам экстремума, называют экстремумами
функции
. Не
путайте экстремумы функции с наибольшим
и наименьшим значением функции. На
первом рисунке наибольшее значение
функции на отрезке
достигается
в точке максимума и равно максимуму
функции, а на втором рисунке – наибольшее
значение функции достигается в точке x=b
,
которая не является точкой максимума. На
основании достаточных условий (признаков)
возрастания и убывания функции находятся
промежутки возрастания и убывания
функции. Вот
формулировки признаков возрастания и
убывания функции на интервале: если
производная функции y=f(x)
положительна
для любого x
из
интервала X
,
то функция возрастает на X
; если
производная функции y=f(x)
отрицательна
для любого x
из
интервала X
,
то функция убывает на X
. Таким
образом, чтобы определить промежутки
возрастания и убывания функции необходимо: Рассмотрим
пример нахождения промежутков возрастания
и убывания функции для разъяснения
алгоритма. Пример.
Найти
промежутки возрастания и убывания
функции . Решение.
Первым
шагом является нахождение
обрасти определения функции. В нашем
примере выражение в знаменателе не
должно обращаться в ноль, следовательно, . Переходим
к нахождению производной функции:
Для
определения промежутков возрастания
и убывания функции по достаточному
признаку решаем неравенства и на
области определения. Воспользуемся
обобщением метода интервалов. Единственным
действительным корнем числителя
является x
= 2
,
а знаменатель обращается в ноль при x=0
.
Эти точки разбивают область определения
на интервалы, в которых производная
функции сохраняет знак. Отметим эти
точки на числовой прямой. Плюсами и
минусами условно обозначим интервалы,
на которых производная положительна
или отрицательна. Стрелочки снизу
схематично показывают возрастание или
убывание функции на соответствующем
интервале.
Пусть на некоторой плоскости задана прямоугольная система координат. Графиком некоторой функции , (X- область определения) называется множество точек этой плоскости с координатами, где . Для построения графика нужно изобразить на плоскости множество точек, координаты которых (x;y) связаны соотношением . Чаще всего графиком функции является некоторая кривая. Самый простой способ построения графика - построение по точкам. Составляется таблица, в которой в одной ячейке стоит значение аргумента, а в противоположной ей значение функции от этого аргумента. Затем полученные точки отмечаются на плоскости, и через них проводится кривая. Пример построения по точкам графика функции : Построим таблицу. Теперь строим график. Но таким способом не всегда возможно построить достаточно точный график - для точности нужно брать очень много точек. Поэтому используют различные методы исследования функции. С полной схемой исследования функции знакомятся в высших учебных заведениях. Одним из пунктов исследования функции является нахождение промежутков возрастания (убывания) функции. Функция называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке, если , для любых x 2 и x 1 из этого промежутка, таких, что x 2 >x 1 . Например, функция, график которой изображен на следующем рисунке, на промежутках Еще одним из пунктов исследования функции является исследование функции на периодичность. Функция называется периодичной, если существует такое число T, что Число T называют периодом функции. Например, функция периодична, здесь период равен 2П, так Примеры графиков периодичных функций: Период первой функции равен 3, а второй – 4. Функция называется четной, если Пример четной функции y=x 2 . Функция называется нечетной, если Пример нечетной функции y=x 3 . График четной функции симметричен относительно оси ОУ (осевая симметрия). График нечетной функции симметричен относительно начала координат (центральная симметрия). Примеры графиков четной (слева) и нечетной (справа) функции. Возрастание и убывание функции
функция y
= f
(x
) называется возрастающей на отрезке [a
, b
], если для любой пары точек х
и х"
, а ≤ х выполняется неравенство f
(x
) ≤
f
(x"
), и строго возрастающей - если выполняется неравенство f
(x
) f
(x"
). Аналогично определяется убывание и строгое убывание функции. Например, функция у
= х
2 (рис.
, а) строго возрастает на отрезке , а (рис.
, б) строго убывает на этом отрезке. Возрастающие функции обозначаются f
(x
), а убывающие f
(x
)↓.
Для того чтобы дифференцируемая функция f
(x
) была возрастающей на отрезке [а
, b
], необходимо и достаточно, чтобы её производная f
"(x
) была неотрицательной на [а
, b
]. Наряду с возрастанием и убыванием функции на отрезке рассматривают возрастание и убывание функции в точке. Функция у
= f
(x
) называется возрастающей в точке x
0 , если найдётся такой интервал (α, β), содержащий точку x
0 , что для любой точки х
из (α, β), х>
x
0 , выполняется неравенство f
(x
0) ≤
f
(x
), и для любой точки х
из (α, β), х 0 , выполняется неравенство f
(x
) ≤ f
(x
0). Аналогично определяется строгое возрастание функции в точке x
0 . Если f
"(x
0) >
0, то функция f
(x
) строго возрастает в точке x
0 . Если f
(x
) возрастает в каждой точке интервала (a
, b
), то она возрастает на этом интервале.
С. Б. Стечкин.
Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия
.
1969-1978
.
Понятия математического анализа. Функция f(x) называется возрастающей на отрезке ВОЗРАСТНАЯ СТРУКТУРА НАСЕЛЕНИЯ соотношение численности разных возрастных групп населения. Зависит от уровней рождаемости и смертности, продолжительности жизни людей … Большой Энциклопедический словарь
Понятия математического анализа. Функция f(х) называется возрастающей на отрезке , если для любой пары точек x1 и x2, a≤x1 … Энциклопедический словарь
Понятия матем. анализа. Ф ция f(x) наз. возрастающей на отрезке [а, b], если для любой пары точек х1 и x2, а<или=х1 <х<или=b, выполняется неравенство f(x1) Раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применения к исследованию функций. Оформление Д. и. в самостоятельную математическую дисциплину связано с именами И. Ньютона и Г. Лейбница (вторая половина 17 … Большая советская энциклопедия
Раздел математики, в к ром изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций. Развитие Д. и. тесно связано с развитием интегрального исчисления. Неразрывно и их содержание. Вместе они составляют основу… … Математическая энциклопедия
У этого термина существуют и другие значения, см. функция. Запрос «Отображение» перенаправляется сюда; см. также другие значения … Википедия
Аристотель и перипатетики
- Аристотелевский вопрос Жизнь Аристотеля Аристотель родился в 384/383 гг. до н. э. в Стагире, на границе с Македонией. Его отец по имени Никомах был врачом на службе у македонского царя Аминта, отца Филиппа. Вместе с семьей молодой Аристотель… … Западная философия от истоков до наших дней
- (КХД), квантовополевая теория сильного вз ствия кварков и глюонов, построенная по образу квант. электродинамики (КЭД) на основе «цветовой» калибровочной симметрии. В отличие от КЭД, фермионы в КХД имеют дополнит. степень свободы квант. число,… … Физическая энциклопедия
I Сердце Сердце (лат. соr, греч. cardia) полый фиброзно мышечный орган, который, функционируя как насос, обеспечивает движение крови а системе кровообращения. Анатомия Сердце находится в переднем средостении (Средостение) в Перикарде между… … Медицинская энциклопедия
Жизнь растения, как и всякого другого живого организма, представляет сложную совокупность взаимосвязанных процессов; наиболее существенный из них, как известно, обмен веществ с окружающей средой. Среда является тем источником, откуда… … Биологическая энциклопедия
6. Убывающая логарифмическая функция, будет отрицательной при х>1, и положительной при 0
Область определения функции- множество Rвсех действительных чисел.
Множество значений функции - отрезок [-1; 1], т.е. синус функция - ограниченная.
Функция нечетная: sin(−x)=−sin x для всех х ∈ R. График функции симметричен относительно начала координат.
Функция периодическая 2π
:
sin(x+2π·
k) = sin x, где k ∈ Z для всех х ∈ R.
sin x = 0 при x = π·k
, k ∈ Z.
sin x > 0 (положительная) для всех x ∈ (2π·k
, π+2π·k
), k ∈ Z.
sin x < 0 (отрицательная) для всех x ∈ (π+2π·k
, 2π+2π·k
), k ∈ Z.
Область определения функции- множество Rвсех действительных чисел.
Множество значений функции - отрезок [-1; 1], т.е. косинус функция - ограниченная.
Функция четная: cos(−x)=cos x для всех х ∈ R.
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π
:
cos(x+2π·
k
) = cos x, где k
∈ Z для всех х ∈ R.
cos x = 0при
cos x > 0 для всех
cos x < 0для всех
Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках:
Функция убывает от −1 до 1 на промежутках:
Наибольшее значение функции sin x = 1в точках:
Наименьшее значение функции sin x = −1в точках:
График функции симметричен относительно оси OY.
График функции симметричен относительно оси OY. 20)Общий вид функции
Преобразования
y
= f
(x
- b
)
Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс на | b | единиц
y
= f
(x
+ b
)
y
= f
(x
) + m
Параллельный перенос графика вдоль оси ординат на | m | единиц
Отражение графика
y
= f
(- x
)
ординат.
y
= - f
(x
)
Симметричное отражение графика относительно оси абсцисс.
Сжатие и растяжение графика
y
= f
(kx
)
y
= kf
(x
)
Преобразования графика с модулем
y
= | f
(x
) |
y
= f
(| x
|)
первых членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии стремится к числу , которое называетсясуммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии
.
. Это значит, что после подстановки в функцию на место всех иксов значений «минус икс», функция изменит свой знак. График такой функции симметричен относительно начала координат.
.
выполняется
неравенство .
Другими словами – большему значению
аргумента соответствует большее значение
функции.
выполняется
неравенство 
.
Другими словами – большему значению
аргумента соответствует меньшее значение
функции.
Точки экстремума, экстремумы функции.
,
где -
достаточно малое положительное число.
Достаточные условия возрастания и убывания функции.
возрастает, а на промежутке (-5;3) убывает. То есть, на промежутках график идет «в гору». А на промежутке (-5;3) «под гору».
.
Смотреть что такое "Возрастание и убывание функции" в других словарях:
