Функции cos sin. Основные формулы тригонометрии
Решение простейших тригонометрических уравнений.
Решение тригонометрических уравнений любого уровня сложности в конечном итоге сводится к решению простейших тригонометрических уравнений. И в этом наилучшим помощником снова оказывается тригонометрический круг.
Вспомним определения косинуса и синуса.
Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствующей повороту на данный угол .
Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствующей повороту на данный угол .
Положительным направлением движения по тригонометрическому кругу считается движение против часовой стрелки. Повороту на 0 градусов (или 0 радиан) соответствует точка с координатами (1;0)
Используем эти определения для решения простейших тригонометрических уравнений.
1. Решим уравнение
Этому уравнению удовлетворяют все такие значения угла поворота , которые соответствуют точкам окружности, ордината которых равна .
Отметим на оси ординат точку с ординатой :
Проведем горизонтальную линию параллельно оси абсцисс до пересечения с окружностью. Мы получим две точки, лежащие на окружности и имеющие ординату . Эти точки соответствуют углам поворота на и радиан:
Если мы, выйдя из точки, соответствующей углу поворота на радиан, обойдем полный круг, то мы придем в точку, соответствующую углу поворота на радиан и имеющую ту же ординату. То есть этот угол поворота также удовлетворяет нашему уравнению. Мы можем делать сколько угодно "холостых" оборотов, возвращаясь в ту же точку, и все эти значения углов будут удовлетворять нашему уравнению. Число "холостых" оборотов обозначим буквой (или ). Так как мы можем совершать эти обороты как в положительном, так и в отрицательном направлении, (или ) могут принимать любые целые значения.
То есть первая серия решений исходного уравнения имеет вид:
,
,
- множество целых чисел (1)
Аналогично, вторая серия решений имеет вид:
, где
,
. (2)
Как вы догадались, в основе этой серии решений лежит точка окружности, соответствующая углу поворота на .
Эти две серии решений можно объединить в одну запись:
Если мы в этой записи возьмем (то есть четное ), то мы получим первую серию решений.
Если мы в этой записи возьмем (то есть нечетное ), то мы получим вторую серию решений.
2. Теперь давайте решим уравнение
Так как - это абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом на угол , отметим на оси точку с абсциссой :
Проведем вертикальную линию параллельно оси до пересечения с окружностью. Мы получим две точки, лежащие на окружности и имеющие абсциссу . Эти точки соответствуют углам поворота на и радиан. Вспомним, что при движении по часовой стрелки мы получаем отрицательный угол поворота:
Запишем две серии решений:
,
,
(Мы попадаем в нужную точку, пройдя из основной полный круг, то есть .
Объедим эти две серии в одну запись:
3. Решим уравнение
Линия тангенсов проходит через точку с координатами (1,0) единичной окружности параллельно оси OY
Отметим на ней точку, с ординатой равной 1 (мы ищем, тангенс каких углов равен 1):
Соединим эту точку с началом координат прямой линией и отметим точки пересечения прямой с единичной окружностью. Точки пересечения прямой и окружности соответствуют углам поворота на и :
Так как точки, соответствующие углам поворота, которые удовлетворяют нашему уравнению, лежат на расстоянии радиан друг от друга, то мы можем записать решение таким образом:
4. Решим уравнение
Линия котангенсов проходит через точку с координатами единичной окружности параллельно оси .
Отметим на линии котангенсов точку с абсциссой -1:
Соединим эту точку с началом координат прямой и продолжим ее до пересечения с окружностью. Эта прямая пересечет окружность в точках, соответствующих углам поворота на и радиан:
Поскольку эти точки отстоят друг от друга на расстояние, равное , то общее решение этого уравнения мы можем записать так:
В приведенных примерах, иллюстрирующих решение простейших тригонометрических уравнений были использованы табличные значения тригонометрических функций.
Однако, если в правой части уравнения стоит не табличное значение, то мы в общее решение уравнения подставляем значение :
ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ:
Отметим на окружности точки, ордината которых равна 0:
Отметим на окружности единственную точку, ордината которой равна 1:
Отметим на окружности единственную точку, ордината которой равна -1:
Так как принято указывать значения, наиболее близкие у нулю, решение запишем так:
Отметим на окружности точки, абсцисса которых равна 0:
5.
Отметим на окружности единственную точку, абсцисса которой равна 1:
Отметим на окружности единственную точку, абсцисса которой равна -1:
И чуть более сложные примеры:
1.
Синус равен единице, если аргумент равен
Аргумент у нашего синуса равен , поэтому получим:
Разделим обе части равенства на 3:
Ответ:
2.
Косинус равен нулю, если аргумент косинуса равен
Аргумент у нашего косинуса равен , поэтому получим:
Выразим , для этого сначала перенесем вправо с противоположным знаком:
Упростим правую часть:
Разделим обе части на -2:
Заметим, что перед слагаемым знак не меняется, поскольку k может принимать любые целые значения.
Ответ:
И в заключение посмотрите видеоурок "Отбор корней в тригонометрическом уравнении с помощью тригонометрической окружности"
На этом разговор о решении простейших тригонометрических уравнений мы закончим. Следующий раз мы с вами поговорим о том, как решать .
Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.
Напомним, что прямой угол - это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.
Острый угол - меньший 90 градусов.
Тупой угол - больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» - не оскорбление, а математический термин:-)
Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается . Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .
Угол обозначается соответствующей греческой буквой .
Гипотенуза прямоугольного треугольника - это сторона, лежащая напротив прямого угла.
Катеты - стороны, лежащие напротив острых углов.
Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим .
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение прилежащего катета к гипотенузе:
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение противолежащего катета к прилежащему:
Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):
Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.
Давайте докажем некоторые из них.
Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?
Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .
Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .
Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов - свое соотношение, для сторон - свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?
С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.
Синус, косинус и тангенс - их еще называют тригонометрическими функциями угла - дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.
Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от до .
Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.
Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.
1. В треугольнике угол равен , . Найдите .
Задача решается за четыре секунды.
Поскольку , .
2 . В треугольнике угол равен , , . Найдите .
Найдем по теореме Пифагора.
Задача решена.
Часто в задачах встречаются треугольники с углами и или с углами и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!
Для треугольника с углами и катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы .
Треугольник с углами и - равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.
Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников - то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника . Об этом - в следующей статье.
Таблица значений тригонометрических функций
Примечание
. В данной таблице значений тригонометрических функций используется знак √ для обозначения квадратного корня. Для обозначения дроби - символ "/".
См. также полезные материалы:
Для определения значения тригонометрической функции , найдите его на пересечении строки с указанием тригонометрической функции. Например, синус 30 градусов - ищем колонку с заголовком sin (синус) и находим пересечение этой колонки таблицы со строкой "30 градусов", на их пересечении считываем результат - одна вторая. Аналогично находим косинус 60 градусов, синус 60 градусов (еще раз, в пересечении колонки sin (синус) и строки 60 градусов находим значение sin 60 = √3/2) и т.д. Точно так же находятся значения синусов, косинусов и тангенсов других "популярных" углов.
Синус пи, косинус пи, тангенс пи и других углов в радианах
Приведенная ниже таблица косинусов, синусов и тангенсов также подходит для нахождения значения тригонометрических функций, аргумент которых задан в радианах . Для этого воспользуйтесь второй колонкой значений угла. Благодаря этому можно перевести значение популярных углов из градусов в радианы. Например, найдем угол 60 градусов в первой строке и под ним прочитаем его значение в радианах. 60 градусов равно π/3 радиан.
Число пи однозначно выражает зависимость длины окружности от градусной меры угла. Таким образом, пи радиан равны 180 градусам.
Любое число, выраженное через пи (радиан) можно легко перевести в градусную меру, заменив число пи (π) на 180 .
Примеры
:
1. Синус пи
.
sin π = sin 180 = 0
таким образом, синус пи - это тоже самое, что синус 180 градусов и он равен нулю.
2. Косинус пи
.
cos π = cos 180 = -1
таким образом, косинус пи - это тоже самое, что косинус 180 градусов и он равен минус единице.
3. Тангенс пи
tg π = tg 180 = 0
таким образом, тангенс пи - это тоже самое, что тангенс 180 градусов и он равен нулю.
Таблица значений синуса, косинуса, тангенса для углов 0 - 360 градусов (часто встречающиеся значения)
|
значение угла α (градусов) |
значение угла α (через число пи) |
sin
(синус) |
cos
(косинус) |
tg
(тангенс) |
ctg
(котангенс) |
sec
(секанс) |
cosec
(косеканс) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
| 15 | π/12 | 2 - √3 | 2 + √3 | ||||
| 30 | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 | 2/√3 | 2 |
| 45 | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | √2 | √2 |
| 60 | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 | 2 | 2/√3 |
| 75 | 5π/12 | 2 + √3 | 2 - √3 | ||||
| 90 | π/2 | 1 | 0 | - | 0 | - | 1 |
| 105 | 7π/12 |
- |
- 2 - √3 | √3 - 2 | |||
| 120 | 2π/3 | √3/2 | -1/2 | -√3 | -√3/3 | ||
| 135 | 3π/4 | √2/2 | -√2/2 | -1 | -1 | -√2 | √2 |
| 150 | 5π/6 | 1/2 | -√3/2 | -√3/3 | -√3 | ||
| 180 | π | 0 | -1 | 0 | - | -1 | - |
| 210 | 7π/6 | -1/2 | -√3/2 | √3/3 | √3 | ||
| 240 | 4π/3 | -√3/2 | -1/2 | √3 | √3/3 | ||
| 270 | 3π/2 | -1 | 0 | - | 0 | - | -1 |
| 360 | 2π | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
Если в таблице значений тригонометрических функций вместо значения функции указан прочерк (тангенс (tg) 90 градусов, котангенс (ctg) 180 градусов) значит при данном значении градусной меры угла функция не имеет определенного значения. Если же прочерка нет - клетка пуста, значит мы еще не внесли нужное значение. Мы интересуемся, по каким запросам к нам приходят пользователи и дополняем таблицу новыми значениями, несмотря на то, что текущих данных о значениях косинусов, синусов и тангенсов самых часто встречающихся значений углов вполне достаточно для решения большинства задач.
Таблица значений тригонометрических функций sin, cos, tg для наиболее популярных углов
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 градусов
(цифровые значения "как по таблицам Брадиса")
| значение угла α (градусов) | значение угла α в радианах | sin (синус) | cos (косинус) | tg (тангенс) | ctg (котангенс) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | ||||
| 15 |
0,2588 |
0,9659
|
0,2679 |
||
| 30 |
0,5000 |
0,5774 |
|||
| 45 |
0,7071 |
||||
|
0,7660 |
|||||
| 60 |
0,8660 |
0,5000
|
1,7321 |
||
|
7π/18 |
Если построить единичную окружность с центром в начале координат, и задать произвольное значение аргумента x 0 и отсчитать от оси Ox угол x 0, то этому углу на единичной окружности соответствует некоторая точка A (рис. 1) а ее проекцией на ось Ох будет точка М . Длина отрезка ОМ равна абсолютной величине абсциссы точки A . Данному значению аргумента x 0 сопоставлено значение функции y = cos x 0 как абсциссы точки А . Соответственно точка В (x 0 ; у 0) принадлежит графику функции у = cos х (рис. 2). Если точка А находится правее оси Оу , токосинус будет положителен, если же левее – отрицателен. Но в любом случае точка А не может покинуть окружность. Поэтому косинус лежит в пределах от –1 до 1:
–1 = cos x = 1.
Дополнительный поворот на любой угол, кратный 2p , возвращает точку A на то же место. Поэтому функция у = cos x p :
cos (x + 2p ) = cos x.
Если взять два значения аргумента, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку, x и –x , найти на окружности соответствующие точки A x и А -x . Как видно на рис. 3 их проекцией на ось Ох является одна и та же точка М . Поэтому
cos (–x ) = cos (x ),
т.е. косинус – четная функция, f (–x ) = f (x ).
Значит, можно исследовать свойства функции y = cos х на отрезке , а затем учесть ее четность и периодичность.
При х = 0 точка А лежит на оси Ох , ее абсцисса равна 1, а потому cos 0 = 1. С увеличением х точка А передвигается по окружности вверх и влево, ее проекция, естественно, только влево, и при х = p /2 косинус становится равен 0. Точка A в этот момент поднимается на максимальную высоту, а затем продолжает двигаться влево, но уже снижаясь. Ее абсцисса все убывает, пока не достигнет наименьшего значения, равного –1 при х = p . Таким образом, на отрезке функция у = cos х монотонно убывает от 1 до –1 (рис. 4, 5).
Из четности косинуса следует, что на отрезке [–p , 0] функция монотонно возрастает от –1 до 1, принимая нулевое значение при х = –p /2. Если взять несколько периодов, получится волнообразная кривая (рис. 6).
Итак, функция y = cos x принимает нулевые значения в точках х = p /2 + kp , где k – любое целое число. Максимумы, равные 1, достигаются в точках х = 2kp , т.е. с шагом 2p , а минимумы, равные –1, в точках х = p + 2kp .
Функция y = sin х.
На единичной окружности углу x 0 соответствует точка А (рис. 7), а ее проекцией на ось Оу будет точка N . З начение функции у 0 = sin x 0 определяется как ордината точки А . Точка В (угол x 0 , у 0) принадлежит графику функции y = sin x (рис. 8). Ясно, что функция y = sin x периодическая, ее период равен 2p :
sin (x + 2p ) = sin (x ).
Для двух значений аргумента, х и – , проекции соответствующих им точек А x и А -x на ось Оу расположены симметрично относительно точки О . Поэтому
sin (–x ) = –sin (x ),
т.е. синус – функция нечетная, f(–x ) = –f(x ) (рис. 9).
Если точку A повернуть относительно точки О на угол p /2 против часовой стрелки (другими словами, если угол х увеличить на p /2), то ее ордината в новом положении будет равна абсциссе в старом. А значит,
sin (x + p /2) = cos x.
Иначе, синус – это косинус, «запоздавший» на p /2, поскольку любое значение косинуса «повторится» в синусе, когда аргумент возрастет на p /2. И чтобы построить график синуса, достаточно сдвинуть график косинуса на p /2 вправо (рис. 10). Чрезвычайно важное свойство синуса выражается равенством
Геометрический смысл равенства виден из рис. 11. Здесь х – это половина дуги АВ , а sin х – половина соответствующей хорды. Очевидно, что по мере сближения точек А и В длина хорды все точнее приближается к длине дуги. Из того же рисунка несложно извлечь неравенство
|sin x | x|, верное при любом х .
Формулу (*) математики называют замечательным пределом. Из нее, в частности, следует, что sin х » х при малых х .
Функции у = tg х, у = ctg х . Две другие тригонометрические функции – тангенс и котангенс проще всего определить как отношения уже известных нам синуса и косинуса:
Как синус и косинус, тангенс и котангенс – функции периодические, но их периоды равны p , т.е. они вдвое меньше, чем у синуса и косинуса. Причина этого понятна: если синус и косинус оба поменяют знаки, то их отношение не изменится.
Поскольку в знаменателе тангенса находится косинус, то тангенс не определен в тех точках, где косинус равен 0, – когда х = p /2 + kp . Во всех остальных точках он монотонно возрастает. Прямые х = p /2 + kp для тангенса являются вертикальными асимптотами. В точках kp тангенс и угловой коэффициент составляют 0 и 1 соответственно (рис. 12).
Котангенс не определен там, где синус равен 0 (когда х = kp ). В остальных точках он монотонно убывает, а прямые х = kp – его вертикальные асимптоты. В точках х = p /2 + kp котангенс обращается в 0, а угловой коэффициент в этих точках равен –1 (рис. 13).
Четность и периодичность.
Функция называется четной, если f (–x ) = f (x ). Функции косинус и секанс – четные, а синус, тангенс, котангенс и косеканс – функции нечетные:
| sin (–α) = – sin α | tg (–α) = – tg α |
| cos (–α) = cos α | ctg (–α) = – ctg α |
| sec (–α) = sec α | cosec (–α) = – cosec α |
Свойства четности вытекают из симметричности точек P a и Р - a (рис. 14) относительно оси х . При такой симметрии ордината точки меняет знак ((х ; у ) переходит в (х ; –у)). Все функции – периодические, синус, косинус, секанс и косеканс имеют период 2p , а тангенс и котангенс – p :
| sin (α + 2kπ ) = sin α | cos (α + 2kπ ) = cos α |
| tg (α + kπ ) = tg α | ctg (α + kπ ) = ctg α |
| sec (α + 2kπ ) = sec α | cosec (α + 2kπ ) = cosec α |
Периодичность синуса и косинуса следует из того, что все точки P a + 2 kp , где k = 0, ±1, ±2,…, совпадают, а периодичность тангенса и котангенса – из того, что точки P a + kp поочередно попадают в две диаметрально противоположные точки окружности, дающие одну и ту же точку на оси тангенсов.
Основные свойства тригонометрических функций могут быть сведены в таблицу:
| Функция | Область определения | Множество значений | Четность | Участки монотонности (k = 0, ± 1, ± 2,…) |
| sin x | –Ґ x Ґ | [–1, +1] | нечетная | возрастает при x О ((4k – 1) p /2, (4k + 1) p /2),убывает при x О ((4k + 1) p /2, (4k + 3) p /2) |
| cos x | –Ґ x Ґ | [–1, +1] | четная | Возрастает приx О ((2k – 1) p , 2kp ),убывает приx О (2kp , (2k + 1) p ) |
| tg x | x № p /2 + p k | (–Ґ , +Ґ ) | нечетная | возрастает приx О ((2k – 1) p /2, (2k + 1) p /2) |
| ctg x | x № p k | (–Ґ , +Ґ ) | нечетная | убывает приx О (kp , (k + 1) p ) |
| sec x | x № p /2 + p k | (–Ґ , –1] И [+1, +Ґ ) | четная | Возрастает приx О (2kp , (2k + 1) p ),убывает приx О ((2k – 1) p , 2kp ) |
| cosec x | x № p k | (–Ґ , –1] И [+1, +Ґ ) | нечетная | возрастает приx О ((4k + 1) p /2, (4k + 3) p /2),убывает приx О ((4k – 1) p /2, (4k + 1) p /2) |
Формулы приведения.
По этим формулам значение тригонометрической функции аргумента a , где p /2 a p , можно привести к значению функции аргумента a , где 0 a p /2, как той же, так и дополнительной к ней.
| Аргумент b |  – a
|
+ a | p – a | p + a | + a | + a | 2p – a |
| sin b | cos a | cos a | sin a | –sin a | –cos a | –cos a | –sin a |
| cos b | sin a | –sin a | –cos a | –cos a | –sin a | sin a | cos a |
Поэтому в таблицах тригонометрических функций даются значения только для острых углов, причем достаточно ограничиться, например, синусом и тангенсом. В таблице даны только наиболее употребительные формулы для синуса и косинуса. Из них легко получить формулы для тангенса и котангенса. При приведении функции от аргумента вида kp /2 ± a , где k – целое число, к функции от аргумента a :
1) название функции сохраняется, если k четное, и меняется на «дополнительное», если k нечетное;
2) знак в правой части совпадает со знаком приводимой функции в точке kp /2 ± a , если угол a острый.
Например, при приведении ctg (a – p /2) убеждаемся, что a – p /2 при 0 a p /2 лежит в четвертом квадранте, где котангенс отрицателен, и, по правилу 1, меняем название функции: ctg (a – p /2) = –tg a .
Формулы сложения.
Формулы кратных углов.
Эти формулы выводятся прямо из формул сложения:
sin 2a = 2 sin a cos a ;
cos 2a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a ;
sin 3a = 3 sin a – 4 sin 3 a ;
cos 3a = 4 cos 3 a – 3 cos a ;
Формулу для cos 3a использовал Франсуа Виет при решении кубического уравнения. Он же впервые нашел выражения для cos n a и sin n a , которые позже были получены более простым путем из формулы Муавра.
Если в формулах двойного аргумента заменить a на a /2, их можно преобразовать в формулы половинных углов:
Формулы универсальной подстановки.
Используя эти формулы, выражение, включающее разные тригонометрические функции от одного и того же аргумента, можно переписать как рациональное выражение от одной функции tg (a /2), это бывает полезно при решении некоторых уравнений:
 |
|
 |
 |
Формулы преобразования сумм в произведения и произведений в суммы.
До появления компьютеров эти формулы использовались для упрощения вычислений. Расчеты производились с помощью логарифмических таблиц, а позже – логарифмической линейки, т.к. логарифмы лучше всего приспособлены для умножения чисел, поэтому все исходные выражения приводили к виду, удобному для логарифмирования, т.е. к произведениям, например:
2 sin a sin b = cos (a – b ) – cos (a + b );
2 cos a cos b = cos (a – b ) + cos (a + b );
2 sin a cos b = sin (a – b ) + sin (a + b ).
Формулы для функций тангенса и котангенса можно получить из вышеприведенных.
Формулы понижения степени.
Из формул кратного аргумента выводятся формулы:
| sin 2 a = (1 – cos 2a )/2; | cos 2 a = (1 + cos 2a )/2; |
| sin 3 a = (3 sin a – sin 3a )/4; | cos 3 a = (3 cosa + cos 3 a )/4. |
С помощью этих формул тригонометрические уравнения можно приводить к уравнениям более низких степеней. Таким же образом можно вывести и формулы понижения для более высоких степеней синуса и косинуса.
| Производные и интегралы тригонометрических функций | |
| (sin x )` = cos x ; | (cos x )` = –sin x ; |
| (tg x )` = ; | (ctg x )` = – ; |
| т sin x dx = –cos x + C ; | т cos x dx = sin x + C ; |
| т tg x dx = –ln |cos x | + C ; | т ctg x dx = ln |sin x | + C ; |
Каждая тригонометрическая функция в каждой точке своей области определения непрерывна и бесконечно дифференцируема. Причем и производные тригонометрических функций являются тригонометрическими функциями, а при интегрировании получаются так же тригонометрические функции или их логарифмы. Интегралы от рациональных комбинаций тригонометрических функций всегда являются элементарными функциями.
Представление тригонометрических функций в виде степенных рядов и бесконечных произведений.
Все тригонометрические функции допускают разложение в степенные ряды. При этом функции sin x b cos x представляются рядами. сходящимися для всех значений x :
Эти ряды можно использовать для получения приближенных выражений sin x и cos x при малых значениях x :
при |x| p /2;
при 0 x| p
(B n – числа Бернулли).
Функции sin x и cos x могут быть представлены в виде бесконечных произведений:
Тригонометрическая система 1, cos x , sin x , cos 2x , sin 2x , ¼, cos nx , sin nx , ¼, образует на отрезке [–p , p ] ортогональную систему функций, что дает возможность представления функций в виде тригонометрических рядов.
определяются как аналитические продолжения соответствующих тригонометрических функций действительного аргумента в комплексную плоскость. Так, sin z и cos z могут быть определены с помощью рядов для sin x и cos x , если вместо x поставить z :
Эти ряды сходятся по всей плоскости, поэтому sin z и cos z – целые функции.
Тангенс и котангенс определяются формулами:
Функции tg z и ctg z – мероморфные функции. Полюсы tg z и sec z – простые (1-го порядка) и находятся в точках z = p /2 + p n, полюсы ctg z и cosec z – также простые и находятся в точках z = p n , n = 0, ±1, ±2,…
Все формулы, справедливые для тригонометрических функций действительного аргумента, справедливы и для комплексного. В частности,
sin (–z ) = –sin z ,
cos (–z ) = cos z ,
tg (–z ) = –tg z ,
ctg (–z ) = –ctg z,
т.е. четность и нечетность сохраняются. Сохраняются и формулы
sin (z + 2p ) = sin z , (z + 2p ) = cos z , (z + p ) = tg z , (z + p ) = ctg z ,
т.е. периодичность также сохраняется, причем периоды такие же, как и для функций действительного аргумента.
Тригонометрические функции могут быть выражены через показательную функцию от чисто мнимого аргумента:
Обратно, e iz выражается через cos z и sin z по формуле:
e iz = cos z + i sin z
Эти формулы носят название формул Эйлера . Леонард Эйлер вывел их в 1743.
Тригонометрические функции также можно выразить через гиперболические функции:
z = –i sh iz , cos z = ch iz, z = –i th iz.
где sh, ch и th – гиперболические синус, косинус и тангенс.
Тригонометрические функции комплексного аргумента z = x + iy , где x и y – действительные числа, можно выразить через тригонометрические и гиперболические функции действительных аргументов, например:
sin (x + iy ) = sin x ch y + i cos x sh y ;
cos (x + iy ) = cos x ch y + i sin x sh y .
Синус и косинус комплексного аргумента могут принимать действительные значения, превосходящие 1 по абсолютной величине. Например:
Если неизвестный угол входит в уравнение как аргумент тригонометрических функций, то уравнение называется тригонометрическим. Такие уравнения настолько часто встречаются, что методы их решения очень подробно и тщательно разработаны. С помощью различных приемов и формул тригонометрические уравнения сводят к уравнениям вида f (x ) = a , где f – какая-либо из простейших тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс или котангенс. Затем выражают аргумент x этой функции через ее известное значение а.
Поскольку тригонометрические функции периодичны, одному и тому же а из области значений отвечает бесконечно много значений аргумента, и решения уравнения нельзя записать в виде одной функции от а . Поэтому в области определения каждой из основных тригонометрических функций выделяют участок, на котором она принимает все свои значения, причем каждое только один раз, и находят функцию, обратную ей на этом участке. Такие функции обозначают, приписывая приставку агс (дуга) к названию исходной функции, и называют обратными тригонометрическими функциями или просто аркфункциями.
Обратные тригонометрические функции.
Для sin х , cos х , tg х и ctg х можно определить обратные функции. Они обозначаются соответственно arcsin х (читается «арксинус x »), arcos x , arctg x и arcctg x . По определению, arcsin х есть такое число у, что
sin у = х .
Аналогично и для других обратных тригонометрических функций. Но такое определение страдает некоторой неточностью.
Если отразить sin х , cos х , tg х и ctg х относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов координатной плоскости, то функции из-за их периодичности становятся неоднозначными: одному и тому же синусу (косинусу, тангенсу, котангенсу) соответствует бесконечное количество углов.
Чтобы избавиться от неоднозначности, из графика каждой тригонометрической функции выделяется участок кривой шириной p , при этом нужно, чтобы между аргументом и значением функции соблюдалось взаимно однозначное соответствие. Выбираются участки около начала координат. Для синуса в качестве «интервала взаимной однозначности» берется отрезок [–p /2, p /2], на котором синус монотонно возрастает от –1 до 1, для косинуса – отрезок , для тангенса и котангенса соответственно интервалы (–p /2, p /2) и (0, p ). Каждая кривая на интервале отражается относительно биссектрисы и теперь можно определить обратные тригонометрические функции. Например, пусть задано значение аргумента x 0 , такое, что 0 Ј x 0 Ј 1. Тогда значением функции y 0 = arcsin x 0 будет единственное значение у 0 , такое, что –p /2 Ј у 0 Ј p /2 и x 0 = sin y 0 .
Таким образом, арксинус – это функция агсsin а , определенная на отрезке [–1, 1] и равная при каждом а такому значению a , –p /2 a p /2, что sin a = а. Ее очень удобно представлять с помощью единичной окружности (рис. 15). При |а| 1 на окружности есть две точки с ординатой a , симметричные относительно оси у. Одной из них отвечает угол a = arcsin а , а другой – угол p - а. С учетом периодичности синуса решение уравнения sin x = а записывается следующим образом:
х = (–1) n arcsin a + 2p n ,
где n = 0, ±1, ±2,...
Так же решаются другие простейшие тригонометрические уравнения:
cos x = a , –1 = a = 1;
x = ±arcos a + 2p n ,
где п = 0, ±1, ±2,... (рис. 16);
tg х = a ;
x = arctg a + p n,
где п = 0, ±1, ±2,... (рис. 17);
ctg х = а ;
х = arcctg a + p n,
где п = 0, ±1, ±2,... (рис. 18).
Основные свойства обратных тригонометрических функций:
arcsin х (рис. 19): область определения – отрезок [–1, 1]; область значений – [–p /2, p /2], монотонно возрастающая функция;
arccos х (рис. 20): область определения – отрезок [–1, 1]; область значений – ; монотонно убывающая функция;
arctg х (рис. 21): область определения – все действительные числа; область значений – интервал (–p /2, p /2); монотонно возрастающая функция; прямые у = –p /2 и у = p /2 – горизонтальные асимптоты;
arcctg х (рис. 22): область определения – все действительные числа; область значений – интервал (0, p ); монотонно убывающая функция; прямые y = 0 и у = p – горизонтальные асимптоты.
Для любого z = x + iy , где x и y – действительные числа, имеют место неравенства
½|e\e y –e -y | ≤|sin z |≤½(e y +e -y),
½|e y –e -y | ≤|cos z |≤½(e y +e -y ),
из которых при y ® Ґ вытекают асимптотические формулы (равномерно относительно x )
|sin z | » 1/2 e |y| ,
|cos z | » 1/2 e |y| .
Тригонометрические функции возникли впервые в связи с исследованиями в астрономии и геометрии. Соотношения отрезков в треугольнике и окружности, являющиеся по существу тригонометрическими функциями, встречаются уже в 3 в. до н. э. в работах математиков Древней Греции – Евклида , Архимеда , Аполлония Пергского и других, однако эти соотношения не являлись самостоятельным объектом исследования, так что тригонометрические функции как таковые ими не изучались. Они рассматривались первоначально как отрезки и в такой форме применялись Аристархом (конец 4 – 2-я половина 3 вв. до н. э.), Гиппархом (2 в. до н. э.), Менелаем (1 в. н. э.) и Птолемеем (2 в. н. э.) при решении сферических треугольников. Птолемей составил первую таблицу хорд для острых углов через 30" с точностью до 10 –6 . Это была первая таблица синусов. Как отношение функция sin a встречается уже у Ариабхаты (конец 5 в.). Функции tg a и ctg a встречаются у аль-Баттани (2-я половина 9 – начало 10 вв.) и Абуль-Вефа (10 в.), который употребляет также sec a и cosec a . Ариабхата знал уже формулу (sin 2 a + cos 2 a ) = 1, а также формулы sin и cos половинного угла, с помощью которых построил таблицы синусов для углов через 3°45"; исходя из известных значений тригонометрических функций для простейших аргументов. Бхаскара (12 в.) дал способ построения таблиц через 1 с помощью формул сложения. Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций различных аргументов в произведение выводились Региомонтаном (15 в.) и Дж. Непером в связи с изобретением последним логарифмов (1614). Региомонтан дал таблицу значений синуса через 1". Разложение тригонометрических функций в степенные ряды получено И.Ньютоном (1669). В современную форму теорию тригонометрических функций привел Л.Эйлер (18 в.). Ему принадлежат их определение для действительного и комплексного аргументов, принятая ныне символика, установление связи с показательной функцией и ортогональности системы синусов и косинусов.
Я не буду убеждать вас не писать шпаргалки. Пишите! В том числе, и шпаргалки по тригонометрии. Позже я планирую объяснить, зачем нужны шпаргалки и чем шпаргалки полезны. А здесь — информация, как не учить, но запомнить некоторые тригонометрические формулы. Итак — тригонометрия без шпаргалки!Используем ассоциации для запоминания.
1. Формулы сложения:
косинусы всегда «ходят парами»: косинус-косинус, синус-синус.
И еще: косинусы — «неадекватны». Им «все не так», поэтому они знаки меняют: «-» на «+», и наоборот.
Синусы — «смешиваются»
: синус-косинус, косинус-синус.
2. Формулы суммы и разности:
косинусы всегда «ходят парами». Сложив два косинуса — «колобка», получаем пару косинусов- «колобков». А вычитая, колобков точно не получим. Получаем пару синусов. Еще и с минусом впереди.
Синусы — «смешиваются» :
3. Формулы преобразования произведения в сумму и разность.
Когда мы получаем пару косинусов? Когда складываем косинусы. Поэтому
Когда мы получаем пару синусов? При вычитании косинусов. Отсюда:
«Смешение» получаем как при сложении, так и при вычитании синусов. Что приятнее: складывать или вычитать? Правильно, складывать. И для формулы берут сложение:
В первой и в третьей формуле в скобках — сумма. От перестановки мест слагаемых сумма не меняется. Принципиален порядок только для второй формулы. Но, чтобы не путаться, для простоты запоминания мы во всех трех формулах в первых скобках берем разность
а во вторых — сумму
Шпаргалки в кармане дают спокойствие: если забыл формулу, можно списать. А дают уверенность: если воспользоваться шпаргалкой не удастся, формулы можно легко вспомнить.
