Платоновы тела. Фигуры вращения платоновых тел
Платону принадлежит разработка некоторых важных методологических проблем математического познания: аксиоматическое построение математики, исследование отношений между математическими методами и диалектикой, анализ основных форм математического знания. Так, процесс доказательства необходимо связывает набор доказанных положений в систему, в основе которой лежат некоторые недоказуемые положения. Тот факт, что начала математических наук "суть предположения", может вызвать сомнение в истинности всех последующих построений. Платон считал такое сомнение необоснованным. Согласно его объяснению, хотя сами математические науки, "пользуясь предположениями, оставляют их в неподвижности и не могут дать для них основания", предположения находят основания посредством диалектики. Платон высказал и ряд других положений, оказавшихся плодотворными для развития математики. Так, в диалоге "Пир" выдвигается понятие предела; идея выступает здесь как предел становления вещи.
ТЕЛА ПЛАТОНА.
Тела Платона-это выпуклые многогранники, все грани которых правильные многоугольники. Все многогранные углы правильного многогранника конгруэнтны. Как это следует уже из подсчета суммы плоских углов при вершине, выпуклых правильных многогранников не больше пяти. Указанным ниже путем можно доказать, что существует именно пять правильных многогранников (это доказал Евклид). Они - правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.
ТАБЛИЦА№1
ТАБЛИЦА№2
| Название: | Радиус описанной сферы | Радиус вписанной сферы | Объем |
| Тетраэдр | а\/6 4 | a\/6 12 | a3\/2 12 |
| Куб | а\/3 2 | a 2 | a3 |
| Октаэдр | а\/2 2 | a\/6 6 | a3\/2 12 |
| Додекаэдр | a 4 \/18+6\/5 | 1 2 25+11\/5 10 | a3 4 (15+7\/5) |
| Икосаэдр | a 12(3+\/5)\/3 | 5 12 a3(3+\/5) |
Тетраэдр-четырехгранник, все грани которого треугольники, т.е. треугольная пирамида; правильный тетраэдр ограничен четырьмя равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многоугольников. (рис.1).
Куб или правильный гексаэдр - правильная четырехугольная призма с равными ребрами, ограниченная шестью квадратами. (рис.2).
Октаэдр-восьмигранник; тело, ограниченное восемью треугольниками; правильный октаэдр ограничен восемью равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многогранников. (рис.3).
Додекаэдр-двенадцатигранник, тело, ограниченное двенадцатью многоугольниками; правильный пятиугольник; один из пяти правильных многогранников. (рис.4).
Икосаэдр-двадцатигранник, тело, ограниченное двадцатью многоугольниками; правильный икосаэдр ограничен двадцатью равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многогранников. (рис.5).
Куб и октаэдр дуальны, т.е. получаются друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого и обратно. Аналогично дуальны додекаэдр и икосаэдр. Тетраэдр дуален сам себе. Правильный додекаэдр получается из куба построением «крыш» на его гранях (способ Евклида), вершинами тетраэдра являются любые четыре вершины куба, попарно не смежные по ребру. Так получаются из куба все остальные правильные многогранники. Сам факт существования всего пяти действительно правильных многогранников удивителен- ведь правильных многоугольников на плоскости бесконечно много!
Все правильные многогранники были известны еще в Древней Греции, и им посвящена заключительная, XII книга знаменитых начал Евклида. Эти многогранники часто называют также платоновыми телами в идеалистической картине мира, данной великим древнегреческим мыслителем Платоном. Четыре из них олицетворяли четыре стихии: тетраэдр-огонь, куб-землю, икосаэдр-воду и октаэдр-воздух; пятый же многогранник, додекаэдр, символизировал все мироздание его по латыни стали называть quintaessentia («пятая сущность»). Придумать правильный тетраэдр, куб, октаэдр, по-видимому, было не трудно, тем более что эти формы имеют природные кристаллы, например: куб-монокристалл поваренной соли (NaCl), октаэдр-монокристалл алюмокалиевых квасцов ((KalSO4)2*12H2O). Существует предположение, что форму додекаэдра древние греки получили, рассматривая кристаллы пирита (сернистого колчедана FeS). Имея же додекаэдр нетрудно построить и икосаэдр: его вершинами будут центры двенадцати граней додекаэдра.
Список литературы
1.«Советская Энциклопедия» Москва 1979г.
2.Математический энциклопедический словарь/ «Советская Энциклопедия», 1988г.
3.Математика: Школьная энциклопедия /Гл. ред. М 34 С.М. Никольский. - М.: Научное издательство «Большая Российская энциклопедия», 1996,-527 С.: ил
Руководитель: Рустамова Р. М.
Фигуры вращения Платоновых тел
Проблема исследования : всегда ли при вращении тел Платона получаются известные фигуры вращения: конус, цилиндр, шар.
Объект исследования: множество пространственных тел и фигур.
Предмет исследования: Платоновы тела.
Цель исследования: выявить группы фигур вращения правильных многогранников (тел Платона).
Гипотеза: Если у тел Платона найти оси симметрии, то с помощью вращения вокруг этих осей можно получить известные фигуры вращения. Задачи исследования:
- Изучить Платоновы тела и их свойства.
- Экспериментальным путем апробировать вращение правильных многогранников (тел Платона), меняя у них оси вращения.
- Найти и выделить у тел Платона такие оси вращения, которые позволяют этим телам «превращаться» в одинаковые фигуры вращения.
- Определить группы фигур вращения, получаемых вращением тел Платона.
Этапы исследования:
Первый этап - теоретический. На этом этапе я изучала тела Платона и их свойства.
Второй этап - экспериментальный. Он состоял из эксперимента по вращению Платоновых тел путем выбора осей вращения правильных многогранников
Третий этап - заключительный. Он был посвящен обобщению результатов эксперимента, формировались группы одинаковых фигур вращения, получаемых вращением правильных многогранников
Фигуры вращения: конус, цилиндр, однополостный гиперболоид.
Платоновы тела: тетраэдр, октаэдр, гексаэдр (куб), икосаэдр, додекаэдр.
У куба и икосаэдра есть общие оси симметрии: прямая, проходящая через противоположные вершины; у икосаэдра и додекаэдра - прямая, проходящая через центры противоположных граней, при которых получаются одинаковые фигуры вращения.
Следовательно, для тетраэдра выделяем оси вращения: прямая, проходящая через вершину тетраэдра с центром противоположной грани; прямая, проходящая через середины противоположных ребер. Все тела Платона, кроме тетраэдра имеют одинаковы оси вращения: прямая, проходящая через противоположные вершины; прямая, проходящая через центры противоположных граней; прямая, проходящая через середины двух противоположных ребер.
Если прямая (образующая поверхности) перпендикулярна оси вращения, то получается плоскость.
Если прямая (образующая поверхности) параллельна оси вращения, то получается цилиндрическая поверхность.
Если прямая (образующая поверхности) пересекает ось вращения, то получается коническая поверхность.
Если прямая (образующая поверхности) скрещивается с осью вращения, то получается однополостный гиперболоид вращения.
При вращении Платоновых тел, можно получить одинаковые фигуры вращения:
- при вращении тетраэдра и октаэдра фигурой вращения являются однополостный гиперболоид а также два конуса с общим основанием;
- при вращении икосаэдра и додекаэдра – система из двух усеченных конусов и однополостного гиперболоида;
- при вращении икосаэдра и куба - система из двух конусов и однополостного гиперболоида.
ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА [П. - от греч. Platon (427–347 гг. до н. э. / Т. - происх. см. ТЕЛО), совокупность всех правильных многогранников [т. е. объемных (трехмерных) тел, ограниченных равными правильными многоугольниками] трехмерного Мира, впервые описанных Платоном (им также посвящена заключительная, XIII-я книга «Начал» Платонова ученика Евклида); // при всём бесконечном многообразии правильных многоугольников (двумерных геометрических фигур, ограниченных равными сторонами, смежные пары которых попарно образуют равные между собой углы), существует всего пять объемных П.т. (см. Табл. 6), в соответствие которым со времен Платона ставятся пять стихий Мироздания; любопытна связь, существующая между гексаэдром и октаэдром, а также между додекаэдром и икосаэдром: геометрические центры граней каждого первого являются вершинами каждого второго.
Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности - от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие - в виде вирусов, которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа. Что же такое многогранник? Для ответа на этот вопрос напомним, что собственно геометрию определяют иногда как науку о пространстве и пространственных фигурах - двумерных и трехмерных. Двумерную фигуру можно определить как множество отрезков прямых, ограничивающих часть плоскости. Такая плоская фигура называется многоугольником. Из этого следует, что многогранник можно определить как множество многоугольников, ограничивающих часть трехмерного пространства. Многоугольники, образующие многогранник, называются его гранями.
Издавна ученые интересовались "идеальными" или правильными многоугольниками, то есть многоугольниками, имеющими равные стороны и равные углы. Простейшим правильным многоугольником можно считать равносторонний треугольник, поскольку он имеет наименьшее число сторон, которое может ограничить часть плоскости. Общую картину интересующих нас правильных многоугольников наряду с равносторонним треугольником составляют: квадрат (четыре стороны), пентагон (пять сторон), гексагон (шесть сторон), октагон (восемь сторон), декагон (десять сторон) и т.д. Очевидно, что теоретически нет каких-либо ограничений на число сторон правильного многоугольника, то есть число правильных многоугольников бесконечно.
Что же такое правильный многогранник? Правильным называется такой многогранник, все грани которого равны (или конгруэнтны) между собой и при этом являются правильными многоугольниками. Сколько же существует правильных многогранников? На первый взгляд ответ на этот вопрос очень простой - столько же, сколько существует правильных многоугольников. Однако это не так. В "Началах Евклида" мы находим строгое доказательство того, что существует только пять правильных многогранников, а их гранями могут быть только три типа правильных многоугольников: треугольники, квадраты и пентагоны.
Наименование Кол-во граней Стихия
Тетраэдр 4 Огонь
Гексаэдр/Куб 6 Земля
Октаэдр 8 Воздух
Икосаэдр 10 Вода
Додекаэдр 12 Эфир
Мир звездчатых многогранников
Мир наш исполнен симметрии. С древнейших времен с ней связаны наши представления о красоте. Наверное, этим объясняется непреходящий интерес человека к удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание множества выдающихся мыслителей, от Платона и Евклида до Эйлера и Коши.
Впрочем, многогранники отнюдь не только объект научных исследований. Их формы – завершенные и причудливые, широко используются в декоративном искусстве.
Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Применяются они и в архитектуре. Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки - это звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.
Звездчатый додекаэдр
Большой звездчатый додекаэдр принадлежит к семейству тел Кеплера-Пуансо, то есть правильных невыпуклых многогранников. Грани большого звездчатого додекаэдра – пентаграммы, как и у малого звездчатого додекаэдра. У каждой вершины соединяются три грани. Вершины большого звездчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра.
Большой звездчатый додекаэдр был впервые описан Кеплером в 1619 г. Это последняя звездчатая форма правильного додекаэдра.
Додекаэдр
Древние мудрецы говорили: "Чтобы познать невидимое, смотри внимательно на видимое". В плане сакральных сил додекаэдр самый мощный многогранник. Не зря Сальвадор Дали для своей "Тайной вечере" выбрал эту фигуру. В ней от двенадацати пятиугольников - тоже сильной фигуре, силы концентрируются в одной точке - на Иисусе Христе.
Додекаэдр (от греческого dodeka – двенадцать и hedra – грань) это правильный многогранник, составленный из двенадцати равносторонних пятиугольников.
Додекаэдр имеет 20 вершин и 30 ребер.
Вершина додекаэдра является вершиной трех пятиугольников, таким образом, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°.
Сумма длин всех ребер 30а.
Додекаэдр имеет центр симметрии и 15 осей симметрии.
Каждая из осей проходит через середины противолежащих параллельных ребер. Додекаэдр имеет 15 плоскостей симметрии. Любая из плоскостей симметрии проходит в каждой грани через вершину и середину противоположного ребра.
Правильные многогранники привлекают совершенством своих форм, полной симметричностью. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие - в виде вирусов, простейших микроорганизмов.
Кристаллы - тела, имеющие многогранную форму. Вот один из примеров таких тел: кристалл пирита (сернистый колчедан FeS) - природная модель додекаэдра.
Вирус полиомиелита имеет форму додекаэдра. Он может жить и размножаться только в клетках человека и приматов. Это, в частности, означает, что заразиться полиомиелитом можно только от людей. Кроме того, многие вирусы передаются через переносчиков, роль которых нередко выполняют членистоногие (например, клещи). Такие вирусы могут иметь широкий спектр хозяев, включающий как позвоночных, так и беспозвоночных животных.
Водоросль вольвокс - один из простейших многоклеточных организмов - представляет собой сферическую оболочку, сложенную в основном семиугольными, шестиугольными и пятиугольными клетками (то есть клетками, имеющими семь, шесть или пять соседних; в каждой «вершине» сходятся три клетки).
Бывают экземпляры, у которых есть и четырехугольные, и восьмиугольные клетки, но биологи заметили, что если таких «нестандартных» клеток (менее, чем с пятью и более, чем с семью) сторонами нет, то пятиугольных клеток всегда ровно на двенадцать больше, чем семиугольных (всего клеток может быть несколько сотен и даже тысяч). Это утверждение следует из известной формулы Эйлера.
Фуллерены – одна из форм углерода. Они были открыты при попытке моделировать процессы, происходящие в космосе. Позже ученым в земных лабораториях удалось синтезировать и исследовать многочисленные производные этих шарообразных молекул. Возникла химия фуллеренов. Некоторые соединения включения в кристаллическую решетку фуллерена С60 оказались «горячими сверхпроводниками» с критической температурой до 117 К.
Ведутся попытки создать на основе фуллеренов материалы для зарождающейся молекулярной электроники. Все это интересно и важно. Но фуллерены, как выяснилось, есть и в земных породах. Сейчас с наличием в шунгитах фуллеренов некоторые энтузиасты связывают целебное действие открытых в 1714 г. марциальных вод, которыми лечился Петр Великий. А последние открытия геохимиков заставляют вернуться к проблеме происхождения фуллеренов. Возможно, что новые химические исследования земных фуллеренов приоткроют другие страницы богатой истории планеты Земля!
В алхимии обычно говорится только об этих элементах: огонь, земля, воздух и вода; редко упоминается эфир,потому что это настолько священно. В Пифагорейской школе, стоило бы вам только лишь упомянуть за стенами школы слово «додекаэдр», как вас убили бы на месте. Настолько священной считалась эта фигура. О ней даже не говорили. Спустя двести лет, при жизни Платона, о ней говорили, но только очень осторожно. Почему? Потому, что додекаэдр расположен у внешнего края вашего энергетического поля и является высшей формой сознания. Когда вы достигаете 55-футового предела своего энергетического поля, то оно будет иметь форму сферы. Но самая близкая к сфере внутренняя фигура – это додекаэдр (в действительности, додекаэдро-икосаэдральная взаимосвязь). Вдобавок к этому, мы живём внутри большого додекаэдра, который содержит в себе вселенную. Когда ваш ум достигает предела пространства космоса – а предел тут есть – то он натыкается на додекаэдр, замкнутый в сфере. Додекаэдр есть завершающая фигура геометрии и она очень важна.
На микроскопическом уровне, додекаэдр и икосаэдр являются относительными параметрами ДНК, по которым построена вся жизнь. Можно увидеть также, что молекула ДНК представляет собой вращающийся куб. При повороте куба последовательно на 72 градуса по определённой модели, получается икосаэдр, который, в свою очередь, составляет пару додекаэдру.
Таким образом, двойная нить спирали ДНК построена по принципу двухстороннего соответствия: за икосаэдром следует додекаэдр, затем опять икосаэдр, и так далее. Это вращение через куб создаёт молекулу ДНК.
В основе структуры ДНК лежит священная геометрия, хотя, могут обнаружиться ещё и другие скрытые взаимосвязи.
В книге Дана Уинтера «Математика Сердца» (Dan Winter, Heartmath) показано, что молекула ДНК составлена из взаимоотношений двойственности додекаэдров и икосаэдров.
Правильным многоугольником называется ограниченная прямыми плоская фигура с равными сторонами и равными внутренними углами. Ясно, что таких фигур бесконечно много. Аналогом правильного многоугольника в трехмерном пространстве служит правильный многогранник: пространственная фигура с одинаковыми гранями, имеющими форму правильных многоугольников, и одинаковыми многогранными углами при вершинах. На первый взгляд может показаться, что многогранников также бесконечно много, но на самом деле их, как выразился однажды Льюис Кэррол, "вызывающе мало". Существует лишь пять правильных выпуклых многогранников: правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр (рис. 90).
Первое систематическое исследование пяти правильных тел было, по-видимому, предпринято еще в глубокой древности пифагорейцами. Согласно их воззрениям, тетраэдр, куб, октаэдр и икосаэдр лежат в основе традиционных четырех элементов: огня, земли, воздуха и воды. Додекаэр пифагорейцы по непонятным соображениям отождествляли со всей вселенной. Поскольку взгляды пифагорейцев подробно изложены в диалоге Платона "Тимей", правильные многогранники принято называть Платоновыми телами. Красота и удивительные математические свойства пяти правильных тел неоднократно привлекали к себе внимание ученых и после Платона. Анализ Платоновых тел является кульминационным пунктом заключительной книги "Элементов" Евклида. Иоганн Кеплер в юности считал, что расстояния между орбитами шести известных в его время планет можно получить, вписывая в определенном порядке пять правильных тел в орбиту Сатурна. В наши дни математики не приписывают Платоновым телам мистических свойств, а изучают свойства симметрии правильных многогранников методами теории групп. Платоновы тела играют заметную роль и в занимательной математике. Рассмотрим, хотя бы бегло, несколько связанных с ними задач.
Существуют четыре различных способа, как разрезать запечатанный конверт и сложить из него тетраэдр. Вот простейший из них. На обеих сторонах конверта у одного и того же края) начертим равносторонний треугольник (рис. 91) и разрежем конверт по пунктирной прямой. Правая его половина нам не нужна, а левую мы перегнем по сторонам нарисованного треугольника (на обеих сторонах конверта) и совместим точки А и В. Тетраэдр готов!
Головоломка, изображенная на рис. 92, также связана с тетраэдром. Развертку, изображенную на рис. 92 слева, можно вырезать из пластика или плотной бумаги. Сделайте две такие развертки. (На чертеже все пунктирные линии, кроме одной, которая заметно длиннее других, имеют одинаковую длину.) Сложим развертку, перегнув ее по указанным на чертеже линиям. Грани, пересекающиеся между собой вдоль ребер, показанных на чертеже сплошной линией, склеим липкой лентой. В результате у нас получится геометрическое тело, показанное на рис. 92 справа. Из двух таких тел нужно попытаться сложить тетраэдр. Один мой знакомый математик любит приставать к своим друзьям с довольно плоской шуткой. Он собирает из двух разверток две модельки, составляет из них тетраэдр и ставит его на стол, а третью развертку незаметно зажимает в руке. Затем ударом руки он расплющивает тетраэдр и в то же время кладет на стол третью развертку. Вполне очевидно, что его друзьям никак не удается собрать тетраэдр из трех блоков.
Из различных занимательных задач, связанных с кубом, я упомяну лишь головоломку с вычислением полного сопротивления электрической цепи, образованной ребрами проволочного куба, и тот удивительный факт, что куб может проходить через отверстие в меньшем кубе. В самом деле, стоит вам взять куб так, чтобы одна из его вершин была направлена прямо на вас, а ребра образовали правильный шестиугольник, как вы увидите, что в сечении, перпендикулярном лучу зрения, есть достаточно места для квадратного отверстия, которое чуть больше грани самого куба. В электрической головоломке речь идет о цепи, изображенной на рис. 93. Сопротивление каждого ребра куба равно одному ому. Чему равно сопротивление всей цепи, если ток течет от А к В? Инженеры-электрики извели немало бумаги, пытаясь решить эту задачу, хотя при надлежащем подходе найти ее решение совсем несложно.
Все пять Платоновых тел использовались в качестве игральных костей. После куба наибольшую популярность приобрели игральные кости в форме октаэдра. Как сделать такую кость, показано на рис. 94. Начертив и вырезав полоску и перенумеровав грани, ее перегибают вдоль ребер, а "открытые" ребра склеивают прозрачной лентой. Получается миниатюрный октаэдр. Сумма очков на противоположных гранях октаэдрической игральной кости, как и у обычной кубической, равна семи. При желании с помощью новой кости вы можете показать забавный фокус с отгадыванием задуманного числа. Попросите кого-нибудь загадать любое число от 0 до 7. Положите октаэдр на стол так, чтобы загадавший мог видеть только грани с цифрами 1, 3, 5 и 7, и спросите, не видит ли он задуманного им числа. Если он отвечает утвердительно, вы запоминаете про себя число 1. Затем вы переворачиваете октаэдр так, чтобы загадавшему были видны грани с цифрами 2, 3, 6 и 7, и снова задаете тот же вопрос. На этот раз утвердительный ответ означает, что вы должны запомнить число 2. В третий (и последний раз) вы повторяете свой вопрос, повернув октаэдр так, чтобы загадавший мог видеть грани с цифрами 4, 5, 6 и 7. Утвердительный ответ в этом случае оценивается числом 4. Сложив оценки всех трех ответов, вы получите задуманное вашим приятелем число. Этот фокус без труда объяснит всякий, кто знаком с двоичной системой счисления. Чтобы легче было отыскать нужные положения октаэдра, как-нибудь пометьте три вершины, которые должны быть обращены к вам, когда вы стоите лицом к зрителю (задумавшему число).
Существуют и другие не менее интересные способы нумерации граней октаэдрической игральной кости. Например, числа от 1 до 8 можно расположить так, что сумма чисел на четырех гранях, сходящихся в общей вершине, будет постоянна. Эта сумма всегда равна 18, однако существует три различных способа нумерации граней (мы не считаем различными кости, которые переходят друг в друга при поворотах и отражениях), удовлетворяющих заданному выше условию.
Изящный способ построения додекаэдра предложен книге Гуго Штейнгауза "Математический калейдоскоп" * . Из плотного картона нужно вырезать две фигуры, показанные на рис. 95. Стороны пятиугольников должны быть около 2,5-3 см. Лезвием ножа осторожно надрежем картон вдоль сторон внутреннего пятиугольника, с тем чтобы развертка легко сгибалась в одну сторону. Подготовив таким же образом вторую развертку, наложим ее на первую так, чтобы выступы второй развертки пришлись против вырезов первой. Придерживая обе развертки рукой, скрепим их резинкой, пропуская ее попеременно то над выступающим концом одной развертки, то под выступающим концом другой. Ослабив давление руки на развертки, вы увидите, как на ваших глазах, словно по волшебству, возникнет додекаэдр.
* (Эта игрушка была приложена лишь к первому изданию книги Г. Штейнгауза . В дальнейших изданиях, в том числе и в русском (1949), ее нет.- Прим. ред. )
Раскрасим модель додекаэдра таким образом, чтобы каждая грань была выкрашена только одним цветом. Чему равно наименьшее число красок, которыми можно раскрасить додекаэдр, если требуется, чтобы любые две смежные грани были разного цвета? Ответ: наименьшее число красок равно четырем. Нетрудно убедиться, что существуют четыре различных способа наиболее экономной раскраски додекаэдра (при этом два раскрашенных додекаэдра будут зеркальными отражениями двух других). Для раскраски тетраэдра также требуется четыре краски, но существует лишь два варианта раскраски, при этом один тетраэдр переходит в другой при зеркальном отражении. Куб можно раскрасить тремя, а октаэдр - двумя красками. Для каждого из этих тел существует лишь один способ наиболее экономной раскраски. Раскрасить икосаэдр можно всего лишь тремя красками, но сделать это можно не менее чем 144 способами. Лишь в 6 из них раскрашенные икосаэдры совпадают со своими зеркальными отражениями.
Рассмотрим еще одну задачу. Предположим, что муха, разгуливая по 12 ребрам икосаэдра, ползает по каждому из них по крайней мере один раз. Каков наименьший путь, который должна проделать муха, чтобы побывать на всех ребрах иксаэдра? Возвращаться в исходную точку не обязательно; некоторые ребра мухе придется пройти дважды (из всех пяти Платоновых тел только октаэдр обладает тем свойством, что его ребра можно обойти, побывав на каждом из них лишь по одному разу). Решению задачи может помочь проекция икосаэдра на плоскость (рис. 96). Только следует иметь в виду, что длина всех ребер одинакова.
Поскольку и поныне встречаются чудаки, все еще пытающиеся найти решение задач о трисекции угла и квадратуре круга, хотя давно уже доказано, что ни то, ни другое невозможно, кажется странным, что никто не предпринимает попыток найти новые правильные многогранники сверх уже известных пяти Платоновых тел. Одна из причин такого парадоксального положения заключается в том, что понять, почему не существует более пяти правильных тел, крайне несложно. Следующее простое доказательство существования не более пяти правильных тел восходит к Евклиду.
Многогранный угол правильного тела должен быть образован по крайней мере тремя гранями. Рассмотрим простейшую из граней: равносторонний треугольник. Многогранный угол можно построить, приложив друг к другу три, четыре или пять таких треугольников. При числе треугольников свыше пяти сумма плоских углов, примыкающих к вершине многогранника, составляет 360° или даже больше, и, следовательно, такие треугольники не могут образовывать многогранный угол. Итак, существует лишь три способа построения правильного выпуклого многогранника с треугольными гранями. Пытаясь построить многогранный угол из квадратных граней, мы убедимся, что это можно сделать лишь из трех граней. Аналогичными рассуждениями нетрудно показать, что в одной вершине правильного многоугольника могут сходиться три и только три пятиугольные грани. Грани не могут иметь форму многоугольников с числом сторон больше 5, так как, приложив, например, друг к другу три шестиугольника, мы получим в сумме угол в 360 0 .
Приведенное только что рассуждение не доказывает возможности построения пяти правильных тел, оно лишь объясняет, почему таких тел не может быть больше пяти. Более тонкие рассуждения заставляют прийти к выводу, что в четырехмерном пространстве имеется лишь шесть правильных политопов (так называются аналоги трехмерных правильных тел). Любопытно отметить, что?в пространстве любого числа измерений, большем 4, существует лишь три правильных политопа: аналоги тетраэдра, куба и октаэдра.
Невольно напрашивается вывод. Математика в значительной мере ограничивает многообразие структур, которые могут существовать в природе. Обитатели далее самой отдаленной галактики не могут играть в кости, имеющие форму неизвестного нам правильного выпуклого многогранника. Некоторые теологи честно признали, что даже сам господь бог не смог бы построить шестое платоново тело в трехмерном пространстве. Точно так же геометрия ставит непреодолимые границы разнообразию структуры кристаллов. Может быть, наступит день, когда физики откроют математические ограничения, которым должно удовлетворять число фундаментальных частиц и основных законов природы. Разумеется, никто сейчас не имеет ни малейшего представления о том, каким образом математика делает невозможной ту или иную структуру, называемую "живой" (если только математика вообще причастна к этому кругу явлений). Вполне допустимо, например, что наличие углеродных соединений является непременным условием возникновения жизни. Как бы то ни было, человечество заранее готовит себя к мысли о возможности существования жизни на других планетах. Платоновы же тела служат напоминанием о том, что на Марсе и Венере может не оказаться многого из того, о чем думают наши мудрецы.
Ответы
Полное сопротивление цепи, образованной ребрами куба (сопротивление каждого ребра 1 ом ) составляет 5 / 6 ома . Соединим накоротко три ближайшие к А вершины куба и проделаем то же самое с тремя вершинами, ближайшими к В. Мы получим две треугольные цепи. Ни в одной из них тока не будет, так как они соединяют эквипотенциальные точки. Нетрудно заметить, что между вершиной А и ближайшей к ней треугольной цепью параллельно включены три сопротивления по 1 ому (общее сопротивление 1 / 3 ома ), между двумя треугольными цепями в параллель соединено 6 сопротивлений по 1 ому (общее сопротивление этого участка цепи 1 / 6 ома ) и между второй треугольной цепью и точкой В имеется 3 параллельно соединенных проводника по 1 ому (то есть всего 1 / 3 ома ). Таким образом, полное сопротивление цепи между точками А и В равно 5 / 6 ома .
И условие задачи, и метод решения нетрудно обобщить на случай цепи, образованной ребрами четырех остальных Платоновых тел.
Перечислим три способа нумерации граней октаэдра, удовлетворяющих условию: сумма чисел на гранях, примыкающих к любой вершине, должна быть равна 18. Числа, встречаемые при обходе (по часовой стрелке или против нее) одной вершины: 6, 7, 2, 3; при обходе противоположной вершины: 1, 4, 5, 8 (6 рядом с 1, 7 рядом с 4 и т. д.); при обходе остальных вершин: 1, 7, 2, 8 и 4, 6, 3, 5; 4, 7, 2, 5 и 6, 1, 8, 3. Простое доказательство того, что октаэдр - единственное из пяти правильных тел, чьи грани можно пронумеровать так, чтобы сумма чисел на гранях, примыкающих к любой вершине, была постоянна, можно найти в книге У. У. Роуза Болла * .
* (W. W. Rouse Ball, Mathematical recreations and essays, London, MacMillan, New York, St. Martin"s Press, 1956, p. 418. )
Кратчайшее расстояние, которое должна преодолеть муха для того, чтобы побывать на всех ребрах икосаэдра, равно 35 единицам (единица - длина ребра икосаэдра). Стерев пять ребер икосаэдра (например, ребра FM, BE, JA, ID и НС на рис. 96), мы получим граф, на котором нечетное число ребер сходится только в двух точках G и К. Поэтому муха может обойти весь этот граф (начав свой путь к точке G и закончив его в точке К), пройдя по каждому ребру лишь один раз. Пройденное мухой расстояние равно 25 единицам. Это самый длинный путь, все участки которого проходятся по одному разу. Если муха на своем пути встречает стертые ребра, мы просто добавляем их к пути из G в К, считая, что муха проходит их дважды (в противоположных направлениях). Пять стертых ребер, проходимых дважды, составляют добавку в 10 единиц к уже пройденному пути. В сумме это и составляет 35 единиц.
Суворов Михаил, ученик 10 класс
Данная работа посвящена описанию взглядов древнегреческого философа Платона на строение Вселенной, через использование правильных многоугольников, таких как тетраэдр, октаэдр, гексаэдр (куб), додекаэдр и икосаэдр. В современной математике эти тела получили название Платоновых.
Также в работе находит отражение вопрос о том, как используются в современных естественнонаучных теориях Платоновы тела.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Исследовательская работа по геометрии. Тема: «Платоновы тела» Подготовили презентацию: суворовец Суворов Михаил Преподаватель математики Харькова Марина Валерьевна
Платон (427–347 до н.э.) – великий древнегреческий философ, ученик Сократа, основатель Академии. Главная заслуга Платона в истории математики заключается в том, что он признавал, что знание математики необходимо каждому образованному человеку. Вклад Платона в математику незначителен. Однако его идеи относительно структуры и методов математики чрезвычайно ценны. Он ввел традицию давать безукоризненные определения и определять, какие положения в математических соображениях можно принимать без доказательства. Платон первым обосновал метод доказательства от противного, который теперь широко применяется в геометрии. В школе Платона особое внимание уделялось решению задач на построение. Благодарю этому в ней сформировалось понятие о геометрическом месте точек, а также была разработана методика решения задач на построение. Выпуклые правильные многогранники - тетраэдр, октаэдр, гексаэдр (куб), додекаэдр и икосаэдр - принято называть Платоновыми телами.
Определение: ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА- от греч. Platon 427-347 гг. до н.э. – совокупность всех правильных многогранников [ т. е. объёмных тел, ограниченных равными правильными многоугольниками ] трёхмерного Мира, впервые описанных Платоном.
Правильным многоугольником называется: ограниченная прямыми плоская фигура с равными сторонами и равными внутренними углами. Аналогом правильного многоугольника в трехмерном пространстве служит правильный многогранник: пространственная фигура с одинаковыми гранями, имеющими форму правильных многоугольников, и одинаковыми многогранными углами при вершинах. Существует лишь пять правильных выпуклых многогранников: правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.
История создания Платоновых тел. Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или «стихии». Тетраэдр символизировал Огонь, так как его вершина устремлена вверх; Икосаэдр - Воду, так как он самый «обтекаемый» многогранник; Куб - Землю, как самый «устойчивый» многогранник; Октаэдр - Воздух, как самый «воздушный» многогранник. Пятый многогранник, Додекаэдр, воплощал в себе «все сущее»
Тетраэдр Древние греки дали многограннику имя по числу граней. «Тетра» означает четыре, « хедра » - означает грань (тетраэдр – четырехгранник).Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти платоновых тел. Тетраэдр имеет следующие характеристики: Тип грани – правильный треугольник; Число сторон у грани – 3; Общее число граней – 4; Число рёбер примыкающих к вершине – 3; Общее число вершин – 4; Общее число рёбер – 6 ; Правильный тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°. Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии.
Гексаэдр (более привычное название - куб) Древние греки дали многограннику имя по числу граней. « Гексо » означает шесть, « хедра » - означает грань (Гексаэдр – шестигранник).Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти платоновых тел. Гексаэдр имеет следующие характеристики: Число сторон у грани – 4; Общее число граней – 6; Число рёбер примыкающих к вершине – 3; Общее число вершин – 8; Общее число рёбер – 12 ; Гексаэдр составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270°. Гексаэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии.
Икосаэдр Древние греки дали многограннику имя по числу граней. « Икоси » означает двадцать, « хедра » - означает грань (Икосаэдр – двадцатигранник). Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти платоновых тел. Икосаэдр имеет следующие характеристики: Тип грани – правильный треугольник; Число сторон у грани – 3; Общее число граней – 20; Число рёбер примыкающих к вершине – 5; Общее число вершин – 12; Общее число рёбер – 30 ; Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270°. Икосаэдр имеет центр симметрии - центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.
Октаэдр Древние греки дали многограннику имя по числу граней. «Окто» означает восемь, « хедра » - означает грань (октаэдр – восьмигранник).Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти платоновых тел. Октаэдр имеет следующие характеристики: Тип грани – правильный треугольник; Число сторон у грани – 3; Общее число граней – 8; Число рёбер примыкающих к вершине – 4; Общее число вершин – 6; Общее число рёбер – 12 ; Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240°. Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.
Додекаэдр Древние греки дали многограннику имя по числу граней. « Додека » означает двенадцать, « хедра » - означает грань (додекаэдр – двенадцатигранник). Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти платоновых тел. Додекаэдр имеет следующие характеристики: Тип грани – правильный пятиугольник; Число сторон у грани – 5; Общее число граней – 12; Число рёбер примыкающих к вершине – 3; Общее число вершин – 20; Общее число рёбер – 30 ; Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°. Додекаэдр имеет центр симметрии - центр додекаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.
Применение платоновых тел в науке Иоганн Кеплер (1571-1630 г.) – немецкий астроном. Открыл законы движения планет. В 1596 Кеплер предположил правило, по которому вокруг сферы Земли описывается додекаэдр, а в нее вписывается икосаэдр. Р асстояние между орбитами планет можно получить на основании Платоновых тел, вложенных друг в друга. Расстояния вычисленные при помощи этой модели, были достаточно близки к истинным.
В. Макаров и В. Морозов считают что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла оказывающего развитие всех природных взаимодействий и процессов идущих на планете. Силовое поле этого растущего кристалла обуславливает икосаэдро - додекаэдрическую структуру Земли (ИДСЗ). Эти многогранники вписаны друг в друга. Все природные аномалии, а также очаги развития цивилизаций соответствуют вершинам и рёбрам этих фигур.
Примеры: Некоторые из правильных многогранников встречаются в природе в виде кристаллических вирусов. Вирус полиомиелита имеет форму додекаэдра. Он может жить и размножаться только в клетках человека или примата. На микроскопическом уровне додекаэдр и икосаэдр является относительными параметрами ДНК, по которым построена вся жизнь. Можно увидеть, что молекула ДНК представляет собой вращающийся в куб.
Применение в кристаллографии Тела Платона нашли широкое применение в кристаллографии, так как многие кристаллы имеют форму правильных многогранников. Например, куб - монокристалл поваренной соли (NaCl), октаэдр - монокристалл алюмокалиевых квасцов, одна из форм кристаллов алмаза – октаэдр.
http:// www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02320031.htm http:// www.mnogogranniki.ru/stati/129-svojstva-platonovyh-tel.html stepanov.lk.net http://www.goldenmuseum.com/0213Solids_rus.html
