5 исследовать функцию с помощью первой производной. Как исследовать функцию и построить её график? Исследуем функцию с помощью производной

Цель урока: Научить проводить исследование функций; строить их графики.

Форма: урок-беседа.

Методы: диалог, наглядные пособия и слайды.

Оборудование: ИКТ, таблицы.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Учитель: - Ребята! У вас было домашнее задание "Критические точки функции, максимумы и минимумы". Дайте определение критической точки функции.

Ученик: - Критической точкой называется внутренняя точка области определения, в которой производная либо равна нулю, либо не существует.

Учитель: - Как найти критические точки?

Ученик: - 1

) Найти производную функции;

2) Решить уравнение: f "(x)=0. Корни этого уравнения являются критическими точками.

Учитель: - Найдите критические точки функций:

а) f(x)= 4 - 2x + 7x 2

б) f(x)= 4x - x 3 /3

а) 1) Найдем производную данной функции:

f "(x)= (4 - 2x + 7x 2)" = -2+14x

2) Решим уравнение f "(x)=0 <=> -2+14x =0 <=> x=1/7

3) Так как уравнение f "(x)=0 имеет один корень, то данная функция имеет одну критическую точку х = 1/7.

б) 1) Найдем производную данной функции: f "(x)= 4 - x 2

2) Решим уравнение: f "(x)=0 <=> 4 - x 2 = 0 <=> х = 2 или х = -2

3) Так как уравнение f "(x)=0 имеет два корня, то данная функция имеет две критические точки х 1 = 2 и х 2 = -2 .

II. Устная работа.

Учитель: - Ребята! Повторим основные вопросы, которые нужны для изучения новой темы. Для этого рассмотрим таблицы с рисунками (приложение 1 ).

Укажите точки, в которых возрастание функции сменяется убыванием. Как называются эти точки?

Ученик: - На рисунке а) - точка К-это точка максимума, на рисунке б) - точка М - это точка максимума.

Учитель: - Назовите точки минимума функции.

Ученик: - Точка К на рисунке в) и г) - точка минимума функции.

Учитель: - Какие точки могут быть точками экстремума функции?

Ученик: - Критические точки могут быть точками экстремума функции.

Учитель: - Какие необходимые условия вы знаете?

Ученик: - Существует теорема Ферма. Необходимое условие экстремума: Если точка х 0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f ", то она равна нулю: f "(x)=0.

Учитель: - Найдите критические точки для функции:

а) f(x) = | х |

б) f(x) = 2х + | х |

Ученик: - Рассмотрим функцию f(x) = | х | (приложение 2 ). Эта функция не имеет производной в 0. Значит, 0- критическая точка. Очевидно, что в точке 0 функция имеет минимум.

Ученик: - Рассмотрим функцию f(x) = 2х + | х | (приложение 3 ). По графику видно, что в точке 0 эта функция не имеет экстремума. В этой точке функция не имеет и производной.

В самом деле, если предположить, что функция f имеет в точке 0 производную, то f(х) - 2х также имеет производную в 0. Но f(х) - 2х = | х |, а функция | х | в точке 0 не дифференцируема, т.е. мы пришли к противоречию.

Значит, функция f в точке 0 производной не имеет.

Учитель: - Из теоремы Ферма следует, что при нахождении точек экстремума нужно найти критические точки. Но из рассмотренных примеров видно, что для того чтобы данная критическая точка была точкой экстремума нужно еще какое-то дополнительное условие.

Какие достаточные условия существования экстремума в точке вы знаете?

Ученик: - Признак максимума функции : Если функция f непрерывна в точке х 0 , а f "(x)>0 на интервале (а;х 0) и f "(x) <0 на интервале (х 0 ; в), то точка х 0 является точкой максимума функции f.

То есть если в точке х 0 производная меняет знак с плюса на минус, то х 0 есть точка максимума.

Ученик: - Признак минимума : Если функция f непрерывна в точке х 0 , а f "(x) <0 на интервале (а;х 0) и f "(x) >0 на интервале (х 0 ; в), то точка х 0 является точкой минимума функции f.

То есть если в точке х 0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х 0 есть точка минимума.

Учитель: - А какой алгоритм нахождения точек экстремума функции вы знаете.

Ученик объясняет алгоритм исследования функции f на экстремум с помощью производной (приложение 4 ) и находит точки экстремума функции:

f (х)= x 4 -2х 2

D (f) =IR и f непрерывна на всей числовой прямой, как целая рациональная функция.

2. f "(x) = 4x 3 -4х = 4х (х+1)(х-1).

3. f "(x)=0 <=> х= -1 V х=0 V х=1.

Рис.1 (знаки f ")

Так как f непрерывна в критических точках, то из рисунка 1 (приложение 5 ) видно, что -1 и 1 - точки минимума, а 0 - точка максимума функции f.

f min = f (-1) = f (1) = -1, f max = f (0) =0.

Учитель: - Ребята! Давайте вспомним алгоритм отыскания промежутков монотонности функции f.

Ученик вспоминает алгоритм отыскания промежутков монотонности функции f (приложение 6 ).

Учитель: - Найти промежутки возрастания и убывания функции f, заданной формулой

f (x)= x 3 -12х

Решение:

1. Так как f(x) - многочлен, то D (f) =IR.

2. Функция f дифференцируема на всей числовой прямой и f "(x)= 3x 2 -12 = 3 (х+2) (х-2).

3. Критическими точками функции f могут быть только нули f "(x).

f "(x) =0 <=> x = -2 V х=2.

D (f)\ {-2; 2}= (-; -2) U (-2 ; 2) U (2; +).

Рис.2 (знаки f ").

Найти области определения и значений данной функции f.

Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование, то есть является ли функция f:

а) четной или нечетной;

б) периодической.

3. Вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат.

4. Найти промежутки знакопостоянства функции f.

5. Выяснить, на каких промежутках функция f возрастает, а на каких убывает.

6. Найти точки экстремума (максимум или минимум) и вычислить значения f в этих точках.

7. Исследовать поведение функции f в окрестности характерных точек не входящих в область определения.

8. Построить график функции.

Эта схема имеет примерный характер.

Учитывая все сказанное, исследуем функцию: f(x)= 3x 5 -5х 3 +2 и построим ее график.

Проведем исследование по указанной схеме:

D (f ") =IR, так как f (x) - многочлен.

Функция f не является ни четной, ни нечетной, так как

f (-x)= 3(-x) 5 -5(-x) 3 +2 = -3x 5 +5х 3 +2= -(3x 5 -5х 3 -2) f(x)

Найдем координаты точек пересечения графика с осями координат:

а) с осью 0Х, для этого решим уравнение: 3x 5 -5х 3 +2 = 0.

Методом подбора можно найти один из корней (x = 1). Другие корни могут быть найдены только приближенно. Поэтому для данной функции остальные точки пересечения графика с осью абсцисс и промежутки знакопостоянства находить не будем.

б) с осью 0У: f(0)=2

Точка А (0; 2) - точка пересечения графика функции с осью 0У.

Отметили, что промежутки знакопостоянства не будем находить.

Найдем промежутки возрастания и убывания функции

а) f "(x)= 15x 4 -15х 2 = 15х 2 (х 2 -1)

D (f ") =IR, поэтому критических точек которых f "(x)не существует, нет.

б) f "(x) = 0, если х 2 (х 2 -1)=0 <=> x = -1 V x = 0 V x = 1.

в) Получим три критические точки, они разбивают координатную прямую на четыре промежутка. Определим знак производной на этих промежутках:

Рис.3 (знаки f ")

IV. Закрепление новой темы. Решение задач .

Учитель: - Исследуйте функцию и постройте ее график: f (x)= x 4 -2х 2 -3.

Ученик: - 1) D (f) =R.

2) f(-x)= (-x) 4 -2(-x) 2 -3 = x 4 -2х 2 -3; f(-x)= f(x),

значит, функция f является четной. Исследование ее можно проводить на промежутке функция возрастает от - до -4, поэтому на этом промежутке уравнение f (x)=0 корней не имеет.

б) На промежутке [-1; 2] уравнение так же не имеет корней, так как на этом промежутке функция убывает от -4 до -31.

в) На промежутке график производной расположен ниже оси Ох, это означает, что, то есть сама функция на данном отрезке монотонно убывает. Таким образом, убывающая функция принимает наибольшего значения на левом конце промежутка, то есть в точке x =-7.

Ответ. -7.

Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке:

Найти производную функции.

Определить критические точки (те точки, в которых производная функции обращается в ноль или не существует).

Выбрать из найденных точек те, которые принадлежат данному отрезку.

Вычислить значения функции (не производной!) в этих точках и на концах отрезка.

Среди полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее, оно и будет искомым.

Пример 3. Найдите наименьшее значение функции y = x 3 – 18 x 2 + 81 x + 23 на отрезке .

Решение: действуем по алгоритму нахождения наименьшего значения функции на отрезке:

y’ = 3 x 2 – 36 x + 81.

y’ = 3 x 2 – 36 x + 81 = 0

x 2 – 12 x + 27 = 0,

x = 3 и x = 9

x = 9 .

y = x 3 – 18 x 2 + 81 x + 23 = x ( x -9) 2 +23:

• y (8) = 8 · (8-9) 2 +23 = 31;

  y (9) = 9 · (9-9) 2 +23 = 23;

  y (13) = 13 · (13-9) 2 +23 = 231.

Ответ. ;

Порядок выполнения работы.

Внимательно изучите теоретическую справку по теме.

Решите следующие задания по учебнику №9.40А(2в, 2г), №9.41Б(1в) , № 9.44А(2), №9.43А(6)

Выполните разбор примеров 3-7.

Пример 4. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В ответе укажите длину наибольшего из них.

Пример 5. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек экстремума функции на отрезке .

Пример 6. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Пример 7. , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Пример 8. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек максимума функции на отрезке .

Пример 9. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Задание на дом:

№9.40А(2а,2б), №9.44А(1) №9.41Б(1а,1б) , № 9.44А(2)

№9.43А(1-5), №9.44А(3) №9.45А(1-4) №9.44А(9)

Выполните самостоятельно по вариантам.

Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такая окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство ().

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума (рис. 25).

Теорема 3.9 (необходимое условия существования точек экстремума). В критических точках 1-го рода производная функции либо

равна нулю, либо не существует

Критические точки 1-го рода принято называть просто критическими точками.

Критические точки, в которых производная функции равна нулю, называются точками стационарности . Критические точки, в которых функция непрерывна, но не дифференцируема называются угловыми точками . Например, функция в точке непрерывна, но производной не имеет, так как в этой точке к графику функции можно провести бесконечное множество касательных (рис. 26). Данный случай можно рассматривать в качестве подтверждения тому, что обратное утверждение к теореме 3.3 является неверным.

Функция называется возрастающей на некотором интервале , если на этом интервале большему значению аргумента соответствует большее значение переменной , и убывающей , если большему значению аргумента соответствует меньшее значение переменной .

Для дальнейшего исследования критические точки помещают на числовую ось, которая делится этими точками на интервалы, после чего поверяют выполнение следующих достаточных условий.

Теорема 3.10 (достаточное условие возрастания и убывания функции). Если на некотором интервале функция дифференцируема и при этом ее производная положительна (отрицательна), то функция на данном интервале возрастает (убывает)

Теорема 3.11 (достаточное условие существования точек экстремума функции). Если функция непрерывна и дифференцируема в некоторой окрестности критической точки и при переходе через нее производная меняет знак с плюса на минус, то точка является точкой максимума; если с минуса на плюс, то точка является точкой минимума функции

Те критические точки функции, для которых достаточное условие не выполняется, остаются просто критическими точками 1-го рода.

Критические точки 1-го рода, в которых производная не существует, делятся на два класса:

– точки, в которых функция непрерывна (при выполнении для них теоремы 3.11 функция в данных точках имеет «острый» экстремум), это угловые точки;

– точки, в которых функция терпит разрыв (всегда переходят в класс критических точек 2-го рода).

Но проведенное таким образом исследование, не дает ответ на очень важный вопрос: как возрастает (убывает) функция – выпукло или вогнуто? Ответ на поставленный вопрос дает дальнейшее исследование функции с помощью второй производной. Дадим ряд необходимых определений.

Функция называется выпуклой (вогнутой ) на некотором интервале , если касательная, проведенная к графику функции в каждой точке этого интервала, лежит выше (ниже) графика функции.

Точки, отделяющие участки выпуклости от участков вогнутости функции, называются ее точками перегиба (рис. 27).

Теорема 3.12 (необходимое условие существования точек перегиба) . В критических точках 2-го рода вторая производная функции либо равна нулю, либо не существует

Для дальнейшего исследования критические точки 2-го рода помещают на числовую ось, которая делится этими точками на интервалы, после чего поверяют выполнение следующих достаточных условий.

Теорема 3.13 (достаточное условие выпуклости и вогнутости функции). Если на некотором интервале функция дважды дифференцируема и при этом ее вторая производная положительна (отрицательна), то функция на данном интервале вогнута (выпукла)

Те критические точки функции, для которых достаточное условие не выполняется, остаются просто критическими точками 2-го рода.

Критические точки 2-го рода, в которых вторая производная не существует, делятся на два класса:

– точки, в которых функция непрерывна, это так называемые точки «острого» перегиба – в таких точках к графику функции можно провести бесконечное множество касательных (рис. 28);

– точки, в которых функция терпит разрыв (в точках разрыва 2-го рода график функции имеет вертикальную асимптоту).

Для окончательного перечисления точек экстремума и перегиба функции необходимо найти их ординаты, после чего выписать указанные точки двумя координатами.

Вопросы для самопроверки.

1. Какие точки называются точками экстремума (максимума и минимума) функции?

2. Какая функция называется возрастающей (убывающей)?

3. Каковы необходимое и достаточное условия существования точек экстремума функции?

4. В чем состоит достаточное условие возрастания (убывания) функции?

5. Какие точки называются точками перегиба функции?

6. Какая функция называется выпуклой (вогнутой)?

7. Каковы необходимое и достаточное условия существования точек перегиба функции?

8. В чем состоит достаточное условие выпуклости (вогнутости) функции?